Түзу призманың формуласының негізі. Призма. Шешімі бар есептердің мысалдары
Нұсқаулар
Негізінде жатқан көпбұрыш дұрыс, яғни барлық қабырғалары тең және дұрыс емес болуы мүмкін. Егер призманың табаны дұрыс болса, онда оның ауданын S = 1/2P*r формуласымен есептеуге болады, мұндағы S - аудан, P - көпбұрыш (оның барлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы) және r. көпбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.
Көпбұрышты тең бөліктерге бөлу арқылы дұрыс көпбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын көзбен елестетуге болады. Әрбір үшбұрыштың төбесінен үшбұрыштың негізі болып табылатын көпбұрыштың бүйіріне түсірілген биіктік сызылған шеңбердің радиусы болады.
Егер көпбұрыш дұрыс емес болса, онда призманың ауданын есептеу үшін оны үшбұрыштарға бөліп, әр үшбұрыштың ауданын бөлек табу керек. Үшбұрыштардың аудандарын S = 1/2bh формуласы арқылы табамыз, мұнда S - үшбұрыштың ауданы, b - оның қабырғасы, h - b жағына түсірілген биіктік. Көпбұрышты құрайтын барлық үшбұрыштардың аудандарын есептеп болғаннан кейін, призма табанының жалпы ауданын алу үшін осы аудандарды қоссаңыз жеткілікті.
Тақырып бойынша бейнеролик
Дереккөздер:
- призма ауданы
Геометрияда параллелепипед – алты параллелограммнан құралған үш өлшемді сан (ромбоид термині де кейде осы мағынада қолданылады).
Нұсқаулар
Евклид геометриясында ол барлық төрт ұғымды (яғни, параллелепипед, параллелограмм, текше және шаршы) қамтиды. Бұрыштары дифференциалданбайтын геометрияның бұл контекстінде оның анықтамасы тек параллелограмм мен параллелепипедке мүмкіндік береді. Үш баламалы анықтама:
* әрқайсысы параллелограмм болатын алты беті () бар көпбұрыш,
* үш жұп параллель шеттері бар алтыбұрыш,
* призма, ол параллелограмм.
Параллелепипедтің көлемі оның табанының – А және биіктігінің – H мәндерінің жиынтығы болып табылады. Табаны – параллелепипедтің алты бетінің бірі. Биіктік - негіз мен қарама-қарсы жақ арасындағы перпендикуляр қашықтық.
Параллелепипедтің көлемін анықтаудың альтернативті әдісі оның = (A1, A2, A3), b = (B1, B2, B3) векторлары арқылы жүзеге асырылады. Сондықтан параллелепипедтің көлемі үш мәннің абсолютті мәніне тең - a (b × c):
A = |b | |c | бұл жағдайда қателік дәрежесі θ = |b × c |,
мұндағы θ - b және c арасындағы бұрыш және биіктік
H = |a |, өйткені α,
мұндағы α – a мен h арасындағы ішкі бұрыш.
Тақырып бойынша бейнеролик
Көптеген нақты объектілер параллелепипедтің пішініне ие. Мысалы, бөлме мен бассейн. Мұндай пішінді бөлшектер өнеркәсіпте сирек емес. Осы себепті берілген фигураның көлемін табу міндеті жиі туындайды.
Нұсқаулар
Параллелепипед – табаны параллелограмм болатын призма. Параллелепипедтің беттері бар - бұл фигураны құрайтын барлық жазықтықтар. Оның барлығы алты беті бар, олардың барлығы параллелограммдар. Оның қарама-қарсы қабырғалары тең және бір-біріне параллель. Сонымен қатар, оның бір нүктеде қиылысатын және сол нүктеде екіге бөлінетін диагональдары бар.
Параллелепипедтің екі түрі. Біріншісі үшін барлық беттер параллелограммдар, ал екіншісі үшін олар тіктөртбұрыштар. Олардың соңғысы тікбұрышты параллелепипед деп аталады. Оның барлық беттері тікбұрышты, ал бүйір беттері негізге перпендикуляр. Егер тікбұрышты нысанның төртбұрышты беттері болса, онда ол текше деп аталады. Бұл жағдайда оның беттері мен . Шет - параллелепипедті қамтитын кез келген көпбұрыштың жағы.
Тапсырманың шарттарын орындау үшін. Кәдімгі параллелепипедтің табанында параллелограмм болады, ал тікбұрыштыда әрқашан тік бұрыштары болатын тіктөртбұрыш немесе шаршы болады. Егер параллелограмм параллелепипедтің табанында жатса, онда оның көлемі келесі түрде табылады:
V=S*H, мұндағы S – табанының ауданы, H – параллелепипедтің биіктігі
Параллелепипедтің биіктігі әдетте оның бүйір жиегі болып табылады. Параллелепипедтің табанында тіктөртбұрыш емес параллелограм да болуы мүмкін. Планиметрия курсынан параллелограмның ауданы мынаған тең екенін білеміз:
S=a*h, мұндағы h – параллелограмның биіктігі, а – табанының ұзындығы, яғни. :
V=a*hp*H
Егер екінші жағдай орын алса, параллелепипедтің негізі тіктөртбұрыш болса, онда көлем бірдей формула бойынша есептеледі, бірақ табанның ауданы сәл басқа жолмен табылады:
V=S*H,
S=a*b, мұндағы a және b сәйкесінше тіктөртбұрыштың қабырғалары және параллелепипедтің шеттері.
V=a*b*H
Текшенің көлемін табу үшін қарапайым логикалық әдістерді қолдану керек. Текшенің барлық беттері мен жиектері тең, ал текшенің негізі шаршы болғандықтан, жоғарыдағы формулаларды пайдалана отырып, келесі формуланы шығаруға болады:
V=a^3
Геометрияда параллелепипед – алты параллелограммнан тұратын үш өлшемді сан. Параллелепипедтің пішіні барлық жерде кездеседі. Мәселен, мысалы, қонақ үйлер мен тұрғын үйлер, бөлмелер мен бассейндер және т.б. Көптеген өндірістік бөліктерде де осындай пішін бар, сондықтан берілген фигураның көлемін табу міндеті жиі туындайды.
Нұсқаулар
Дегенмен, параллелепипедтің екінші түрі де бар, оның барлық беттері тікбұрышты, ал бүйірлері негізге перпендикуляр орналасқан. Мұндай параллелепипед тікбұрышты деп аталады. Сіз қарама-қарсы жақтарды білуіңіз керек параллелепипедбір-біріне тең және бұл фигураның бір нүктеде қиылысатын диагональдары да бар, бұл оларды екіге бөледі.
Қай параллелепипедтің (қарапайым немесе тікбұрышты) көлемін білу керектігін шешіңіз.
Егер параллелепипед кәдімгі болса (түбінде параллелограмм бар). Фигураның негізін және биіктігін табыңыз. Ереже бойынша параллелепипедтің көлемін есептеңіз, параллелепипедтің биіктігі фигураның бүйір қыры болып табылады;
Көрсетілген әдіске қосымша параллелепипедтің көлемін келесі жолмен білуге болады. Ауданды табыңыз. Ол үшін төмендегі S=a*h формуласы арқылы есептеулер жүргізіңіз, мұндағы бұл формуладағы h – фигураның биіктігі, ал параллелограмм табанының ұзындығы.
V=a*hp*H формуласы арқылы параллелепипедтің көлемін табыңыз, мұндағы формуладағы p – фигураның табанының периметрі. Егер есепте тік бұрышты параллелепипед берілсе, онда көлемді сол формула бойынша табуға болады: V=S*H.
Дегенмен, фигураның табанының ауданы келесідей болады: S=a*b, мұндағы формуладағы a және b тіктөртбұрыштың қабырғалары және сәйкесінше параллелепипедтің шеттері. V=a*b*H формуласы арқылы фигураның көлемін табыңыз.
Тақырып бойынша бейнеролик
5-кеңес: параллелепипедтің табаны арқылы көлемін қалай табуға болады
Параллелепипед деп табаны мен бүйір беттері параллелограмм болатын үш өлшемді геометриялық фигураны, көпбұрышты түсінеміз. Параллелепипедтің негізі бұл көпбұрыш көзбен «жатқан» төртбұрыш болып табылады. Параллелепипедтің табаны арқылы көлемін табу өте оңай.
Нұсқаулар
Жоғарыда айтылғандай, параллелепипедтің негізі. Параллелепипедті табу үшін оның табанында жатқан параллелограммның ауданын табу керек. Бұл үшін деректерге байланысты бірнеше формулалар бар:
S = a*h, мұндағы a - параллелограммның қабырғасы, h - осы жағына сызылған биіктік;
S = a*b*sinα, мұндағы a және b - параллелограммның қабырғалары, α - осы қабырғалардың арасындағы бұрыш.
1-мысал: Параллелограммның бір қабырғасы 15 см, осы жағына түсірілген биіктіктің ұзындығы 10 см, онда бұл фигураның жазықтықтағы ауданын табу үшін, екеуінің біріншісі жоғарыда көрсетілген формулалар қолданылады:
S = 10*15 = 150 см²
Жауабы: Параллелограмның ауданы 150 см²
Енді параллелограммның ауданын қалай табуға болатындығын анықтағаннан кейін, параллелепипедтің көлемін табуға болады. формула арқылы табуға болады:
V = S*h, мұнда h - осы параллелепипедтің биіктігі, S - оның орны жоғарыда талқыланған табанының ауданы.
Жоғарыда шешілген мәселені қамтитын мысалды қарастыруға болады:
Параллелограмның негізгі ауданы 150 см², оның биіктігі, айталық, 40 см, осы параллелепипедтің көлемін табу керек. Бұл мәселе жоғарыдағы формула арқылы шешіледі:
V = 150*40 = 6000 см³
Параллелепипедтің бір түрі - тікбұрышты параллелепипед, оның бүйір беттері мен табаны тіктөртбұрыштар. Бұл фигураның көлемін табу, көлемін анықтау жоғарыда талқыланған тұрақты параллелепипедтің көлемін табудан да оңай:
V = a*b*c, мұндағы a, b, c — осы параллелепипедтің ұзындығы, ені және биіктігі.
Мысалы: Тік бұрышты параллелепипед үшін табанының ұзындығы мен ені 12 см және 14 см, бүйір бетінің ұзындығы (биіктігі) 14 см, фигураның көлемін есептеу керек. Мәселе келесі жолмен шешіледі:
V = 12*14*14 = 2352 см³
Жауабы: тік бұрышты параллелепипедтің көлемі 2352 см³
Параллелепипед – табанында параллелограммы бар призма (көп қырлы). Параллелепипедтің алты қабырғасы, сонымен қатар параллелограммдары бар. Параллелепипедтің бірнеше түрі бар: тікбұрышты, түзу, көлбеу және текше.
Нұсқаулар
Төрт қабырға беті тіктөртбұрыштар болатын тік параллелепипед. Есептеу үшін негіздің ауданын биіктікке көбейту керек - V = Sh. Түзудің негізі параллелограмм болсын. Сонда табанның ауданы оның жағы мен осы жағына тартылған биіктіктің көбейтіндісіне тең болады - S=ac. Сонда V=ach.
Тік бұрышты параллелепипед – алты беті барлығы тіктөртбұрышты параллелепипед. Мысалдар: , сіріңке қорабы. Ол үшін негіздің ауданын биіктікке көбейту керек - V=Sh. Бұл жағдайда негіздің ауданы - тіктөртбұрыштың ауданы, яғни оның екі қабырғасының мәндерінің көбейтіндісі - S=ab, мұндағы a - ені, b - ұзындығы. Сонымен, біз қажетті көлемді аламыз - V=abh.
Көлбеу параллелепипед деп бүйір беттері негіз беттеріне перпендикуляр емес параллелепипедті айтады. Бұл жағдайда көлем негіздің ауданы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең - V=Sh. Көлбеу параллелепипедтің биіктігі кез келген жоғарғы төбеден бүйір бетінің табанының сәйкес жағына (яғни кез келген бүйір бетінің биіктігі) түскен перпендикуляр кесінді.
Текше - барлық шеттері тең және барлық алты беті шаршы болатын тік параллелепипед. Көлемі негіз ауданы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең - V=Sh. Негіз - шаршы, негіздің ауданы оның екі қабырғасының көбейтіндісіне тең, яғни қабырғасының квадратының өлшемі. Кубтың биіктігі бірдей мән, сондықтан бұл жағдайда көлем үшінші дәрежеге көтерілген текше жиегінің мәні болады - V=a³.
назар аударыңыз
Параллелепипедтің табандары әрқашан бір-біріне параллель болады, бұл призманың анықтамасынан туындайды.
Пайдалы кеңес
Параллелепипедтің өлшемдері оның шеттерінің ұзындығы болып табылады.
Көлем әрқашан параллелепипедтің табанының ауданы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең.
Көлбеу параллелепипедтің көлемін бүйір жиегінің өлшемі мен оған перпендикуляр кесіндінің ауданының көбейтіндісі ретінде есептеуге болады.
Параллелепипед – призманың ерекше жағдайы. Оның айрықша ерекшелігі барлық беттердің төртбұрышты пішінінде, сондай-ақ бір-біріне қарама-қарсы орналасқан әрбір жұп жазықтықтың параллельділігінде жатыр. Бұл суреттің ішіндегі көлемді есептеудің жалпы формуласы, сондай-ақ осындай алтыбұрыштың ерекше жағдайлары үшін бірнеше жеңілдетілген нұсқалары бар.
Нұсқаулар
Параллелепипедтің табанының ауданын (S) есептеуден бастаңыз. Көлемдік фигураның осы жазықтығын құрайтын төртбұрыштың қарама-қарсы жақтары анықтамасы бойынша параллель болуы керек және олардың арасындағы бұрыш кез келген болуы мүмкін. Сондықтан беттің ауданын оның екі іргелес шеттерінің (a және b) ұзындығын олардың арасындағы бұрышқа (?) көбейту арқылы анықтаңыз: S=a*b*sin(?).
Алынған мәнді а және b жақтары бар ортақ үш өлшемді бұрыш құрайтын параллелепипедтің (c) шетінің ұзындығына көбейтіңіз. Бұл жиек жататын бүйір беті, анықтамасы бойынша, параллелепипедке перпендикуляр болуы міндетті емес болғандықтан, есептелген мәнді бүйір бетінің көлбеу бұрышының (?) синусына көбейтіңіз: V=S*c* күнә(?). Жалпы, ерікті параллелепипедті есептеу формуласын былай жазуға болады: V=a*b*c*sin(?)*sin(?). Мысалы, параллелепипедтің табанында шеттерінің ұзындығы 15 және 25 және олардың арасындағы бұрышы 30°, ал бүйір беттері 40° көлбеу және ұзындығы 20 см болатын бет болсын. Сонда бұл көрсеткіш 15*25*20*sin(30°)*sin(40°) тең болады? 7500*0,5*0,643 ? 2411,25 см?.
Егер сізге тікбұрышты параллелепипедтің көлемін есептеу қажет болса, онда формуланы айтарлықтай жеңілдетуге болады. 90° синусы біреуге тең болғандықтан, формуладан бұрыштарға арналған түзетулерді алып тастауға болады, бұл параллелепипедтің үш іргелес шеттерінің ұзындықтарын көбейтуге жеткілікті болады: V=a*b* в. Мысалы, алдыңғы қадамдағы мысалда пайдаланылған жиектерінің ұзындығы бар фигура үшін көлем 15 * 25 * 20 = 7500 см болады?
Одан да қарапайым формула текшенің көлемін есептеуге арналған - барлық шеттерінің ұзындығы бірдей тікбұрышты параллелепипед. Қажет мәнді алу үшін осы жиектің ұзындығын (a) текшеңіз: V=a?. Мысалы, барлық шеттерінің ұзындығы 15 см-ге тең төртбұрышты параллелепипедтің көлемі 153 = 3375 см болады?
Тақырып бойынша бейнеролик
Тіктөртбұрышты параллелепипед - барлық беттері тіктөртбұрыштардан тұратын призма. Оның қарама-қарсы беттері тең және параллель, ал екі беттің қиылысуынан пайда болған бұрыштары тік. Тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табу өте қарапайым.
Саған қажет болады
- Тік бұрышты параллелепипедтің ұзындығы, ені және биіктігі.
Нұсқаулар
Ең алдымен, бұл түрді қалыптастыратын беттер тіктөртбұрыштар екенін атап өткен жөн. Оның ауданы жұп қабырғаларын бір-біріне көбейту арқылы табылады. Басқаша айтқанда, тіктөртбұрыштың ұзындығы a, ал ені b болсын. Сонда оның ауданы a*b түрінде есептеледі.
Осыған сүйене отырып, барлық қарама-қарсы беттердің бір-біріне тең екендігі айқын болады. Бұл негізге де қатысты - фигура «тұратын» бет.
Тік бұрышты параллелепипедтің биіктігі бүйір параллелепипедтің ұзындығына тең. Биіктік тұрақты шама болып қалады, бұл тікбұрышты параллелепипедтің анықтамасынан анық. Енді формуланы пайдалану үшін оны келесідей көрсетуге болады:
V = a*b*c = S*c, мұндағы с – биіктік.
Есептеудің қарапайымдылығына қарамастан, біз мысалды қарастыруымыз керек:
Сізге тік бұрышты параллелепипед берілді делік, табанының ұзындығы мен ені 9 және 7 см, ал биіктігі 17 см, фигураның көлемін табу керек. Бірінші қадам - бұл параллелепипедтің негізгі ауданын табу: 9 * 7 = 63 шаршы см
Әрі қарай есептелген мән биіктікке көбейтіледі: 63*17 = 1071 см.
Жауабы: Тік бұрышты параллелепипедтің көлемі 1071 см3
Тақырып бойынша бейнеролик
назар аударыңыз
Тік бұрышты параллелепипедтің ұзындығы, ені және биіктігі параметрлер деп аталады. Егер тік бұрышты параллелепипедте барлық параметрлер тең болса, онда фигура текше болады. Анықтамаға сүйене отырып, текшеде әрбір бет шаршы болып табылады. Сондықтан мұндай параллелепипедтің көлемін беттің мәнін үшінші дәрежеге көтеру арқылы анықтайды:
S = a³
Анықтама 1. Призмалық бет
Теорема 1. Призмалық беттің параллель қималары туралы
Анықтама 2. Призматикалық беттің перпендикуляр қимасы
Анықтама 3. Призма
Анықтама 4. Призманың биіктігі
Анықтама 5. Оң жақ призма
Теорема 2. Призманың бүйір бетінің ауданы
Параллелепипед:
Анықтама 6. Параллелепипед
Теорема 3. Параллелепипедтің диагональдарының қиылысуы туралы
Анықтама 7. Оң жақ параллелепипед
Анықтама 8. Тік бұрышты параллелепипед
Анықтама 9. Параллелепипедтің өлшемдері
Анықтама 10. Текше
Анықтама 11. Ромбогэдр
Теорема 4. Тік бұрышты параллелепипедтің диагональдары туралы
Теорема 5. Призманың көлемі
Теорема 6. Түзу призманың көлемі
Теорема 7. Тік бұрышты параллелепипедтің көлемі
Призмаекі беті (негіздері) параллель жазықтықта жататын, ал бұл беттерде жатпайтын қырлары бір-біріне параллель болатын көпбұрыш болып табылады.
Негіздерден басқа беттер деп аталады бүйірлік.
Бүйірлік беттер мен негіздердің жақтары деп аталады призма қабырғалары, жиектерінің ұштары деп аталады призманың төбелері. Бүйір қабырғаларынегіздеріне жатпайтын жиектер деп аталады. Бүйірлік беттердің бірігуі деп аталады призманың бүйір беті, және барлық беттердің бірігуі деп аталады призманың толық беті. Призманың биіктігіжоғарғы табан нүктесінен төменгі табан жазықтығына түсірілген перпендикуляр немесе осы перпендикулярдың ұзындығы деп аталады. 
Тікелей призмабүйір қабырғалары табандарының жазықтықтарына перпендикуляр болатын призма деп аталады. 
Дұрыстүзу призма деп аталады (3-сурет), оның негізінде дұрыс көпбұрыш жатыр.
Белгілері:
l - бүйірлік қабырға;
P - базалық периметр;
S o - базалық аудан;
H - биіктігі;
P^ - перпендикуляр қиманың периметрі;
S b - бүйір бетінің ауданы;
V - көлем;
S p – призманың жалпы бетінің ауданы.
|
V=SH |
*Әрбір екі кезекті жазықтық қиылысады, ал соңғы жазықтық біріншісін қиып өтеді деп болжанады
Теорема 1 . Призматикалық беттің бір-біріне параллель (бірақ оның шеттеріне параллель емес) жазықтықтағы кесінділері тең көпбұрыштар болып табылады.
ABCDE және A"B"C"D"E" призматикалық беттің екі параллель жазықтықпен кесінділері болсын.Осы екі көпбұрыштың тең екендігіне көз жеткізу үшін ABC және A"B"C" үшбұрыштары тең екенін көрсету жеткілікті. тең және айналу бағыты бірдей және бұл АҚШ және A"B"D, ABE және A"B"E" үшбұрыштарына да қатысты. Бірақ бұл үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары екі параллель жазықтықпен белгілі бір жазықтықтың қиылысу сызығы сияқты параллель (мысалы, АС параллель); параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары сияқты бұл қабырғалардың тең (мысалы, АС А «С»-ке тең) болатыны және осы қабырғалардың құрайтын бұрыштары тең және бірдей бағытта болатыны шығады.
Анықтама 2 . Призмалық беттің перпендикуляр қимасы деп осы беттің оның шеттеріне перпендикуляр жазықтықтың кесіндісін айтады. Алдыңғы теоремаға сүйене отырып, бір призматикалық беттің барлық перпендикуляр қималары тең көпбұрыштар болады.
Анықтама 3
. Призма - бұл призматикалық бетпен және бір-біріне параллель екі жазықтықпен шектелген полиэдр (бірақ призмалық беттің шеттеріне параллель емес)
Осы соңғы жазықтықта жатқан беттер деп аталады призмалық негіздер; призматикалық бетке жататын беттер - бүйір беттері; призматикалық беттің шеттері - призманың бүйір қабырғалары. Алдыңғы теореманың күші бойынша призманың негізі болып табылады тең көпбұрыштар. Призманың барлық бүйір беттері - параллелограммдар; барлық бүйір қабырғалары бір-біріне тең.
Әлбетте, егер ABCDE призмасының табаны және АА шеттерінің бірі» өлшемі мен бағыты бойынша берілсе, онда BB», CC», ... АА шетіне тең және параллельді сызу арқылы призманы салуға болады» .
Анықтама 4 . Призманың биіктігі - оның табандарының жазықтықтарының арасындағы қашықтық (HH").
Анықтама 5
. Призманың табандары призмалық беттің перпендикуляр қималары болса, оны түзу деп атайды. Бұл жағдайда призманың биіктігі, әрине, оның бүйір қабырғасы; бүйір жиектері болады төртбұрыштар.
Призмаларды оның негізі ретінде қызмет ететін көпбұрыштың қабырғаларының санына тең бүйір беттерінің санына қарай жіктеуге болады. Сонымен, призмалар үшбұрышты, төртбұрышты, бесбұрышты және т.б.
2-теорема
. Призманың бүйір бетінің ауданы бүйір жиегі мен перпендикуляр қиманың периметрінің көбейтіндісіне тең.
ABCDEA"B"C"D"E" берілген призма және оның перпендикуляр қимасы abcde болсын, ab, bc, .. кесінділері оның бүйір шеттеріне перпендикуляр болсын. ABA"B" беті параллелограмм; оның ауданы AA негізінің « ab-мен сәйкес келетін биіктікке көбейтіндісіне тең; ВСВ «С» бетінің ауданы вк биіктігіне ВВ» негізінің көбейтіндісіне тең және т.б. Демек, бүйір беті (яғни, бүйірлік беттер аудандарының қосындысы) көбейтіндіге тең. бүйірлік жиектің, басқаша айтқанда, AA», ВВ», .. сегменттерінің жалпы ұзындығы ab+bc+cd+de+ea сомасына.
Стереометрия курсының мектеп бағдарламасында үш өлшемді фигураларды зерттеу әдетте қарапайым геометриялық денеден – призманың көпбұрышынан басталады. Оның табандарының рөлін параллель жазықтықта жатқан 2 тең көпбұрыштар атқарады. Ерекше жағдай - тұрақты төртбұрышты призма. Оның табандары параллелограммдар (немесе призма көлбеу болмаса тіктөртбұрыштар) тәрізді қабырғалары перпендикуляр болатын 2 бірдей дұрыс төртбұрыш болып табылады.
Призма неге ұқсайды?
Дұрыс төртбұрышты призма – алтыбұрыш, оның табандары 2 шаршы, ал бүйір беттері тіктөртбұрыштармен бейнеленген. Бұл геометриялық фигураның тағы бір атауы – түзу параллелепипед.
Төменде төртбұрышты призманы көрсететін сызба көрсетілген.
Суретте де көруге болады геометриялық денені құрайтын ең маңызды элементтер. Оларға мыналар жатады:
Кейде геометриялық есептерде қима ұғымын кездестіруге болады. Анықтама келесідей естіледі: қима дегеніміз - қиюшы жазықтыққа жататын көлемдік дененің барлық нүктелері. Бөлім перпендикуляр болуы мүмкін (фигураның шеттерін 90 градус бұрышпен қиып өтеді). Тіктөртбұрышты призма үшін 2 шетінен және табанның диагональдарынан өтетін диагональды қима да қарастырылады (салуға болатын қималардың ең көп саны 2).
Егер кесінді қиюшы жазықтық не табандарға да, бүйір беттеріне де параллель болмайтындай етіп сызылған болса, нәтиже қиық призма болады.
Келтірілген призмалық элементтерді табу үшін әртүрлі қатынастар мен формулалар қолданылады. Олардың кейбіреулері планиметрия курсынан белгілі (мысалы, призма табанының ауданын табу үшін шаршы ауданының формуласын еске түсіру жеткілікті).
Бетінің ауданы және көлемі
Призманың көлемін формула бойынша анықтау үшін оның табанының ауданы мен биіктігін білу керек:
V = Sbas h
Дұрыс тетраэдрлік призманың табаны қабырғасы бар шаршы болғандықтан а,Сіз формуланы толығырақ түрде жаза аласыз:
V = a²·h
Егер біз текше туралы айтатын болсақ - ұзындығы, ені және биіктігі бірдей тұрақты призма, көлем келесідей есептеледі:
Призманың бүйір бетінің ауданын қалай табуға болатынын түсіну үшін оның дамуын елестету керек.
Сызбадан бүйір бетінің 4 бірдей төртбұрыштан тұратынын көруге болады. Оның ауданы негіздің периметрі мен фигураның биіктігінің көбейтіндісі ретінде есептеледі:
Sside = Posn h
шаршының периметрі тең екенін ескере отырып P = 4a,формула келесі форманы алады:
Sside = 4a сағ
текше үшін:
Sside = 4a²
Призманың жалпы бетінің ауданын есептеу үшін бүйірлік аймаққа 2 негіз аймағын қосу керек:
Sfull = Sside + 2Smain
Төртбұрышты дұрыс призмаға қатысты формула келесідей болады:
Барлығы = 4a сағ + 2a²
Кубтың бетінің ауданы үшін:
Sfull = 6a²
Көлемді немесе бетінің ауданын біле отырып, сіз геометриялық дененің жеке элементтерін есептей аласыз.
Призманың элементтерін табу
Көбінесе көлем берілген немесе бүйір бетінің ауданы мәні белгілі болатын мәселелер бар, мұнда негіздің жағының ұзындығын немесе биіктігін анықтау қажет. Мұндай жағдайларда формулаларды шығаруға болады:
- негізгі жағының ұзындығы: a = Sside / 4h = √(V / h);
- биіктігі немесе бүйір қабырғасының ұзындығы: h = Sside / 4a = V / a²;
- базалық ауданы: Sbas = V / сағ;
- бүйірлік бет аймағы: Бүйір gr = Sside / 4.
Диагональ қимасының ауданы қанша екенін анықтау үшін диагональ ұзындығы мен фигураның биіктігін білу керек. Шаршы үшін d = a√2.Сондықтан:
Сдиаг = ah√2
Призманың диагоналін есептеу үшін мына формуланы пайдаланыңыз:
dprise = √(2a² + h²)
Берілген қатынастарды қалай қолдану керектігін түсіну үшін бірнеше қарапайым тапсырмаларды орындауға және шешуге болады.
Шешімі бар есептердің мысалдары
Мұнда математикадан мемлекеттік бітіру емтихандарынан табылған кейбір тапсырмалар берілген.
1-жаттығу.
Құм кәдімгі төртбұрышты призма тәрізді қорапқа құйылады. Оның деңгейінің биіктігі 10 см, егер сіз оны бірдей пішіндегі, бірақ екі есе ұзындықтағы ыдысқа жылжытсаңыз, құм деңгейі қандай болады?
Оны келесідей дәлелдеу керек. Бірінші және екінші ыдыстардағы құм мөлшері өзгерген жоқ, яғни олардағы оның көлемі бірдей. Негіздің ұзындығын арқылы белгілеуге болады а. Бұл жағдайда бірінші қорап үшін заттың көлемі:
V₁ = га² = 10a²
Екінші қорап үшін негіздің ұзындығы 2а, бірақ құм деңгейінің биіктігі белгісіз:
V₂ = h (2a)² = 4га²
Өйткені V₁ = V₂, өрнектерді теңестіре аламыз:
10a² = 4га²
Теңдеудің екі жағын а²-ға азайтқаннан кейін мынаны аламыз:
Нәтижесінде жаңа құм деңгейі болады h = 10/4 = 2,5см.
2-тапсырма.
ABCDA₁B₁C₁D₁ дұрыс призма. BD = AB₁ = 6√2 екені белгілі. Дененің жалпы бетінің ауданын табыңыз.
Қандай элементтер белгілі екенін түсінуді жеңілдету үшін фигураны салуға болады.
Біз дұрыс призма туралы айтып отырғандықтан, табанында диагоналы 6√2 шаршы бар деп қорытынды жасауға болады. Бүйірлік беттің диагоналы бірдей өлшемге ие, сондықтан бүйір бетінің де негізіне тең шаршы пішіні бар. Ұзындық, ені және биіктігі үш өлшемнің барлығы бірдей болып шығады. ABCDA₁B₁C₁D₁ текше деген қорытынды жасауға болады.
Кез келген жиектің ұзындығы белгілі диагональ арқылы анықталады:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Жалпы бетінің ауданы текше формуласы арқылы табылады:
Sfull = 6a² = 6 6² = 216
3-тапсырма.
Бөлме жөндеуден өтіп жатыр. Оның едені алаңы 9 м² болатын шаршы пішінді екені белгілі. Бөлменің биіктігі 2,5 м, егер 1 м² 50 рубль болса, бөлмені тұсқағазға салудың ең төменгі құны қандай?
Еден мен төбе төртбұрыштар, яғни дұрыс төртбұрыштар және оның қабырғалары горизонталь беттерге перпендикуляр болғандықтан, оны дұрыс призма деп қорытындылауға болады. Оның бүйір бетінің ауданын анықтау қажет.
Бөлменің ұзындығы a = √9 = 3м.
Аймақ тұсқағаздармен жабылады Sside = 4 3 2,5 = 30 м².
Бұл бөлме үшін тұсқағаздың ең төменгі құны болады 50·30 = 1500рубль болды
Сонымен, тікбұрышты призмаға қатысты есептерді шешу үшін шаршы мен тік төртбұрыштың ауданы мен периметрін есептей білу, сонымен қатар көлем мен бет ауданын табу формулаларын білу жеткілікті.
Кубтың ауданын қалай табуға болады
Түзу призма туралы жалпы мәліметтер
Призманың бүйір беті (дәлірек айтқанда, бүйір бетінің ауданы) деп аталады сомабүйірлік беттердің аймақтары. Призманың толық беті бүйір беті мен табандарының аудандарының қосындысына тең.
Теорема 19.1. Түзу призманың бүйір беті табанының периметрі мен призманың биіктігінің көбейтіндісіне, яғни бүйір жиегінің ұзындығына тең.
Дәлелдеу. Түзу призманың бүйір беттері тіктөртбұрыштар. Бұл тіктөртбұрыштардың табандары призманың табанында жатқан көпбұрыштың қабырғалары, ал биіктіктері бүйір қырларының ұзындығына тең. Бұдан призманың бүйір беті тең болатыны шығады
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
мұндағы a 1 және n - табан қырларының ұзындығы, p - призма табанының периметрі, I - бүйір қырларының ұзындығы. Теорема дәлелденді.
Практикалық тапсырма
Мәселе (22) . Көлбеу призмада ол орындалады бөлім, бүйірлік қабырғаларға перпендикуляр және барлық бүйір қабырғаларды қиып өтеді. Призманың бүйір бетін табыңыз, егер қиманың периметрі p-ке, ал бүйір қырлары l-ге тең болса.
Шешім. Сызылған қиманың жазықтығы призманы екі бөлікке бөледі (411-сурет). Олардың біреуін призма негіздерін біріктіре отырып, параллель аударуға бағындырайық. Бұл жағдайда табаны бастапқы призманың көлденең қимасы, ал бүйір қырлары l-ге тең болатын түзу призманы аламыз. Бұл призманың бүйір беті түпнұсқадағыдай бірдей. Сонымен, бастапқы призманың бүйір беті пл-ге тең.
Өтілген тақырыптың қысқаша мазмұны
Енді призмалар туралы өткен тақырыпты қорытындылауға тырысайық және призманың қандай қасиеттері бар екенін еске түсірейік.
Призманың қасиеттері
Біріншіден, призманың барлық негіздері тең көпбұрыштар ретінде болады;
Екіншіден, призмада оның барлық бүйір беттері параллелограммдар;
Үшіншіден, призма сияқты көп қырлы фигурада барлық бүйір қырлары тең болады;
Сондай-ақ, призмалар сияқты көп қырлылардың түзу немесе көлбеу болуы мүмкін екенін есте ұстаған жөн.
Қандай призманы түзу призма деп атайды?
Призманың бүйір қыры оның табанының жазықтығына перпендикуляр орналасса, ондай призманы түзу деп атайды.
Түзу призманың бүйір беттері тіктөртбұрыштар екенін еске түсіру артық болмас.
Призманың қандай түрі қиғаш деп аталады?
Бірақ егер призманың бүйір жиегі оның табанының жазықтығына перпендикуляр орналаспаса, онда оны көлбеу призма деп сенімді түрде айта аламыз.
Қандай призма дұрыс деп аталады?
Егер дұрыс көпбұрыш түзу призманың табанында жатса, онда мұндай призма дұрыс болады.
Енді кәдімгі призманың қасиеттерін еске түсірейік.
Дұрыс призманың қасиеттері
Біріншіден, дұрыс көпбұрыштар әрқашан дұрыс призманың негізі ретінде қызмет етеді;
Екіншіден, дұрыс призманың бүйір беттерін қарастыратын болсақ, олар әрқашан тең төртбұрыштар болады;
Үшіншіден, егер сіз бүйірлік қабырғалардың өлшемдерін салыстырсаңыз, онда кәдімгі призмада олар әрқашан тең болады.
Төртіншіден, дұрыс призма әрқашан түзу болады;
Бесіншіден, егер дұрыс призмада бүйір беттер квадраттар пішініне ие болса, онда мұндай фигураны әдетте жартылай дұрыс көпбұрыш деп атайды.
Призманың көлденең қимасы
Енді призманың көлденең қимасын қарастырайық:
Үй жұмысы
Енді есептер шығару арқылы өткен тақырыпты бекітуге тырысайық.
Көлбеу үшбұрышты призманы салайық, оның шеттерінің арақашықтығы тең болады: 3 см, 4 см және 5 см, ал бұл призманың бүйір беті 60 см2-ге тең болады. Осы параметрлерге ие бола отырып, осы призманың бүйір жиегін табыңыз.
Сіз білесіз бе, геометриялық фигуралар бізді үнемі қоршап тұрады, тек геометрия сабақтарында ғана емес, сонымен қатар күнделікті өмірде де сол немесе басқа геометриялық фигураға ұқсайтын заттар бар.
Үйде, мектепте немесе жұмыста кез келген адамның жүйелік блогы тік призма тәрізді пішінді компьютері бар.
Егер сіз қарапайым қарындашты алсаңыз, қарындаштың негізгі бөлігі призма екенін көресіз.
Қаланың орталық көшесімен келе жатып, аяғымыздың астында алтыбұрышты призма тәрізді плитка жатқанын көреміз.
А.В.Погорелов, Геометрия 7-11 сыныптарға арналған, Оқулық оқу орындарына арналған.
Призманың бүйір бетінің ауданы. Сәлеметсіз бе! Бұл басылымда біз стереометрия мәселелерінің тобын талдаймыз. Денелердің қосындысын – призма мен цилиндрді қарастырайық. Қазіргі уақытта бұл мақала стереометриядағы тапсырмалар түрлерін қарастыруға байланысты мақалалардың барлық сериясын аяқтайды.
Егер тапсырмалар банкінде жаңалары пайда болса, онда, әрине, болашақта блогқа толықтырулар болады. Бірақ емтиханның бір бөлігі ретінде қысқа жауап арқылы барлық мәселелерді шешуді үйрену үшін қазірдің өзінде бар нәрсе жеткілікті. Алдағы жылдарға материал жеткілікті болады (математика бағдарламасы статикалық).
Ұсынылған тапсырмалар призманың ауданын есептеуді қамтиды. Төменде біз түзу призманы (және сәйкесінше, түзу цилиндрді) қарастырамыз.
Ешбір формулаларды білмей-ақ, біз призманың бүйір беті оның барлық бүйір беттері екенін түсінеміз. Түзу призманың тік бұрышты бүйір беттері бар.
Мұндай призманың бүйір бетінің ауданы оның барлық бүйір беттерінің (яғни тіктөртбұрыштар) аудандарының қосындысына тең. Егер цилиндр сызылған кәдімгі призма туралы айтатын болсақ, онда бұл призманың барлық беттері ТЕҢ тіктөртбұрыштар екені анық.
Формальды түрде дұрыс призманың бүйір бетінің ауданын келесідей көрсетуге болады:
27064. Табанының радиусы мен биіктігі 1-ге тең болатын дұрыс төртбұрышты призма цилиндрдің айналасында сызылған. Призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Бұл призманың бүйір беті ауданы бірдей төрт төртбұрыштан тұрады. Беттің биіктігі 1, призма табанының шеті 2 (бұл цилиндрдің екі радиусы), сондықтан бүйір бетінің ауданы мынаған тең:
Бүйір бетінің ауданы:
73023. Табанының радиусы √0,12 және биіктігі 3 болатын цилиндрге сызылған дұрыс үшбұрышты призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Берілген призманың бүйір бетінің ауданы үш бүйір бетінің (тіктөртбұрыш) аудандарының қосындысына тең. Бүйірлік беттің ауданын табу үшін оның биіктігін және негіз жиегінің ұзындығын білу керек. Биіктігі үш. Негізгі жиектің ұзындығын табайық. Проекцияны қарастырыңыз (жоғарғы көрініс):
Бізде радиусы √0,12 шеңбер сызылған дұрыс үшбұрыш бар. AOC тікбұрышты үшбұрышынан айнымалы токты таба аламыз. Содан кейін AD (AD=2AC). Тангенстің анықтамасы бойынша:
Бұл AD = 2AC = 1,2 дегенді білдіреді, осылайша, бүйір бетінің ауданы мынаған тең.
27066. Табанының радиусы √75 және биіктігі 1 болатын цилиндрге сызылған дұрыс алтыбұрышты призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Қажетті аудан барлық бүйір беттерінің аудандарының қосындысына тең. Дұрыс алтыбұрышты призманың бүйір беттері бірдей тіктөртбұрыштар.
Беттің ауданын табу үшін оның биіктігін және негіз жиегінің ұзындығын білу керек. Биіктігі белгілі, ол 1-ге тең.
Негізгі жиектің ұзындығын табайық. Проекцияны қарастырыңыз (жоғарғы көрініс):
Бізде радиусы √75 шеңбер сызылған дұрыс алтыбұрыш бар.
АВО тікбұрышты үшбұрышын қарастырайық. Біз OB аяғын білеміз (бұл цилиндрдің радиусы). АОБ бұрышын да анықтай аламыз, ол 300-ге тең (AOC үшбұрышы тең қабырғалы, ОБ биссектрисасы).
Тікбұрышты үшбұрыштағы жанама анықтамасын қолданайық:
AC = 2AB, өйткені OB медиана болып табылады, яғни ол AC екіге бөледі, бұл AC = 10 дегенді білдіреді.
Осылайша, бүйір бетінің ауданы 1∙10=10, ал бүйір бетінің ауданы:
76485. Табанының радиусы 8√3, биіктігі 6 болатын цилиндрге іштей сызылған дұрыс үшбұрышты призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Үш өлшемді беттердің (тіктөртбұрыштардың) көрсетілген призманың бүйір бетінің ауданы. Ауданды табу үшін призма табанының жиегінің ұзындығын білу керек (биіктігі бізге белгілі). Егер проекцияны қарастырсақ (жоғарғы көрініс), бізде шеңберге сызылған дұрыс үшбұрыш бар. Бұл үшбұрыштың қабырғасы радиуспен өрнектеледі:
Бұл қатынастың егжей-тегжейлері. Сондықтан тең болады
Сонда бүйір бетінің ауданы: 24∙6=144. Және қажетті аумақ:
245354. Негізгі радиусы 2 болатын цилиндрдің айналасында дұрыс төртбұрышты призма сызылған. Призманың бүйір бетінің ауданы 48. Цилиндрдің биіктігін табыңыз.
