Статистические гипотезы и критерии. Концепция нулевой гипотезы

III) Гипотеза о равенстве двух средних значений нормально распределённых генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки) . При уровне значимости α нужно проверить основную гипотезу Н 0: x =y . В качестве статистики используем случайную величину
,
имеющую распределение Стьюдента с (n х + n у – 2) степенями свободы. Определяется соответствующее экспериментальное значение t экс . Из таблицы критических точек распределения Стьюдента находится критическое значение t кр . Всё решается аналогично гипотезе (I).

IV) Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормально распределённых генеральных совокупностей . В данном случае при уровне значимостиa нужно проверить гипотезу Н 0: D (Х ) = D (Y ). Статистикой служит случайная величина , имеющая распределение Фишера – Снедекора с f 1 = n б – 1 и f 2 = n м – 1 степенями свободы (S 2 б – большая дисперсия, объём её выборки n б ). Определяется соответствующее экспериментальное (наблюдаемое) значение F экс . Критическое значение F кр при альтернативной гипотезе Н 1: D (Х ) > D (Y ) находится из таблицы критических точек распределения Фишера – Снедекора по уровню значимости a и числу степеней свободы f 1 и f 2 . Нулевая гипотеза принимается, если F экс < F кр .

Инструкция . Для расчета необходимо указать размерность исходных данных.

V) Гипотеза о равенстве нескольких дисперсий нормально распределённых генеральных совокупностей по выборкам одинакового объёма. В данном случае при уровне значимостиa нужно проверить гипотезу Н 0: D (Х 1) = D (Х 2) = …= D (Х l ). Статистикой служит случайная величина , имеющая распределение Кочрена со степенями свободыf = n – 1 и l (n – объём каждой выборки, l – количество выборок). Проверка этой гипотезы проводится так же, как и предыдущей. Используется таблица критических точек распределения Кочрена.

VI) Гипотеза о существенности корреляционной связи. В данном случае при уровне значимостиa нужно проверить гипотезу Н 0: r = 0. (Если коэффициент корреляции равен нулю, то соответствующие величины не связаны друг с другом). Статистикой в данном случае служит случайная величина
,
имеющая распределение Стьюдента с f = n – 2 числом степеней свободы. Проверка этой гипотезы проводится аналогично проверке гипотезы (I).

Инструкция . Укажите количество исходных данных.

VII) Гипотеза о значении вероятности появления события. Проведено достаточно большое количество n независимых испытаний, в которых событие А произошло m раз. Есть основания полагать, что вероятность наступления данного события в одном испытании равна р 0 . Требуется при уровне значимостиa проверить гипотезу о том, что вероятность события А равна гипотетической вероятности р 0 . (Т.к. вероятность оценивается по относительной частоте, то проверяемую гипотезу можно сформулировать и иначе: значимо или нет различаются наблюдаемая относительная частота и гипотетическая вероятность).
Количество испытаний достаточно велико, поэтому относительная частота события А распределена по нормальному закону. Если нулевая гипотеза верна, то её математическое ожидание равно р 0 , а дисперсия . В соответствии с этим в качестве статистики выберем случайную величину
,
которая распределена приближённо по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Проверка данной гипотезы осуществляется точно так же, как и в случае (I).

Инструкция . Для расчета необходимо заполнить исходные данные.

Статистика - сложная наука об измерении и анализе различных данных. Как и во многих других дисциплинах, в этой отрасли существует понятие гипотезы. Так, гипотеза в статистике - это какое-либо положение, которое нужно принять или отвергнуть. Причём в данной отрасли есть несколько видов таких допущений, схожих между собой по определению, но отличающихся на практике. Нулевая гипотеза - сегодняшний предмет изучения.

От общего к частному: гипотезы в статистике

От основного определения предположений отходит ещё одно, не менее важное, - статистическая гипотеза есть изучение генеральной совокупности важных для науки объектов, относительно коих учёными делаются выводы. Ее можно проверить с помощью выборки (части генеральной совокупности). Приведём несколько примеров статистических гипотез:

1. Успеваемость всего класса, возможно, зависит от уровня образования каждого учащегося.

2. Начальный курс математики в равной степени усваивается как детьми, пришедшими в школу в 6 лет, так и детьми, пришедшими в 7.

Простой гипотезой в статистике называют такое предположение, которое однозначно характеризует определённый параметр величины, взятой учёным.

Сложная состоит из нескольких или бесконечного множества простых. Указывается некоторая область или нет точного ответа.

Полезно понимать несколько определений гипотез в статистике, чтобы не путать их на практике.

Концепция нулевой гипотезы

Нулевая гипотеза - это теория о том, что есть некие две совокупности, которые не различаются между собой. Однако на научном уровне нет понятия «не различаются», но есть «их сходство равно нулю». От этого определения и было образовано понятие. В статистике нулевая гипотеза обозначается как Н0. Причём крайним значением невозможного (маловероятного) считается от 0.01 до 0.05 или менее.

Лучше разобрать, что такое нулевая гипотеза, пример из жизни поможет. Педагог в университете предположил, что различный уровень подготовки учащихся двух групп к зачётной работе вызван незначительными параметрами, случайными причинами, не влияющими на общий уровень образования (разница в подготовке двух групп студентов равна нулю).

Однако встречно стоит привести пример альтернативной гипотезы - допущения, опровергающего утверждение нулевой теории (Н1). Например: директор университета предположил, что различный уровень в подготовке к зачётной работе у учащихся двух групп вызван применением педагогами разных методик обучения (разница в подготовке двух групп существенна и на то есть объяснение).

Теперь сразу видна разница между понятиями «нулевая гипотеза» и «альтернативная гипотеза». Примеры иллюстрируют эти понятия.

Проверка нулевой гипотезы

Создать предположение - это ещё полбеды. Настоящей проблемой для новичков считается проверка нулевой гипотезы. Именно тут многих и ожидают трудности.

Используя метод альтернативной гипотезы, утверждающей нечто обратное нулевой теории, можно сравнить оба варианта и выбрать верный. Так действует статистика.

Пусть нулевая гипотеза Н0, а альтернативная Н1, тогда:

Н0: c = c0;
Н1: c ≠ c0.

Здесь c - это некое среднее значение генеральной совокупности, которое предстоит найти, а c0 - данное изначально значение, по отношению к которому проверяется гипотеза. Также есть некоторое число Х - среднее значение выборки, по которому определяется c0.

Итак, проверка заключается в сравнении Х и c0, если Х=c0 ,то принимается нулевая гипотеза. Если же Х≠c0, то по условию верной считается альтернативная.

«Доверительный» способ проверки

Существует наиболее действенный способ, с помощью которого нулевая статистическая гипотеза легко проверяется на практике. Он заключается в построении диапазона значений до 95% точности.

Для начала понадобится знать формулу расчёта доверительного интервала:
X - t*Sx ≤ c ≤ X + t*Sx,

где Х - данное изначально число на основе альтернативной гипотезы;
t - табличные величины (коэффициент Стьюдента);
Sx - стандартная средняя ошибка, которая рассчитывается как Sx = σ/√n, где в числителе стандартное отклонение, а в знаменателе - объём выборки.

Итак, предположим ситуацию. До ремонта конвейер в день выпускал 32.1 кг конечной продукции, а после ремонта, как утверждает предприниматель, коэффициент полезного действия вырос, и конвейер, по недельной проверке, начал выпускать 39.6 кг в среднем.

Нулевая гипотеза будет утверждать, что ремонт никак не повлиял на КПД конвейера. Альтернативная гипотеза скажет, что ремонт коренным образом изменил КПД конвейера, поэтому производительность его повысилась.

По таблице находим n=7, t = 2,447, откуда формула примет следующий вид:

39,6 – 2,447*4,2 ≤ с ≤ 39,6 + 2,447*4,2;

29,3 ≤ с ≤ 49,9.

Получается, что значение 32.1 входит в диапазон, а следовательно, значение, предложенное альтернативой - 39.6 - не принимается автоматически. Помните, что сначала проверяется на правильность нулевая гипотеза, а потом - противоположная.

Разновидности отрицания

До этого рассматривался такой вариант построения гипотезы, где Н0 утверждает что-либо, а Н1 это опровергает. Откуда можно было составить подобную систему:

Н0: с = с0;
Н1: с ≠ с0.

Но существует ещё два родственных способа опровержения. К примеру, нулевая гипотеза утверждает, что средняя оценка успеваемости класса больше 4.54, а альтернативная тогда скажет, что средняя успеваемость того же класса менее 4.54. И выглядеть в виде системы это будет так:

Н0: с ⩾ 4.54;
Н1: с < 4.54.

Обратите внимание, что нулевая гипотеза утверждает, что значение больше или равно, а статистическая - что строго меньше. Строгость знака неравенства имеет большое значение!

Статистическая проверка

Статистическая проверка нулевых гипотез заключается в использовании статистического критерия. Такие критерии подчиняются различным законам распределения.

К примеру, существует F-критерий, который рассчитывается по распределению Фишера. Есть T-критерий, чаще всего используемый на практике, зависящий от распределения Стьюдента. Квадратный критерий согласия Пирсона и т. д.

Область принятия нулевой гипотезы

В алгебре есть понятие "область допустимых значений". Это такой отрезок или точка на оси Х, на котором находится множество значений статистики, при которых нулевая гипотеза верна. Крайние точки отрезка - критические значения. Лучи по правую и левую сторону отрезка - критические области. Если найденное значение входит в них, то нулевая теория опровергается и принимается альтернативная.

Опровержение нулевой гипотезы

Нулевая гипотеза в статистике временами очень изворотливое понятие. Во время проверки её можно допустить ошибки двух типов:

1. Отвержение верной нулевой гипотезы. Обозначим первый тип как а=1.
2. Принятие ложной нулевой гипотезы. Второй тип обозначим как а=2.

Стоит понимать, что это не одинаковые параметры, исходы ошибок могут существенно различаться между собой и иметь разные выборки.

Пример ошибок двух типов

Со сложными понятиями легче разобраться на примере.

Во время производства некоего лекарства от учёных требуется чрезвычайная осторожность, так как превышение дозы одного из компонентов провоцирует высокий уровень токсичности готового препарата, от которого пациенты, принимающие его, могут умереть. Однако на химическом уровне выявить передозировку невозможно.
Из-за этого перед тем как выпустить лекарство в продажу, небольшую его дозу проверяют на крысах или кроликах, вводя им препарат. Если большая часть испытуемых умирает, то лекарство в продажу не допускается, если подопытные живы, то лекарство разрешают продавать в аптеках.

Первый случай: на самом деле лекарство было не токсично, но во время эксперимента была допущена оплошность и препарат классифицировали как токсичный и не допустили в продажу. А=1.

Второй случай: в ходе другого эксперимента при проверке другой партии лекарства решено, что препарат не токсичен, и в продажу его допустили, хотя на самом деле препарат был ядовит. А=2.

Первый вариант повлечёт за собой крупные финансовые затраты поставщика-предпринимателя, так как придётся уничтожить всю партию лекарства и начинать с нуля.

Вторая ситуация спровоцирует смерть пациентов, купивших и употреблявших это лекарство.

Теория вероятности

Не только нулевые, но все гипотезы в статистике и экономике разделяют по уровню значимости.

Уровень значимости - процент появления ошибок первого рода (отклонение верной нулевой гипотезы).

Первый уровень - 5% или 0.05, т. е. вероятность ошибиться 5 к 100 или 1 к 20.
второй уровень - 1% или 0.01, т. е. вероятность 1 к 100.
третий уровень - 0.1% или 0.001, вероятность 1 к 1000.

Критерии проверки гипотезы

Если учёным уже был сделан вывод о правильности нулевой гипотезы, то её необходимо подвергнуть проверке. Это необходимо, чтобы исключить ошибку. Существует основной критерий проверки нулевой гипотезы, состоящий из нескольких этапов:

1. Берётся допустимая ошибочная вероятность P=0.05.
2. Подбирается статистика для критерия 1.
3. По известному методу находится область допустимых значений.
4. Теперь вычисляется значение статистики Т.
5. Если Т (статистика) принадлежит области принятия нулевой гипотезы (как в «доверительном» методе), то предположения считаются верными, а значит, и сама нулевая гипотеза остаётся верной.

Именно так действует статистика. Нулевая гипотеза при грамотной проверке будет принята или отвергнута.

Стоит заметить, что для обычных предпринимателей и пользователей первые три этапа бывает очень сложно выполнить безошибочно, поэтому их доверяют профессиональным математикам. Зато 4 и 5 этапы может выполнить любой человек, в достаточной мере знающий статистические методы проверки.

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• что такое статистическая гипотеза;
• соотношение теоретических, экспериментальных и статистических гипотез;
• различия между нулевой и альтернативной гипотезами;
• логику оценки, принятия и отвержения статистических гипотез;
• понятия ошибки первого и второго рода, статистической значимости (надежности);
• различия между параметрической и непараметрической статистикой, возможности и ограничения этих двух видов статистических критериев;

уметь

• проверять простейшие гипотезы о среднем с помощью t -теста Стьюдента для парных (связных) и непарных (независимых) выборок;
• оценивать две выборки на однородность с помощью t -теста Стьюдента и F -теста Фишера;
• строить доверительные интервалы для оцениваемых параметров;

владеть

• методическим аппаратом и базовыми навыками выдвижения и проверки статистических гипотез;
• навыками оценки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Общая стратегия

Вы уже знаете, что в статистическом анализе принято различать понятия "параметр" и "статистика". Эти различия подробно обсуждались в гл. 1; в табл. 2.1 резюмируется состоявшееся обсуждение.

Вспомним, что всякое распределение может быть охарактеризовано теми или иными теоретическими параметрами. Математическое ожидание, дисперсия, асимметрия, эксцесс представляют собой примеры таких параметров распределения случайной величины в генеральной совокупности. Все они, отметим еще раз этот важный факт, представляют собой теоретические величины, которые почти никогда не бывают известны на практике. В практической деятельности исследователя их можно лишь оценить с той или иной степенью точности путем вычисления различных статистических величин, которые не всегда оказываются равными теоретическим величинам параметров, а также и друг другу, в чем мы уже убедились в параграфе 1.4, рассматривая практические примеры оценки различных параметров распределения такого свойства личности, как феминность – маскулинность.

Таблица 2.1

Соотношение параметров и статистики

И это неудивительно: ведь статистика отражает поведение случайных величин лишь в сформированной экспериментатором выборке, а не в самой генеральной совокупности. Поэтому у экспериментатора может возникнуть вопрос, каким образом вычисленные статистики соотносятся с теоретическими параметрами распределения. Иными словами, экспериментатор может заинтересоваться тем, действительно ли имеющиеся у него в распоряжении выборочные данные извлечены из генеральной совокупности, характеризующейся предполагаемыми в теории параметрами распределения. Чтобы ответить на этот вопрос, экспериментатор выдвигает и проверяет статистические гипотезы.

Статистическими гипотезами называют предположения о возможных значениях параметров распределения случайной величины в генеральной совокупности. Проверка и анализ статистических гипотез осуществляются в результате сбора и построения статистики. Инструментом в такой работе выступают статистические тесты, или критерии, каждый из которых представляет собой некоторый набор стандартизированных правил. На основе этих правил принимается решение об истинности или ложности статистической гипотезы.

Рассмотрим еще раз пример с подбрасыванием монеты. Можно предполагать, что вероятность выпадения "орла" при бросании нормальной, нефальшивой и неповрежденной, монеты равна 50%. Это значит, что математическое ожидание такого события при 100-кратном бросании монеты окажется равным 50. Проверка этой гипотезы будет состоять в том, чтобы провести подобного рода испытание, оценить в результате этого интересующий нас параметр путем вычисления соответствующей статистики и с помощью этой статистики проверить достоверность выдвинутой гипотезы. Например, проведя 100 испытаний монеты, мы можем убедиться в том, что каждая сторона действительно выпала по 50 раз. Однако вероятно, что результат такого испытания все же будет несколько отличаться от теоретически предполагаемого. Иными словами, даже если "орел" выпадет немного меньше или немного больше 50 раз, мы вряд ли будем иметь основания полагать, что монета фальшивая. Подозрительной будет ситуация, когда такое отклонение от теоретически предполагаемых величин достигнет бо́льших значений, например, когда "орел" при 100 испытаниях монеты не выпадет ни разу. Такой расклад, по-видимому, представляется маловероятным при условии, что с монетой все в порядке.

Итак, ясно, что если в ходе 100-кратного бросания монеты "орел" выпал ровно 50 раз, с монетой все в порядке. Если "орел" не выпал ни разу, есть основания предполагать, что с монетой что-то не то. Но где та грань, которая отделяет положительные и отрицательные выводы? Этот вопрос имеет отношение к выбираемому критерию принятия решения. Именно такими критериями и выступают разработанные в математической статистике для проверки статистических гипотез статистические тесты, которые поэтому часто называют статистическими критериями.

Таким образом, проверка статистических гипотез осуществляется в результате оценки вероятности случайного события, в качестве которого рассматривается величина статистики. Если эта вероятность оказывается очень незначительной при условии истинности выдвинутой гипотезы, проверяемая статистическая гипотеза отвергается, в противном случае гипотеза принимается.

Трудность этой процедуры, однако, может состоять в том, что мы можем заранее не знать конкретного значения параметра распределения анализируемой случайной величины. Например, в случае с монетой можно предположить, что монета фальшивая, и, следовательно, вероятность выпадения "орла" в той или иной степени отличается от 50%-ного. В этом случае, проведя серию испытаний, мы не сможем оценить степень отличия полученной статистики, характеризующей величину математического ожидания анализируемого события, от действительного его значения. И тогда проверка статистической гипотезы может показаться невозможной. Выход из этой ситуации может, однако, состоять в том, чтобы оценить вероятность гипотезы, противоположной выдвинутой. Иными словами, в данном случае можно, например, выдвинуть гипотезу о равенстве теоретической вероятности 50%. Если эта гипотеза оказывается неверной, принимается альтернативная гипотеза.

Действительно, при проверке статистических гипотез исследователь всегда имеет дело не с одной, а с двумя гипотезами, которые обозначаются как Н 0 и Н 1. Одна из этих гипотез называется нулевой, другая – альтернативной, т.е. опровергающей нулевую.

Нулевая гипотеза Н 0 всегда конкретна. Она всегда утверждает какое-то конкретное значение параметра распределения. Например, гипотеза, касающаяся математического ожидания, может формулироваться следующим образом: μ = А, где А – некоторое конкретное значение μ, а гипотеза, касающаяся равенства двух величии дисперсии, – σ1 = σ2.

Альтернативная гипотеза Н 1 формулируется всегда менее конкретно, например: μ > А ; * σ2 и т.п. Но, как правило, оказывается так, что экспериментатора интересует не конкретная нулевая гипотеза Н 0, а как раз менее конкретная альтернативная гипотеза Н 1, так как именно она в большей степени соответствует проверяемой им в эксперименте научной гипотезе.

Проводя эмпирическую оценку теоретического параметра, экспериментатор определяет статистическую значимость полученного результата, принимая за основу предположение об истинности Н 0. Статистическая значимость представляет собой вероятность того, что в бесконечном числе экспериментов, полностью воспроизводящих условия проведенного эксперимента, мы получим то же или еще большее значение построенной статистики. Если вероятность получить такое и еще большее значение статистики в бесконечном числе экспериментов с теми же условиями при том, что нулевая гипотеза истинна, оказывается небольшой, экспериментатор отказывается от нулевой гипотезы в пользу альтернативной.

Наглядно описанная логика представлена на рис. 2.1. Как очевидно, здесь выдвигаются две альтернативных гипотезы. Одна из них конкретная и предполагает равенство математического ожидания нулю. Эта гипотеза обозначена как Н 0. Соответствующая ей кривая описывает распределение случайной величины Ζ, предсказываемое этой гипотезой. Вторая гипотеза, обозначенная как Н 1, менее конкретная. Она лишь утверждает, что величина математического ожидания должна превышать нулевое значение. В принципе существует бесконечное множество кривых, описывающих распределения, соответствующие этой гипотезе. Приведенная кривая представляет собой одну из возможных. Величина Ζ эксп характеризует значение статистики, оценивающей теоретический параметр μ в эксперименте. Это то, что экспериментатор имеет в своем распоряжении, то, что ему удалось получить, проведя сбор эмпирических данных. Например, это может быть величина среднего арифметического по выборке. Тогда проверка выдвинутых статистических гипотез должна состоять в том, чтобы попытаться оценить, насколько вероятно в другом таком же эксперименте получить ту же величину Zэксп или даже еще бо́льшую при условии истинности нулевой гипотезы. Очевидно, что эта вероятность равна площади под кривой распределения, предполагаемой этой гипотезой. Эта площадь слева ограничена вычисленной статистикой, справа – не ограничена. Такая площадь, как мы помним (см. параграф 1.2), называется квантилем распределения. Она может быть определена следующим образом:

Рис. 2.1.

Необходимая для принятия или отвержения гипотезы величина квантиля р в этом уравнении представляет собой так называемый уровень значимости вычисленной статистики Zэксп. Чем больше эта величина, тем с большей вероятностью полученные в эксперименте данные описываются распределением f Ho(Z ), т.е. распределением, предсказанным гипотезой Н 0. Напротив, чем меньше значение р, тем меньше вероятность того, что эмпирические данные действительно соответствуют распределению f H0(Z), и тем больше вероятность того, что они описываются распределением, предполагающим более высокое значение μ. Таким образом, оценивая значение р, можно принять решение в пользу одной из двух выдвинутых гипотез.

Гипотеза Н 0 может быть принята, если величина квантиля, определяющего статистическую значимость эмпирического значения X, оказывается достаточно большой. Альтернативная гипотеза Н 1, принимается, если величина квантиля, который задает статистическую значимость полученного в эксперименте результата, оказывается пренебрежительно малой. Проблема, однако, состоит в том, какую величину квантиля, задающего статистическую значимость, считать достаточно большой, какую – пренебрежительно малой. Чтобы решить эту проблему, рассмотрим подробнее, какие возможности имеются у экспериментатора, оценивающего статистические гипотезы (табл. 2.2).

Понятно, что выдвинутые статистические гипотезы могут быть либо верными, либо неверными. Поскольку гипотезы Н 0 и Н 1 являются альтернативными, т.е. они исключают друг друга, имеют место лишь два гипотетических случая, характеризующих истинность или ложность рассматриваемых гипотез: либо Н 0 окажется верной, а Н 1 соответственно неверной, либо наоборот. Поскольку экспериментатор, оценивающий гипотезы, никогда не знает, какая из гипотез верна, сто решение принять или отвергнут гипотезу Н 0 никак не связано с ее истинностью или ложностью – ведь именно их он и пытается установить. Таким образом, в ходе проверки статистических гипотез возможно четыре исхода, благоприятными из которых для экспериментатора могут считаться лишь два, независимо от того, какую из гипотез на самом деле хочет доказать исследователь.

Таблица 2.2

Матрица исходов в оценке статистических гипотез

Если гипотеза Н 0 верна и она принимается в результате статистического анализа, экспериментатор не совершает ошибки. И это благоприятный исход для исследователя, даже если он хотел бы принять альтернативную гипотезу. Также экспериментатор нс совершает ошибки, когда он отвергает гипотезу Н 0, которая на самом деле является неверной. Однако может случиться так, что нулевая гипотеза в действительности верна, а экспериментатор ее все же отвергает. В этом случае он совершает ошибку, которую принято называть ошибкой первого рода или α(альфа )-ошибкой. Ошибкой второго рода, или β(бета )-ошибкой, называется исход, при котором экспериментатор принимает нулевую гипотезу, которая на самом деле оказывается неверной.

Ясно, что чем больше вероятность, определяющая статистическую значимость полученного в эксперименте результата, при которой экспериментатор готов отказаться от нулевой гипотезы в пользу альтернативной, тем больше вероятность ошибки первого рода и меньше вероятность ошибки второго рода (рис. 2.2). Напротив, уменьшая значение вероятности, при которой экспериментатор отказывается от нулевой гипотезы, он тем самым рискует с большей вероятностью совершить ошибку второго рода, но тем самым в большей степени ограждает себя от ошибки первого рода. Таким образом, вопрос о том, при каком уровне значимости гипотеза Н 0 может быть отвергнута или принята, связан на самом деле с тем, какая из двух возможных ошибок менее важна для экспериментатора. Применяя более консервативную стратегию проверки статистической гипотезы, экспериментатор пренебрегает опасностью ошибки второго рода. Применяя более радикальный вариант действия, экспериментатор как бы забывает об ошибке первого рода.

Рис. 2.2.

Если принятие статистической гипотезы подразумевает какие-либо важные социальные последствия, можно применить более консервативную стратегию ее оценки. Если серьезные последствия могут наступить вследствие неприятия статистической гипотезы, можно действовать менее консервативно.

Например, пусть рассматривается вопрос об определении умственной отсталости конкретного ребенка. В ходе психологического обследования установлено, что его коэффициент интеллекта ниже среднего значения для данной популяции испытуемых. Таким образом, возникло предположении о недостаточном интеллектуальном развитии этого ребенка и необходимости в связи с этим направления его в специальный интернат для умственно отсталых. Для проверки этой гипотезы были сформулированы две альтернативные статистические гипотезы, одна из которых предполагает, что полученные при обследовании данные характеризуют обычное популяционное распределение с математическим ожиданием, равным границе, определяющей умственную отсталость, скажем, 75 баллам (гипотеза Н 0), а вторая предполагает более низкое значение математического ожидания, т.е. математическое ожидание меньше заданной границы (гипотеза Н 1). Далее предположим, что в ходе оценки статистической значимости эмпирического показателя интеллектуального развития ребенка выяснилось, что вероятность получить при другом случайном испытании тот же результат или даже еще более низкий составляет не более одного шанса из 20. Возникает вопрос: можно ли на основании данного результата судить о недостаточной эмпирической обоснованности нулевой гипотезы и, следовательно, отказаться от нее в пользу альтернативной гипотезы Н 1? Ясно, что ответ на этот вопрос в значительной степени будет зависеть от того, какого рода ошибочные действия можно считать более приемлемыми. Если мы убеждены в том, что пребывание нормального ребенка хоть и с низкими умственными способностями в интернате для умственно отсталых лучше, чем обучение умственно отсталого в нормальной школе, мы можем принять одно решение, касающееся установления границ уровня значимости, если мы считаем по-другому, необходимо принять другое решение.

К счастью, исследователь, как правило, избавлен от необходимости разрешать проблему такого рода. Дело в том, что статистически невозможно обосновать оптимальный уровень значимости, который можно бы было принять в качестве эталонного при выборе статистических гипотез. Вместе с тем существуют некоторые квазистатистические соглашения, принимаемые по умолчанию (табл. 2.3). Эмпирический результат считается статистически значимым для отказа от нулевой гипотезы, если вероятность получить такой же или больший (меньший) результат при другом случайном испытании составляет менее одного шанса из 20, т.е. тогда, когда значение р оказывается меньше 0,05. Если значение р оказывается меньше 0,01, то полученный результат считается высокозначимым для отказа от нулевой гипотезы. В случае, когда значение р превышает 0,10, считается, что в эксперименте не установлены статистически значимые отличия от теоретического параметра, предполагаемого нулевой гипотезой. Если полученное значение р оказывается между величиной 0,10 и 0,05, результат считается неопределенным. Говорят, что он находится на границе уровней значимости. По-другому такой результат называют маргиналъно значимым.

Таблица 2.3

Стандартные величины квантилей, определяющее принятие статистического решения

Описанная стратегия проверки и принятия гипотез является универсальной и наиболее распространенной. Более консервативная стратегия может состоять в том, чтобы в качестве надежного и высоконадежного уровней принять значения вероятностей соответственно 0,01 и 0,001, а для ненадежного уровня значение вероятности установить в 0,05 (О. Ю. Ермолаев, ). Тогда маргинально значимым результатом окажется тот, который находится в диапазоне от 0,01 до 0,05. Однако такая стратегия в психологических исследованиях применяется все же редко.

В любом случае необходимо иметь в виду, что результаты анализа статистических гипотез не могут считаться достаточными для оценки экспериментальных гипотез, если они берутся сами но себе, вне связи со всей экспериментальной ситуацией.

Статистические гипотезы нельзя путать с экспериментальными и теоретическими гипотезами. Теоретические гипотезы отражают характер связей и закономерностей исследуемых явлений. Экспериментальные гипотезы выдвигаются на основе изучения таких теоретических знаний в данной области и конкретизируют таким образом сами теоретические гипотезы. Так же как и статистические гипотезы, они предполагают одновременную формулировку конкурирующих гипотез как отрицания существования предполагаемой каузальной зависимости. Благодаря этому факту исследуемая эмпирическая закономерность может допускать разные причинные интерпретации, называемые конкурирующими гипотезами.

В отличие от экспериментальных, статистические гипотезы являются лишь инструментом оценки собранных в ходе эксперимента данных и не предполагают изначально какой-либо эмпирической закономерности. Результат их проверки носит лишь статистический характер и поэтому не предполагает автоматического принятия или отвержения как экспериментальных, так и тем более теоретических гипотез.

На разных стадиях статистического исследования и моделирования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположений (гипотез) относительно природы и величины неизвестных параметров анализируемой генеральной совокупности (совокупностей). Например, исследователь высказывает предположение: "выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности" или "генеральная средняя анализируемой совокупности равна пяти". Такие предположения называются статистическими гипотезами.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода, осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется проверкой статистических гипотез .

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной) . Ее принято обозначать Н 0 .

По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую) , противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н 1 .

Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н 0 .

Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой , например: "среднедушевой совокупный доход населения России составляет 650 рублей в месяц"; "уровень безработицы (доля безработных в численности экономически активного населения) в России равна 9%" . В других случаях гипотеза называется сложной .

В качестве нулевой гипотезы Н 0 принято выдвигать простую гипотезу, т.к. обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.

Гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;

Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности;

Гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

Гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками и др.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы Н 0 имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой-то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза Н 0 может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой первого рода . А ее вероятность принято называтьуровнем значимости и обозначать α .

Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза Н 0 принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Н 1 . Такую ошибку называют ошибкой второго рода . Вероятность ошибки второго рода принято обозначать β . Вероятность 1 - β называют мощностью критерия .

При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок α или β . Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки первого рода α - уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости α : 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Тогда, очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью α отклонить правильную в действительности гипотезу Н 0 , следует принять тот, который сопровождается меньшей ошибкой второго рода β , т.е. большей мощностью. Снижения вероятностей обеих ошибок α и β можно добиться путем увеличения объема выборки.

Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н 0 также может быть двух видов:

Будет принята нулевая гипотеза Н 0 , тогда как и на самом деле в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза Н 0 ; вероятность такого решения 1 - α;

Нулевая гипотеза Н 0 будет отклонена в пользу альтернативной Н 1, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н 0 отклоняется в пользу альтернативной Н 1 ; вероятность такого решения 1 - β - мощность критерия.

Результаты решения относительно нулевой гипотезы можно проиллюстрировать с помощью таблицы 8.1.

Таблица 8.1

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К ), являющего функцией от результатов наблюдения.

Статистический критерий - это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н 0 .

Статистический критерий, как и всякая функция от результатов наблюдения, является случайной величиной и в предположении справедливости нулевой гипотезы Н 0 подчинена некоторому хорошо изученному (и затабулированному) теоретическому закону распределения с плотностью распределения f(k) .

Выбор критерия для проверки статистических гипотез может быть осуществлен на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия , который позволяет построить критерий наиболее мощный среди всех возможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К с известной функцией плотности f(k) при условии справедливости гипотезы Н 0 , чтобы при заданном уровнем значимости α можно было бы найти критическую точку К кр .распределения f(k) , которая разделила бы область значений критерия на две части: область допустимых значений, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы Н 0 .

Если такой критерий К выбран, и известна плотность его распределения, то задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости α рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия К набл. и определить является ли оно наиболее или менее правдоподобным в отношении нулевой гипотезы Н 0 .

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может быть осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона χ 2 ; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей - с помощью критерия F - Фишера; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия Z - нормальной распределенной случайной величины и критерия T - Стьюдента и т.д.

Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия (К набл. ).

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н 0 ) и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношении таблицам распределения случайной величины К , выбранной в качестве критерия, называются критическими точками(К кр.).

Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н 0) К Н 0 не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия К , при которых нулевая гипотеза Н 0 отклоняется в пользу конкурирующей Н 1 .

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области .

Если конкурирующая гипотеза - правосторонняя, например, Н 1: а > а 0 , то и критическая область - правосторонняя (рис 1). При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка (К кр. правосторонняя) принимает положительные значения.

Если конкурирующая гипотеза - левосторонняя, например, Н 1: а < а 0 , то и критическая область - левосторонняя (рис 2). При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (К кр. левосторонняя) .

Если конкурирующая гипотеза - двусторонняя, например, Н 1: а ¹ а 0 , то и критическая область - двусторонняя (рис 3). При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются две критические точки (К кр. левосторонняя и К кр. правосторонняя) .

Область допустимых Критическая

значений область

Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез.

· Но – нулевая гипотеза (гипотеза скептика) это гипотеза об отсутствии различий между сравниваемыми выборками. Скептик считает, что различия между выборочными оценками, полученными по результатам исследований – случайны

· Н 1 – альтернативная гипотеза (гипотеза оптимиста) это гипотеза о наличии различий между сравниваемыми выборками. Оптимист считает, что различия между выборочными оценками вызваны объективными причинами и соответствуют различиям генеральных совокупностей

Проверка статистических гипотез осуществима только тогда, когда из элементов сравниваемых выборок можно составить некоторую величину (критерий), закон распределения которой в случае справедливости Н 0 известен. Тогда для этой величины можно указать доверительный интервал , в который с заданной вероятностью Р д попадает ее значение. Этот интервал называют критической областью . Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н 0 . В противном случае принимается гипотеза Н 1 .

В медицинских исследованиях используют Р д = 0,95 или Р д = 0,99. Этим значениям соответствуют уровни значимости a = 0,05 или a = 0,01.

При проверке статистических гипотез уровнем значимости (a) называется вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она верна.

Обратите внимание на то, что по своей сути процедура проверки гипотез направлена на обнаружение различий , а не на подтверждение их отсутствия. При выходе значения критерия за пределы критической области мы можем с чистым сердцем сказать «скептику» – ну что Вы еще хотите?! Если бы различия отсутствовали, то с вероятностью 95% (или 99%) расчетное значение было бы в указанных пределах. Так ведь нет!...

Ну а если значение критерия попадает в критическую область, то нет никаких оснований считать что гипотеза Н 0 .верна. Это, скорее всего, указывает на одну из двух возможных причин.

а) Объемы выборок недостаточно велики, чтобы обнаружить имеющиеся различия. Вполне вероятно, что продолжение экспериментов принесет успех.

б) Различия есть. Но они настолько малы, что не имеют практического значения. В этом случае продолжение экспериментов не имеет смысла.

Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипотез, используемых в медицинских исследованиях.

§ 3.6. Проверка гипотез о равенстве дисперсий,
F – критерий Фишера

В некоторых клинических исследованиях о положительном эффекте свидетельствует не столько величина исследуемого параметра, сколько его стабилизация , уменьшение его колебаний. В этом случае возникает вопрос о сравнении двух генеральных дисперсий по результатам выборочного обследования. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера .

Постановка задачи

нормальным законом распределения. Объемы выборок n 1 и n 2 , а выборочные дисперсии равны соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные дисперсии .

Проверяемые гипотезы:

Н 0 – генеральные дисперсии одинаковы;

Н 1 – генеральные дисперсии различны .

Показано, если выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения, то при справедливости гипотезыН 0 отношение выборочных дисперсий подчиняется распределению Фишера. Поэтому в качестве критерия для проверки справедливости Н 0 берется величина F , вычисляемая по формуле

где - выборочные дисперсии.

Это отношение подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы числителя n 1 = n 1 -1, ичислом степеней свободы знаменателя n 2 = n 2 -1. Границы критической области находятся по таблицам распределения Фишера или с помощью компьютерной функции FРАСПОБР.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: n 1 = n 2 = 20 – 1 = 19; F = 2,16/4,05 = 0,53. При a = 0,05 границы критической области равны соответственно: F лев = 0.40, F прав = 2.53.

Значение критерия попало в критическую область, поэтому принимается гипотеза Н 0: генеральные дисперсии выборок одинаковы .

§ 3.7. Проверка гипотез относительно равенства средних,
t- Критерий Стьюдента

Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами, или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать t-критерий Стьюдента.

Постановка задачи.

Получены две выборки {Х 1 } и {X 2 }, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями . Объемы выборок n 1 и n 2 , выборочные средние равны , а выборочные дисперсии – , соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные средние .

Проверяемые гипотезы:

Н 0 – генеральные средние одинаковы;

Н 1 – генеральные средние различны .

Показано, что в случае справедливости гипотезы Н 0 величина t , вычисляемая по формуле

, (3.10)

распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы n = n 1 + n 2 – 2.

Здесь где n 1 = n 1 - 1 – число степеней свободы для первой выборки; n 2 = n 2 – 1 – число степеней свободы для второй выборки.

Границы критической области находят по таблицам t -распределения или с помощью компьютерной функции СТЬЮДРАСПОБР. Распределение Стьдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю и противоположны по знаку: -t гр и t гр.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: n 1 = n 2 = 20 – 1 = 19; t = –2.51, n= 38. При a = 0,05 t гр = 2.02.

Значения критерия выходит за левую границу критической области поэтому принимаем гипотезу Н 1: генеральные средние различны . При этом среднее генеральной совокупности первой выборки меньше.