Сумиране на тригонометрични редове с помощта на аналитични функции. тригонометричен ред на Фурие тригонометричен ред на Фурие

Нека покажем, че почти всяка периодична функция може да бъде представена като ред, чиито членове са прости хармоници, използвайки така наречения тригонометричен ред.

Определение. Тригонометричен ред е функционален ред от формата

къде са реалните числа а 0 , a n , b nсе наричат ​​коефициенти на реда.

Свободният член на редицата се записва във формата за еднородност на получените по-късно формули.

Трябва да се разгледат два въпроса:

1) При какви условия функционира функцията f(x)с период 2π може да се разшири в серия (5.2.1)?

2) Как да изчислим коефициентите а 0 ,… a n , b n ?

Да започнем с втория въпрос. Нека функцията f(x)е непрекъснат на интервала и има период T=2π. Представяме формулите, които ще ни трябват по-долу.

За всяко цяло число, тъй като функцията е четна.

За всяко цяло.

(ми нцели числа)

В ( ми нцели числа) всеки от интегралите (III, IV, V) се превръща в сумата от интегралите (I) или (II). Ако , тогава във формула (IV) получаваме:

Равенството (V) се доказва по подобен начин.

Нека сега приемем, че функцията се е оказала такава, че за нея е намерено разширение в сходящ ред на Фурие, т.е.

(Обърнете внимание, че сумирането е над индекса н).

Ако редът се сближава, тогава означете неговата сума S(x).

Терминалното интегриране (законно поради допускането за сближаване на редовете) в диапазона от до дава

тъй като всички членове с изключение на първия са равни на нула (отношения I, II). От тук намираме

Умножаване (5.2.2) по ( м=1,2,…) и интегрирайки член по член в диапазона от до , намираме коефициента a n.

От дясната страна на равенството всички членове са равни на нула, с изключение на едно m=n(отношения IV, V), Оттук получаваме

Умножаване (5.2.2) по ( м\u003d 1,2, ...) и интегрирайки член по член в диапазона от до, по подобен начин намираме коефициента b n

Стойностите - определени по формули (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) се наричат ​​коефициенти на Фурие, а тригонометричният ред (5.2.2) е редът на Фурие за дадена функция f(x).

И така, получихме разлагането на функцията f(x)в серия на Фурие

Нека се върнем към първия въпрос и да разберем какви свойства трябва да има функцията f(x), така че конструираният ред на Фурие да е сходен и сумата от редицата ще бъде точно равна на f(x).

Определение. Функцията f(x) се нарича късче непрекъсната, ако е непрекъснат или има краен брой точки на прекъсване от първи вид.

Определение. Функция f(x), даден на интервала се извиква монотонен на парчета, ако сегментът може да бъде разделен по точки на краен брой интервали, във всеки от които функцията се променя монотонно (нараства или намалява).

Ще разгледаме функциите f(x), с менструация T=2π. Такива функции се наричат 2π- периодично.

Нека формулираме теорема, представляваща достатъчно условие за разширяване на функция в ред на Фурие.

Теорема на Дирихле(приемам без доказателство) . Ако 2π-периодична функция f(x)на сегмент е накъсо непрекъснат и монотонен на парчета, тогава редът на Фурие, съответстващ на функцията, се сближава на този сегмент и в същото време:

1. В точки на непрекъснатост на функция, сумата от редицата съвпада със самата функция S(x)=f(x);

2. Във всяка точка х 0прекъсване на функцията f(x)сборът на серията е ,

тези. средноаритметичната стойност на границите на функцията отляво и отдясно на точката х 0 ;

3. В точки (в краищата на отсечката) сумата от редовете на Фурие е ,

тези. средноаритметичната стойност на граничните стойности на функцията в краищата на сегмента, когато аргументът клони към тези точки от вътрешността на интервала.

Забележка: ако функцията f(x)с период от 2π е непрекъсната и диференцируема в целия интервал и нейните стойности в краищата на интервала са равни, т.е. поради периодичността тази функция е непрекъсната по цялата реална ос и за всяка хсумата от неговия ред на Фурие е същата като f(x).

По този начин, ако функция, интегрируема на интервал f(x)удовлетворява условията на теоремата на Дирихле, тогава равенството се осъществява на интервала (разширение в ред на Фурие):

Коефициентите се изчисляват по формули (5.2.3) - (5.2.5).

Условията на Дирихле се удовлетворяват от повечето функции, които се срещат в математиката и нейните приложения.

Редовете на Фурие, подобно на степенните редове, се използват за приблизително изчисляване на стойностите на функциите. Ако разширяването на функцията f(x)в тригонометричен ред, тогава винаги можете да използвате приблизителното равенство , като замените тази функция със сумата от няколко хармоника, т.е. частична сума (2 н+1) член на реда на Фурие.

Тригонометричните серии са широко използвани в електротехниката, с тяхна помощ решават много проблеми на математическата физика.

Разширете в ред на Фурие функция с период 2π, даден на интервала (-π; π).

Решение. Намерете коефициентите на реда на Фурие:

Получихме разширението на функцията в ред на Фурие

В точките на непрекъснатост сумата от редицата на Фурие е равна на стойността на функцията f(x)=S(x), в точката x=0 S(x)=1/2, в точки x=π,2π,… S(x)=1/2.

Припомнете си, че в реалния анализ тригонометричен ред е ред в косинуси и синуси от множество дъги, т.е. ред на формуляра

Малко история. Първоначалният период на теорията на такива редове се приписва на средата на 18 век във връзка с проблема за вибрациите на струните, когато желаната функция се търси като сбор от редове (14.1). Въпросът за възможността за такова представяне предизвика разгорещен дебат сред математиците, който продължи няколко десетилетия. Спорове, свързани със съдържанието на понятието функция. По това време функциите обикновено се асоциираха с тяхното аналитично присвояване, но тук се наложи да се представи функция до (14.1), чиято графика е доста произволна крива. Но значението на тези спорове е по-голямо. Всъщност те повдигнаха въпроси, свързани с много фундаментално важни идеи на математическия анализ.

И в бъдеще, както и в този начален период, теорията на тригонометричните редове служи като източник на нови идеи. Във връзка с тях например възникна теорията на множествата и теорията на функциите на реална променлива.

В тази заключителна глава ще разгледаме материал, който отново свързва реален и сложен анализ, но е малко отразен в учебниците по TFCT. В хода на анализа те изхождат от предварително определена функция и я разширяват в тригонометричен ред на Фурие. Тук разглеждаме обратната задача: за даден тригонометричен ред установете неговата сходимост и сума. За това Ойлер и Лагранж успешно използват аналитични функции. Очевидно Ойлер за първи път (1744) получава равенства

По-долу следваме стъпките на Ойлер, ограничавайки се само до специални случаи на редове (14.1), а именно тригонометрични редове

Коментирайте.По същество ще се използва следният факт: ако последователността от положителни коефициенти а стрмонотонно клони към нула, тогава тези серии се сближават равномерно във всеки затворен интервал, който не съдържа точки от формата 2lx (до gZ).По-специално, на интервала (0.2n -) ще има точкова конвергенция. Виж за това в работа, стр. 429-430.

Идеята на Ойлер за сумиране на редовете (14.4), (14.5) е, че с помощта на заместването z = д аотидете на силовата серия

Ако вътре в единичния кръг неговата сума може да бъде намерена изрично, тогава проблемът обикновено се решава чрез отделяне на реалната и въображаемата част от него. Подчертаваме, че по метода на Ойлер трябва да се провери сходимостта на редовете (14.4), (14.5).

Нека разгледаме някои примери. В много случаи геометричните серии ще бъдат полезни

както и редовете, получени от него чрез почленно диференциране или интегриране. Например,

Пример 14.1.Намерете сбора на серия

Решение.Представяме подобна серия с косинуси

И двете серии се сближават навсякъде, т.к мажоритарно от геометричната серия 1+ r + r 2+.... Ако приемем z = д"х, получаваме

Тук фракцията се свежда до формата

където получаваме отговора на въпроса за проблема:

По пътя установихме равенство (14.2): Пример 14.2.Сумиране на редове

Решение.Съгласно горната забележка и двете серии се сближават в определения интервал и служат като ред на Фурие за функциите, които те дефинират f(x) 9 g(x).Какви са тези функции? За да отговорим на въпроса, в съответствие с метода на Ойлер, съставяме ред (14.6) с коефициенти а стр= -. Съгласен-

но получаваме равенство (14.7).

Пропускайки подробности (читателят трябва да ги възпроизведе), посочваме, че изразът под знака на логаритъм може да бъде представен като

Модулът на този израз е равен на -, а аргументът (по-точно неговата основна стойност е

• 2sin-

стойност) е равна Следователно In ^ = -ln(2sin

Пример 14.3.В -Събирам редовете

Решение.И двете серии се сближават навсякъде, тъй като те са доминирани от конвергентното

до общия член -! . Ред (14.6)

n(n +1)

директно

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) П /1 + 1

ns ще даде известна сума. На базата го представяме във формата

равенство

Тук изразът в скоби е ln(l + z), а изразът в квадратни скоби е ^ ^ + ** ^--. следователно,

= (1 + -)ln(1 + z). Сега

трябва да се постави тук z = eLXи изпълнете същите стъпки като в предишния пример. Изпускайки подробности, изтъкваме това

Остава да отворите скобите и да напишете отговора. Оставяме това на читателя.

Задачи за глава 14

Изчислете сумите на следващите редове.

• 1.3.1. а) z = 0 и z-- 2;
• б) z = l и z=-1;
• v) z = i и z= -Аз съм.
• 1.3.2. а) 1; 6)0; в) оо.
• 2.1.1. Дъга на параболата, r = при 2 минаваща от точката (1;1) до точката (1;- 1) и обратно.
• 2.1.2. Сегмент с начало а,край б.
• 2.1.3. Йорданов ректифициран път на фиг. деветнадесет.

• 2.1.4. дъга на парабола y = x 2с начало (-1;0), край (1;1).
• 2.1.5. Кръг dg 2 + (в - 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Половин равнина Rez > .
• 2.2.2. Отворен кръг C x ""^) 2 + Y 2
• 2.2.3. Вътрешността на парабола 2y = 1 - х 2 .
• 2.2.4. Порочен кръг (d: - 2) 2 + на 2
• 2.2.5. Появата на параболата 2x \u003d - y 2.

3.1.a). Ако w=u + iv,тогава и= -r- -v = -^-^. Следователно

l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2

Началото на координатите трябва да бъде изключено от този кръг, тъй като (m, v) 9* (0; 0) V* e R,тон и= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• б). Елиминирайте x,yот равенства x + y \u003d l и \u003d x 2 - y, v = 2 xy.Отговор: парабола 2v = l-и 2 .
• 3.2. Правата l: = i (l^O) преминава в окръжност
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 с пробита точка (r/, v) = (0; 0). Нанесете го с
• 2а 2 а

а = 1, а = 2.

• 3.4. В случаи а), б) използвайте "знака за несъществуване на границата". В случай в) границата съществува и е равна на 2.
• 3.5. Не е. Помислете за ограниченията на функциите за две последователности с общи термини съответно

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. а) никъде ns диференцируеми; б) диференцируеми навсякъде.
• 4.2. а) има производна във всички точки на правата y = x,във всяка от

тях w = 2x; никъде не е холоморфен;

• b) е холоморфен в C(0) и / = - j.
• 4.3. холоморфен в C, У=3z 2 .
• 4.4. От равенства / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0, следва, че w,v не е

Св.Св

зависи от променливата "t. Условията на Коши-Риман предполагат, че тези функции също са независими от y.

4.5. Помислете например за случая Re f(z) = i(x, y) = const. С

използвайки условията на Коши-Риман, изведете от това, че Im/(z) = v(x 9 y) = const.

• 5.1. а) защото Дж=--=- =-* 0(z * -/) и според условието на задачата
• (l-/z) 2 (z+/) 2

аргументът на производната е равен на нула, тогава нейната имагинерна част е нула, а реалната част е положителна. Оттук се извлича отговорът: направо при = -Х-1 (Х * 0).

б) кръг z + i=j2.

• 5.3. Проверете дали функцията не приема нулева стойност и нейната производна съществува навсякъде и е равна на дадената функция.
• 6.1. От дефиницията на тангенса като отношение на синус към косинус, докажете това tg(z + n^-tgzс валидни стойности на аргументите. Позволявам тнякой друг период tg(z + T) = tgz.От тук и от предишното равенство изведете, че sin(/r- Т)= 0, откъдето следва, че тмногократни Да се .
• 6.2. Използвайте равенства (6.6).
• 6.3. Първата формула не е правилна, тъй като не винаги arg(zH ,) = argz + argvv (вземете, например, z = -1, w = -1). Втората формула също е грешна. Да разгледаме например случая z = 2.
• 6.4. От равенство а а = e 01 "0заключаваме, че тук дясната страна има формата |i|« , e ca(a^a+2 як)? sli p r и някои различни цели числа до 19 до 2

изразът в скоби придоби същото значение, тогава те биха имали

което е в противоречие с ирационалността а .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. а) ъгъл - Аз съм w
• б) кръгов сектор | w2, | argvr|
• 7.2. И в двата случая окръжност с радиус 1 с център в началото.
• 7.3. Ще се движим по границата на полукръг, така че вътрешността му да остане отляво. Използваме нотацията z = x + yi, w = u + vi.Местоположение е включено

при= 0, -1 x 1 имаме и =--e [-1,1]" v = 0. Разгледайте втория сегмент от границата - полукръг z=ЕС,tg. В този раздел изразът

се преобразува във формата w=u=-- ,/* -. Между. Съгласно (8.6) желаният интеграл е равен на

б). Уравнението на долния полукръг има формата z(t) = e“,t e[l, 2n).По формула (8.8) интегралът е равен на

• 8.2. а). Разделете желания интеграл на сумата от интеграли по отсечката О Аи по отсечката АБ. Техните уравнения са респ z= / + //,/ с и

z = t + i,te. Отговор: - + - и

• б). Уравнението на кривата на интегриране може да се запише като z = д", т € . Тогава Vz има две различни стойности, а именно,

.1 .t+2/r

д 2 , д 2. От условията на задачата следва, че говорим за основната стойност на корена: Vz, т.е. за първия от тях. Тогава интегралът е

8.3. При решаването на задачата чертежът умишлено не е даден, но читателят трябва да го допълни. Използва се уравнението на отсечката по права линия, свързващо две дадени точки i, /> e C (а -Старт, б -край): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Нека разбием желания интеграл на четири:

I = I AB + I BC + I CD +1 Д.А. На сегмента АБние имаме z- (1 -1) ? 1 +1 /, така че интегралът на този сегмент, съгласно (8.8), е равен на

Продължавайки по подобен начин, откриваме

• 9.1. а) 2n7; б) 0.
• 9.2. Направете замяна z = z0 + re 11,0 t2/g.
• 9.3 Функция f(z)=J е холоморфен в някои просто свързани z-a

област D, съдържаща Г и ns, съдържаща а. Според интегралната теорема, приложена към /),/], желаният интеграл е равен на нула.

• 9.4. а) 2/n(cosl2 + /sinl2); б) 34л-/.
• 9.5. В случай а) особените точки ±2/ лежат вътре в дадения кръг, така че интегралът е равен на

• б). Особените точки ±3/ също лежат вътре в окръжността. Решението е подобно. Отговор: 0.
• 10.1. Представете функцията като /(z) = -----използване
• 3 1 + -

геометрична серия 1 + q + q2 (||

• 1 -h
• 10.2. Разграничете член по член геометричен ред.
• 10.3. а) | z+/1t = z2. Отговор: z .
• 11.1. Използвайте разширения на степента на експонента и синус. В случай а) реда е 3, в случай б) е 2.
• 11.2. До очевидна промяна на променливата уравнението може да бъде

представляват във формата /(z) = /(-^z). Без да губим общността, можем да приемем, че

радиусът на сходимост на реда на Тейлър на функцията с център в точка 0 е по-голям от единица. Ние имаме:

Стойностите на функцията са еднакви на дискретно множество с гранична точка, принадлежаща на кръга на сближаване. По теоремата за уникалност /(z) = const.

11.3. Да приемем, че желаната аналитична функция /(z) съществува. Нека сравним нейните стойности с функцията (z) = z2на снимачната площадка E,

състояща се от точки z n = - (n = 2,3,...). Значенията им са еднакви и т.к Е

има гранична точка, принадлежаща на дадения кръг, то по теоремата за уникалност /(z) = z 2 за всички аргументи на дадения кръг. Но това противоречи на условието /(1) = 0. Отговор: ns не съществува.

• 11.4. Да, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Няма противоречие, тъй като граничната точка на единичните стойности не лежи в областта на функцията.
• - 1 1
• 12.1. а) 0; б) 2

  12.2. а). Представете функцията във формата и разгънете скобите.

  • б). Разменете условията, използвайте стандартните косинусови и синусови разширения.
  • 12.3.
  
  • 12.4. а) точки 0, ± 1 са прости полюси;
  • б) z = 0 - подвижна точка;
  • в) z = 0 е по същество особена точка.
  • 13.1. а). Точките a = 1, a = 2 са полюсите на интегралната функция. Остатъкът по отношение на първия (прост) полюс се намира съгласно (13.2), той е равен на 1. Остатъкът по отношение на втория полюс се намира по формулата (13.3) с порядъка на кратност u = 2 и е равно на -1. Сумата от остатъците е нула, така че интегралът е нула според основната теорема за остатъци.
  • б). Вътре в правоъгълника с посочените върхове са три

  прости стълбове 1,-1,/. Сборът от остатъците в тях е равен на --, а интегралът е равен на

  v). Сред полюсите 2 Trki (kGZ)от подинтегралната функция само две лежат вътре в дадения кръг. Това е 0 и 2 Аз съми двете са прости, остатъците в тях са равни по 1. Отговор: 4z7.

  умножете го по 2/r/. Пропускайки подробности, посочваме отговора: / = -i .

  13.2. а). Тогава нека сложим e"=z e"idt =дз , dt= - . хо

  e" - e~" z-z~ x

  sin / =-=-, intefal ще бъде сведен до формата

  

  Тук знаменателят е разложен на множители (z-z,)(z-z 2), където z, = 3 - 2 V2 / лежи вътре в окръжността при , a z,=3 + 2V2 / лежи по-горе. Остава да се намери остатъкът по отношение на простия полюс z, като се използва формулата (13.2) и

  б) . Приемайки, както по-горе, e" = z , свеждаме intefal до формата

  

  Субинтефалната функция има три прости полюса (кои?). Оставяйки на читателя да изчисли остатъците в тях, ние посочваме отговора: I= .

  • v) . Подинтегралната функция е равна на 2(1--=-), желаният интеграл
  • 1 + cos т

  равно на 2(^-1- h-dt). Означете интеграла в скоби с /.

  Прилагайки равенството cos "/ = - (1 + cos2f) получаваме, че / = [- цит .

  По аналогия със случаи а), б) направете заместване д 2,т = z, редуцирай интеграла до формата

  

  където кривата на интегриране е същата единична окръжност. Допълнителните аргументи са същите като в случай а). Отговор: първоначалният търсен интеграл е равен на /r(2-n/2).

  13.3. а). Да разгледаме спомагателния комплексен интеграл

  /(/?)=f f(z)dz,където f(z) = - p-, G (I) - контур, съставен от

  полукръгове y(R): | z |= Р> 1, Imz > 0 и всички диаметри (направете чертеж). Нека разделим този интеграл на две части - според интервала [-/?,/?] и според y(R).

  към. Я.

  Само прости полюси лежат във веригата z 0 \u003d e 4, z, = д 4 (фиг. 186). Откриваме по отношение на техните остатъци:

  Остава да се провери, че интегралът е приключил y(R)клони към нула като Р. От неравенството |g + A|>||i|-|/>|| и от оценката на интеграла за z e y(R)следва, че

В редица случаи, чрез изследване на коефициентите на редове от вида (C) или може да се установи, че тези редове се сближават (може би с изключение на отделни точки) и са редове на Фурие за техните суми (виж например предишния n° ), но във всички тези случаи естествено възниква въпросът

как да намерим сумите на тези редове или по-точно как да ги изразим в крайна форма чрез елементарни функции, ако изобщо са изразени в такава форма. Дори Ойлер (а също и Лагранж) успешно използва аналитични функции на комплексна променлива, за да обобщи тригонометричните редове в окончателен вид. Идеята зад метода на Ойлер е следната.

Да приемем, че за определен набор от коефициенти, редът (C) и се сближават с функции навсякъде в интервала, изключвайки само отделни точки. Помислете сега за степенен ред със същите коефициенти, подредени в степени на комплексна променлива

По обиколката на единичната окръжност, т.е. при , тази серия се сближава по предположение, изключвайки отделни точки:

В този случай, съгласно добре известното свойство на степенния ред, редът (5) със сигурност се сближава в т.е. вътре в единичната окръжност, дефинирайки там определена функция на комплексна променлива. Използване на познати за нас [вж. § 5 на глава XII] на разширяването на елементарните функции на комплексна променлива, често е възможно функцията да се сведе до тях. Тогава за имаме:

и по теоремата на Абел, веднага щом редът (6) се сближи, неговата сума се получава като граница

Обикновено тази граница е просто равна, което ни позволява да изчислим функцията в крайния вид

Нека например сериала

Доказаните в предишния параграф твърдения водят до заключението, че и двете серии се сближават (първият, с изключение на точките 0 и

служат като ред на Фурие за функциите, които дефинират. Но какви са тези функции? За да отговорим на този въпрос, правим серия

По сходство с логаритмичния ред, неговата сума се установява лесно:

следователно,

Сега едно лесно изчисление дава:

така че модулът на този израз е , а аргументът е .

и така накрая

Тези резултати са ни познати и дори някога са били получени с помощта на „сложни“ съображения; но в първия случай започнахме от функциите и , а във втория - от аналитичната функция Тук за първи път за отправна точка послужиха самите серии. Читателят ще намери други примери от този вид в следващия раздел.

Подчертаваме още веднъж, че трябва предварително да сме сигурни в сходимостта и редът (C) и за да имаме право да определим техните суми, използвайки ограничителното равенство (7). Самото съществуване на ограничение от дясната страна на това равенство все още не ни позволява да заключим, че споменатите редове се сближават. За да покажете това с пример, разгледайте поредицата

В науката и техниката често се налага да се справяме с периодични явления, т.е. тези, които се възпроизвеждат след определен период от време тнаречен период. Най-простата от периодичните функции (с изключение на константа) е синусоидална стойност: asin(х+ ), хармонично трептене, където има „честота“, свързана с периода чрез съотношение: . От такива прости периодични функции могат да се съставят по-сложни. Очевидно съставните синусоидални количества трябва да са с различни честоти, тъй като добавянето на синусоидални количества със същата честота води до синусоидално количество със същата честота. Ако добавим няколко стойности на формата

Например, ние възпроизвеждаме тук добавянето на три синусоидални количества: . Помислете за графиката на тази функция

Тази графика е значително различна от синусоида. Това е още по-вярно за сумата от безкраен ред, съставен от членове от този тип. Нека зададем въпроса: възможно ли е за дадена периодична функция на периода тпредставляват като сума от краен или поне безкраен набор от синусоидални величини? Оказва се, че по отношение на голям клас функции на този въпрос може да се отговори положително, но това е само ако включим точно цялата безкрайна поредица от такива термини. Геометрично, това означава, че графиката на периодична функция се получава чрез наслагване на поредица от синусоиди. Ако разглеждаме всяка синусоидална стойност като определено хармонично осцилаторно движение, тогава можем да кажем, че това е сложно трептене, характеризиращо се с функция или просто с нейните хармоници (първи, втори и т.н.). Процесът на разлагане на периодична функция в хармоници се нарича хармоничен анализ.

Важно е да се отбележи, че подобни разширения често се оказват полезни при изучаването на функции, които са дадени само в определен краен интервал и изобщо не се генерират от никакви колебателни явления.

Определение.Тригонометричната серия е поредица от вида:

Или (1).

Реалните числа се наричат ​​коефициенти на тригонометричния ред. Тази серия може да бъде написана и така:

Ако серия от представения по-горе тип се сближава, тогава нейната сума е периодична функция с период 2p.

Определение.Коефициентите на Фурие на тригонометричен ред се наричат: (2)

(3)

(4)

Определение.Близо до Фурие за функция f(x)се нарича тригонометричен ред, чиито коефициенти са коефициентите на Фурие.

Ако редът на Фурие на функцията f(x)се доближава до него във всичките му точки на непрекъснатост, тогава казваме, че функцията f(x)се разширява в ред на Фурие.

Теорема.(Теорема на Дирихле) Ако една функция има период 2p и е непрекъсната на сегмент или има краен брой точки на прекъсване от първи вид, сегментът може да бъде разделен на краен брой отсечки, така че функцията да е монотонна във всеки от тях, тогава редът на Фурие за функцията се сближава за всички стойности х, а в точките на непрекъснатост на функцията, нейната сума S(x)е равно на , а в точките на прекъсване неговата сума е равна на , т.е. средноаритметичната стойност на граничните стойности отляво и отдясно.

В този случай редът на Фурие на функцията f(x)се сближава равномерно на всеки интервал, който принадлежи към интервала на непрекъснатост на функцията.

Функция, която удовлетворява условията на тази теорема, се нарича късово гладка на интервала.

Нека разгледаме примери за разширяване на функция в ред на Фурие.

Пример 1. Разширете функцията в серия на Фурие f(x)=1-x, която има период 2стри дадено на сегмента.

Решение. Нека начертаем тази функция

Тази функция е непрекъсната на сегмента , тоест на сегмент с дължина от период, следователно може да бъде разширена в серия на Фурие, която се сближава към нея във всяка точка от този сегмент. Използвайки формула (2), намираме коефициента на тази серия: .

Прилагаме формулата за интегриране по части и намираме и използваме формули (3) и (4), съответно:

Замествайки коефициентите във формула (1), получаваме или .

Това равенство се осъществява във всички точки, с изключение на точките и (точките на залепване на графиките). Във всяка една от тези точки сумата на серията е равна на средноаритметичната стойност на нейните гранични стойности отдясно и отляво, т.е.

Нека представим алгоритъм за разширяване на функциятав серия на Фурие.

Общата процедура за решаване на поставения проблем е следната.