განტოლება და მისი ფესვები: განმარტებები, მაგალითები. რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები? განტოლების მაგალითები, როდესაც განტოლებას უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვს

მიღებული იქნა ტოლობის ტოტალიზატორის ზოგადი იდეა და გაეცანით მათ ერთ – ერთ ტიპს - რიცხვით ტოლობებს, შეიძლება დავიწყოთ საუბარი ტოლობების კიდევ ერთ ძალიან მნიშვნელოვან ფორმაზე - განტოლებებზე. ამ სტატიაში გავაანალიზებთ რა არის განტოლებადა რა ეწოდება განტოლების ფესვს. აქ მოცემულია შესაბამისი განმარტებები, ასევე მოცემულია განტოლებების სხვადასხვა მაგალითები და მათი ფესვები.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის განტოლება?

განტოლებების ფოკუსირებული შესავალი ჩვეულებრივ იწყება მე -2 კლასის მათემატიკაში. ამ დროს მოცემულია შემდეგი განტოლების განმარტება:

განმარტება

განტოლება უნდა მოიძებნოს ტოლობა, რომელიც შეიცავს უცნობ რიცხვს.

განტოლებებში უცნობი ციფრები ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ლათინური ასოების გამოყენებით, მაგალითად, p, t, u და ა.შ., მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოყენებული ასოებია x, y და z.

ამრიგად, განტოლება განისაზღვრება აღნიშვნის ფორმის მიხედვით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თანასწორობა განტოლებაა, როდესაც ის ემორჩილება მითითებულ აღნიშვნის წესებს - ის შეიცავს ასოს, რომლის ღირებულების პოვნა გსურთ.

აქ მოცემულია პირველი და უმარტივესი განტოლებების მაგალითები. დავიწყოთ განტოლებები, როგორიცაა x \u003d 8, y \u003d 3 და ა.შ. განტოლებები, რომლებიც ციფრებთან და ასოებთან ერთად შეიცავს არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებს, ცოტა უფრო რთულად გამოიყურება, მაგალითად, x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2.

განტოლებების მრავალფეროვნება იზრდება გაცნობის შემდეგ - ფრჩხილებთან იწყება განტოლებები, მაგალითად, 2 (x - 1) \u003d 18 და x + 3 (x + 2 (x - 2)) \u003d 3. განტოლებაში უცნობი ასო შეიძლება რამდენჯერმე გამოჩნდეს, მაგალითად, x + 3 + 3 x - 2 - x \u003d 9, ასოები ასევე შეიძლება იყოს განტოლების მარცხენა მხარეს, მის მარჯვენა მხარეს, ან განტოლების ორივე მხარეს, მაგალითად, x (3 + 1) −4 \u003d 8, 7−3 \u003d z + 1, ან 3 x - 4 \u003d 2 (x + 12).

გარდა ამისა, ნატურალური რიცხვების შესწავლის შემდეგ ხდება მთელი რიცხვების, რაციონალური, რეალური რიცხვების გაცნობა, იკვლევენ ახალ მათემატიკურ ობიექტებს: გრადუსი, ფესვები, ლოგარითმები და ა.შ. მათი მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში განტოლების ძირითადი ტიპებისწავლობს სკოლაში.

მე -7 კლასში, ასოებთან ერთად, რომლითაც გარკვეული კონკრეტული რიცხვები იგულისხმება, ისინი იწყებენ ასოების განხილვას, რომლებსაც შეუძლიათ სხვადასხვა მნიშვნელობის მიღება, მათ ცვლადებს უწოდებენ (იხილეთ სტატია). ამ შემთხვევაში, სიტყვა "ცვლადი" შეიტანება განტოლების განსაზღვრებაში და ეს ხდება ასე:

განმარტება

განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

მაგალითად, განტოლება x + 3 \u003d 6 x + 7 არის განტოლება x ცვლადით, ხოლო 3 · z - 1 + z \u003d 0 განტოლება z ცვლადით.

ალგებრის გაკვეთილებზე იმავე მე -7 კლასში ხდება შეხვედრა განტოლებებთან, რომელიც შეიცავს მათ ჩანაწერში არა ერთ, არამედ ორ განსხვავებულ უცნობ ცვლადს. მათ ორ ცვლადში განტოლებები ეწოდება. მომავალში დასაშვებია განტოლებებში სამი ან მეტი ცვლადის არსებობა.

განმარტება

განტოლებები ერთი, ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები - ეს არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ერთ, ორ, სამ, ... უცნობ ცვლადებს.

მაგალითად, განტოლება 3.2 x + 0.5 \u003d 1 არის განტოლება ერთი ცვლადით x, ხოლო x - y \u003d 3 ფორმის განტოლება არის განტოლება ორი ცვლადი x და y. და კიდევ ერთი მაგალითი: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0.5) 2 \u003d 27. გასაგებია, რომ ასეთი განტოლება არის განტოლება სამი უცნობი x, y და z ცვლადებით.

რა არის განტოლების საფუძველი?

განტოლების განმარტება პირდაპირ კავშირშია ამ განტოლების ფესვის განმარტებასთან. მოდით გავაკეთოთ გარკვეული მსჯელობა, რომელიც დაგვეხმარება გავიგოთ რა არის განტოლების საფუძველი.

ვთქვათ, ჩვენ გვაქვს განტოლება ერთ ასოსთან (ცვლადი). თუ ამ განტოლების ჩანაწერში შეტანილი წერილის ნაცვლად, შეიცვლება რიცხვი, მაშინ განტოლება გადაიქცევა რიცხვით თანასწორად. უფრო მეტიც, შედეგად თანასწორობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტიც და მცდარიც. მაგალითად, თუ a + 1 \u003d 5 განტოლებაში a ასოს ნაცვლად შეცვლით რიცხვს 2, მიიღებთ არასწორი რიცხვითი ტოლობის 2 + 1 \u003d 5. თუ ამ განტოლებაში რიცხვის 4-ს ჩავანაცვლებთ ა-ს ნაცვლად, მაშინ მივიღებთ სწორ ტოლობას 4 + 1 \u003d 5.

პრაქტიკაში, უმეტეს შემთხვევებში, ცვლადის ისეთი მნიშვნელობებია საინტერესო, რომელთა ჩანაცვლება განტოლებაში იძლევა სწორ თანასწორობას, ამ მნიშვნელობებს ამ განტოლების ფესვებს ან ამოხსნებს უწოდებენ.

განმარტება

განტოლების ფუძე - ეს არის ასო (ცვლადი) მნიშვნელობა, როდესაც შეიცვლება, განტოლება იქცევა ნამდვილ რიცხვით თანასწორად.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების ფესვს ერთ ცვლადში განტოლების ამოხსნასაც უწოდებენ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ამოხსნა და განტოლების ფესვი იგივეა.

მოდით, განმარტეთ მაგალითით. ამისათვის ჩვენ ვუბრუნდებით ზემოხსენებულ განტოლებას a + 1 \u003d 5. განტოლების ფესვის გაჟღერებული განმარტების თანახმად, ნომერი 4 არის ამ განტოლების ფუძე, ვინაიდან ამ ნომრის ნაცვლად a რიცხვის შეცვლისას, ჩვენ ვიღებთ სწორ თანასწორობას 4 + 1 \u003d 5, ხოლო რიცხვი 2 არ არის მისი ფესვი, რადგან ის შეესაბამება ფორმის არასწორ თანასწორობას 2 + 1 \u003d ხუთი

ამ ეტაპზე ჩნდება არაერთი ბუნებრივი კითხვა: "აქვს რაიმე განტოლებას ფესვი და რამდენი ფესვი აქვს მოცემულ განტოლებას?" ჩვენ ვუპასუხებთ მათ.

აქ არის განტოლებები ფესვებთან და განტოლებები ფესვების გარეშე. მაგალითად, x + 1 \u003d 5 განტოლებას აქვს 4 ფესვი, ხოლო განტოლებას 0 x \u003d 5 არ აქვს ფესვები, ვინაიდან x რა ცვლადის ნაცვლად ამ რიცხვში რა რიცხვს ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ არასწორ თანასწორობას 0 \u003d 5.

რაც შეეხება განტოლების ფესვების რაოდენობას, აქ არის განტოლებები, რომლებსაც აქვთ გარკვეული სასრული რაოდენობის ფესვები (ერთი, ორი, სამი და ა.შ.) და განტოლებები, რომლებსაც უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვთ. მაგალითად, x - 2 \u003d 4 განტოლებას აქვს უნიკალური ფესვი 6, x 2 \u003d 9 განტოლების ფესვები არის ორი რიცხვი −3 და 3, განტოლებას x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 აქვს სამი ფესვი 0, 1 და 2, და x \u003d x განტოლების ამოხსნა არის ნებისმიერი რიცხვი, ანუ მას აქვს უსასრულო ფესვების ნაკრები.

ორიოდე სიტყვა უნდა ითქვას განტოლების ფესვების მიღებული დაწერის შესახებ. თუ განტოლებას არ აქვს ფესვები, მაშინ ისინი ჩვეულებრივ წერენ ”განტოლებას არ აქვს ფესვები” ან იყენებენ ცარიელი სიმრავლის ნიშანს. თუ განტოლებას აქვს ფესვები, მაშინ ისინი იწერება მძიმით გამოყოფილი, ან იწერება როგორც ნაკრების ელემენტები ხვეული საყრდენებით. მაგალითად, თუ განტოლების ფესვებია რიცხვები -1, 2 და 4, მაშინ დაწერეთ -1, 2, 4 ან (-1, 2, 4). ასევე დასაშვებია განტოლების ფესვების დაწერა უმარტივესი ტოლობის სახით. მაგალითად, თუ ასო x შედის განტოლებაში, და ამ განტოლების ფესვებია რიცხვები 3 და 5, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ x \u003d 3, x \u003d 5, ასევე ცვლადი ხშირად ემატება გამოწერებით x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5, თითქოს მითითებულია ციფრები განტოლების ფესვები. განტოლების ფესვების უსასრულო სიმრავლე ჩვეულებრივ იწერება ფორმით, ასევე, თუ ეს შესაძლებელია, გამოიყენეთ ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლეთა N, მთელი Z, ნამდვილი რიცხვები R. მაგალითად, თუ x ცვლადთან განტოლების ფუძე არის მთელი რიცხვი, დაწერეთ და თუ y ცვლადის განტოლების ფესვებია ნებისმიერი რეალური რიცხვი 1-დან 9-მდე, ჩათვლით, დაწერეთ.

ორი, სამი და მეტი ცვლადიანი განტოლებისთვის, როგორც წესი, ტერმინი "განტოლების ფუძე" არ გამოიყენება, ამ შემთხვევებში ისინი ამბობენ "განტოლების ამოხსნა". რა ეწოდება განტოლებათა ამოხსნას რამდენიმე ცვლადში? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება

განტოლების ამოხსნა ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები დარეკეთ წყვილს, სამს და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები, რაც ამ განტოლებას ნამდვილ რიცხვით თანასწორად აქცევს.

აჩვენეთ რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება ორ ცვლადში x + y \u003d 7. ჩაანაცვლეთ მასში x რიცხვის 1 და y –ს ნაცვლად 2 რიცხვისა და გვაქვს ტოლობა 1 + 2 \u003d 7. ცხადია, რომ ეს არასწორია, ამიტომ, x \u003d 1, y \u003d 2 მნიშვნელობების წყვილი არ წარმოადგენს ამოხსნას წერილობითი განტოლებისთვის. თუ ავიღებთ x \u003d 4, y \u003d 3 მნიშვნელობებს, მაშინ განტოლებაში ჩანაცვლების შემდეგ მივაღწევთ სწორ თანასწორობას 4 + 3 \u003d 7, შესაბამისად, ცვლადების ამ წყვილის მნიშვნელობებით განსაზღვრულია x + y \u003d 7 განტოლების ამოხსნა.

რამდენიმე ცვლადის განტოლებებს, ისევე როგორც ერთი ცვლადის განტოლებებს, შეიძლება არ ჰქონდეს ფესვები, შეიძლება ჰქონდეს სასტიკი რაოდენობის ფესვები ან უსასრულოდ მრავალი ფესვი ჰქონდეს.

წყვილი, სამი, ოთხი და ა.შ. ცვლადი მნიშვნელობები ხშირად იწერება მოკლედ, მათ სიდიდეებში მოცემულია ფრჩხილებში მძიმით გამოყოფილი. ამ შემთხვევაში, ფრჩხილებში დაწერილი რიცხვები ანბანური თანმიმდევრობით შეესაბამება ცვლადებს. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი წინა განტოლებაზე x + y \u003d 7 დაბრუნებით. X \u003d 4, y \u003d 3 ამ განტოლების ამოხსნა მოკლედ შეიძლება დაიწეროს როგორც (4, 3).

მათემატიკის, ალგებრისა და ანალიზის საწყისების სასკოლო კურსში უდიდესი ყურადღება ექცევა განტოლებათა ფესვების პოვნას ერთ ცვლადთან. ამ პროცესის წესებს ძალიან დეტალურად გავაანალიზებთ სტატიაში. განტოლებების ამოხსნა.

ცნობების სია.

• Მათემატიკა... 2 კლ. სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები adj. ელექტრონამდე. გადამზიდავი. 2 საათზე ნაწილი 1 / [მ. I. Moro, MA Bantova, GV Beltyukova და სხვები] - მე -3 გამოცემა. - მ.: პროშვეშენი, 2012 წ. - 96 გვ. ავად. - (რუსეთის სკოლა). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Ალგებრა: სწავლა. 7 კლ. ზოგადი განათლება. ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ. გ. მინდიუკი, კ. ი. ნეშკოვი, ს. ბ. სუვოროვა]; რედ. ს. ა. ტელიაკოვსკი. - მე -17 გამოცემა - მ .: განათლება, 2008 წ. - 240 გვ. : ავად - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა: მე -9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ. გ. მინდიუკი, კ. ი. ნეშკოვი, ს. ბ. სუვოროვა]; რედ. ს. ა. ტელიაკოვსკი. - მე -16 გამოცემა - მ .: განათლება, 2009 წ. - 271 გვ. : ავად - ISBN 978-5-09-021134-5.

მას შემდეგ რაც შეისწავლეთ ტოლობის ცნება, კერძოდ მათი ერთ-ერთი ტიპი - რიცხვითი ტოლობები, შეგვიძლია გადავიდეთ სხვა მნიშვნელოვან ტიპზე - განტოლებებზე. ამ მასალის ფარგლებში, ჩვენ ავუხსნით რა არის განტოლება და მისი ფესვი, ჩამოვაყალიბებთ ძირითად განმარტებებს და მოვიყვანთ განტოლებისა და მათი ფესვების პოვნის სხვადასხვა მაგალითს.

განტოლების ცნება

ჩვეულებრივ, განტოლების ცნება შეისწავლება სკოლის ალგებრის კურსის დასაწყისში. შემდეგ განისაზღვრება შემდეგნაირად:

განმარტება 1

განტოლება უწოდებენ უცნობი რიცხვის თანასწორობას.

ჩვეულებრივია, რომ უცნობები აღინიშნოს მცირე ლათინური ასოებით, მაგალითად, t, r, m და ა.შ., მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოიყენება x, y, z. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლება განსაზღვრავს მისი ჩაწერის ფორმას, ანუ თანასწორობა იქნება განტოლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ის შემცირდება გარკვეულ ფორმამდე - ის უნდა შეიცავდეს ასოს, რომლის მნიშვნელობა უნდა იყოს ნაპოვნი.

აქ მოცემულია უმარტივესი განტოლებების მაგალითები. ეს შეიძლება იყოს x \u003d 5, y \u003d 6 და ა.შ. ფორმის ტოლობები, ისევე, როგორც არითმეტიკული მოქმედებები, მაგალითად x + 7 \u003d 38, z - 4 \u003d 2, 8 t \u003d 4, 6: x \u003d 3.

ფრჩხილების კონცეფციის შესწავლის შემდეგ ჩნდება ფრჩხილებთან განტოლებების ცნება. ამაში შედის 7 (x - 1) \u003d 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) \u003d 3 და ა.შ. ასოს პოვნა შეიძლება მოხდეს არა ერთხელ, არამედ რამდენჯერმე, მაგალითად, მაგალითად, განტოლებაში x + 2 + 4 x - 2 - x \u003d 10. ასევე, უცნობი შეიძლება განთავსდეს არა მარტო მარცხნივ, არამედ მარჯვნივ ან ორივე ნაწილში ერთდროულად, მაგალითად, x (8 + 1) - 7 \u003d 8, 3 - 3 \u003d z + 3 ან 8 x - 9 \u003d 2 (x + 17).

გარდა ამისა, მას შემდეგ, რაც სტუდენტები გაეცნობიან მთელი რიცხვების, რეალურ, რაციონალურ, ბუნებრივ რიცხვებს, აგრეთვე ლოგარითმებს, ფესვებს და ძალაუფლებას, ჩნდება ახალი განტოლებები, რომლებიც მოიცავს ყველა ამ ობიექტს. ცალკეული სტატია მივუძღვენით ამგვარი გამოთქმების მაგალითებს.

მე –7 კლასის პროგრამაში პირველად ჩნდება ცვლადების ცნება. ეს არის ასოები, რომლებსაც შეუძლიათ მიიღონ სხვადასხვა მნიშვნელობა (დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ სტატია რიცხვითი, პირდაპირი და ცვლადი გამონათქვამების შესახებ). ამ კონცეფციის საფუძველზე, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ განტოლება:

განმარტება 2

განტოლება არის ტოლობა, რომელიც მოიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობის შეფასება გსურთ.

მაგალითად, გამოთქმა x + 3 \u003d 6 x + 7 არის განტოლება x ცვლადით, ხოლო 3 y - 1 + y \u003d 0 განტოლება y ცვლადთან.

ერთი განტოლება შეიძლება შეიცავდეს არა ერთ ცვლადს, არამედ ორ ან მეტს. შესაბამისად, მათ უწოდებენ განტოლებებს ორი, სამი ცვლადით და ა.შ. მოდით დავწეროთ განმარტება:

განმარტება 3

განტოლებები ორი (სამი, ოთხი ან მეტი) ცვლადით არის განტოლებები, რომლებიც მოიცავს უცნობი რაოდენობის შესაბამის რაოდენობას.

მაგალითად, 3, 7 x + 0, 6 \u003d 1 ფორმის ტოლობა არის განტოლება x ერთ ცვლადთან, ხოლო x - z \u003d 5 განტოლება x და z ორი ცვლადით. განტოლების მაგალითი სამი ცვლადით იქნება x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 \u003d 26.

განტოლების ფუძე

როდესაც განტოლებაზე ვსაუბრობთ, მაშინვე ჩნდება საჭიროება განვსაზღვროთ მისი ფესვის ცნება. შევეცადოთ ავუხსნათ რას ნიშნავს ეს.

მაგალითი 1

მოცემულია ერთგვარი განტოლება, რომელიც მოიცავს ერთ ცვლადს. თუ რიცხვს გამოვცვლით უცნობი ასო, მაშინ განტოლება ხდება რიცხვითი თანასწორობა - მართალია ან მცდარი. ასე რომ, თუ a + 1 \u003d 5 განტოლებაში ასო ჩავანაცვლეთ რიცხვით 2, მაშინ ტოლობა გახდება არასწორი, ხოლო თუ 4, მაშინ მივიღებთ სწორ ტოლობას 4 + 1 \u003d 5.

ჩვენ უფრო მეტად გვაინტერესებს ის მნიშვნელობები, რომლითაც ცვლადი გადაიქცევა სწორ თანასწორობაში. მათ ფესვებს ან ამონახსნებს უწოდებენ. მოდით ჩამოვწეროთ განმარტება.

განმარტება 4

განტოლების ფესვი ეწოდება ცვლადის მნიშვნელობას, რომელიც მოცემულ განტოლებას ნამდვილ თანასწორად აქცევს.

ფესვს ასევე შეიძლება ეწოდოს გამოსავალი, ან პირიქით - ორივე ეს ცნება ნიშნავს ერთსა და იმავეს.

მაგალითი 2

ავიღოთ მაგალითი ამ განმარტების გასარკვევად. ზემოთ ჩვენ განტოლებას მივცეთ + 1 \u003d 5. განმარტების თანახმად, ამ შემთხვევაში ფუძე იქნება 4, რადგან ასოს ნაცვლად შეიცვლება სწორი რიცხვითი თანასწორობა და ორი გამოსავალი არ იქნება, რადგან ის შეესაბამება არასწორ თანასწორობას 2 + 1 \u003d 5.

რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს ერთ განტოლებას? რაიმე განტოლებას აქვს ფესვი? მოდით ვუპასუხოთ ამ კითხვებს.

ასევე არსებობს განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ ერთი ფესვი. მაგალითი იქნება 0 x \u003d 5. მასში შეგვიძლია უსასრულოდ განსხვავებული რიცხვების ჩანაცვლება, მაგრამ არც ერთი მათგანი არ გადააქცევს მას ნამდვილ თანასწორობაში, რადგან 0-ზე გამრავლება ყოველთვის იძლევა 0-ს.

ასევე არსებობს განტოლებები, რომლებსაც მრავალი ფესვი აქვთ. მათ შეიძლება ჰქონდეთ როგორც სასრული, ისე უსასრულოდ დიდი რაოდენობით ფესვები.

მაგალითი 3

განტოლებაში x - 2 \u003d 4 არის მხოლოდ ერთი ფესვი - ექვსი, x 2 \u003d 9 – ში არის ორი ფესვი - სამი და მინუს სამი, x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 არის სამი ფესვი - ნულოვანი, ერთი და ორი, x \u003d x განტოლებაში უსასრულოდ ბევრი ფესვია.

ახლა ავუხსნათ, თუ როგორ სწორად ჩამოვწეროთ განტოლების ფესვები. თუ ისინი იქ არ არიან, მაშინ ასე ვწერთ: "განტოლებას არ აქვს ფესვები". ამ შემთხვევაში შეიძლება მითითებული იყოს ცარიელი ნაკრების ნიშანი. თუ არსებობს ფესვები, მაშინ ჩვენ ვწერთ მათ გამოყოფილი მძიმით ან მიუთითეთ ისინი, როგორც კომპლექტის ელემენტები, ვამაგრებთ მათ ხვეული ფრჩხილებით. ასე რომ, თუ რომელიმე განტოლებას აქვს სამი ფესვი - 2, 1 და 5, მაშინ ჩვენ ვწერთ - 2, 1, 5 ან (- 2, 1, 5).

დასაშვებია ფესვების დაწერა უმარტივესი ტოლობების სახით. ასე რომ, თუ განტოლებაში უცნობი აღინიშნება ასოთი y, ხოლო ფესვებია 2 და 7, მაშინ ჩვენ ვწერთ y \u003d 2 და y \u003d 7. ზოგჯერ ასოებს ემატება ხელმოწერები, მაგალითად x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. ამრიგად, ჩვენ მიუთითეთ ფესვების რიცხვები. თუ განტოლებას აქვს უსასრულოდ მრავალი ამოხსნა, მაშინ ჩვენ პასუხს ვწერთ როგორც რიცხვითი ინტერვალი, ან ვიყენებთ საყოველთაოდ მიღებულ აღნიშვნას: ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლეს აღნიშნავს N, მთელი რიცხვები - Z, რეალური - R. მაგალითად, თუ უნდა ჩამოვწეროთ, რომ განტოლების ამონახსნი იქნება მთელი რიცხვი, მაშინ ვწერთ, რომ x ∈ Z, და თუ რომელიმე რეალურია ერთიდან ცხრა, მაშინ y ∈ 1, 9.

როდესაც განტოლებას აქვს ორი, სამი ან მეტი ფესვი, მაშინ, როგორც წესი, საუბარია არა ფესვებზე, არამედ განტოლების ამოხსნებზე. მოდით ჩამოვაყალიბოთ განტოლების ამოხსნის განმარტება რამდენიმე ცვლადში.

განმარტება 5

განტოლების ამოხსნა ორი, სამი ან მეტი ცვლადით არის ცვლადების ორი, სამი ან მეტი მნიშვნელობა, რომლებიც ამ განტოლებას ნამდვილ რიცხვით თანასწორად აქცევს.

განვიხილოთ განმარტება მაგალითებით.

მაგალითი 4

ვთქვათ, გვაქვს გამოთქმა x + y \u003d 7, რომელიც განტოლებაა ორ ცვლადში. მოდით, ჩავანაცვლოთ ერთი პირველის ნაცვლად, და ორი მეორის ნაცვლად. მივიღებთ არასწორ თანასწორობას, რაც ნიშნავს, რომ ღირებულებების ეს წყვილი არ იქნება გამოსავალი ამ განტოლებისთვის. თუ ავიღებთ 3 და 4 წყვილს, მაშინ თანასწორობა ხდება ჭეშმარიტი, რაც ნიშნავს, რომ გამოსავალი ვიპოვნეთ.

ასეთ განტოლებებს შეიძლება ასევე არ ჰქონდეთ ფესვები ან ჰქონდეთ მათ უსასრულო რაოდენობა. თუ ორი, სამი, ოთხი ან მეტი მნიშვნელობის დაწერა დაგვჭირდება, მაშინ ფრჩხილებში გამოვყოფთ მძიმით. ანუ, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში პასუხი ასე გამოიყურება (3, 4).

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად უნდა გაუმკლავდეთ განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს. განტოლებების ამოხსნის სტატიაში დეტალურად განვიხილავთ მათ ამოხსნის ალგორითმს.

თუ ტექსტში შეცდომა შენიშნეთ, გთხოვთ, აირჩიოთ იგი და დააჭირეთ Ctrl + Enter

მათემატიკაში განტოლებათა ამოხსნას განსაკუთრებული ადგილი უკავია. ამ პროცესს წინ უსწრებს მრავალი საათის თეორიის შესწავლა, რომლის დროსაც მოსწავლე სწავლობს განტოლებების ამოხსნის გზებს, განსაზღვრავს მათ ტიპს და უნარს მიიტანს სრულ ავტომატიზმამდე. ამასთან, ფესვების ძიებას ყოველთვის არ აქვს აზრი, რადგან ისინი შეიძლება უბრალოდ არ არსებობდეს. ფესვების პოვნის სპეციალური ტექნიკა არსებობს. ამ სტატიაში გავაანალიზებთ ძირითად ფუნქციებს, განსაზღვრების სფეროებს, აგრეთვე იმ შემთხვევებს, როდესაც მათი ფესვები აკლია.

რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები?

განტოლებას არ აქვს ფესვები, თუ არ არსებობს რეალური არგუმენტები x, რომელთა განტოლებაც იდენტურად ჭეშმარიტია. ერისკაცისთვის ეს ფორმულირება, ისევე როგორც მათემატიკური თეორემებისა და ფორმულების უმეტესობა, ძალიან ბუნდოვნად და აბსტრაქტულად გამოიყურება, მაგრამ ეს თეორიულად არის. პრაქტიკაში ყველაფერი ძალიან მარტივია. მაგალითად: განტოლებას 0 * x \u003d -53 არ აქვს ამოხსნა, რადგან არ არსებობს ისეთი რიცხვი x, რომლის პროდუქტი ნულით ნულის გარდა სხვას მისცემდა.

ახლა ჩვენ განვიხილავთ განტოლებების ყველაზე ძირითად ტიპებს.

1. ხაზოვანი განტოლება

განტოლებას ეწოდება წრფივი, თუ მისი მარჯვენა და მარცხენა მხარეები გამოსახულია წრფივი ფუნქციების სახით: ax + b \u003d cx + d ან განზოგადებული ფორმით kx + b \u003d 0. სადაც a, b, c, d ცნობილია ციფრები და x უცნობი მნიშვნელობაა ... რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები? ხაზოვანი განტოლებების მაგალითები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ილუსტრაციაზე.

ძირითადად, წრფივი განტოლებები წყდება რიცხვითი ნაწილის ერთ ნაწილზე გადაადგილებით, ხოლო x შინაარსით მეორეზე. მიღებულია mx \u003d n ფორმის განტოლება, სადაც m და n რიცხვებია, x კი უცნობია. X- ის მოსაძებნად, საკმარისია ორივე ნაწილი გავყოთ m- ზე. შემდეგ x \u003d n / მ. ძირითადად, წრფივ განტოლებებს მხოლოდ ერთი ფესვი აქვთ, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც ან უსასრულოდ ბევრი ფესვია ან საერთოდ არ აქვს ფესვები. M \u003d 0 და n \u003d 0, განტოლება იღებს ფორმას 0 * x \u003d 0. ასეთი განტოლების ამოხსნა იქნება აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი.

ამასთან, რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები?

M \u003d 0 და n \u003d 0, განტოლებას არ აქვს ფესვები რეალური რიცხვების სიმრავლეში. 0 * x \u003d -1; 0 * x \u003d 200 - ამ განტოლებებს არ აქვს ფესვები.

2. კვადრატული განტოლება

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c \u003d 0 ფორმის განტოლება a \u003d 0. ყველაზე გავრცელებული გამოსავალი არის დისკრიმინატორის მეშვეობით. კვადრატული განტოლების დისკრიმინატორის პოვნის ფორმულა: D \u003d b 2 - 4 * a * c. შემდეგი, არსებობს ორი ფესვი x 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

D\u003e 0 განტოლებას აქვს ორი ფესვი, D \u003d 0 მას აქვს ერთი ფესვი. მაგრამ რომელ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ფესვები? კვადრატული განტოლების ფესვების რაოდენობის დასაკვირვებლად უმარტივესი გზაა ფუნქციის გრაფიკიდან, რომელიც პარაბოლაა. \u003e 0-ისთვის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ა< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

ასევე შეგიძლიათ ვიზუალურად განსაზღვროთ ფესვების რაოდენობა დისკრიმინატორის გაანგარიშების გარეშე. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ პარაბოლას წვერი და განსაზღვროთ, თუ რომელი მიმართულებით არის მიმართული ტოტები. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ წვერის x კოორდინატი ფორმულის გამოყენებით: x 0 \u003d -b / 2a. ამ შემთხვევაში, ვერტიკლის y კოორდინატი გვხვდება x 0 მნიშვნელობის შეცვლით თავდაპირველ განტოლებაში.

კვადრატული განტოლება x 2 - 8x + 72 \u003d 0 არ აქვს ფესვები, რადგან მას აქვს უარყოფითი განმასხვავებელი D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. ეს ნიშნავს, რომ პარაბოლა არ ეხება აბსცისას ღერძს და ფუნქცია არასოდეს იღებს 0 მნიშვნელობას, შესაბამისად, განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს.

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განიხილება ტრიგონომეტრიულ წრეზე, მაგრამ ისინი ასევე შეიძლება წარმოდგენილ იქნეს კარტეზიანულ კოორდინატთა სისტემაში. ამ სტატიაში განვიხილავთ ორ ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას და მათ განტოლებებს: სინქსი და კოსქსი. მას შემდეგ, რაც ეს ფუნქციები ქმნის ტრიგონომეტრიულ წრეს, რომლის რადიუსია 1, | sinx | და | cosx | არ შეიძლება იყოს 1-ზე მეტი. მაშ რომელ განტოლებას არა აქვს ფესვები? განვიხილოთ sinx ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია სიმეტრიულია და მისი გამეორების პერიოდი 2pi არის. ამის საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა შეიძლება იყოს 1, ხოლო მინიმალური -1. მაგალითად, გამოხატვას cosx \u003d 5 არ ექნება ფესვები, რადგან ის აბსოლუტური მნიშვნელობით ერთზე მეტია.

ეს არის ტრიგონომეტრიული განტოლებების უმარტივესი მაგალითი. სინამდვილეში, მათ გადაჭრას შეიძლება მრავალი გვერდი დასჭირდეს, რომლის ბოლოს ხვდები, რომ არასწორი ფორმულა გამოიყენე და თავიდან უნდა დაიწყოთ ყველაფერი. ზოგჯერ, თუნდაც ფესვების სწორად პოვნა, შეგიძლიათ დაივიწყოთ LDV- ს შეზღუდვების გათვალისწინება, რის გამოც პასუხში გამოჩნდება დამატებითი ფესვი ან ინტერვალი, და მთელი პასუხი შეცდომად იქცევა. ამიტომ, მკაცრად დაიცავით ყველა შეზღუდვა, რადგან ყველა ფესვი არ ჯდება დავალების ფარგლებში.

4. განტოლებების სისტემები

განტოლებების სისტემა არის განტოლებათა კრებული, რომლებიც აერთიანებს ხვეული ან კვადრატული ფრჩხილებით. ხვეული ფრჩხილები აღნიშნავს ყველა განტოლების ერთობლივ შესრულებას. ანუ, თუ რომელიმე განტოლებას მაინც არ აქვს ფესვები ან ეწინააღმდეგება სხვას, მთელ სისტემას გამოსავალი არ აქვს. კვადრატული ფრჩხილები წარმოადგენს სიტყვას "ან". ეს ნიშნავს, რომ თუ სისტემის ერთ – ერთ განტოლებას მაინც აქვს ამოხსნა, მაშინ მთელ სისტემას აქვს ამოხსნა.

C სისტემის პასუხი არის ინდივიდუალური განტოლების ყველა ფესვის ერთობლიობა. და ტალღოვანი სამაგრების სისტემებს მხოლოდ საერთო ფესვები აქვთ. განტოლებების სისტემები შეიძლება შეიცავდეს აბსოლუტურად მრავალფეროვან ფუნქციებს, ამიტომ ასეთი სირთულე არ გაძლევთ საშუალებას დაუყოვნებლივ თქვათ, რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პრობლემურ წიგნებსა და სახელმძღვანელოებში არსებობს სხვადასხვა ტიპის განტოლებები: მათ, ვისაც აქვს ფესვები და ის, რაც არა აქვს. პირველ რიგში, თუ ფესვებს ვერ პოულობთ, ნუ ჩათვლით, რომ ისინი საერთოდ არ არსებობს. ალბათ სადმე დაუშვით შეცდომა, საკმარისია მხოლოდ თქვენი გადაწყვეტილების გულდასმით გადამოწმება.

ჩვენ განვიხილეთ ყველაზე ძირითადი განტოლებები და მათი ტიპები. ახლა თქვენ შეგიძლიათ თქვათ, რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები. უმეტეს შემთხვევაში, ეს სულაც არ არის რთული. განტოლების ამოხსნისას წარმატება მხოლოდ ყურადღებას და კონცენტრაციას მოითხოვს. ივარჯიშეთ მეტი, ეს დაგეხმარებათ გაცილებით უკეთ და სწრაფად მოაწყოთ მასალა.

ასე რომ, განტოლებას არ აქვს ფესვები, თუ:

• წრფივ განტოლებაში mx \u003d n, მნიშვნელობა m \u003d 0 და n \u003d 0;
• კვადრატულ განტოლებაში, თუ დისკრიმინატორი ნულზე ნაკლებია;
• ფორმის ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში cosx \u003d m / sinx \u003d n, თუ | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• ტალღოვანი ფრჩხილებით განტოლებების სისტემაში, თუ მინიმუმ ერთ განტოლებას არ აქვს ფესვები და კვადრატული ფრჩხილებით, თუ ყველა განტოლებას არ აქვს ფესვები.