Интегрирование — MT1205: Математический анализ для экономистов — Бизнес-информатика. Методы интегрирования иррациональных функций (корней) Интегралы иррациональных функций примеры
Данный онлайн калькулятор служит для вычисления интегралов иррациональных дробей вида , , .
Пусть – рациональная функция от
Эта функция, а следовательно, и интеграл от неё, рационализируется подстановкой x=t r , где r– наименьшее общее кратное чисел r 1 , r 2 ,…, r n . Тогда dx=rt r -1 и под интегралом стоит рациональная функция от t . Аналогично, если подынтегральное выражение
есть рациональная функция от
, то подынтегральная функция рационализируется подстановкой где t – наименьшее общее кратное чисел r 1 , r 2 ,…, r n . Тогда Подставляя в исходное выражение, получаем рациональную функцию от t .
Пример
. Вычислить . Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6 . Поэтому делаем замену x = t 6 . Тогда dx = 6t 5 dt и
Интегрирование иррациональных функций
Пример №1 . Вычислить определенный интеграл от иррациональной функции:![](https://i0.wp.com/math.semestr.ru/math/images/chart/irr2.png)
Решение . Интеграл вида R(x α1 , x α2 ,..., x αk)dx , где R - рациональная функция от x αi , α i =p i /q i - рациональные дроби (i = 1,2,..., k), сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки х = t q , где q - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей а 1 , а 2 ,..., а k . В нашем случае а 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, так что наименьшее общее кратное их знаменателей q = НОК(2,3,6) = 6. Замена переменной х = t 6 приводит к интегралу от дробно-рациональной функции, который вычисляется, как описано в примере:
Даны основные методы интегрирования иррациональных функций (корней). Они включают в себя: интегрирование дробно-линейной иррациональности, дифференциального бинома, интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена. Приводятся тригонометрические подстановки и подстановки Эйлера. Рассмотрены некоторые эллиптические интегралы, выражающиеся через элементарные функции.
СодержаниеИнтегралы от дифференциальных биномов
Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p
- рациональные числа, a, b
- действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.
1)
Если p
- целое. Подстановка x = t N
,
где N
- общий знаменатель дробей m
и n
.
2)
Если - целое. Подстановка a x n + b = t M
,
где M
- знаменатель числа p
.
3)
Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M
,
где M
- знаменатель числа p
.
В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.
Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.
Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена
Такие интегралы имеют вид:
,
где R
- рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1)
С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2)
Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3)
Применить подстановки Эйлера.
Рассмотрим эти методы более подробно.
1) Преобразование подынтегральной функции
Применяя формулу ,
и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x)
- рациональные функции.
I тип
Интеграл вида:
,
где P n (x)
- многочлен степени n
.
Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:
.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i
.
II тип
Интеграл вида:
,
где P m (x)
- многочлен степени m
.
Подстановкой t = (x - α) -1
этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n
,
то у дроби следует выделить целую часть.
III тип
Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β
нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t
обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0
.
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A 1 t 2 + C 1
,
v 2 = A 1 + C 1 t -2
.
2) Тригонометрические и гиперболические подстановки
Для интегралов вида ,
a > 0
,
имеем три основные подстановки:
;
;
;
Для интегралов ,
a > 0
,
имеем следующие подстановки:
;
;
;
И, наконец, для интегралов ,
a > 0
,
подстановки следующие:
;
;
;
3) Подстановки Эйлера
Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0
;
, при c > 0
;
, где x 1
- корень уравнения a x 2 + b x + c = 0
.
Если это уравнение имеет действительные корни.
Эллиптические интегралы
В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R
- рациональная функция, .
Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E
существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.
Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.
Пример
Вычислить интеграл:
.
Делаем подстановку .
.
Здесь при x > 0
(u > 0
) берем верхний знак ′+
′. При x < 0
(u < 0
) - нижний ′-
′.
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.
Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫ k x + b p d x , где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.
Пример 1
Найти и вычислить первообразные функции y = 1 3 x - 1 3 .
Решение
По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что
∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 · 1 - 1 3 + 1 · (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C
Ответ: ∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .
Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , когда значение p считается рациональной дробью.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .
Решение
Отметим, что d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 " d x = (3 x 2 + 5) d x . Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 · (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C
Ответ: ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .
Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫ d x x 2 + p x + q , где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4
Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:
∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C
Тогда вычисление интеграла производится:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C
Пример 3
Найти неопределенный интеграл вида ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .
Решение
Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:
∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2
Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что
x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16
Тогда получаем неопределенный интеграл вида 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Ответ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y = 1 - x 2 + p x + q .
Пример 4
Найти неопределенный интеграл ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .
Решение
Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.
∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9
Табличный интеграл имеет вид ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C , тогда получаем, что ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + C
Ответ: ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .
Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y = M x + N x 2 + p x + q , где имеющиеся M , N , p , q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:
подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.
Пример 5
Найти первообразные функции y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 .
Решение
Из условия имеем, что d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x и x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 , тогда (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .
Рассчитаем интеграл: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 · 1 - 1 2 + 1 · x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C
Ответ: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .
Поиск неопределенных интегралов функции ∫ x m (a + b x n) p d x осуществляется при помощи метода подстановки.
Для решения необходимо ввести новые переменные:
- Когда число p является целым, тогда считают, что x = z N , а N является общим знаменателем для m , n .
- Когда m + 1 n является целым числом, тогда a + b x n = z N , а N является знаменателем числа p .
- Когда m + 1 n + p является целым числом, то необходим ввод переменной a x - n + b = z N , а N является знаменателем числа p .
Найти определенный интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .
Решение
Получаем, что ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Отсюда следует, что m = - 1 , n = 1 , p = - 1 2 , тогда m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида - 9 + 2 x = z 2 . Необходимо выразить x через z . На выходы получим, что
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z
Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C
Ответ: ∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .
Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Под иррациональным понимают выражение, в котором независимая переменная %%x%% или многочлен %%P_n(x)%% степени %%n \in \mathbb{N}%% входят под знак радикала (от латинского radix — корень), т.е. возводятся в дробную степень. Некоторые классы иррациональных относительно %%x%% подынтегральных выражений заменой переменной удается свести к рациональным выражениям относительно новой переменной.
Понятие рациональной функции одной переменной можно распространить на несколько аргументов. Если над каждым аргументом %%u, v, \dotsc, w%% при вычислении значения функции предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в целую степень, то говорят о рациональной функции этих аргументов, которую обычно обозначают %%R(u, v, \dotsc, w)%%. Аргументы такой функции сами могут быть функциями независимой перменной %%x%%, в том числе и радикалами вида %%\sqrt[n]{x}, n \in \mathbb{N}%%. Например, рациональная функция $$ R(u,v,w) = \frac{u + v^2}{w} $$ при %%u = x, v = \sqrt{x}%% и %%w = \sqrt{x^2 + 1}%% является рациональной функцией $$ R\left(x, \sqrt{x}, \sqrt{x^2+1}\right) = \frac{x + \sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 + 1}} = f(x) $$ от %%x%% и радикалов %%\sqrt{x}%% и %%\sqrt{x^2 + 1}%%, тогда как функция %%f(x)%% будет иррациональной (алгебраической) функцией одной независимой переменной %%x%%.
Рассмотрим интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%%. Такие интегралы рационалируются заменой переменной %%t = \sqrt[n]{x}%%, тогда %%x = t^n, \mathrm{d}x = nt^{n-1}%%.
Пример 1
Найти %%\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}%%.
Подынтегральная функция искомого аргумента записана как функция от радикалов степени %%2%% и %%3%%. Так как наименьшее общее кратное чисел %%2%% и %%3%% равно %%6%%, то данный интеграл является интегралом типа %%\int R(x, \sqrt{x}) \mathrm{d}x%% и может быть рационализирован посредством замены %%\sqrt{x} = t%%. Тогда %%x = t^6, \mathrm{d}x = 6t \mathrm{d}t, \sqrt{x} = t^3, \sqrt{x} =t^2%%. Следовательно, $$ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \int \frac{6t^5 \mathrm{d}t}{t^3 + t^2} = 6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm{d}t. $$ Примем %%t + 1 = z, \mathrm{d}t = \mathrm{d}z, z = t + 1 = \sqrt{x} + 1%% и $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} &= 6\int\frac{(z-1)^3}{z} \mathrm{d}t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm{d}z + 18\int \mathrm{d}z -6\int\frac{\mathrm{d}z}{z} = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt{x} + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt{x} + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left(\sqrt{x} + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt{x} + 1\right| + C \end{array} $$
Интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%% являются частным случаем дробно линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}\right) \mathrm{d}x%%, где %%ad - bc \neq 0%%, которые допускают рационализацию путем замены переменной %%t = \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}%%, тогда %%x = \dfrac{dt^n - b}{a - ct^n}%%. Тогда $$ \mathrm{d}x = \frac{n t^{n-1}(ad - bc)}{\left(a - ct^n\right)^2}\mathrm{d}t. $$
Пример 2
Найти %%\displaystyle\int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\dfrac{\mathrm{d}x}{x + 1}%%.
Примем %%t = \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}%%, тогда %%x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}%%, $$ \begin{array}{l} \mathrm{d}x = -\frac{4t\mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}, \\ 1 + x = \frac{2}{1 + t^2}, \\ \frac{1}{x + 1} = \frac{1 + t^2}{2}. \end{array} $$ Следовательно, $$ \begin{array}{l} \int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\frac{\mathrm{d}x}{x + 1} = \\ = \frac{t(1 + t^2)}{2}\left(-\frac{4t \mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}\right) = \\ = -2\int \frac{t^2\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2\int \mathrm{d}t + 2\int \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2t + \text{arctg}~t + C = \\ = -2\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + \text{arctg}~\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + C. \end{array} $$
Рассмотрим интегралы вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%%. В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным, если после выделения полного квадрата сделать замену переменных.
Пример 3
Найти интеграл %%\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}}%%.
Учитывая, что %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, примем %%t = x + 2, \mathrm{d}x = \mathrm{d}t%%, тогда $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} &= \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \\ &= \ln\left|t + \sqrt{t^2 + 1}\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}\right| + C. \end{array} $$
В более сложных случаях для нахождения интегралов вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%% используются
Интегралы вида (m 1 , n 1 , m 2 , n 2 , … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=t s , где s - общий знаменатель дробей, … При такой замене переменной все отношения = r 1 , = r 2 , … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image068.png)
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image069.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image070.png)
Интегралы вида (m 1 , n 1 , m 2 , n 2 , … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:
где s - общий знаменатель дробей, …, сводятся к рациональной функции от переменной t.
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image073.png)
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image074.png)
Интегралы вида Для вычисления интеграла I 1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image072.png)
и применяется подстановка:
В результате этот интеграл сводится к табличному:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image077.png)
В числителе интеграла I 2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image078.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image079.png)
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image081.png)
где I 1 - вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I 3 сводится к вычислению интеграла I 1 подстановкой:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image084.png)
Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.
Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image085.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image086.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image087.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image088.png)
Интеграл подстановкой
u=ksint (или u=kcost)
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110114/image089.png)
Интегралы вида (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома, выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) если p є Z, то применяется подстановка:
где s - общий знаменатель дробей m и n;
2) если Z, то используется подстановка:
где s - знаменатель дроби
3) если Z, то применяется подстановка:
где s - знаменатель дроби