نظام إحداثيات مستطيل. نظام الإحداثيات الديكارتية: المفاهيم الأساسية والأمثلة العمل مع المستوى الإحداثي

يُعطى نظام إحداثيات المستطيل على المستوى بخطين متعامدين بشكل متبادل. تسمى الخطوط المستقيمة محاور الإحداثيات (أو محاور الإحداثيات). نقطة تقاطع هذه الخطوط تسمى الأصل ويشار إليها بالحرف O.

عادة ما يكون أحد الخطوط أفقيًا والآخر عموديًا. يتم تعيين الخط الأفقي كمحور x (أو Ox) ويسمى محور الإحداثي ، أما الخط العمودي فهو المحور y (Oy) ويسمى المحور y. يتم الإشارة إلى نظام الإحداثيات بالكامل بواسطة xOy.

تقسم النقطة O كل محور إلى نصفين ، أحدهما يعتبر موجبًا (يُشار إليه بسهم) ، والآخر يعتبر سالبًا.

يتم تعيين زوج من الأرقام لكل نقطة F من المستوى (س ؛ ص) - إحداثياتها.

يسمى الإحداثي x بالإحداثيات. إنه يساوي الثور المأخوذ بالعلامة المقابلة.

يسمى إحداثي y الإحداثي ويساوي المسافة من النقطة F إلى محور Oy (مع الإشارة المقابلة).

عادةً ما يتم قياس مسافات المحور (ولكن ليس دائمًا) بنفس وحدة الطول.

النقاط الموجودة على يمين المحور y لها خطوط موجبة. بالنسبة للنقاط التي تقع على يسار المحور الصادي ، تكون الخطوط العريضة سالبة. لأي نقطة تقع على المحور Oy ، فإن إحداثي x الخاص بها يساوي صفرًا.

تقع النقاط ذات الإحداثي الموجب فوق المحور x ، وتقع النقاط ذات الإحداثي السالب أدناه. إذا كانت نقطة تقع على المحور x ، فإن إحداثي y هو صفر.

تقوم محاور الإحداثيات بتقسيم المستوى إلى أربعة أجزاء ، والتي تسمى أرباع الإحداثيات (أو تنسيق الزوايا أو الأرباع).

1 ربع تنسيقتقع في الركن الأيمن العلوي من مستوى إحداثيات xOy. كلا إحداثيات النقاط الموجودة في الربع الأول موجبة.

يتم الانتقال من ربع إلى آخر عكس اتجاه عقارب الساعة.

الربع الثانيتقع في الزاوية اليسرى العليا. النقاط الواقعة في الربع الثاني لها إحداثيات سالبة وإحداثية موجبة.

الربع الثالثتقع في الربع السفلي الأيسر من المستوى xOy. كلا إحداثيات النقاط التي تنتمي إلى زاوية الإحداثيات III سالبة.

الرابع الإحداثية الربعهو الركن الأيمن السفلي من مستوى الإحداثيات. أي نقطة من الربع الرابع لها إحداثي أول موجب وثاني سالب.

مثال على موقع النقاط في نظام إحداثيات مستطيل:

الرياضيات علم معقد نوعًا ما. عند دراستها ، لا يتعين على المرء فقط حل الأمثلة والمشكلات ، ولكن أيضًا العمل مع شخصيات مختلفة ، وحتى طائرات. أحد أكثر الأنظمة استخدامًا في الرياضيات هو نظام الإحداثيات على المستوى. تم تعليم الأطفال كيفية التعامل معها بشكل صحيح لأكثر من عام. لذلك ، من المهم معرفة ماهيتها وكيفية التعامل معها بشكل صحيح.

دعنا نتعرف على ماهية هذا النظام ، وما هي الإجراءات التي يمكنك القيام بها باستخدامه ، وكذلك اكتشاف خصائصه وميزاته الرئيسية.

تعريف المفهوم

المستوى الإحداثي هو المستوى الذي يتم تعريف نظام إحداثيات معين عليه. يتم تعريف هذا المستوى من خلال خطين مستقيمين يتقاطعان بزاوية قائمة. نقطة تقاطع هذه الخطوط هي أصل الإحداثيات. يتم إعطاء كل نقطة على مستوى الإحداثيات بواسطة زوج من الأرقام ، والتي تسمى إحداثيات.

في دورة الرياضيات المدرسية ، يجب على الطلاب العمل بشكل وثيق مع نظام الإحداثيات - بناء الأشكال والنقاط عليها ، وتحديد المستوى الذي ينتمي إليه هذا التنسيق أو ذاك ، وكذلك تحديد إحداثيات النقطة وكتابتها أو تسميتها. لذلك ، دعنا نتحدث بمزيد من التفصيل عن جميع ميزات الإحداثيات. لكن أولاً ، دعنا نتطرق إلى تاريخ الإنشاء ، ثم سنتحدث عن كيفية العمل على المستوى الإحداثي.

مرجع التاريخ

كانت الأفكار حول إنشاء نظام إحداثيات في أيام بطليموس. حتى في ذلك الوقت ، كان علماء الفلك والرياضيات يفكرون في كيفية تعلم كيفية تعيين موضع نقطة على مستوى ما. لسوء الحظ ، في ذلك الوقت لم يكن هناك نظام إحداثيات معروف لنا ، وكان على العلماء استخدام أنظمة أخرى.

في البداية ، قاموا بتعيين النقاط عن طريق تحديد خطوط الطول والعرض. لفترة طويلة كانت واحدة من أكثر الطرق استخدامًا لرسم خرائط لهذه المعلومات أو تلك. ولكن في عام 1637 ، أنشأ رينيه ديكارت نظام الإحداثيات الخاص به ، والذي سمي فيما بعد باسم "الديكارتية".

بالفعل في نهاية القرن السابع عشر. أصبح مفهوم "المستوى المنسق" مستخدمًا على نطاق واسع في عالم الرياضيات. على الرغم من مرور عدة قرون على إنشاء هذا النظام ، إلا أنه لا يزال يستخدم على نطاق واسع في الرياضيات وحتى في الحياة.

تنسيق أمثلة الطائرة

قبل الحديث عن النظرية ، سنقدم بعض الأمثلة التوضيحية للمستوى الإحداثي حتى تتمكن من تخيله. يستخدم نظام الإحداثيات بشكل أساسي في لعبة الشطرنج. على السبورة ، كل مربع له إحداثياته ​​الخاصة - تنسيق حرف واحد ، والثاني - رقمي. بمساعدتها ، يمكنك تحديد موضع قطعة معينة على السبورة.

والمثال الثاني الأكثر وضوحا هو اللعبة المحبوبة "البارجة". تذكر كيف تقوم ، عند اللعب ، بتسمية إحداثيات ، على سبيل المثال ، B3 ، مما يشير إلى المكان الذي تستهدفه بالضبط. في نفس الوقت ، عند وضع السفن ، تقوم بتعيين النقاط على مستوى الإحداثيات.

يستخدم نظام الإحداثيات هذا على نطاق واسع ليس فقط في الرياضيات والألعاب المنطقية ، ولكن أيضًا في الشؤون العسكرية وعلم الفلك والفيزياء والعديد من العلوم الأخرى.

تنسيق المحاور

كما ذكرنا سابقًا ، يتم تمييز محورين في نظام الإحداثيات. دعنا نتحدث قليلاً عنهم ، حيث أنهم ذوو أهمية كبيرة.

المحور الأول - الإحداثيات - أفقي. يشار إليه باسم ( ثور). المحور الثاني هو الإحداثي ، والذي يمر عموديًا عبر النقطة المرجعية ويشار إليه على أنه ( أوي). هذان المحاوران يشكلان نظام الإحداثيات ، ويقسم المستوى إلى أربعة أرباع. يقع الأصل عند نقطة تقاطع هذين المحورين ويأخذ القيمة 0 . فقط إذا كان المستوى يتكون من محورين يتقاطعان بشكل عمودي ولهما نقطة مرجعية ، فهو مستوى إحداثي.

لاحظ أيضًا أن لكل محور اتجاهه الخاص. عادة ، عند إنشاء نظام إحداثيات ، من المعتاد الإشارة إلى اتجاه المحور في شكل سهم. بالإضافة إلى ذلك ، عند إنشاء مستوى الإحداثيات ، يتم توقيع كل محور.

أرباع

لنفترض الآن بضع كلمات عن مفهوم مثل أرباع المستوى الإحداثي. الطائرة مقسمة على محورين إلى أربعة أرباع. كل واحد منهم لديه رقمه الخاص ، في حين أن ترقيم الطائرات يكون عكس اتجاه عقارب الساعة.

كل حي له خصائصه الخاصة. لذلك ، في الربع الأول ، تكون الإحداثي والإحداثيات موجبة ، وفي الربع الثاني ، يكون الإحداثي سالبًا ، والإحداثيات موجبة ، وفي الربع الثالث ، يكون كل من الإحداثي والإحداثي سالبًا ، وفي الربع الرابع يكون الإحداثي هو موجب ، والإحداثيات سالبة.

من خلال تذكر هذه الميزات ، يمكنك بسهولة تحديد الربع الذي تنتمي إليه نقطة معينة. بالإضافة إلى ذلك ، قد تكون هذه المعلومات مفيدة لك إذا كان عليك إجراء حسابات باستخدام النظام الديكارتي.

العمل مع مستوى الإحداثيات

عندما اكتشفنا مفهوم الطائرة وتحدثنا عن أرباعها ، يمكننا الانتقال إلى مشكلة مثل العمل مع هذا النظام ، وكذلك الحديث عن كيفية وضع النقاط وإحداثيات الأرقام عليها. على مستوى الإحداثيات ، هذا ليس بالأمر الصعب الذي قد يبدو للوهلة الأولى.

بادئ ذي بدء ، تم بناء النظام نفسه ، ويتم تطبيق جميع التعيينات المهمة عليه. ثم هناك عمل مباشر بالنقاط أو الأرقام. في هذه الحالة ، حتى عند إنشاء الأشكال ، يتم تطبيق النقاط أولاً على المستوى ، ثم يتم رسم الأشكال بالفعل.

قواعد بناء الطائرة

إذا قررت البدء في تعليم الأشكال والنقاط على الورق ، فستحتاج إلى مستوى إحداثيات. إحداثيات النقاط مرسوم عليها. من أجل بناء مستوى إحداثيات ، ما عليك سوى مسطرة وقلم رصاص أو قلم رصاص. أولاً ، يتم رسم الإحداثي الأفقي ، ثم الإحداثي العمودي. من المهم أن تتذكر أن المحاور تتقاطع بزوايا قائمة.

العنصر الإلزامي التالي هو تعليم. يتم تمييز أجزاء الوحدات وتوقيعها على كل من المحاور في كلا الاتجاهين. يتم ذلك حتى تتمكن من العمل مع الطائرة بأقصى قدر من الراحة.

بمناسبة نقطة

الآن دعنا نتحدث عن كيفية رسم إحداثيات النقاط على المستوى الإحداثي. هذه هي الأساسيات التي تحتاج إلى معرفتها لوضع مجموعة متنوعة من الأشكال على المستوى بنجاح ، وحتى تعليم المعادلات.

عند بناء النقاط ، يجب أن يتذكر المرء كيف تم تسجيل إحداثياتها بشكل صحيح. لذلك ، عادةً ما يتم كتابة رقمين بين قوسين عند تحديد نقطة. يشير الرقم الأول إلى تنسيق النقطة على طول محور الإحداثي ، والثاني - على طول المحور الإحداثي.

يجب بناء النقطة بهذه الطريقة. ضع علامة على المحور أولاً ثورنقطة معينة ، ثم حدد نقطة على المحور أوي. بعد ذلك ، ارسم خطوطًا تخيلية من هذه التعيينات وابحث عن مكان تقاطعها - ستكون هذه هي النقطة المحددة.

كل ما عليك فعله هو وضع علامة عليها وتوقيعها. كما ترى ، كل شيء بسيط للغاية ولا يتطلب مهارات خاصة.

وضع الشكل

الآن دعنا ننتقل إلى سؤال مثل بناء الأشكال على المستوى الإحداثي. من أجل بناء أي شكل على مستوى الإحداثيات ، يجب أن تعرف كيفية وضع النقاط عليه. إذا كنت تعرف كيفية القيام بذلك ، فإن وضع الشكل على متن طائرة ليس بالأمر الصعب.

بادئ ذي بدء ، ستحتاج إلى إحداثيات نقاط الشكل. سنقوم بتطبيق تلك التي اخترتها على نظام الإحداثيات الخاص بنا ، لنفكر في رسم مستطيل ومثلث ودائرة.

لنبدأ بمستطيل. تطبيقه سهل جدا. أولاً ، يتم تطبيق أربع نقاط على المستوى ، مما يشير إلى زوايا المستطيل. ثم يتم توصيل جميع النقاط بالتسلسل مع بعضها البعض.

رسم المثلث لا يختلف. الشيء الوحيد هو أنه يحتوي على ثلاث زوايا ، مما يعني أنه يتم تطبيق ثلاث نقاط على المستوى ، مما يدل على رؤوسه.

فيما يتعلق بالدائرة ، هنا يجب أن تعرف إحداثيات نقطتين. النقطة الأولى هي مركز الدائرة ، والثانية هي النقطة التي تدل على نصف قطرها. يتم رسم هاتين النقطتين على متن طائرة. ثم يتم أخذ بوصلة ، يتم قياس المسافة بين نقطتين. يتم وضع نقطة البوصلة عند نقطة تدل على المركز ، ويتم وصف الدائرة.

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد هنا ، الشيء الرئيسي هو أن هناك دائمًا مسطرة وبوصلة في متناول اليد.

الآن أنت تعرف كيفية رسم إحداثيات الشكل. على مستوى الإحداثيات ، ليس من الصعب القيام بذلك ، كما قد يبدو للوهلة الأولى.

الاستنتاجات

لذلك ، فقد اعتبرنا معك أحد أكثر المفاهيم الأساسية إثارة للاهتمام في الرياضيات والتي يجب على كل طالب التعامل معها.

لقد اكتشفنا أن المستوى الإحداثي هو المستوى الذي يتكون من تقاطع محورين. بمساعدتها ، يمكنك ضبط إحداثيات النقاط ووضع الأشكال عليها. تنقسم الطائرة إلى أرباع ، لكل منها خصائصه الخاصة.

المهارة الرئيسية التي يجب تطويرها عند العمل مع مستوى الإحداثيات هي القدرة على رسم نقاط معينة عليه بشكل صحيح. للقيام بذلك ، يجب أن تعرف الموقع الصحيح للمحاور ، وخصائص الأرباع ، وكذلك القواعد التي يتم من خلالها تعيين إحداثيات النقاط.

نأمل أن تكون المعلومات التي قدمناها سهلة الوصول ومفهومة ، وأن تكون مفيدة لك أيضًا وساعدت على فهم هذا الموضوع بشكل أفضل.

• يتقاطع خطان متعامدان بشكل متبادل عند النقطة O - الأصل ، الشكل نظام إحداثيات مستطيل، ويسمى أيضًا نظام الإحداثيات الديكارتية.
• يسمى المستوى الذي تم اختيار نظام الإحداثيات عليه خطة تنسيق.تسمى خطوط الإحداثيات تنسيق المحاور. أفقي - محور الإحداثيات (Ox) ، عمودي - المحور الإحداثي (Oy).
• تقسم محاور الإحداثيات مستوى الإحداثيات إلى أربعة أجزاء - أرباع. عادة ما يتم حساب الأرقام التسلسلية للأرباع في عكس اتجاه عقارب الساعة.
• يتم إعطاء أي نقطة في مستوى الإحداثيات من خلال إحداثياتها - الاحداثيات الاحداثية وتنسيق. على سبيل المثال، أ (3 ؛ 4). قرأوا: النقطة A ذات الإحداثيين 3 و 4. هنا 3 هي الإحداثي ، 4 هي الإحداثي.

I. بناء النقطة أ (3 ؛ 4).

الإحداثي السيني 3 يوضح أنه من الأصل - يجب تأجيل النقطة O إلى اليمين 3 قطعة واحدة ، ثم توضع جانبا 4 قطعة واحدة ووضع نقطة.

هذا هو المقصد أ (3 ؛ 4).

بناء النقطة B (-2 ؛ 5).

جانبا من الصفر إلى اليسار 2 قطع واحد ثم ما يصل 5 تخفيضات مفردة.

نضع حدا الخامس.

عادة ما تؤخذ كقطعة واحدة 1 خلية.

ثانيًا. بناء النقاط في المستوى الإحداثي xOy:

أ (-3 ؛ 1) ؛ب (-1 ؛ -2) ؛

ج (-2: 4) ؛د (2 ؛ 3) ؛

ف (6: 4) ؛ك (4 ؛ 0)

ثالثا. حدد إحداثيات النقاط المكونة: أ ، ب ، ج ، د ، ف ، ك.

أ (-4 ؛ 3) ؛في 20) ؛

ج (3 ؛ 4) ؛د (6 ؛ 5) ؛

ف (0 ؛ -3) ؛ك (5 ؛ -2).

يسمى النظام المرتب من محورين أو ثلاثة محاور متقاطعة متعامدة مع بعضها البعض مع أصل مشترك (أصل) ووحدة طول مشتركة نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل .

نظام الإحداثيات الديكارتي العام (نظام إحداثيات أفيني) قد لا تشمل بالضرورة محاور عمودية. تكريما لعالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت (1596-1662) ، تم تسمية نظام الإحداثيات هذا حيث يتم حساب وحدة طول مشتركة على جميع المحاور وتكون المحاور مستقيمة.

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى له محورين نظام إحداثيات ديكارتية مستطيل الشكل في الفضاء - ثلاثة محاور. يتم تحديد كل نقطة على مستوى أو في الفضاء من خلال مجموعة مرتبة من الإحداثيات - أرقام وفقًا لطول الوحدة في نظام الإحداثيات.

لاحظ أنه ، كما يلي من التعريف ، يوجد نظام إحداثيات ديكارت على خط مستقيم ، أي في بُعد واحد. يعد إدخال الإحداثيات الديكارتية على خط مستقيم إحدى الطرق التي يتم بها تعيين رقم حقيقي محدد جيدًا لأي نقطة على خط مستقيم ، أي إحداثيات.

كانت طريقة الإحداثيات ، التي نشأت في أعمال رينيه ديكارت ، بمثابة إعادة هيكلة ثورية لجميع الرياضيات. أصبح من الممكن تفسير المعادلات الجبرية (أو عدم المساواة) في شكل صور هندسية (رسوم بيانية) ، وعلى العكس من ذلك ، البحث عن حل للمسائل الهندسية باستخدام الصيغ التحليلية وأنظمة المعادلات. نعم ، عدم المساواة ض < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyوتقع فوق هذا المستوى بمقدار 3 وحدات.

بمساعدة نظام الإحداثيات الديكارتية ، فإن انتماء نقطة إلى منحنى معين يتوافق مع حقيقة أن الأرقام xو ذإرضاء بعض المعادلات. إذن ، إحداثيات نقطة دائرة متمركزة عند نقطة معينة ( أ; ب) تفي بالمعادلة (x - أ)² + ( ذ - ب)² = ص² .

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى

محورين متعامدين على مستوى له أصل مشترك ونفس وحدة القياس نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى . أحد هذه المحاور يسمى المحور ثور، أو المحور السيني ، والآخر - المحور أوي، أو المحور ص . تسمى هذه المحاور أيضًا محاور الإحداثيات. للدلالة به مxو مذعلى التوالي إسقاط نقطة اعتباطية معلى المحور ثورو أوي. كيف تحصل على التوقعات؟ تمر عبر النقطة م ثور. يتقاطع هذا الخط مع المحور ثورفي هذه النقطة مx. تمر عبر النقطة مخط مستقيم عمودي على المحور أوي. يتقاطع هذا الخط مع المحور أويفي هذه النقطة مذ. هذا هو مبين في الشكل أدناه.

xو ذنقاط مسوف ندعو على التوالي مقادير المقاطع الموجهة أومxو أومذ. يتم حساب قيم هذه المقاطع الاتجاهية على التوالي x = x0 - 0 و ذ = ذ0 - 0 . الإحداثيات الديكارتية xو ذنقاط م الإحداثي السيني و تنسيق . حقيقة أن النقطة مإحداثيات xو ذ، على النحو التالي: م(x, ذ) .

محاور الإحداثيات تقسم الطائرة إلى أربعة رباعي ، التي يظهر ترقيمها في الشكل أدناه. يشير أيضًا إلى ترتيب العلامات لإحداثيات النقاط ، اعتمادًا على موقعها في ربع دائرة أو آخر.

بالإضافة إلى الإحداثيات المستطيلة الديكارتية في المستوى ، غالبًا ما يتم أيضًا النظر في نظام الإحداثيات القطبية. حول طريقة الانتقال من نظام إحداثيات إلى آخر - في الدرس نظام الإحداثيات القطبية .

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل في الفضاء

يتم تقديم الإحداثيات الديكارتية في الفضاء في تشابه كامل مع الإحداثيات الديكارتية على متن طائرة.

ثلاثة محاور متعامدة بشكل متبادل في الفضاء (محاور تنسيق) بأصل مشترك اونفس شكل وحدة المقياس نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي في الفضاء .

أحد هذه المحاور يسمى المحور ثور، أو المحور السيني ، والآخر - المحور أوي، أو المحور ص الثالث - المحور أوز، أو تطبيق المحور . يترك مx, مذ مض- إسقاطات نقطة تعسفية ممسافات على المحور ثور , أويو أوزعلى التوالى.

تمر عبر النقطة م ثورثورفي هذه النقطة مx. تمر عبر النقطة ممستوى عمودي على المحور أوي. هذا المستوى يتقاطع مع المحور أويفي هذه النقطة مذ. تمر عبر النقطة ممستوى عمودي على المحور أوز. هذا المستوى يتقاطع مع المحور أوزفي هذه النقطة مض.

إحداثيات مستطيلة ديكارتية x , ذو ضنقاط مسوف ندعو على التوالي مقادير المقاطع الموجهة أومx, أومذو أومض. يتم حساب قيم هذه المقاطع الاتجاهية على التوالي x = x0 - 0 , ذ = ذ0 - 0 و ض = ض0 - 0 .

الإحداثيات الديكارتية x , ذو ضنقاط موفقًا لذلك الإحداثي السيني , تنسيق و زين .

عند أخذها في أزواج ، توجد محاور الإحداثيات في مستويات الإحداثيات xOy , yOzو zOx .

مشاكل حول النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية

مثال 1

أ(2; -3) ;

ب(3; -1) ;

ج(-5; 1) .

أوجد إحداثيات إسقاط هذه النقاط على المحور x.

المحلول. كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، فإن إسقاط نقطة على المحور السيني يقع على المحور السيني نفسه ، أي المحور ثور، وبالتالي لها إحداثية تساوي حد السيني للنقطة نفسها ، وإحداثية (تنسيق على المحور أوي، الذي يتقاطع فيه المحور x عند النقطة 0) ، يساوي صفرًا. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لهذه النقاط على المحور x:

أس (2 ؛ 0);

ب× (3 ؛ 0);

جس (-5 ؛ 0).

مثال 2يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-3; 2) ;

ب(-5; 1) ;

ج(3; -2) .

أوجد إحداثيات إسقاطات هذه النقاط على المحور ص.

المحلول. كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، فإن إسقاط نقطة على المحور ص يقع على المحور الصادي نفسه ، أي المحور أوي، وبالتالي يحتوي على إحداثيات مساوية لإحداثيات النقطة نفسها ، والإحداثيات (الإحداثي على المحور ثور، الذي يتقاطع فيه المحور y عند النقطة 0) ، يساوي صفرًا. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لهذه النقاط على المحور y:

أص (0 ؛ 2);

بص (0 ؛ 1);

جص (0 ؛ -2).

مثال 3يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(2; 3) ;

ب(-3; 2) ;

ج(-1; -1) .

ثور .

ثور ثور ثور، سيكون لها نفس الحد الفاصل للنقطة المعينة ، والإحداثيات تساوي في القيمة المطلقة لإحداثيات النقطة المعينة ، والعكس في الإشارة إليها. إذن نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط حول المحور ثور :

أ"(2; -3) ;

ب"(-3; -2) ;

ج "(-1; 1) .

قم بحل مشاكل نظام الإحداثيات الديكارتية بنفسك ، ثم انظر إلى الحلول

مثال 4تحديد الأرباع (الأرباع ، الشكل مع الأرباع - في نهاية الفقرة "نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى") يمكن تحديد موقع النقطة م(x; ذ) ، إذا

1) س ص > 0 ;

2) س ص < 0 ;

3) x − ذ = 0 ;

4) x + ذ = 0 ;

5) x + ذ > 0 ;

6) x + ذ < 0 ;

7) x − ذ > 0 ;

8) x − ذ < 0 .

مثال 5يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-2; 5) ;

ب(3; -5) ;

ج(أ; ب) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط حول المحور أوي .

نواصل حل المشاكل معا

مثال 6يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-1; 2) ;

ب(3; -1) ;

ج(-2; -2) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط حول المحور أوي .

المحلول. استدارة 180 درجة حول المحور أويقطعة خطية موجهة من محور أويحتى هذه النقطة. في الشكل ، حيث تتم الإشارة إلى أرباع المستوى ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور أوي، سيكون لها نفس الإحداثي مثل النقطة المعينة ، وقيمة الإحداثي السيني تساوي القيمة المطلقة للإحداثية للنقطة المعينة ، والعكس في الإشارة إليها. إذن نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط حول المحور أوي :

أ"(1; 2) ;

ب"(-3; -1) ;

ج "(2; -2) .

مثال 7يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(3; 3) ;

ب(2; -4) ;

ج(-2; 1) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط بالنسبة إلى الأصل.

المحلول. نحن ندير 180 درجة حول أصل المقطع الموجه من الأصل إلى النقطة المعطاة. في الشكل ، حيث تتم الإشارة إلى أرباع المستوى ، نرى أن النقطة المتناظرة مع نقطة معينة فيما يتعلق بأصل الإحداثيات سيكون لها إحداثي وإحداثية متساوية في القيمة المطلقة للإحداثيات وتنسيق النقطة المعطاة ، ولكن العكس في تسجيل الدخول لهم. لذلك نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط بالنسبة إلى الأصل:

أ"(-3; -3) ;

ب"(-2; 4) ;

ج(2; -1) .

المثال 8

أ(4; 3; 5) ;

ب(-3; 2; 1) ;

ج(2; -3; 0) .

ابحث عن إحداثيات إسقاطات هذه النقاط:

1) على متن طائرة أوكسي ;

2) إلى الطائرة Oxz ;

3) إلى الطائرة عوز ;

4) على المحور السيني ؛

5) على المحور ص ؛

6) على محور زين.

1) إسقاط نقطة على مستو أوكسيتقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي لها إحداثية وإحداثية مساوية للإحداثيات والإحداثيات للنقطة المعينة ، وتطبيق يساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط أوكسي :

أس ص (4 ؛ 3 ؛ 0);

بس ص (-3 ؛ 2 ؛ 0);

جس ص (2 ؛ -3 ؛ 0).

2) إسقاط نقطة على مستو Oxzيقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي له حدودي ويطبق مساويًا لحدود الحد الأقصى ويطبق على النقطة المعينة ، والإحداثيات التي تساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط Oxz :

أxz (4 ؛ 0 ؛ 5);

بxz (-3 ؛ 0 ؛ 1);

جxz (2 ؛ 0 ؛ 0).

3) إسقاط نقطة على مستو عوزتقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي لها إحداثية وتطبيق يساوي الإحداثي والتطبيق لنقطة معينة ، وقيمة الإحداثيّة تساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط عوز :

أyz (0 ؛ 3 ؛ 5);

بyz (0 ؛ 2 ؛ 1);

جyz (0 ؛ -3 ؛ 0).

4) كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، يقع إسقاط نقطة على المحور السيني على المحور السيني نفسه ، أي المحور ثور، وبالتالي يكون له حدودي يساوي حد السيني للنقطة نفسها ، والإحداثيات وتطبيق الإسقاط تساوي الصفر (لأن المحاور التنسيقية والتطبيقية تتقاطع مع الإحداثي السيني عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على المحور x:

أ× (4 ؛ 0 ؛ 0);

بس (-3 ؛ 0 ؛ 0);

جس (2 ؛ 0 ؛ 0).

5) يقع إسقاط نقطة على المحور الصادي على المحور الصادي نفسه ، أي المحور أوي، وبالتالي يحتوي على إحداثيات مساوية لإحداثيات النقطة نفسها ، ويكون الحد الأقصى للإسقاط وتطبيقه مساويًا للصفر (نظرًا لأن المحور الاحداثي والمحاور المطبقة يتقاطعان مع المحور الإحداثي عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على المحور الصادي:

أص (0 ؛ 3 ؛ 0);

بص (0 ؛ 2 ؛ 0);

جص (0 ؛ -3 ؛ 0).

6) يقع إسقاط نقطة على المحور المطبق على المحور المطبق نفسه ، أي المحور أوز، وبالتالي يحتوي على تطبيق مساوٍ لتطبيق النقطة نفسها ، ويكون الإحداثي والإحداثي للإسقاط مساوياً للصفر (نظرًا لأن المحورين الإحداثي والإحداثيات يتقاطعان مع المحور المطبق عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على محور التطبيق:

أض (0 ؛ 0 ؛ 5);

بض (0 ؛ 0 ؛ 1);

جض (0 ؛ 0 ؛ 0).

المثال 9يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء

أ(2; 3; 1) ;

ب(5; -3; 2) ;

ج(-3; 2; -1) .

ابحث عن إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط فيما يتعلق بـ:

1) الطائرة أوكسي ;

2) الطائرة Oxz ;

3) الطائرة عوز ;

4) المحور السيني ؛

5) المحور ص.

6) محور زين.

7) أصل الإحداثيات.

1) "قدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور أوكسي أوكسي، سيكون لها إحداثي وإحداثية مساوية للإحداثية والإحداثية للنقطة المعينة ، وتطبيق مساوٍ من حيث الحجم لتطبيق النقطة المعينة ، ولكن العكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى أوكسي :

أ"(2; 3; -1) ;

ب"(5; -3; -2) ;

ج "(-3; 2; 1) .

2) "تقدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور Oxzلنفس المسافة. وفقًا للشكل الذي يعرض مساحة الإحداثيات ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور Oxz، سيكون لها إحداثي وتطبق مساويًا للإحداثيات وتطبق النقطة المعينة ، وإحداثية مساوية في الحجم لإحداثيات النقطة المعينة ، ولكن في الاتجاه المعاكس لها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى Oxz :

أ"(2; -3; 1) ;

ب"(5; 3; 2) ;

ج "(-3; -2; -1) .

3) "تقدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور عوزلنفس المسافة. وفقًا للشكل الذي يعرض مساحة الإحداثيات ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور عوز، سيكون لها إحداثي وتطبيق مساوٍ للإحداثيات وتطبيق من النقطة المعينة ، وقيمة الإحداثي تساوي في الحجم حدود النقطة المعينة ، ولكن العكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى عوز :

أ"(-2; 3; 1) ;

ب"(-5; -3; 2) ;

ج "(3; 2; -1) .

عن طريق القياس مع النقاط المتماثلة على المستوى والنقاط في الفضاء المتماثلة مع البيانات فيما يتعلق بالمستويات ، نلاحظ أنه في حالة التناظر حول بعض محاور نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء ، فإن الإحداثيات على المحور الذي تم تعيين التناظر حوله ستحتفظ بعلامتها ، وستكون الإحداثيات الموجودة على المحورين الآخرين هي نفسها في القيمة المطلقة لإحداثيات النقطة المعينة ، ولكن عكسها في الإشارة.

4) سيحتفظ الإحداثي السيني بعلامته ، بينما يتغير الإحداثي والتطبيق. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور x:

أ"(2; -3; -1) ;

ب"(5; 3; -2) ;

ج "(-3; -2; 1) .

5) سيحتفظ الإحداثي بعلامته ، بينما سيتغير الإحداثي والإحداثي. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور y:

أ"(-2; 3; -1) ;

ب"(-5; -3; -2) ;

ج "(3; 2; 1) .

6) سيحتفظ الطالب بعلامته ، وسيغير الإحداثي والإحداثي اللافتات. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور المطبق:

أ"(-2; -3; 1) ;

ب"(-5; 3; 2) ;

ج "(3; -2; -1) .

7) عن طريق القياس مع التناظر في حالة النقاط على المستوى ، في حالة التناظر حول أصل الإحداثيات ، فإن جميع إحداثيات نقطة متماثلة مع نقطة معينة ستكون مساوية في القيمة المطلقة لإحداثيات نقطة معينة ، ولكن العكس في تسجيل الدخول لهم. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات بالنسبة إلى الأصل.

دعونا نعطي معادلة بمتغيرين F ​​(x؛ y). لقد تعلمت بالفعل كيفية حل هذه المعادلات تحليليًا. يمكن أيضًا تمثيل مجموعة حلول هذه المعادلات في شكل رسم بياني.

الرسم البياني للمعادلة F (x ؛ y) هو مجموعة نقاط المستوى الإحداثي xOy التي تتوافق إحداثياتها مع المعادلة.

لرسم معادلة ذات متغيرين ، عبر أولاً عن المتغير y بدلالة متغير x في المعادلة.

بالتأكيد أنت تعرف بالفعل كيفية إنشاء رسوم بيانية مختلفة من المعادلات بمتغيرين: ax + b \ u003d c خط مستقيم ، yx \ u003d k عبارة عن قطع زائد ، (x - a) 2 + (y - b) 2 \ u003d R 2 دائرة نصف قطرها R ، ومركزها عند النقطة O (أ ؛ ب).

مثال 1

ارسم المعادلة × 2-9y 2 = 0.

المحلول.

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة.

(س - 3 ص) (س + 3 ص) = 0 ، أي ص = س / 3 أو ص =-س / 3.

الجواب: الشكل 1.

يتم احتلال مكان خاص من خلال تخصيص الأرقام على المستوى بواسطة المعادلات التي تحتوي على علامة القيمة المطلقة ، والتي سنتناولها بالتفصيل. ضع في اعتبارك مراحل رسم المعادلات بالصيغة | y | = f (x) و | y | = | و (س) |.

المعادلة الأولى تعادل النظام

(و (س) ≥ 0 ،
(y = f (x) أو y = -f (x).

أي أن رسمها البياني يتكون من رسوم بيانية لوظيفتين: y = f (x) و y = -f (x) ، حيث f (x) ≥ 0.

لرسم الرسم البياني للمعادلة الثانية ، تم رسم الرسوم البيانية لوظيفتين: y = f (x) و y = -f (x).

مثال 2

ارسم المعادلة | y | = 2 + س.

المحلول.

المعادلة المعطاة تعادل النظام

(س + 2 ≥ 0 ،
(y = x + 2 أو y = -x - 2.

نبني مجموعة من النقاط.

الجواب: الشكل 2.

مثال 3

ارسم المعادلة | y - x | = 1.

المحلول.

إذا كانت y ≥ x ، فإن y = x + 1 ، إذا كانت y ≤ x ، ثم y = x - 1.

الجواب: الشكل 3.

عند إنشاء الرسوم البيانية للمعادلات التي تحتوي على متغير تحت علامة الوحدة ، فمن الملائم ومن المنطقي استخدامها طريقة المنطقة، استنادًا إلى تقسيم مستوى الإحداثيات إلى أجزاء يحتفظ فيها كل تعبير وحدة فرعية بعلامته.

مثال 4

ارسم المعادلة x + | x | + ص + | ص | = 2.

المحلول.

في هذا المثال ، تعتمد علامة كل تعبير وحدة فرعية على ربع الإحداثيات.

1) في أول ربع إحداثي x ≥ 0 و y 0. بعد توسيع الوحدة ، ستبدو المعادلة المعطاة كما يلي:

2 س + 2 ص = 2 ، وبعد التبسيط س + ص = 1.

2) في الربع الثاني حيث س< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) في الربع الثالث x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) في الربع الرابع ، لـ x ≥ 0 و y< 0 получим, что x = 1.

سنقوم برسم هذه المعادلة في أرباع.

الجواب: الشكل 4.

مثال 5

ارسم مجموعة من النقاط التي تحقق إحداثياتها المساواة | x - 1 | + | ص - 1 | = 1.

المحلول.

قسّمت أصفار تعبيرات الوحدة الفرعية x = 1 و y = 1 مستوى الإحداثي إلى أربع مناطق. دعونا نقسم الوحدات حسب المنطقة. دعونا نضعها في شكل جدول.

منطقة	علامة تعبير الوحدة الفرعية	المعادلة الناتجة بعد توسيع الوحدة
أنا	x ≥ 1 و y ≥ 1	س + ص = 3
ثانيًا	x< 1 и y ≥ 1	-x + ص = 1
ثالثا	x< 1 и y < 1	س + ص = 1
رابعا	x ≥ 1 و y< 1	س - ص = 1

الجواب: الشكل 5.

على مستوى الإحداثيات ، يمكن تحديد الأشكال و عدم المساواة.

الرسم البياني لعدم المساواةذات متغيرين هي مجموعة جميع نقاط مستوى الإحداثيات التي تمثل إحداثياتها حلولًا لهذه المتباينة.

يعتبر خوارزمية لبناء نموذج لحل المتباينة بمتغيرين:

1. اكتب المعادلة المقابلة للمتباينة.
2. ارسم المعادلة من الخطوة 1.
3. اختر نقطة عشوائية في أحد أنصاف المستويات. تحقق مما إذا كانت إحداثيات النقطة المحددة تحقق المتباينة المحددة.
4. ارسم مجموعة حلول المتباينة بيانياً.

ضع في اعتبارك ، أولاً وقبل كل شيء ، عدم المساواة ax + bx + c> 0. تحدد المعادلة ax + bx + c = 0 خطًا مستقيمًا يقسم المستوى إلى نصفين. في كل منها ، الوظيفة f (x) = ax + bx + c هي حفظ الإشارات. لتحديد هذه العلامة ، يكفي أخذ أي نقطة تنتمي إلى نصف المستوى وحساب قيمة الوظيفة في هذه المرحلة. إذا تزامنت إشارة الدالة مع علامة المتباينة ، فسيكون نصف المستوى هذا هو حل المتباينة.

ضع في اعتبارك أمثلة للحلول الرسومية لأكثر المتباينات شيوعًا بمتغيرين.

1) الفأس + ب س + ج ≥ 0. الشكل 6.

2) | x | ≤ أ ، أ> 0. الشكل 7.

3) س 2 + ص 2 ≤ أ ، أ> 0. الشكل 8.

4) ص ≥ س 2. الشكل 9

5) س ص ≤ 1. الشكل 10.

إذا كانت لديك أسئلة أو تريد التدرب على نمذجة مجموعات جميع حلول المتباينات ذات المتغيرين على مستوى النموذج باستخدام النمذجة الرياضية ، فيمكنك درس مجاني مدته 25 دقيقة مع مدرس عبر الإنترنتبعد . لمزيد من العمل مع المعلم ، ستتاح لك الفرصة لاختيار الشخص الذي يناسبك بشكل أفضل.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيفية رسم الشكل على مستوى إحداثيات؟
للحصول على مساعدة من مدرس -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب ارتباط بالمصدر.