একটি ফাংশনের বিষয় সীমার উপর উপস্থাপনা। একটি ফাংশনের সীমা একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা একতরফা সীমা একটি ফাংশনের সীমা যেমন x অসীমতার দিকে ঝোঁক সীমা সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্যগুলি সীমার গণনা। সীমার মৌলিক বৈশিষ্ট্য

সীমা গণনার নিয়ম যদি lim f(x) = b এবং lim g(x) =c হয়, তাহলে x 1) যোগফলের সীমা সীমার যোগফলের সমান: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) গুণফলের সীমা সীমার গুণফলের সমান: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) ভাগফলের সীমা সীমার ভাগফলের সমান: lim f(x):g(x) = lim f(x): lim g(x) = b:c x x x 4) The ধ্রুবক ফ্যাক্টর সীমা চিহ্নের বাইরে নেওয়া যেতে পারে: lim k f(x) = k lim f(x) = k b x x

দ্রষ্টব্য পরিকল্পনা y=1/x এবং y=1/x 2 ফাংশনের গ্রাফ। m জোড় এবং বিজোড়ের জন্য y=1/x m ফাংশনের গ্রাফ। অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটের ধারণা। +, -, এর উপর একটি ফাংশনের সীমার ধারণা। +, -, এ একটি ফাংশনের সীমার জ্যামিতিক অর্থ। একটি ফাংশনের সীমা গণনা করার নিয়ম। একটি ফাংশনের সীমা গণনার জন্য সূত্র। একটি ফাংশনের সীমা গণনা করার কৌশল।

পাঠের সারাংশ এর অর্থ কী যে একটি ফাংশনের অসীম সীমা রয়েছে? y=1/ x 4 ফাংশনের কোন উপসর্গ আছে? অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা গণনা করার জন্য আপনি কী নিয়ম জানেন? অসীমে সীমা গণনা করার জন্য আপনি কোন সূত্রের সাথে পরিচিত হয়েছেন? লিম (5-3x 3) / (6x 3 +2) কীভাবে খুঁজে পাবেন? এক্স

ব্যবহৃত সাহিত্য:- A.G. Mordkovich. বীজগণিত এবং ক্যালকুলাস ক্লাসের শুরু। Mnemosyne.M A.G.Mordkovich., P.V.Semenov. শিক্ষকদের জন্য পদ্ধতিগত ম্যানুয়াল। বীজগণিত এবং ক্যালকুলাস ক্লাসের শুরু। একটি মৌলিক স্তর. M. Mnemosyne. 2010

পাঠের উদ্দেশ্য:

শিক্ষাগত:
- একটি সংখ্যার সীমা, একটি ফাংশনের সীমা ধারণা প্রবর্তন;
- অনিশ্চয়তার ধরন সম্পর্কে ধারণা দিন;
- একটি ফাংশনের সীমা গণনা করতে শিখুন;
- অর্জিত জ্ঞানকে সুশৃঙ্খল করুন, আত্ম-নিয়ন্ত্রণ, পারস্পরিক নিয়ন্ত্রণ সক্রিয় করুন।
শিক্ষাগত:
- সীমা গণনা করতে অর্জিত জ্ঞান প্রয়োগ করতে সক্ষম হবেন।
- গাণিতিক চিন্তাভাবনা বিকাশ করুন।
শিক্ষাগত:গণিত এবং মানসিক কাজের শৃঙ্খলার প্রতি আগ্রহ তৈরি করা।

পাঠের ধরন:প্রথম পাঠ

শিক্ষার্থীদের কাজের ধরন:সম্মুখ, স্বতন্ত্র

প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম:ইন্টারেক্টিভ হোয়াইটবোর্ড, মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর, মৌখিক এবং প্রস্তুতিমূলক অনুশীলন সহ কার্ড।

পাঠ পরিকল্পনা

1. সাংগঠনিক মুহূর্ত (3 মিনিট)
2. একটি ফাংশনের সীমা তত্ত্বের ভূমিকা। প্রস্তুতিমূলক ব্যায়াম। (12 মিনিট)
3. ফাংশন সীমা গণনা (10 মিনিট)
4. স্বাধীন ব্যায়াম (15 মিনিট)
5. পাঠের সংক্ষিপ্তসার (2 মিনিট)
6. বাড়ির কাজ (3 মিনিট)

ক্লাস চলাকালীন

1. সাংগঠনিক মুহূর্ত

শিক্ষককে শুভেচ্ছা জানানো, অনুপস্থিতদের চিহ্নিত করা, পাঠের প্রস্তুতি পরীক্ষা করা। পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্য সম্পর্কে অবহিত করুন। পরবর্তীকালে, সমস্ত কাজ ইন্টারেক্টিভ বোর্ডে প্রদর্শিত হয়।

2. একটি ফাংশনের সীমা তত্ত্বের ভূমিকা। প্রস্তুতিমূলক ব্যায়াম।

ফাংশন সীমা (ফাংশনের সীমা মান) একটি প্রদত্ত বিন্দুতে, একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনকে সীমিত করে, হল সেই মান যার দিকে প্রশ্নে থাকা ফাংশনটি প্রবণতা হিসাবে প্রদত্ত বিন্দুতে থাকে।
সীমাটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে।

আসুন সীমা গণনা করা যাক:
আমরা x এর জন্য 3 প্রতিস্থাপন করি।
লক্ষ্য করুন যে একটি সংখ্যার সীমা নিজেই সংখ্যার সমান।

উদাহরণ: সীমা গণনা করুন

যদি কোনো ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে কোনো একটি সীমা থাকে এবং এই সীমাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের মানের সমান হয়, তাহলে ফাংশনটিকে অবিচ্ছিন্ন (একটি বিন্দুতে) বলা হয়।

আসুন x 0 = 3 বিন্দুতে ফাংশনের মান এবং এই বিন্দুতে এর সীমার মান গণনা করি।

এই বিন্দুতে সীমার মান এবং ফাংশনের মান মিলে যায়, অতএব, x 0 = 3 বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন।

কিন্তু সীমা গণনা করার সময়, অভিব্যক্তি প্রায়শই প্রদর্শিত হয় যার অর্থ সংজ্ঞায়িত করা হয় না। এই ধরনের অভিব্যক্তি বলা হয় অনিশ্চয়তা

প্রধান ধরনের অনিশ্চয়তা:

অনিশ্চয়তা উন্মোচন

অনিশ্চয়তা প্রকাশ করতে, নিম্নলিখিত ব্যবহার করুন:

একটি ফাংশনের অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করুন: এটিকে ফ্যাক্টর করুন, সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র, ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে ফাংশনটিকে রূপান্তর করুন, এর সংযোজক দ্বারা গুণ করুন, যা আরও হ্রাস করার অনুমতি দেয়, ইত্যাদি, ইত্যাদি;
যদি অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার সময় একটি সীমা বিদ্যমান থাকে, তাহলে ফাংশনটিকে নির্দিষ্ট মানের সাথে একত্রিত হতে বলা হয়; যদি এই ধরনের একটি সীমা বিদ্যমান না থাকে, তাহলে ফাংশনটিকে বিচ্ছিন্ন বলে বলা হয়।

উদাহরণ: চল সীমা হিসাব করি।
লব গুণনীয়ক করা যাক

3. ফাংশন সীমা গণনা

উদাহরণ 1. ফাংশনের সীমা গণনা করুন:

সরাসরি প্রতিস্থাপনের সাথে, ফলাফল অনিশ্চয়তা:

4. স্বাধীন ব্যায়াম

সীমা গণনা করুন:

5. পাঠের সংক্ষিপ্তকরণ

এটি প্রথম পাঠ

এই প্রকল্পে, তাত্ত্বিক উপাদানের পাশাপাশি ব্যবহারিক উপাদানও বিবেচনা করা হয়েছিল। ব্যবহারিক প্রয়োগে, আমরা সীমা গণনা করার সমস্ত সম্ভাব্য উপায় বিবেচনা করেছি। উচ্চতর গণিতের দ্বিতীয় বিভাগের অধ্যয়নটি ইতিমধ্যেই অত্যন্ত আগ্রহের বিষয়, যেহেতু গত বছর আমরা "ম্যাট্রিক্স" বিষয়টি বিবেচনা করেছি। সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য ম্যাট্রিক্স বৈশিষ্ট্যের প্রয়োগ," যা সহজ ছিল, যদি শুধুমাত্র এই কারণে যে প্রাপ্ত ফলাফল নিয়ন্ত্রণযোগ্য ছিল। এখানে তেমন কোনো নিয়ন্ত্রণ নেই। উচ্চতর গণিতের বিভাগগুলি অধ্যয়ন করলে ইতিবাচক ফলাফল পাওয়া যায়। এই কোর্সের ক্লাসগুলি ফলাফল এনেছে: - প্রচুর পরিমাণে তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক উপাদান অধ্যয়ন করা হয়েছিল; - সীমা গণনা করার জন্য একটি পদ্ধতি বেছে নেওয়ার ক্ষমতা বিকাশ করেছে; - প্রতিটি গণনা পদ্ধতির উপযুক্ত ব্যবহার উন্নত করা হয়েছে; - একটি টাস্ক অ্যালগরিদম ডিজাইন করার ক্ষমতা একত্রিত করা হয়েছে। আমরা উচ্চতর গণিতের বিভাগগুলি অধ্যয়ন চালিয়ে যাব। এটি অধ্যয়নের উদ্দেশ্য হল যে আমরা উচ্চতর গণিতের কোর্সটি পুনরায় অধ্যয়নের জন্য ভালভাবে প্রস্তুত হব।

পরিকল্পনা I একটি ফাংশনের সীমার ধারণা II সীমার জ্যামিতিক অর্থ III অসীম এবং বড় ফাংশন এবং তাদের বৈশিষ্ট্য IV সীমার গণনা: 1) সবচেয়ে সাধারণ কিছু সীমা; 2) ক্রমাগত ফাংশন সীমা; 3) জটিল ফাংশন সীমা; 4) অনিশ্চয়তা এবং তাদের সমাধানের পদ্ধতি

0, আপনি অক্স অক্ষের উপর a বিন্দুর δ-প্রতিবেশী নির্দিষ্ট করতে পারেন, যেমন x=a ছাড়া এই আশেপাশের সমস্ত x-এর জন্য, y-এর সংশ্লিষ্ট মান বি বিন্দুর ε-আশেপাশে থাকে গাণিতিক স্বরলিপি: জন্য |x-a |" title=" সীমার জ্যামিতিক অর্থ সংজ্ঞা: যেকোনো ε>0-এর জন্য, আপনি অক্স অক্ষের উপর বিন্দু a-এর একটি δ-প্রতিবেশী নির্দিষ্ট করতে পারেন, যেমন x=a ছাড়া এই আশেপাশের সকল x-এর জন্য, y এর সংশ্লিষ্ট মান বি বিন্দুর ε-প্রতিবেশীতে রয়েছে গাণিতিক স্বরলিপি: For |x-a |" class="link_thumb"> 4 !}সীমা সংজ্ঞার জ্যামিতিক অর্থ: যেকোনো ε>0-এর জন্য, আপনি Ox অক্ষের উপর বিন্দু a-এর একটি δ-প্রতিবেশী নির্দিষ্ট করতে পারেন, যেমন x=a ছাড়া এই আশেপাশের সমস্ত x-এর জন্য, y-এর সংশ্লিষ্ট মান ε-তে থাকে -বিন্দু বি গাণিতিক স্বরলিপির প্রতিবেশী: |x-a | এর জন্য 0, আপনি অক্স অক্ষের উপর বিন্দু a-এর একটি δ-প্রতিবেশী নির্দিষ্ট করতে পারেন, যেমন x=a ছাড়া এই আশেপাশের সমস্ত x-এর জন্য, y-এর সংশ্লিষ্ট মান বি বিন্দুর ε-পার্শ্বে অবস্থিত গাণিতিক স্বরলিপি: |x-a-এর জন্য |"> 0, আপনি অক্স অক্ষে একটি δ-প্রতিবেশী বিন্দু a নির্দিষ্ট করতে পারেন, যেমন x=a ব্যতীত এই আশেপাশের সমস্ত x-এর জন্য, y-এর সংশ্লিষ্ট মান বি বিন্দুর ε-প্রতিবেশিতে থাকে গাণিতিক স্বরলিপি: জন্য |x-a|"> 0, আপনি অক্স অক্ষে বিন্দু a-এর δ-প্রতিবেশী নির্দেশ করতে পারেন, যেমন x=a ছাড়া এই আশেপাশের সমস্ত x-এর জন্য, y-এর সংশ্লিষ্ট মান বি বিন্দুর ε-প্রতিবেশিতে থাকে গাণিতিক স্বরলিপি: জন্য |x-a|" title=" সীমার জ্যামিতিক অর্থ সংজ্ঞা: যে কোনো ε>0-এর জন্য আপনি অক্স-অক্ষে বিন্দু a-এর δ-প্রতিবেশী নির্দিষ্ট করতে পারেন, যেমন এই আশেপাশের ব্যতীত সকল x-এর জন্য x=a, y এর সংশ্লিষ্ট মান বি বিন্দুর ε-প্রতিবেশীতে রয়েছে গাণিতিক স্বরলিপি: জন্য |x-a|"> title="সীমা সংজ্ঞার জ্যামিতিক অর্থ: যেকোনো ε>0-এর জন্য, আপনি Ox অক্ষের উপর বিন্দু a-এর একটি δ-প্রতিবেশী নির্দিষ্ট করতে পারেন, যেমন x=a ছাড়া এই আশেপাশের সমস্ত x-এর জন্য, y-এর সংশ্লিষ্ট মান ε-তে থাকে -বিন্দু বি গাণিতিক স্বরলিপির প্রতিবেশী: |x-a | এর জন্য"> !}

সীমা সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য থিওরেম 1: সংখ্যা A ফাংশন f(x) এর সীমা হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এই ফাংশনটি অসীম আকারে উপস্থাপন করা হবে। ফলাফল 1: একটি ফাংশন এক বিন্দুতে দুটি ভিন্ন সীমা থাকতে পারে না। উপপাদ্য 2: একটি ধ্রুবক মানের সীমা ধ্রুবকের সমান। উপপাদ্য 3: যদি বিন্দু a এর কিছু আশেপাশে সমস্ত x এর জন্য একটি ফাংশন, সম্ভবত, বিন্দু a ব্যতীত, এবং a বিন্দুতে একটি সীমা থাকে, তাহলে

সীমা সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য (চলবে) উপপাদ্য 4: যদি ফাংশন f 1 (x) এবং f 2 (x) এর সীমা থাকে, তাহলে, তাদের যোগফল f 1 (x) + f 2 (x), গুণফল f 1ও সীমা আছে। (x)*f 2 (x), এবং ভাগফল প্রদান করেছে f 1 (x)/f 2 (x), এবং ফলফলক 2: যদি ফাংশন f(x) এর একটি সীমা থাকে, তাহলে যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। ফলাফল 3: ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি সীমা চিহ্নের বাইরে নেওয়া যেতে পারে

বিষয়:

উন্নয়ন এবং শিক্ষা একক ব্যক্তির জন্য নয় দেওয়া বা যোগাযোগ করা যাবে না। যে কেউ তাদের সাথে যোগ দিতে ইচ্ছুক আপনার নিজস্ব কার্যকলাপ, আপনার নিজের শক্তি, আপনার নিজস্ব উত্তেজনার মাধ্যমে এটি অর্জন করুন। বাইরে থেকে সে শুধু উত্তেজনা পেতে পারে। উঃ ডিস্টারওয়েগ

পাঠের লক্ষ্য এবং উদ্দেশ্য নির্ধারণ:

অধ্যয়ন অনন্তের সংজ্ঞা;

অসীমে একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ;
প্লাস ইনফিনিটিতে একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ;
বিয়োগ অসীম এ একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ;
ক্রমাগত ফাংশন বৈশিষ্ট্য;

শিখতে অনন্তে ফাংশনের সহজ সীমা গণনা করুন।

বি বলজানো

বার্নার্ড বলজানো (1781-1848), চেক গণিতবিদ এবং দার্শনিক। তিনি যুক্তিবিদ্যায় মনোবিজ্ঞানের বিরোধিতা করেছিলেন; তিনি যুক্তির সত্যের জন্য আদর্শ বস্তুনিষ্ঠ অস্তিত্বকে দায়ী করেছেন। প্রভাবিত

ই . হুসারল. বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ ধারণা প্রবর্তন করেছেন গাণিতিক বিশ্লেষণ, পূর্বসূরী ছিল জি ক্যান্টোরাঅন্তহীন গবেষণায় সেট .

অগাস্টিন লুই কচি(ফরাসি অগাস্টিন লুই কাউচি; 21 আগস্ট, 1789, প্যারিস - 23 মে, 1857, কো, ফ্রান্স) - মহান ফরাসি গণিতবিদ এবং মেকানিক, প্যারিস একাডেমি অফ সায়েন্সেস, লন্ডনের রয়্যাল সোসাইটির সদস্য

y =1 /এক্স মি

অস্তিত্ব

lim f(x) = b

এক্স → ∞

থাকার সমতুল্য

অনুভূমিক উপসর্গ

ফাংশনের গ্রাফ y = f(x)

lim f(x) = b এক্স →+∞

lim f(x) = b এবং lim f(x) = b এক্স →+∞ x→-∞ lim f(x) = b x→∞

আমরা যা অধ্যয়ন করব:

ইনফিনিটি কি?

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা

মাইনাস ইনফিনিটিতে একটি ফাংশনের সীমা .

বৈশিষ্ট্য .

উদাহরণ।

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

অনন্ত - সীমাহীন, সীমাহীন, অক্ষয় বস্তু এবং ঘটনাকে চিহ্নিত করতে ব্যবহৃত হয়, আমাদের ক্ষেত্রে সংখ্যার বৈশিষ্ট্য।

ইনফিনিটি একটি ইচ্ছামত বড় (ছোট) সীমাহীন সংখ্যা।

যদি আমরা স্থানাঙ্ক সমতল বিবেচনা করি, তাহলে অ্যাবসিসা (অর্ডিনেট) অক্ষটি অনন্তে চলে যায় যদি এটি অনির্দিষ্টকালের জন্য বাম বা ডানে (নিচে বা উপরে) অব্যাহত থাকে।

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

প্লাস ইনফিনিটিতে একটি ফাংশনের সীমা।

এখন চলুন অনন্তে ফাংশনের সীমাতে যাওয়া যাক:

আমাদের একটি ফাংশন y=f(x), আমাদের ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে রশ্মি রয়েছে, এবং y=b সরলরেখাটি y=f(x) ফাংশনের গ্রাফের অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট হতে দিন, আসুন লিখি এই সব গাণিতিক ভাষায়:

y=f(x) ফাংশনের সীমা যেহেতু x বিয়োগ অসীমের দিকে থাকে তা b এর সমান

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

আমাদের সম্পর্ক একই সাথে কার্যকর করা যেতে পারে:

তারপরে এটি এইভাবে লেখার প্রথা রয়েছে:

বা

y=f(x) ফাংশনের সীমা যেহেতু x অসীমতার দিকে ঝুঁকছে তা হল b

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

উদাহরণ।

উদাহরণ। y=f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করুন, যেমন:

সংজ্ঞার ডোমেইন হল বাস্তব সংখ্যার সেট।
f(x) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন

সমাধান:

আমাদের (-∞; +∞) এ একটি ক্রমাগত ফাংশন তৈরি করতে হবে। আসুন আমাদের ফাংশনের কয়েকটি উদাহরণ দেখাই।

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

অসীমের সীমা গণনা করতে, বেশ কয়েকটি বিবৃতি ব্যবহার করা হয়:

1) যে কোন প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য m নিম্নলিখিত সম্পর্ক ধারণ করে:

2) যদি

যে:

ক) পরিমাণের সীমা সীমার যোগফলের সমান:

খ) পণ্যের সীমা সীমার গুণফলের সমান:

গ) ভাগফলের সীমা সীমার ভাগফলের সমান:

d) ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি সীমা চিহ্নের বাইরে নেওয়া যেতে পারে:

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

উদাহরণ 1.

অনুসন্ধান

উদাহরণ 2।

উদাহরণ 3.

y=f(x) ফাংশনের সীমা খুঁজুন, যেমন x অসীমতার দিকে ঝোঁক .

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

উদাহরণ 1.

উত্তর:

উদাহরণ 2।

উত্তর:

উদাহরণ 3.

উত্তর:

অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

ক্রমাগত ফাংশন y=f(x) এর একটি গ্রাফ আঁকুন। যেমন x এর সাথে অসীম যোগের প্রবণতা হল 7, এবং x বিয়োগ অসীম 3 এর দিকে ঝোঁক।
ক্রমাগত ফাংশন y=f(x) এর একটি গ্রাফ আঁকুন। যেমন x এর সাথে অসীম যোগ করার সীমা 5 এবং ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
সীমা খুঁজুন: