ভেক্টরের স্কেলার পণ্যের বিষয়ে সমস্ত সূত্র। ভেক্টরের স্কেলার গুণ কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়। স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সংজ্ঞা
স্কালে পণ্যভেক্টর (এর পরে এসপি হিসাবে উল্লেখ করা হয়)। প্রিয় বন্ধুরা! গণিত পরীক্ষায় ভেক্টর সমাধানের জন্য একদল সমস্যার অন্তর্ভুক্ত। আমরা ইতিমধ্যে কিছু সমস্যা বিবেচনা করেছি। আপনি তাদের "ভেক্টর" বিভাগে দেখতে পারেন। সাধারণভাবে, ভেক্টরের তত্ত্বটি সহজ, প্রধান জিনিসটি ধারাবাহিকভাবে এটি অধ্যয়ন করা। স্কুল গণিত কোর্সে ভেক্টর সহ গণনা এবং ক্রিয়াগুলি সহজ, সূত্রগুলি জটিল নয়। মধ্যে দেখুন. এই নিবন্ধে, আমরা ভেক্টরগুলির যৌথ উদ্যোগের কাজগুলি বিশ্লেষণ করব (পরীক্ষায় অন্তর্ভুক্ত)। এখন তত্ত্বে "নিমজ্জন":
এইচ একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে, আপনাকে এর প্রান্তের স্থানাঙ্ক থেকে বিয়োগ করতে হবেএর শুরুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক
এবং আরও:
*ভেক্টর দৈর্ঘ্য (মডুলাস) নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:
এই সূত্রগুলো মুখস্থ করতে হবে!!!
ভেক্টরের মধ্যে কোণ দেখাই:
এটা স্পষ্ট যে এটি 0 থেকে 180 0 পর্যন্ত পরিবর্তিত হতে পারে(বা রেডিয়ানে 0 থেকে Pi)।
আমরা স্কেলার পণ্যের চিহ্ন সম্পর্কে কিছু সিদ্ধান্তে আঁকতে পারি। ভেক্টরের দৈর্ঘ্য স্পষ্টতই ইতিবাচক। সুতরাং স্কেলার গুণফলের চিহ্ন ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইনের মানের উপর নির্ভর করে।
সম্ভাব্য ক্ষেত্রে:
1. যদি ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি তীক্ষ্ণ হয় (0 0 থেকে 90 0 পর্যন্ত), তাহলে কোণের কোসাইনটির একটি ধনাত্মক মান থাকবে।
2. যদি ভেক্টরের মধ্যে কোণটি স্থূল হয় (90 0 থেকে 180 0 পর্যন্ত), তাহলে কোণের কোসাইনটির একটি ঋণাত্মক মান থাকবে।
*শূন্য ডিগ্রীতে, অর্থাৎ, যখন ভেক্টরের দিক একই থাকে, তখন কোসাইন একের সমান হয় এবং সেই অনুযায়ী, ফলাফল ধনাত্মক হবে।
180 o এ, অর্থাৎ, যখন ভেক্টরের বিপরীত দিক থাকে, তখন কোসাইন বিয়োগ একের সমান হয়,এবং ফলাফল নেতিবাচক হবে।
এখন গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট!
90 o এ, অর্থাৎ, যখন ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন কোসাইন শূন্য হয়, এবং তাই যৌথ উদ্যোগ শূন্য হয়। এই সত্যটি (পরিণাম, উপসংহার) অনেক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয় যেখানে আমরা কথা বলছি আপেক্ষিক অবস্থানভেক্টর, গণিতে টাস্কের খোলা ব্যাঙ্কে অন্তর্ভুক্ত কাজগুলি সহ।
আমরা বিবৃতিটি তৈরি করি: স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রদত্ত ভেক্টরগুলি লম্ব রেখার উপর থাকে।
সুতরাং, এসপি ভেক্টরগুলির সূত্রগুলি হল:
যদি ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্ক বা তাদের শুরু এবং শেষের বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা যায়, তবে আমরা সর্বদা ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি খুঁজে পেতে পারি:
কাজগুলি বিবেচনা করুন:
27724 a এবং b ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ গুণফল নির্ণয় কর।
আমরা দুটি সূত্রের একটি ব্যবহার করে ভেক্টরের স্কেলার গুণফল খুঁজে পেতে পারি:
ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি অজানা, তবে আমরা সহজেই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে পারি এবং তারপর প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি। যেহেতু উভয় ভেক্টরের শুরু উৎপত্তির সাথে মিলে যায়, তাই এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি তাদের প্রান্তের স্থানাঙ্কের সমান, অর্থাৎ
একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা বর্ণনা করা হয়েছে।
আমরা গণনা করি:
উত্তর: 40
ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন এবং সূত্রটি ব্যবহার করুন:
একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে, ভেক্টরের শেষের স্থানাঙ্ক থেকে এর শুরুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলিকে বিয়োগ করতে হবে, যার অর্থ
আমরা স্কেলার পণ্য গণনা করি:
উত্তর: 40
a এবং b ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ণয় কর। ডিগ্রিতে আপনার উত্তর দিন।
ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির ফর্মটি থাকতে দিন:
ভেক্টরের মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে, আমরা ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সূত্রটি ব্যবহার করি:
ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন:
তাই:
এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি হল:
আসুন তাদের সূত্রে প্লাগ করি:
ভেক্টরের মধ্যে কোণ 45 ডিগ্রি।
উত্তর: 45
সমতল সমস্যার ক্ষেত্রে, a = (a x ; a y ) এবং b = (b x ; b y ) ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে:
a b = a x b x + a y b y
স্থানিক সমস্যার জন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সূত্র
স্থানিক সমস্যার ক্ষেত্রে, a = (a x; a y; a z ) এবং b = (b x ; b y; b z ) ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে:
a b = a x b x + a y b y + a z b z
n-মাত্রিক ভেক্টরের ডট পণ্য সূত্র
একটি n-মাত্রিক স্থানের ক্ষেত্রে, a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) এবং b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) ব্যবহার করে ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল পাওয়া যেতে পারে নিম্নলিখিত সূত্র:
a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n
ভেক্টরের ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্য
1. একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান:
2. একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভেক্টরটি শূন্য ভেক্টরের সমান হয়:
a a = 0<=>a = 0
3. একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল নিজেই তার মডুলাসের বর্গক্ষেত্রের সমান:
4. স্কেলার গুণনের কাজটি যোগাযোগমূলক:
5. যদি দুটি অ-শূন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান হয়, তবে এই ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল:
a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ খ
6. (αa) b = α(a b)
7. স্কেলার গুণনের কাজটি বণ্টনমূলক:
(a + b) c = a c + b c
ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনার জন্য কাজের উদাহরণ
সমতল সমস্যার জন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনার উদাহরণ
a = (1; 2) এবং b = (4; 8) ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল নির্ণয় করুন।
সমাধান: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20।
a এবং b ভেক্টরের দৈর্ঘ্য |a| হলে তাদের স্কেলার গুণফল বের করুন = 3, |b| = 6, এবং ভেক্টরের মধ্যে কোণ হল 60˚।
সমাধান: a · b = |a| |বি| cos α = 3 6 cos 60˚ = 9।
ভেক্টর p = a + 3b এবং q = 5a - 3 b যদি তাদের দৈর্ঘ্য |a| = 3, |b| = 2, এবং a এবং b ভেক্টরের মধ্যে কোণ হল 60˚।
সমাধান:
p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =
5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45।
স্থানিক সমস্যার জন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনার একটি উদাহরণ
a = (1; 2; -5) এবং b = (4; 8; 1) ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল নির্ণয় করুন।
সমাধান: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15।
n-মাত্রিক ভেক্টরের জন্য ডট পণ্য গণনা করার একটি উদাহরণ
a = (1; 2; -5; 2) এবং b = (4; 8; 1; -2) ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল খুঁজুন।
সমাধান: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11।
13. ভেক্টর এবং একটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল বলা হয় তৃতীয় ভেক্টর , নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত:
2) লম্ব, লম্ব। (1"")
3) ভেক্টরগুলি সম্পূর্ণ স্থানের ভিত্তি হিসাবে একইভাবে ভিত্তিক (ইতিবাচক বা নেতিবাচকভাবে)।
মনোনীত:।
শারীরিক অর্থভেক্টর পণ্য
O বিন্দুর সাথে আপেক্ষিক বলের মুহূর্ত; তাহলে ব্যাসার্ধ হল বল প্রয়োগ বিন্দুর ভেক্টর
অধিকন্তু, যদি O বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা হয়, তাহলে ট্রিপলটিকে ভিত্তির ভেক্টর হিসাবে অভিমুখী করতে হবে।
1. সংজ্ঞা এবং সহজ বৈশিষ্ট্য. আসুন আমরা অ-শূন্য ভেক্টর a এবং b নিই এবং তাদের একটি নির্বিচার বিন্দু O থেকে আলাদা রাখি: OA = a এবং OB = b. AOB কোণের মানকে a এবং b ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ বলা হয় এবং এটি চিহ্নিত করা হয় (a, b)। যদি দুটি ভেক্টরের মধ্যে অন্তত একটি শূন্য হয়, তাহলে সংজ্ঞা অনুসারে তাদের মধ্যকার কোণটি সঠিক বলে বিবেচিত হয়। উল্লেখ্য, সংজ্ঞা অনুসারে, ভেক্টরের মধ্যে কোণ কমপক্ষে 0 এবং সর্বাধিক . অধিকন্তু, দুটি অ-শূন্য ভেক্টরের মধ্যে কোণ 0 এর সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই ভেক্টরগুলি সহ-নির্দেশিক এবং সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা বিপরীত দিকে থাকে।
আসুন আমরা পরীক্ষা করি যে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি O বিন্দুর পছন্দের উপর নির্ভর করে না। ভেক্টরগুলি সমরেখার হলে এটি স্পষ্ট। অন্যথায়, আমরা একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু O থেকে সরাইয়া রাখি 1 ভেক্টর O 1 ক 1 = a এবং o 1 ভিতরে 1 = b এবং লক্ষ্য করুন যে AOB এবং A ত্রিভুজ 1 সম্পর্কিত 1 ভিতরে 1 তিন দিকে সমান, কারণ |OA| = |ও 1 ক 1 | = |a|, |OB| = |ও 1 ভিতরে 1 | = |b|, |AB| = |এ 1 ভিতরে 1 | = |b–a|। অতএব, কোণগুলি AOB এবং A 1 সম্পর্কিত 1 ভিতরে 1 সমান.
এখন আমরা এই অনুচ্ছেদে মূল জিনিস দিতে পারি
(5.1) সংজ্ঞা। দুটি ভেক্টর a এবং b (ab দ্বারা চিহ্নিত) এর স্কেলার গুণফল হল সংখ্যা 6 , এই ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্যের গুণফল এবং ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণের কোসাইনের সমান। সংক্ষেপে বলছি:
ab = |a||b|cos (a, b)।
স্কেলার গুণ খুঁজে বের করার অপারেশনকে ভেক্টরের স্কেলার গুণন বলা হয়। একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল aaকে এই ভেক্টরের স্কেলার বর্গ বলা হয় এবং এটিকে চিহ্নিত করা হয় 2 .
(5.2) একটি ভেক্টরের স্কেলার বর্গ তার দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান।
যদি |a| 0, তারপর (a, a) = 0, যেখান থেকে ক 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . a = 0 হলে a 2 = |a| 2 = 0.
(5.3) কচির অসমতা। দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের মডুলাস গুণনীয়কগুলির মডিউলির গুণফলকে অতিক্রম করে না: |ab| |a||b| এই ক্ষেত্রে, সমতা অর্জিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি a এবং b ভেক্টর সমরেখার হয়।
সংজ্ঞা অনুসারে |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)| |a||b এটি কচি অসমতা নিজেই প্রমাণ করে। এখন লক্ষ্য করা যাক. যে অ-শূন্য ভেক্টরের জন্য এটিতে a এবং b সমতা অর্জন করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি |cos (a,b)| = 1, i.e. এ (ক, খ) = 0 বা (ক, খ) = . পরবর্তীটি এই সত্যের সমতুল্য যে a এবং b ভেক্টরগুলি সহ-নির্দেশিত বা বিপরীতভাবে নির্দেশিত, অর্থাৎ সমরেখা যদি অন্তত একটি ভেক্টর a এবং b শূন্য হয়, তাহলে তারা সমরেখার এবং |ab| = |a||b| = 0.
2. স্কেলার গুণনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য। এর মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:
(CS1) ab = ba (commutativity);
(CS2) (xa)b = x(ab) (সহযোগিতা);
(CS3) a(b+c) = ab + ac (বন্টন)।
এখানে commutativity সুস্পষ্ট, কারণ ab = বি। এ. x = 0 এর জন্য সহযোগীতাও সুস্পষ্ট। x > 0 হলে
(ha) খ = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
জন্য (xa, b) = (a,b) (xa এবং a ভেক্টরের কোডডিরেকশন থেকে - চিত্র 21)। যদি x< 0, তারপর
(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
জন্য (xa, b) = – (a,b) (xa এবং a - Fig.22 ভেক্টরের বিপরীত দিক থেকে)। এইভাবে, সহযোগীতাও প্রমাণিত হয়।
ডিস্ট্রিবিউটিভিটি প্রমাণ করা আরও কঠিন। এই জন্য আমাদের এই ধরনের প্রয়োজন
(5.4) লেমা। l রেখার সমান্তরাল একটি অ-শূন্য ভেক্টর এবং b একটি ইচ্ছাকৃত ভেক্টর। তারপর অর্থোগোনাল প্রজেকশনখ" b ভেক্টরের রেখা l এর সমান 
.
1)
<
/2। তারপর ভেক্টর a এবং 
সহ-নির্দেশিত (চিত্র 23) এবং
খ"
=
=
=
.
2) > /2। তারপর ভেক্টর a এবংখ"বিপরীতভাবে নির্দেশিত (চিত্র 24) এবং
খ"
=
–
=
–
=
.
3)
=
/2। তারপরখ"
=
0 এবং ab
=
0, যেখান থেকেখ"
=
=
0.
আমরা এখন (CS3) এর বিতরণযোগ্যতা প্রমাণ করি। ভেক্টর a শূন্য হলে এটা স্পষ্ট। যাক ক
0. তারপর একটি লাইন আঁকুন l
||
a, এবং দ্বারা বোঝানখ" এবংগ" b এবং c ভেক্টরের অর্থোগোনাল প্রজেকশন এবং এর মাধ্যমেd" এর উপর ভেক্টর d = b + c এর অর্থোগোনাল প্রজেকশন হবে। উপপাদ্য 3.5 দ্বারাd"
=
খ"+
গ"। শেষ সমতায় লেমা 5.4 প্রয়োগ করে, আমরা সমতা পাই 
=
. এটিকে স্কেলারলি a দ্বারা গুণ করলে আমরা তা খুঁজে পাই 
2
=
, যেখান থেকে ad = ab+ac, যা প্রমাণ করতে হবে।
আমাদের দ্বারা প্রমাণিত ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণনের বৈশিষ্ট্যগুলি সংখ্যার গুণনের অনুরূপ বৈশিষ্ট্যের অনুরূপ। কিন্তু সংখ্যার গুণের সমস্ত বৈশিষ্ট্য ভেক্টরের স্কেলার গুণে বহন করে না। এখানে সাধারণ উদাহরণ রয়েছে:
1
2) যদি ab = ac, তাহলে এর মানে এই নয় যে b = c, যদিও a ভেক্টর অ-শূন্য হয়। উদাহরণ: b এবং c একই দৈর্ঘ্যের দুটি ভিন্ন ভেক্টর, a ভেক্টরের সাথে সমান কোণ গঠন করে (চিত্র 25)।
3) এটা সত্য নয় যে সবসময় a(bc) = (ab)c: যদি শুধুমাত্র bc, ab এর জন্য এই ধরনের সমতার বৈধতা 0 বোঝায় যে a এবং c ভেক্টর সমরেখার।
3. ভেক্টরের অর্থগোনালিটি। দুটি ভেক্টরকে অর্থোগোনাল বলা হয় যদি তাদের মধ্যে কোণ ঠিক থাকে। ভেক্টরের অর্থগোনালিটি আইকন দ্বারা নির্দেশিত হয় .
আমরা যখন ভেক্টরের মধ্যে কোণ সংজ্ঞায়িত করেছি, তখন আমরা শূন্য ভেক্টর এবং অন্য কোনো ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণটিকে সরলরেখা হিসেবে বিবেচনা করতে রাজি হয়েছি। অতএব, শূন্য ভেক্টর যে কোনোটির জন্য অর্থোগোনাল। এই চুক্তি আমাদের যেমন প্রমাণ করতে পারবেন
(5.5) দুটি ভেক্টরের অর্থগোনালিটির চিহ্ন। দুটি ভেক্টর অর্থোগোনাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের ডট গুণফল 0 হয়।
ধরা যাক a এবং b নির্বিচারে ভেক্টর। যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি শূন্য হয়, তাহলে তারা অর্থোগোনাল, এবং তাদের স্কেলার গুণফল 0 এর সমান। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি সত্য। এখন আমরা অনুমান করি যে প্রদত্ত উভয় ভেক্টরই অ-শূন্য। সংজ্ঞা অনুসারে, ab = |a||b|cos (a, b)। যেহেতু আমাদের অনুমান দ্বারা সংখ্যা |a| এবং |b| 0 এর সমান নয়, তারপর ab = 0 কারণ (a, b) = 0 (a, b) = /2, যা প্রমাণ করতে হবে।
সমতা ab = 0 প্রায়শই ভেক্টরের অর্থগোনালিটির সংজ্ঞা হিসাবে নেওয়া হয়।
(5.6) ফলাফল। ভেক্টর a প্রতিটি ভেক্টরের অর্থোগোনাল হলে a 1 , …, এ পৃ , তাহলে এটি তাদের যেকোন রৈখিক সংমিশ্রণের জন্যও অর্থোগোনাল।
এটা যথেষ্ট যে সমতা থেকে লক্ষ্য করুন AA 1 = … = aa পৃ = 0 বোঝায় সমতা a(x 1 ক 1 + … +x পৃ ক পৃ ) = x 1 (আহ 1 ) + … + x পৃ (আহ পৃ ) = 0.
কোরোলারি 5.6 থেকে একটি রেখা এবং একটি সমতলের লম্বতার জন্য স্কুলের মানদণ্ড বের করা সহজ। প্রকৃতপক্ষে, কিছু রেখা MN দুটি ছেদকারী রেখা AB এবং AC এর লম্ব হতে দিন। তাহলে MN ভেক্টর AB এবং AC ভেক্টরের অর্থোগোনাল। এবিসি সমতলের যেকোনো সরলরেখা DE নিই। ভেক্টর DE হল ননকোলিনিয়ার ভেক্টর AB এবং AC এর সমপ্ল্যানার এবং তাই তাদের মধ্যে প্রসারিত হয়। কিন্তু তারপরে এটি MN ভেক্টরের জন্যও অর্থোগোনাল, অর্থাৎ, MN এবং DE লাইনগুলি লম্ব। দেখা যাচ্ছে যে লাইন MN সমতল ABC থেকে যেকোন রেখার সাথে লম্ব, যা প্রমাণ করতে হবে।
4. অর্থনর্মাল বেস। (5.7) সংজ্ঞা। একটি ভেক্টর স্থানের ভিত্তিকে অর্থনর্মাল বলা হয় যদি, প্রথমত, এর সমস্ত ভেক্টরের একক দৈর্ঘ্য থাকে এবং দ্বিতীয়ত, এর যে কোনো দুটি ভেক্টর অর্থোগোনাল হয়।
ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি অর্থনর্মাল ভিত্তির ভেক্টর সাধারণত i, j এবং k অক্ষর দ্বারা এবং ভেক্টর সমতলে i এবং j অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। দুটি ভেক্টরের অর্থোগোনালিটির চিহ্ন এবং একটি ভেক্টরের স্কেলার বর্গ এবং তার দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমতা বিবেচনা করে, স্থান V-এর ভিত্তি (i,j,k) এর অর্থোগনালিটির শর্তগুলি 3 এভাবে লেখা যেতে পারে:
(5.8) i 2 = জে 2 = কে 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,
এবং ভেক্টর সমতলের ভিত্তি (i,j) নিম্নরূপ:
(5.9) i 2 = জে 2 = 1, ij = 0।
a এবং b ভেক্টরের অর্থনর্মাল ভিত্তিতে (i, j, k) শূন্যস্থান V আছে 3 স্থানাঙ্ক (a 1 , এ 2 , এ 3 ) এবং (খ 1 খ 2 , খ 3 ) যথাক্রমে। তারপরab = (ক 1 i+ক 2 j+ক 3 k)(খ 1 i+b 2 j+b 3 k) = ক 1 খ 1 i 2 +ক 2 খ 2 j 2 +ক 3 খ 3 k 2 +ক 1 খ 2 ij+a 1 খ 3 ik+a 2 খ 1 ji+a 2 খ 3 jk+a 3 খ 1 ki+a 3 খ 2 kj = a 1 খ 1 +ক 2 খ 2 +ক 3 খ 3 . এইভাবে ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সূত্র a (a 1 ,এ 2 ,এ 3 ) এবং b(b 1 , খ 2 , খ 3 ) স্থান V এর অর্থনর্মাল ভিত্তিতে তাদের স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রদত্ত 3 :
(5.10) ab = a 1 খ 1 +ক 2 খ 2 +ক 3 খ 3 .
ভেক্টরের জন্য a(a 1 ,এ 2 ) এবং b(b 1 , খ 2 ) ভেক্টর সমতলে অর্থনর্মাল ভিত্তিতে তাদের স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রদত্ত, এটির ফর্ম রয়েছে
(5.11) ab = a 1 খ 1 +ক 2 খ 2 .
আসুন b = a কে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি (5.10)। দেখা যাচ্ছে যে অর্থনর্মাল ভিত্তিতে ক 2 = ক 1 2 + ক 2 2 + ক 3 2 . কারণ ক 2 = |a| 2 , আমরা ভেক্টর a (a 1 ,এ 2 ,এ 3 ) স্থান V এর অর্থনর্মাল ভিত্তিতে এর স্থানাঙ্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত 3 :
(5.12) |a| = 
.
ভেক্টর সমতলে, (5.11) এর গুণে, এটি রূপ নেয়
(5.13) |a| = 
.
b = i, b = j, b = k সূত্রে (5.10) প্রতিস্থাপন করে, আমরা আরও তিনটি দরকারী সমতা পাই:
(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .
ভেক্টর এবং ভেক্টর দৈর্ঘ্যের স্কেলার গুণ খুঁজে বের করার জন্য স্থানাঙ্ক সূত্রের সরলতা হল অর্থনর্মাল বেসের প্রধান সুবিধা। অ-অর্থনর্মাল বেসগুলির জন্য, এই সূত্রগুলি সাধারণত বলা যায়, ভুল, এবং এই ক্ষেত্রে তাদের প্রয়োগ একটি গুরুতর ভুল।
5. দিকনির্দেশ কোসাইন। একটি অর্থনর্মাল ভিত্তিতে (i,j,k) শূন্যস্থান V নিন 3 ভেক্টর a(a 1 ,এ 2 ,এ 3 ) তারপরai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i)।অন্যদিকে, ai = a 1 সূত্র 5.14 অনুযায়ী। এটা দেখা যাচ্ছে যে
(5.15) ক 1 = |a|cos (a, i)।
এবং, একইভাবে,
ক 2 = |a|cos (a,j), এবং 3 = |a|cos (a, k)।
ভেক্টর a একক হলে, এই তিনটি সমতা একটি বিশেষভাবে সরল রূপ ধারণ করে:
(5.16) ক 1 = cos (a, i),ক 2 = cos (a, j),ক 3 = cos (a, k)।
অর্থনর্মাল ভিত্তির ভেক্টরের সাথে একটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত কোণগুলির কোসাইনগুলিকে প্রদত্ত ভিত্তিতে এই ভেক্টরের দিকনির্দেশক কোসাইন বলা হয়। সূত্র 5.16 হিসাবে দেখায়, অর্থনর্মাল ভিত্তিতে একটি ইউনিট ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি তার দিকনির্দেশক কোসাইনের সমান।
5.15 থেকে এটি অনুসরণ করে যে a 1 2 + ক 2 2 + ক 3 2 = |a| 2 (কারণ 2 (a,i)+cos 2 (a,j)+cos 2 (a, k))। অন্যদিকে, ক 1 2 + ক 2 2 + ক 3 2 = |a| 2 . এটা দেখা যাচ্ছে যে
(5.17) একটি অশূন্য ভেক্টরের বর্গ অভিমুখের কোসাইনগুলির যোগফল 1 এর সমান।
এই সত্য কিছু সমস্যা সমাধানের জন্য দরকারী.
(5.18) সমস্যা। একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের কর্ণ 60 এর একই শীর্ষ কোণ থেকে বেরিয়ে আসা দুটি প্রান্ত সহ . এই শীর্ষবিন্দু থেকে বেরিয়ে আসা তৃতীয় প্রান্তের সাথে এটি কোন কোণ তৈরি করে?
স্থান V এর একটি অর্থনর্মাল ভিত্তি বিবেচনা করুন 3
, যার ভেক্টরগুলি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দু থেকে বেরিয়ে আসা সমান্তরাল পাইপের প্রান্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে। যেহেতু তির্যক ভেক্টর এই ভিত্তির দুটি ভেক্টরের সাথে 60 কোণ গঠন করে
, এর তিনটি দিকের কোসাইনের মধ্যে দুটির বর্গ cos এর সমান 2
60
= 1/4। অতএব, তৃতীয় কোসাইনের বর্গ হল 1/2, এবং এই কোসাইন নিজেই 1/ 
. তাই পছন্দসই কোণ হল 45
.
ভেক্টরের মধ্যে কোণ
প্রদত্ত দুটি ভেক্টর $\overrightarrow(a)$ এবং $\overrightarrow(b)$ বিবেচনা করুন। আসুন আমরা ভেক্টরগুলিকে একপাশে রাখি $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ এবং $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ একটি নির্বিচারে নির্বাচিত বিন্দু $O$ থেকে, তারপর কোণটিকে $AOB$ বলা হয় ভেক্টরের মধ্যে কোণ $\overrightarrow(a)$ এবং $\overrightarrow(b)$ (চিত্র 1)।
ছবি 1।
এখানে উল্লেখ্য যে যদি ভেক্টর $\overrightarrow(a)$ এবং $\overrightarrow(b)$ হয়, অথবা তাদের মধ্যে একটি শূন্য ভেক্টর হয়, তাহলে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ $0^0$ এর সমান।
নোটেশন: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$
ভেক্টরের স্কেলার পণ্যের ধারণা
গাণিতিকভাবে, এই সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
স্কেলার পণ্য দুটি ক্ষেত্রে শূন্য হতে পারে:
যদি একটি ভেক্টর একটি শূন্য ভেক্টর হবে (তখন থেকে এর দৈর্ঘ্য শূন্য)।
যদি ভেক্টরগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব হয় (যেমন $cos(90)^0=0$)।
আরও মনে রাখবেন যে এই ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি তীব্র হলে অভ্যন্তরীণ পণ্যটি শূন্যের চেয়ে বেশি হয় (কারণ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , এবং শূন্যের কম যদি এই ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি স্থূল হয় (যেহেতু $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )
স্কেলার বর্গ ধারণাটি স্কেলার পণ্যের ধারণার সাথে সম্পর্কিত।
সংজ্ঞা 2
ভেক্টরের স্কেলার বর্গ $\overrightarrow(a)$ হল এই ভেক্টরের স্কেলার গুণফল নিজেই।
আমরা যে স্কেলার বর্গ হয়
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a) )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]
ভেক্টরের স্থানাঙ্ক দ্বারা স্কেলার গুণফলের গণনা
ডট পণ্যের মান খোঁজার আদর্শ উপায় ছাড়াও, যা সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে, আরেকটি উপায় আছে।
এটা বিবেচনা করা যাক.
$\overrightarrow(a)$ এবং $\overrightarrow(b)$ ভেক্টরের যথাক্রমে $\left(a_1,b_1\right)$ এবং $\left(a_2,b_2\right)$ স্থানাঙ্ক রয়েছে।
উপপাদ্য ঘ
$\overrightarrow(a)$ এবং $\overrightarrow(b)$ ভেক্টরের স্কেলার গুণফল সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের গুণফলের সমষ্টির সমান।
গাণিতিকভাবে, এটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]
প্রমাণ।
উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
এই উপপাদ্যটির বেশ কিছু প্রভাব রয়েছে:
ফলাফল 1: ভেক্টর $\overrightarrow(a)$ এবং $\overrightarrow(b)$ লম্ব হয় এবং শুধুমাত্র যদি $a_1a_2+b_1b_2=0$
ফলাফল 2: ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন হল $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$
ভেক্টরের ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্য
যেকোনো তিনটি ভেক্টর এবং একটি বাস্তব সংখ্যা $k$ এর জন্য, নিম্নলিখিতটি সত্য:
$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$
এই বৈশিষ্ট্যটি একটি স্কেলার বর্গক্ষেত্রের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে (সংজ্ঞা 2)।
স্থানচ্যুতি আইন:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$।
এই সম্পত্তি অভ্যন্তরীণ পণ্যের সংজ্ঞা (সংজ্ঞা 1) থেকে অনুসরণ করে।
বন্টনমূলক আইন:
$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$। \end(গণনা করা)
উপপাদ্য 1 দ্বারা, আমাদের আছে:
\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]
সমন্বয় আইন:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$। \end(গণনা করা)
উপপাদ্য 1 দ্বারা, আমাদের আছে:
\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]
ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনার জন্য একটি সমস্যার উদাহরণ
উদাহরণ 1
$\overrightarrow(a)$ এবং $\overrightarrow(b)$ যদি $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ এবং $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, এবং তাদের মধ্যে কোণ হল $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$।
সমাধান।
সংজ্ঞা 1 ব্যবহার করে, আমরা পাই
$(30)^0:$ এর জন্য
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( ৩)\]
$(45)^0:$ এর জন্য
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( ২)\]
$(90)^0:$ এর জন্য
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]
$(135)^0:$ এর জন্য
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ ডান)=-3\sqrt(2)\]
যদি সমস্যাটিতে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যে কোণ উভয়ই "একটি রৌপ্য থালায়" উপস্থাপিত হয়, তবে সমস্যার অবস্থা এবং এর সমাধান এইরকম দেখায়:
উদাহরণ 1ভেক্টর দেওয়া হয়। ভেক্টরের স্কেলার গুণফল খুঁজে বের করুন যদি তাদের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ নিম্নলিখিত মান দ্বারা উপস্থাপিত হয়:
আরেকটি সংজ্ঞাও বৈধ, যা সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞা 1-এর সমতুল্য।
সংজ্ঞা 2. ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল হল এই ভেক্টরগুলির একটির দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান একটি সংখ্যা (স্কেলার) এবং এই ভেক্টরগুলির প্রথমটি দ্বারা নির্ধারিত অক্ষের উপর অন্য ভেক্টরের অভিক্ষেপ। সংজ্ঞা 2 অনুযায়ী সূত্র:
আমরা পরবর্তী গুরুত্বপূর্ণ তাত্ত্বিক পয়েন্টের পরে এই সূত্রটি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করব।
স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সংজ্ঞা
গুণিত ভেক্টরগুলিকে তাদের স্থানাঙ্ক দিয়ে দিলে একই সংখ্যা পাওয়া যাবে।
সংজ্ঞা 3.ভেক্টরের বিন্দু গুণফল হল তাদের নিজ নিজ স্থানাঙ্কের জোড়া গুণফলের যোগফলের সমান সংখ্যা।
পৃষ্ঠের উপর
যদি দুটি ভেক্টর এবং সমতলে তাদের দুটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক
তাহলে এই ভেক্টরের ডট গুণফল তাদের নিজ নিজ স্থানাঙ্কের জোড়া গুণফলের সমষ্টির সমান:
.
উদাহরণ 2ভেক্টরের সমান্তরাল অক্ষের উপর ভেক্টরের অভিক্ষেপের সংখ্যাসূচক মান খুঁজুন।
সমাধান। আমরা ভেক্টরের স্কেলার গুণফল খুঁজে পাই তাদের স্থানাঙ্কের জোড়াভিত্তিক পণ্য যোগ করে:
এখন আমাদের ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের গুণফল এবং ভেক্টরের অভিক্ষেপকে ভেক্টরের সমান্তরাল একটি অক্ষের সাথে (সূত্র অনুসারে) সমতুল্য করতে হবে।
আমরা ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই বর্গমূলএর স্থানাঙ্কের বর্গক্ষেত্রের যোগফল থেকে:
.
একটি সমীকরণ লিখুন এবং এটি সমাধান করুন:
উত্তর. পছন্দসই সংখ্যাসূচক মান হল মাইনাস 8।
স্থান
যদি দুটি ভেক্টর এবং মহাকাশে তাদের তিনটি কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়
,
তাহলে এই ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফলও তাদের নিজ নিজ স্থানাঙ্কের জোড়া গুণফলের যোগফলের সমান, শুধুমাত্র ইতিমধ্যে তিনটি স্থানাঙ্ক রয়েছে:
.
বিবেচিত উপায়ে স্কেলার পণ্যটি খুঁজে বের করার কাজটি স্কেলার পণ্যের বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণ করার পরে। কারণ কার্যটিতে গুণিত ভেক্টরগুলি কোন কোণে গঠন করে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।
ভেক্টরের ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্য
বীজগণিতের বৈশিষ্ট্য
1. (পরিবর্তনমূলক সম্পত্তি: গুণিত ভেক্টরের স্থান পরিবর্তন থেকে তাদের স্কেলার পণ্যের মান পরিবর্তিত হয় না)।
2. 
(একটি সংখ্যাগত ফ্যাক্টর সাপেক্ষে সহযোগী সম্পত্তি: একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল কিছু গুণনীয়ক দ্বারা গুণিত এবং অন্য একটি ভেক্টর একই গুণনীয়ক দ্বারা গুণিত এই ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফলের সমান)।
3. 
(ভেক্টরের যোগফলের সাথে বণ্টনকারী সম্পত্তি: তৃতীয় ভেক্টর দ্বারা দুটি ভেক্টরের যোগফলের স্কেলার গুণফল তৃতীয় ভেক্টর দ্বারা প্রথম ভেক্টরের এবং তৃতীয় ভেক্টর দ্বারা দ্বিতীয় ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সমষ্টির সমান)।
4. (শূন্যের চেয়ে বড় ভেক্টরের স্কেলার বর্গ) যদি একটি অশূন্য ভেক্টর হয় এবং , যদি একটি শূন্য ভেক্টর হয়।
জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য
অধ্যয়নের অধীনে অপারেশনের সংজ্ঞাগুলিতে, আমরা ইতিমধ্যে দুটি ভেক্টরের মধ্যে একটি কোণের ধারণাটিকে স্পর্শ করেছি। এই ধারণাটি স্পষ্ট করার সময় এসেছে।
উপরের চিত্রে, দুটি ভেক্টর দৃশ্যমান, যা একটি সাধারণ শুরুতে আনা হয়েছে। এবং প্রথম যে বিষয়ে আপনাকে মনোযোগ দিতে হবে: এই ভেক্টরগুলির মধ্যে দুটি কোণ রয়েছে - φ 1 এবং φ 2 . ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যগুলিতে এই কোণগুলির মধ্যে কোনটি উপস্থিত হয়? বিবেচিত কোণের যোগফল 2 π এবং তাই এই কোণগুলির কোসাইনগুলি সমান। ডট পণ্যের সংজ্ঞা শুধুমাত্র কোণের কোসাইন অন্তর্ভুক্ত করে, এর অভিব্যক্তির মান নয়। কিন্তু বৈশিষ্ট্যগুলিতে শুধুমাত্র একটি কোণ বিবেচনা করা হয়। এবং এই দুটি কোণের মধ্যে একটি যা অতিক্রম করে না π অর্থাৎ 180 ডিগ্রি। এই কোণটি চিত্রে দেখানো হয়েছে φ 1 .
1. দুটি ভেক্টর বলা হয় অর্থোগোনাল এবং এই ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি একটি ডান (90 ডিগ্রী বা π /2) যদি এই ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল শূন্য :
.
ভেক্টর বীজগণিতের অর্থোগোনালিটি হল দুটি ভেক্টরের লম্বতা।
2. দুটি অ-শূন্য ভেক্টর গঠিত ধারালো কোণ (0 থেকে 90 ডিগ্রী পর্যন্ত, বা, কি একই, কম π ডট পণ্য ইতিবাচক .
3. দুটি অ-শূন্য ভেক্টর গঠিত স্থূলকোণ (90 থেকে 180 ডিগ্রী পর্যন্ত, বা, কি একই - আরও π /2) যদি এবং শুধুমাত্র যদি ডট পণ্য নেতিবাচক .
উদাহরণ 3ভেক্টর স্থানাঙ্কে দেওয়া হয়:
.
প্রদত্ত ভেক্টরের সমস্ত জোড়ার ডট পণ্য গণনা করুন। ভেক্টরের এই জোড়াগুলি কোন কোণ (তীব্র, ডান, স্থূল) গঠন করে?
সমাধান। আমরা সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের পণ্য যোগ করে গণনা করব।
আমরা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা পেয়েছি, তাই ভেক্টরগুলি একটি স্থূলকোণ তৈরি করে।
আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যা পেয়েছি, তাই ভেক্টরগুলি একটি তীব্র কোণ তৈরি করে।
আমরা শূন্য পেয়েছি, তাই ভেক্টর একটি সমকোণ গঠন করে।
আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যা পেয়েছি, তাই ভেক্টরগুলি একটি তীব্র কোণ তৈরি করে।
.
আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যা পেয়েছি, তাই ভেক্টরগুলি একটি তীব্র কোণ তৈরি করে।
স্ব-পরীক্ষার জন্য, আপনি ব্যবহার করতে পারেন অনলাইন ক্যালকুলেটর ভেক্টরের ডট পণ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন .
উদাহরণ 4দুটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যে কোণ দেওয়া হল:
.
সংখ্যার কোন মান ভেক্টর এবং অর্থোগোনাল (লম্ব) নির্ধারণ করুন।
সমাধান। আমরা বহুপদী গুণনের নিয়ম অনুসারে ভেক্টরগুলিকে গুণ করি:
এখন প্রতিটি পদ গণনা করা যাক:
.
আসুন একটি সমীকরণ রচনা করি (গুণের সমানতা শূন্য), অনুরূপ পদ দিন এবং সমীকরণটি সমাধান করুন:
উত্তর: আমরা মান পেয়েছি λ = 1.8 , যেখানে ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল।
উদাহরণ 5প্রমাণ কর যে ভেক্টর 
অরথোগোনাল (লম্ব) থেকে ভেক্টর
সমাধান। অর্থগোনালিটি পরীক্ষা করার জন্য, আমরা ভেক্টর এবং বহুপদ হিসাবে গুণ করি, এর পরিবর্তে সমস্যা অবস্থায় প্রদত্ত অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করি:
.
এটি করার জন্য, আপনাকে প্রথম বহুপদীর প্রতিটি পদ (টার্ম) দ্বিতীয়টির প্রতিটি পদ দ্বারা গুণ করতে হবে এবং ফলস্বরূপ পণ্যগুলি যোগ করতে হবে:
.
ফলস্বরূপ, বকেয়া ভগ্নাংশ হ্রাস করা হয়। নিম্নলিখিত ফলাফল প্রাপ্ত হয়:
উপসংহার: গুণের ফলস্বরূপ, আমরা শূন্য পেয়েছি, অতএব, ভেক্টরগুলির অর্থোগোনালিটি (লম্বতা) প্রমাণিত।
নিজে সমস্যা সমাধান করুন তারপর সমাধান দেখুন
উদাহরণ 6ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং , এবং এই ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ দেওয়া হয়েছে π /4। কি মান নির্ধারণ করুন μ ভেক্টর এবং পারস্পরিক লম্ব।
স্ব-পরীক্ষার জন্য, আপনি ব্যবহার করতে পারেন অনলাইন ক্যালকুলেটর ভেক্টরের ডট পণ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন .
ভেক্টরের স্কেলার পণ্যের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা এবং এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টরের গুণফল
কখনও কখনও, স্পষ্টতার জন্য, ম্যাট্রিক্স আকারে দুটি গুণিত ভেক্টর উপস্থাপন করা সুবিধাজনক। তারপর প্রথম ভেক্টরটিকে একটি সারি ম্যাট্রিক্স হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং দ্বিতীয়টি - একটি কলাম ম্যাট্রিক্স হিসাবে:
তাহলে ভেক্টরের স্কেলার গুণফল হবে এই ম্যাট্রিক্সের পণ্য :
ফলাফল আমরা ইতিমধ্যে বিবেচনা করা পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত হিসাবে একই. আমরা একটি একক সংখ্যা পেয়েছি, এবং ম্যাট্রিক্স-কলাম দ্বারা ম্যাট্রিক্স-সারির গুণফলও একটি একক সংখ্যা।
ম্যাট্রিক্স আকারে, বিমূর্ত n-মাত্রিক ভেক্টরের গুণফলকে উপস্থাপন করা সুবিধাজনক। এইভাবে, দুটি চার-মাত্রিক ভেক্টরের গুণফল হবে একটি সারি ম্যাট্রিক্সের গুণফল যার চারটি উপাদান একটি কলাম ম্যাট্রিক্স দ্বারা চারটি উপাদান সহ, দুটি পাঁচ-মাত্রিক ভেক্টরের গুণফল হবে পাঁচটি উপাদান সহ একটি সারি ম্যাট্রিক্সের গুণফল পাঁচটি উপাদান সহ একটি কলাম ম্যাট্রিক্স, এবং তাই।
উদাহরণ 7ভেক্টরের জোড়ার ডট পণ্য খুঁজুন
,
ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা ব্যবহার করে।
সমাধান। ভেক্টরের প্রথম জোড়া। আমরা প্রথম ভেক্টরটিকে সারি ম্যাট্রিক্স হিসাবে এবং দ্বিতীয়টি কলাম ম্যাট্রিক্স হিসাবে উপস্থাপন করি। আমরা কলাম ম্যাট্রিক্স দ্বারা সারি ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসাবে এই ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল খুঁজে পাই:
একইভাবে, আমরা দ্বিতীয় জুটির প্রতিনিধিত্ব করি এবং খুঁজে পাই:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ফলাফলগুলি উদাহরণ 2 থেকে একই জোড়ার মতো একই।
দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ
দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইনের সূত্রের উদ্ভব খুবই সুন্দর এবং সংক্ষিপ্ত।
ভেক্টরের ডট গুণ প্রকাশ করতে
(1)
ভি সমন্বয় ফর্ম, প্রথমে আমরা orts এর স্কেলার গুণ খুঁজে পাই। একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল নিজেই সংজ্ঞা অনুসারে:
উপরের সূত্রে যা লেখা আছে তার মানে হলঃ নিজের সাথে একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল তার দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান. শূন্যের কোসাইন একের সমান, তাই প্রতিটি বার্থের বর্গ একের সমান হবে:
যেহেতু ভেক্টর
পেয়ারওয়াইজ লম্ব হয়, তাহলে orts এর পেয়ারওয়াইজ প্রোডাক্ট শূন্যের সমান হবে:
এখন ভেক্টর বহুপদীর গুন সঞ্চালন করা যাক:
আমরা সমতার ডানদিকে অর্টের সংশ্লিষ্ট স্কেলার পণ্যগুলির মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করি:
আমরা দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইনের সূত্র পাই:
উদাহরণ 8তিন পয়েন্ট দিয়েছেন ক(1;1;1), খ(2;2;1), গ(2;1;2).
একটি কোণ খুঁজুন।
সমাধান। আমরা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাই:
,
.
একটি কোণের কোসাইনের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই:
তাই, .
স্ব-পরীক্ষার জন্য, আপনি ব্যবহার করতে পারেন অনলাইন ক্যালকুলেটর ভেক্টরের ডট পণ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন .
উদাহরণ 9দুটি ভেক্টর দেওয়া হয়েছে
যোগফল, পার্থক্য, দৈর্ঘ্য, বিন্দু পণ্য এবং তাদের মধ্যে কোণ খুঁজুন।
2. পার্থক্য
