تناغم متعددات الوجوه المنتظمة. عناصر التماثل في متعددات الوجوه المنتظمة ما عدد محاور التماثل في المجسم الثماني المنتظم؟

النص النصي للدرس:

تستمر معرفتنا بمتعددات الوجوه.

تذكر أن متعدد السطوح يسمى منتظمًا إذا تم استيفاء الشروط التالية:

1.متعدد السطوح محدب.

2. جميع وجوهه مضلعات منتظمة متساوية؛

3. نفس عدد الوجوه المتقاربة عند كل من قممها؛

4. جميع زواياه ثنائية السطوح متساوية.

تعلمت في الدروس السابقة عن الوجود الفريد لخمسة أنواع من متعددات الوجوه المنتظمة:

رباعي السطوح، المجسم الثماني، العشروني السطوح، السداسي (المكعب) والاثني عشري السطوح.

اليوم سنلقي نظرة على عناصر التماثل لمتعددات الوجوه المنتظمة المدروسة.

ليس للرباعي المنتظم مركز تناظر.

ومحور تماثلها عبارة عن خط مستقيم يمر بمنتصف الحواف المتقابلة.

مستوى التماثل هو المستوى الذي يمر عبر أي حافة متعامدة مع الحافة المقابلة.

يحتوي رباعي السطوح المنتظم على ثلاثة محاور تماثل وست مستويات تماثل.

للمكعب مركز تماثل واحد - وهذه هي نقطة تقاطع قطريه.

محاور التماثل هي الخطوط المستقيمة التي تمر بمركزي الوجوه المتقابلة ونقطتي منتصف حافتين متقابلتين لا تنتميان إلى نفس الوجه.

يحتوي المكعب على تسعة محاور تماثل تمر عبر مركز التماثل.

المستوى الذي يمر عبر أي محورين من التماثل هو مستوى التماثل.

يحتوي المكعب على تسع مستويات من التماثل.

يحتوي المجسم الثماني المنتظم على مركز تناظر - مركز المجسم الثماني، و9 محاور تناظر و9 مستويات تناظر: ثلاثة محاور تناظر تمر عبر القمم المتقابلة، وستة محاور تمر عبر نقاط منتصف الحواف.

مركز التماثل للمجسم الثماني هو نقطة تقاطع محاور التماثل.

تمر ثلاث من مستويات التماثل التسعة لرباعي الأسطح عبر كل 4 رؤوس من المجسم الثماني الواقع في نفس المستوى.

تمر ستة مستويات من التماثل عبر رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه ونقاط منتصف الحواف المتقابلة.

يحتوي المجسم العشروني المنتظم على 12 رأسًا. يحتوي المجسم العشروني على مركز تناظر - مركز المجسم العشروني، و15 محور تناظر و15 مستوى تناظر: خمس مستويات من التماثل تمر عبر الزوج الأول من الرؤوس المتقابلة (كل منها يمر عبر حافة تحتوي على الرأس، عمودي على الزاوية المقابلة).

للزوج الثالث نحصل على 3 طائرات جديدة، للزوج الرابع - طائرتان وللزوج الخامس طائرة جديدة واحدة فقط.

لن يمر أي مستوى جديد من التماثل عبر الزوج السادس من القمم.

يتكون الاثني عشر وجهًا منتظمًا من اثني عشر مضلعًا خماسيًا منتظمًا. يحتوي الاثني عشر وجهًا على مركز تناظر - مركز الاثني عشر وجهًا، و15 محور تناظر و15 مستوى تناظر: تمر مستويات التناظر عبر الحافة التي تحتوي على الرأس، المتعامدة مع الحافة المقابلة. لذلك، تمر 5 مستويات من خلال الزوج الأول من الخماسيات المتقابلة، و4 من خلال الزوج الثاني، و3 من خلال الثالث، و2 من خلال الرابع، و1 من خلال الخامس.

دعونا نحل العديد من المهام باستخدام المعرفة المكتسبة.

أثبت أنه في الشكل الرباعي المنتظم تكون الأجزاء التي تربط مراكز وجوهه متساوية.

نظرًا لأن جميع وجوه رباعي السطوح المنتظم متساوية وأي منها يمكن اعتباره قاعدة، والثلاثة الأخرى يمكن اعتبارها وجوهًا جانبية، فسيكون ذلك كافيًا لإثبات المساواة بين القطع OM وON.

دليل:

1. البناء الإضافي: ارسم خطًا مستقيمًا DN حتى يتقاطع مع الجانب AC، لتحصل على النقطة F؛

نرسم خطاً مستقيماً DM حتى يتقاطع مع الضلع AB فنحصل على النقطة E.

ثم قم بتوصيل الرأس A بالنقطة F؛

الرأس C مع النقطة E.

2. النظر في المثلثات DEO وDOP، ​​هم

مستطيلة، لأن DO هو ارتفاع رباعي السطوح، ثم يكونان متساويين في الوتر والساق: DO-المجموع، DE = DF (ارتفاعات الوجوه المتساوية لرباعي السطوح)).

من تساوي هذه المثلثات يستنتج أن OE=OF, ME=NF (نقاط المنتصف ذات الأضلاع المتساوية)،

الزاوية DEO تساوي الزاوية DFO.

3. مما تم إثباته أعلاه يتبين أن المثلثين OEM وOFN متساويان في الضلعين والزاوية بينهما (انظر النقطة 2).

ومن تساوي هذه المثلثات يستنتج أن OM = ON.

Q.E.D.

هل يوجد هرم رباعي الزوايا ضلعاه المتقابلان متعامدان مع قاعدته؟

دعونا نثبت أن مثل هذا الهرم لا يوجد بالتناقض.

دليل:

1. اجعل الحافة PA1 متعامدة مع قاعدة الهرم والحافة PA2 أيضًا متعامدة مع القاعدة.

2. ثم، وفقًا للنظرية (خطان متعامدان مع الخط الثالث متوازيان)، نحصل على أن الحافة RA1 موازية للحافة RA2.

3. لكن للهرم نقطة مشتركة لجميع الحواف الجانبية (وبالتالي الوجوه) - الجزء العلوي من الهرم.

لقد حصلنا على التناقض، وبالتالي لا يوجد هرم رباعي الزوايا وجوهه المتقابلة متعامدة مع القاعدة.

المجسم الثُماني هو أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة، وله 8 أوجه مثلثة، و12 حرفًا، و6 رؤوس. وكل رأس من رؤوسه هو رؤوس أربعة مثلثات. مجموع زوايا المستوى عند كل رأس هو 240 درجة. يحتوي المجسم الثماني على مركز تناظر - مركز المجسم الثماني و9 محاور تناظر و9 مستويات تناظر.

في الطبيعة، في العلوم، في الحياة، يتم العثور على هذا متعدد السطوح في كثير من الأحيان: فهو يستخدم في شرح بنية وأشكال الكون، في بنية الحمض النووي وتكنولوجيا النانو، وفي إنشاء ألعاب الألغاز.

ولكن غالبًا ما يتم العثور عليه في المقام الأول - في الطبيعة. وهي في هيكل البلورات. بلورات الماس والبيروفسكايت والأوليفين والفلوريت والإسبنيل وشب الألومنيوم والبوتاسيوم وكبريتات النحاس وحتى كلوريد الصوديوم والذهب لها شكل ثماني السطوح!

كما تستخدم متعددات الوجوه في الرسم. إن أبرز مثال على التصوير الفني لمتعددات الوجوه في القرن العشرين هو بالطبع التخيلات الرسومية لموريتس كورنيليس إيشر (1898-1972)، وهو فنان هولندي ولد في ليوفاردن. يبدو أن موريتس إيشر، في رسوماته، قد اكتشف ووضح بشكل حدسي قوانين الجمع بين عناصر التماثل، أي. تلك القوانين التي تحكم البلورات، وتحدد شكلها الخارجي، وبنيتها الذرية، وخواصها الفيزيائية.

كان للأجسام الهندسية المنتظمة - متعددات الوجوه - سحر خاص لإيشر. في العديد من أعماله، تعد متعددات الوجوه هي الشخصية الرئيسية، وفي المزيد من الأعمال تظهر كعناصر مساعدة.

أرز. 7. نقش "النجوم" لإيشر

العمل الأكثر إثارة للاهتمام لـ Escher هو نقش "النجوم"، حيث يمكنك رؤية المواد الصلبة التي تم الحصول عليها من خلال الجمع بين رباعيات السطوح والمكعبات والمجسمات الثمانية.

خاتمة

خلال هذا العمل، تم النظر في مفهوم متعددات الوجوه المنتظمة، وعلمنا أن متعدد الوجوه يسمى منتظمًا إذا: 1) كان محدبًا؛ 2) جميع وجوهه مضلعات منتظمة متساوية مع بعضها البعض؛ 3) جميع ثنائيات السطوح متساوية. 4) يتقارب عدد الحواف نفسها عند كل قمة من رؤوسها.

بعد أن درسنا تاريخ ظهور المواد الصلبة الأفلاطونية، علمنا أن هناك خمسة متعددات وجوه منتظمة: رباعي السطوح، ومكعب، وثماني السطوح، واثنا عشري السطوح، وعشروني الوجوه. أسمائهم من اليونان القديمة. تُترجم حرفيًا من اليونانية ، "رباعي السطوح" ، "مثمن السطوح" ، "سداسي السطوح" ، "اثنا عشري الوجوه" ، "عشريني الوجوه" تعني: "رباعي السطوح" ، "ثماني السطوح" ، "سداسي السطوح" ، "اثنا عشري الوجوه" ، "عشرون وجهًا".

سمحت لنا الأدبيات والمصادر المستخدمة بدراسة هذا الموضوع بمزيد من التعمق.

بعد تحليل المجسمات العشرونية والمجسمات الثماني بمزيد من التفصيل، بالإضافة إلى تطبيقاتها في مختلف المجالات، رأينا أن دراسة المواد الصلبة الأفلاطونية والأشكال ذات الصلة مستمرة حتى يومنا هذا. على الرغم من أن الجمال والتماثل هما الدوافع الرئيسية للبحث الحديث، إلا أن لهما أيضًا بعض الأهمية العلمية، خاصة في علم البلورات. توجد بلورات ملح الطعام وثيوأنتيمونيد الصوديوم وشب الكروم في الطبيعة على شكل مكعب ورباعي السطوح وثماني السطوح على التوالي. لا يتم العثور على العشروني الوجوه بين الأشكال البلورية، ولكن يمكن ملاحظته بين أشكال الكائنات البحرية المجهرية المعروفة باسم الشعاعيات.

إن أفكار أفلاطون وكيبلر حول ارتباط متعددات الوجوه المنتظمة بالبنية المتناغمة للعالم وجدت استمرارها في عصرنا في فرضية علمية مثيرة للاهتمام مفادها أن قلب الأرض له شكل وخصائص بلورة متنامية، مما يؤثر على تطور جميع العمليات الطبيعية التي تحدث على هذا الكوكب. تحدد أشعة هذه البلورة، أو بالأحرى، مجال قوتها، بنية الأرض ذات العشرين وجهًا والاثنا عشر وجهًا. ويتجلى ذلك في حقيقة أنه تظهر في قشرة الأرض نتوءات لمتعددات الوجوه المنتظمة المنقوشة في الكرة الأرضية: المجسم العشروني والاثني عشري.

كما أظهر النحاتون والمهندسون المعماريون والفنانون اهتمامًا كبيرًا بأشكال متعددات الوجوه المنتظمة. لقد اندهشوا جميعًا من كمال وانسجام الأشكال المتعددة السطوح.

فهرس

1. ألكساندروف إيه دي وآخرون الهندسة للصفوف 10-11: كتاب مدرسي. دليل لطلاب المدارس. والطبقات المتقدمة درس الرياضيات / أ.د ألكساندروف، أ.ل.ويرنر، في.آي.ريزيك. – الطبعة الثالثة، المنقحة. - م: التربية، 1992 – 464 ص.

2. أتاناسيان إل إس وآخرون. الهندسة 10 - 11.- ماجستير: تربية، 2003.

3. فاسيليفسكي أ.ب. التوقعات الموازية - موسكو، 2012.

4. فولوشينوف أ.ف. الرياضيات والفن - م: التربية، 2002.

5. نماذج غونشار V.V. لمتعددات الوجوه. – م: أكيم، 1997. – 64 ص.

6. ديتياتكين ف. ليوناردو دافنشي - م: موسكو، 2002.

7. إقليدس. البداية.- في 3 مجلدات. لام. 1948 – 1950.

8. الرياضيات: الموسوعة المدرسية / الفصل. إد. نيكولسكي س. م. – م.: دار النشر العلمي. "الموسوعة الروسية الكبرى"، 1996

9. بيدو د. الهندسة والفن. - موسكو 1999.