একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল। কোণের সমষ্টি এবং একটি সমান্তরাল ক্ষেত্রফল গণনা করুন: বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল যদি বাহু এবং তির্যক পরিচিত হয়

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল তার পাশের গুণফলের সমান এবং উচ্চতা এই দিকে কম।

প্রমাণ

যদি সমান্তরালগ্রাম একটি আয়তক্ষেত্র হয়, তাহলে সমতা আয়তক্ষেত্র ক্ষেত্র উপপাদ্য দ্বারা সন্তুষ্ট হয়। আরও, আমরা অনুমান করি যে সমান্তরালগ্রামের কোণগুলি সঠিক নয়।

$\angle BAD$ একটি সমান্তরাল $ABCD$ এবং $AD > AB$ এ একটি তীব্র কোণ হতে দিন। অন্যথায়, আমরা শীর্ষবিন্দুর নাম পরিবর্তন করব। তারপর $BH$ শীর্ষবিন্দু থেকে $AD$ রেখার উচ্চতা $AD$ পাশে পড়ে, যেহেতু পা $AH$ কর্ণের $AB$ থেকে ছোট এবং $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

সমান্তরাল বৃত্তের ক্ষেত্রফল $ABCD$ এবং আয়তক্ষেত্র $HBCK$ এর ক্ষেত্রফলের তুলনা করা যাক। সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল $\triangle ABH$ ক্ষেত্রফল দ্বারা বড়, কিন্তু $\triangle DCK$ ক্ষেত্রফল দ্বারা কম। যেহেতু এই ত্রিভুজগুলি সর্বসম, তাদের ক্ষেত্রগুলিও সর্বসম। এর অর্থ হল একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান যার বাহুগুলি লম্বা এবং সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা।

বাহু এবং সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সন্নিহিত বাহুর গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান।

প্রমাণ

সমান্তরাল চতুর্ভুজ $ABCD$-এর উচ্চতা $AB$ পাশে নামিয়ে $BC$ রেখাংশের গুণফল এবং $\কোণ ABC$ কোণের সাইনের সমান। এটা পূর্ববর্তী দাবী প্রয়োগ অবশেষ.

কর্ণের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কর্ণ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের অর্ধেক গুণফলের সমান।

প্রমাণ

সমান্তরালগ্রাম $ABCD$-এর কর্ণগুলিকে $O$ বিন্দুতে $\alpha$ কোণে ছেদ করতে দিন। তারপর $AO=OC$ এবং $BO=OD$ সমান্তরাল বৈশিষ্ট্য দ্বারা। $180^\circ$ পর্যন্ত যোগ করা কোণের সাইন হল $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$। সুতরাং, কর্ণগুলির ছেদস্থলে কোণের সাইনগুলি $\sin \alpha$ এর সমান।

$S_(ABCD)=S_(\triangle AOB) + S_(\triangle BOC) + S_(\triangle COD) + S_(\triangle AOD)$

এলাকা পরিমাপের স্বতঃসিদ্ধ অনুযায়ী। এই ত্রিভুজ এবং কোণগুলির জন্য ত্রিভুজ ক্ষেত্রফল $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ প্রয়োগ করুন। প্রতিটির বাহু অর্ধেক কর্ণের সমান, সাইনগুলিও সমান। অতএব, চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$। উপরোক্ত সব সংক্ষিপ্ত, আমরা পেতে

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

ইউক্লিডীয় জ্যামিতির মতো, বিন্দু এবং সরলরেখা হল সমতল তত্ত্বের প্রধান উপাদান, তাই সমান্তরাল চতুর্ভুজ উত্তল চতুর্ভুজের অন্যতম প্রধান চিত্র। এটি থেকে, একটি বলের থ্রেডের মতো, "আয়তক্ষেত্র", "বর্গক্ষেত্র", "রম্বস" এবং অন্যান্য জ্যামিতিক পরিমাণের ধারণাগুলি প্রবাহিত হয়।

সঙ্গে যোগাযোগ

একটি সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞা

উত্তল চতুর্ভুজ,অংশগুলি নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি জোড়া সমান্তরাল, জ্যামিতিতে সমান্তরালগ্রাম হিসাবে পরিচিত।

একটি ক্ল্যাসিক সমান্তরাল চতুর্ভুজ ABCD দেখতে কেমন। বাহুগুলিকে বেস (AB, BC, CD এবং AD) বলা হয়, এই শীর্ষবিন্দুর বিপরীত দিকে যেকোন শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বকে উচ্চতা (BE এবং BF) বলা হয়, AC এবং BD রেখাগুলি কর্ণ।

মনোযোগ!বর্গক্ষেত্র, রম্বস এবং আয়তক্ষেত্র সমান্তরালগ্রামের বিশেষ ক্ষেত্রে।

পার্শ্ব এবং কোণ: অনুপাত বৈশিষ্ট্য

মূল বৈশিষ্ট্য, দ্বারা এবং বড়, পদবী নিজেই দ্বারা পূর্বনির্ধারিত, তারা উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত হয়. এই বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপ:

1. বিপরীত দিকগুলি জোড়ায় অভিন্ন।
2. পরস্পরের বিপরীত কোণগুলি জোড়ায় সমান।

প্রমাণ: ∆ABC এবং ∆ADC বিবেচনা করুন, যেগুলি চতুর্ভুজ ABCD কে লাইন AC দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায়। ∠BCA=∠CAD এবং ∠BAC=∠ACD, যেহেতু AC তাদের কাছে সাধারণ (যথাক্রমে BC||AD এবং AB||CD এর জন্য উল্লম্ব কোণ)। এটি এটি থেকে অনুসরণ করে: ∆ABC = ∆ADC (ত্রিভুজের সমতার দ্বিতীয় মানদণ্ড)।

∆ABC-তে AB এবং BC রেখাগুলি ∆ADC-তে CD এবং AD রেখার সাথে জোড়ায় মিলে যায়, যার মানে হল তারা অভিন্ন: AB = CD, BC = AD। সুতরাং, ∠B ∠D এর সাথে মিলিত এবং তারা সমান। যেহেতু ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, যেগুলো জোড়ায়ও অভিন্ন, তাহলে ∠A = ∠C। সম্পত্তি প্রমাণিত হয়েছে।

চিত্রের কর্ণের বৈশিষ্ট্য

প্রধান বৈশিষ্ট্যএই সমান্তরাল রেখাগুলি: ছেদ বিন্দু তাদের দ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণ: m. E হল ABCD চিত্রের কর্ণ AC এবং BD-এর ছেদ বিন্দু। তারা দুটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ত্রিভুজ গঠন করে - ∆ABE এবং ∆CDE।

AB=CD যেহেতু তারা বিপরীত। লাইন এবং সেকেন্ট অনুযায়ী, ∠ABE = ∠CDE এবং ∠BAE = ∠DCE।

সমতার দ্বিতীয় চিহ্ন অনুসারে, ∆ABE = ∆CDE। এর মানে হল যে উপাদানগুলি ∆ABE এবং ∆CDE হল: AE = CE, BE = DE এবং অধিকন্তু, তারা AC এবং BD এর সামঞ্জস্যপূর্ণ অংশ। সম্পত্তি প্রমাণিত হয়েছে।

সংলগ্ন কোণগুলির বৈশিষ্ট্য

সন্নিহিত বাহুতে, কোণের যোগফল 180°, যেহেতু তারা সমান্তরাল রেখা এবং সেক্যান্টের একই পাশে থাকে। চতুর্ভুজ ABCD এর জন্য:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

দ্বিখণ্ডিত বৈশিষ্ট্য:

1. , একপাশে বাদ, লম্ব হয়;
2. বিপরীত শীর্ষবিন্দুতে সমান্তরাল দ্বিখণ্ডক রয়েছে;
3. দ্বিখণ্ডক অঙ্কন করে প্রাপ্ত ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হবে।

উপপাদ্য দ্বারা একটি সমান্তরালগ্রামের চারিত্রিক বৈশিষ্ট্য নির্ণয় করা

এই চিত্রটির বৈশিষ্ট্যগুলি এর প্রধান উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে, যা নিম্নরূপ পড়ে: চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম হিসাবে বিবেচিত হয়ইভেন্টে যে এর কর্ণগুলি ছেদ করে, এবং এই বিন্দুটি তাদের সমান অংশে বিভক্ত করে।

প্রমাণ: চতুর্ভুজ ABCD-এর AC এবং BD রেখাগুলিকে t. E তে ছেদ করা যাক। যেহেতু ∠AED = ∠BEC, এবং AE+CE=AC BE+DE=BD, তারপর ∆AED = ∆BEC (ত্রিভুজের সমতার প্রথম চিহ্ন দ্বারা)। অর্থাৎ, ∠EAD = ∠ECB। এগুলি AD এবং BC রেখাগুলির জন্য সিক্যান্ট AC-এর অভ্যন্তরীণ ক্রসিং কোণ। সুতরাং, সমান্তরালতার সংজ্ঞা অনুসারে - AD || বিসি। BC এবং CD লাইনের অনুরূপ সম্পত্তিও পাওয়া যায়। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করা হচ্ছে

এই চিত্রের এলাকা বিভিন্ন উপায়ে পাওয়া যায়সবচেয়ে সহজ একটি: উচ্চতা এবং বেস যা এটি আঁকা হয়েছে তা গুণ করা।

প্রমাণ: শীর্ষবিন্দু B এবং C থেকে BE এবং CF লম্ব আঁকুন। AB = CD এবং BE = CF থেকে ∆ABE এবং ∆DCF সমান। ABCD আয়তক্ষেত্র EBCF এর সমান, যেহেতু তারা আনুপাতিক পরিসংখ্যান নিয়ে গঠিত: S ABE এবং S EBCD, পাশাপাশি S DCF এবং S EBCD। এটি অনুসরণ করে যে এই জ্যামিতিক চিত্রটির ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের সমান:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD।

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের জন্য সাধারণ সূত্র নির্ধারণ করতে, আমরা উচ্চতাকে বোঝাই hb, এবং পাশ খ. যথাক্রমে:

এলাকা খুঁজে বের করার অন্যান্য উপায়

এলাকা গণনা সমান্তরালগ্রাম এবং কোণের বাহু দিয়ে, যা তারা গঠন করে, দ্বিতীয় পরিচিত পদ্ধতি।

,

Spr-ma - এলাকা;

a এবং b এর বাহু

α - সেগমেন্ট a এবং b এর মধ্যে কোণ।

এই পদ্ধতিটি কার্যত প্রথমটির উপর ভিত্তি করে, তবে এটি অজানা থাকলে। সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজ কেটে দেয় যার পরামিতিগুলি ত্রিকোণমিতিক পরিচয় দ্বারা পাওয়া যায়, যেমন . অনুপাত রূপান্তর, আমরা পেতে. প্রথম পদ্ধতির সমীকরণে, আমরা এই পণ্যের সাথে উচ্চতা প্রতিস্থাপন করি এবং এই সূত্রটির বৈধতার প্রমাণ পাই।

একটি সমান্তরালগ্রাম এবং একটি কোণের কর্ণের মাধ্যমে,যা তারা ছেদ করার সময় তৈরি করে, আপনি এলাকাটিও খুঁজে পেতে পারেন।

প্রমাণ: AC এবং BD ছেদ করে চারটি ত্রিভুজ গঠন করে: ABE, BEC, CDE এবং AED। তাদের যোগফল এই চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের সমান।

এই ∆ প্রতিটির ক্ষেত্রফল রাশি থেকে পাওয়া যাবে, যেখানে a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB। যেহেতু , তখন সাইনের একটি একক মান গণনায় ব্যবহৃত হয়। এটাই . যেহেতু AE+CE=AC= d 1 এবং BE+DE=BD= d 2, ক্ষেত্রফল সূত্রটি এতে কমে যায়:

.

ভেক্টর বীজগণিতে প্রয়োগ

এই চতুর্ভুজের উপাদান অংশগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ভেক্টর বীজগণিতে প্রয়োগ পেয়েছে, যথা: দুটি ভেক্টরের সংযোজন। সমান্তরালগ্রাম নিয়ম বলে যে যদি ভেক্টর দেওয়া হয়এবংনাসমরেখার হয়, তাহলে তাদের যোগফল এই চিত্রের কর্ণের সমান হবে, যার ভিত্তিগুলি এই ভেক্টরগুলির সাথে মিলে যায়।

প্রমাণ: একটি নির্বিচারে নির্বাচিত শুরু থেকে - যে. - আমরা ভেক্টর তৈরি করি এবং এর পরে, আমরা একটি সমান্তরাল লোগ্রাম OASV তৈরি করি, যেখানে OA এবং OB অংশগুলি বাহু। সুতরাং, OS ভেক্টর বা যোগফলের উপর অবস্থিত।

একটি সমান্তরালগ্রামের পরামিতি গণনার জন্য সূত্র

পরিচয়গুলি নিম্নলিখিত শর্তে দেওয়া হয়:

1. a এবং b, α - বাহু এবং তাদের মধ্যে কোণ;
2. d 1 এবং d 2 , γ - কর্ণ এবং তাদের ছেদ বিন্দুতে;
3. h a এবং h b - উচ্চতাগুলি a এবং b দিকে নামানো হয়েছে;

প্যারামিটার	সূত্র
দিক খোঁজা
কর্ণ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন বরাবর
তির্যক এবং পার্শ্বাভিমুখ
উচ্চতা এবং বিপরীত শীর্ষবিন্দুর মাধ্যমে
কর্ণের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা
পাশ এবং তাদের মধ্যে শীর্ষ আকার
পাশ বরাবর এবং তির্যক এক	 উপসংহার সমান্তরালগ্রাম, জ্যামিতির অন্যতম প্রধান চিত্র হিসাবে, জীবনে ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, সাইট বা অন্যান্য পরিমাপের ক্ষেত্রফল গণনা করার সময় নির্মাণে। অতএব, এর বিভিন্ন পরামিতি গণনা করার জন্য স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য এবং পদ্ধতি সম্পর্কে জ্ঞান জীবনের যে কোনও সময় কার্যকর হতে পারে।

একটি সমান্তরালগ্রাম কি? একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল।

1. একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

কোথায়:
a হল সমান্তরালগ্রামের পার্শ্ব,
h a হল এই দিকে টানা উচ্চতা।

2. যদি সমান্তরালগ্রামের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ জানা থাকে, তাহলে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. যদি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি দেওয়া হয় এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণটি জানা যায়, তবে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত বাহুগুলি সমান: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত কোণগুলি হল: \(\ কোণ A = \ কোণ C \), \(\ কোণ B = \ কোণ D \)

ছেদ বিন্দুতে সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি দ্বিখণ্ডিত \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এটিকে দুটি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

এক বাহুর সংলগ্ন একটি সমান্তরালগ্রামের কোণের সমষ্টি হল 180 o:

\(\ কোণ A + \ কোণ B = 180^(o) \), \(\ কোণ B + \ কোণ C = 180^(o)\)

\(\ কোণ C + \ কোণ D = 180^(o) \), \(\angle D + \angle A = 180^(o)\)

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এবং বাহুগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

একটি সমান্তরালগ্রামে, উচ্চতার মধ্যবর্তী কোণটি তার তীব্র কোণের সমান: \(\কোণ K B H =\কোণ A \)।

একটি সমান্তরালগ্রামের একপাশে সংলগ্ন কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব।

একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি বিপরীত কোণের দ্বিখণ্ডক সমান্তরাল।

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য

একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম যদি:

\(AB = CD \) এবং \(AB || CD \)

\(AB = CD \) এবং \(BC = AD \)

\(AO = OC \) এবং \(BO = OD \)

\(\ কোণ A = \ কোণ C \) এবং \ (\ কোণ B = \ কোণ D \)

আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট অক্ষম করা হয়েছে।
গণনা করার জন্য ActiveX কন্ট্রোল সক্রিয় করা আবশ্যক!

এই বিষয়ে সমস্যা সমাধান করার সময়, ছাড়াও মৌলিক বৈশিষ্ট্য সমান্তরাল বৃত্তএবং সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি, আপনি নিম্নলিখিতগুলি মনে রাখতে এবং প্রয়োগ করতে পারেন:

1. একটি সমান্তরালগ্রামের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক এটি থেকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে কেটে দেয়
2. একটি সমান্তরালগ্রামের একটি বাহুর সংলগ্ন অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব
3. একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণ থেকে আসা দ্বিখণ্ডকগুলি একে অপরের সমান্তরাল বা একটি সরল রেখায় অবস্থান করে
4. একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের বর্গের সমষ্টি তার বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান
5. একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কর্ণের গুণফলের অর্ধেক তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের গুণ।

আসুন সমাধানের কাজগুলি বিবেচনা করি যার এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা হয়।

কার্যক্রম 1.

সমান্তরাল লোগ্রাম ABCD-এর C কোণের দ্বিখণ্ডক পার্শ্ব AD কে M বিন্দুতে ছেদ করে এবং E বিন্দুতে A বিন্দুর বাইরে বাহুর AB এর ধারাবাহিকতা। AE \u003d 4, DM \u003d 3 হলে সমান্তরালগ্রামের পরিধি খুঁজুন।

সমাধান।

1. ত্রিভুজ CMD সমদ্বিবাহু। (সম্পত্তি 1)। অতএব, CD = MD = 3 সেমি.

2. ত্রিভুজ EAM হল সমদ্বিবাহু।
অতএব, AE = AM = 4 সেমি।

3. AD = AM + MD = 7 সেমি।

4. পরিধি ABCD = 20 সেমি।

উত্তর. 20 সেমি

টাস্ক 2।

কর্ণগুলি একটি উত্তল চতুর্ভুজ ABCD এ আঁকা হয়। জানা যায়, ABD, ACD, BCD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান। প্রমাণ করুন যে প্রদত্ত চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল।

সমাধান।

1. BE ত্রিভুজ ABD-এর উচ্চতা, CF ত্রিভুজ ACD-এর উচ্চতা। যেহেতু, সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী, ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি সমান এবং তাদের একটি সাধারণ ভিত্তি AD আছে, তাহলে এই ত্রিভুজের উচ্চতা সমান। BE = CF.

2. BE, CF AD এর লম্ব। বি এবং সি বিন্দু AD রেখার একই পাশে অবস্থিত। BE = CF. অতএব, লাইন BC || বিজ্ঞাপন. (*)

3. ধরা যাক AL ত্রিভুজ ACD এর উচ্চতা, BK ত্রিভুজ BCD এর উচ্চতা। যেহেতু, সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী, ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি সমান এবং তাদের একটি সাধারণ বেস সিডি রয়েছে, তাহলে এই ত্রিভুজগুলির উচ্চতা সমান। AL = BK.

4. AL এবং BK CD এর লম্ব। বিন্দু B এবং A সরলরেখা CD এর একই পাশে অবস্থিত। AL = BK. অতএব, লাইন AB || সিডি (**)

5. শর্তগুলি (*), (**) বোঝায় যে ABCD একটি সমান্তরালগ্রাম।

উত্তর. প্রমাণিত। ABCD একটি সমান্তরাল বৃত্ত।

টাস্ক 3।

ABCD সমান্তরাল বৃত্তের BC এবং CD পাশে, যথাক্রমে M এবং H বিন্দু চিহ্নিত করা হয়েছে, যাতে BM এবং HD অংশগুলি O বিন্দুতে ছেদ করে;<ВМD = 95 о,

সমাধান।

1. ত্রিভুজ DOM-এ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. একটি সমকোণী ত্রিভুজে DHC
(

তারপর<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজে, 30 o কোণের বিপরীতে থাকা পাটি অর্ধেক কর্ণের সমান)।

কিন্তু CD = AB. তারপর AB: HD = 2:1।

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

উত্তর: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В =

টাস্ক 4।

4√6 দৈর্ঘ্যের সমান্তরালগ্রামের একটি কর্ণ বেসের সাথে 60° কোণ তৈরি করে এবং দ্বিতীয় কর্ণটি একই ভিত্তির সাথে 45° কোণ তৈরি করে। দ্বিতীয় তির্যক খুঁজুন।

সমাধান।

1. AO = 2√6।

2. ত্রিভুজ AOD-তে সাইন উপপাদ্য প্রয়োগ করুন।

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6।

উত্তর: 12।

টাস্ক 5।

5√2 এবং 7√2 বাহু বিশিষ্ট একটি সমান্তরালগ্রামের জন্য, কর্ণগুলির মধ্যে ছোট কোণটি সমান্তরালগ্রামের ছোট কোণের সমান। কর্ণগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান।

ধরা যাক d 1, d 2 সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এবং কর্ণ এবং সমান্তরালগ্রামের ছোট কোণের মধ্যবর্তী কোণ φ।

1. আসুন দুটি ভিন্ন গণনা করি
তার এলাকার উপায়।

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

আমরা সমতা 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f বা

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. সমান্তরালগ্রামের বাহু এবং কর্ণের মধ্যে অনুপাত ব্যবহার করে, আমরা সমতা লিখি

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2।

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 ।

d 1 2 + d 2 2 = 296।

3. আসুন একটি সিস্টেম তৈরি করি:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 2 দ্বারা গুণ করুন এবং এটি প্রথমটিতে যোগ করুন।

আমরা (d 1 + d 2) 2 = 576 পাই। তাই Id 1 + d 2 I = 24।

যেহেতু d 1, d 2 হল সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলির দৈর্ঘ্য, তাহলে d 1 + d 2 = 24।

উত্তর: 24।

টাস্ক 6।

সমান্তরালগ্রামের বাহুগুলি হল 4 এবং 6৷ কর্ণগুলির মধ্যে তীব্র কোণ হল 45 o৷ সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান।

1. AOB ত্রিভুজ থেকে, কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা সমান্তরালগ্রামের বাহু এবং কর্ণগুলির মধ্যে সম্পর্ক লিখি।

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB।

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16।

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64।

2. একইভাবে, আমরা AOD ত্রিভুজের সম্পর্ক লিখি।

আমরা সেটা আমলে নিই<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

আমরা d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 সমীকরণটি পাই।

3. আমরা একটি সিস্টেম আছে
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথমটি বিয়োগ করলে আমরা পাব 2d 1 d 2 √2 = 80 বা

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10।

বিঃদ্রঃ:এই এবং পূর্ববর্তী সমস্যাটিতে, সিস্টেমটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করার কোন প্রয়োজন নেই, পূর্বাভাস যে এই সমস্যাটিতে আমাদের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কর্ণের গুণফল প্রয়োজন।

উত্তর: 10টি।

টাস্ক 7।

সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল 96 এবং এর বাহু 8 এবং 15। ছোট কর্ণটির বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান।

1. S ABCD \u003d AB AD সিন VAD। সূত্রে একটি প্রতিস্থাপন করা যাক।

আমরা 96 = 8 15 sin VAD পাই। তাই পাপ VAD = 4/5।

2. কারণ খারাপ খুঁজুন। sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25।

সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী, আমরা ছোট তির্যকটির দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই। কোণ BAD তীব্র হলে তির্যক BD ছোট হবে। তাহলে cos BAD = 3/5।

3. ABD ত্রিভুজ থেকে, কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা কর্ণ BD-এর বর্গ খুঁজে পাই।

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD।

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145।

উত্তর: 145।

আপনি কি কিছু জানতে চান? কিভাবে একটি জ্যামিতি সমস্যা সমাধান করতে জানেন না?
একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে - নিবন্ধন করুন।
প্রথম পাঠ বিনামূল্যে!

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কীভাবে বের করতে হয় তা শেখার আগে, আমাদের মনে রাখতে হবে একটি সমান্তরালগ্রাম কী এবং এর উচ্চতা কাকে বলে। একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল (সমান্তরাল রেখার উপর থাকা)। বিপরীত দিকের একটি নির্বিচারী বিন্দু থেকে এই দিকটি সমন্বিত রেখায় অঙ্কিত লম্বকে সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা বলে।

বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র এবং রম্বস সমান্তরালগ্রামের বিশেষ ক্ষেত্রে।

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলকে (S) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্র

S=a*h, যেখানে a হল বেস, h হল সেই উচ্চতা যা বেসের দিকে টানা হয়।

S=a*b*sinα, যেখানে a এবং b হল বেস, এবং α হল a এবং b বেসের মধ্যে কোণ।

S \u003d p * r, যেখানে p হল অর্ধ-ঘের, r হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ যা সমান্তরালগ্রামে খোদাই করা আছে।

a এবং b ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল প্রদত্ত ভেক্টরের গুণফলের মডুলাসের সমান, যথা:

উদাহরণ নং 1 বিবেচনা করুন: একটি সমান্তরালগ্রাম দেওয়া হয়েছে, যার পাশে 7 সেমি, এবং উচ্চতা 3 সেমি। কিভাবে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল বের করতে হয়, সমাধানের জন্য আমাদের একটি সূত্র প্রয়োজন।

তাই S= 7x3। S=21। উত্তর: 21 সেমি 2.

উদাহরণ নং 2 বিবেচনা করুন: ঘাঁটিগুলি 6 এবং 7 সেমি, এবং ঘাঁটির মধ্যে কোণটি 60 ডিগ্রি। সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কিভাবে বের করা যায়? সমাধান করতে ব্যবহৃত সূত্র:

এইভাবে, প্রথমে আমরা কোণের সাইন খুঁজে পাই। সাইন 60 \u003d 0.5, যথাক্রমে S \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 উত্তর: 21 সেমি 2।

আমি আশা করি যে এই উদাহরণগুলি আপনাকে সমস্যা সমাধানে সাহায্য করবে। এবং মনে রাখবেন, মূল জিনিসটি সূত্র এবং মনোযোগের জ্ঞান