Что такое биссектриса определение. Биссектриса треугольника - что это такое? Некоторые свойства биссектрисы

Внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

Мнемоническое правило

Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам .

Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

• Словарь терминов планиметрии
• Вписанная окружность

Смотреть что такое "Биссектриса" в других словарях:

биссектриса - ы, ж. bissectrice f. матем. Прямая линия, проходящая через вершину угла и делящая ее пополам. БАС 2. Чертить биссектрису. Васюкова 1999. Биссектриса это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. 1994. Белянин. Лекс. Брокг.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

биссектриса - математичка, линия, прямая Словарь русских синонимов. биссектриса сущ., кол во синонимов: 3 линия (182) … Словарь синонимов

БИССЕКТРИСА - (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его пополам … Большой Энциклопедический словарь

БИССЕКТРИСА - [исе], биссектрисы, жен. (от лат. bissectrix секущая поперек) (мат.). 1. В угле прямая линия, делящая угол пополам. 2. В треугольнике прямая линия, проведенная от какого нибудь угла к противоположной стороне и делящая эту сторону на части, прямо… … Толковый словарь Ушакова

БИССЕКТРИСА - БИССЕКТРИСА, ы, жен. В математике: луч (в 3 знач.), исходящий из вершины угла и делящий его пополам. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

биссектриса - БИССЕКТРИСА, ы, ж. Учительница математики в школе. Из шк … Словарь русского арго

биссектриса - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN mean line … Справочник технического переводчика

БИССЕКТРИСА - луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам; любая точка Б. равно удалена от сторон угла. Три Б. углов треугольника пересекаются в одной очке центре вписанной в треугольник окружности … Большая политехническая энциклопедия

биссектриса - (фр. bissectrice лат. bis sectrix (bissectricis) надвое рассекающая) геом. луч, проходящий через вершину угла в делящий его пополам. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, 2009. биссектриса [исе], биссектрисы, ж. [от латин. bissectrix –… … Словарь иностранных слов русского языка

биссектриса - ы; ж. [франц. bissectrice от лат. bis дважды и secare рассекать] Матем. Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. * * * биссектриса (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла, полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его … Энциклопедический словарь

Книги

• Биссектриса – это такая крыса… , Наталья Цитронова. Первая книга автора – рассказы и эссе о лихих девяностых годах… Написано легко, с юмором, без кровавых и постельных сцен…

Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. К примеру, если угол треугольника 120 0 , то проведя биссектрису, мы построим два угла по 60 0 .

А так как в треугольнике имеется три угла, то можно провести три биссектрисы. Все они имеют одну точку пресечения. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. По-другому эту точку пересечений называют инцентром треугольника.

При пересечении двух биссектрис внутреннего и внешнего угла, получается угол 90 0 . Внешний угол в треугольнике угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Рис. 1. Треугольник, в котором проведены 3 биссектрисы

Биссектриса делит противоположную сторону на два отрезки, которые имеют связь со сторонами:

$${CL\over{LB}} = {AC\over{AB}}$$

Точки биссектрисы равноудаленные от сторон угла, это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла. То есть, если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла треугольника, то эти перпендикуляры будут равны..

Если с одной вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана будет самым длинным отрезком, а высота самым коротким.

Некоторые свойства биссектрисы

В определенных видах треугольников, биссектриса имеет особые свойства. В первую очередь это относится к равнобедренному треугольнику. Эта фигура имеет две одинаковые боковые стороны, а третья называется основанием.

Если из вершины угла равнобедренного треугольника провести биссектрису к основанию, то она будет иметь свойства одновременно и высоты и медианы. Соответственно, длина биссектрисы совпадает с длиной медианы и высоты.

Определения:

• Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне..
• Медиана – отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Рис. 2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Это касается и равностороннего треугольника, то есть треугольника, в котором все три стороны равны.

Пример задания

В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.

Рис. 3. Биссектриса в треугольнике

Решение:

Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.

• ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
• $RC={6\over{4}}*2=3 см$

Тогда весь отрезок AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 см.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Что мы узнали?

Изучив тему биссектрисы, мы узнали, что она делит угол на два равных угла. А если ее провести в равнобедренном либо равностороннем треугольнике к основанию, то она будет иметь свойства и медианы и высоты одновременно.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.2 . Всего получено оценок: 157.

Что такое биссектриса угла треугольника? На этот вопрос у некоторых людей с языка срывается небезызвестная крыса, бегающая по углам и делящая угол пополам". Если ответ должен быть "с юмором", то, возможно, он правилен. Но с научной точки зрения ответ на этот вопрос должен был бы звучать примерно так: начинающийся в вершине угла и делящий последний на две равные части". В геометрии эта фигура также воспринимается как отрезок биссектрисы до ее пересечения с противолежащей сторонй треугольника. Это не является ошибочным мнением. А что еще известно о биссектрисе угла, кроме ее определения?

Как и у любого геометрического места точек, у нее имеются свои признаки. Первый из них - скорее, даже не признак, а теорема, которую можно кратко выразить так: "Если биссектрисой разделить противоположную ей сторону на две части, то их отношение будет соответствовать отношению сторон большого треугольника".

Второе свойство, которое она имеет: точка пересечения биссектрис все углов называется инцентром.

Третий признак: биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в центре одной из трёх в нее вписанных окружностей.

Четвертое свойство биссектрисы угла треугольника в том, что если каждый из них равен, то последний является равнобедренным.

Пятый признак тоже касается равнобедренного треугольника и является главным ориентиром по его распознаванию на чертеже по биссектрисам, а именно: в равнобедренном треугольнике она одновременно выполняет роль медианы и высоты.

Биссектриса угла может быть построена с помощью циркуля и линейки:

Шестое правило гласит, что невозможно построить треугольник с помощью последних только при имеющихся биссектрисах, как и невозможно построить таким способом удвоение куба, квадратуру круга и трисекцию угла. Собственно говоря, это и есть все свойства биссектрисы угла треугольника.

Если вы внимательно читали предыдущий абзац, то, возможно, вас заинтересовало одно словосочетание. "Что такое трисекция угла?" - наверняка спросите вы. Триссектриса немного схожа с биссектрисой, но если начертить последнюю, то угол поделится на две равные части, а при построении трисекции - на три. Естественно, что биссектриса угла запоминается легче, ведь трисекцию в школе не учат. Но для полноты картины расскажу и о ней.

Триссектрису, как я уже сказала, нельзя построить только циркулем и линейкой, но ее возможно создать с помощью правил Фудзиты и некоторых кривых: улитки Паскаля, квадратрисы, конхоиды Никомеда, конических сечений,

Задачи по трисекции угла достаточно просто решаются при помощи невсиса.

В геометрии существует теорема о триссектрисах угла. Называется она теоремой Морли (Морлея). Она утверждает, что точки пересечения находящихся посередине триссектрис каждого угла будут вершинами

Маленький черный треугольник внутри большого всегда будет равносторонним. Эта теорема была открыта британским ученым Фрэнком Морли в 1904 году.

Вот сколько всего можно узнать о разделении угла: триссектриса и биссектриса угла всегда требуют детальных объяснений. А ведь здесь было приведено множество еще не раскрытых мной определений: улитка Паскаля, конхоида Никомеда и т.д. Не сомневайтесь, о них можно написать еще больше.

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $\angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

1. Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
2. И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $H\in l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:

Провели перпендикуляры к сторонам угла

Получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

1. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
2. $\angle M{{H}_{1}}O=\angle M{{H}_{2}}O=90{}^\circ $ по построению;
3. $\angle OM{{H}_{1}}=\angle OM{{H}_{2}}=90{}^\circ -\angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:

Провели луч $OM$ внутри угла

Снова получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:

1. Гипотенуза $OM$ — общая;
2. Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
3. Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.

Следовательно, треугольники $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:

Биссектриса разбила угол $\angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

Слово «биссектриса» с французского переводится как «надвое рассекающая». Биссектриса угла – это «равноделящая» угол, т.е. делящая угол пополам.

Биссектриса угла – луч, проведенный из вершины угла между его сторонами и делящий угол пополам.

Биссектрису угла можно построить по градусной мере угла с помощью транспортира. Для этого градусную меру заданного угла делят пополам и на одной из сторон от вершины откладывают градусную меру половинного угла. Вторая сторона такого угла будет биссектрисой заданного угла.

Если заданный угол имеет градусную меру 60°, то два построенных с помощью биссектрисы угла – по 30°, так как 60°:2=30°.

Развернутый угол разбивается биссектрисой на два прямых угла (180°:2=90°), любой тупой угол разбивается биссектрисой на два острых угла.

Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки

Чтобы построить биссектрису угла без транспортира, используя только циркуль и линейку, нужно выполнить следующие действия (см. рисунок выше).

• Из вершины угла, любым радиусом, необходимо провести дугу окружности, чтобы она пересекла стороны угла
• Из каждой точки (их две) пересечения дуги и стороны угла, снова провести души окружности (другим радиусом)
• Через любую из точек пересечения дуг дополнительно построенных окружностей, провести луч из вершины угла, который и будет биссектрисой этого угла

Биссектриса углов треугольника

Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной.

У треугольника существуют три биссектрисы , проведенные из каждой его вершины.

У биссектрисы угла треугольника существует масса особенных свойств, которые описаны в отдельной статье "