Аналитикалық функцияларды пайдаланып тригонометриялық қатарларды қосу. тригонометриялық фурье қатары тригонометриялық фурье қатары

Кез келген дерлік периодтық функцияны тригонометриялық қатар деп аталатындарды пайдалана отырып, мүшелері қарапайым гармоникалардан тұратын қатар ретінде көрсетуге болатындығын көрсетейік.

Анықтама. Тригонометриялық қатар – форманың функционалды қатары

нақты сандар қайда а 0 , а п , б нқатардың коэффициенттері деп аталады.

Қатардың бос мүшесі кейін алынған формулалардың біркелкілігі үшін түрінде жазылады.

Екі сұрақты шешу қажет:

1) Қандай жағдайда қызмет атқарады f(x)периодымен 2π қатарға (5.2.1) кеңейтуге болады?

2) коэффициенттерді қалай есептеу керек а 0 ,… а п , б н ?

Екінші сұрақтан бастайық. Функция болсын f(x)аралықта үздіксіз және периоды бар T=2π. Келесіде бізге қажет формулаларды ұсынамыз.

Кез келген бүтін сан үшін, өйткені функция жұп.

Кез келген тұтас үшін.

(мжәне nбүтін сандар)

( мжәне nбүтін сандар) (III, IV, V) интегралдардың әрқайсысы (I) немесе (II) интегралдарының қосындысына түрлендіріледі. Егер болса, онда (IV) формулада мынаны аламыз:

Теңдік (V) дәл осылай дәлелденеді.

Енді функцияның жинақталған Фурье қатарының кеңеюі табылғандай болып шықты деп есептейік, яғни,

(Қорытынды көрсеткіштен жоғары екенін ескеріңіз n).

Егер қатар жинақталса, оның қосындысын белгілеңіз S(x).

-дан береді аралығындағы терминдік интегралдау (қатарлардың жинақтылығының болжамына байланысты заңды)

өйткені біріншіден басқа барлық мүшелер нөлге тең (I, II қатынастар). Осы жерден табамыз

(5.2.2) көбейтіндісі (5.2.2) м=1,2,…) және -ден -ге дейінгі диапазондағы мүшелер бойынша интегралдасақ, коэффициентті табамыз а п.

Теңдіктің оң жағында бірден басқа барлық мүшелер нөлге тең m=n(IV, V қатынастары), Демек, аламыз

(5.2.2) көбейтіндісі (5.2.2) м\u003d 1,2, ...) және -ден -ге дейінгі диапазондағы мүшелерді интегралдасақ, біз дәл осылай коэффициентті табамыз б н

Мәндер – (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) формулаларымен анықталады Фурье коэффициенттері деп аталады, ал тригонометриялық қатар (5.2.2) берілген функция үшін Фурье қатары болып табылады. f(x).

Сонымен, біз функцияның декомпозициясын алдық f(x)Фурье қатарында

Бірінші сұраққа оралайық және функцияның қандай қасиеттері болуы керек екенін білейік f(x), сондықтан салынған Фурье қатары жинақты және қатарлардың қосындысы дәл тең болады f(x).

Анықтама. f(x) функциясы бөліктік үздіксіз деп аталады, егер ол үздіксіз болса немесе бірінші түрдегі үзіліс нүктелерінің шектеулі саны болса.

Анықтама. f(x) функциясы, интервалда берілген деп аталады бөлшектік монотонды, егер кесіндіні нүктелер арқылы әр қайсысында функция монотонды түрде өзгеретін (өсетін немесе кеметін) аралықтардың ақырлы санына бөлуге болатын болса.

Біз функцияларды қарастырамыз f(x), кезеңі бар T=2π. Мұндай функциялар деп аталады 2π- мерзімді.

Функцияның Фурье қатарына кеңеюінің жеткілікті шартын көрсететін теореманы тұжырымдаймыз.

Дирихле теоремасы(дәлелсіз қабылдау) . Егер 2π-периодтық функция f(x)кесіндіде үзіліссіз және бөлшек монотонды болса, функцияға сәйкес Фурье қатары осы сегментте жинақталады және бұл жағдайда:

1. Функцияның үздіксіздік нүктелерінде қатардың қосындысы функцияның өзімен сәйкес келеді S(x)=f(x);

2. Әр нүктеде x 0функцияның үзілуі f(x)қатардың қосындысы,

анау. нүктенің сол және оң жағындағы функцияның шектерінің арифметикалық ортасы x 0 ;

3. Нүктелерде (кесіндінің ұштарында) Фурье қатарының қосындысы ,

анау. аргумент интервалдың ішінен осы нүктелерге ұмтылған кезде сегменттің соңындағы функцияның шекті мәндерінің арифметикалық ортасы.

Ескерту: егер функция f(x)периоды 2π бүкіл интервалда үздіксіз және дифференциалданатын және оның интервал соңындағы мәндері тең, яғни периодтылыққа байланысты бұл функция бүкіл нақты осьте және кез келген үшін үздіксіз болады. Xоның Фурье қатарының қосындысы бірдей f(x).

Осылайша, интервалда интегралданатын функция болса f(x)Дирихле теоремасының шарттарын қанағаттандырады, онда теңдік интервалда орын алады (Фурье қатарындағы кеңею):

Коэффиценттер (5.2.3) - (5.2.5) формулалары бойынша есептеледі.

Дирихле шарттары математикада және оның қосымшаларында кездесетін функциялардың көпшілігімен қанағаттандырылады.

Фурье қатарлары, дәрежелік қатарлар сияқты функция мәндерін жуықтап есептеу үшін қолданылады. Функцияның кеңеюі болса f(x)тригонометриялық қатар орын алады, содан кейін сіз әрқашан шамамен теңдікті пайдалана аласыз , бұл функцияны бірнеше гармоника қосындысымен ауыстырыңыз, яғни. ішінара сома (2 n+1) Фурье қатарының мүшесі.

Тригонометриялық қатарлар электротехникада кеңінен қолданылады, олардың көмегімен математикалық физиканың көптеген есептерін шешеді.

(-π; π) интервалында берілген периоды 2π болатын функцияны Фурье қатарында кеңейтіңіз.

Шешім. Фурье қатарының коэффициенттерін табыңыз:

Біз Фурье қатарындағы функцияның кеңеюін алдық

Үздіксіздік нүктелерінде Фурье қатарының қосындысы функцияның мәніне тең f(x)=S(x), нүктесінде x=0 S(x)=1/2, нүктелерде x=π,2π,… S(x)=1/2.

Еске салайық, нақты талдауда тригонометриялық қатар бірнеше доғалардың косинустары мен синустарындағы қатар, яғни. пішін қатары

Біраз тарих. Мұндай қатарлар теориясының бастапқы кезеңі 18 ғасырдың ортасына жіптердің тербелістері мәселесіне байланысты, бұл кезде қажетті функция қатарлар қосындысы ретінде іздестірілді (14.1). Мұндай өкілдіктің мүмкіндігі туралы мәселе математиктер арасында бірнеше ондаған жылдарға созылған қызу пікірталас тудырды. Функция ұғымының мазмұнына байланысты даулар. Ол кезде функциялар әдетте олардың аналитикалық тағайындалуымен байланысты болды, бірақ бұл жерде (14.1) жанындағы функцияны көрсету қажет болды, оның графигі біршама ерікті қисық. Бірақ бұл даулардың маңызы одан да жоғары. Шын мәнінде, олар математикалық талдаудың көптеген іргелі маңызды идеяларына қатысты сұрақтар қойды.

Ал болашақта осы бастапқы кезеңдегідей тригонометриялық қатарлар теориясы жаңа идеялардың қайнар көзі қызметін атқарды. Дәл соларға байланысты, мысалы, жиынтық теориясы мен нақты айнымалы функциялар теориясы пайда болды.

Осы қорытынды тарауда біз нақты және күрделі талдауды тағы да байланыстыратын, бірақ TFCT бойынша оқулықтарда аз көрсетілген материалды қарастырамыз. Талдау барысында олар алдын ала анықталған функциядан шығып, оны тригонометриялық Фурье қатарына кеңейтті. Мұнда кері есепті қарастырамыз: берілген тригонометриялық қатар үшін оның жинақтылығы мен қосындысын белгілеңіз. Ол үшін Эйлер мен Лагранж аналитикалық функцияларды сәтті қолданды. Шамасы, Эйлер алғаш рет (1744) теңдікке қол жеткізді

Төменде біз (14.1) қатарлардың ерекше жағдайларымен, атап айтқанда тригонометриялық қатарлармен ғана шектеліп, Эйлердің ізімен жүреміз.

Пікір.Келесі факт негізінен пайдаланылады: егер оң коэффициенттер тізбегі болса а бмонотонды түрде нөлге ұмтылады, онда бұл қатарлар пішіннің нүктелері жоқ кез келген тұйық аралықта біркелкі жинақталады. 2лx (gZ дейін).Атап айтқанда, (0,2n -) аралықта нүктелік конвергенция болады. Бұл туралы жұмыстан қараңыз, 429-430 беттер.

Эйлердің (14.4), (14.5) қатарларын жинақтау идеясы z = алмастыруын пайдалану болып табылады. e aқуат сериясына өтіңіз

Егер бірлік шеңбердің ішінде оның қосындысын анық табуға болатын болса, онда есеп әдетте одан нақты және елес бөліктерді бөлу арқылы шешіледі. Эйлер әдісін қолдана отырып, (14.4), (14.5) қатарларының жинақтылығын тексеру керек екенін атап өтеміз.

Кейбір мысалдарды қарастырайық. Көптеген жағдайларда геометриялық қатар пайдалы болады

сондай-ақ одан мүше бойынша дифференциалдау немесе интегралдау арқылы алынған қатарлар. Мысалы,

14.1-мысал.Қатардың қосындысын табыңыз

Шешім.Косинустары бар ұқсас қатарды енгіземіз

Екі қатар да барлық жерде біріктіріледі, өйткені геометриялық қатар 1+ бойынша ірілендірілген r + r 2+.... Болжам бойынша z = e"x, Біз алып жатырмыз

Мұнда бөлшек пішінге келтіріледі

мәселенің сұрағына жауапты қайдан аламыз:

Осы жолда біз теңдікті орнаттық (14.2): 14.2-мысал.Жолдардың қосындысы

Шешім.Жоғарыдағы ескертуге сәйкес, екі қатар да көрсетілген интервалда жинақталады және олар анықтайтын функциялар үшін Фурье қатары қызметін атқарады. f(x) 9 g(x).Бұл қандай функциялар? Сұраққа жауап беру үшін Эйлер әдісіне сәйкес коэффициенттері бар (14.6) қатарын құрастырамыз. а б= -. Келісемін-

бірақ (14.7) теңдігін аламыз

Мәліметтерді түсіріп (оларды оқырман қайта шығаруы керек), біз логарифм белгісінің астындағы өрнекті келесідей көрсетуге болатындығын атап өтеміз.

Бұл өрнектің модулі – тең, ал аргумент (дәлірек айтқанда, оның негізгі мәні

• 2күн-

мәні) тең Сондықтан In ^ = -ln(2sin

14.3-мысал.Сағат -жолдарды қосамын

Шешім.Екі қатар да барлық жерде жинақталады, өйткені оларда конвергент басым

жалпы мүшенің жанында -! . Жол (14.6)

n(n+1)

тікелей

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) П /1 + 1

ns белгілі соманы береді. Негізінде біз оны формада көрсетеміз

теңдік

Мұнда жақшадағы өрнек ln(l + z) және төртбұрышты жақшадағы өрнек ^ ^ + ** ^--. Демек,

= (1 + -)ln(1 + z). Қазір

осында қою керек z = eLXжәне алдыңғы мысалдағыдай қадамдарды орындаңыз. Егжей-тегжейлерді ескермей, біз мұны атап өтеміз

Жақшаларды ашып, жауабын жазу қалды. Мұны оқырманның еншісіне қалдырдық.

14-тарауға арналған тапсырмалар

Келесі жолдардың қосындыларын есептеңдер.

• 1.3.1. a) z = 0 және z-- 2;
• б) z = l және z=-1;
• v) z = i және z= -Мен.
• 1.3.2. а) 1; 6)0; в) oo.
• 2.1.1. Парабола доғасы, r = сағ 2 (1;1) нүктеден (1;- 1) нүктеге дейін және кері жүгіру.
• 2.1.2. Басталуымен сегмент а,Соңы б.
• 2.1.3. Иордания суреттегі түзетілген жол. он тоғыз.

• 2.1.4. парабола доғасы y = x 2басы (-1;0), аяқталуы (1;1).
• 2.1.5. Шеңбер dg 2 + (- 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Жартылай жазықтық Rez > .
• 2.2.2. Ашық шеңбер C x ""^) 2 + Y 2
• 2.2.3. Параболаның ішкі көрінісі 2ж = 1 - x 2 .
• 2.2.4. Тұйық шеңбер (d: - 2) 2 + 2-де
• 2.2.5. Параболаның пайда болуы 2x \u003d - y 2.

3.1.а) Егер w=u + iv,содан кейін және= -r- -v = -^-^ Демек

л: 2 + (1-.г) 2 .t 2 + (1-д:) 2

(m, v) 9* (0; 0) V* e болғандықтан координаталар басын осы шеңберден алып тастау керек. R,тон және= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• б). Жою x,yтеңдіктерден x + y \u003d l, және \u003d x 2 - y, v = 2 xy.Жауабы: парабола 2v = l-және 2 .
• 3.2. l: = i (l^O) түзу шеңберге өтеді
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 тесілген нүктесі бар (r/, v) = (0; 0). Онымен жағыңыз
• 2а 2 а

a = 1, a = 2.

• 3.4. a), b) жағдайларда «шектiң жоқтығы белгiсiн» қолданыңыз. c) жағдайда шек бар және 2-ге тең.
• 3.5. Емес. Сәйкесінше ортақ терминдері бар екі тізбектегі функция шектеулерін қарастырыңыз

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. а) ешбір жерде дифференциалданбайды; б) барлық жерде дифференциалданады.
• 4.2. а) түзудің барлық нүктелерінде туындысы бар y = x,әрқайсысында

олар w = 2x; еш жерде голоморфты емес;

• б) С(0) тілінде голоморфты және / = - j.
• 4.3. C тілінде голоморфты, В=3z 2.
• 4.4. Теңдіктерден / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 бұдан w,v болмайтыны шығады

Әулие St

t айнымалысына тәуелді. Коши-Риман шарттары бұл функциялардың да у-ға тәуелсіз екенін білдіреді.

4.5. Мысалы, Re жағдайын қарастырайық f(z) = i(x, y) = const. МЕН

Коши-Риман шарттарын пайдаланып, осыдан Im/(z) = болатынын шығарыңыз v(x 9 ж) = const.

• 5.1. а) себебі Дж=--=- =-* 0(z * -/) және есеп шартына сәйкес
• (l-/z) 2 (z+/) 2

туындының аргументі нөлге тең болса, онда оның жорамал бөлігі нөлге тең, ал нақты бөлігі оң болады. Осы жерден жауап алыңыз: тікелей сағ = -X-1 (X * 0).

б) шеңбер z + i=j2.

• 5.3. Функция нөлдік мәнді қабылдамайтынын және оның туындысы барлық жерде бар екенін және берілген функцияға тең екенін тексеріңіз.
• 6.1. Тангенстің синустың косинусқа қатынасы ретіндегі анықтамасынан мынаны дәлелдеңіз тг(з + n^-tgzжарамды аргумент мәндерімен. Болсын Ткейбір басқа кезең тг(z + T) = тг.Осы жерден және алдыңғы теңдіктен күнә(/r- T)= 0, осыдан шығады Тбірнеше Кімге .
• 6.2. (6.6) теңдіктерін пайдаланыңыз.
• 6.3. Бірінші формула дұрыс емес, өйткені әрқашан arg(zH ,) = argz + argvv (мысалы, z = -1, w = -1 алайық). Екінші формула да қате. Мысалы, z = 2 жағдайын қарастырайық.
• 6.4. Теңдіктен а а = e 01 "0мұндағы оң жағында |i|« пішіні бар деп есептейміз. , e ca(a^a+2 як)? sli p r және кейбір әртүрлі бүтін сандар 19-дан 2-ге дейін

жақшадағы өрнек бірдей мағынаға ие болса, онда олар болар еді

бұл қисынсыздыққа қайшы келеді а .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. а) бұрыш - мен w
• б) дөңгелек сектор | w2, | argvr|
• 7.2. Екі жағдайда да радиусы 1 шеңбер басының центрінде орналасқан.
• 7.3. Біз жарты шеңбердің шекарасы бойымен оның ішкі бөлігі сол жақта қалатындай жылжимыз. Біз белгіні қолданамыз z = x + yi, w = u + vi.Орналасқан жер қосулы

сағ= 0, -1 x 1 бізде бар және =--e [-1,1]" v = 0. Шекараның екінші сегментін - жарты шеңберді қарастырайық. z=ЕО,тг. Бұл бөлімде өрнек

пішінге түрлендіріледі w=u=-- ,/* -. Арасында. (8.6) сәйкес қажетті интеграл тең

б). Төменгі жарты шеңбер теңдеуінің пішіні бар z(t) = e“,t e[l, 2n).(8.8) формуласы бойынша интеграл мынаған тең

• 8.2. а). Қажетті интегралды кесіндідегі интегралдар қосындысына бөліңіз О Ажәне сегмент бойынша AB. Олардың теңдеулері сәйкес z= / + //,/ және

z = t + i,te. Жауабы: - + - мен.

• б). Интегралдау қисығының теңдеуін z = түрінде жазуға болады e", т € . Сонда Vz екі түрлі мәнге ие, атап айтқанда,

.1 .т+2/р

e 2, e 2. Есептің шартынан түбірдің негізгі мәні туралы айтып отырғанымыз шығады: Вз, яғни. олардың біріншісі туралы. Сонда интеграл болады

8.3. Есепті шешуде сызба әдейі берілмейді, бірақ оқырман оны аяқтауы керек. Берілген екі i, /> e C нүктесін қосатын түзу кесіндінің теңдеуі қолданылады (а -Бастау, б -соңы): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Қажетті интегралды төртке бөлейік:

I = I AB + I BC + I CD +1 Д.А. Сегментте ABБізде бар z- (1 -1) ? 1 +1 /, сондықтан (8.8) сәйкес осы кесіндідегі интеграл тең

Осыған ұқсас жолмен жүріп, біз табамыз

• 9.1. а) 2n7; б) 0.
• 9.2. Ауыстыру жасаңыз z = z0 + re 11,0 т2/г.
• 9.3 Функция f(z)=Кейбір жай байланысқан J - голоморфты з-а

құрамында Г және ns бар D ауданы а. /),/] қолданылатын интегралдық теорема бойынша қалаған интеграл нөлге тең.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); б) 34л-/.
• 9.5. а) ±2/ дара нүктелері берілген шеңбердің ішінде жатқан жағдайда, интеграл мынаған тең болады.

• б). ±3/ ерекше нүктелері де шеңбердің ішінде жатыр. Шешім ұқсас. Жауабы: 0.
• 10.1. Функцияны /(z) = -----пайдалану түрінде көрсетіңіз
• 3 1 + -

геометриялық қатар 1 + q + q2 (||

• 1 -сағ
• 10.2. Терминді геометриялық қатарға қарай ажырат.
• 10.3. а) | z+/1t = z2. Жауап: z .
• 11.1. Көрсеткіш пен синустың қуат кеңеюін пайдаланыңыз. а) жағдайда реті 3, б) жағдайда 2.
• 11.2. Айнымалының айқын өзгеруіне дейін теңдеу болуы мүмкін

/(z) = /(-^z) түрінде көрсетеді. Жалпылықты жоғалтпай, біз бұл туралы болжауға болады

0 нүктесінде центрленген функцияның Тейлор қатарының жинақтылық радиусы бірден үлкен. Бізде бар:

Функцияның мәндері жинақтылық шеңберіне жататын шекті нүктесі бар дискретті жиында бірдей. Бірегейлік теоремасы бойынша /(z) = const.

11.3. Қажетті аналитикалық функция /(z) бар деп есептейік. Оның мәндерін функциямен салыстырайық (z) = z2жиынтықта Е,

нүктелерден тұрады z n = - (n = 2,3,...). Олардың мағыналары бірдей, содан бері Е

берілген шеңберге жататын шектік нүктесі бар, онда бірегейлік теоремасы бойынша /(z) = z 2 берілген шеңбердің барлық аргументтері үшін. Бірақ бұл /(1) = 0 шартына қайшы келеді. Жауап: ns жоқ.

• 11.4. Иә, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Ешқандай қайшылық жоқ, өйткені бірлік мәндерінің шекті нүктесі функцияның облысында жатпайды.
• - 1 1
• 12.1. а) 0 ; б) 2

  12.2. а). Функцияны пішінде көрсетіңіз және жақшаны кеңейтіңіз.

  • б). Терминдерді ауыстырыңыз, стандартты косинус пен синус кеңейтімдерін пайдаланыңыз.
  • 12.3.
  
  • 12.4. а) 0, ± 1 нүктелері жай полюстер;
  • б) z = 0 - алынбалы нүкте;
  • в) z = 0 мәні бойынша ерекше нүкте.
  • 13.1. а). a = 1, a = 2 нүктелері интегралдың полюстері болып табылады. Бірінші (қарапайым) полюске қатысты қалдық (13.2) бойынша табылады, ол 1-ге тең. Екінші полюске қатысты қалдық (13.3) еселік реті u = 2 және формула бойынша табылады. -1-ге тең. Қалдықтардың қосындысы нөлге тең, сондықтан негізгі қалдық теоремасы бойынша интеграл нөлге тең.
  • б). Көрсетілген төбелері бар тіктөртбұрыштың ішінде үш

  жай полюстер 1,-1,/. Олардағы қалдықтардың қосындысы ---ға, ал интеграл --ға тең

  v). Полюстердің арасында 2 Трки(кГЗ)интегралдың тек екеуі ғана берілген шеңбердің ішінде жатыр. Бұл 0 және 2 менекеуі де қарапайым, ондағы қалдықтар 1-ге тең. Жауабы: 4z7.

  оны 2/r/ көбейтіңіз. Мәліметтерді қалдырмай, жауапты көрсетеміз: / = -i .

  13.2. а). Олай болса, e"=z қояйық e"idt =дз , дт= - . Хо

  e" - e~" z-z~ x

  sin / =-=-, интефал пішімге келтіріледі

  

  Мұнда бөлгіш көбейткіштерге жіктеледі (z-z,)(z-z 2), мұндағы z, = 3 - 2 V2 / шеңбердің ішінде жатыр. сағ , a z,=3 + 2V2 / жоғарыда жатыр. Қарапайым z полюсіне қатысты қалдықты (13.2) және формуланы пайдаланып табу қалады.

  б) . Жоғарыда айтылғандай, e" = z , біз интефалды пішінге келтіреміз

  

  Субиндефальды функцияның үш қарапайым полюсі бар (қайсысы?). Олардағы қалдықтарды есептеуді оқырманға қалдыра отырып, біз жауапты көрсетеміз: I= .

  • v) . Ішкі интеграл функциясы 2(1--=-), қажетті интегралға тең
  • 1 + cos т

  тең 2(^-1- h-dt). Жақшадағы интегралды / арқылы белгілеңіз.

  cos "/ = - (1 + cos2f) теңдігін қолдансақ, / = [- цит .

  a), ә) жағдайларына ұқсастық бойынша ауыстыруды жасаңыз e 2,t = z, интегралды түрге келтіріңіз

  

  мұндағы интеграция қисығы бірдей бірлік шеңбер. Басқа аргументтер а) жағдайындағыдай. Жауабы: бастапқы, ізделетін интеграл /r(2-n/2) тең.

  13.3. а). Көмекші комплекс интегралын қарастырайық

  /(/?)=f f(z)dz,қайда f(z) = - p-, G (I) - құрастырылған контур

  жарты шеңберлер у(Р): | z |= Р> 1, Imz > 0 және барлық диаметрлер (сызбаны жасаңыз). Бұл интегралды екі бөлікке бөлейік – [-/?,/?] интервалына сәйкес және сәйкес у(Р).

  Я.

  Тізбек ішінде тек қарапайым полюстер жатыр z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (Cурет 186). Олардың қалдықтарына қатысты мыналарды табамыз:

  Бұл интегралдың асып кеткенін тексеру қалады y(R)ретінде нөлге ұмтылады Р. |g + A|>||i|-|/>|| теңсіздігінен және үшін интегралды бағалаудан z e y(R)содан шығады

Бірқатар жағдайларда, (С) түріндегі қатарлардың коэффициенттерін зерттеу арқылы немесе бұл қатарлар жинақталатыны (мүмкін жеке нүктелерді қоспағанда) және олардың қосындылары үшін Фурье қатарлары болып табылатынын анықтауға болады (мысалы, алдыңғы n° қараңыз). ), бірақ барлық осы жағдайларда сұрақ табиғи түрде туындайды

бұл қатарлардың қосындыларын қалай табуға болады немесе дәлірек айтсақ, егер олар мүлде осындай формада өрнектелсе, оларды элементар функциялар арқылы соңғы түрде қалай өрнектеу керек. Тіпті Эйлер (және де Лагранж) тригонометриялық қатарларды түпкілікті түрде қорытындылау үшін күрделі айнымалының аналитикалық функцияларын сәтті қолданды. Эйлер әдісінің идеясы келесідей.

Белгілі бір коэффициенттер жиынтығы үшін (С) қатары және тек жеке нүктелерді қоспағанда, интервалдың барлық жерінде функцияларға жинақталады деп алайық. Енді күрделі айнымалының дәрежелері бойынша реттелген коэффициенттері бірдей дәрежелік қатарды қарастырайық

Бірлік шеңберінің шеңбері бойынша, яғни кезінде, бұл қатар жеке нүктелерді қоспағанда, жорамал бойынша жинақталады:

Бұл жағдайда дәрежелік қатардың белгілі қасиетіне сәйкес (5) қатар, әрине, бірлік шеңбердің ішінде жинақталады, онда күрделі айнымалының белгілі бір функциясын анықтайды. Бізге белгілі пайдалану [қараңыз. XII тараудың § 5] күрделі айнымалының элементар функцияларының кеңеюі, көбінесе оларға функцияны азайтуға болады.Онда бізде:

және Абель теоремасы бойынша (6) қатар жинақталған кезде оның қосындысы шек ретінде алынады.

Әдетте бұл шектеу функцияны соңғы пішінде есептеуге мүмкіндік беретін оған тең

Мысалы, серияны алайық

Алдыңғы абзацта дәлелденген тұжырымдар осы қатарлардың екеуі де жақындасатыны туралы қорытындыға әкеледі (бірінші, 0 және тармақтарды қоспағанда)

Олар анықтайтын функциялар үшін Фурье қатары қызметін атқарады.Бірақ бұл функциялар қандай? Бұл сұраққа жауап беру үшін біз серия жасаймыз

Логарифмдік қатарға ұқсастығы бойынша оның қосындысы оңай анықталады:

демек,

Енді оңай есептеу береді:

сондықтан бұл өрнектің модулі , ал аргументі .

және осылайша, сайып келгенде

Бұл нәтижелер бізге таныс және тіпті бір кездері «күрделі» ойлардың көмегімен алынған; бірақ бірінші жағдайда біз және функцияларынан, ал екіншісінде аналитикалық функциядан бастадық.Мұнда бірінші рет қатардың өзі бастапқы нүкте ретінде қызмет етті. Оқырман келесі бөлімде осындай мысалдарды таба алады.

Конвергенция мен жолдарға (С) алдын ала сенімді болу керек екенін тағы бір рет атап өтеміз және олардың сомасын шектеуші теңдікті (7) пайдалана отырып анықтау құқығына ие болу үшін. Бұл теңдіктің оң жағындағы шектің бар болуы аталған қатарлар жинақталады деген қорытынды жасауға әлі мүмкіндік бермейді. Мұны мысалмен көрсету үшін қатарды қарастырыңыз

Ғылым мен техникада жиі кезеңдік құбылыстармен айналысуға тура келеді, яғни. белгілі бір уақыттан кейін қайта шығарылатындар Ткезең деп аталады. Периодтық функциялардың ең қарапайымы (тұрақтыдан басқа) синусоидалы шама: асин(x+ ), гармоникалық тербеліс, мұндағы арақатынас бойынша периодқа қатысты «жиілік» бар: . Осындай қарапайым периодтық функциялардың ішінен күрделірек функцияларды құрастыруға болады. Әлбетте, құрамдас синусоидалы шамалар әр түрлі жиілікте болуы керек, өйткені бірдей жиіліктегі синусоидалы шамаларды қосқанда бірдей жиіліктегі синусоидалы шама пайда болады. Пішіннің бірнеше мәндерін қоссақ

Мысалы, біз мұнда үш синусоидалы шаманың қосындысын шығарамыз: . Осы функцияның графигін қарастырайық

Бұл график синус толқынынан айтарлықтай ерекшеленеді. Бұл осы түрдегі мүшелерден тұратын шексіз қатардың қосындысы үшін одан да дұрыс. Сұрақ қояйық: периодтың берілген периодтық функциясы үшін мүмкін бе? Тсинусоидалы шамалардың ақырлы немесе ең болмағанда шексіз жиынының қосындысы ретінде көрсетеді? Функциялардың үлкен класына қатысты бұл сұраққа оң жауап беруге болатыны белгілі болды, бірақ бұл мұндай терминдердің шексіз тізбегін дәл қосқанда ғана. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл периодтық функцияның графигі синусоидтар қатарын үстемелеу арқылы алынғанын білдіреді. Әрбір синусоидалы шаманы белгілі бір гармоникалық тербелмелі қозғалыс ретінде қарастыратын болсақ, онда бұл функциямен немесе жай ғана оның гармоникасымен (бірінші, екінші және т.б.) сипатталатын күрделі тербеліс деп айта аламыз. Периодтық функцияның гармоникаға ыдырау процесі деп аталады гармоникалық талдау.

Айта кету керек, мұндай кеңейтулер көбінесе белгілі бір шекті аралықта анықталған және ешқандай тербелмелі құбылыстармен мүлдем тудырмайтын функцияларды зерттеуде пайдалы болып шығады.

Анықтама.Тригонометриялық қатар дегеніміз келесі түрдегі қатар:

Немесе (1).

Нақты сандар тригонометриялық қатардың коэффициенттері деп аталады. Бұл серияны былай жазуға болады:

Егер жоғарыда келтірілген түрдегі қатар жинақталса, онда оның қосындысы периодты 2p болатын периодты функция болады.

Анықтама.Тригонометриялық қатардың Фурье коэффициенттері деп аталады: (2)

(3)

(4)

Анықтама.Функция үшін Фурьеге жақын f(x)коэффициенттері Фурье коэффициенттері болатын тригонометриялық қатар деп аталады.

Функцияның Фурье қатары болса f(x)оған үздіксіздіктің барлық нүктелерінде жинақталады, онда функция деп айтамыз f(x)Фурье қатарында кеңейеді.

Теорема.(Дирихле теоремасы) Егер функцияның периоды 2p болса және кесіндіде үздіксіз болса немесе бірінші текті үзіліс нүктелерінің шектеулі саны болса, функция әрқайсысының ішінде монотонды болатындай етіп кесіндіні кесінділердің шектеулі санына бөлуге болады. олардың ішінде, содан кейін функция үшін Фурье қатары барлық мәндер үшін жинақталады X, ал функцияның үзіліссіздігі нүктелерінде оның қосындысы S(x)-ге тең, ал үзіліс нүктелерінде оның қосындысы -ге тең, яғни. сол және оң жақтағы шекті мәндердің арифметикалық ортасы.

Бұл жағдайда функцияның Фурье қатары f(x)функцияның үздіксіздік интервалына жататын кез келген интервалға біркелкі жинақталады .

Осы теореманың шарттарын қанағаттандыратын функция интервал бойынша кесінді тегіс деп аталады .

Фурье қатарындағы функцияның кеңеюіне мысалдарды қарастырайық.

1-мысал. Фурье қатарындағы функцияны кеңейтіңіз f(x)=1-xкезеңі бар 2бжәне сегментінде берілген.

Шешім. Осы функцияның графигін салайық

Бұл функция кесіндіде, яғни период ұзындығы бар кесіндіде үздіксіз, сондықтан оны осы сегменттің әрбір нүктесінде оған жинақталатын Фурье қатарына кеңейтуге болады. (2) формуланы пайдаланып, осы қатардың коэффициентін табамыз: .

Біз бөліктер бойынша интеграция формуласын қолданамыз және сәйкесінше (3) және (4) формулаларын тауып пайдаланамыз:

(1) формулаға коэффициенттерді қойып, аламыз немесе .

Бұл теңдік нүктелерден және (графиктердің желімдеу нүктелерінен) басқа барлық нүктелерде орын алады. Осы нүктелердің әрқайсысында қатардың қосындысы оның оң және сол жағындағы шекті мәндерінің орташа арифметикалық мәніне тең, яғни.

Функцияны кеңейту алгоритмін көрсетейікФурье қатарында.

Қойылған мәселені шешудің жалпы тәртібі келесідей.