Решаване на системата от експоненциални неравенства. Решение на експоненциални уравнения и неравенства. Примери за решаване на еднородни уравнения
Методи за решаване на системи от уравнения
Като начало, нека да припомним накратко какви методи за решаване на системи от уравнения съществуват като цяло.
съществувам четири основни начина решаване на системи от уравнения:
Метод на заместване: всяко от тези уравнения се взема и $ y $ се изразява чрез $ x $, след това $ y $ се замества в уравнението на системата, откъдето се намира променливата $ x. $ След това можем лесно да изчислим променливата $ y. $
Метод на добавяне: в този метод е необходимо едно или двете уравнения да се умножат по такива числа, така че когато и двете се добавят заедно, една от променливите „изчезва“.
Графичен метод: и двете уравнения на системата се показват на координатната равнина и се намира точката на тяхното пресичане.
Метод за въвеждане на нови променливи: в този метод заместваме всякакви изрази, за да опростим системата и след това прилагаме един от горните методи.
Системи от експоненциални уравнения
Определение 1
Системите от уравнения, състоящи се от експоненциални уравнения, се наричат \u200b\u200bсистема от експоненциални уравнения.
Ще разгледаме решението на системи от експоненциални уравнения чрез примери.
Пример 1
Решете система от уравнения
Снимка 1.
Решение.
Ще използваме първия метод за решаване на тази система. Първо, нека да изразим $ y $ по отношение на $ x $ в първото уравнение.
Фигура 2.
Заменете $ y $ във второто уравнение:
\\ \\ \\ [- 2-x \u003d 2 \\] \\ \\
Отговор: $(-4,6)$.
Пример 2
Решете система от уравнения
Фигура 3.
Решение.
Тази система е еквивалентна на системата
Фигура 4.
Нека приложим четвъртия метод за решаване на уравнения. Нека $ 2 ^ x \u003d u \\ (u\u003e 0) $, и $ 3 ^ y \u003d v \\ (v\u003e 0) $, получаваме:
Фигура 5.
Нека решим получената система по метода на добавяне. Нека добавим уравненията:
\ \
Тогава от второто уравнение получаваме това
Връщайки се към замяната, получих нова система от експоненциални уравнения:
Фигура 6.
Получаваме:
Фигура 7.
Отговор: $(0,1)$.
Системи на експоненциални неравенства
Определение 2
Системите с неравенства, състоящи се от експоненциални уравнения, се наричат \u200b\u200bсистемата експоненциални неравенства.
Ще разгледаме решението на системи от експоненциални неравенства чрез примери.
Пример 3
Решете системата от неравенства
Фигура 8.
Решение:
Тази система от неравенства е еквивалентна на системата
Фигура 9.
За да разрешите първото неравенство, припомнете следната теорема за еквивалентността на експоненциалните неравенства:
Теорема 1. Неравенството $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (\\ varphi (x)) $, където $ a\u003e 0, a \\ ne 1 $ е еквивалентно на колекцията от две системи
\\ U)
