من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا ، لن نذهب بعيدًا ، سننظر على الفور في الدالة العكسية. ما هو معكوس الدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا ، الأساس هو رقم:

مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) يسمى اللوغاريتم "الطبيعي" ، ونستخدم تدوينًا خاصًا له: نكتب بدلاً من ذلك.

ما يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الوظيفة؟

الإجابات: يعتبر الأس واللوغاريتم الطبيعي دالات بسيطة بشكل فريد من حيث المشتق. سيكون للدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي قاعدة أخرى مشتق مختلف ، سنقوم بتحليله لاحقًا ، بعد أن ننتقل إلى قواعد التفاضل.

قواعد التمايز

ما هي القواعد؟ مصطلح جديد مرة أخرى؟! ...

التفاضلهي عملية إيجاد المشتق.

فقط وكل شيء. ما هي الكلمة الأخرى لهذه العملية؟ ليس proizvodnovanie ... يسمى التفاضل في الرياضيات بزيادة الوظيفة في. يأتي هذا المصطلح من الاختلاف اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند اشتقاق كل هذه القواعد ، سنستخدم وظيفتين ، على سبيل المثال ، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتق.

إذا - رقم ثابت (ثابت) ، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا مع الاختلاف:.

دعنا نثبت ذلك. اسمحوا ، أو أسهل.

أمثلة.

ابحث عن مشتقات الدوال:

1. عند النقطة
2. عند النقطة
3. عند النقطة
4. في هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط ، لأنه دالة خطية ، تذكر؟) ؛

مشتق من المنتج

كل شيء متشابه هنا: نقدم وظيفة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. البحث عن مشتقات الوظائف و ؛
2. أوجد مشتق دالة عند نقطة.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتق أي دالة أسية ، وليس فقط الأس (هل نسيت ما هو عليه حتى الآن؟).

إذن أين يوجد عدد.

نحن نعلم بالفعل مشتقة الدالة ، لذلك دعونا نحاول نقل الدالة إلى أساس جديد:

للقيام بذلك ، نستخدم قاعدة بسيطة:. ثم:

حسنًا ، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة ، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

هنا ، تحقق من نفسك:

تبين أن الصيغة تشبه إلى حد بعيد مشتق الأس: كما كانت ، لا تزال ، ظهر عامل فقط ، وهو مجرد رقم ، ولكن ليس متغيرًا.

أمثلة:
ابحث عن مشتقات الوظائف:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة ، أي أنه لا يمكن كتابته بشكل أبسط. لذلك ، في الإجابة يتم تركها بهذا الشكل.

لاحظ أن هنا حاصل قسمة وظيفتين ، لذلك نطبق قاعدة التفاضل المناسبة:

في هذا المثال ، نتاج وظيفتين:

مشتق دالة لوغاريتمية

هذا مشابه: أنت تعرف بالفعل مشتق اللوغاريتم الطبيعي:

لذلك ، لإيجاد تعسفي من اللوغاريتم بأساس مختلف ، على سبيل المثال:

علينا إحضار هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف تغير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط بدلاً من أن نكتب:

تبين أن المقام مجرد ثابت (رقم ثابت ، بدون متغير). المشتق بسيط للغاية:

لم يتم العثور على مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية في الامتحان تقريبًا ، ولكن لن يكون من الضروري معرفتها.

مشتق دالة معقدة.

ما هي "وظيفة معقدة"؟ لا ، هذا ليس لوغاريتمًا ، وليس ظلًا قوسيًا. قد يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنه إذا كان اللوغاريتم يبدو صعبًا بالنسبة لك ، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وسيعمل كل شيء) ، ولكن من حيث الرياضيات ، فإن كلمة "معقد" لا تعني "صعبة".

تخيل ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الأعمال باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال ، يلف الأول شريط شوكولاتة في غلاف ، والثاني يربطه بشريط. اتضح مثل هذا الكائن المركب: شريط شوكولاتة ملفوف ومربوط بشريط. لأكل لوح شوكولاتة ، عليك القيام بالخطوات المعاكسة بترتيب عكسي.

دعنا ننشئ خط أنابيب رياضيًا مشابهًا: أولاً سنجد جيب التمام لأحد الأرقام ، ثم سنقوم بتربيع الرقم الناتج. لذا ، يعطوننا رقمًا (شوكولاتة) ، أجد جيب التمام (غلاف) ، ثم تربّع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: عندما ، من أجل إيجاد قيمتها ، نقوم بتنفيذ الإجراء الأول مباشرة مع المتغير ، ثم إجراء آخر آخر مع ما حدث كنتيجة للأول.

بعبارة أخرى، الوظيفة المعقدة هي وظيفة تمثل حجة دالة أخرى: .

على سبيل المثال لدينا.

قد نقوم بنفس الإجراءات بترتيب عكسي: أولاً أنت تربيع ، ثم أبحث عن جيب التمام للعدد الناتج :. من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. ميزة مهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات ، تتغير الوظيفة.

المثال الثاني: (same). .

سيتم استدعاء الإجراء الأخير الذي نقوم به وظيفة "خارجية"، والإجراء الذي تم تنفيذه أولاً - على التوالي وظيفة "داخلية"(هذه أسماء غير رسمية ، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأيها داخلية:

الإجابات:الفصل بين الوظائف الداخلية والخارجية مشابه جدًا للمتغيرات المتغيرة: على سبيل المثال ، في الوظيفة

1. ما هو الإجراء الذي سنتخذه أولاً؟ أولاً نحسب الجيب ، وعندها فقط نرفعها إلى مكعب. إذن فهي وظيفة داخلية وليست خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تكوينها:.
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا ، الآن سنستخرج الشوكولاتة - ابحث عن المشتق. يتم عكس الإجراء دائمًا: أولاً نبحث عن مشتق الدالة الخارجية ، ثم نضرب النتيجة في مشتق الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي ، يبدو كالتالي:

مثال آخر:

لذا ، دعنا أخيرًا نصيغ القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو أنه بسيط ، أليس كذلك؟

دعنا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ؛

خارجي: ؛

2) داخلي: ؛

(فقط لا تحاول التقليل الآن! لا شيء مأخوذ من تحت جيب التمام ، تذكر؟)

3) داخلي: ؛

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هناك وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات هنا: بعد كل شيء ، هذه بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها ، وما زلنا نستخرج الجذر منها ، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (نضع الشوكولاتة في غلاف وبشريط في حقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: على أي حال ، سوف "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق الجذر أولاً ، ثم جيب التمام ، وبعد ذلك فقط المقدار الموجود بين قوسين. ثم نضربها كلها.

في مثل هذه الحالات ، من الملائم ترقيم الإجراءات. أي دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سنقوم بتنفيذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا ، كلما كانت الوظيفة المقابلة "خارجية". تسلسل الإجراءات - كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام من 4 مستويات. دعونا نحدد مسار العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. الجيوب الأنفية. .

4. مربع. .

5. تجميعها جميعًا:

المشتق. باختصار حول الرئيسي

مشتق وظيفي- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة مع زيادة متناهية في الصغر للوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتق:

مشتق من المجموع:

منتج مشتق:

مشتق من حاصل القسمة:

مشتق دالة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الوظيفة "الداخلية" ، ونجد مشتقها.
2. نحدد الوظيفة "الخارجية" ، ونجد مشتقها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

والنظرية الخاصة بمشتق دالة معقدة تكون صياغتها كالتالي:

لنفترض 1) أن الدالة $ u = \ varphi (x) $ لها المشتق $ u_ (x) "= \ varphi" (x_0) $ عند نقطة ما $ x_0 $، 2) الدالة $ y = f (u) $ لها المشتق $ y_ (u) "= f" (u) $ عند النقطة المقابلة $ u_0 = \ varphi. (x_0) عندئذٍ سيكون للدالة المعقدة $ y = f \ left (\ varphi (x) \ right) $ عند النقطة المذكورة أيضًا مشتقًا مساويًا لمنتج مشتقات الدالتين $ f (u) $ و $ \ varphi (x) $:

$$ \ يسار (f (\ varphi (x)) \ right) "= f_ (u)" \ left (\ varphi (x_0) \ right) \ cdot \ varphi "(x_0) $$

أو بتدوين أقصر: $ y_ (x) "= y_ (u)" \ cdot u_ (x) "$.

في أمثلة هذا القسم ، تكون جميع الدوال بالصيغة $ y = f (x) $ (على سبيل المثال ، نحن نعتبر فقط وظائف متغير واحد $ x $). وفقًا لذلك ، في جميع الأمثلة ، يتم أخذ المشتق $ y "$ فيما يتعلق بالمتغير $ x $. للتأكيد على أن المشتقة مأخوذة بالنسبة إلى المتغير $ x $ ، غالبًا ما يكتب المرء $ y" _x $ بدلاً من $ y "$.

توفر الأمثلة # 1 و # 2 و # 3 عملية مفصلة لإيجاد مشتق الدوال المعقدة. يهدف المثال رقم 4 إلى فهم أكثر اكتمالاً لجدول المشتقات ومن المنطقي أن تتعرف عليه.

من المستحسن ، بعد دراسة المواد في الأمثلة رقم 1-3 ، الانتقال إلى حل مستقل للأمثلة رقم 5 ورقم 6 ورقم 7. تحتوي الأمثلة رقم 5 و 6 و 7 على حل قصير حتى يتمكن القارئ من التحقق من صحة نتائجه.

مثال 1

أوجد مشتق الدالة $ y = e ^ (\ cos x) $.

نحتاج إلى إيجاد مشتق الدالة المعقدة $ y "$. بما أن $ y = e ^ (\ cos x) $ ، ثم $ y" = \ left (e ^ (\ cos x) \ right) "$. لإيجاد المشتق $ \ left (e ^ (\ cos x) \ right)" $ ، نستخدم الصيغة رقم 6 من جدول المشتقات. لاستخدام الصيغة رقم 6 ، يجب أن تأخذ في الاعتبار ذلك في حالتنا $ u = \ cos x $. يتمثل الحل الإضافي في استبدال عادي للتعبير $ \ cos x $ بدلاً من $ u $ في الصيغة رقم 6:

$$ y "= \ left (e ^ (\ cos x) \ right)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "\ tag (1.1) $$

الآن نحتاج إلى إيجاد قيمة التعبير $ (\ cos x) "$. ننتقل مرة أخرى إلى جدول المشتقات ، ونختار الصيغة رقم 10 منه. بالتعويض عن $ u = x $ في الصيغة رقم 10 ، لدينا: $ (\ cos x)" = - \ sin x \ cdot x "$. الآن نواصل المساواة (1.1) ، ونكملها بالنتيجة التي تم العثور عليها:

$$ y "= \ left (e ^ (\ cos x) \ right)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot x") \ tag (1.2) $$

منذ $ x "= 1 $ ، نستمر في المساواة (1.2):

$$ y "= \ left (e ^ (\ cos x) \ right)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot x") = e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot 1) = - \ sin x \ cdot \ cdot 1) = - \ sin x \ cdot \ (\ cos)

إذن ، من المساواة (1.3) لدينا: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $. بطبيعة الحال ، عادةً ما يتم تخطي التفسيرات والمساواة الوسيطة ، وكتابة إيجاد المشتق في سطر واحد ، كما في المساواة (1.3). لذلك ، تم العثور على مشتق الوظيفة المعقدة ، يبقى فقط كتابة الإجابة.

إجابة: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $.

المثال رقم 2

أوجد مشتق الدالة $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) $.

نحتاج إلى حساب المشتق $ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" $. بادئ ذي بدء ، نلاحظ أنه يمكن إخراج الثابت (أي الرقم 9) من علامة المشتق:

$$ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "\ tag (2.1) $$

الآن دعنا ننتقل إلى التعبير $ \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "$. لتسهيل تحديد الصيغة المرغوبة من جدول المشتقات ، سأقدم التعبير المعني كما يلي: $ \ left (\ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ (12) \ right)" $. من الواضح الآن أنه من الضروري استخدام الصيغة رقم 2 ، أي $ \ left (u ^ \ alpha \ right) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. استبدل $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ و $ \ alpha = 12 $ في هذه الصيغة:

استكمالًا للمساواة (2.1) بالنتيجة التي تم الحصول عليها ، لدينا:

$$ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "= 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dct) ^ 11 \ cdot (cdot \ ln x) \ dct) ^ 11 \ cdot (2.2) $$

في هذه الحالة ، غالبًا ما يحدث خطأ عندما يختار المحلل في الخطوة الأولى الصيغة $ (\ arctg \؛ u) "= \ frac (1) (1 + u ^ 2) \ cdot u" $ بدلاً من الصيغة $ \ left (u ^ \ alpha \ right) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. النقطة المهمة هي أنه يجب إيجاد مشتق الوظيفة الخارجية أولاً. لفهم الوظيفة التي ستكون خارجية للتعبير $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ ، تخيل أنك تحسب قيمة التعبير $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ بقيمة معينة من $ x $. أولاً تحسب قيمة $ 5 ^ x $ ، ثم تضرب الناتج في 4 لتحصل على 4 $ \ cdot 5 ^ x $. الآن نأخذ قوس ظل من هذه النتيجة ، ونحصل على $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $. ثم نرفع الرقم الناتج إلى القوة الثانية عشرة ، ونحصل على $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $. الإجراء الأخير ، أي رفع إلى قوة 12 ، - وستكون وظيفة خارجية. ومنه يجب أن يبدأ المرء في إيجاد المشتق ، والذي تم إجراؤه على قدم المساواة (2.2).

نحتاج الآن إلى إيجاد $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "$. نستخدم الصيغة رقم 19 لجدول المشتقات ، مع استبدال $ u = 4 \ cdot \ ln x $ بداخله:

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frac (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" $$

لنبسط التعبير الناتج قليلاً ، مع الأخذ في الاعتبار $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frac (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" = \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "

المساواة (2.2) ستصبح الآن:

$$ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "= \\ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln (4) \ cctd ^ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "\ tag (2.3) $$

يبقى العثور على $ (4 \ cdot \ ln x) "$. لنأخذ الثابت (أي 4) من علامة المشتق: $ (4 \ cdot \ ln x)" = 4 \ cdot (\ ln x) "$. x) \ cdot x "$. بما أن $ x "= 1 $ ، ثم $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "= \ frac (1) (x) \ cdot 1 = \ frac (1) (x) $. باستبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في الصيغة (2.3) ، نحصل على:

$$ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "= \\ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln (4) \ cctd ^ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "= \\ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot) \ ln)

دعني أذكرك أن مشتق دالة معقدة غالبًا ما يكون في سطر واحد ، كما هو مكتوب في المساواة الأخيرة. لذلك ، عند إجراء الحسابات أو الاختبارات القياسية ، ليس من الضروري على الإطلاق رسم الحل بنفس التفاصيل.

إجابة: $ y "= 432 \ cdot \ frac (\ arctg ^ (11) (4 \ cdot \ ln x)) (x \ cdot (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x)) $.

المثال رقم 3

أوجد $ y "$ للدالة $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) $.

أولاً ، دعنا نحول الدالة $ y $ قليلاً عن طريق التعبير عن الجذر (الجذر) كقوة: $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) $. لنبدأ الآن في إيجاد المشتقة. بما أن $ y = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) $ ، إذن:

$$ y "= \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) \ right)" \ tag (3.1) $$

نستخدم الصيغة رقم 2 من جدول المشتقات ، مع استبدال $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ و $ \ alpha = \ frac (3) (7) $ بداخلها:

$$ \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) \ right) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7) -1) (\ sin (5 \ cdot) (f ^ x) (5) ot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$$

نواصل المساواة (3.1) باستخدام النتيجة التي تم الحصول عليها:

$$ y "= \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) \ right)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5) $$ \ cdot 9

نحتاج الآن إلى إيجاد $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$. لهذا ، نستخدم الصيغة رقم 9 من جدول المشتقات ، مع استبدال $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $ بداخلها:

$$ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x)" $$

استكمالًا للمساواة (3.2) بالنتيجة التي تم الحصول عليها ، لدينا:

$$ y "= \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) \ right)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot = 3) (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) "\ tag (3.3) $$

يبقى العثور على $ (5 \ cdot 9 ^ x) "$. أولاً ، نأخذ الثابت (الرقم $ 5 $) من علامة المشتق ، أي $ (5 \ cdot 9 ^ x)" = 5 \ cdot (9 ^ x) "$. لإيجاد المشتق $ (9 ^ x)" $ ، نطبق الصيغة رقم 5 من جدول المشتقات $ a = 9 $ ، واستبدالها $ 9. x \ cdot \ ln9 \ cdot x "$. بما أن $ x "= 1 $ ، ثم $ (9 ^ x)" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. الآن يمكننا متابعة المساواة (3.3):

$$ y "= \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) \ right)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot = 3) (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac) (9) (5) cdot \ ln9 = \\ = \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x. $$

يمكنك العودة من القوى إلى الجذور (أي الجذور) مرة أخرى عن طريق كتابة $ \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) $ as $ \ frac (1) (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (4) (7)) ^ \ sin 4 (1) (c). ثم سيتم كتابة المشتق بالشكل التالي:

$$ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x = \ frac (15 \ cdot x \ ln 9) (5 \ cdot \ ln 9) (5 \ cdot \ ln 9) (5 \ cdot \ ln 9) (5 \ cdot \ ln 9) ^ x) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x))). $$

إجابة: $ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ frac (\ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x))) $.

المثال رقم 4

بيّن أن الصيغتين رقم 3 ورقم 4 في جدول المشتقات هي حالة خاصة للصيغة رقم 2 في هذا الجدول.

في الصيغة رقم 2 من جدول المشتقات ، تتم كتابة مشتق الدالة $ u ^ \ alpha $. بالتعويض عن $ \ alpha = -1 $ في الصيغة رقم 2 ، نحصل على:

$$ (u ^ (- 1)) "= - 1 \ cdot u ^ (- 1-1) \ cdot u" = - u ^ (- 2) \ cdot u "\ tag (4.1) $$

بما أن $ u ^ (- 1) = \ frac (1) (u) $ و $ u ^ (- 2) = \ frac (1) (u ^ 2) $ ، يمكن إعادة كتابة المساواة (4.1) على النحو التالي: $ \ left (\ frac (1) (u) \ right) "= - \ frac (1) (u ^ 2) \ cdot u" $. هذه هي الصيغة رقم 3 لجدول المشتقات.

لنعد مرة أخرى إلى الصيغة رقم 2 في جدول المشتقات. استبدل $ \ alpha = \ frac (1) (2) $ فيه:

$$ \ left (u ^ (\ frac (1) (2)) \ right) "= \ frac (1) (2) \ cdot u ^ (\ frac (1) (2) -1) \ cdot u" = \ frac (1) (2) u ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot u "\ tag (4.2) $$

بما أن $ u ^ (\ frac (1) (2)) = \ sqrt (u) $ و $ u ^ (- \ frac (1) (2)) = \ frac (1) (u ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (u)) $ ، يمكن إعادة كتابة المساواة (4.2) على النحو التالي:

$$ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (u)) \ cdot u" = \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u "$$

المساواة الناتجة $ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u" $ هي الصيغة رقم 4 لجدول المشتقات. كما ترى ، يتم الحصول على الصيغتين رقم 3 ورقم 4 من جدول المشتقات من الصيغة رقم 2 عن طريق استبدال القيمة المقابلة $ \ alpha $.

المشتقات المعقدة. المشتق اللوغاريتمي.
مشتق من الدالة الأسية

نواصل تحسين أسلوب التمايز لدينا. في هذا الدرس ، سنقوم بتوحيد المادة التي تمت تغطيتها ، والنظر في المشتقات الأكثر تعقيدًا ، وكذلك التعرف على الحيل والحيل الجديدة لإيجاد المشتق ، على وجه الخصوص ، مع المشتق اللوغاريتمي.

يجب على القراء الذين لديهم مستوى منخفض من التحضير الرجوع إلى المقالة كيف تجد المشتق؟ أمثلة الحلمما سيسمح لك برفع مهاراتك من الصفر تقريبًا. بعد ذلك ، تحتاج إلى دراسة الصفحة بعناية مشتق دالة معقدةوفهمها وحلها الجميعالأمثلة التي قدمتها. هذا الدرس منطقيًا هو الثالث على التوالي ، وبعد إتقانه ، ستفرق بثقة بين الوظائف المعقدة إلى حد ما. من غير المرغوب فيه التمسك بالموقف "أين آخر؟ نعم ، وهذا يكفي! "، نظرًا لأن جميع الأمثلة والحلول مأخوذة من اختبارات حقيقية وغالبًا ما يتم العثور عليها في الممارسة.

لنبدأ بالتكرار. في الدرس مشتق دالة معقدةلقد درسنا عددًا من الأمثلة مع تعليقات مفصلة. أثناء دراسة التفاضل والتكامل وأقسام أخرى من التحليل الرياضي ، سيتعين عليك التفريق كثيرًا ، وليس من المناسب دائمًا (وليس ضروريًا دائمًا) رسم أمثلة بتفصيل كبير. لذلك ، سوف نتدرب على الاكتشاف الشفهي للمشتقات. أنسب "المرشحين" لذلك هي مشتقات أبسط الوظائف المعقدة ، على سبيل المثال:

حسب قاعدة اشتقاق دالة معقدة :

عند دراسة موضوعات ماتان أخرى في المستقبل ، غالبًا ما يكون مثل هذا السجل التفصيلي غير مطلوب ، فمن المفترض أن الطالب قادر على إيجاد مشتقات مماثلة على الطيار الآلي. لنتخيل أنه في الساعة 3 صباحًا رن الهاتف ، وسأل صوت لطيف: "ما هو مشتق مماس اثنين x؟". يجب أن يتبع ذلك استجابة فورية ومهذبة تقريبًا: .

سيخصص المثال الأول على الفور لحل مستقل.

مثال 1

ابحث عن المشتقات التالية شفهيًا ، بخطوة واحدة ، على سبيل المثال:. لإكمال المهمة ، ما عليك سوى استخدام جدول مشتقات الدوال الابتدائية(إذا لم تتذكر بالفعل). إذا واجهت أي صعوبات ، فإنني أوصي بإعادة قراءة الدرس مشتق دالة معقدة.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

الإجابات في نهاية الدرس

المشتقات المعقدة

بعد التحضير الأولي للمدفعية ، ستكون الأمثلة ذات الوظائف 3-4-5 أقل رعباً. ربما يبدو المثالان التاليان معقدًا للبعض ، ولكن إذا تم فهمهما (سيعاني شخص ما) ، فسيبدو كل شيء تقريبًا في حساب التفاضل وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

كما لوحظ بالفعل ، عند إيجاد مشتق دالة معقدة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري يمينفهم الاستثمارات. في الحالات التي توجد فيها شكوك ، أذكرك بحيلة مفيدة: نحن نأخذ القيمة التجريبية "x" ، على سبيل المثال ، ونحاول (عقليًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير ، لذا فإن المجموع هو التداخل الأعمق.

2) ثم تحتاج إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم قم بتقطيع جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة ، الفرق:

6) وأخيرًا ، الوظيفة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة تمايز الوظائف المعقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي ، من الوظيفة الخارجية إلى الأعمق. نحن نقرر:

يبدو أنه لا يوجد خطأ ...

(1) نأخذ مشتق الجذر التربيعي.

(2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

(3) مشتق الثلاثي يساوي صفرًا. في المصطلح الثاني ، نأخذ مشتق الدرجة (المكعب).

(4) نأخذ مشتق جيب التمام.

(5) نأخذ مشتق اللوغاريتم.

(6) أخيرًا ، نأخذ مشتق التداخل الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبًا للغاية ، لكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ ، على سبيل المثال ، مجموعة Kuznetsov وستقدر كل سحر وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون إعطاء شيء مماثل في الامتحان للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق من وظيفة معقدة ، أو لا يفهم.

المثال التالي لحل مستقل.

مثال 3

أوجد مشتق دالة

تلميح: أولاً نطبق قواعد الخطية وقاعدة التمايز للمنتج

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أكثر إحكاما وأجمل.
ليس من غير المألوف في حالة عدم وجود ناتج لاثنين ، ولكن يتم إعطاء ثلاث وظائف في مثال. كيفية إيجاد مشتق حاصل ضرب ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتق دالة

أولًا ، ننظر ، لكن هل من الممكن تحويل حاصل ضرب دوال ثلاث إلى حاصل ضرب وظيفتين؟ على سبيل المثال ، إذا كان لدينا كثير الحدود في المنتج ، فيمكننا فتح القوسين. لكن في هذا المثال ، تختلف جميع الوظائف: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات ، من الضروري على التواليتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أنه بالنسبة لـ "y" نشير إلى ناتج وظيفتين: و "ve" - ​​اللوغاريتم :. لماذا يمكن القيام بذلك؟ فعلا - أليس هذا نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل ؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية إلى قوس:

لا يزال بإمكانك الانحراف وإخراج شيء من الأقواس ، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال أعلاه بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل مستقل ، في العينة يتم حله بالطريقة الأولى.

ضع في اعتبارك أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتق دالة

هنا يمكنك الذهاب بعدة طرق:

او مثل هذا:

لكن يمكن كتابة الحل بشكل أكثر إحكاما إذا استخدمنا ، أولا وقبل كل شيء ، قاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، مع أخذ البسط كله:

من حيث المبدأ ، يتم حل المثال ، وإذا ترك في هذا الشكل ، فلن يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت ، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة ، ولكن هل من الممكن تبسيط الإجابة؟ نضع تعبير البسط في مقام مشترك و تخلص من الجزء المكون من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على مشتق ، ولكن عند حدوث تحولات مدرسية عادية. من ناحية أخرى ، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتق.

مثال أبسط لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتق دالة

نستمر في إتقان تقنيات إيجاد المشتق ، والآن سننظر في حالة نموذجية عند اقتراح لوغاريتم "رهيب" للتفاضل

المثال 8

أوجد مشتق دالة

يمكنك هنا قطع شوط طويل باستخدام قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

لكن الخطوة الأولى تغرك على الفور في اليأس - عليك أن تأخذ مشتقًا غير سار من درجة كسرية ، ثم أيضًا من جزء صغير.

لهذا قبلكيف تأخذ مشتق اللوغاريتم "الهوى" ، فقد تم تبسيطه مسبقًا باستخدام خصائص المدرسة المعروفة:

! إذا كان لديك دفتر ملاحظات في متناول يدك ، فقم بنسخ هذه الصيغ هناك. إذا لم يكن لديك دفتر ملاحظات ، ارسمها على قطعة من الورق ، حيث ستتمحور بقية أمثلة الدرس حول هذه الصيغ.

يمكن صياغة الحل نفسه على النحو التالي:

دعنا نحول الوظيفة:

نجد المشتق:

أدى التحويل الأولي للوظيفة نفسها إلى تبسيط الحل إلى حد كبير. وبالتالي ، عندما يتم اقتراح لوغاريتم مماثل للتفاضل ، فمن المستحسن دائمًا "تقسيمه".

والآن بعض الأمثلة البسيطة لحل مستقل:

المثال 9

أوجد مشتق دالة

المثال 10

أوجد مشتق دالة

جميع التحولات والإجابات في نهاية الدرس.

المشتق اللوغاريتمي

إذا كان مشتق اللوغاريتمات موسيقى حلوة ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه ، هل من الممكن في بعض الحالات تنظيم اللوغاريتم بشكل مصطنع؟ يستطيع! وحتى ضروري.

المثال 11

أوجد مشتق دالة

أمثلة مماثلة درسناها مؤخرًا. ما يجب القيام به؟ يمكن للمرء أن يطبق على التوالي قاعدة تفاضل حاصل القسمة ، ثم قاعدة تفاضل حاصل الضرب. عيب هذه الطريقة هو أنك تحصل على جزء ضخم من ثلاثة طوابق ، والذي لا ترغب في التعامل معه على الإطلاق.

لكن في النظرية والتطبيق يوجد شيء رائع مثل المشتق اللوغاريتمي. يمكن تنظيم اللوغاريتمات بشكل مصطنع من خلال "تعليقها" على كلا الجانبين:

ملحوظة : لأن يمكن أن تأخذ الدالة قيمًا سالبة ، لذلك ، بشكل عام ، تحتاج إلى استخدام الوحدات النمطية: التي تختفي نتيجة التمايز. ومع ذلك ، فإن التصميم الحالي مقبول أيضًا ، حيث يكون ملف معقدقيم. ولكن إذا كان بكل صرامة ، فمن الضروري في كلتا الحالتين إبداء تحفظ.

أنت الآن بحاجة إلى "تحطيم" لوغاريتم الجانب الأيمن قدر الإمكان (الصيغ أمام عينيك؟). سأصف هذه العملية بتفصيل كبير:

لنبدأ بالاشتقاق.
نختتم كلا الجزأين بضربة:

إن مشتق الجانب الأيمن بسيط للغاية ، ولن أعلق عليه ، لأنه إذا كنت تقرأ هذا النص ، فيجب أن تكون قادرًا على التعامل معه بثقة.

ماذا عن الجانب الأيسر؟

على الجانب الأيسر لدينا وظيفة معقدة. أتوقع السؤال: "لماذا ، هناك حرف واحد" y "تحت اللوغاريتم؟".

الحقيقة هي أن هذا "حرف واحد y" - هي وظيفة في حد ذاتها(إذا لم يكن الأمر واضحًا للغاية ، فارجع إلى مقال مشتق دالة محددة ضمنيًا). لذلك ، اللوغاريتم هو وظيفة خارجية ، و "ص" هي وظيفة داخلية. ونستخدم قاعدة اشتقاق الدالة المركبة :

في الطرف الأيسر ، كما لو كان السحر ، لدينا مشتقة. علاوة على ذلك ، وفقًا لقاعدة التناسب ، نرمي حرف "y" من مقام الجانب الأيسر إلى أعلى الجانب الأيمن:

والآن نتذكر أي نوع من وظيفة "اللعبة" تحدثنا عنها عند التفريق؟ لنلقِ نظرة على الحالة:

الجواب النهائي:

المثال 12

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". تصميم نموذج لمثال من هذا النوع في نهاية الدرس.

بمساعدة المشتق اللوغاريتمي ، كان من الممكن حل أي من الأمثلة رقم 4-7 ، والشيء الآخر هو أن الدوال هناك أبسط ، وربما استخدام المشتق اللوغاريتمي غير مبرر تمامًا.

مشتق من الدالة الأسية

لم نفكر في هذه الوظيفة بعد. الوظيفة الأسية هي وظيفة لها وتعتمد الدرجة والقاعدة على "x". مثال كلاسيكي سيتم إعطاؤه لك في أي كتاب مدرسي أو في أي محاضرة:

كيفية إيجاد مشتق دالة أسية؟

من الضروري استخدام التقنية التي تم النظر فيها للتو - المشتق اللوغاريتمي. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين:

كقاعدة عامة ، تُخرج الدرجة من أسفل اللوغاريتم على الجانب الأيمن:

نتيجة لذلك ، في الجانب الأيمن لدينا منتج من وظيفتين ، سيتم تمييزهما وفقًا للصيغة القياسية .

نجد المشتق ، ولهذا نضع كلا الجزأين تحت ضربات:

الخطوات التالية سهلة:

أخيراً:

إذا لم يكن بعض التحول واضحًا تمامًا ، فيرجى إعادة قراءة تفسيرات المثال 11 بعناية.

في المهام العملية ، ستكون الوظيفة الأسية دائمًا أكثر تعقيدًا من مثال المحاضرة المدروس.

المثال 13

أوجد مشتق دالة

نستخدم المشتق اللوغاريتمي.

على الجانب الأيمن لدينا ثابت وحاصل ضرب عاملين - "x" و "لوغاريتم لوغاريتم x" (لوغاريتم آخر متداخل تحت اللوغاريتم). عند التفريق بين ثابت ، كما نتذكر ، من الأفضل إزالته فورًا من علامة المشتق حتى لا يعيق الطريق ؛ وطبعاً طبِّق القاعدة المألوفة :

في هذا الدرس ، سوف نتعلم كيف نجد مشتق دالة معقدة. الدرس هو استمرار منطقي للدرس كيف تجد المشتق؟حيث قمنا بتحليل أبسط المشتقات على أساسها ، كما تعرفنا على قواعد التفاضل وبعض الطرق الفنية لإيجاد المشتقات. وبالتالي ، إذا لم تكن جيدًا مع مشتقات الدوال أو لم تكن بعض نقاط هذه المقالة واضحة تمامًا ، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. يرجى ضبط الحالة المزاجية الجادة - المواد ليست سهلة ، لكنني سأحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية ، عليك التعامل مع مشتق دالة معقدة في كثير من الأحيان ، حتى أنني أقول دائمًا تقريبًا ، عندما يتم تكليفك بمهام لإيجاد المشتقات.

ننظر في الجدول إلى القاعدة (رقم 5) لتمييز دالة معقدة:

نحن نتفهم. بادئ ذي بدء ، دعنا نلقي نظرة على الترميز. هنا لدينا وظيفتان - والوظيفة ، بالمعنى المجازي ، متداخلة في الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل إحدى الوظائف في أخرى) بالدالة المعقدة.

سوف أستدعي الوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة).

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للتخصيصات. أنا أستخدم التعبيرات غير الرسمية "وظيفة خارجية" ، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المواد.

لتوضيح الموقف ، ضع في اعتبارك:

مثال 1

أوجد مشتق دالة

تحت الجيب ، ليس لدينا فقط الحرف "x" ، ولكن التعبير بالكامل ، لذلك لن ينجح إيجاد المشتق مباشرة من الجدول. نلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربعة الأولى هنا ، ويبدو أن هناك اختلافًا ، ولكن الحقيقة هي أنه من المستحيل "تمزيق" الجيب:

في هذا المثال ، من توضيحاتي ، من الواضح بشكل حدسي أن الوظيفة هي وظيفة معقدة ، وأن كثير الحدود هو وظيفة داخلية (التضمين) ، ووظيفة خارجية.

الخطوة الأولى، والتي يجب إجراؤها عند إيجاد مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأي وظيفة خارجية.

في حالة الأمثلة البسيطة ، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود متداخلة تحت الجيب. لكن ماذا لو لم يكن واضحًا؟ كيف تحدد بالضبط الوظيفة الخارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك ، أقترح استخدام التقنية التالية ، والتي يمكن تنفيذها عقليًا أو على مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير باستخدام آلة حاسبة (بدلاً من واحد ، يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا نحسب اولا؟ أولاًسوف تحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: ، لذا فإن كثير الحدود سيكون وظيفة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى البحث ، لذا فإن الجيب - سيكون دالة خارجية:

بعد نحن يفهممع الدوال الداخلية والخارجية ، حان الوقت لتطبيق قاعدة تمايز الدالة المركبة.

نبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيف تجد المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهنجد مشتق الوظيفة الخارجية (الجيب) ، وننظر إلى جدول مشتقات الوظائف الأولية ونلاحظ ذلك. جميع الصيغ الجدولية قابلة للتطبيق حتى إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

لاحظ أن الوظيفة الداخلية لم يتغير ، نحن لا نتطرق إليه.

حسنًا ، من الواضح تمامًا أن

تبدو النتيجة النهائية لتطبيق الصيغة كما يلي:

يوضع العامل الثابت عادة في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم ، فاكتب القرار على الورق واقرأ التفسيرات مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

مثال 3

أوجد مشتق دالة

كالعادة نكتب:

نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية ، وأين توجد وظيفة داخلية. للقيام بذلك ، نحاول (عقليًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير لـ. ما الذي يجب القيام به أولا؟ بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى حساب ما تساوي القاعدة: ، مما يعني أن كثير الحدود هو الوظيفة الداخلية:

وعندها فقط يتم تنفيذ الأس ، وبالتالي ، فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

وفقًا للصيغة ، تحتاج أولاً إلى إيجاد مشتق الوظيفة الخارجية ، في هذه الحالة ، الدرجة. نحن نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول:. نكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "x" ، ولكن أيضًا للتعبير المعقد. وبالتالي ، فإن نتيجة تطبيق قاعدة تفاضل دالة معقدة هي كالتالي:

أؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتق الوظيفة الخارجية ، فإن الوظيفة الداخلية لا تتغير:

الآن يبقى إيجاد مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية و "مشط" النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على الحل الذاتي (الإجابة في نهاية الدرس).

لتوطيد فهم مشتق دالة معقدة ، سأقدم مثالًا بدون تعليقات ، أحاول اكتشافه بنفسك ، السبب ، أين هو الخارجي وأين الوظيفة الداخلية ، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتق التابع

ب) أوجد مشتق الوظيفة

مثال 6

أوجد مشتق دالة

هنا لدينا جذر ، ولتمييز الجذر ، يجب تمثيله كدرجة. وبالتالي ، فإننا نضع الدالة أولاً في الشكل المناسب للتفاضل:

عند تحليل الوظيفة ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن مجموع المصطلحات الثلاثة هو وظيفة داخلية ، وأن الأس هو وظيفة خارجية. نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

يتم تمثيل الدرجة مرة أخرى على أنها جذرية (جذر) ، وبالنسبة لمشتق الوظيفة الداخلية ، نطبق قاعدة بسيطة لتمييز المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا إحضار التعبير إلى مقام موحد بين قوسين وكتابة كل شيء في صورة كسر واحد. إنه أمر جميل بالطبع ، ولكن عندما يتم الحصول على مشتقات طويلة مرهقة ، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل الخلط ، وارتكاب خطأ غير ضروري ، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق).

مثال 7

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على الحل الذاتي (الإجابة في نهاية الدرس).

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه في بعض الأحيان ، بدلاً من قاعدة تمييز دالة معقدة ، يمكن للمرء استخدام القاعدة لاشتقاق حاصل القسمة ، لكن مثل هذا الحل سيبدو كأنه تحريف مضحك. هنا هو مثال نموذجي:

المثال 8

أوجد مشتق دالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

نحضر دالة التفاضل - نخرج علامة الطرح للمشتق ، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو دالة داخلية ، الأُس دالة خارجية.
دعنا نستخدم قاعدتنا:

نجد مشتق الوظيفة الداخلية ، ونعيد ضبط جيب التمام لأسفل:

مستعد. في المثال المدروس ، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة ، حاول حلها بالقاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

المثال 9

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على الحل الذاتي (الإجابة في نهاية الدرس).

حتى الآن ، نظرنا في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في دالة معقدة. في المهام العملية ، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات ، حيث ، مثل الدمى المتداخلة ، واحدة داخل الأخرى ، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

المثال 10

أوجد مشتق دالة

نحن نفهم مرفقات هذه الوظيفة. نحاول تقييم التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف نعتمد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى البحث ، مما يعني أن القوس هو أعمق تداخل:

يجب بعد ذلك تربيع قوس الزاوية هذا:

وأخيرًا ، نرفع السبعة إلى الأس:

أي في هذا المثال لدينا ثلاث وظائف مختلفة وعشاشين ، في حين أن الوظيفة الأعمق هي القوس ، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

نبدأ في اتخاذ القرار

وفقًا للقاعدة ، عليك أولاً أن تأخذ مشتق الدالة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتق الدالة الأسية: الاختلاف الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير مركب ، والذي لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن ، نتيجة تطبيق قاعدة تفاضل دالة معقدة هي كالتالي:

تحت اندفاعة ، لدينا وظيفة صعبة مرة أخرى! لكنها أسهل بالفعل. من السهل أن نرى أن الوظيفة الداخلية هي قوس القوس وأن الوظيفة الخارجية هي الدرجة. وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة ، عليك أولاً أن تأخذ مشتق الدرجة.

منذ أن جئت إلى هنا ، ربما تمكنت بالفعل من رؤية هذه الصيغة في الكتاب المدرسي

واجعل وجهًا مثل هذا:

صديق لا تقلق! في الواقع ، كل شيء بسيط للعار. سوف تفهم بالتأكيد كل شيء. طلب واحد فقط - اقرأ المقال ببطءحاول أن تفهم كل خطوة. لقد كتبت بأكبر قدر ممكن من البساطة والوضوح ، لكنك ما زلت بحاجة إلى الخوض في الفكرة. وتأكد من حل المهام من المقال.

ما هي وظيفة معقدة؟

تخيل أنك تنتقل إلى شقة أخرى وبالتالي تقوم بتعبئة الأشياء في صناديق كبيرة. فليكن من الضروري جمع بعض العناصر الصغيرة ، على سبيل المثال ، القرطاسية المدرسية. إذا قمت برميهم في صندوق ضخم ، فسوف يضيعون من بين أشياء أخرى. لتجنب ذلك ، عليك أولاً وضعها ، على سبيل المثال ، في كيس ، ثم تضعه بعد ذلك في صندوق كبير ، وبعد ذلك تغلقه. تظهر هذه العملية "الأصعب" في الرسم البياني أدناه:

يبدو ، أين الرياضيات؟ وإلى جانب ذلك ، يتم تشكيل وظيفة معقدة بنفس الطريقة بالضبط! نحن فقط "نحزم" وليس الدفاتر والأقلام ، ولكن \ (x \) ، بينما تخدم "الحزم" و "الصناديق" المختلفة.

على سبيل المثال ، لنأخذ x و "نجمعها" في دالة:

نتيجة لذلك ، نحصل بالطبع على \ (\ cos⁡x \). هذه هي "حقيبة الأشياء" الخاصة بنا. والآن نضعها في "صندوق" - نعبئها ، على سبيل المثال ، في دالة تكعيبية.

ماذا سيحدث في النهاية؟ نعم ، هذا صحيح ، ستكون هناك "حزمة بها أشياء في صندوق" ، أي "جيب تمام x تكعيب".

البناء الناتج هو وظيفة معقدة. إنه يختلف عن البسيط في ذلك يتم تطبيق العديد من "التأثيرات" (الحزم) على X واحد على التواليواتضح ، إذا جاز التعبير ، "دالة من دالة" - "حزمة في حزمة".

في الدورة المدرسية ، هناك أنواع قليلة جدًا من هذه "الحزم" نفسها ، أربعة فقط:

دعنا الآن "نجمع" x أولاً في دالة أسية بالقاعدة 7 ، ثم في دالة مثلثية. نحن نحصل:

\ (س → 7 ^ س → tg⁡ (7 ^ س) \)

والآن دعونا "نحزم" x مرتين في الدوال المثلثية ، أولاً ثم في:

\ (س → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x) \)

بسيط ، أليس كذلك؟

اكتب الآن الوظائف بنفسك ، حيث x:
- أولاً يتم "تعبئتها" في جيب التمام ، ثم في دالة أسية مع القاعدة \ (3 \) ؛
- أولاً إلى القوة الخامسة ، ثم إلى الظل ؛
- أولًا إلى اللوغاريتم الأساسي \ (4 \) ، ثم إلى السلطة \ (- 2 \).

انظر الإجابات على هذا السؤال في نهاية المقال.

ولكن هل يمكننا "حزم" x ليس مرتين ، بل ثلاث مرات؟ لا مشكلة! وأربعة وخمسة وخمسة وعشرون مرة. هنا ، على سبيل المثال ، دالة يتم فيها "تعبئة" x \ (4 \) مرات:

\ (y = 5 ^ (\ log_2⁡ (\ sin⁡ (x ^ 4))) \)

لكن مثل هذه الصيغ لن يتم العثور عليها في الممارسة المدرسية (الطلاب أكثر حظًا - يمكن أن يكونوا أكثر صعوبة☺).

"تفريغ" وظيفة معقدة

انظر إلى الوظيفة السابقة مرة أخرى. هل يمكنك معرفة تسلسل "التعبئة"؟ ما تم حشو X فيه أولاً ، وماذا بعد ذلك ، وما إلى ذلك حتى النهاية. أي وظيفة متداخلة في أي؟ خذ قطعة من الورق واكتب ما تعتقده. يمكنك القيام بذلك بسلسلة من الأسهم ، كما كتبنا أعلاه ، أو بأي طريقة أخرى.

الآن الإجابة الصحيحة هي: أولاً ، تم تعبئة x في \ (4 \) القوة ، ثم تم تجميع النتيجة في الجيب ، وتم وضعها ، بدورها ، في قاعدة اللوغاريتم \ (2 \) ، وفي النهاية تم دفع البناء بالكامل إلى قوة خمسة.

وهذا يعني أنه من الضروري فك التسلسل في الترتيب العكسي. وإليك تلميحًا حول كيفية القيام بذلك بشكل أسهل: فقط انظر إلى X - عليك أن ترقص منه. لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

على سبيل المثال ، هنا دالة: \ (y = tg⁡ (\ log_2⁡x) \). ننظر إلى X - ماذا يحدث له أولاً؟ مأخوذة منه. وثم؟ ظل النتيجة مأخوذة. وسيكون التسلسل هو نفسه:

\ (x → \ log_2⁡x → tg⁡ (\ log_2⁡x) \)

مثال آخر: \ (y = \ cos⁡ ((x ^ 3)) \). نقوم بالتحليل - تم تكعيب x أولاً ، ثم تم أخذ جيب التمام من النتيجة. لذلك سيكون التسلسل: \ (x → x ^ 3 → \ cos⁡ ((x ^ 3)) \). انتبه ، تبدو الوظيفة مشابهة للوظيفة الأولى (حيث توجد الصور). لكن هذه وظيفة مختلفة تمامًا: هنا في المكعب x (أي \ (\ cos⁡ ((x x))) \) ، وهناك في المكعب جيب التمام \ (x \) (أي \ (\ cos⁡x \ cos⁡x \ cos⁡x \)). ينشأ هذا الاختلاف من تسلسلات "حزم" مختلفة.

المثال الأخير (مع معلومات مهمة فيه): \ (y = \ sin⁡ ((2x + 5)) \). من الواضح أننا أجرينا هنا أولاً عمليات حسابية باستخدام x ، ثم تم أخذ الجيب من النتيجة: \ (x → 2x + 5 → \ sin⁡ ((2x + 5)) \). وهذه نقطة مهمة: على الرغم من حقيقة أن العمليات الحسابية ليست وظائف في حد ذاتها ، فإنها تعمل هنا أيضًا كطريقة "للتعبئة". دعونا نتعمق أكثر في هذه الدقة.

كما قلت أعلاه ، في الوظائف البسيطة يتم "حزم" مرة واحدة ، وفي وظائف معقدة - وظيفتان أو أكثر. علاوة على ذلك ، فإن أي مجموعة من الوظائف البسيطة (أي مجموعها أو فرقها أو ضربها أو قسمةها) هي أيضًا وظيفة بسيطة. على سبيل المثال ، \ (x ^ 7 \) دالة بسيطة ، وكذلك \ (ctg x \). ومن ثم ، فإن كل مجموعاتها عبارة عن وظائف بسيطة:

\ (x ^ 7 + ctg x \) - بسيط ،
\ (x ^ 7 ctg x \) بسيط ،
\ (\ frac (x ^ 7) (ctg x) \) بسيط ، وهكذا.

ومع ذلك ، إذا تم تطبيق وظيفة أخرى على مثل هذه المجموعة ، فستكون بالفعل دالة معقدة ، حيث سيكون هناك "حزمتان". انظر الرسم التخطيطي:

حسنًا ، دعنا نواصل الأمر الآن. اكتب تسلسل وظائف "الالتفاف":
\ (y = cos (⁡ (sin⁡x)) \)
\ (ص = 5 ^ (س ^ 7) \)
\ (ص = arctg⁡ (11 ^ س) \)
\ (y = log_2⁡ (1 + x) \)
الإجابات مرة أخرى في نهاية المقال.

الوظائف الداخلية والخارجية

لماذا نحتاج إلى فهم تداخل الوظائف؟ ماذا يعطينا هذا؟ النقطة المهمة هي أنه بدون مثل هذا التحليل لن نتمكن من العثور بشكل موثوق على مشتقات الوظائف التي تمت مناقشتها أعلاه.

ومن أجل المضي قدمًا ، سنحتاج إلى مفهومين آخرين: الوظائف الداخلية والخارجية. هذا شيء بسيط للغاية ، علاوة على ذلك ، في الواقع ، قمنا بالفعل بتحليلها أعلاه: إذا تذكرنا التشبيه في البداية ، فإن الوظيفة الداخلية هي "الحزمة" ، والوظيفة الخارجية هي "الصندوق". أولئك. ما هو "ملفوف" في البداية هو وظيفة داخلية ، وما يتم "تغليفه" الداخلي به هو بالفعل خارجي. حسنًا ، من المفهوم لماذا - إنه خارجي ، إنه خارجي.

هنا في هذا المثال: \ (y = tg⁡ (log_2⁡x) \) ، الوظيفة \ (\ log_2⁡x \) داخلية ، و
- خارجي.

وفي هذا: \ (y = \ cos⁡ ((x ^ 3 + 2x + 1)) \) ، \ (x ^ 3 + 2x + 1 \) داخلي ، و
- خارجي.

نفذ آخر ممارسة لتحليل الوظائف المعقدة ، وأخيرًا ، دعنا ننتقل إلى النقطة التي بدأ فيها كل شيء - سنجد مشتقات للدوال المعقدة:

املأ الفجوات في الجدول:

مشتق دالة معقدة

برافو بالنسبة لنا ، ما زلنا نصل إلى "رئيس" هذا الموضوع - في الواقع ، مشتق دالة معقدة ، وعلى وجه التحديد ، لتلك الصيغة الرهيبة للغاية من بداية المقال.

\ ((f (g (x))) "= f" (g (x)) \ cdot g "(x) \)

تقرأ هذه الصيغة على النحو التالي:

مشتق دالة معقدة يساوي منتج مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالوظيفة الداخلية الثابتة ومشتق الوظيفة الداخلية.

وانظر على الفور إلى مخطط الإعراب "بالكلمات" لفهم ما يجب أن يتعلق به:

آمل ألا تسبب المصطلحان "مشتق" و "منتج" صعوبات. "وظيفة معقدة" - قمنا بتفكيكها بالفعل. المصيد في "مشتق من وظيفة خارجية فيما يتعلق بوظيفة داخلية ثابتة". ما هذا؟

الجواب: هذا هو المشتق المعتاد للدالة الخارجية ، حيث تتغير الوظيفة الخارجية فقط ، بينما تظل الوظيفة الداخلية كما هي. لا يزال غير واضح؟ حسنًا ، لنأخذ مثالاً.

لنفترض أن لدينا دالة \ (y = \ sin⁡ (x ^ 3) \). من الواضح أن الوظيفة الداخلية هنا هي \ (x ^ 3 \) ، والدالة الخارجية
. دعونا الآن نجد مشتق الخارجي بالنسبة للداخلي الثابت.