الأعداد الطبيعية (N). الأعداد الأولية والمركبة. المقسوم عليه ، متعدد. القاسم المشترك الأكبر ، المضاعف المشترك الأصغر. "عدد صحيح. علامات القسمة. طرح GCD و LCM. minuend - المطروح = الفرق

العدد الطبيعي هو أحد المفاهيم الأساسية ، وربما أحد المفاهيم الأولى للرياضيات.

مجموعة الأعداد الطبيعية = (1 ، 2 ، 3 ...). أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. يتم تعريف عمليات الجمع والضرب والطرح والقسمة على الأعداد الطبيعية. نتيجة الجمع والضرب والطرح من عددين طبيعيين هو عدد صحيح. ويمكن أن تكون نتيجة قسمة عددين طبيعيين إما عددًا صحيحًا أو عددًا كسريًا.

على سبيل المثال: 20: 4 = 5 - نتيجة القسمة هي عدد صحيح.
20: 3 \ u003d 6 2/3 - نتيجة القسمة هي رقم كسري.
يُقال أن العدد الطبيعي n يقبل القسمة على العدد الطبيعي m إذا كانت نتيجة القسمة عددًا صحيحًا. في هذه الحالة ، يسمى الرقم م قاسم الرقم ن ، والرقم ن يسمى مضاعف الرقم م.

في المثال الأول ، يمكن القسمة 20 على 4 ، و 4 مقسومًا على 20 ، و 20 من مضاعفات 4.
في المثال الثاني ، الرقم 20 غير قابل للقسمة على الرقم 3 ، لذلك لا يمكن أن يكون هناك سؤال عن القواسم والمضاعفات.

يسمى الرقم n عددًا أوليًا إذا لم يكن له قواسم أخرى غير نفسه وواحد. أمثلة على الأعداد الأولية: 2 ، 7 ، 11 ، 97 ، إلخ.
يسمى الرقم n مركبًا إذا كان يحتوي على قواسم أخرى غير نفسه وواحد.

يمكن أن يتحلل أي عدد طبيعي إلى منتج من الأعداد الأولية ، وهذا التحلل فريد من نوعه ، حتى ترتيب العوامل. على سبيل المثال: 36 = 2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - تختلف كل هذه التوسعات فقط في ترتيب العوامل.

القاسم المشترك الأكبر لعددين m و n هو أكبر عدد طبيعي مقسوم على كل من m ومقسوم عليه n. على سبيل المثال ، للعددين 34 و 85 ، القاسم المشترك الأكبر هو 17.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين m و n هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من m و n. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى العددين 15 و 4 ، سيكون المضاعف المشترك الأصغر هو 60.

العدد الطبيعي القابل للقسمة على عددين أوليين يمكن أيضًا القسمة على حاصل ضربهما. على سبيل المثال ، إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 2 و 3 ، فإنه أيضًا قابل للقسمة على 6 = 23 ، إذا كان على 11 وعلى 7 ، ثم على 77.

مثال: الرقم 6930 قابل للقسمة على 11 - 6930: 11 \ u003d 630 ، وقابل للقسمة على 7 - 6930: 7 \ u003d 990. يمكننا أن نقول بأمان أن هذا الرقم قابل للقسمة أيضًا على 77. دعنا نتحقق: 6930: 77 \ u003d 90.

خوارزمية لتحليل الرقم ن إلى عوامل أولية:

1. أوجد أصغر قاسم أولي لـ n (بخلاف 1) - a1.
2. قسّم الرقم n على a1 ، ودل على حاصل القسمة على n1.
3. n = a1 n1.
4. نقوم بنفس العملية مع n1 حتى نحصل على عدد أولي.

مثال: تحليل العدد 17136 إلى عوامل أولية

1. أصغر قاسم أولي بخلاف 1 هو 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. أصغر قاسم أولي للرقم 8568 هو 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. أصغر قاسم أولي للرقم 4284 هو 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. أصغر قاسم أولي للرقم 2142 هو 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. أصغر قاسم أولي للعدد 1071 هو 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. أصغر قاسم أولي للرقم 357 هو 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. أصغر قاسم أولي للرقم 119 هو 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 عدد أولي ، إذًا 17136 = 17 7 3 3 2 2 2 2 2.

لقد حصلنا على تحليل العدد 17136 إلى عوامل أولية.

المضاعف المشترك للأعداد الطبيعيةأوبهو رقم مضاعف لكل من الأرقام المعطاة.

أصغر عدد من جميع المضاعفات المشتركة أو باتصل المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.

المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أو بدعونا نشير إلى K ( أ, ب).

على سبيل المثال ، الرقمان 12 و 18 هما مضاعفات شائعة: 36 ، 72 ، 108 ، 144 ، 180 ، إلخ. الرقم 36 هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 12 و 18. يمكنك كتابة: K (12، 18) \ u003d 36.

بالنسبة للمضاعف المشترك الأصغر ، فإن العبارات التالية صحيحة:

1. المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أو ب

2. المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أو بلا تقل عن أكبر الأرقام المعطاة ، أي إذا أ>ب، ثم K ( أ, ب) ≥ أ.

3. أي مضاعف مشترك للأرقام أو بيقبل القسمة على المضاعف المشترك الأصغر.

القاسم المشترك الأكبر

القاسم المشترك للأعداد الطبيعية أ وبهو الرقم الذي يمثل القاسم على كل رقم من الأرقام المعطاة.

أكبر عدد من جميع القواسم المشتركة للأرقام أو بيسمى القاسم المشترك الأكبر للأرقام المعطاة.

أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بدعونا نشير إلى D ( أ, ب).

على سبيل المثال ، بالنسبة للأرقام 12 و 18 ، فإن القواسم المشتركة هي الأرقام: 1 ، 2 ، 3 ، 6. الرقم 6 هو 12 و 18. يمكنك كتابة: D (12 ، 18) = 6.

الرقم 1 هو قاسم مشترك لأي رقمين طبيعيين أو ب. إذا لم يكن لهذه الأرقام قواسم مشتركة أخرى ، فعندئذٍ D ( أ, ب) = 1 والأرقام أو باتصل حقوق النشر.

على سبيل المثال ، الأرقام 14 و 15 هي جريمة مشتركة منذ D (14 ، 15) = 1.

بالنسبة للقواسم المشترك الأكبر ، فإن العبارات التالية صحيحة:

1. أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بدائما موجود وفريدة من نوعها.

2. أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بلا يتجاوز أصغر عدد معين ، أي إذا أ< ب، ومن بعد د(أ, ب) ≤ أ.

3. أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بيقبل القسمة على أي قاسم مشترك لهذه الأرقام.

أكبر مضاعف مشترك للأرقام أو بويكون القاسم المشترك الأكبر بينهما مرتبطين ببعضهما البعض: حاصل ضرب المضاعف المشترك الأصغر وأكبر القاسم المشترك للأرقام أو بيساوي حاصل ضرب هذه الأرقام ، أي ك( أ, ب)د( أ, ب) = أ· ب.

العواقب المترتبة على هذا البيان:

أ) المضاعف المشترك الأصغر لرقمين أوليين نسبيًا يساوي منتج هذين الرقمين ، أي د( أ, ب) = 1 => كلفن ( أ, ب) = أ· ب;

على سبيل المثال ، لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 14 و 15 ، يكفي ضربهما ، لأن د (14 ، 15) = 1.

ب) أقابلة للقسمة على حاصل ضرب أرقام حقوق الملكية مو ن، فمن الضروري والكافي أن يقبل القسمة على م، و على ن.

هذا البيان هو علامة على القابلية للقسمة بالأرقام ، والتي يمكن تمثيلها كمنتج لرقمين من حقوق الملكية.

ج) حاصل القسمة التي تم الحصول عليها بقسمة رقمين معينين على القاسم المشترك الأكبر هما أرقام الجريمة.

يمكن استخدام هذه الخاصية عند التحقق من صحة القاسم المشترك الأكبر الذي تم العثور عليه لأرقام معينة. على سبيل المثال ، دعنا نتحقق مما إذا كان الرقم 12 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و 36. للقيام بذلك ، وفقًا للبيان الأخير ، نقسم 24 و 36 على 12. نحصل على العددين 2 و 3 ، على التوالي ، أي هي جريمة. إذن ، د (24 ، 36) = 12.

المهمة 32.قم بصياغة وإثبات اختبار القابلية للقسمة على 6.

المحلول xقابل للقسمة على 6 ، من الضروري والكافي أن يكون قابلاً للقسمة على 2 و 3.

دع الرقم xهو قابل للقسمة على 6. ثم من حقيقة أن x 6 و 62 ، يتبع ذلك x 2. ومن حقيقة أن x 6 و 63 ، يتبع ذلك x 3. لقد أثبتنا أنه لكي يكون الرقم قابلاً للقسمة على 6 ، يجب أن يقبل القسمة على 2 و 3.

دعونا نظهر كفاية هذا الشرط. لأن x 2 و x 3 ، إذن x- المضاعف المشترك للعددين 2 و 3. أي مضاعف مشترك للأرقام قابل للقسمة على أصغر مضاعف لها ، مما يعني xك (2 ؛ 3).

بما أن د (2 ، 3) = 1 ، فإن ك (2 ، 3) = 2 3 = 6. لذلك، x 6.

المهمة 33.قم بالصياغة في 12 و 15 و 60.

المحلول. من أجل عدد طبيعي xيقبل القسمة على 12 ، من الضروري والكافي أن يكون قابلاً للقسمة على 3 و 4.

من أجل عدد طبيعي xيقبل القسمة على 15 ، فمن الضروري والكافي أن يقبل القسمة على 3 و 5.

من أجل عدد طبيعي xيقبل القسمة على 60 ، فمن الضروري والكافي أن يقبل القسمة على 4 و 3 و 5.

المهمة 34.ابحث عن الأرقام أو ب، إذا ك ( أ ، ب)=75, أ· ب=375.

المحلول.باستخدام الصيغة K ( أ ، ب)د( أ ، ب)=أ· ب، نجد القاسم المشترك الأكبر للأعداد المرغوبة أو ب:

د( أ, ب) === 5.

ثم يمكن تمثيل الأرقام المطلوبة كـ أ= 5ص, ب= 5ف، أين صو ف صو 5 ففي المساواة أ ب = 275. احصل على 5 ص· 5 ف= 375 أو ص· ف= 15. نقوم بحل المعادلة الناتجة باستخدام متغيرين عن طريق الاختيار: نجد أزواجًا من أرقام الجريمة التي يكون منتجها يساوي 15. يوجد زوجان من هذه الأزواج: (3 ، 5) و (1 ، 15). لذلك ، فإن الأرقام المطلوبة أو بهؤلاء هم: 15 و 25 أو 5 و 75.

المهمة 35.ابحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن D ( أ, ب) = 7 و أ· ب= 1470.

المحلول. منذ د ( أ, ب) = 7 ، ثم يمكن تمثيل الأرقام المطلوبة كـ أ= 7ص, ب= 7ف، أين صو فهي أعداد أولية نسبيًا. التعابير البديلة 5 صو 5 ففي المساواة أ ب = 1470. ثم 7 ص 7 ف= 1470 أو ص· ف= 30. نحل المعادلة الناتجة بمتغيرين عن طريق الاختيار: نجد أزواجًا من أرقام الجريمة التي يكون منتجها يساوي 30. هناك أربعة أزواج من هذا القبيل: (1 ، 30) ، (2 ، 15) ، (3 ، 10) ، (5 ، 6). لذلك ، فإن الأرقام المطلوبة أو بهذه هي: 7 و 210 و 14 و 105 و 21 و 70 و 35 و 42.

المهمة 36.ابحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن D ( أ, ب) = 3 و أ:ب= 17:14.

المحلول. لأن أ:ب= 17:14 إذن أ= 17صو ب= 14ص، أين ص- القاسم المشترك الأكبر للأرقام أو ب. لذلك، أ= 17 3 = 51 ، ب= 14 3 = 42.

مشكلة 37.ابحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن K ( أ, ب) = 180, أ:ب= 4:5.

المحلول. لأن أ: ب= 4: 5 إذن أ=4صو ب=5ص، أين ص- القاسم المشترك الأكبر للأرقام أو ب. ثم ص 180 = 4 ص· 5 ص. أين ص= 9. لذلك، أ = 36 و ب=45.

مشكلة 38.ابحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن D ( أ ، ب) = 5 ، ك ( أ ، ب)=105.

المحلول. منذ د ( أ، ب) ك( أ، ب) = أ· ب، ومن بعد أ· ب= 5 105 = 525. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تمثيل الأرقام المرغوبة على أنها أ= 5صو ب= 5ف، أين صو فهي أعداد أولية نسبيًا. التعابير البديلة 5 صو 5 ففي المساواة أ· ب= 525. ثم 5 ص· 5 ف= 525 أو ص· ف= 21. نجد أزواجًا من أرقام حقوق الملكية التي يكون حاصل ضربها 21. ويوجد زوجان من هذه الأزواج: (1 ، 21) و (3 ، 7). لذلك ، فإن الأرقام المطلوبة أو بهذه هي: 5 و 105 و 15 و 35.

المهمة 39.إثبات أن الرقم ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) يقبل القسمة على 6 لأي شيء طبيعي ن.

المحلول. الرقم 6 مركب ، ويمكن تمثيله على أنه منتج من رقمين للجريمة: 6 = 2 3. إذا أثبتنا أن رقمًا معينًا قابل للقسمة على 2 و 3 ، فبناءً على اختبار القابلية للقسمة على رقم مركب ، يمكننا أن نستنتج أنه قابل للقسمة على 6.

لإثبات أن الرقم ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) قابل للقسمة على 2 ، هناك احتمالان يجب مراعاتهما:

1) نيقبل القسمة على 2 ، أي ن= 2ك. ثم المنتج ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) سيبدو بالشكل: 2 ك(4ك+ 1)(14ك+ 1). هذا المنتج قابل للقسمة على 2 ، لأن العامل الأول يقبل القسمة على 2 ؛

2) نلا يقبل القسمة على 2 ، أي ن= 2ك+ 1. ثم المنتج ن(2ن+ 1 )(7ن+ 1) سيبدو بالشكل: (2 ك+ 1)(4ك+ 3)(14ك+ 8). هذا المنتج قابل للقسمة على 2 ، لأن العامل الأخير يقبل القسمة على 2.

لإثبات أن العمل ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) يقبل القسمة على 3 ، يجب مراعاة ثلاثة احتمالات:

1) نيقبل القسمة على 3 ، أي ن= 3ك. ثم المنتج ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) سيبدو بالشكل: 3 ك(6ك+ 1)(21ك+ 1). هذا المنتج قابل للقسمة على 3 ، لأن العامل الأول يقبل القسمة على 3 ؛

2) نعند القسمة على 3 ، يكون الباقي 1 ، أي ن= 3ك+ 1. ثم المنتج ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) سيبدو بالشكل: (3 ك+ 1)(6ك+ 3)(21ك+ 8). هذا المنتج قابل للقسمة على 3 ، لأن العامل الثاني قابل للقسمة على 3 ؛

3) نعند القسمة على 3 ، نحصل على الباقي من 2 ، أي ن= 3ك+ 2. ثم المنتج ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) سيبدو بالشكل: (3 ك+ 2)(6ك+ 5)(21ك+ 15). هذا المنتج قابل للقسمة على 3 ، لأن العامل الأخير يقبل القسمة على 3.

لذلك ثبت أن المنتج ن(2ن+ 1)(7ن+ 1) يقبل القسمة على 2 و 3. لذا فهو قابل للقسمة على 6.

تمارين للعمل المستقل

1. أعطيت رقمين: 50 و 75. اكتب المجموعة:

أ) قواسم العدد 50 ؛ ب) قواسم الرقم 75 ؛ ج) القواسم المشتركة لهذه الأرقام.

ما هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 50 و 75؟

2. هل الرقم 375 هو مضاعف مشترك للأرقام: أ) 125 و 75 ؛ ب) 85 و 15؟

3. البحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن K ( أ، ب) = 105, أ· ب= 525.

4. البحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن D ( أ, ب) = 7, أ· ب= 294.

5. البحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن D ( أ، ب) = 5, أ:ب= 13:8.

6. البحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن K ( أ، ب) = 224, أ:ب= 7:8.

7. البحث عن الأرقام أو ب، إذا كان معروفًا أن D ( أ، ب) = 3 ، ك ( أ; ب) = 915.

8. اثبت اختبار القابلية للقسمة على 15.

9. اكتب تلك التي تقبل القسمة على 12 من مجموعة الأعداد 1032 ، 2964 ، 5604 ، 8910 ، 7008.

10. صياغة علامات القسمة على 18 ، 36 ، 45 ، 75.

كلمات الملخص:عدد صحيح. العمليات الحسابية على الأعداد الطبيعية. قسمة الأعداد الطبيعية. الأعداد الأولية والمركبة. تحلل العدد الطبيعي إلى عوامل أولية. علامات القابلية للقسمة على 2 ، 3 ، 5 ، 9 ، 4 ، 25 ، 10 ، 11. القاسم المشترك الأكبر (GCD) ، وكذلك المضاعف المشترك الأصغر (LCM). القسمة مع الباقي.

عدد صحيحهي الأرقام التي يتم استخدامها لعد الأشياء - 1, 2, 3, 4 ،… لكن الرقم 0 ليس طبيعيا!

مجموعة الأعداد الطبيعية هي ن. تسجيل "3 ∈ N"يعني أن الرقم ثلاثة ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ، والترميز "0 ∉ N"يعني أن الرقم صفر لا ينتمي إلى هذه المجموعة.

نظام الأرقام العشري- نظام رقم الموقع على أساس 10 .

العمليات الحسابية على الأعداد الطبيعية

بالنسبة للأعداد الطبيعية ، يتم تحديد الإجراءات التالية: الجمع والطرح والضرب والقسمة ،الأس ، استخراج الجذر. الخطوات الأربع الأولى هي علم الحساب.

لنفترض أن أ ، ب ، ج تكون أعدادًا طبيعية ، إذن

1. إضافة. المصطلح + المصطلح = المجموع

خصائص الإضافة
1. تبادلي أ + ب = ب + أ.
2. الجمع أ + (ب + ج) \ u003d (أ + ب) + ج.
3. أ + 0 = 0 + أ = أ.

2. الطرح. مخفض - مطروح = فرق

خصائص الطرح
1. طرح المجموع من الرقم أ - (ب + ج) \ u003d أ - ب - ج.
2. طرح رقم من المجموع (أ + ب) - ج \ u003d أ + (ب - ج) ؛ (أ + ب) - ج \ u003d (أ - ج) + ب.
3. أ - 0 = أ.
4. أ - أ \ u003d 0.

3. المضاعفة. المضاعف * المضاعف = المنتج

خصائص الضرب
1. تبادلي أ * ب \ u003d ب * أ.
2. مركب أ * (ب * ج) \ u003d (أ * ب) * ج.
3. 1 * أ = أ * 1 = أ.
4. 0 * أ = أ * 0 = 0.
5. التوزيع (a + b) * c \ u003d ac + bc ؛ (أ - ب) * ج \ u003d تيار متردد - قبل الميلاد.

4. الانقسام. التوزيعات: المقسوم عليه = الحاصل

خصائص التقسيم
1. أ: 1 = أ.
2. أ: أ = 1. لا يمكنك القسمة على الصفر!
3. 0: أ = 0.

إجراء

1. بادئ ذي بدء ، الإجراءات بين قوسين.
2. ثم الضرب والقسمة.
3. وفقط في نهاية الجمع والطرح.

قسمة الأعداد الطبيعية. الأعداد الأولية والمركبة.

القاسم على عدد طبيعي أيسمى الرقم الطبيعي الذي بواسطته أيقسم بدون باقي. عدد 1 هو القاسم على أي عدد طبيعي.

الرقم الطبيعي يسمى بسيطإذا كان لديه فقط اثنينالمقسوم عليه: واحد والرقم نفسه. على سبيل المثال ، الأرقام 2 ، 3 ، 11 ، 23 هي أعداد أولية.

يتم استدعاء الرقم الذي يحتوي على أكثر من اثنين من المقسومات مركب. على سبيل المثال ، الأرقام 4 ، 8 ، 15 ، 27 هي أرقام مركبة.

علامة القسمة يعملعدة أرقام: إذا كان أحد العوامل على الأقل قابلاً للقسمة على رقم ما ، فإن المنتج أيضًا قابل للقسمة على هذا الرقم. عمل 24 15 77 مقسومة على 12 ، منذ عامل هذا الرقم 24 مقسومة على 12 .

علامة على قسمة المبلغ (الفرق)الأرقام: إذا كان كل مصطلح يقبل القسمة على عدد ما ، فإن المجموع الكامل يقبل القسمة على هذا الرقم. إذا أ: بو ج: ب، ومن بعد (أ + ج): ب. و إذا أ: ب، أ جلا يقبل القسمة على ب، ومن بعد أ + جلا يقبل القسمة على الرقم ب.

إذا أ: جو ج: ب، ومن بعد أ: ب. بناءً على حقيقة أن 72:24 و 24:12 ، نستنتج أن 72:12.

يسمى تمثيل الرقم كمنتج لقوى الأعداد الأولية تحليل رقم إلى عوامل أولية.

النظرية الحسابية الأساسية: أي رقم طبيعي (باستثناء 1 ) أو هو بسيط، أو يمكن أن تتحلل إلى عوامل أولية بطريقة واحدة فقط.

عند تحليل رقم إلى عوامل أولية ، يتم استخدام علامات القسمة ويتم استخدام ترميز "العمود". في هذه الحالة ، يقع المقسوم عليه على يمين الشريط الرأسي ، ويتم كتابة حاصل القسمة تحت المقسوم.

على سبيل المثال ، المهمة: تحليل رقم إلى عوامل أولية 330 . المحلول:

علامات القسمة من قبل 2 و 5 و 3 و 9 و 10 و 4 و 25 و 11.

هناك علامات على القسمة 6, 15, 45 إلخ ، أي إلى أرقام يمكن تحليل منتجها إلى عوامل 2, 3, 5, 9 و 10 .

القاسم المشترك الأكبر

يُطلق على أكبر عدد طبيعي يمكن من خلاله القسمة على كل من الأعداد الطبيعية المعطاة القاسم المشترك الأكبرهذه الارقام ( GCD). على سبيل المثال ، gcd (10 ؛ 25) = 5 ؛ و GCD (18 ؛ 24) = 6 ؛ GCD (7 ؛ 21) = 1.

إذا كان القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين هو 1 ، ثم تسمى هذه الأرقام حقوق النشر.

خوارزمية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر(GCD)

غالبًا ما يستخدم GCD في المشاكل. على سبيل المثال ، تم تقسيم 155 دفتر ملاحظات و 62 قلمًا بالتساوي بين طلاب نفس الفصل. كم عدد الطلاب في هذا الفصل؟

المحلول: يتم تقليل العثور على عدد الطلاب في هذا الفصل لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 155 و 62 ، حيث تم تقسيم الدفاتر والأقلام بالتساوي. 155 = 531 ؛ 62 = 231. GCD (155 ؛ 62) = 31.

إجابه: 31 طالبًا في الفصل.

أقل مضاعف مشترك

مضاعف عدد طبيعي أهو رقم طبيعي يقبل القسمة عليه أدون أن يترك أثرا. على سبيل المثال ، الرقم 8 له مضاعفات: 8, 16, 24, 32 ،… أي عدد طبيعي له عدد لا نهائي من المضاعفات.

أقل مضاعف مشترك(المضاعف المشترك الأصغر) هو أصغر عدد طبيعي يكون من مضاعفات هذه الأرقام.

خوارزمية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ( شهادة عدم ممانعة):

غالبًا ما يستخدم LCM أيضًا في المشكلات. على سبيل المثال ، بدأ اثنان من راكبي الدراجات في نفس الوقت على مسار الدراجة في نفس الاتجاه. أحدهما يصنع دائرة في دقيقة واحدة والآخر في 45 ثانية. في أي أقل عدد من الدقائق بعد بدء الحركة سيلتقون في البداية؟

المحلول: عدد الدقائق التي يجتمعون بعدها مرة أخرى في البداية يجب أن يقبل القسمة عليه 1 دقيقة، وكذلك في 45 ثانية. في دقيقة واحدة = 60 ثانية. أي أنه من الضروري إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (45 ؛ 60). 45 = 325 ؛ 60 = 22 3 5. شهادة عدم ممانعة (45 ؛ 60) = 22 32 5 = 49 49 = 180. نتيجة لذلك ، اتضح أن راكبي الدراجات سوف يجتمعون في البداية بعد 180 ثانية = 3 دقائق.

إجابه: 3 دقيقة.

القسمة مع الباقي

إذا كان عددًا طبيعيًا ألا يقبل القسمة على عدد طبيعي ب، ثم يمكنك أن تفعل قسمة مع الباقي. في هذه الحالة ، يتم استدعاء حاصل القسمة الناتج غير مكتمل. المساواة الصحيحة هي:

أ = ب ن + ص ،

أين أ- يقبل القسمة ب- مقسم ن- حاصل قسمة غير مكتمل ، ص- بقية. على سبيل المثال ، دع المقسوم يكون 243 ، مقسم - 4 ، ومن بعد 243: 4 = 60 (الباقي 3). أي ، أ = 243 ، ب = 4 ، n \ u003d 60 ، r \ u003d 3 ، إذن 243 = 60 4 + 3 .

الأعداد التي تقبل القسمة عليها 2 بدون أثر ، يتم استدعاؤها حتى: أ = 2 ن،ن ∈ ن.

يتم استدعاء باقي الأرقام الفردية: ب = 2 ن + 1،ن ∈ ن.

هذا ملخص عن الموضوع. "عدد صحيح. علامات القسمة ». للمتابعة ، حدد الخطوات التالية:

• انتقل إلى الملخص التالي: