Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы неге тең. Үздіксіз кездейсоқ шама, таралу функциясы және ықтималдық тығыздығы. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама үшін ықтималдық үлестірім заңы

Үздіксіз с. В. таралу тығыздығы немесе ықтималдық тығыздығы немесе дифференциалдық үлестіру функциясы деп аталатын функция арқылы анықталуы мүмкін.

Таралу тығыздығыүздіксіз s ықтималдықтары. В. X функциясы f(x) - F(x) таралу функциясының бірінші туындысы деп аталады:

Бұл анықтамадан таралу функциясы таралу тығыздығына қарсы туынды болатыны шығады.

Дискретті s ықтималдық үлестірімін сипаттау. В. тығыздықты бөлу қолданылмайды.

Таралу тығыздығының ықтималдық мәні.

Осылайша, ықтималдық қатынасының шегі үздіксіз c. В. (x, x +∆x) аралығына, осы аралық ұзындығына (∆x → 0 үшін) х нүктесіндегі таралу тығыздығының мәніне тең мәнді қабылдайды.

Тығыздық функциясы үзіліссіз кездейсоқ шаманың әрбір мәнін бөлек сипаттайды, тарату функциясы үшін жағдайдағыдай бүкіл ауқымды емес.

Үздіксіз s соғу ықтималдығы. В. берілген аралықта.

Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша:

П(а< X  b}= F(b) – F(a),

Осылайша

Белгілі тығыздық функциясынан таралу функциясын табу.

Алдыңғы формулада a = -∞, b = x деп алсақ және x интегралдау айнымалысын t-ге ауыстырсақ, бізде:

F(x) = P(X  x)=P(-∞< X  х},

демек

Таралу тығыздығының қасиеттері

Мүлік 1. Тарату тығыздығы теріс емес функция: f(x)0 (себебі интегралдық үлестірім функциясы кемімейтін функция, ал таралу тығыздығы оның бірінші туындысы).

2-қасиет:

Дәлелдеу. Дұрыс емес интеграл
кездейсоқ шама (-∞, ∞) интервалына жататын мәнді қабылдайтын оқиғаның ықтималдығын өрнектейді. Әлбетте, мұндай оқиға белгілі, сондықтан оның ықтималдығы біреуге тең.

Геометриялық тұрғыдан бұл 0x осімен және таралу қисығымен шектелген қисық сызықты трапецияның бүкіл ауданы бірге тең екенін білдіреді.

IN атап айтқанда, егер кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері (a,b) интервалына жататын болса, онда
.

Ықтимал таралу тығыздығы графигі (мысал)

f 1 (x) – 1-ші ойында ұтыс мөлшерінің таралу тығыздығы

f 2 (x) – 2-ойындағы ұтыс мөлшерінің таралу тығыздығы

Қай ойын жақсырақ?

Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. .

Бұл сипаттамалар кездейсоқ шамалардың таралу заңын білмей-ақ көптеген есептерді шешуге мүмкіндік береді.

Кездейсоқ шаманың сандық осьтегі орнының сипаттамасы.

Күтілетін мәнбұл әрбір x i нүктесінің абсциссасы сәйкес ықтималдыққа тең «салмақпен» енетін кездейсоқ шама X мәндерінің орташа өлшенген шамасы.

Математикалық күтуді кейде жай ғана r.v орташа мәні деп атайды.

Белгі: m x немесе M [X].

Дискретті кездейсоқ шама үшін

M [X] =

Үздіксіз кездейсоқ шама үшін

Сән– бұл кездейсоқ шаманың ең ықтимал мәні (ол үшін p i ықтималдығы немесе f(x) таралу тығыздығы максимумға жететін).

Белгіленуі: 

Бірмодальды (бір режимі бар), полимодальды (бірнеше режимі бар) және анимодальды (режимі жоқ) таралулар бар.

бірмодальды

Медиана– бұл x m кездейсоқ шамасының мәні, ол үшін келесі теңдік орындалады:

P(X< х m }= P{X >x м)

Медиана f(x) арқылы шектелген ауданды екіге бөледі

Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы симметриялы және бірмодальды болса, M[X],  және x m сәйкес келеді.

M[X], , x m – кездейсоқ емес шамалар

Үздіксіз кездейсоқ шаманы тек үлестіру функциясы арқылы ғана емес көрсетуге болады. Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы түсінігін енгізейік.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың [ интервалына түсу ықтималдығын қарастырайық. X, X + Δ X]. Мұндай оқиғаның ықтималдығы

П(X ≤ X ≤ X + Δ X) = Ф(X+ Δ X) – Ф(X),

анау. үлестіру функциясының өсіміне тең Ф(X) осы аймақта. Сонда ұзындық бірлігіне ықтималдық, яғни. бастап аудандағы орташа ықтималдық тығыздығы Xбұрын X+ Δ X, тең

Δ шегіне өту X→ 0, нүктедегі ықтималдық тығыздығын аламыз X:

үлестіру функциясының туындысын білдіреді Ф(X). Үздіксіз кездейсоқ шама үшін еске түсірейік Ф(X) дифференциалданатын функция болып табылады.

Анықтама. Ықтималдық тығыздығы (таралу тығыздығы ) f(x) Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу функциясының туындысы

f(x) = Ф′( x).

(4.8)

Кездейсоқ шама туралы Xтығыздығы бар таралу бар екенін айтады f(x) х осінің белгілі бір бөлігінде.

Ықтималдық тығыздығы f(x), сондай-ақ тарату функциясы Ф(x) бөлу заңының бір түрі болып табылады. Бірақ үлестіру функциясына қарағанда ол тек үздіксіз кездейсоқ шама үшін ғана бар.

Ықтималдық тығыздығы кейде деп аталады дифференциалдық функциянемесе дифференциалды таралу заңы. Ықтималдық тығыздық графигі деп аталады таралу қисығы.

4.4-мысал. 4.3-мысалдағы деректерге сүйене отырып, кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығын табыңыз. X.

Шешім. Кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығын оның таралу функциясының туындысы ретінде табамыз f(x) = Ф"(x).

◄

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының қасиеттерін атап өтейік.

1. Ықтималдық тығыздығы теріс емес функция, яғни.

Геометриялық түрде интервалға түсу ықтималдығы [ α , β ,] жоғарыдан таралу қисығымен шектелген және [ кесіндісіне негізделген фигураның ауданына тең. α , β ,] (Cурет 4.4).

Күріш. 4.4 сур. 4.5

3. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясын формула бойынша ықтималдық тығыздығы арқылы көрсетуге болады.:

Геометриялық қасиеттер 1 Және 4 ықтималдық тығыздығы оның графигі – таралу қисығы – абсцисса осінен төмен емес, ал таралу қисығы мен абсцисса осімен шектелген фигураның жалпы ауданы бірге тең екенін білдіреді.

4.5-мысал.Функция f(x) түрінде берілген:

Табу: а) мән А; б) үлестіру функциясының өрнегі Ф(X); в) кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xаралықта мән қабылдайды.

Шешім. а) Ол үшін f(x) кейбір кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы болды X, ол теріс болмауы керек, сондықтан мән теріс емес болуы керек А. Мүлік берілген 4 табамыз:

, қайда А = .

б) Қасиетті пайдаланып үлестіру функциясын табамыз 3 :

Егер x≤ 0, онда f(x) = 0, демек, Ф(x) = 0.

Егер 0< x≤ 2, содан кейін f(x) = X/2 және сондықтан

Егер X> 2, содан кейін f(x) = 0, демек

в) Кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xсегментте мән қабылдайды, біз оны сипат арқылы табамыз 2 .

Күтілетін мән

ДисперсияМүмкін мәндері бүкіл Ox осіне жататын үздіксіз Х кездейсоқ шама теңдікпен анықталады:

Қызметтің мақсаты. Онлайн калькулятор кез келген мәселелерді шешуге арналған таралу тығыздығы f(x) немесе тарату функциясы F(x) (мысалды қараңыз). Әдетте мұндай тапсырмаларда сіз табуыңыз керек математикалық күту, стандартты ауытқу, f(x) және F(x) функцияларының графиктері.

Нұсқаулар. Бастапқы деректер түрін таңдаңыз: тарату тығыздығы f(x) немесе тарату функциясы F(x).

Бөлу тығыздығы f(x) берілген:

F(x) таралу функциясы берілген:

Үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдық тығыздығы арқылы анықталады
(Рэлей таралу заңы – радиотехникада қолданылады). M(x) , D(x) табыңыз.

Кездейсоқ шама X деп аталады үздіксіз , егер оның таралу функциясы F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы кездейсоқ шаманың берілген интервалға түсу ықтималдығын есептеу үшін қолданылады:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Сонымен қатар, үздіксіз кездейсоқ шама үшін оның шекаралары осы интервалға кіре ме, жоқ па маңызды емес:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Таралу тығыздығы үздіксіз кездейсоқ шаманы функция деп атайды
f(x)=F’(x) , таралу функциясының туындысы.

Таралу тығыздығының қасиеттері

1. Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы x-тің барлық мәндері үшін теріс емес (f(x) ≥ 0).
2. Нормализация шарты:

Нормалау шартының геометриялық мағынасы: таралу тығыздығы қисығы астындағы аудан бірлікке тең.
3. Х кездейсоқ шамасының α-дан β аралығындағы интервалға түсу ықтималдығын формула арқылы есептеуге болады.

Геометриялық тұрғыдан алғанда (α, β) интервалға түсетін үздіксіз Х кездейсоқ шамасының ықтималдығы осы интервалға негізделген таралу тығыздығы қисығы астындағы қисық сызықты трапеция ауданына тең.
4. Тарату функциясы тығыздық бойынша былай өрнектеледі:

Х нүктесіндегі таралу тығыздығының мәні үздіксіз кездейсоқ шама үшін бұл мәнді қабылдау ықтималдығына тең емес, берілген интервалға түсу ықтималдығы туралы ғана айтуға болады; болсын)