Какъв е методът за избор на пълен квадрат. Разлагане на полиноми. Метод за избор на пълен квадрат. Комбинация от методи. Метод за преобразуване на изкуствени числители

Както вече отбелязах, в интегралното смятане няма удобна формула за интегриране на дроб. И следователно се наблюдава тъжна тенденция: колкото по-„сложна“ е дробът, толкова по-трудно е да се намери интеграл от нея. В тази връзка трябва да прибягвате до различни трикове, за които сега ще ви разкажа. Обучените читатели могат незабавно да се възползват от съдържание:

• Методът за сумиране на диференциалния знак за най-простите дроби

Метод за преобразуване на изкуствени числители

Пример 1

Между другото, разглежданият интеграл може да бъде решен чрез промяна на метода на променливата, като се обозначава, но решението ще се пише много по-дълго.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл. Виж това.

Това е пример за решение "направи си сам". Трябва да се отбележи, че методът за промяна на променливата вече няма да работи тук.

Внимание, важно! Примери № 1,2 са типични и често срещани.... По-специално, такива интеграли често възникват в хода на решаването на други интеграли, по-специално при интегриране на ирационални функции (корени).

Разгледаната техника работи и в случая ако най-високата степен на числителя е по-голяма от най-високата степен на знаменателя.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл. Виж това.

Започваме да вдигаме числителя.

Алгоритъмът за избор на числителя е нещо подобно:

1) В числителя трябва да организирам, но там. Какво да правя? Слагам го в скоби и умножавам по:.

2) Сега се опитвам да отворя тези скоби, какво се случва? ... Хм... вече по-добре, но отначало няма две в числителя. Какво да правя? Трябва да умножите по:

3) Отново разгънете скоби:. И ето първия успех! Правилният се оказа! Но проблемът е, че се появи допълнителен термин. Какво да правя? За да не се промени изразът, трябва да добавя същото към моята конструкция:
... Животът стана по-лесен. Не може ли да се организира отново в числителя?

4) Можете. Опитвайки: ... Разгънете скобите на втория член:
... Съжалявам, но всъщност имах предишната стъпка, не. Какво да правя? Трябва да умножите втория член по:

5) Отново, за проверка, разширявам скобите във втория член:
... Сега всичко е наред: получено от окончателното изграждане на точка 3! Но отново има едно малко „но“, появи се допълнителен термин, което означава, че трябва да добавя към израза си:

Ако всичко е направено правилно, тогава когато разширим всички скоби, трябва да получим оригиналния числител на интегранта. Ние проверяваме:
Добре.

По този начин:

Готов. В последния мандат приложих метода за привеждане на функцията под диференциала.

Ако намерим производната на отговора и доведем израза до общ знаменател, тогава получаваме точно първоначалния интеграл. Разглежданият метод за разлагане в сума не е нищо повече от обратното действие за привеждане на израза до общ знаменател.

Алгоритъмът за избор на числителя в такива примери се прави най-добре на чернова. С някои умения ще се получи психически. Спомням си рекордното време, когато направих фит за 11-та степен, а разширяването на числителя отне почти два реда Verd.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл. Виж това.

Това е пример за решение "направи си сам".

Методът за сумиране на диференциалния знак за най-простите дроби

Преминаваме към разглеждането на следващия тип дроби.
,,, (коефициентите и не са равни на нула).

Всъщност няколко случая с арксинус и арктангенс вече се подхлъзнаха в урока Метод на промяна на променливата в неопределен интеграл... Такива примери се решават чрез метода за привеждане на функцията под знака на диференциала и по-нататъшно интегриране с помощта на таблицата. Ето още няколко типични примера с дълги и високи логаритми:

Пример 5

Пример 6

Тук е препоръчително да вземете таблицата на интегралите и да проследите по какви формули и каксе извършва трансформация. Забележка, как и защоквадратите са подчертани в тези примери. По-специално, в пример 6, първо трябва да представите знаменателя във формата , след което го приведете под диференциалния знак. И всичко това трябва да се направи, за да се използва стандартната таблична формула .

Какво да гледате, опитайте се да решите сами примери ## 7,8, особено след като те са доста кратки:

Пример 7

Пример 8

Намерете неопределения интеграл:

Ако можете да проверите и тези примери, тогава голямо уважение - вашите умения за диференциране са най-добри.

Метод за избор на пълен квадрат

Интеграли на формата, (коефициентите и не са равни на нула) се решават по метода на избор на пълен квадрат, който вече беше представен в урока Геометрични трансформации на графики.

Всъщност такива интеграли се свеждат до един от четирите таблични интеграла, които току-що разгледахме. И това се постига с помощта на познатите формули за съкратено умножение:

Формулите се прилагат в тази посока, тоест идеята на метода е изкуствено да организира изразите в знаменателя и след това да ги трансформира в съответствие с едно от двете.

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

Това е най-простият пример къде с термина - единичен коефициент(не някакво число или минус).

Гледаме знаменателя, тук всичко очевидно ще се сведе до един случай. Нека започнем да преобразуваме знаменателя:

Очевидно трябва да добавите 4. И за да не се промени изразът - същите четири и извадете:

Сега можете да приложите формулата:

След като преобразуването приключи ВИНАГИпрепоръчително е да извършите обратния ход: всичко е наред, няма грешки.

Крайният дизайн на въпросния пример трябва да изглежда така:

Готов. Обобщавайки "свободна" комплексна функция под диференциалния знак: по принцип тя може да бъде пренебрегната

Пример 10

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример за решение "направи си сам", отговорът е в края на урока.

Пример 11

Намерете неопределения интеграл:

Какво да правя, когато има минус пред него? В този случай трябва да поставите минус извън скобите и да подредите термините в реда, от който се нуждаем:. Постоянна(„Две“ в този случай) не докосвайте!

Сега добавете един в скоби. Анализирайки израза, стигаме до заключението, че човек трябва да бъде един зад скоби - добавете:

Тук получаваме формулата, прилагаме:

ВИНАГИпроверяваме черновата:
, което трябваше да бъде проверено.

Окончателното оформление на примера изглежда така:

Усложняване на задачата

Пример 12

Намерете неопределения интеграл:

Тук с термина вече не е единичен коефициент, а "пет".

(1) Ако се намери константа за, веднага я изваждаме от скобите.

(2) По принцип винаги е по-добре да изваждате тази константа извън интеграла, за да не ви пречи под краката.

(3) Очевидно всичко ще бъде сведено до формула. Необходимо е да се разбере терминът, а именно да се получи "две"

(4) Да,. И така, добавяме към израза и изваждаме същата дроб.

(5) Сега изберете пълен квадрат. В общия случай също трябва да изчислите, но тук имаме формула за дългия логаритъм , и няма смисъл да извършвате действието, защо - ще стане ясно малко по-долу.

(6) Всъщност можете да приложите формулата , само вместо "x" имаме, което не отрича валидността на табличния интеграл. Строго погледнато, една стъпка е пропусната - преди интегрирането функцията трябва да бъде поставена под знака на диференциала: но, както съм отбелязвал много пъти, това често се пренебрегва.

(7) В отговора под корена е желателно всички скоби да се разширят обратно:

Трудно? Това все още не е най-трудната част в интегралното смятане. Въпреки това, разглежданите примери не са толкова сложни, колкото изискват добри изчислителни техники.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример за решение "направи си сам". Отговорът е в края на урока.

Има интеграли с корени в знаменателя, които, използвайки замяна, се свеждат до интеграли от разглеждания тип, можете да прочетете за тях в статията Сложни интеграли, но е предназначена за високо обучени студенти.

Събиране на числителя под диференциалния знак

Това е последната част на урока, но интегралите от този тип са доста често срещани! Ако се е натрупала умора, може би е по-добре да я прочетете утре? ;)

Интегралите, които ще разгледаме, са подобни на интегралите от предишния раздел, те имат формата: или (коефициенти и не са равни на нула).

Тоест имаме линейна функция в числителя. Как да се решат такива интеграли?

В този урок ще си припомним всички по-рано проучени методи за разлагане на полином във фактори и ще разгледаме примери за тяхното приложение, освен това ще изучим нов метод - метода за извличане на пълен квадрат и ще научим как да го приложим при решаване различни проблеми.

тема:Разлагане на полиноми

Урок:Разлагане на полиноми. Метод за избор на пълен квадрат. Комбинация от методи

Нека си припомним основните методи за разлагане на полином във фактори, които бяха изследвани по-рано:

Методът за изваждане на общия множител от скобите, тоест такъв фактор, който присъства във всички термини на полинома. Нека разгледаме пример:

Припомнете си, че едночленът е произведение на степени и числа. В нашия пример и двата члена имат някои общи, идентични елементи.

И така, нека извадим общия множител от скобите:

;

Припомнете си, че като умножите множителя по скоби, можете да проверите правилността на изваждането.

Метод на групиране. Не винаги е възможно да се извади общ множител в полином. В този случай трябва да разделите членовете му на групи, така че във всяка група да извадите общ фактор и да се опитате да го разбиете, така че след изваждането на факторите в групите да се появи общ фактор за целия израз и разширяването може да продължи. Нека разгледаме пример:

Нека групираме първия член с четвъртия, втория с петия и съответно третия с шестия:

Нека извадим общи фактори в групи:

Изразът има общ фактор. Нека го извадим:

Прилагане на съкратени формули за умножение. Нека разгледаме пример:

;

Нека запишем израза подробно:

Очевидно имаме пред себе си формулата за квадрата на разликата, тъй като има сумата от квадратите на два израза и от нея се изважда удвоеното им произведение. Нека да свием по формулата:

Днес ще научим друг метод - методът за избор на пълен квадрат. Тя се основава на формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата. Нека си ги припомним:

Формулата за квадрата на сбора (разликата);

Особеността на тези формули е, че съдържат квадратите на два израза и тяхното удвоено произведение. Нека разгледаме пример:

Нека напишем израза:

Така че първият израз е това, а вторият е.

За да се състави формулата за квадрата на сбора или разликата, двойното произведение на изразите не е достатъчно. Трябва да се добави и извади:

Нека свием пълния квадрат на сбора:

Нека трансформираме получения израз:

Прилагаме формулата за разликата на квадратите, припомняме, че разликата между квадратите на два израза е произведението и сумата от тяхната разлика:

И така, този метод се състои преди всичко във факта, че е необходимо да се идентифицират изразите a и b, които са в квадрата, тоест да се определи кои квадрати от изразите са в този пример. След това трябва да проверите наличието на удвоен продукт и ако го няма, след това го добавете и извадете, значението на примера няма да се промени от това, но полиномът може да бъде разложен на множители с помощта на формулите за квадрата на сумата или разликата и разликата на квадратите, ако има такава възможност.

Нека да преминем към решаването на примери.

Пример 1 - факторизиране:

Нека намерим изрази, които са на квадрат:

Нека напишем какъв трябва да бъде техният удвоен продукт:

Добавете и извадете два пъти произведението:

Нека свием пълния квадрат на сбора и дадем подобни:

Нека запишем формулата за разликата на квадратите:

Пример 2 - Решете уравнението:

;

От лявата страна на уравнението има трином. Трябва да го вземем предвид. Използваме формулата за квадрата на разликата:

Имаме квадрата на първия израз и удвоеното произведение, квадратът на втория израз липсва, добавете и извадете го:

Нека сгънем пълен квадрат и да дадем подобни термини:

Нека приложим формулата за разликата на квадратите:

И така, имаме уравнението

Знаем, че произведението е нула само ако поне един от факторите е равен на нула. На тази база съставяме уравненията:

Нека решим първото уравнение:

Нека решим второто уравнение:

Отговор: или

;

Продължаваме подобно на предишния пример - изберете квадрата на разликата.

Определение

Изразите от вида 2 x 2 + 3 x + 5 се наричат ​​квадратен тричлен. В общия случай квадратният трином е израз от вида a x 2 + b x + c, където a, b, c a, b, c са произволни числа и a ≠ 0.

Да разгледаме квадратен трином x 2 - 4 x + 5. Нека го запишем в следния вид: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Добавете 2 2 към този израз и извадете 2 2, получаваме: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Обърнете внимание, че x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, така че x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... Трансформацията, която направихме, се нарича "Избор на пълен квадрат от квадратен трином".

Попълнете квадрата от тричлена на квадрата 9 x 2 + 3 x + 1.

Обърнете внимание, че 9 x 2 = (3 x) 2, „3x = 2 * 1/2 * 3x“. Тогава `9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1`. Събираме и изваждаме към получения израз `(1/2) ^ 2`, получаваме

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4`.

Нека покажем как методът за разделяне на пълен квадрат от квадратен трином се прилага за разлагане на квадратен трином.

Разложете квадратния трином на множители 4 x 2 - 12 x + 5.

Разпределете пълен квадрат от квадратен тричлен: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Сега прилагаме формулата a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), получаваме: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 х - 1).

Разложете на множители тричленния квадрат - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Сега забележете, че 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

Добавете термина 2 2 към израза 9 x 2 - 12 x, получаваме:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 х - 2 2.

Прилагаме формулата за разликата на квадратите, имаме:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

Разложете на множители тричленния квадрат 3 x 2 - 14 x - 5.

Не можем да представим израза 3 x 2 като квадрат на някакъв израз, защото все още не сме го изучавали в училище. Ще преминете през това по-късно и вече в Задача 4 ще изучаваме квадратни корени. Нека покажем как можете да разложите на множители даден квадратен трином:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3) ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

Нека покажем как методът за избор на пълен квадрат се използва за намиране на най-големите или най-малките стойности на квадратен трином.
Да разгледаме квадратен тричлен x 2 - x + 3. Изберете пълен квадрат:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4`. Имайте предвид, че за `x = 1 / 2`, стойността на квадратния тричлен е` 11 / 4`, а за `x! = 1 / 2`, положително число се добавя към стойността на` 11 / 4`, така че получаваме число, по-голямо от `11/4`. Така най-малката стойност на квадратния трином е `11 / 4` и се получава, когато ` x = 1 / 2`.

Намерете най-големия квадратен тричлен - 16 2 + 8 x + 6.

Попълнете квадрата от тричлена на квадрата: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

При `x = 1 / 4`, стойността на квадратния трином е 7, а с` x! = 1 / 4`, положително число се изважда от числото 7, тоест получаваме число, по-малко от 7. По този начин числото 7 е най-голямата стойност на квадратния трином и се получава, когато `x = 1 / 4`.

Разложете на множители числителя и знаменателя на дроба „(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)“ и отменете тази дроб.

Забележете, че знаменателят на дробта x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Нека изчислим числителя на дроба, използвайки метода за извличане на пълен квадрат от квадратен трином. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3).

Тази дроб беше приведена до вида `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` след намаляване с (x - 3) получаваме` (x + 5) / (x-3 ) `.

Разложете на множители полинома x 4 - 13 x 2 + 36.

Нека приложим пълния метод за избор на квадрат към този полином. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

Възможността за извършване на тази процедура е изключително необходима в много теми от математиката, свързани с квадратен триномбрадва 2 + bx + ° С ... Най-често:

1) Рисуване на параболи г= брадва 2 + bx+ ° С;

2) Решаване на много задачи за квадратен тричлен (квадратни уравнения и неравенства, задачи с параметри и др.);

3) Работа с някои функции, съдържащи квадратен трином, както и работа с криви от втори ред (за ученици).

Полезно нещо, накратко! Кандидатствате ли за първите пет? Тогава го овладейте!)

Какво означава да изберете пълния квадрат на бином в квадратен трином?

Тази задача означава, че оригиналният квадратен трином трябва да бъде трансформиран с помощта на тази форма:

номер акакво е отляво, какво е отдясно - един и същ... X на квадрат коефициент. Следователно е посочено една буква... Вдясно, умножено по квадрата на скоби. В самите скоби се намира самият бином, който се обсъжда в тази тема. Сборът от чисто х и число м... Да, моля, обърнете внимание, точно чист х! Важно е.

Но буквите ми нвдясно - някои новчисла. Какво ще получим в резултат на нашите трансформации. Те могат да се окажат положителни, отрицателни, цели, дробни - всякакви! Ще се убедите сами в примерите по-долу. Тези числа зависят от коефициентитеа, би° С... Те имат свои специални общи формули. Доста тромаво, с дроби. Затова няма да ги давам точно тук и сега. Защо светлите ви умове се нуждаят от допълнителен боклук? Да, и не е интересно. Нека работим творчески.)

Какво трябва да знаете и разберете?

На първо място, трябва да знаете наизуст. Поне двама от тях - квадратът на сбораи квадратна разлика.

Тези:

Без тази двойка формули - никъде. Не само в този урок, но в почти цялата друга математика като цяло. Намекът ясен ли е?)

Но тук само механично запаметените формули не са достатъчни. Все още трябва компетентно да могат да прилагат тези формули... И не толкова директно, отляво надясно, а обратно, от дясно на ляво... Тези. да може да дешифрира квадрата на сбора / разликата от оригиналния квадратен трином... Това означава, че трябва лесно, автоматично да разпознавате равенства от типа:

х 2 +4 х+4 = (х+2) 2

х 2 -10 х+25 = (х-5) 2

х 2 + х+0,25 = (х+0,5) 2

Не можете и без това полезно умение... Така че, ако имате проблеми с тези прости неща, затворете тази страница. Твърде рано е за вас тук.) Първо, следвайте връзката по-горе. Тя е за теб!

О, отдавна ли си в темата? Глоба! След това прочетете нататък.)

Така:

Как да изберем пълния квадрат на бином в квадратен трином?

Нека започнем с простичко, разбира се.

Ниво 1. Коефициент при x2 е равно на 1

Това е най-простата ситуация, изискваща минимум допълнителни трансформации.

Например, като се има предвид квадратен тричлен:

х 2 + 4x + 6

Външно изразът е много подобен на квадрата на сбора. Знаем, че квадратът на сбора съдържа чистите квадрати на първия и втория израз ( а 2 и б 2 ), както и удвоеният продукт 2 абточно тези изрази.

Е, вече имаме квадрата на първия израз в чист вид. Това х 2 ... Всъщност точно в това се крие простотата на примерите от това ниво. Трябва да получите квадрата на втория израз б 2 ... Тези. намирам б... И ще послужи като улика израз с x в първа степен, т.е. 4x... След всичко 4xможе да се представи като двоен продуктх за двойка. Като този:

4 х = 2 ́ X 2

Така че, ако 2 аб= 2х· 2и а= х, тогава б=2 ... Можеш да пишеш:

х 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ Х2 + 2 2 ….

Така НАСИскам да. Но! математикаИскам същността на оригиналния израз от нашите действия не се е променило... Така се работи. Добавихме към удвоения продукт 2 2 по този начин променя оригиналния израз. И така, за да не обиждам математиката, това е 2 2 точно там и за вкъщи... Като този:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Почти всички. Остава само да добавим 6, в съответствие с оригиналния тричлен. Шестицата не е отишла никъде! Ние пишем:

= х 2 +2 ́ Х2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

Сега първите три термина дават чисто (или - пълен) квадратен бином х+2 ... Или (х+2) 2 ... Което се опитваме да постигнем.) Дори няма да бъда мързелив и ще сложа скоби:

… = (X 2 +2 ́ Х2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

Скобите не променят същността на израза, но ясно подсказват какво, как и защо. Остава да сгънете тези три термина в пълен квадрат, като използвате формулата, пребройте останалата опашка в числа -2 2 +6 (ще бъде 2) и напишете:

х 2 + 4x + 6 = (х+2) 2 +2

Всичко. ние отделенквадратни скоби (х+2) 2 от оригиналния квадратен трином х 2 + 4x + 6... Превърна го в сума пълен квадратен бином (х+2) 2 и някакво постоянно число (две). И сега ще запиша цялата верига от нашите трансформации в компактен вид. За яснота.

И това е всичко.) Това е целият смисъл на процедурата за избор на пълен квадрат.

Между другото, какви са числата тук ми н? да. Всеки от тях е равен на две: м=2, н=2 ... Просто така се случи по време на селекцията.

Друг пример:

Изберете пълния квадрат на бинома:

х 2 -6x + 8

И отново първият поглед - към термина с х. Преобразуваме 6x в двойно произведение на х и тройки. Преди удвоено - минус. Следователно избираме квадратна разлика... Събираме (за да получим пълен квадрат) и веднага изваждаме (за да компенсираме) трите в квадрата, т.е. 9. Е, нека не забравяме за осмицата. Получаваме:

Тук м=-3 и н=-1 ... И двете са отрицателни.

Схващате ли принципа? След това дойде ред на майстор и общ алгоритъм... Всичко е същото, но чрез писма... И така, пред нас е квадратен трином х 2 + bx+ ° С (а=1) ... Какво правим:

bx б /2 :

б С.

Чисто ли е? Първите два примера бяха много прости, с цели числа. За запознанство. По-лошо е, когато фракции излизат в процеса на трансформации. Основното тук е да не се страхувате! И за да не се страхувате, трябва да знаете действията с дроби, да ...) Но тук е петото ниво, нали? Усложняваме задачата.

Да предположим, че е дадено следното три члена:

х 2 + х + 1

Как да организираме квадрата на сумата в тази тройка? Няма проблем! Подобен... Работим точка по точка.

1. Разглеждаме термина с x в първа степен ( bx) и го превърнете в двойното произведение на x поб /2 .

Нашият X-термин е просто X. И какво тогава? Как можем да превърнем един самотен Х двоен продукт? Много е просто! Директно според инструкциите. Като този:

номер бв оригиналния ternom - 1. Това е, б/2 оказва се дробно. Половина. 1/2. Ми добре. Вече не е малък.)

2. Добавете към удвоеното произведение и веднага извадете квадрата на числото б/ 2. Добавяме - за допълване на пълен квадрат. Вземаме - за обезщетение. В самия край добавете безплатен термин С.

Продължаваме:

3. Първите три члена се сгъват в квадрата на сбора/разликата по съответната формула. Изразът, оставащ отвън, се изчислява внимателно в числа.

Разделете първите три термина със скоби. Не е нужно да го разделяте, разбира се. Това се прави само за удобство и яснота на нашите трансформации. Сега можете ясно да видите, че пълният квадрат на сумата е в скоби (х+1/2) 2 ... И всичко останало извън квадрата на сбора (ако се брои) дава +3/4. Завършете направо:

Отговор:

Тук м=1/2 , а н=3/4 ... Дробни числа. Случва се. Имам такъв тричленен...

Такава е технологията. Разбрах? Мога ли да премина на следващото ниво?)

Ниво 2. Коефициентът при x 2 не е равен на 1 - какво да правя?

Това е по-общ случай от а = 1... Обемът на изчисленията, разбира се, се увеличава. Това разстройва, да... Но общ ход на решениетокато цяло остава същото. Към него се добавя само една нова стъпка. Това ме радва.)

Засега помислете за безобиден случай, без никакви дроби и други подводни камъни. Например:

2 х 2 -4 х+6

Има минус в средата. Следователно ще съберем разликата с квадрата. Но коефициентът на квадрат на x е две. И е по-лесно да се работи с такъв. С чисто х. Какво да правя? И нека извадим тези две от скобите! За да не пречи. Имаме право! Получаваме:

2(х 2 -2 х+3)

Като този. Сега тричленните в скоби - вече с чистих на квадрат! Както изисква алгоритъм на ниво 1. И вече е възможно да се работи с този нов тричлен по старата доказана схема. Така че действаме. Нека го запишем отделно и да го трансформираме:

х 2 -2 х+3 = х 2 -2 ·х1 + 1 2 -1 2 +3 = (х 2 -2 ·х1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (х-1) 2 +2

Половината от битката е направена. Остава да вмъкнете получения израз в скобите и да ги разширите обратно. Ще се окаже:

2(х 2 -2 х+3) = 2((х-1) 2 +2) = 2(х-1) 2 +4

Готов!

Отговор:

2 х 2 -4 х+6 = 2( х -1) 2 +4

Фиксираме в главата:

Ако коефициентът в квадрата на x не е равен на единица, тогава изваждаме този коефициент от скобите. С оставащия в скобите три члена работим по обичайния алгоритъм за а= 1. След като избрахме пълен квадрат в него, поставяме резултата на място и отваряме външните скоби обратно.

И ако коефициентите b и c не се делят изцяло на a? Това е най-често срещаният и в същото време най-лошият случай. Тогава само дроби, да... Няма какво да се направи. Например:

3 х 2 +2 х-5

Всичко е същото, изпращаме тройката извън скобите, получаваме:

За съжаление нито двете, нито петте са разделени напълно на трите, така че коефициентите на новия (намален) тричлен са - дробна... Е, това е добре. Работим директно с дроби: двепревърнете третините от x в удвоенапроизведение на x върху единтрето, добавете квадрата на една трета (т.е. 1/9), извадете го, извадете 5/3 ...

Общо взето схванахте идеята!

Вземете решение, какво вече е там. Трябва да завършите с:

И още едно рейк. Много студенти дръзко се справят с положителни цели и дори дробни коефициенти, но се придържат към отрицателните. Например:

- х 2 +2 х-3

Какво да правя с минуса предих 2 ? Във формулата за квадрат на сбора/разликата всеки плюс е необходим... Няма въпрос! Все същото... Изваждаме този много минус от скобите. Тези. минус едно... Като този:

- х 2 +2 х-3 = -(х 2 -2 х+3) = (-1) (х 2 -2 х+3)

И това е всичко. И с тричленка в скоби - отново по набраздената писта.

х 2 -2 х+3 = (х 2 -2 х+1) -1+3 = (х-1) 2 +2

Общо, като се вземе предвид минусът:

- х 2 +2 х-3 = -((х-1) 2 +2) = -(х-1) 2 -2

Това е всичко. Какво? Не знаете как да поставите минус в скоби? Е, това е въпрос за елементарна алгебра от седми клас, а не за квадратни тричлени...

Запомнете: работа с отрицателен коефициент апо своята същност е същото като работата с положителното. Изваждаме негатива аизвън скобите, а след това - по всички правила.

Защо трябва да можете да изберете цял квадрат?

Първото полезно нещо е да рисувате параболи бързо и без грешки!

Например задача като тази:

Начертайте графика на функцията:г=- х 2 +2 х+3

какво ще правим? Изграждане по точки? Разбира се, че е възможно. На малки крачки по дългия път. Доста глупаво и безинтересно...

Преди всичко нека ви напомня, че когато строите всякаквипараболи, ние винаги й представяме стандартен набор от въпроси. Има две от тях. а именно:

1) Къде са насочени клоновете на параболата?

2) В коя точка е върха?

С посоката на клоните всичко е ясно директно от оригиналния израз. Клоновете ще бъдат насочени надолу, тъй като коефициентът предих 2 - отрицателен. Минус едно. Минус преди x квадрат винагиобръща параболата.

Но с местоположението на върха всичко не е толкова очевидно. Има, разбира се, обща формула за изчисляване на абсцисата му чрез коефициентите аи б.

Този:

Но не всеки си спомня тази формула, о, не всеки... И 50% от тези, които си спомнят, се спъват на равно място и мърморят в банална аритметика (обикновено при изчисляване на игра). Жалко, нали?)

Сега ще научите как да намерите координатите на върха на всяка парабола. в умаза една минута! И x, и y. С един замах и без никакви формули. Как? Като изберете пълен квадрат!

И така, нека изберем пълния квадрат в нашия израз. Получаваме:

y = -х 2 +2 х+3 = -(х-1) 2 +4

Който е добре запознат с общата информация за функциите и добре усвои темата " трансформации на функционална графа “, той лесно ще разбере, че желаната от нас парабола се получава от обикновена парабола г= х 2 използвайки три трансформации. Това:

1) Промяна на посоката на клоните.

Това се обозначава със знака минус пред квадрата от скоби ( а = -1). Беше г= х 2 , стана г=- х 2 .

Преобразуване: е ( х ) -> - е ( х ) .

2) Паралелен превод на параболата y = - х 2 в x с 1 единица НАДЯСНО.

Така се получава междинният график y = - (х-1 ) 2 .

Преобразуване: - е ( х ) -> - е ( х + м ) (m = -1).

Защо преместването е надясно, а не наляво, въпреки че има минус в скоби? Това е теорията на графичните трансформации. Това е отделна тема.

И накрая,

3) Паралелен трансфер параболи y = - ( х -1) 2 по игра с 4 единици НАГОРЕ.

Това е крайната парабола y = - (х-1) 2 +4 .

Преобразуване: - е ( х + м ) -> - е ( х + м )+ н (n = + 4)

И сега разглеждаме нашата верига от трансформации и мислим за това: накъде се движи върхът на параболатаг= х 2 ? Беше в точката (0; 0), след първата трансформация върхът не се премести никъде (параболата току-що се обърна), след втората - се премести надолу с x с +1, а след третата - с играта с +4. Общият връх достигна точката (1; 4) ... Това е цялата тайна!

Картината ще бъде както следва:

Всъщност именно поради тази причина толкова упорито ви насочвах вниманието към числата. ми нполучен в процеса на избор на пълен квадрат. Не познах защо? да. Въпросът е, че точката с координати (- м ; н ) Е винаги връх на парабола г = а ( х + м ) 2 + н ... Ние просто разглеждаме числата в трансформираната тройка и в умадаваме верния отговор, къде е върха. Удобно, нали?)

Изчертаването на параболи е първото нещо, което трябва да направите. Да преминем към втория.

Второто полезно нещо е решаването на квадратни уравнения и неравенства.

Да да! Изборът на пълен квадрат в много случаи се оказва много по-бързо и по-ефективнотрадиционните методи за решаване на подобни задачи. съмнение? Вие сте добре дошъл! Ето една задача за вас:

Решете неравенството:

х 2 +4 х+5 > 0

Научени? Да! Класически е квадратно неравенство ... Всички такива неравенства се решават с помощта на стандартния алгоритъм. За това ни трябва:

1) Направете уравнение от стандартната форма от неравенството и го решете, намерете корените.

2) Начертайте оста X и маркирайте корените на уравнението с точки.

3) Начертайте параболата по оригиналния израз.

4) Определете области +/- на снимката. Изберете необходимите площи според първоначалното неравенство и запишете отговора.

Всъщност целият този процес е досаден, да ...) И освен това не винаги ви спасява от грешки в нестандартни ситуации като този пример. Нека първо опитаме шаблона?

И така, изпълняваме първата точка. Правим уравнението от неравенството:

х 2 +4 х+5 = 0

Стандартно квадратно уравнение, без трикове. Ние решаваме! Ние считаме за дискриминант:

д = б 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Само тези времена! И дискриминантът е отрицателен! Уравнението няма корени! И няма какво да се рисува по оста ... Какво да правя?

Тук някои може да заключат, че първоначалното неравенство също няма решения... Това е фатална заблуда, да... Но като изберете пълен квадрат, верният отговор на това неравенство може да се даде за половин минута! съмнение? Е, можете да следите времето.

И така, избираме пълния квадрат в нашия израз. Получаваме:

х 2 +4 х+5 = (х+2) 2 +1

Първоначалното неравенство сега изглежда така:

(х+2) 2 +1 > 0

И сега, без да решаваме или трансформираме нещо допълнително, ние просто включваме елементарна логика и разбираме: ако квадратът на някакъв израз (стойността очевидно неотрицателен!) добавете още едно, тогава какво число получаваме в крайна сметка?Да! Строго положителен!

Сега нека разгледаме неравенството:

(х+2) 2 +1 > 0

Превеждаме записа от математическия език на руски: под което x е строго положителенизражението ще бъде строго Повече ▼драскане? Не сте се досетили? Да! С всякакви!

Ето отговора: x - произволно число.

Сега да се върнем към алгоритъма. Все пак разбирането на същността и простото запомняне наизуст са различни неща.)

Същността на алгоритъма е, че правим парабола от лявата страна на стандартното неравенство и гледаме къде е над оста X и къде е отдолу. Тези. където положителните стойности са вляво, където отрицателните.

Ако направим парабола от нашата лява страна:

y =х 2 +4 х+5

И ще начертаем неговата графика, тогава ще видим това всичкоцяла парабола минава над оста X.Картината ще изглежда така:

Параболата е крива, да... Затова е схематична. Но в същото време всичко, от което се нуждаем, се вижда на снимката. Параболата няма пресечни точки с оста X, няма нулеви стойности на играта. И, разбира се, също няма отрицателни стойности. Което е показано чрез засенчване на цялата ос X като цяло. Между другото, изобразих оста Y и координатите на върха тук с причина. Сравнете координатите на върха на параболата (-2; 1) и нашия трансформиран израз!

y =х 2 +4 х+5 = ( х +2) 2 +1

Харесва ли Ви? Да! В нашия случай м=2 и н=1 ... Следователно върхът на параболата има координати: (- м; н) = (-2; 1) ... Всичко е логично.)

Друга задача:

Решете уравнението:

х 2 +4 х+3 = 0

Просто квадратно уравнение. Можете да решите по старомоден начин,. Можете да преминете. Както желаеш. Математиката няма нищо против.)

Получаваме корените: х 1 =-3 х 2 =-1

И ако нито единият, нито другият начин ... не си спомняте? Е, двойка ти свети, приятелски, но... Така да бъде, аз ще те спася! Позволете ми да ви покажа как можете да решите някои квадратни уравнения само чрез методи от седми клас. Отново изберете пълен квадрат!)

х 2 +4 х+3 = (х+2) 2 -1

И сега ние описваме получения израз като ... разлика на квадратите!Да, да, има един в седми клас:

а 2 -б 2 = (a-b) (a + b)

В ролята аскоби стърчат(х+2) , и в ролята б- един. Получаваме:

(х+2) 2 -1 = (х+2) 2 -1 2 = ((х+2)-1)((х+2)+1) = (х+1)(х+3)

Вмъкваме това разширение в уравнението вместо квадратния трином:

(х+1)(х+3)=0

Остава да разберем, че произведението на факторите е нула тогава и само тогава,когато някой от тях е нула. Така че ние приравняваме (в ума!) Всяка скоба на нула.

Получаваме: х 1 =-3 х 2 =-1

Това е всичко. Същите два корена. Такъв е хитрият трик. В допълнение към дискриминанта.)

Между другото, за дискриминанта и общата формула за корените на квадратно уравнение:

В моя урок извеждането на тази тромава формула беше пропуснато. Като ненужни. Но тук му е мястото.) Искате ли да знаете как тази формула се оказва? Откъде идва изразът за дискриминанта и защо точноб 2 -4ac, а не иначе? И все пак пълното разбиране на същността на случващото се е много по-полезно от необмисленото драскане на всякакви букви и символи, нали?)

Третото полезно нещо е извеждането на формулата за корените на квадратно уравнение.

Ето ни! Вземаме квадратен трином в общ вид брадва 2 + bx+ ° Си… започваме да избираме пълен квадрат!Да направо чрез писма!Имаше аритметика, сега - алгебра.) Първо, както обикновено, изпълняваме писмото аизвън скобите, а всички останали коефициенти се делят на а:

Като този. Това е напълно законно преобразуване: а не е равно на нула, и можете да разделите на него. И отново работим със скоби според обичайния алгоритъм: от термина с x правим двойно произведение, добавяме / изваждаме квадрата на второто число ...

Всичко е същото, но с букви.) Опитайте се да го завършите сами! Здрави!)

След всички трансформации трябва да получите това:

И защо трябва да градим такива купища от безобиден тричлен - питате? Нищо, сега ще е интересно! И сега, разбира се, ние приравняваме това нещо до нула:

Решаваме го като обикновено уравнение, работим по всички правила, само с букви... Правим елементарно:

1) Преместете голямата фракция надясно.При прехвърляне променяме плюса на минус. За да не начертая минус пред самата дроб, просто ще променя всички знаци в числителя. Отляво беше числителят4ac-b 2 , а след прехвърлянето ще стане -( 4ac-b 2 ) , т.е. б 2 -4 ac. Нещо познато, не мислиш ли? Да! Дискриминантът, той е най-много...) Ще бъде така:

2) Изчистваме квадрата от скоби от коефициента.Разделяме двете части на " а". Вляво, пред скобите, буквата аизчезва, а отдясно преминава в знаменателя на голяма дроб, превръщайки я в 4 а 2 .

Оказва се това равенство:

Обърка ли се при теб? Тогава темата "" е за вас. Спешно отидете там!

Следваща стъпка извлечете корена... Ние се интересуваме от X, нали? И X седи под квадрата... Извличаме го според правилата за извличане на корени, разбира се. След извличане получавате това:

Вляво е квадратът на сбора изчезваи самата тази сума остава. Което е задължително.) Но вдясно се появява плюс/минус... За нашето яко руло, въпреки плашещия си вид, е просто някакво число... Дробно число. Коефициент зависим а, б, ° С... В същото време коренът на числителя на тази дроб не е красиво извлечен, има разлика между двата израза. И тук е коренът на знаменателя 4 а 2 доста се самоизвлича! Ще се окаже просто 2 а.

„Труден“ въпрос за попълване: имах ли право, извличайки корена от израза 4 а2, дайте отговор само 2а?В крайна сметка правилото за извличане корен квадратен задължава да постави знака на модула, т.е.2 | а | !

Помислете защо пропуснах знака за модул. Много полезно. Съвет: отговорът се крие в знака плюс/минуспреди дроба.)

Остават просто дреболии. Предоставяме чист X отляво. За да направите това, преместете малката част надясно. При промяна на знака пиперът е ясен. Нека ви напомня, че знакът в дроб може да бъде променен навсякъде и по всякакъв начин. Искаме да променим преди дроба, искаме я в знаменателя, искаме я в числителя. Ще сменя знака в числителя... Беше + б, стана – б... Надявам се да няма възражение?) След прехвърлянето ще стане така:

Добавете две дроби със същите знаменатели и получете (най-накрая!):

Добре? Какво мога да кажа? Еха!)

Полезно четвърто нещо - забележка за ученици!

И сега плавно ще преминем от училище към университет. Вярвате или не, изборът на пълен квадрат във висшата математика също е необходим!

Например задача като тази:

Намерете неопределения интеграл:

Къде да започна? Директното приложение не се търкаля. Само изборът на пълен квадрат спестява, да ...)

Всеки, който не знае как да избере пълен квадрат, завинаги ще виси на този прост пример. И кой знае как, той разпределя и получава:

х 2 +4 х+8 = (х+2) 2 +4

И сега интегралът (за знаещите) се взема с един ляв!

Страхотно, нали? И това не са само интеграли! Вече мълча за аналитичната геометрия, с нейната криви от втори ред – елипса, хипербола, парабола и окръжност.

Например:

Определете вида на кривата, дадена от уравнението:

х 2 + г 2 -6 х-8 г+16 = 0

Без възможност за избор на пълен квадрат задачата не може да бъде решена, да ... Но примерът не е по-лесен! За тези, които са в темата, разбира се.

Групирайте членовете с X и с играта на купчини и изберете пълни квадрати за всяка променлива. Ще се окаже:

(х 2 -6x) + (г 2 -8 г) = -16

(х 2 -6x + 9) -9 + (г 2 -8 г+16)-16 = -16

(х-3) 2 + (г-4) 2 = 9

(х-3) 2 + (г-4) 2 = 3 2

И така, как е? Разбрахте ли какво животно?) Е, разбира се! Кръг с радиус е триплет с център в точка (3; 4).

И това е всичко.) Полезно нещо е изборът на пълен квадрат!)