مهام المرحلة المدرسية من أولمبياد عموم روسيا لأطفال المدارس في الرياضيات. الأولمبياد الرياضي ومشكلات الأولمبياد اشترى نيكولاي دفتر ملاحظات مشتركًا بحجم 96 ورقة

المهمة 16:

هل من الممكن استبدال 25 روبل بعشرة أوراق نقدية من فئات 1 و 3 و 5 روبل؟ المحلول:

الجواب: لا

اشترى بيتيا دفتر ملاحظات مشتركًا بحجم 96 ورقة وقام بترقيم جميع صفحاته بالترتيب بالأرقام من 1 إلى 192. مزق فاسيا 25 ورقة من هذا دفتر الملاحظات وأضاف جميع الأرقام الـ 50 المكتوبة عليها. هل كان يمكن أن يكون قد صنع 1990؟ المحلول:

في كل ورقة ، يكون مجموع أرقام الصفحات فرديًا ، ومجموع الأرقام الفردية البالغ عددها 25 رقمًا فرديًا.

حاصل ضرب 22 عددًا صحيحًا يساوي 1. أثبت أن مجموعها لا يساوي صفرًا. المحلول:

من بين هذه الأرقام عدد زوجي من "ناقص الآحاد" ، ولكي يكون المجموع مساويًا للصفر ، يجب أن يكون هناك 11 منهم بالضبط.

هل من الممكن تكوين مربع سحري من أول 36 عددًا أوليًا؟ المحلول:

من بين هذه الأرقام ، واحد (2) زوجي والباقي فردي. لذلك ، في السطر حيث يوجد شيطان ، يكون مجموع الأرقام فرديًا ، وفي الآخرين يكون زوجيًا.

الأعداد من 1 إلى 10 مكتوبة في صف هل من الممكن وضع علامتي "+" و "-" بينهما بحيث تكون قيمة التعبير الناتج مساوية للصفر؟

ملاحظة: ضع في اعتبارك أن الأرقام السالبة يمكن أن تكون أيضًا زوجية وفردية. المحلول:

في الواقع ، مجموع الأعداد من 1 إلى 10 هو 55 ، وبتغيير الإشارات الموجودة فيه ، نغير التعبير بالكامل إلى عدد زوجي.

يقفز الجندب في خط مستقيم ، وفي المرة الأولى قفز 1 سم في اتجاه ما ، وفي المرة الثانية قفز 2 سم ، وهكذا. أثبت أنه بعد قفزات عام 1985 لا يمكنه أن يكون حيث بدأ. المحلول:

ملحوظة: مجموع 1 + 2 + ... + 1985 فردي.

الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 1984 ، 1985 مكتوبة على السبورة ، ويُسمح بمسح أي رقمين من السبورة وكتابة معامل الفرق بينهما بدلاً من ذلك. في النهاية ، سيبقى رقم واحد فقط على السبورة. هل يمكن أن تكون صفرا؟ المحلول:

تأكد من أن العمليات المشار إليها لا تغير التكافؤ بين مجموع كل الأرقام المكتوبة على السبورة.

هل من الممكن تغطية رقعة الشطرنج بـ 1 × 2 دومينو بحيث تظل الخلايا a1 و h8 فقط حرة؟ المحلول:

يغطي كل دومينو مربعًا أسود وآخر أبيض ، وعندما يتم التخلص من مربعي a1 و h8 ، يقل عدد المربعات السوداء بمقدار 2 عن المربع الأبيض.

إلى الرقم المكون من 17 رقمًا تمت إضافة الرقم المكتوب بنفس الأرقام ، ولكن بترتيب عكسي. إثبات أن رقمًا واحدًا على الأقل من المجموع الناتج هو رقم زوجي. المحلول:

حلل حالتين: مجموع أول وآخر رقم أقل من 10 ، ومجموع أول وآخر رقم لا يقل عن 10. إذا افترضنا أن جميع أرقام المجموع فردية ، ثم في الحالة الأولى لا ينبغي أن يكون هناك حمل واحد في الأرقام (والذي ، من الواضح أنه يؤدي إلى تناقض) ، وفي الحالة الثانية ، وجود حمل عند الانتقال من اليمين إلى اليسار أو من اليسار إلى اليمين بدائل مع عدم وجود حمل ، ونتيجة لذلك نحصل على أن رقم المجموع في الرقم التاسع هو بالضرورة زوجي.

هناك 100 فرد في فرقة الشعب ، ويذهب ثلاثة منهم كل مساء إلى الخدمة. هل يمكن أن يتبين بعد مرور بعض الوقت أن الجميع كانوا في الخدمة مع الجميع مرة واحدة بالضبط؟ المحلول:

نظرًا لأنه في كل ساعة يشارك فيها هذا الشخص ، فإنه يعمل مع شخصين آخرين ، ثم يمكن تقسيم كل الباقي إلى أزواج. ومع ذلك ، 99 هو رقم فردي.

هناك 45 نقطة محددة على الخط المستقيم التي تقع خارج المقطع AB. إثبات أن مجموع المسافات من هذه النقاط إلى النقطة أ لا يساوي مجموع المسافات من هذه النقاط إلى النقطة ب. المحلول:

لأي نقطة X تقع خارج AB ، لدينا AX - BX = ± AB. إذا افترضنا أن مجموع المسافات متساوية ، فسنحصل على أن التعبير ± AB ± AB ± ... ± AB ، الذي يتضمن 45 حدًا ، يساوي صفرًا. لكن هذا غير واقعي.

هناك 9 أعداد مرتبة في دائرة - 4 آحاد و 5 أصفار. كل ثانية ، يتم تنفيذ العملية التالية على الأرقام: يتم وضع الصفر بين الأرقام المتجاورة إذا كانت مختلفة ، وواحدة إذا كانت متساوية ؛ بعد ذلك تمحى الأرقام القديمة. هل يمكن أن تصبح جميع الأرقام كما هي بعد مرور بعض الوقت؟ المحلول:

من الواضح أنه لا يمكن الحصول على مجموعة من تسعة آحاد قبل تسعة أصفار. إذا كان هناك تسعة أصفار ، فعند الحركة السابقة ، يجب أن يكون هناك تناوب بين الأصفار والآحاد ، وهو أمر مستحيل ، حيث لا يوجد سوى عدد فردي منها.

25 فتى و 25 فتاة يجلسون على طاولة مستديرة. اثبت أن أحد الجالسين على الطاولة لديه صبيان جاران. المحلول:

دعونا نقوم بإثباتنا بالتناقض. نرقم كل الجالسين على الطاولة بالترتيب ، بدءًا من مكان ما. إذا كان الصبي جالسًا في المكانة k ، فمن الواضح أن (k - 2) - th و (k + 2) - تشغلها الفتيات. ولكن نظرًا لوجود أعداد متساوية من الأولاد والبنات ، فبالنسبة لأي فتاة تجلس في المرتبة التاسعة ، فمن الصحيح أن المكانين (ن - 2) و (ن + 2) يشغلهما الأولاد. إذا نظرنا الآن فقط إلى هؤلاء الـ 25 شخصًا الذين يجلسون في أماكن "متساوية" ، فسنحصل على ذلك من بينهم الفتيان والفتيات بالتناوب إذا ما ذهبوا حول الطاولة في اتجاه ما. لكن 25 عدد فردي.

يزحف الحلزون على طول الطائرة بسرعة ثابتة ، ويدور بزاوية قائمة كل 15 دقيقة. إثبات أنه لا يمكن العودة إلى نقطة البداية إلا بعد عدد صحيح من الساعات. المحلول:

من الواضح أن الرقم أ للأقسام التي زحف الحلزون فيها لأعلى أو لأسفل يساوي عدد الأقسام التي زحف فيها إلى اليمين أو اليسار. يبقى فقط أن نلاحظ أن a هو الزوجي.

يلعب ثلاثة جنادب قفزة على خط مستقيم. في كل مرة يقفز أحدهما فوق الآخر (لكن ليس أكثر من اثنين في وقت واحد!). هل يمكنهم العودة إلى مواقعهم الأصلية بعد قفزة عام 1991؟ المحلول:

أشر إلى الجنادب A و B و C. دعنا نطلق على ترتيبات الجنادب ABC و BCA و CAB (من اليسار إلى اليمين) صحيحة ، و ACB و BAC و CBA غير صحيحة. من السهل أن ترى أنه مع أي قفزة يتغير نوع الترتيب.

يوجد 101 قطعة نقدية ، 50 منها مزورة ، ويختلف وزنها بمقدار 1 جرام عن العملات الحقيقية. أخذ بيتيا عملة واحدة ولواحد يزن على الميزان بسهم يوضح الفرق في الأوزان على الأكواب ، يريد تحديد ما إذا كانت مزيفة. ايمكنه فعلها؟ المحلول:

تحتاج إلى وضع هذه العملة جانبًا ، ثم تقسيم الـ 100 قطعة المتبقية إلى مجموعتين من 50 قطعة نقدية ، ومقارنة أوزان هذه الأكوام. إذا اختلفوا بعدد زوجي من الجرامات ، فإن العملة المعدنية التي نهتم بها حقيقية. إذا كان الفرق بين الأوزان غريبًا ، فإن العملة المعدنية مزيفة.

هل من الممكن كتابة الأعداد من 1 إلى 9 على التوالي مرة واحدة ، بحيث يكون هناك عدد فردي من الأرقام بين واحد واثنين ، اثنان وثلاثة ، ... ، ثمانية وتسعة؟ المحلول:

خلاف ذلك ، ستكون جميع الأرقام في الصف في أماكن من نفس التكافؤ.

اشترى بيتيا في هذا العمل دفتر ملاحظات مشتركًا بحجم 96 ورقة وقام بترقيم جميع صفحاته بالترتيب بالأرقام من 1 إلى 192. سحب فاسيا (التحكم) حول هذا الموضوع (AHD والتحليل المالي) ، تم تصنيعه خصيصًا من قبل شركتنا المتخصصين واجتاز دفاعه الناجح. العمل - اشترت Petya دفتر ملاحظات مشتركًا بحجم 96 ورقة وقام بترقيم جميع صفحاته بالترتيب بالأرقام من 1 إلى 192. انسحب Vasya بشأن موضوع AHD ويعكس التحليل المالي موضوعه والمكون المنطقي للإفصاح عنه ، تم الكشف عن جوهر القضية قيد الدراسة ، وتم تسليط الضوء على الأحكام الرئيسية والأفكار الرائدة في هذا الموضوع.
العمل - اشترى بيتيا دفتر ملاحظات مشتركًا بحجم 96 ورقة وقام بترقيم جميع صفحاته بالترتيب بالأرقام من 1 إلى 192. قام فاسيا بتمزيقه ، ويحتوي على: جداول ورسومات وأحدث المصادر الأدبية وسنة التقديم والدفاع عن العمل - 2017. في العمل ، اشترى بيتيا دفترًا مشتركًا بحجم 96 ورقة وقام بترقيم جميع صفحاته بالترتيب بالأرقام من 1 إلى 192. سحب فاسيا (AHD والتحليل المالي) تم الكشف عن أهمية موضوع البحث ، تنعكس درجة تطور المشكلة ، بناءً على تقييم وتحليل عميقين للأدبيات العلمية والمنهجية ، في العمل على موضوع AHD والتحليل المالي ، ويتم النظر في موضوع التحليل وقضاياه بشكل شامل ، سواء من الناحية النظرية والجوانب العملية ، تتم صياغة الهدف والمهام المحددة للموضوع قيد النظر ، وهناك منطق لعرض المادة وتسلسلها.

الأقسام: رياضيات

عزيزي المشارك في الأولمبياد!

يقام أولمبياد الرياضيات المدرسي في جولة واحدة.
هناك 5 مهام بمستويات صعوبة مختلفة.
لا توجد متطلبات خاصة لتصميم العمل. يمكن أن يكون شكل عرض حل المشكلات ، وكذلك طرق الحل. إذا كانت لديك أي أفكار فردية حول مهمة معينة ، ولكن لا يمكنك إنهاء الحل ، فلا تتردد في ذكر كل أفكارك. سيتم تقييم المشكلات التي تم حلها جزئيًا من خلال عدد النقاط المقابل.
ابدأ في حل المهام التي تبدو أسهل بالنسبة لك ، ثم انتقل إلى الباقي. بهذه الطريقة توفر الوقت.

نتمنى لكم التوفيق!

المرحلة المدرسية من أولمبياد عموم روسيا لأطفال المدارس في الرياضيات

درجة 5

التمرين 1. في التعبير 1 * 2 * 3 * 4 * 5 ، استبدل "*" بعلامات الحركة وضع الأقواس هكذا. للحصول على تعبير قيمته 100.

المهمة 2. مطلوب لفك تشفير سجل المساواة الحسابية ، حيث يتم استبدال الأرقام بأحرف ، واستبدال الأرقام المختلفة بأحرف مختلفة ، نفس الأرقام هي نفسها.

خمسة - ثلاثة = اثنانومن المعروف أنه بدلا من الحرف أتحتاج إلى إدخال الرقم 2.

المهمة 3. كيف تقسم 80 كجم من المسامير إلى جزأين - 15 كجم و 65 كجم باستخدام ميزان بدون أوزان؟

المهمة 4. اقطع الشكل الموضح في الشكل إلى جزأين متساويين بحيث يكون لكل جزء نجمة واحدة. يمكنك فقط قطع على طول خطوط الشبكة.

المهمة 5. الكوب والصحن معًا يكلفان 25 روبل ، بينما يكلف 4 أكواب و 3 صحون 88 روبل. ابحث عن سعر الكوب وسعر الصحن.

الصف السادس.

التمرين 1. قارن الكسور بدون تقريبها إلى قاسم مشترك.

المهمة 2. مطلوب لفك تشفير سجل المساواة الحسابية ، حيث يتم استبدال الأرقام بأحرف ، واستبدال الأرقام المختلفة بأحرف مختلفة ، نفس الأرقام هي نفسها. من المفترض أن المساواة الأصلية صحيحة ومكتوبة وفقًا لقواعد الحساب المعتادة.

الشغل
+ سوف
حظ

المهمة 3. جاء ثلاثة أصدقاء إلى المخيم الصيفي للراحة: ميشا وفولوديا وبيتيا. من المعروف أن لكل منهم أحد الألقاب التالية: إيفانوف ، سيمينوف ، جيراسيموف. ميشا ليس جيراسيموف. والد فولوديا مهندس. فولوديا في الصف السادس. جيراسيموف في الصف الخامس. والد إيفانوف مدرس. ما هو الاسم الأخير لكل من الأصدقاء الثلاثة؟

المهمة 4. قسّم الشكل على طول خطوط الشبكة إلى أربعة أجزاء متطابقة بحيث يكون لكل جزء نقطة واحدة.

المهمة 5. نام اليعسوب القافز نصف الوقت من كل يوم من أيام الصيف الأحمر ، ورقص لثلث الوقت من كل يوم ، وغنى للجزء السادس. بقية الوقت قررت تكريسه للاستعداد لفصل الشتاء. كم ساعة في اليوم استعدت اليعسوب لفصل الشتاء؟

الصف السابع.

التمرين 1. قم بحل rebus إذا كنت تعلم أن أكبر رقم في الرقم STRONG هو 5:

يقرر
إذا
قوي

المهمة 2. حل المعادلة 7 - س│ = 9.3

المهمة 3. بعد سبع غسلات ، انخفض طول وعرض وسمك الصابون إلى النصف. كم عدد الغسلات نفسها التي ستدوم مع الصابون المتبقي؟

المهمة 4 . قسّم المستطيل المكون من 4 × 9 خلايا على طول جوانب الخلايا إلى جزأين متساويين بحيث يمكنك بعد ذلك إنشاء مربع منها.

المهمة 5. تم طلاء مكعب خشبي بطلاء أبيض من جميع الجوانب ، ثم نُشر إلى 64 مكعبًا متطابقًا. ما هو عدد المكعبات الملونة من الجوانب الثلاثة؟ من جانبين؟
من جهة؟ كم عدد المكعبات غير الملونة؟

الصف 8.

التمرين 1. يا له من رقمين ينهي الرقم 13!

المهمة 2. تصغير الكسر:

المهمة 3. دائرة الدراما المدرسية ، تستعد لإنتاج مقتطفات من الحكاية الخيالية لأ. بوشكين حول القيصر سلطان ، قرر توزيع الأدوار بين المشاركين.
- سأكون تشيرنومور ، - قال يورا.
- لا ، سأكون تشيرنومور ، - قال كوليا.
- حسنًا ، - تنازل له يورا ، - يمكنني لعب Gvidon.
- حسنًا ، يمكنني أن أصبح سلطانًا ، - أظهرت كوليا أيضًا امتثالها.
- أوافق على أن أكون غيدون فقط! قال ميشا.
تم إرضاء رغبات الأولاد. كيف تم توزيع الأدوار؟

المهمة 4. يُرسم الوسيط AD في مثلث متساوي الساقين ABC قاعدته AB = 8m. محيط المثلث ACD أكبر من محيط المثلث ABD بمقدار 2 م. البحث عن AS.

المهمة 5. اشترى نيكولاي دفتر ملاحظات مشتركًا مكونًا من 96 ورقة وقام بترقيم الصفحات من 1 إلى 192. مزق ابن أخيه آرثر 35 ورقة من هذا دفتر الملاحظات وأضاف جميع الأرقام الـ 70 التي كُتبت عليها. هل يمكنه الحصول على عام 2010.

الصف 9

التمرين 1. ابحث عن آخر رقم لعام 1989 1989.

المهمة 2. مجموع جذور بعض المعادلات التربيعية هو 1 ، ومجموع مربعاتها هو 2. ما مجموع مكعباتها؟

المهمة 3. باستخدام ثلاثة متوسطات m a و m b و m c ∆ ABC ، ​​أوجد طول الضلع AC = b.

المهمة 4. اختصر الكسر .

المهمة 5. ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار حرف متحرك وحرف ساكن في كلمة "kamzol"؟

الصف 10.

التمرين 1. يوجد حاليًا عملات معدنية بقيمة 1 ، 2 ، 5 ، 10 روبل. حدد جميع المبالغ المالية التي يمكن دفعها بعدد زوجي وفردي من العملات المعدنية.

المهمة 2. أثبت أن 5 + 5 2 + 5 3 +… + 5 2010 قابل للقسمة على 6.

المهمة 3. في شكل رباعي ا ب ت ثتتقاطع الأقطار عند نقطة م. ومن المعروف أن ص = 1 ،
VM = 2 ، سم = 4. في أي قيم DMرباعي ا ب ت ثهو شبه منحرف؟

المهمة 4. حل نظام المعادلات

المهمة 5. تصافح ثلاثون تلميذا من طلاب الصف العاشر والحادي عشر. في الوقت نفسه ، اتضح أن كل طالب في الصف العاشر تصافح ثمانية طلاب من الصف الحادي عشر ، وتصافح كل طالب في الصف الحادي عشر بسبعة طلاب في الصف العاشر. كم عدد طلاب الصف العاشر وكم عدد طلاب الصف الحادي عشر؟