სწორი ხაზის განტოლება სიბრტყეზე 2 წერტილის გავლით. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში: მაგალითები, ამოხსნები. წრფის ნორმალური განტოლება

სწორი ხაზის თვისებები ევკლიდეს გეომეტრიაში.

ნებისმიერი წერტილის საშუალებით უსასრულოდ ბევრი სწორი ხაზის დახატვა შეგიძლიათ.

ერთი სწორი წრფის დახაზვა შეიძლება ნებისმიერი ორი არა დამთხვეული წერტილის საშუალებით.

ორი შეუსაბამო სწორი ხაზი თვითმფრინავზე ან კვეთს ერთ წერტილს, ან არის

პარალელური (გამომდინარეობს წინადან).

3D სივრცეში არსებობს სამი ვარიანტი ორმხრივი შეთანხმება ორი სწორი ხაზი:

• სწორი ხაზები იკვეთება;

• სწორი ხაზები პარალელურია;

• სწორი ხაზები იკვეთება.

სწორი ხაზი - პირველი რიგის ალგებრული მრუდი: კარტეზიანულ კოორდინატთა სისტემაში, სწორი ხაზი

სიბრტყეზე მოცემულია პირველი ხარისხის განტოლება (წრფივი განტოლება).

წრფის ზოგადი განტოლება.

განმარტება... სიბრტყეზე ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მოცემული იყოს პირველი რიგის განტოლებით

Ax + Wu + C \u003d 0,

მუდმივით ა, ბ ამავე დროს ნულის ტოლი არ არის. პირველი რიგის ამ განტოლებას ეწოდება საერთო

სწორი ხაზის განტოლება. დამოკიდებულია მუდმივების მნიშვნელობებზე ა, ბ და ფრომიდან შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

. C \u003d 0, A 0, B ≠ 0 - სწორი ხაზი გადის საწყისში

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (ავტორი + C \u003d 0)- ღერძის პარალელური სწორი ხაზი ოჰ

. B \u003d 0, A 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - ღერძის პარალელური სწორი ხაზი OU

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა ღერძს OU

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა ღერძს ოჰ

სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, მოცემულიდან გამომდინარე

საწყისი პირობები.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გასწვრივ.

განმარტება... კარტესიან მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში, ვექტორი კომპონენტებით (A, B)

განტოლებით მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარული

Ax + Wu + C \u003d 0.

მაგალითი... იპოვნეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წერტილში ა (1, 2) ვექტორის პერპენდიკულარული (3, -1).

გადაწყვეტილება... A \u003d 3 და B \u003d -1, ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას: 3x - y + C \u003d 0. კოეფიციენტის პოვნა C

მოცემული A წერტილის კოორდინატები ჩაანაცვლეთ გამოთქმულ გამოთქმაში. მივიღებთ: 3 - 2 + C \u003d 0, მაშასადამე

C \u003d -1. სულ: საჭირო განტოლება: 3x - y - 1 \u003d 0.

ორ წერტილზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

მოდით, ორი წერტილი მიეცეს სივრცეში M 1 (x 1, y 1, z 1)და M2 (x 2, y 2, z 2), შემდეგ სწორი ხაზის განტოლება,

ამ წერტილების გავლით:

თუ რომელიმე მნიშვნელი ნულოვანია, შესაბამისი მრიცხველი უნდა გაუტოლდეს ნულს. Ზე

თვითმფრინავი, ზემოთ დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება გამარტივებულია:

თუ x 1 ≠ x 2 და x \u003d x 1 , თუ x 1 \u003d x 2 .

ფრაქცია \u003d კ დაურეკა ფერდობზე სწორი.

მაგალითი... იპოვნეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის A (1, 2) და B წერტილებზე (3, 4).

გადაწყვეტილება... ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და დახრის მიხედვით.

თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება Ax + Wu + C \u003d 0 ფორმაში მოყვანა:

და დანიშნოს , მაშინ მიღებულ განტოლებას ეწოდება

k ხაზის სწორი ხაზის განტოლება.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და მიმართულების ვექტორის გასწვრივ.

აბზაცის ანალოგიით, ნორმალური ვექტორის საშუალებით სწორი ხაზის განტოლების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ შევა ამოცანა

სწორი ხაზი წერტილის გავლით და სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

განმარტება... ყველა არა ნულოვანი ვექტორი (α 1, α 2)რომელთა კომპონენტები აკმაყოფილებენ პირობას

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 დაურეკა სწორი ხაზის ვექტორი.

Ax + Wu + C \u003d 0.

მაგალითი... იპოვნეთ სწორი ხაზის განტოლება მიმართულების ვექტორით (1, -1) და A წერტილში გადის (1, 2).

გადაწყვეტილება... სასურველი სწორი ხაზის განტოლება მოიძებნება სახით: Ax + By + C \u003d 0. განმარტების თანახმად,

კოეფიციენტები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, ე.ი. A \u003d B.

მაშინ სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა: Ax + Ay + C \u003d 0, ან x + y + C / A \u003d 0.

საათზე x \u003d 1, y \u003d 2ვიღებთ C / A \u003d -3, ე.ი. საჭირო განტოლება:

x + y - 3 \u003d 0

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.

თუ სწორი წრფის ზოგადი განტოლება Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0, მაშინ -C გაყოფით მივიღებთ:

ან სად

კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ კოეფიციენტი არის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი

პირდაპირ ღერძით ოჰ, და ბ - ღერძთან სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი OU

მაგალითი... მოცემულია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება x - y + 1 \u003d 0.იპოვნეთ ამ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.

სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.

თუ განტოლების ორივე მხარე Ax + Wu + C \u003d 0 გაყოფა რიცხვზე რომელსაც ქვია

ნორმალიზაციის ფაქტორი, მაშინ მივიღებთ

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -ნორმალური ხაზის განტოლება.

ნორმალიზაციის ფაქტორის ± ნიშანი უნდა შეირჩეს ისე, რომ μ * C< 0.

რ - პერპენდიკულურის სიგრძე საწყისი ადგილიდან სწორ ხაზამდე დაეცა,

და φ - ამ პერპენდიკულარით ჩამოყალიბებული კუთხე ღერძის პოზიტიური მიმართულებით ოჰ

მაგალითი... მოცემულია წრფის ზოგადი განტოლება 12x - 5y - 65 \u003d 0... საჭიროა სხვადასხვა ტიპის განტოლების დასაწერად

ეს სწორი ხაზი.

ამ ხაზის განტოლება სეგმენტებში:

ამ ხაზის განტოლება ფერდობთან: (გაყოფა 5-ზე)

სწორი ხაზის განტოლება:

cos φ \u003d 12/13; ცოდვა φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა სწორი ხაზი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებით სეგმენტებში, მაგალითად, სწორი ხაზები,

ღერძების პარალელურად ან წარმოშობის გავლით.

კუთხე სწორ ხაზებს შორის სიბრტყეზე.

განმარტება... თუ მოცემულია ორი ხაზი y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , შემდეგ ამ ხაზებს შორის მწვავე კუთხეა

განისაზღვრება, როგორც

ორი სწორი ხაზი პარალელურია, თუ k 1 \u003d k 2... ორი სწორი ხაზი არის პერპენდიკულარული,

თუ კ 1 \u003d -1 / კ 2 .

თეორემა.

პირდაპირი Ax + Wu + C \u003d 0და A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 პარალელურია, როდესაც კოეფიციენტები პროპორციულია

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... თუ ასევე С 1 \u003d λС, მაშინ სწორი ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს. ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები

გვხვდება, როგორც ამ სწორი წრფეების განტოლების სისტემის ამოხსნა.

მოცემული წერტილის პერპენდიკულარულად გატარებული სწორი ხაზის განტოლება.

განმარტება... ხაზის გავლით წერტილი M 1 (x 1, y 1) და წრფის პერპენდიკულარული y \u003d kx + b

წარმოდგენილია განტოლებით:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

თეორემა... თუ მოცემულია წერტილი M (x 0, y 0), მანძილი სწორ ხაზამდე Ax + Wu + C \u003d 0განისაზღვრება, როგორც:

მტკიცებულებები... მოდით წერტილი M 1 (x 1, y 1) - პერპენდიკულურის ფუძე დაეცა წერტილიდან მმოცემულისთვის

სწორი ხაზი. შემდეგ მანძილი წერტილებს შორის მდა მ 1:

(1)

კოორდინატები x 1 და 1-ზე შეიძლება ნაპოვნი იყოს, როგორც განტოლებათა სისტემის ამოხსნა:

სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ M 0 წერტილზე პერპენდიკულარულად

მოცემული სწორი ხაზი. თუ სისტემის პირველ განტოლებას ფორმად გადავაკეთებთ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + 0 + C \u003d 0,

შემდეგ, გადაჭრისას, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების განტოლებაში (1) ჩანაცვლება ვხვდებით:

დადასტურებულია თეორემა.

მოდით, ხაზმა გაიაროს M 1 (x 1; y 1) და M 2 (x 2; y 2) წერტილებით. M 1 წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს y-y 1 \u003d ფორმა კ (x - x 1), (10.6)

სად კ - ჯერ კიდევ უცნობი კოეფიციენტი.

მას შემდეგ, რაც სწორი ხაზი გადის M 2 წერტილში (x 2 y 2), ამ წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებას (10.6): y 2 -y 1 \u003d კ (x 2 -x 1).

აქედან ვხვდებით ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლებას კ განტოლებაში (10.6) მივიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 და M 2 წერტილებში:

ივარაუდება, რომ ამ განტოლებაში x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

თუ x 1 \u003d x 2, მაშინ სწორი ხაზი, რომელიც გადის M 1 (x 1, y I) და M 2 წერტილებში (x 2, y 2), არის კოორდინატების ღერძის პარალელური. მის განტოლებას აქვს ფორმა x \u003d x 1 .

თუ y 2 \u003d y I, მაშინ სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება დაიწეროს y \u003d y 1, სწორი ხაზი M 1 M 2 პარალელურია აბსცისის ღერძისა.

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში

მოდით სწორი ხაზი კვეთს Ox ღერძს M 1 (a; 0) წერტილში, ხოლო Oy ღერძი - M 2 (0; b) წერტილში. განტოლება ხდება:
იმ
... ამ განტოლებას ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, ვინაიდან a და b რიცხვები მიუთითებენ, თუ რომელი სეგმენტებია გაჭრილი საკოორდინატო ღერძების სწორი ხაზით.

მოცემული ვექტორის პერპენდიკულარულად მოცემული წერტილის გავლით სწორი ხაზის განტოლება

მოდით ვიპოვოთ მოცემული Mo (x O; y o) წერტილის გავლით სწორი ხაზის განტოლება n \u003d (A; B) პერპენდიკულარულად.

აიღეთ თვითნებური წერტილი M (x; y) სწორ ხაზზე და გაითვალისწინეთ ვექტორი M 0 M (x - x 0; y - y o) (იხ. სურათი 1). რადგან n და M o M ვექტორები პერპენდიკულარულია, მათი სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია: ეს არის

A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0. (10.8)

განტოლებას (10.8) ეწოდება მოცემული ვექტორის პერპენდიკულარულად მოცემული წერტილის გავლით სწორი ხაზის განტოლება .

ვექტორს n \u003d (A; B), სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად, ნორმალური ეწოდება ამ ხაზის ნორმალური ვექტორი .

განტოლება (10.8) შეიძლება დაიწეროს როგორც Ax + Wu + C \u003d 0 , (10.9)

სადაც A და B არის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, C \u003d -Aх о - Ву о - თავისუფალი ტერმინი. განტოლება (10.9) არის სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება (იხ. ნახ. 2).

ნახ .1 ნახ .2

წრფის კანონიკური განტოლებები

,

სად
- წერტილის კოორდინატები, რომლითაც გაივლის სწორი ხაზი, და
- მიმართულების ვექტორი.

მეორე რიგის მრუდის წრე

წრე არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებულია, რომელსაც ეწოდება ცენტრი.

რადიუსის წრის კანონიკური განტოლება რ ცენტრშია წერტილი
:

კერძოდ, თუ ფსონის ცენტრი დაემთხვა წარმოშობას, მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:

ელიფსი

ელიფსი არის წერტილების ერთობლიობა სიბრტყეზე, თითოეული მათგანისგან ორ მოცემულ წერტილამდე დაშორების ჯამი და , რომლებსაც კერას უწოდებენ, მუდმივია
ფოკუსებს შორის მანძილზე მეტია
.

ელიფსის კანონიკური განტოლება, რომლის ფოკუსები მდებარეობს ღერძის ღერძზე, ხოლო კოორდინატების წარმოშობას შუა გზაზე ფოკუსებს აქვს ფორმა
რ დეა ნახევრად ძირითადი ღერძის სიგრძე;ბ - ნახევრად მცირე ღერძის სიგრძე (ნახ. 2).

კავშირი ელიფსის პარამეტრებს შორის
და თანაფარდობით გამოხატული:

(4)

ექსცენტრიულობის ელიფსიინტერფოკალური მანძილის თანაფარდობას უწოდებენ2 გ მთავარ ღერძამდე2 ა:

რეჟისორები ელიფსებს უწოდებენ Oy ღერძის პარალელურ სწორ ხაზებს, რომლებიც დაშორებულია ამ ღერძისგან. Directrix განტოლებები:
.

თუ ელიფსის განტოლებაში
, მაშინ ელიფსის კერები Oy ღერძზეა.

Ისე,

დაე, მიეცეს ორი წერტილი M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2)... ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას ფორმით (5), სადაც კ ჯერ კიდევ უცნობი კოეფიციენტი:

წერტილიდან გამომდინარე მ 2მიეკუთვნება მოცემულ სწორ ხაზს, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (5):. ამის გამოხატვა და მისი ჩანაცვლება განტოლებაში (5), მივიღებთ საჭირო განტოლებას:

Თუ ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს დამახსოვრებისათვის უფრო მოსახერხებელი ფორმით:

(6)

მაგალითი.ჩამოწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის M 1 (1.2) და M 2 (-2.3) წერტილებს

გადაწყვეტილება. ... პროპორციის თვისების გამოყენებით და საჭირო გარდაქმნების შესრულებით, ვიღებთ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას:

კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის

განვიხილოთ ორი ხაზი ლ 1 და ლ 2:

ლ 1: ,, და

ლ 2: , ,

φ არის მათ შორის კუთხე (). სურათი 4 გვიჩვენებს:

აქედან ან

ფორმულის (7) გამოყენებით შეიძლება განისაზღვროს ერთ-ერთი კუთხე სწორ ხაზებს შორის. მეორე კუთხე არის.

მაგალითი... ორი სწორი ხაზი მოცემულია y \u003d 2x + 3 და y \u003d -3x + 2 განტოლებებით. იპოვნეთ კუთხე ამ ხაზებს შორის.

გადაწყვეტილება... განტოლებებიდან ჩანს, რომ k 1 \u003d 2, და k 2 \u003d -3. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში (7), ჩვენ ვხვდებით

... ამრიგად, ამ ხაზებს შორის კუთხე ტოლია.

პარალელიზმის პირობები და ორი სტრიქონის პერპენდიკულარულობა

თუ პირდაპირ ლ 1 და ლ 2 პარალელურია, მაშ φ=0 და tgφ \u003d 0... (7) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ საიდან k 2 \u003d k 1... ამრიგად, ორი სწორი ხაზის პარალელიზმის პირობაა მათი ფერდობების თანასწორობა.

თუ პირდაპირ ლ 1 და ლ 2 პერპენდიკულარულია φ \u003d π / 2, α 2 \u003d π / 2 + α 1. ... ამრიგად, ორი სწორი ხაზის პერპენდიკულარულობის პირობაა, რომ მათი ფერდობები ორმხრივია და ნიშნის საწინააღმდეგოა.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

თეორემა. თუ მოცემულია წერტილი M (x 0, y 0), მაშინ მანძილი სწორ ხაზამდე Ax + Vy + C \u003d 0 განისაზღვრება, როგორც

მტკიცებულებები. მოდით, M 1 წერტილი (x 1, y 1) იყოს M წერტილიდან მოცემულ წრფეზე ჩამოვარდნილი პერპენდიკულარის საფუძველი. შემდეგ მანძილი M და M 1 წერტილებს შორის:

X 1 და y 1 კოორდინატები შეგიძლიათ იპოვოთ, როგორც განტოლების სისტემის ამოხსნა:

სისტემის მეორე განტოლება არის მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად მოცემული M 0 წერტილის გავლით სწორი ხაზის განტოლება.

თუ სისტემის პირველ განტოლებას ფორმად გადავაკეთებთ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + 0 + C \u003d 0,

შემდეგ, გადაჭრისას, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების განტოლებაში (1) ჩანაცვლება ვხვდებით:

დადასტურებულია თეორემა.

მაგალითი. განსაზღვრეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის: y \u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2 tgj \u003d; j \u003d p / 4.

მაგალითი. აჩვენეთ, რომ სწორი ხაზები 3x - 5y + 7 \u003d 0 და 10x + 6y - 3 \u003d 0 პერპენდიკულარულია.

ვხვდებით: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, შესაბამისად, სწორი ხაზები პერპენდიკულარულია.

მაგალითი. მოცემულია A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) სამკუთხედის წვეთები. იპოვნეთ C წვერიდან გამოყვანილი სიმაღლის განტოლება.

ვხვდებით AB მხარის განტოლებას :; 4x \u003d 6y - 6;

2x - 3y + 3 \u003d 0;

საჭირო სიმაღლის განტოლებაა: Ax + By + C \u003d 0 ან y \u003d kx + b.

k \u003d მაშინ y \u003d. რადგან სიმაღლე გადის C წერტილს, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას: საიდან b \u003d 17. სულ:.

პასუხი: 3x + 2y - 34 \u003d 0.

მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე განისაზღვრება წერტილიდან სწორი ხაზისკენ ჩამოწეული პერპენდიკულარის სიგრძით.

თუ ხაზი საპროექციო სიბრტყის პარალელურია (თ | | P 1), შემდეგ წერტილიდან მანძილის დადგენის მიზნით და პირდაპირ თ საჭიროა პერპენდიკულურის დაწევა წერტილიდან და ჰორიზონტალზე თ.

განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, როდესაც სწორი ხაზი ზოგად პოზიციას იკავებს. მოდით, საჭირო იქნება წერტილიდან დაშორების დადგენა მ პირდაპირ და ზოგადი პოზიცია.

განსაზღვრის ამოცანა მანძილი პარალელურ ხაზებს შორის გადაწყდა ისევე როგორც წინა. ერთ ხაზზე, აღებულია წერტილი, საიდანაც პერპენდიკულარი იწევა სხვა ხაზზე. პერპენდიკულარის სიგრძე ტოლია პარალელურ ხაზებს შორის მანძილზე.

მეორე რიგის მრუდი ეწოდება წრფე, რომელიც განისაზღვრება მეორე ხარისხის განტოლებით, ამჟამინდელი კარტეზიული კოორდინატების მიმართ. ზოგადად, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

სადაც A, B, C, D, E, F ნამდვილი რიცხვებია და A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 რიცხვებიდან მინიმუმ ერთი.

წრე

წრის ცენტრი სიბრტყის წერტილების ტოლი თანაბრად დაშორებულია C (a, b) სიბრტყის წერტილიდან.

წრე მოცემულია შემდეგი განტოლებით:

სადაც x, y არის წრის თვითნებური წერტილის კოორდინატები, R არის წრის რადიუსი.

წრეწირის განტოლება

1. არ არსებობს ტერმინი x, y

2. ტოლი კოეფიციენტები x 2 და y 2

ელიფსი

ელიფსი ეწოდება სიბრტყის წერტილების ლოკუსს, თითოეული მათგანის მანძილების ჯამს ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან ეწოდება კერები (მუდმივი მნიშვნელობა).

კანონიკური ელიფსის განტოლება:

X და y მიეკუთვნება ელიფსს.

a - ელიფსის ნახევრად ძირითადი ღერძი

b - ელიფსის ნახევრად მცირე ღერძი

ელიფსს აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი OX და OY. ელიფსის სიმეტრიის ღერძი არის მისი ღერძი, მათი გადაკვეთის წერტილი არის ელიფსის ცენტრი. ღერძი, რომელზეც მდებარეობს ფოკუსები, ეწოდება ფოკალური ღერძი... ელიფსის გადაკვეთის წერტილი ღერძებთან არის ელიფსის მწვერვალი.

შეკუმშვის (გაჭიმვის) თანაფარდობა: ε \u003d ს / ა - ექსცენტრიულობა (ახასიათებს ელიფსის ფორმას), რაც უფრო პატარაა ის, მით უფრო ნაკლებია ელიფსის წაგრძელება ფოკალური ღერძის გასწვრივ.

თუ ელიფსის ცენტრები არ არის C ცენტრში (α, β)

ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლა ეწოდება თვითმფრინავის წერტილების ლოკუსს, აბსოლუტური მნიშვნელობა მანძილების სხვაობა, რომელთაგან თითოეული ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ფოკუსი ეწოდება, არის ნულის გარდა მუდმივი მნიშვნელობა.

კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება

ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი:

a - სიმეტრიის ნამდვილი ნახევარაქსი

ბ - წარმოსახვითი სიმეტრიის ნახევრად ღერძი

ჰიპერბოლას ასიმპტოტები:

პარაბოლა

პარაბოლა ეწოდება წერტილების ლოკუსს მოცემული F წერტილისგან თანაბრად დაშორებულ სიბრტყეში, ეწოდება ფოკუსს და მოცემულ სწორ ხაზს, რომელსაც ეწოდება Directrix.

კანონიკური პარაბოლის განტოლება:

Y 2 \u003d 2px, სადაც p არის მანძილი ფოკუსიდან დირიქსოროლამდე (პარაბოლის პარამეტრი)

თუ პარაბოლას წვერი C (α, β), მაშინ პარაბოლას განტოლება (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

თუ კეროვანი ღერძი მიიღება როგორც კოორდინატების ღერძი, მაშინ პარაბოლის განტოლება მიიღებს ფორმას: x 2 \u003d 2qу

დაე, მიეცეს ორი წერტილი მ(X1 ,აქვს1) და ნ(X2, y2) მოდი ვიპოვოთ ამ წერტილებში გასული სწორი ხაზის განტოლება.

მას შემდეგ, რაც ეს ხაზი გადის წერტილში მ, შემდეგ ფორმულის (1.13) მიხედვით მის განტოლებას აქვს ფორმა

აქვს – ი1 = კ(X - x1),

სად კ - უცნობი ფერდობზე.

ამ კოეფიციენტის მნიშვნელობა განისაზღვრება იმ პირობიდან, რომ ძებნილი ხაზი გადის წერტილში ნდა, შესაბამისად, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (1.13)

ი2 – ი1 = კ(X2 – X1),

აქედან ნახავთ ამ ხაზის დახრილობას:

,

ან მოქცევის შემდეგ

(1.14)

ფორმულა (1.14) განსაზღვრავს ორ წერტილზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება მ(X1, ი1) და ნ(X2, ი2).

განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როდესაც ქულები მ(ა, 0), ნ(0, ბ), და ¹ 0, ბ ¹ 0, იტყუება კოორდინატთა ღერძებზე, განტოლება (1.14) უფრო მარტივ ფორმას იღებს

განტოლება (1.15) დაურეკა სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, აქ და და ბ აღნიშნავენ ღერძებზე სწორი ხაზით მოჭრილ სეგმენტებს (სურათი 1.6).

სურათი 1.6

მაგალითი 1.10. სწორი ხაზის წერტილების გათანაბრება მ(1, 2) და ბ(3, –1).

. (1.14) თანახმად, ძებნილი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა

2(ი – 2) = -3(X – 1).

ყველა ტერმინის გადატანა მარცხენა მხარეს, საბოლოოდ მივიღებთ სასურველ განტოლებას

3X + 2ი – 7 = 0.

მაგალითი 1.11. სწორი ხაზის ტოლი წერტილის გავლით მ(2, 1) და ხაზების გადაკვეთის წერტილი X+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. სწორი ხაზების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს ვხვდებით მოცემული განტოლებების ერთად ამოხსნით

თუ ამ განტოლებებს დავუმატებთ ტერმინს ვადით, მივიღებთ 2-ს X + 1 \u003d 0, საიდან. ჩანაცვლებული ნაპოვნი მნიშვნელობით ნებისმიერ განტოლებაში, ჩვენ ვიპოვით კოორდინატის მნიშვნელობას აქვს:

ახლა ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის წერტილებში (2, 1) და:

ან

აქედან, ანუ –5 ( ი – 1) = X – 2.

დაბოლოს, მივიღებთ ძებნილი ხაზის განტოლებას ფორმით X + 5ი – 7 = 0.

მაგალითი 1.12. იპოვნეთ წერტილების გავლით წრფივი ხაზის განტოლება მ(2,1) და ნ(2,3).

ფორმულის (1.14) გამოყენებით ვიღებთ განტოლებას

აზრი არ აქვს, რადგან მეორე მნიშვნელი ნულოვანია. პრობლემის განცხადებიდან ჩანს, რომ ორივე წერტილის აბსცასებს ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვთ. მაშასადამე, ძებნილი ხაზი ღერძის პარალელურია ოი და მისი განტოლებაა: x = 2.

კომენტარი . თუ სწორი ხაზის განტოლების წერისას (1.14) ფორმულის თანახმად, ერთ-ერთი მნიშვნელი აღმოჩნდება ნულოვანი, მაშინ სასურველი განტოლების მიღება შესაძლებელია შესაბამისი მრიცხველის ნულის ტოლობით.

განვიხილოთ თვითმფრინავზე სწორი ხაზის განსაზღვრის სხვა გზები.

1. მოდით, ნულოვანი ვექტორი იყოს მოცემული წრფის პერპენდიკულარული ლდა მიუთითეთ მ0(X0, ი0) მდგომარეობს ამ სწორ ხაზზე (ნახაზი 1.7).

სურათი 1.7

ჩვენ აღვნიშნავთ მ(X, ი) თვითნებური წერტილი ხაზზე ლ... ვექტორები და ორთოგონალური. ამ ვექტორების ორთოგონალობის პირობების გამოყენებით, ვიღებთ ან ერთს და(X – X0) + ბ(ი – ი0) = 0.

მივიღეთ წერტილის გავლით სწორი ხაზის განტოლება მ0 ვექტორის პერპენდიკულარული. ამ ვექტორს ეწოდება ნორმალური ვექტორი პირდაპირ ლ... მიღებული განტოლების გადაწერა შეიძლება როგორც

ოჰ + უი + ფრომიდან \u003d 0, სადაც ფრომიდან = –(დაX0 + ავტორი0), (1.16),

სად და და IN- ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

ჩვენ ვიღებთ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას პარამეტრიული ფორმით.

2. თვითმფრინავზე სწორი ხაზი შეიძლება განვსაზღვროთ შემდეგნაირად: ნულოვანი ვექტორი იყოს ამ სწორი ხაზის პარალელური ლ და მიუთითეთ მ0(X0, ი0) მდგომარეობს ამ სწორ ხაზზე. კვლავ მიიღეთ თვითნებური წერტილი მ(X, y) სწორ ხაზზე (სურათი 1.8).

სურათი 1.8

ვექტორები და სწორხაზოვანი.

ამ ვექტორების კოლინარულობის პირობას ვიწერთ :, სად თ - თვითნებური რიცხვი, რომელსაც ეწოდება პარამეტრი. მოდით, დავწეროთ ეს თანასწორობა კოორდინატებში:

ამ განტოლებებს ეწოდება პარამეტრიული განტოლებები სწორი... ამ განტოლებებიდან გამოვრიცხავთ პარამეტრს თ:

ეს განტოლებები სხვაგვარად შეიძლება დაიწეროს ფორმით

. (1.18)

შედეგად მიღებულ განტოლებას ეწოდება წრფის კანონიკური განტოლება... ვექტორს უწოდებენ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი .

კომენტარი . ადვილი გასაგებია, რომ არის თუ არა ხაზის ნორმალური ვექტორი ლ, მაშინ მისი მიმართულების ვექტორი შეიძლება იყოს ვექტორი, ვინაიდან, ე.ი.

მაგალითი 1.13. დაწერეთ წერტილზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება მ0 (1, 1) სწორი ხაზის 3 პარალელურად X + 2აქვს– 8 = 0.

გადაწყვეტილება . ვექტორი არის მოცემული და სასურველი სწორი ხაზების ნორმალური ვექტორი. ჩვენ გამოვიყენებთ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას მ0 მოცემული ნორმალური ვექტორით 3 ( X –1) + 2(აქვს - 1) \u003d 0 ან 3 X + 2 წლის - 5 \u003d 0. მიიღო სასურველი წრფის განტოლება.