বহুপদীর অপরিবর্তনীয় গুণের বিভাজন। ফ্যাক্টরাইজেশন ল্যাব অপশন
এই অনলাইন ক্যালকুলেটরটি একটি ফাংশন ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে।
উদাহরণস্বরূপ, ফ্যাক্টরাইজ করুন: x 2 /3-3x+12। এটিকে x^2/3-3*x+12 হিসেবে লিখি। আপনি এই পরিষেবাটিও ব্যবহার করতে পারেন, যেখানে সমস্ত গণনা Word বিন্যাসে সংরক্ষিত হয়।
উদাহরণস্বরূপ, পদে পচন। আসুন এটিকে (1-x^2)/(x^3+x) হিসাবে লিখি। সমাধানের অগ্রগতি দেখতে, ধাপগুলি দেখান ক্লিক করুন। আপনি যদি ওয়ার্ড ফরম্যাটে ফলাফল পেতে চান তবে এই পরিষেবাটি ব্যবহার করুন।
বিঃদ্রঃ: সংখ্যা "pi" (π) পাই হিসাবে লেখা হয়; বর্গমূল sqrt হিসাবে, উদাহরণস্বরূপ sqrt(3), স্পর্শক tg tan লেখা হয়। উত্তর দেখতে, বিকল্প দেখুন।
- যদি একটি সাধারণ অভিব্যক্তি দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, 8*d+12*c*d, তাহলে অভিব্যক্তিটিকে ফ্যাক্টর করার অর্থ হল রাশিটিকে ফ্যাক্টর আকারে উপস্থাপন করা। এটি করার জন্য, আপনাকে সাধারণ কারণগুলি খুঁজে বের করতে হবে। চলুন এই অভিব্যক্তিটি লিখি: 4*d*(2+3*c)।
- দুটি দ্বিপদ আকারে পণ্যটি উপস্থাপন করুন: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy। এখানে আপনাকে ইতিমধ্যে বেশ কয়েকটি সাধারণ কারণ খুঁজে বের করতে হবে: x(x+7z) + 3y(x + 7z)। আমরা (x+7z) বের করি এবং পাই: (x+7z)(x + 3y)।
একটি কোণা সহ বহুপদগুলির বিভাগও দেখুন (একটি কলাম সহ বিভাজনের সমস্ত ধাপ দেখানো হয়েছে)
ফ্যাক্টরাইজেশনের নিয়ম অধ্যয়ন করার সময় দরকারী হবে সংক্ষেপে গুণন সূত্র, যার সাহায্যে এটি পরিষ্কার হবে কিভাবে একটি বর্গক্ষেত্রের সাথে বন্ধনী খুলতে হয়:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি
কিছু কৌশল শেখার পর ফ্যাক্টরাইজেশনসমাধানের নিম্নলিখিত শ্রেণীবিভাগ করা যেতে পারে:- সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে।
- একটি সাধারণ ফ্যাক্টর খোঁজা.
সংজ্ঞা 1.যদি বহুপদী f(x) অদৃশ্য হয়ে যায় যখন c সংখ্যাটি অজানার জন্য প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে c কে বহুপদী f(x) (বা সমীকরণ f(x)=0) এর মূল বলা হয়।
উদাহরণ 1. চ(x)=x 5 +2x 3 -3x।
সংখ্যা 1 হল f(x) এর মূল এবং সংখ্যা 2টি f(x) এর মূল নয়, যেহেতু f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, এবং f(2) )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0।
দেখা যাচ্ছে যে বহুপদীর শিকড় তার ভাজকের সাথে সম্পর্কিত।
একটি সংখ্যা c বহুপদী f(x) এর একটি মূল যদি এবং শুধুমাত্র যদি f(x) x-c দ্বারা বিভাজ্য হয়।
সংজ্ঞা 2। c যদি বহুপদী f(x) এর মূল হয়, তাহলে f(x) কে x-c দ্বারা ভাগ করা হয়। তারপরে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা k যেমন f(x) (x-c) k দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু (x-c) k+1 দ্বারা বিভাজ্য নয়। এই সংখ্যা k কে বলা হয় বহুপদী f(x) এর মূল c এর বহুপদী, এবং মূল c নিজেই এই বহুপদীর k-ভাঁজ মূল। যদি k=1, তাহলে মূল c কে সরল বলা হয়।
বহুপদী f(x) এর মূলের k গুণিতক খুঁজে পেতে, উপপাদ্যটি ব্যবহার করুন:
যদি c সংখ্যাটি বহুপদী f(x) এর k-ভাঁজ মূল হয়, তাহলে k>1 এর জন্য এটি হবে এই বহুপদীর প্রথম ডেরিভেটিভের (k-1)-গুণ মূল; যদি k=1, তাহলে c একটি রুট হিসাবে f "(x) হিসাবে কাজ করবে না।
পরিণতি।প্রথমবারের মতো, বহুপদী f(x) এর k-ভাঁজ মূলটি kth ডেরিভেটিভের মূল হিসাবে কাজ করবে না।
উদাহরণ 2।নিশ্চিত করুন যে সংখ্যা 2টি বহুপদী f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 এর মূল। এর বহুবিধতা নির্ধারণ করুন।
সমাধান।সংখ্যা 2 হল f(x) এর মূল, যেহেতু 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0।
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
সংখ্যা 2 প্রথমবারের জন্য f"""(x) এর মূল নয়, তাই সংখ্যা 2 হল বহুপদী f(x) এর একটি ট্রিপল রুট।
অগ্রণী সহগ 1 সহ ডিগ্রী n≥1 এর একটি বহুপদী f(x) দেওয়া যাক: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...a n -1 x+a n এবং α 1,... ,α n হল এর শিকড়। একটি বহুপদীর শিকড় এবং এর সহগগুলি ভিয়েটা সূত্র নামক সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত:
a 1 = -(α 1 +...α n),
a 2 =α 1 α 2 +... α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n।
ভিয়েটার সূত্রগুলি এর শিকড় দিয়ে একটি বহুপদ লিখতে সহজ করে তোলে।
উদাহরণ 3.সরল শিকড় 2 সহ একটি বহুপদ খুঁজুন; 3 এবং ডাবল রুট -1.
সমাধান।চলুন বহুপদীর সহগ বের করা যাক:
এবং 1 =- (2+3–1-1)=-3,
a 2 =2·3+2·(-1)+2·(-1)+3·(-1)+3·(-1)+(-1)·(-1)= -3,
a 3 =- (2·(-1)·(-1)+3·(-1)·(-1)+3·2·(-1)+3·2·(-1))= -7 ,
এবং 4 =3·2·(-1)·(-1)=6।
প্রয়োজনীয় বহুপদ হল x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6।
সংজ্ঞা 3.একটি বহুপদী f(x)ÌP[x] ডিগ্রী n একটি ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য যদি এটি P[x] থেকে φ(x) এবং ψ(x) দুটি ফ্যাক্টরের গুণফলের মধ্যে পচে যায়, যার ডিগ্রী এর চেয়ে কম n:
f(x)=φ(x)ψ(x)। (1)
f(x)OP[x] কে P ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় বলা হয় যদি P[x] থেকে এর যেকোন ফ্যাক্টরাইজেশনে ফ্যাক্টরাইজেশনের একটির ডিগ্রী 0 থাকে, অন্যটির ডিগ্রী n থাকে।
নিম্নলিখিত উপপাদ্য ধারণ করে:
রিং P[x] থেকে অ-শূন্য ডিগ্রী f(x) এর যেকোন বহুপদী P[x] থেকে ডিগ্রী শূন্যের ফ্যাক্টর পর্যন্ত স্বতন্ত্রভাবে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরগুলির একটি গুণে পরিণত হতে পারে।
এটি থেকে সহজেই অনুসৃত হয় যে n, n≥1 ডিগ্রির যেকোন বহুপদী f(х)ОР[x] এর জন্য নিম্নোক্ত পচন অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরে পরিণত হয়:
P[x]-এ অপরিবর্তনীয় বহুপদী যেখানে অগ্রণী সহগ একের সমান। বহুপদীর জন্য এই সম্প্রসারণ অনন্য।
এই ধরনের সম্প্রসারণে অন্তর্ভুক্ত অপরিবর্তনীয় কারণগুলি সব আলাদা হতে হবে না। যদি একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদীটি সম্প্রসারণের (2) মধ্যে ঠিক k বার ঘটে, তবে এটিকে বহুপদী f(x) এর k-ভাঁজ ফ্যাক্টর বলা হয়। যদি এই প্রসারণে P(x) ফ্যাক্টরটি শুধুমাত্র একবার দেখা যায়, তবে তাকে বলা হয় a f(x) এর জন্য সরল গুণনীয়ক।
যদি সম্প্রসারণে (2) অভিন্ন কারণগুলি একত্রিত করা হয়, তবে এই সম্প্রসারণটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে:
, (3)
যেখানে ফ্যাক্টর Р 1 (x),…, Р (x) ইতিমধ্যেই আলাদা। এখানে k 1 , …, k r সূচকগুলি সংশ্লিষ্ট গুণকের গুণিতকের সমান। সম্প্রসারণ (3) এভাবে লেখা যেতে পারে:
যেখানে F 1 (x) হল সমস্ত সাধারণ অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরগুলির গুণফল, সমস্ত দ্বিগুণ অপরিবর্তনীয় গুণনীয়কের গুণফল, ইত্যাদি। সম্প্রসারণে (3)। যদি সম্প্রসারণে (3) কোনো m-ভাঁজ গুণনীয়ক না থাকে, তাহলে গুণনীয়কটিকে একের সমান ধরা হয়।
বহুপদী F 1 (x),…,F s (x) বহুপদী f(x) ওভার সংখ্যা ক্ষেত্রগুলির জন্য পাওয়া যেতে পারে ডেরিভেটিভের ধারণা ব্যবহার করে, পূর্বে প্রণীত উপপাদ্য থেকে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম (ডেরিভেটিভের সাথে সংযোগ সম্পর্কে) নিম্নরূপ:
তাই আমরা পেতে
সুতরাং, বহুপদী f(x) এর জন্য আমরা গুণনীয়কগুলি খুঁজে পেতে পারি 
.
যদি একটি বহুপদী f(x) এর জন্য এটির প্রসারণ (4) এর F 1 (x),...,F s (x) গুণনীয়কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন, তবে তারা বলে যে এটির একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করা প্রয়োজন।
উদাহরণ 4.একাধিক ফ্যাক্টর আলাদা করুন f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4।
সমাধান। gcd f(x) এবং f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 খুঁজুন।
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2।
এখন আমরা d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)) খুঁজে পাই।
আমরা প্রকাশ করি v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x)।
(আমরা বিভাগ করি)।
v 1 (x)=x 2 -x-2।
(আমরা বিভাগ করি)।
তাই আমরা F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 পাই, 
সুতরাং, বহুপদী f(x) এর সম্প্রসারণ f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 আছে। বহুপদী f(x) এর সম্প্রসারণে (3) কোন মৌলিক গুণনীয়ক নেই, একটি দ্বিগুণ গুণনীয়ক হল x-2 এবং একটি ট্রিপল ফ্যাক্টর হল x+1।
নোট 1.এই পদ্ধতিটি কিছু দেয় না যদি বহুপদী f(x) এর সমস্ত অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর সহজ হয় (আমরা f(x)=F 1 (x) পরিচয় পাই)।
নোট 2।এই পদ্ধতিটি আপনাকে নির্বিচারে বহুপদীর সমস্ত শিকড়ের বহুগুণ নির্ধারণ করতে দেয়।
ল্যাবরেটরি কাজের বিকল্প
বিকল্প 1
1. নিশ্চিত করুন যে বহুপদী 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 এর একটি রুট 1+i আছে। বহুপদীর অবশিষ্ট মূল খুঁজুন।
2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 এর গুণিতকগুলি পৃথক করুন।
3. ক্ষুদ্রতম ডিগ্রীর বহুপদ খুঁজুন যার মূল হল: 5, i, i+3।
বিকল্প 2
1. বহুপদী f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 এর জন্য x 0 = 2 মূলের গুণিতকতা কত? এর বাকি শিকড় খুঁজুন।
2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 এর পৃথক গুণিতক।
3. x 3 +px+q=0 সমীকরণের সহগের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করুন, যদি এর মূল x 1, x 2, x 3 সম্পর্কটিকে সন্তুষ্ট করে।
বিকল্প 3
1. বহুপদী x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 এর জন্য মূল x 0 = 4 এর গুণিতকতা কত? অবশিষ্ট শিকড় খুঁজুন।
2. গুণিতকগুলি পৃথক করুন x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4।
3. λ নির্ধারণ করুন যাতে সমীকরণের একটি মূল অন্যটির দ্বিগুণের সমান হয়: x 3 -7x+λ=0।
বিকল্প 4
1. দেখান যে x=3 হল বহুপদী f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 এর মূল। এর বহুগুণ নির্ধারণ করুন এবং অবশিষ্ট শিকড় খুঁজুন।
2. বহুপদ x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 সমীকরণের দুটি মূলের যোগফল 1 এর সমান। λ খুঁজুন।
বিকল্প 5
1. দেখান যে x 0 = -2 হল বহুপদ x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 এর মূল। এর বহুগুণ নির্ধারণ করুন এবং অবশিষ্ট শিকড় খুঁজুন।
2. বহুপদ f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. মূল 1, 2, 3, 1+i প্রদত্ত ক্ষুদ্রতম ডিগ্রীর বহুপদ নির্ণয় করুন।
বিকল্প 6
1. যে অবস্থার অধীনে বহুপদ x 5 + ax 4 + b এর একটি দ্বিগুণ মূল রয়েছে যা শূন্য থেকে আলাদা তা সন্ধান করুন।
2. বহুপদ x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. বহুপদী a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n-এর মূল x 1, x 2, …, x n। বহুপদগুলির মূল কি কি: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
বিকল্প 7
1. দেখান যে x=-2 হল বহুপদী 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 এর মূল। মূলের বহুত্ব নির্ণয় করুন এবং বহুপদীর অবশিষ্ট মূলগুলি খুঁজুন।
3. 2x 3 -2x 2 -4x-1 সমীকরণের মূলের বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
বিকল্প 8
1. প্রমাণ করুন যে x=1 বহুপদী x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 এর মূল। এর বহুবিধতা নির্ধারণ করুন। বহুপদীর অবশিষ্ট মূল খুঁজুন।
3. বহুপদীর একটি মূল অন্যটির চেয়ে দ্বিগুণ বড়। বহুপদী f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ-এর মূল নির্ণয় কর।
বিকল্প 9
1. যে অবস্থার অধীনে বহুপদী x 5 +10ax 3 +5bx+c এর একটি ট্রিপল মূল রয়েছে যা শূন্য থেকে আলাদা তা সন্ধান করুন।
2. বহুপদ x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. সমীকরণটি সমাধান করুন x 3 -6x 2 +qx+2=0, যদি এটি জানা যায় যে এর শিকড় একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে।
বিকল্প 10
1. দেখান যে x=3 হল বহুপদী f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 এর মূল। মূলের বহুত্ব নির্ণয় কর, বহুপদীর অন্যান্য মূল নির্ণয় কর।
2. বহুপদ x 6 -4x 4 -16x 2 +16 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. মূল 1, 2+i, 3 প্রদত্ত ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির বাস্তব সহগ সহ একটি বহুপদ খুঁজুন।
বিকল্প 11
1. দেখান যে x=2 হল বহুপদ x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 এর মূল। এর বহুত্ব এবং অন্যান্য শিকড় খুঁজুন।
2. বহুপদ x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির একটি বহুপদ গঠন করুন যদি এর মূল x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 জানা থাকে।
বিকল্প 12
1. দেখান যে x = -1 হল বহুপদ x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 এর মূল। এর বহুপদী এবং বহুপদীর অবশিষ্ট শিকড়গুলি খুঁজুন।
2. বহুপদ x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির একটি বহুপদ গঠন করুন যদি এর মূল x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 জানা থাকে।
বিকল্প 13
1. বহুপদী x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 এর জন্য মূল x 0 = 4 এর গুণিতকতা কত? বহুপদীর অবশিষ্ট মূল খুঁজুন।
2. বহুপদ x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. λ নির্ধারণ করুন যাতে x 3 -7x+λ=0 সমীকরণের একটি মূল অন্যটির দ্বিগুণের সমান হয়।
সংশ্লিষ্ট তথ্য.
সংজ্ঞা 1.যদি বহুপদী f(x) অদৃশ্য হয়ে যায় যখন c সংখ্যাটি অজানার জন্য প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে c কে বহুপদী f(x) (বা সমীকরণ f(x)=0) এর মূল বলা হয়।
উদাহরণ 1. চ(x)=x 5 +2x 3 -3x।
সংখ্যা 1 হল f(x) এর মূল এবং সংখ্যা 2টি f(x) এর মূল নয়, যেহেতু f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, এবং f(2) )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0।
দেখা যাচ্ছে যে বহুপদীর শিকড় তার ভাজকের সাথে সম্পর্কিত।
একটি সংখ্যা c বহুপদী f(x) এর একটি মূল যদি এবং শুধুমাত্র যদি f(x) x-c দ্বারা বিভাজ্য হয়।
সংজ্ঞা 2। c যদি বহুপদী f(x) এর মূল হয়, তাহলে f(x) কে x-c দ্বারা ভাগ করা হয়। তারপরে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা k যেমন f(x) (x-c) k দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু (x-c) k+1 দ্বারা বিভাজ্য নয়। এই সংখ্যা k কে বলা হয় বহুপদী f(x) এর মূল c এর বহুপদী, এবং মূল c নিজেই এই বহুপদীর k-ভাঁজ মূল। যদি k=1, তাহলে মূল c কে সরল বলা হয়।
বহুপদী f(x) এর মূলের k গুণিতক খুঁজে পেতে, উপপাদ্যটি ব্যবহার করুন:
যদি c সংখ্যাটি বহুপদী f(x) এর k-ভাঁজ মূল হয়, তাহলে k>1 এর জন্য এটি হবে এই বহুপদীর প্রথম ডেরিভেটিভের (k-1)-গুণ মূল; যদি k=1, তাহলে c একটি রুট হিসাবে f "(x) হিসাবে কাজ করবে না।
পরিণতি।প্রথমবারের মতো, বহুপদী f(x) এর k-ভাঁজ মূলটি kth ডেরিভেটিভের মূল হিসাবে কাজ করবে না।
উদাহরণ 2।নিশ্চিত করুন যে সংখ্যা 2টি বহুপদী f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 এর মূল। এর বহুবিধতা নির্ধারণ করুন।
সমাধান।সংখ্যা 2 হল f(x) এর মূল, যেহেতু 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0।
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
সংখ্যা 2 প্রথমবারের জন্য f"""(x) এর মূল নয়, তাই সংখ্যা 2 হল বহুপদী f(x) এর একটি ট্রিপল রুট।
অগ্রণী সহগ 1 সহ ডিগ্রী n≥1 এর একটি বহুপদী f(x) দেওয়া যাক: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...a n -1 x+a n এবং α 1,... ,α n হল এর শিকড়। একটি বহুপদীর শিকড় এবং এর সহগগুলি ভিয়েটা সূত্র নামক সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত:
a 1 = -(α 1 +...α n),
a 2 =α 1 α 2 +... α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n।
ভিয়েটার সূত্রগুলি এর শিকড় দিয়ে একটি বহুপদ লিখতে সহজ করে তোলে।
উদাহরণ 3.সরল শিকড় 2 সহ একটি বহুপদ খুঁজুন; 3 এবং ডাবল রুট -1.
সমাধান।চলুন বহুপদীর সহগ বের করা যাক:
এবং 1 =- (2+3–1-1)=-3,
a 2 =2·3+2·(-1)+2·(-1)+3·(-1)+3·(-1)+(-1)·(-1)= -3,
a 3 =- (2·(-1)·(-1)+3·(-1)·(-1)+3·2·(-1)+3·2·(-1))= -7 ,
এবং 4 =3·2·(-1)·(-1)=6।
প্রয়োজনীয় বহুপদ হল x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6।
সংজ্ঞা 3.একটি বহুপদী f(x)ÌP[x] ডিগ্রী n একটি ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য যদি এটি P[x] থেকে φ(x) এবং ψ(x) দুটি ফ্যাক্টরের গুণফলের মধ্যে পচে যায়, যার ডিগ্রী এর চেয়ে কম n:
f(x)=φ(x)ψ(x)। (1)
f(x)OP[x] কে P ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় বলা হয় যদি P[x] থেকে এর যেকোন ফ্যাক্টরাইজেশনে ফ্যাক্টরাইজেশনের একটির ডিগ্রী 0 থাকে, অন্যটির ডিগ্রী n থাকে।
নিম্নলিখিত উপপাদ্য ধারণ করে:
রিং P[x] থেকে অ-শূন্য ডিগ্রী f(x) এর যেকোন বহুপদী P[x] থেকে ডিগ্রী শূন্যের ফ্যাক্টর পর্যন্ত স্বতন্ত্রভাবে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরগুলির একটি গুণে পরিণত হতে পারে।
এটি থেকে সহজেই অনুসৃত হয় যে n, n≥1 ডিগ্রির যেকোন বহুপদী f(х)ОР[x] এর জন্য নিম্নোক্ত পচন অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরে পরিণত হয়:
P[x]-এ অপরিবর্তনীয় বহুপদী যেখানে অগ্রণী সহগ একের সমান। বহুপদীর জন্য এই সম্প্রসারণ অনন্য।
এই ধরনের সম্প্রসারণে অন্তর্ভুক্ত অপরিবর্তনীয় কারণগুলি সব আলাদা হতে হবে না। যদি একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদীটি সম্প্রসারণের (2) মধ্যে ঠিক k বার ঘটে, তবে এটিকে বহুপদী f(x) এর k-ভাঁজ ফ্যাক্টর বলা হয়। যদি এই প্রসারণে P(x) ফ্যাক্টরটি শুধুমাত্র একবার দেখা যায়, তবে তাকে বলা হয় a f(x) এর জন্য সরল গুণনীয়ক।
যদি সম্প্রসারণে (2) অভিন্ন কারণগুলি একত্রিত করা হয়, তবে এই সম্প্রসারণটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে:
, (3)
যেখানে ফ্যাক্টর Р 1 (x),…, Р (x) ইতিমধ্যেই আলাদা। এখানে k 1 , …, k r সূচকগুলি সংশ্লিষ্ট গুণকের গুণিতকের সমান। সম্প্রসারণ (3) এভাবে লেখা যেতে পারে:
যেখানে F 1 (x) হল সমস্ত সাধারণ অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরগুলির গুণফল, সমস্ত দ্বিগুণ অপরিবর্তনীয় গুণনীয়কের গুণফল, ইত্যাদি। সম্প্রসারণে (3)। যদি সম্প্রসারণে (3) কোনো m-ভাঁজ গুণনীয়ক না থাকে, তাহলে গুণনীয়কটিকে একের সমান ধরা হয়।
বহুপদী F 1 (x),…,F s (x) বহুপদী f(x) ওভার সংখ্যা ক্ষেত্রগুলির জন্য পাওয়া যেতে পারে ডেরিভেটিভের ধারণা ব্যবহার করে, পূর্বে প্রণীত উপপাদ্য থেকে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম (ডেরিভেটিভের সাথে সংযোগ সম্পর্কে) নিম্নরূপ:
তাই আমরা পেতে
সুতরাং, বহুপদী f(x) এর জন্য আমরা গুণনীয়কগুলি খুঁজে পেতে পারি 
.
যদি একটি বহুপদী f(x) এর জন্য এটির প্রসারণ (4) এর F 1 (x),...,F s (x) গুণনীয়কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন, তবে তারা বলে যে এটির একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করা প্রয়োজন।
উদাহরণ 4.একাধিক ফ্যাক্টর আলাদা করুন f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4।
সমাধান। gcd f(x) এবং f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 খুঁজুন।
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2।
এখন আমরা d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)) খুঁজে পাই।
আমরা প্রকাশ করি v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x)।
(আমরা বিভাগ করি)।
v 1 (x)=x 2 -x-2।
(আমরা বিভাগ করি)।
তাই আমরা F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 পাই, 
সুতরাং, বহুপদী f(x) এর সম্প্রসারণ f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 আছে। বহুপদী f(x) এর সম্প্রসারণে (3) কোন মৌলিক গুণনীয়ক নেই, একটি দ্বিগুণ গুণনীয়ক হল x-2 এবং একটি ট্রিপল ফ্যাক্টর হল x+1।
নোট 1.এই পদ্ধতিটি কিছু দেয় না যদি বহুপদী f(x) এর সমস্ত অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর সহজ হয় (আমরা f(x)=F 1 (x) পরিচয় পাই)।
নোট 2।এই পদ্ধতিটি আপনাকে নির্বিচারে বহুপদীর সমস্ত শিকড়ের বহুগুণ নির্ধারণ করতে দেয়।
ল্যাবরেটরি কাজের বিকল্প
বিকল্প 1
1. নিশ্চিত করুন যে বহুপদী 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 এর একটি রুট 1+i আছে। বহুপদীর অবশিষ্ট মূল খুঁজুন।
2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 এর গুণিতকগুলি পৃথক করুন।
3. ক্ষুদ্রতম ডিগ্রীর বহুপদ খুঁজুন যার মূল হল: 5, i, i+3।
বিকল্প 2
1. বহুপদী f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 এর জন্য x 0 = 2 মূলের গুণিতকতা কত? এর বাকি শিকড় খুঁজুন।
2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 এর পৃথক গুণিতক।
3. x 3 +px+q=0 সমীকরণের সহগের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করুন, যদি এর মূল x 1, x 2, x 3 সম্পর্কটিকে সন্তুষ্ট করে।
বিকল্প 3
1. বহুপদী x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 এর জন্য মূল x 0 = 4 এর গুণিতকতা কত? অবশিষ্ট শিকড় খুঁজুন।
2. গুণিতকগুলি পৃথক করুন x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4।
3. λ নির্ধারণ করুন যাতে সমীকরণের একটি মূল অন্যটির দ্বিগুণের সমান হয়: x 3 -7x+λ=0।
বিকল্প 4
1. দেখান যে x=3 হল বহুপদী f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 এর মূল। এর বহুগুণ নির্ধারণ করুন এবং অবশিষ্ট শিকড় খুঁজুন।
2. বহুপদ x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 সমীকরণের দুটি মূলের যোগফল 1 এর সমান। λ খুঁজুন।
বিকল্প 5
1. দেখান যে x 0 = -2 হল বহুপদ x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 এর মূল। এর বহুগুণ নির্ধারণ করুন এবং অবশিষ্ট শিকড় খুঁজুন।
2. বহুপদ f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. মূল 1, 2, 3, 1+i প্রদত্ত ক্ষুদ্রতম ডিগ্রীর বহুপদ নির্ণয় করুন।
বিকল্প 6
1. যে অবস্থার অধীনে বহুপদ x 5 + ax 4 + b এর একটি দ্বিগুণ মূল রয়েছে যা শূন্য থেকে আলাদা তা সন্ধান করুন।
2. বহুপদ x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. বহুপদী a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n-এর মূল x 1, x 2, …, x n। বহুপদগুলির মূল কি কি: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
বিকল্প 7
1. দেখান যে x=-2 হল বহুপদী 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 এর মূল। মূলের বহুত্ব নির্ণয় করুন এবং বহুপদীর অবশিষ্ট মূলগুলি খুঁজুন।
3. 2x 3 -2x 2 -4x-1 সমীকরণের মূলের বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
বিকল্প 8
1. প্রমাণ করুন যে x=1 বহুপদী x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 এর মূল। এর বহুবিধতা নির্ধারণ করুন। বহুপদীর অবশিষ্ট মূল খুঁজুন।
3. বহুপদীর একটি মূল অন্যটির চেয়ে দ্বিগুণ বড়। বহুপদী f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ-এর মূল নির্ণয় কর।
বিকল্প 9
1. যে অবস্থার অধীনে বহুপদী x 5 +10ax 3 +5bx+c এর একটি ট্রিপল মূল রয়েছে যা শূন্য থেকে আলাদা তা সন্ধান করুন।
2. বহুপদ x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. সমীকরণটি সমাধান করুন x 3 -6x 2 +qx+2=0, যদি এটি জানা যায় যে এর শিকড় একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে।
বিকল্প 10
1. দেখান যে x=3 হল বহুপদী f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 এর মূল। মূলের বহুত্ব নির্ণয় কর, বহুপদীর অন্যান্য মূল নির্ণয় কর।
2. বহুপদ x 6 -4x 4 -16x 2 +16 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. মূল 1, 2+i, 3 প্রদত্ত ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির বাস্তব সহগ সহ একটি বহুপদ খুঁজুন।
বিকল্প 11
1. দেখান যে x=2 হল বহুপদ x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 এর মূল। এর বহুত্ব এবং অন্যান্য শিকড় খুঁজুন।
2. বহুপদ x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির একটি বহুপদ গঠন করুন যদি এর মূল x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 জানা থাকে।
বিকল্প 12
1. দেখান যে x = -1 হল বহুপদ x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 এর মূল। এর বহুপদী এবং বহুপদীর অবশিষ্ট শিকড়গুলি খুঁজুন।
2. বহুপদ x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির একটি বহুপদ গঠন করুন যদি এর মূল x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 জানা থাকে।
বিকল্প 13
1. বহুপদী x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 এর জন্য মূল x 0 = 4 এর গুণিতকতা কত? বহুপদীর অবশিষ্ট মূল খুঁজুন।
2. বহুপদ x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 এর একাধিক গুণনীয়ক আলাদা করুন।
3. λ নির্ধারণ করুন যাতে x 3 -7x+λ=0 সমীকরণের একটি মূল অন্যটির দ্বিগুণের সমান হয়।
এমন কিছু পদ্ধতি রয়েছে যা আপনাকে একটি প্রদত্ত বহুপদীতে একাধিক কারণ রয়েছে কিনা তা খুঁজে বের করার অনুমতি দেয় এবং যদি উত্তরটি ইতিবাচক হয়, তাহলে তারা এই বহুপদীর অধ্যয়নকে বহুপদীর অধ্যয়নে কমিয়ে আনা সম্ভব করে যাতে আর একাধিক কারণ থাকে না।
উপপাদ্য. যদি একটি বহুপদীর একাধিক অপরিবর্তনীয় গুণনীয়ক হয়, তবে এটি এই বহুপদীর ডেরিভেটিভের একাধিক গুণনীয়ক হবে। বিশেষ করে, বহুপদীর প্রধান গুণনীয়ক। ডেরিভেটিভ সম্প্রসারণে প্রবেশ করে না।
আসলে, যাক
এবং আর দ্বারা বিভাজ্য নয়। পার্থক্যকারী সমতা (5.1), আমরা পাই:
বন্ধনীর পদগুলির দ্বিতীয়টি দ্বারা বিভাজ্য নয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি শর্ত দ্বারা বিভাজ্য নয়, এটি একটি নিম্ন ডিগ্রী আছে, যেমন এছাড়াও দ্বারা বিভাজ্য নয়। অন্যদিকে, বর্গাকার বন্ধনীতে যোগফলের প্রথম পদটি দ্বারা ভাগ করা হয়, i.e. গুণক আসলে একাধিক সঙ্গে খেলার মধ্যে আসে.
এই উপপাদ্য থেকে এবং দুটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার উপরের পদ্ধতি থেকে এটি অনুসরণ করে যে যদি একটি বহুপদকে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরে পরিণত করা হয়:
তারপর একটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক এবং এর ডেরিভেটিভের নিম্নোক্ত পচন অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরে পরিণত হয়:
যেখানে গুণক একটি দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা উচিত। বিশেষ করে, একটি বহুপদী একাধিক কারণ ধারণ করে না যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি তার ডেরিভেটিভের সমকক্ষ হয়।
বহুগুণের বিচ্ছিন্নতা
যদি সম্প্রসারণ (5.2) সহ একটি বহুপদ দেওয়া হয় এবং যদি আমরা সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক এবং এর ডেরিভেটিভ বোঝাই, তাহলে (5.3) এর জন্য একটি সম্প্রসারণ হবে। (5.2) (5.3) দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:
সেগুলো. আমরা একটি বহুপদ পাই যাতে একাধিক গুণনীয়ক থাকে না, এবং প্রত্যেকটি অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর যার জন্য, সাধারণভাবে বলতে গেলে, নিম্ন স্তরের এবং যেকোন ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র মৌলিক উপাদান ধারণ করে। যদি এই সমস্যাটি সমাধান করা হয়, তবে যা অবশিষ্ট থাকে তা হল পাওয়া অপূরণীয় কারণগুলির গুণিতকতা নির্ধারণ করা, যা বিভাগ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে অর্জন করা হয়।
এখন বর্ণিত পদ্ধতিটিকে জটিল করে, আমরা অবিলম্বে একাধিক কারণ ছাড়াই বেশ কয়েকটি বহুপদীর বিবেচনায় এগিয়ে যেতে পারি, এবং, এই বহুপদীগুলির অপরিবর্তনীয় কারণগুলি খুঁজে পাওয়ার পরে, আমরা কেবল সমস্ত অপরিবর্তনীয় কারণগুলি খুঁজে পাব না, তবে তাদের বহুবিধতাও জানব।
ধরা যাক (5.2) অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরের মধ্যে একটি পচন, এবং গুণনীয়কগুলির সর্বোচ্চ গুণিতক হল,। আসুন আমরা একটি বহুপদীর সমস্ত একক গুণনীয়কের গুণফল দ্বারা বোঝাই, সমস্ত দ্বিগুণ গুণনীয়কের গুণফল দ্বারা, কিন্তু শুধুমাত্র একবার নেওয়া, ইত্যাদি, অবশেষে, সমস্ত - বহু গুণনীয়কের গুণফল দ্বারা, এছাড়াও শুধুমাত্র একবার নেওয়া হয়েছে; যদি কারো জন্য কোনো -মাল্টিপল ফ্যাক্টর না থাকে, তাহলে আমরা ধরে নিই। তারপর এটি বহুপদীর ডিগ্রি দ্বারা ভাগ হবে এবং প্রসারণ (5.2) রূপ নেবে
এবং বিস্তৃতি (5.3) ফরমটিতে পুনরায় লেখা হবে
একটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক এবং এর ডেরিভেটিভ এবং সাধারণভাবে বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের মাধ্যমে বোঝানো এবং এইভাবে, আমরা পাই:
……………………………
……………………………
এবং তাই অবশেষে
এইভাবে, শুধুমাত্র কৌশলগুলি ব্যবহার করে যেগুলি বহুপদীর অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরগুলির জ্ঞানের প্রয়োজন হয় না, যেমন ডেরিভেটিভ, ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম এবং বিভাগ অ্যালগরিদম গ্রহণ করে, আমরা একাধিক কারণ ছাড়া বহুপদী খুঁজে পেতে পারি এবং বহুপদীর প্রতিটি অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর হবে - একাধিক জন্য
উদাহরণ।একটি বহুপদকে গুণিতক করুন।
বহুপদীটির আকারে একটি বিস্তৃতি রয়েছে।
আমি একটি বহুপদকে গুণিতক করার জন্য একটি প্রোগ্রাম তৈরি করেছি।
Windows, Messages, SysUtils, ভেরিয়েন্ট, ক্লাস, গ্রাফিক্স, কন্ট্রোল, ফর্ম,
ডায়ালগ, StdCtrls, গ্রিড;
TForm1 = ক্লাস(TForm)
SGd1: TStringGrid;
বোতাম 1: TButton;
SGd2: TStringGrid;
SGd3: TStringGrid;
SGd4: TStringGrid;
পদ্ধতি বোতাম 1 ক্লিক (প্রেরক: TObject);
(ব্যক্তিগত ঘোষণা)
(সর্বজনীন ঘোষণা)
c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,step,f:integer;
kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:পূর্ণসংখ্যার অ্যারে;
izub,e,fx: পূর্ণসংখ্যার অ্যারে;
পদ্ধতি TForm1.Button1Click(প্রেরক: TObject);
var i,j,k_1,st3,l:পূর্ণসংখ্যা;
k2_2, k1_1: পূর্ণসংখ্যার অ্যারে;
st1:=StrToInt(Edit1.Text);
i:=0 থেকে st1 শুরু করতে হবে
SGd4.Cells:=SGd1.Cells;
i:=0 থেকে st1 শুরু করতে হবে
যদি SGd1.Cells<>"" তারপর
kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)
else MessageDlg("মনোযোগ! সহগ মান প্রবেশ করানো হয়নি!",mtWarning,,0);
i:=st1 থেকে 0 পর্যন্ত শুরু করুন
যদি kof1[আমি]<>0 তারপর শুরু করুন
if(kof1<0)or(i=0) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
kof2:=kof1[i]*i;
//Edit2.Text:=s;
i এর জন্য:=st2 থেকে 0 শুরু করতে হবে
SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);
যদি kof2[আমি]<>0 তারপর শুরু করুন
if(kof2<0)or(i=1) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
//সম্পাদনা3.পাঠ্য:=s;
i:=0 থেকে st1 শুরু করতে হবে
kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
i:=0 থেকে st2 শুরু করতে হবে
kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
যখন kof2<>0 শুরু করবেন
//Edit4.Text:="";
যদি k1<>kof2 তারপর শুরু করুন
if (k1 mod kof2)=0 তারপর শুরু করুন
j:=0 থেকে st2 করার জন্য
k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];
k2 হলে<>1 তারপর
j:=0 থেকে st1 করার জন্য
k1[j]:=kof2*k1[j];
যদি k_1<>1 তারপর শুরু করুন
j:=0 থেকে st2 করার জন্য
k2[j]:=k_1*kof2[j];
i:=1 থেকে st1 শুরু করতে হবে
k1:=k1[i]-k2[i];
st1 পর্যন্ত যদি k1<>0 তারপর শুরু করুন // সংক্ষিপ্ত রূপ i:=1 থেকে st1 করতে যদি k1[i]<>0 তারপর শুরু করুন যদি (k1[i] mod k1)<>0 তারপর sokr:=false; যদি sokr = সত্য তাহলে i:=0 থেকে st1 করতে k1[i]:=k1[i] div k_1; i:=0 থেকে st2 do //বহুপদ প্রতিস্থাপনের জন্য k2_2[i]:=kof2[i]; i:=0 থেকে st1 করতে i এর জন্য:=0 থেকে 10 শুরু করবেন SGd3.Cells:=""; SGd1.Cells:=""; izub:=0; izubst:=st2; i:=0 থেকে st2 শুরু করতে হবে SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]); izub:=k1[i]; যদি k1[i]<>0 তারপর শুরু করুন //Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i); যদি (k2_2>0) এবং (i i:=0 থেকে st1 শুরু করতে হবে kof2[i]:=k1_1[i]; d_st:=StrToInt(Edit1.Text); i:=d_st+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করতে হবে kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells); //ই ফাইন্ডিং n_nod:=1 থেকে n_iz শুরু করতে হবে m:=izubst; i:=n+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন i:=m+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করতে হবে b[i]:=izub; i:=n+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন যদি একটি [আমি]<>0 তারপর শুরু করুন যদি একটি<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //সম্পাদনা3.পাঠ্য:=s; i:=m+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করতে হবে যদি খ [আমি]<>0 তারপর শুরু করুন যদি (খ<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //সম্পাদনা4.পাঠ্য:=s; j:=n+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন j:=m+1 এর জন্য 1 থেকে শুরু করুন b2[j]:=buf[i]*b[j]; j:=f এর জন্য 1 থেকে শুরু করুন a2[j]:=a2[j]*b; j:=f এর জন্য 1 থেকে শুরু করুন a2[j]:=a2[j]-b2; i:=f+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন e:=বাফ[i]; যদি বাফ [আমি]<>0 তারপর শুরু করুন if(buf<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //সম্পাদনা5.পাঠ্য:=s; i:=n এর জন্য 0 থেকে শুরু করতে হবে যদি a2[i]<>0 তারপর শুরু করুন যদি (a2<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; n_nod:=1 থেকে n_iz-1 শুরু করুন m:=est; i:=n+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন a[i]:=e; i:=m+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করতে হবে b[i]:=e; যদি n_nod=n_iz-1 তাহলে fx:=b[i]; i:=n+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন যদি একটি [আমি]<>0 তারপর শুরু করুন যদি (a<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //সম্পাদনা3.পাঠ্য:=s; i:=m+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করতে হবে যদি খ [আমি]<>0 তারপর শুরু করুন if(b<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //সম্পাদনা4.পাঠ্য:=s; j:=n+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন i এর জন্য:= step+1 থেকে 1 শুরু করুন j:=m+1 এর জন্য 1 থেকে শুরু করুন b2[j]:=buf[i]*b[j]; j:=f এর জন্য 1 থেকে শুরু করুন a2[j]:=a2[j]*b; j:=f এর জন্য 1 থেকে শুরু করুন a2[j]:=a2[j]-b2; i:=f+1 থেকে 1 পর্যন্ত শুরু করুন fx:=buf[i]; যদি বাফ [আমি]<>0 তারপর শুরু করুন if(buf<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //সম্পাদনা5.পাঠ্য:=s; i:=n এর জন্য 0 থেকে শুরু করতে হবে যদি a2[i]<>0 তারপর শুরু করুন যদি (a2<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; fxst:=est+1; i:=1 থেকে n_iz শুরু করতে হবে j:=fxst[i] এর জন্য 0 থেকে শুরু করুন যদি fx<>0 তারপর শুরু করুন যদি (fx<0)or(j=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; s:=s+")^"+IntToStr(i)+" "; Edit6.Text:=Edit6.Text+s; i এর জন্য:=0 থেকে 10 শুরু করবেন SGd1.Cells:=SGd4.Cells; বেশ কয়েকটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল তাদের সাধারণ ভাজক যা তাদের যেকোনো সাধারণ ভাজকের একাধিক। যদি d= GCD(f 1 , … ,f n), তারপর এই ধরনের বহুপদ আছে u 1 ,
… ,u n, কি d
= u 1
চ 1
+… + u n
চ n . এই অভিব্যক্তিটিকে রৈখিক GCD উপস্থাপনা বলা হয়। জিসিডি খুঁজতে ( চ,
g) এবং এর রৈখিক উপস্থাপনা, ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়। এটি দ্বিতীয় দ্বারা প্রথম বহুপদীর অবশিষ্টাংশের সাথে অনুক্রমিক বিভাজন নিয়ে গঠিত, তারপরে অবশিষ্টাংশ দ্বারা দ্বিতীয়টি ইত্যাদি। শেষ অ-শূন্য অবশিষ্টাংশ হল GCD( চ,
g) বিভাজনের ফলের চেইন ব্যবহার করে, একটি রৈখিক উপস্থাপনা পাওয়া যায়। উদাহরণ 2.1। GCD খুঁজুন( চ,
g চ=এক্স 4 + 2এক্স 3
–এক্স 2 +এক্স
+ 1; g= 2এক্স 3 –এক্স
– 1. সমাধান। আমরা অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগের একটি শৃঙ্খল পরিচালনা করি: আর f = g
(1/2 এক্স+ 1) – ½ r 1 ,
r 1
= এক্স 2
– 5এক্স +
4; g = r 1
(2এক্স + 10)
+ 41r 2 ,
r 2
= এক্স –
1; (*) r 1 =
r 2
(এক্স –
4). শেষ অ-শূন্য অবশিষ্ট r 2 =এক্স- 1 হল জিসিডি( চ,
g) আমরা সূত্র ব্যবহার করে এর রৈখিক উপস্থাপনা খুঁজে পাই (*): r 1
= 2চ–
2g
(1/2 এক্স +
1) = 2চ –
g
(এক্স + 2); 41r 2
= g –
r 1
(2এক্স + 10)
= g –
(2চ – g
(এক্স + 2))
(2এক্স + 10)
= = g– 2(2এক্স+ 10)চ+ (এক্স+ 2)(2এক্স+ 10)g= (4এক্স+ 20)চ+ (2এক্স 2 + 14এক্স+ 21)g; GCD( চ, ছ) = এক্স
– 1= r 2
=
মন্তব্য: আপনার যদি GCD-এর একটি রৈখিক উপস্থাপনা খুঁজে বের করার প্রয়োজন না হয়, তাহলে গণনার সময় ফলাফলের অবশিষ্টাংশগুলির সংখ্যাগত সহগগুলিকে বিবেচনায় নেওয়ার প্রয়োজন নেই এবং সেগুলি বাতিল করা যেতে পারে। গণনায় ভগ্নাংশের উপস্থিতি এড়াতে, আপনি ভাগ করার আগে একটি উপযুক্ত পূর্ণসংখ্যা দ্বারা লভ্যাংশকে গুণ করতে পারেন। ব্যায়াম 2.1। GCD খুঁজুন( চ,
g) এবং এর রৈখিক উপস্থাপনা: ক) চ=এক্স 6 – 4এক্স 5 + 11এক্স 4 – 27এক্স 3 + 37এক্স 2
– 35এক্স
+ 35; g=এক্স 5 – 3এক্স 4 + 7এক্স 3
– 20এক্স 2 + 10এক্স
– 25. খ) চ
= 4এক্স 4 –
2এক্স 3 – 16এক্স 2 + 5এক্স
+ 9; g= 2এক্স 3 –এক্স 2 – 5এক্স
+ 4. একটি বহুপদীর আনুষ্ঠানিক ডেরিভেটিভ চ
=
ক 0 +
ক 1 এক্স
+ … +
ক n এক্স n F ক্ষেত্রের উপরে একটি বহুপদ বলা হয় চ
=
ক 1 +
2ক 2 এক্স 2
+ … +
na n এক্স n-1, যেখানে জন্য kএন,ক আমাদের আছে বহুপদ চএবং gএকে অপরের গুণিতক হলে সংশ্লিষ্ট বলা হয়। বহুপদ চএকটি রিং এর উপর K কে K এর উপর হ্রাসযোগ্য বলা হয় যদি এটি শূন্য হয় এবং দুটি অপরিবর্তনীয় বহুপদীর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। বহুপদ চ K এর উপর অপরিবর্তনীয় বলা হয় যদি এটি K এর উপর অপরিবর্তনীয় হয় এবং এর কোন ভাজক এর সাথে যুক্ত হয় চঅথবা 1. শুধুমাত্র ধনাত্মক ডিগ্রির বহুপদী একটি ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয়। একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বহুপদকে অপরিবর্তনীয় পণ্যে পচে যায় এবং এই পচনটি ক্রম এবং সংযোগের জন্য অনন্য। বহুপদ চএকটি অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর আছে পিবহুগুণ k, যদি চপি k ,চপি k+1 একটি গুণক 1 এর থেকে বেশি হলে তাকে গুণক বলা হয়। উপপাদ্য 3.1।
যদি একটি বহুপদ চক্ষেত্রের উপর একটি অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর আছে পিবহুগুণ k, যে পি- অপরিবর্তনীয় মাল্টিপ্লিসিটি ফ্যাক্টর k-1 এর জন্য চ
. এই উপপাদ্যটি বহুপদীর গুণিতকগুলিকে আলাদা করার সমস্যার সমাধান করতে সাহায্য করে চ
এবং এই বহুপদ ব্যবহার করে ফ্যাক্টরিং। এটি করার জন্য, আমরা GCD( চ,
চ
)
=d. বহুপদ dবহুপদীর একাধিক কারণের সমন্বয়ে গঠিত চ, যার প্রতিটি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে dএর থেকে 1 কম গুণিতক সহ চ. পারলে পঁচন dগুণনীয়কগুলিতে, তারপর বহুপদীর সমস্ত একাধিক গুণনীয়ক নির্ধারিত হয় চ,
এবং ফ্যাক্টরিং এর কাজ সহজ হয়ে যায়। অন্যথায়, আমরা বহুপদ বিবেচনা করতে পারি উদাহরণ 3.1। একটি বহুপদী গুণনীয়ক f = x 5 – 15এক্স 3 – 10এক্স 2 + 60এক্স+
72. সমাধান। আমরা হিসাব করি চ
=
5এক্স 4 – 45এক্স 2 – 20এক্স+ 60 = 5(এক্স 4 – 9এক্স 2 – 4এক্স+ 12)। যেহেতু আমাদের GCD-এর রৈখিক উপস্থাপনা খুঁজতে হবে না, তাই বহুপদীর সহগ থেকে প্রাপ্ত অ-শূন্য সংখ্যাসূচক সহগগুলি বাতিল করা যেতে পারে। অতএব, পরিবর্তে চ
নেওয়া যাক g
=এক্স 4 – 9এক্স 2 – 4এক্স+ 12. অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগের একটি শৃঙ্খল সম্পূর্ণ করা চ
চালু
gইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম অনুসারে, আমরা পাই চ = xg
– 6r 1 , আর 1
=
এক্স 3
+ এক্স 2
– 8এক্স–
12; g = (এক্স– 1)r 1 . তাই, d =
GCD( চ,
চ
)
=r 1 =
এক্স 3 +এক্স 2 – 8এক্স
– 12. যেহেতু gcd-এর ডিগ্রী 2-এর বেশি এবং এটিকে ফ্যাক্টরাইজ করা বেশ কঠিন, তাই আমরা বহুপদ বিবেচনা করি উত্তর: চ= (এক্স+ 2) 3 (এক্স– 3) 2 . মন্তব্য করুন। যেহেতু সমাধানের প্রক্রিয়ায় আমরা বহুপদীর সমস্ত মৌলিক গুণনীয়ক সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করেছি চ,
তারপর ফ্যাক্টরের বহুত্ব নির্ধারণ করুন ( এক্স- 3) হর্নারের স্কিম অনুসারে এটি প্রয়োজনীয় ছিল না: যেহেতু বহুপদীর ডিগ্রী 5 এবং প্রথম ডিগ্রীর প্রথম গুণনীয়কের গুণিতকতা 3, তাহলে দ্বিতীয় গুণকের গুণিতক অবশ্যই 2 এর সমান হবে। অনুশীলন. 3.1। বহুপদ গুণনীয়ক: ক)
চ
=
এক্স 6
– 6এক্স 4
– 4এক্স 3 +
9এক্স 2
+ 12এক্স + 4; খ)
চ
=
এক্স 5
– 6এক্স 4
+ 16এক্স 3 –
24এক্স 2
+ 20এক্স – 4. 3.2। বহুপদ প্রমাণ কর এক্স 2 n
–
nx n +1 +nx n –1
–
1 এর ট্রিপল রুট হিসাবে 1 নম্বর রয়েছে।
বিভাগের ফলাফল নিম্নলিখিত আকারে লেখা হয়:
চ
+
g.3. একাধিক
.
. এটি বহুপদীর সমস্ত প্রধান গুণনীয়ক দ্বারা গঠিত চ,
1 এর বহুপদী সহ নেওয়া হয়েছে। যদি এই বহুপদকে প্রসারিত করা না যায়, তাহলে আপনি, উদাহরণস্বরূপ, gcd( চ 1 ,
d), অথবা বহুপদে বর্ণিত অ্যালগরিদম প্রয়োগ করুন d.
=এক্স 2 –এক্স
– 6 = (এক্স– 3)(এক্স+ 2)। কারণ চ 1 এর ডিগ্রী 2 আছে এবং এটিকে ফ্যাক্টরাইজ করা সম্ভব ছিল, তারপর বহুপদীর সমস্ত অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর নির্ধারণ করা হয় চ, এবং যা অবশিষ্ট থাকে তা হল তাদের বহুগুণ নির্ধারণ করা। হর্নারের স্কিম ব্যবহার করে এটি করা যাক।
