მრავალწევრის შეუქცევადი ჯერადების გამოყოფა. ფაქტორიზაციის ლაბორატორიის პარამეტრები

ეს ონლაინ კალკულატორი შექმნილია ფუნქციის ფაქტორიზაციისთვის.

მაგალითად, ფაქტორიზირება: x 2 /3-3x+12. დავწეროთ x^2/3-3*x+12. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს სერვისი, სადაც ყველა გაანგარიშება ინახება Word ფორმატში.

მაგალითად, ტერმინებად დაშლა. დავწეროთ როგორც (1-x^2)/(x^3+x) . გადაწყვეტის პროგრესის სანახავად დააწკაპუნეთ ნაბიჯების ჩვენებაზე. თუ თქვენ გჭირდებათ შედეგის მიღება Word ფორმატში, გამოიყენეთ ეს სერვისი.

შენიშვნა: რიცხვი "pi" (π) იწერება pi; კვადრატული ფესვი როგორც sqrt , მაგალითად sqrt(3) , tangent tg იწერება tan . პასუხის სანახავად იხილეთ ალტერნატივა.

1. თუ მოცემულია მარტივი გამოხატულება, მაგალითად, 8*d+12*c*d, მაშინ გამოხატვის ფაქტორინგი ნიშნავს გამოხატვის წარმოდგენას ფაქტორების სახით. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ საერთო ფაქტორები. ჩავწეროთ ეს გამონათქვამი, როგორც: 4*d*(2+3*c) .
2. წარმოადგინეთ პროდუქტი ორი ბინომის სახით: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. აქ თქვენ უკვე უნდა იპოვოთ რამდენიმე საერთო ფაქტორი: x(x+7z) + 3y(x + 7z). ამოვიღებთ (x+7z) და ვიღებთ: (x+7z)(x + 3y) .

იხილეთ აგრეთვე მრავალწევრების დაყოფა კუთხით (გამოსახულია სვეტით გაყოფის ყველა საფეხური)

სასარგებლო იქნება ფაქტორიზაციის წესების შესწავლისას შემოკლებული გამრავლების ფორმულები, რომლის დახმარებით გაირკვევა, თუ როგორ უნდა გახსნათ ფრჩხილები კვადრატით:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

ფაქტორიზაციის მეთოდები

რამდენიმე ხრიკის შესწავლის შემდეგ ფაქტორიზაციაგადაწყვეტილებების შემდეგი კლასიფიკაცია შეიძლება გაკეთდეს:

1. შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება.
2. საერთო ფაქტორის პოვნა.

განმარტება 1.თუ f(x) მრავალწევრი ქრება, როდესაც რიცხვი c შეიცვლება უცნობით, მაშინ c ეწოდება f(x) მრავალწევრის ფესვი (ან განტოლება f(x)=0).

მაგალითი 1. ვ(x)=x 5 +2x 3 -3x.

რიცხვი 1 არის f(x-ის ფესვი), ხოლო ნომერი 2 არ არის f(x-ის ფესვი), რადგან f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 და f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

გამოდის, რომ მრავალწევრის ფესვები დაკავშირებულია მის გამყოფებთან.

რიცხვი c არის f(x) მრავალწევრის ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ f(x) იყოფა x-c-ზე.

განმარტება 2.თუ c არის f(x) მრავალწევრის ფესვი, მაშინ f(x) იყოფა x-c-ზე. მაშინ არის k ნატურალური რიცხვი, რომ f(x) იყოფა (x-c) k-ზე, მაგრამ არ იყოფა (x-c) k+1-ზე. ამ რიცხვს k ეწოდება f(x) მრავალწევრის c ფესვის სიმრავლე, ხოლო თავად c ფესვი არის ამ მრავალწევრის k-ნაკეცი ფესვი. თუ k=1, მაშინ c ფესვს მარტივი ეწოდება.

f(x) მრავალწევრის ფესვის k სიმრავლის საპოვნელად გამოიყენეთ თეორემა:

თუ რიცხვი c არის f(x) მრავალწევრის k-ნაკეცი ფესვი, მაშინ k>1-ისთვის ეს იქნება ამ მრავალწევრის პირველი წარმოებულის (k-1)-ნაკეც ფესვი; თუ k=1, მაშინ c არ იქნება f "(x) ფესვი.

შედეგი.პირველად f(x) მრავალწევრის k-ნაკეც ფესვი არ გამოდგება kth წარმოებულის ფესვად.

მაგალითი 2.დარწმუნდით, რომ რიცხვი 2 არის f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე.

გამოსავალი.რიცხვი 2 არის f(x-ის ფესვი), ვინაიდან 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f """(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

რიცხვი 2 პირველად არ არის f"""(x)-ის ფესვი, ამიტომ რიცხვი 2 არის f(x) მრავალწევრის სამმაგი ფესვი.

მიეცით n≥1 ხარისხის f(x) პოლინომი, წამყვანი კოეფიციენტით 1: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n და α 1 ,... ,α n არის მისი ფესვები. მრავალწევრის ფესვები და მისი კოეფიციენტები დაკავშირებულია ფორმულებით, რომელსაც ეწოდება ვიეტას ფორმულები:

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

ვიეტას ფორმულები აადვილებს მრავალწევრის დაწერას მისი ფესვების გათვალისწინებით.

მაგალითი 3.იპოვეთ მრავალწევრი მარტივი ფესვებით 2; 3 და ორმაგი ფესვი –1.

გამოსავალი.ვიპოვოთ მრავალწევრის კოეფიციენტები:

და 1 =– (2+3–1–1)=-3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

და 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

საჭირო პოლინომია x 4 –3x ​​3 –3x 2 –7x+6.

განმარტება 3. n ხარისხის f(x)ÌP[x] პოლინომი მცირდება P ველზე, თუ ის შეიძლება დაიშალოს ფ(x) და ψ(x) ორი ფაქტორის ნამრავლად P[x]-დან, რომელთა გრადუსები ნაკლებია. n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ОP[x] ეწოდება შეუქცევადს P ველზე, თუ მის რომელიმე ფაქტორიზაციაში P[x]-დან ერთ ფაქტორს აქვს ხარისხი 0, მეორეს აქვს ხარისხი n.

შემდეგი თეორემები მოქმედებს:

ნებისმიერი პოლინომი არანულოვანი ხარისხის f(x) რგოლიდან P[x] შეიძლება დაიშალოს შეუქცევადი ფაქტორების ნამრავლად P[x]-დან ცალსახად ნულ ხარისხამდე ფაქტორებამდე.

აქედან ადვილად გამომდინარეობს, რომ n, n≥1 ხარისხის ნებისმიერი f(х)ОР[x] მრავალწევრისთვის არის შემდეგი დაშლა შეუქცევად ფაქტორებად:

სადაც არის შეუქცევადი მრავალწევრები P[x]-ში წამყვანი კოეფიციენტებით ერთის ტოლი. მრავალწევრის ეს გაფართოება უნიკალურია.

ასეთ გაფართოებაში შემავალი შეუქცევადი ფაქტორები სულაც არ უნდა იყოს განსხვავებული. თუ შეუქცევადი პოლინომი ზუსტად k-ჯერ გვხვდება გაფართოებაში (2), მაშინ მას უწოდებენ f(x) მრავალწევრის k-ნაკეც კოეფიციენტს. თუ ფაქტორი P(x) ამ გაფართოებაში მხოლოდ ერთხელ ჩნდება, მაშინ მას უწოდებენ მარტივი ფაქტორი f(x)-ისთვის.

თუ გაფართოებაში (2) იდენტური ფაქტორები ერთად არის შეკრებილი, მაშინ ეს გაფართოება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

, (3)

სადაც Р 1 (x),…, Р r (x) ფაქტორები უკვე ყველა განსხვავებულია. k 1 ,…,k r ინდიკატორები აქ უდრის შესაბამისი ფაქტორების სიმრავლეს. გაფართოება (3) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

სადაც F 1 (x) არის ყველა მარტივი შეუქცევადი ფაქტორის ნამრავლი, არის ყველა ორმაგი შეუქცევადი ფაქტორის ნამრავლი და ა.შ. გაფართოებაში (3). თუ გაფართოებაში (3) არ არის m-ჯერადი ფაქტორები, მაშინ ფაქტორი ითვლება ერთის ტოლად.

მრავალწევრები F 1 (x),…,F s (x) f(x) მრავალწევრისთვის რიცხვების ველებზე შეიძლება მოიძებნოს წარმოებულის კონცეფციის გამოყენებით, ევკლიდეს ალგორითმი ადრე ჩამოყალიბებული თეორემიდან (წარმოებულთან კავშირის შესახებ) შემდეგნაირად:

ამიტომ ვიღებთ

ამრიგად, f(x) მრავალწევრისთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ფაქტორები .

თუ f(x) მრავალწევრისთვის აუცილებელია მისი გაფართოების (4) F 1 (x),...,F s (x) ფაქტორების პოვნა, მაშინ ამბობენ, რომ აუცილებელია მისი მრავალჯერადი ფაქტორების გამოყოფა.

მაგალითი 4.გამოყავით მრავალი ფაქტორი f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

გამოსავალი.იპოვეთ gcd f(x) და f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

ახლა ჩვენ ვიპოვით d 2 (x)=(d 1 (x), d 1" (x)).

ჩვენ გამოვხატავთ v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(ჩვენ ვყოფთ).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(ჩვენ ვყოფთ).

ამიტომ მივიღებთ F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

ამრიგად, f(x) მრავალწევრს აქვს გაფართოება f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. f(x) მრავალწევრის გაფართოებაში (3) არ არის მარტივი ფაქტორები, ორმაგი ფაქტორია x-2 და სამმაგი ფაქტორი x+1.

შენიშვნა 1.ეს მეთოდი არაფერს იძლევა, თუ f(x) მრავალწევრის ყველა შეუქცევადი ფაქტორი მარტივია (ვიღებთ იდენტურობას f(x)=F 1 (x)).

შენიშვნა 2.ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ თვითნებური მრავალწევრის ყველა ფესვის სიმრავლე.

ლაბორატორიული მუშაობის ვარიანტები

ვარიანტი 1

1. დარწმუნდით, რომ მრავალწევრს 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 აქვს ფესვი 1+i. იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 ჯერადები.

3. იპოვეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი, რომლის ფესვებია: 5, i, i+3.

ვარიანტი 2

1. რამდენია ფესვის სიმრავლე x 0 = 2 მრავალწევრისათვის f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? იპოვნეთ მისი დანარჩენი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 ჯერადები.

3. დაადგინეთ კავშირი x 3 +px+q=0 განტოლების კოეფიციენტებს შორის, თუ მისი ფესვები x 1, x 2, x 3 აკმაყოფილებენ მიმართებას.

ვარიანტი 3

1. რა არის x 0 = 4 ფესვის სიმრავლე x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 მრავალწევრისთვის? იპოვნეთ დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით ჯერადები x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. დაადგინეთ λ ისე, რომ განტოლების ერთ-ერთი ძირი ტოლი იყოს მეორის ორჯერ: x 3 -7x+λ=0.

ვარიანტი 4

1. აჩვენეთ, რომ x=3 არის f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე და იპოვეთ დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 განტოლების ორი ფესვის ჯამი უდრის 1. იპოვეთ λ.

ვარიანტი 5

1. აჩვენეთ, რომ x 0 = -2 არის x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე და იპოვეთ დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. იპოვეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი 1, 2, 3, 1+i ფესვების მიცემით.

ვარიანტი 6

1. იპოვეთ მდგომარეობა, რომლის დროსაც მრავალწევრს x 5 + ax 4 + b აქვს ორმაგი ფესვი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან.

2. გამოყავით x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. მრავალწევრს a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n აქვს ფესვები x 1, x 2,…, x n. რა ფესვები აქვთ მრავალწევრებს: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

ვარიანტი 7

1. აჩვენეთ, რომ x=-2 არის 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 მრავალწევრის ფესვი. იპოვეთ ფესვის სიმრავლე და იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

3. იპოვეთ 2x 3 -2x 2 -4x-1 განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი.

ვარიანტი 8

1. დაამტკიცეთ, რომ x=1 არის x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე. იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

3. მრავალწევრის ერთი ძირი მეორეზე ორჯერ დიდია. იპოვეთ f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ მრავალწევრის ფესვები.

ვარიანტი 9

1. იპოვეთ პირობა, როდესაც მრავალწევრს x 5 +10ax 3 +5bx+c აქვს სამმაგი ფესვი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან.

2. გამოყავით x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. ამოხსენით განტოლება x 3 -6x 2 +qx+2=0, თუ ცნობილია, რომ მისი ფესვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

ვარიანტი 10

1. აჩვენეთ, რომ x=3 არის f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ ფესვის სიმრავლე, იპოვეთ მრავალწევრის სხვა ფესვები.

2. გამოყავით x 6 -4x 4 -16x 2 +16 მრავალწევრის მრავალწევრი ფაქტორები.

3. იპოვეთ მრავალწევრი უმცირესი ხარისხის რეალური კოეფიციენტებით 1, 2+i, 3 ფესვების გათვალისწინებით.

ვარიანტი 11

1. აჩვენეთ, რომ x=2 არის x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 მრავალწევრის ფესვი. იპოვეთ მისი სიმრავლე და სხვა ფესვები.

2. გამოყავით x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. ააგეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი, თუ ცნობილია მისი ფესვები x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.

ვარიანტი 12

1. აჩვენეთ, რომ x = -1 არის x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 მრავალწევრის ფესვი. იპოვეთ მისი სიმრავლე და მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. ააგეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი, თუ ცნობილია მისი ფესვები x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.

ვარიანტი 13

1. რა არის x 0 = 4 ფესვის სიმრავლე x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 მრავალწევრისთვის? იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. განვსაზღვროთ λ ისე, რომ x 3 -7x+λ=0 განტოლების ერთ-ერთი ფესვი მეორის ორჯერ ტოლი იყოს.

Დაკავშირებული ინფორმაცია.

განმარტება 1.თუ f(x) მრავალწევრი ქრება, როდესაც რიცხვი c შეიცვლება უცნობით, მაშინ c ეწოდება f(x) მრავალწევრის ფესვი (ან განტოლება f(x)=0).

მაგალითი 1. ვ(x)=x 5 +2x 3 -3x.

რიცხვი 1 არის f(x-ის ფესვი), ხოლო ნომერი 2 არ არის f(x-ის ფესვი), რადგან f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 და f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

გამოდის, რომ მრავალწევრის ფესვები დაკავშირებულია მის გამყოფებთან.

რიცხვი c არის f(x) მრავალწევრის ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ f(x) იყოფა x-c-ზე.

განმარტება 2.თუ c არის f(x) მრავალწევრის ფესვი, მაშინ f(x) იყოფა x-c-ზე. მაშინ არის k ნატურალური რიცხვი, რომ f(x) იყოფა (x-c) k-ზე, მაგრამ არ იყოფა (x-c) k+1-ზე. ამ რიცხვს k ეწოდება f(x) მრავალწევრის c ფესვის სიმრავლე, ხოლო თავად c ფესვი არის ამ მრავალწევრის k-ნაკეცი ფესვი. თუ k=1, მაშინ c ფესვს მარტივი ეწოდება.

f(x) მრავალწევრის ფესვის k სიმრავლის საპოვნელად გამოიყენეთ თეორემა:

თუ რიცხვი c არის f(x) მრავალწევრის k-ნაკეცი ფესვი, მაშინ k>1-ისთვის ეს იქნება ამ მრავალწევრის პირველი წარმოებულის (k-1)-ნაკეც ფესვი; თუ k=1, მაშინ c არ იქნება f "(x) ფესვი.

შედეგი.პირველად f(x) მრავალწევრის k-ნაკეც ფესვი არ გამოდგება kth წარმოებულის ფესვად.

მაგალითი 2.დარწმუნდით, რომ რიცხვი 2 არის f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე.

გამოსავალი.რიცხვი 2 არის f(x-ის ფესვი), ვინაიდან 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f """(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

რიცხვი 2 პირველად არ არის f"""(x)-ის ფესვი, ამიტომ რიცხვი 2 არის f(x) მრავალწევრის სამმაგი ფესვი.

მიეცით n≥1 ხარისხის f(x) პოლინომი, წამყვანი კოეფიციენტით 1: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n და α 1 ,... ,α n არის მისი ფესვები. მრავალწევრის ფესვები და მისი კოეფიციენტები დაკავშირებულია ფორმულებით, რომელსაც ეწოდება ვიეტას ფორმულები:

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

ვიეტას ფორმულები აადვილებს მრავალწევრის დაწერას მისი ფესვების გათვალისწინებით.

მაგალითი 3.იპოვეთ მრავალწევრი მარტივი ფესვებით 2; 3 და ორმაგი ფესვი –1.

გამოსავალი.ვიპოვოთ მრავალწევრის კოეფიციენტები:

და 1 =– (2+3–1–1)=-3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

და 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

საჭირო პოლინომია x 4 –3x ​​3 –3x 2 –7x+6.

განმარტება 3. n ხარისხის f(x)ÌP[x] პოლინომი მცირდება P ველზე, თუ ის შეიძლება დაიშალოს ფ(x) და ψ(x) ორი ფაქტორის ნამრავლად P[x]-დან, რომელთა გრადუსები ნაკლებია. n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ОP[x] ეწოდება შეუქცევადს P ველზე, თუ მის რომელიმე ფაქტორიზაციაში P[x]-დან ერთ ფაქტორს აქვს ხარისხი 0, მეორეს აქვს ხარისხი n.

შემდეგი თეორემები მოქმედებს:

ნებისმიერი პოლინომი არანულოვანი ხარისხის f(x) რგოლიდან P[x] შეიძლება დაიშალოს შეუქცევადი ფაქტორების ნამრავლად P[x]-დან ცალსახად ნულ ხარისხამდე ფაქტორებამდე.

აქედან ადვილად გამომდინარეობს, რომ n, n≥1 ხარისხის ნებისმიერი f(х)ОР[x] მრავალწევრისთვის არის შემდეგი დაშლა შეუქცევად ფაქტორებად:

სადაც არის შეუქცევადი მრავალწევრები P[x]-ში წამყვანი კოეფიციენტებით ერთის ტოლი. მრავალწევრის ეს გაფართოება უნიკალურია.

ასეთ გაფართოებაში შემავალი შეუქცევადი ფაქტორები სულაც არ უნდა იყოს განსხვავებული. თუ შეუქცევადი პოლინომი ზუსტად k-ჯერ გვხვდება გაფართოებაში (2), მაშინ მას უწოდებენ f(x) მრავალწევრის k-ნაკეც კოეფიციენტს. თუ ფაქტორი P(x) ამ გაფართოებაში მხოლოდ ერთხელ ჩნდება, მაშინ მას უწოდებენ მარტივი ფაქტორი f(x)-ისთვის.

თუ გაფართოებაში (2) იდენტური ფაქტორები ერთად არის შეკრებილი, მაშინ ეს გაფართოება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

, (3)

სადაც Р 1 (x),…, Р r (x) ფაქტორები უკვე ყველა განსხვავებულია. k 1 ,…,k r ინდიკატორები აქ უდრის შესაბამისი ფაქტორების სიმრავლეს. გაფართოება (3) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

სადაც F 1 (x) არის ყველა მარტივი შეუქცევადი ფაქტორის ნამრავლი, არის ყველა ორმაგი შეუქცევადი ფაქტორის ნამრავლი და ა.შ. გაფართოებაში (3). თუ გაფართოებაში (3) არ არის m-ჯერადი ფაქტორები, მაშინ ფაქტორი ითვლება ერთის ტოლად.

მრავალწევრები F 1 (x),…,F s (x) f(x) მრავალწევრისთვის რიცხვების ველებზე შეიძლება მოიძებნოს წარმოებულის კონცეფციის გამოყენებით, ევკლიდეს ალგორითმი ადრე ჩამოყალიბებული თეორემიდან (წარმოებულთან კავშირის შესახებ) შემდეგნაირად:

ამიტომ ვიღებთ

ამრიგად, f(x) მრავალწევრისთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ფაქტორები .

თუ f(x) მრავალწევრისთვის აუცილებელია მისი გაფართოების (4) F 1 (x),...,F s (x) ფაქტორების პოვნა, მაშინ ამბობენ, რომ აუცილებელია მისი მრავალჯერადი ფაქტორების გამოყოფა.

მაგალითი 4.გამოყავით მრავალი ფაქტორი f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

გამოსავალი.იპოვეთ gcd f(x) და f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

ახლა ჩვენ ვიპოვით d 2 (x)=(d 1 (x), d 1" (x)).

ჩვენ გამოვხატავთ v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(ჩვენ ვყოფთ).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(ჩვენ ვყოფთ).

ამიტომ მივიღებთ F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

ამრიგად, f(x) მრავალწევრს აქვს გაფართოება f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. f(x) მრავალწევრის გაფართოებაში (3) არ არის მარტივი ფაქტორები, ორმაგი ფაქტორია x-2 და სამმაგი ფაქტორი x+1.

შენიშვნა 1.ეს მეთოდი არაფერს იძლევა, თუ f(x) მრავალწევრის ყველა შეუქცევადი ფაქტორი მარტივია (ვიღებთ იდენტურობას f(x)=F 1 (x)).

შენიშვნა 2.ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ თვითნებური მრავალწევრის ყველა ფესვის სიმრავლე.

ლაბორატორიული მუშაობის ვარიანტები

ვარიანტი 1

1. დარწმუნდით, რომ მრავალწევრს 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 აქვს ფესვი 1+i. იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 ჯერადები.

3. იპოვეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი, რომლის ფესვებია: 5, i, i+3.

ვარიანტი 2

1. რამდენია ფესვის სიმრავლე x 0 = 2 მრავალწევრისათვის f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? იპოვნეთ მისი დანარჩენი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 ჯერადები.

3. დაადგინეთ კავშირი x 3 +px+q=0 განტოლების კოეფიციენტებს შორის, თუ მისი ფესვები x 1, x 2, x 3 აკმაყოფილებენ მიმართებას.

ვარიანტი 3

1. რა არის x 0 = 4 ფესვის სიმრავლე x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 მრავალწევრისთვის? იპოვნეთ დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით ჯერადები x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. დაადგინეთ λ ისე, რომ განტოლების ერთ-ერთი ძირი ტოლი იყოს მეორის ორჯერ: x 3 -7x+λ=0.

ვარიანტი 4

1. აჩვენეთ, რომ x=3 არის f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე და იპოვეთ დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 განტოლების ორი ფესვის ჯამი უდრის 1. იპოვეთ λ.

ვარიანტი 5

1. აჩვენეთ, რომ x 0 = -2 არის x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე და იპოვეთ დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. იპოვეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი 1, 2, 3, 1+i ფესვების მიცემით.

ვარიანტი 6

1. იპოვეთ მდგომარეობა, რომლის დროსაც მრავალწევრს x 5 + ax 4 + b აქვს ორმაგი ფესვი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან.

2. გამოყავით x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. მრავალწევრს a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n აქვს ფესვები x 1, x 2,…, x n. რა ფესვები აქვთ მრავალწევრებს: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

ვარიანტი 7

1. აჩვენეთ, რომ x=-2 არის 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 მრავალწევრის ფესვი. იპოვეთ ფესვის სიმრავლე და იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

3. იპოვეთ 2x 3 -2x 2 -4x-1 განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი.

ვარიანტი 8

1. დაამტკიცეთ, რომ x=1 არის x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ მისი სიმრავლე. იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

3. მრავალწევრის ერთი ძირი მეორეზე ორჯერ დიდია. იპოვეთ f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ მრავალწევრის ფესვები.

ვარიანტი 9

1. იპოვეთ პირობა, როდესაც მრავალწევრს x 5 +10ax 3 +5bx+c აქვს სამმაგი ფესვი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან.

2. გამოყავით x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. ამოხსენით განტოლება x 3 -6x 2 +qx+2=0, თუ ცნობილია, რომ მისი ფესვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

ვარიანტი 10

1. აჩვენეთ, რომ x=3 არის f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 მრავალწევრის ფესვი. დაადგინეთ ფესვის სიმრავლე, იპოვეთ მრავალწევრის სხვა ფესვები.

2. გამოყავით x 6 -4x 4 -16x 2 +16 მრავალწევრის მრავალწევრი ფაქტორები.

3. იპოვეთ მრავალწევრი უმცირესი ხარისხის რეალური კოეფიციენტებით 1, 2+i, 3 ფესვების გათვალისწინებით.

ვარიანტი 11

1. აჩვენეთ, რომ x=2 არის x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 მრავალწევრის ფესვი. იპოვეთ მისი სიმრავლე და სხვა ფესვები.

2. გამოყავით x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. ააგეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი, თუ ცნობილია მისი ფესვები x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.

ვარიანტი 12

1. აჩვენეთ, რომ x = -1 არის x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 მრავალწევრის ფესვი. იპოვეთ მისი სიმრავლე და მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. ააგეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი, თუ ცნობილია მისი ფესვები x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.

ვარიანტი 13

1. რა არის x 0 = 4 ფესვის სიმრავლე x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 მრავალწევრისთვის? იპოვეთ მრავალწევრის დარჩენილი ფესვები.

2. გამოყავით x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 მრავალწევრის მრავლობითი ფაქტორები.

3. განვსაზღვროთ λ ისე, რომ x 3 -7x+λ=0 განტოლების ერთ-ერთი ფესვი მეორის ორჯერ ტოლი იყოს.

არსებობს მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ, აქვს თუ არა მოცემულ მრავალწევრს მრავალი ფაქტორი და თუ პასუხი დადებითია, ისინი შესაძლებელს ხდის ამ პოლინომის შესწავლას იმ მრავალწევრთა შესწავლამდე, რომლებიც აღარ შეიცავს მრავალ ფაქტორს.

თეორემა. თუ არის მრავალწევრის მრავალწევრი შეუქცევადი კოეფიციენტი, მაშინ ეს იქნება ამ მრავალწევრის წარმოებულის მრავალჯერადი ფაქტორი. კერძოდ, მრავალწევრის ძირითადი ფაქტორი. არ შედის წარმოებული გაფართოებაში.

ფაქტობრივად, მოდით

და აღარ იყოფა. ტოლობის დიფერენცირებისას (5.1), ვიღებთ:

ფრჩხილებში მოცემული ტერმინებიდან მეორე არ იყოფა. მართლაც, პირობითად არ იყოფა, უფრო დაბალი ხარისხი აქვს, ე.ი. ასევე არ იყოფა. მეორეს მხრივ, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯამის პირველი წევრი იყოფა ე.ი. მულტიპლიკატორი რეალურად მოქმედებს მრავალჯერადთან.

ამ თეორემიდან და ორი მრავალწევრის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნის ზემოთ მოყვანილი მეთოდიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მრავალწევრის დაშლა შეუქცევად ფაქტორებად არის მოცემული:

მაშინ მრავალწევრისა და მისი წარმოებულის უდიდეს საერთო გამყოფს აქვს შემდეგი დაშლა შეუქცევად ფაქტორებად:

სადაც მულტიპლიკატორი უნდა შეიცვალოს ერთით. კერძოდ, პოლინომი არ შეიცავს მრავალ ფაქტორს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის მისი წარმოებულის თანაპრიმია.

მრავლობითების იზოლაცია

თუ მოცემულია მრავალწევრი გაფართოებით (5.2) და თუ აღვნიშნავთ უდიდეს საერთო გამყოფს და მის წარმოებულს, მაშინ (5.3) იქნება გაფართოება. (5.2) (5.3)-ზე გაყოფით მივიღებთ:

იმათ. ჩვენ ვიღებთ მრავალწევრს, რომელიც არ შეიცავს მრავალ ფაქტორს და ყველა შეუქცევად ფაქტორს, რომელსაც, ზოგადად, უფრო დაბალი ხარისხი აქვს და, ნებისმიერ შემთხვევაში, შეიცავს მხოლოდ პირველ ფაქტორებს. თუ ეს პრობლემა მოგვარებულია, მაშინ რჩება მხოლოდ აღმოჩენილი შეუქცევადი ფაქტორების სიმრავლის დადგენა, რაც მიიღწევა გაყოფის ალგორითმის გამოყენებით.

ახლა მოყვანილი მეთოდის გართულებით, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ გადავიდეთ რამდენიმე მრავალწევრის განხილვაზე მრავალი ფაქტორის გარეშე და ამ მრავალწევრების შეუქცევადი ფაქტორების აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ არა მხოლოდ ვიპოვით ყველა შეუქცევად ფაქტორს, არამედ ვიცით მათი სიმრავლე.

მოდით (5.2) იყოს დაშლა შეუქცევად ფაქტორებად და ფაქტორების უმაღლესი სიმრავლე არის, . ავღნიშნოთ მრავალწევრის ყველა ერთჯერადი ფაქტორების ნამრავლით, ყველა ორმაგი ფაქტორების ნამრავლით, მაგრამ აღებული მხოლოდ ერთხელ და ა.შ., ბოლოს, ყველას ნამრავლით -მრავლობითი ფაქტორების ნამრავლით, ასევე აღებული მხოლოდ ერთხელ; თუ ზოგიერთისთვის არ არსებობს -მრავალჯერადი ფაქტორი, მაშინ ვივარაუდებთ. შემდეგ ის გაიყოფა მრავალწევრის ხარისხზე და გაფართოება (5.2) მიიღებს ფორმას

და გაფართოება (5.3) for იქნება გადაწერილი სახით

აღვნიშნავთ მრავალწევრის უდიდესი საერთო გამყოფის და მისი წარმოებულის მეშვეობით და ზოგადად მრავალწევრების უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით და ამ გზით ვიღებთ:

……………………………

……………………………

და ასე ბოლოს

ამრიგად, მხოლოდ იმ ტექნიკის გამოყენებით, რომელიც არ საჭიროებს მრავალწევრის შეუქცევადი ფაქტორების ცოდნას, კერძოდ, წარმოებულის, ევკლიდეს ალგორითმის და გაყოფის ალგორითმის აღებით, შეგვიძლია ვიპოვოთ მრავალწევრი ფაქტორების გარეშე, და პოლინომის ყოველი შეუქცევადი ფაქტორი იქნება - მრავლობითი. ამისთვის.

მაგალითი.მრავლობითი მრავალწევრი გაატარეთ.

მრავალწევრს აქვს ფორმის გაფართოება.

მე შევქმენი პროგრამა, რომელიც ამრავლებს მრავალწევრს.

Windows, შეტყობინებები, SysUtils, ვარიანტები, კლასები, გრაფიკა, კონტროლი, ფორმები,

დიალოგები, StdCtrls, ბადეები;

TForm1 = კლასი (TForm)

SGd1: TStringGrid;

ღილაკი 1: TButton;

SGd2: TStringGrid;

SGd3: TStringGrid;

SGd4: TStringGrid;

პროცედურა Button1Click(გამომგზავნი: TObject);

(პირადი დეკლარაციები)

(საჯარო განცხადებები)

c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,ნაბიჯი,f:მთლიანი;

kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:მთლიანი რიცხვების მასივი;

izub,e,fx:მთლიანი რიცხვების მასივი;

პროცედურა TForm1.Button1Click(გამომგზავნი: TObject);

var i,j,k_1,st3,l: მთელი რიცხვი;

k2_2,k1_1:მთლიანი რიცხვების მასივი;

st1:=StrToInt(Edit1.Text);

i:=0-დან st1-მდე დაიწყება

SGd4.Cells:=SGd1.Cells;

i:=0-დან st1-მდე დაიწყება

თუ SGd1.უჯრედები<>"" მაშინ

kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)

else MessageDlg("ყურადღება! კოეფიციენტების მნიშვნელობები არ არის შეყვანილი!",mtWarning,,0);

რადგან i:=st1 0-მდე იწყება

თუ kof1[i]<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ (kof1<0)or(i=0) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

kof2:=kof1[i]*i;

//Edit2.Text:=s;

რადგან i:=st2 0-მდე იწყება

SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);

თუ kof2[i]<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ (kof2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

i:=0-დან st1-მდე დაიწყება

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

i:=0-დან st2-მდე დაიწყება

kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

ხოლო kof2<>0 დაიწყება

//Edit4.Text:="";

თუ k1<>kof2 შემდეგ დაიწყე

თუ (k1 mod kof2)=0 მაშინ დაიწყე

for j:=0 to st2 do

k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];

თუ k2<>1 მაშინ

j:=0-დან st1-მდე

k1[j]:=kof2*k1[j];

თუ k_1<>1 შემდეგ დაიწყე

for j:=0 to st2 do

k2[j]:=k_1*kof2[j];

i:=1-დან st1-მდე დაიწყება

k1:=k1[i]-k2[i];

1-მდე

თუ k1<>0 შემდეგ იწყება //აბრევიატურა

იყიდება i:=1-დან st1-მდე

თუ k1[i]<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ (k1[i] mod k1)<>0 შემდეგ სოკრ:=false;

თუ სოკრ=მართალია მაშინ

i:=0-დან st1-მდე

k1[i]:=k1[i] div k_1;

i:=0-დან st2-მდე do //პოლინომების ჩანაცვლება

k2_2[i]:=kof2[i];

i:=0-დან st1-მდე

i:=0-დან 10-მდე იწყება

SGd3.Cells:="";

SGd1.Cells:="";

izub:=0;

izubst:=st2;

i:=0-დან st2-მდე დაიწყება

SGd1.უჯრედები:=inttostr(k1[i]);

izub:=k1[i];

თუ k1[i]<>0 შემდეგ დაიწყე

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

თუ (k2_2>0)და (i

i:=0-დან st1-მდე დაიწყება

kof2[i]:=k1_1[i];

d_st:=StrToInt(Edit1.Text);

რადგან i:=d_st+1 1-მდე იწყება

kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells);

//მოძიება ე

n_nod:=1-დან n_iz-მდე დაიწყება

მ:=იზუბსტ;

რადგან i:=n+1 1-მდე იწყება

რადგან i:=m+1 1-მდე იწყება

b[i]:=izub;

რადგან i:=n+1 1-მდე იწყება

თუ [i]<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

რადგან i:=m+1 1-მდე იწყება

თუ b[i]<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ (ბ<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1 1-მდე დაიწყება

j:=m+1 1-მდე დაიწყება

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f 1-მდე დაიწყება

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f 1-მდე დაიწყება

a2[j]:=a2[j]-b2;

რადგან i:=f+1 1-მდე იწყება

e:=buf[i];

თუ ბუფ[i]<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ (ბუფ<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

იყიდება i:=n 0-მდე დაიწყება

თუ a2[i]<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

n_nod:=1-დან n_iz-1-მდე დაიწყება

m:=est;

რადგან i:=n+1 1-მდე იწყება

a[i]:=e;

რადგან i:=m+1 1-მდე იწყება

b[i]:=e;

თუ n_nod=n_iz-1 მაშინ fx:=b[i];

რადგან i:=n+1 1-მდე იწყება

თუ [i]<>0, შემდეგ დაიწყეთ, თუ (a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

რადგან i:=m+1 1-მდე იწყება

თუ b[i]<>0 შემდეგ დაიწყება თუ (ბ<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1 1-მდე დაიწყება

რადგან i:=ნაბიჯი+1 1-მდე იწყება

j:=m+1 1-მდე დაიწყება

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f 1-მდე დაიწყება

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f 1-მდე დაიწყება

a2[j]:=a2[j]-b2;

რადგან i:=f+1 1-მდე იწყება

fx:=buf[i];

თუ ბუფ[i]<>0, შემდეგ დაიწყეთ თუ (buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

იყიდება i:=n 0-მდე დაიწყება

თუ a2[i]<>0, შემდეგ დაიწყება, თუ (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

fxst:=est+1;

i:=1-დან n_iz-მდე დაიწყება

j:=fxst[i] 0-მდე იწყება

თუ fx<>0 შემდეგ დაიწყე

თუ (fx<0)or(j=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

s:=s+")^"+IntToStr(i)+" ";

Edit6.Text:=Edit6.Text+s;

i:=0-დან 10-მდე იწყება

SGd1.Cells:=SGd4.Cells;

რამდენიმე მრავალწევრის უდიდესი საერთო გამყოფი არის მათი საერთო გამყოფი, რომელიც არის მათი რომელიმე საერთო გამყოფის ნამრავლი. თუ

დ= GCD(f 1, …,f ნ), მაშინ არის ასეთი მრავალწევრები u 1 , … ,u ნ, Რა

დ = u 1 ვ 1 +… + u ნ ვ ნ .

ამ გამონათქვამს ეწოდება წრფივი GCD წარმოდგენა.

gcd-ის საპოვნელად ( ვ, გ) და მისი წრფივი წარმოდგენა, გამოყენებულია ევკლიდური ალგორითმი. იგი შედგება თანმიმდევრული გაყოფისგან პირველი მრავალწევრის ნაშთით მეორეზე, შემდეგ მეორე ნაშთით და ა.შ. ბოლო არანულოვანი ნაშთი არის GCD( ვ, გ). შედეგად მიღებული განყოფილებების ჯაჭვის გამოყენებით, ნაპოვნია წრფივი წარმოდგენა.

მაგალითი 2.1. იპოვეთ GCD( ვ, გ

ვ=X 4 + 2X 3 –X 2 +x + 1;

გ= 2X 3 –X – 1.

გამოსავალი. ჩვენ ვახორციელებთ დანაყოფების ჯაჭვს ნაშთით:

რ გაყოფის შედეგები იწერება შემდეგი ფორმით:

f = გ  (1/2 x+ 1) - ½ რ 1 , რ 1 = x 2 – 5x + 4;

g = r 1  (2x + 10) + 41რ 2 , რ 2 = x – 1; (*)

რ 1 = რ 2  (x – 4).

ბოლო არანულოვანი ნაშთი რ 2 =x- 1 არის gcd( ვ, გ). ჩვენ ვპოულობთ მის წრფივ წარმოდგენას ფორმულების გამოყენებით (*):

რ 1 = 2ვ– 2გ  (1/2 x + 1) = 2ვ – გ  (x + 2);

41რ 2 = გ – რ 1  (2x + 10) = გ – (2ვ – გ  (x + 2))  (2x + 10) =

= გ– 2(2x+ 10)ვ+ (x+ 2)(2x+ 10)გ= (4x+ 20)ვ+ (2x 2 + 14x+ 21)გ;

GCD( ვ, გ) = x – 1= რ 2 =
ვ +
გ.

შენიშვნა: თუ არ გჭირდებათ GCD-ის წრფივი წარმოდგენის პოვნა, მაშინ გამოთვლების დროს მიღებული ნაშთების რიცხვითი კოეფიციენტების გათვალისწინება არ არის საჭირო და მათი გაუქმება შესაძლებელია. გამოთვლებში წილადების გამოჩენის თავიდან ასაცილებლად, გაყოფის შესრულებამდე შეგიძლიათ დივიდენდი გაამრავლოთ შესაფერის მთელ რიცხვზე.

სავარჯიშო 2.1. იპოვეთ GCD( ვ, გ) და მისი წრფივი წარმოდგენა:

ა) ვ=X 6 – 4X 5 + 11X 4 – 27X 3 + 37X 2 – 35x + 35;

გ=X 5 – 3X 4 + 7X 3 – 20X 2 + 10x – 25.

ბ) ვ = 4X 4 – 2X 3 – 16X 2 + 5x + 9;

გ= 2X 3 –X 2 – 5X + 4.

3. მრავლობითი

მრავალწევრის ფორმალური წარმოებული ვ = ა 0 + ა 1 x + … + ა ნ x ნ F ველს პოლინომი ეწოდება ვ  = ა 1 + 2ა 2 x 2 + … + na ნ x ნ-1, სად კნ,ა გვაქვს
.

პოლინომები ვდა გასოცირებული ეწოდება, თუ ისინი ერთმანეთის მრავლობითია. მრავალწევრი ვრგოლზე K ნათქვამია, რომ შემცირდება K-ზე, თუ ის არ არის ნულოვანი და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი შეუქცევადი მრავალწევრის ნამრავლი. მრავალწევრი ვეწოდება შეუქცევად K-ზე, თუ იგი შეუქცევადია K-ზე და მისი რომელიმე გამყოფი ასოცირდება ვან 1. მხოლოდ დადებითი ხარისხის მრავალწევრებია შეუქცევადი ველზე. პოლინომი ველზე იშლება შეუქცევადების ნამრავლად და ეს დაშლა უნიკალურია წესრიგისა და ასოციაციის მიხედვით.

მრავალწევრი ვაქვს შეუმცირებელი ფაქტორი გვსიმრავლე კ, თუ ვგვ კ ,ვგვ კ+1. მამრავლს უწოდებენ მრავალჯერადს, თუ მისი ჯერადი 1-ზე მეტია.

თეორემა 3.1. თუ მრავალწევრი ვაქვს შეუმცირებელი ფაქტორი მინდორზე გვსიმრავლე კ, ეს გვ- შეუქცევადი სიმრავლის ფაქტორი კ-1 ამისთვის ვ .

ეს თეორემა ეხმარება გადაჭრას მრავალწევრის ჯერადების გამოყოფის პრობლემა ვ და ფაქტორინგი ამ მრავალწევრის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით GCD( ვ, ვ ) =დ. მრავალწევრი დშედგება მრავალწევრის მრავალი ფაქტორისაგან ვ, რომელთაგან თითოეული შედის დ 1-ით ნაკლები სიმრავლით ვ. თუ შეიძლება დაშლა დფაქტორებად, შემდეგ განისაზღვრება მრავალწევრის ყველა მრავალი ფაქტორი ვ, და ფაქტორინგის ამოცანა უფრო ადვილი ხდება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მრავალწევრი
. იგი შედგება მრავალწევრის ყველა ძირითადი ფაქტორისგან ვ, აღებული 1-ის სიმრავლით. თუ ამ მრავალწევრის გაფართოება შეუძლებელია, მაშინ შეგიძლიათ, მაგალითად, იპოვოთ gcd( ვ 1 , დ), ან გამოიყენეთ აღწერილი ალგორითმი მრავალწევრზე დ.

მაგალითი 3.1. მრავალწევრის ფაქტორი

f = x 5 – 15x 3 – 10x 2 + 60x+ 72.

გამოსავალი. ჩვენ ვიანგარიშებთ ვ = 5x 4 – 45x 2 – 20x+ 60 = 5(x 4 – 9x 2 – 4x+ 12). ვინაიდან ჩვენ არ გვჭირდება GCD-ის წრფივი გამოსახულების ძიება, არანულოვანი რიცხვითი კოეფიციენტები, რომლებიც მიღებულია მრავალწევრის კოეფიციენტებიდან, შეიძლება გაუქმდეს. ამიტომ, ნაცვლად ვ მოდი ავიღოთ გ =x 4 – 9x 2 – 4x+ 12. გაყოფის ჯაჭვის დასრულება ნაშთით ვ on გევკლიდეს ალგორითმის მიხედვით ვიღებთ

ვ = xg – 6რ 1 , რ 1 = x 3 + x 2 – 8x– 12;

გ = (x– 1)რ 1 .

აქედან გამომდინარე, დ = GCD( ვ, ვ ) =რ 1 = x 3 +x 2 – 8x – 12. ვინაიდან gcd-ის ხარისხი 2-ზე მეტია და მისი ფაქტორიზაცია საკმაოდ რთულია, განვიხილავთ მრავალწევრს.
=x 2 –x – 6 = (x– 3)(x+ 2). იმიტომ რომ ვ 1-ს აქვს მე-2 ხარისხი და შესაძლებელი იყო მისი ფაქტორიზირება, შემდეგ განისაზღვრება მრავალწევრის ყველა შეუქცევადი ფაქტორი ვ, და რჩება მხოლოდ მათი სიმრავლის დადგენა. მოდით გავაკეთოთ ეს ჰორნერის სქემის გამოყენებით.

პასუხი: ვ= (x+ 2) 3 (x– 3) 2 .

კომენტარი. ვინაიდან ამოხსნის პროცესში ჩვენ სრულად განვსაზღვრეთ მრავალწევრის ყველა ძირითადი ფაქტორი ვ, შემდეგ დაადგინეთ ფაქტორის სიმრავლე ( x– 3) ჰორნერის სქემის მიხედვით არ იყო საჭირო: ვინაიდან მრავალწევრის ხარისხი არის 5 და პირველი ხარისხის პირველი ფაქტორის სიმრავლე არის 3, მაშინ მეორე ფაქტორის სიმრავლე უნდა იყოს 2-ის ტოლი.

Სავარჯიშოები.

3.1. მრავალწევრის ფაქტორი:

ა) ვ = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4;

ბ) ვ = x 5 – 6x 4 + 16x 3 – 24x 2 + 20x – 4.

3.2. დაამტკიცეთ, რომ მრავალწევრი x 2 ნ – nx ნ +1 +nx ნ –1 – 1-ს აქვს ნომერი 1, როგორც სამმაგი ფესვი.