Бүтін және натурал сандар. Бүтін сандар: жалпы көрініс. Бүтін сандар қатары

Натурал сандар - бұл барлық басталған сандар. Бүгінгі күні бұл адам балалық шағында саусақпен немесе таяқшамен санауды үйренген кезде өмірінде кездесетін алғашқы сандар.

Анықтамасы: Натурал сандар - объектілерді санау үшін қолданылатын сандар (1, 2, 3, 4, 5, ...) [0 саны натурал емес. Оның математика тарихында өзіндік тарихы бар және натурал сандардан әлдеқайда кейінірек пайда болды.]

Барлық натурал сандар жиыны (1, 2, 3, 4, 5, ...) N әрпімен белгіленеді.

Бүтін сандар

Санауды үйренгеннен кейін, келесі жұмысымыз - сандарға арифметикалық амалдарды орындауды үйрену. Әдетте, алдымен қосу және азайту (санақ таяқшалары арқылы) үйретіледі.

Қосымша арқылы бәрі түсінікті: кез келген екі натурал санды қосқанда нәтиже әрқашан бірдей натурал сан болады. Бірақ азайтуда біз үлкенді кішіден алып тастай алмайтынымызды анықтаймыз, осылайша нәтиже натурал сан болады. (3 − 5 = не?) Бұл жерде теріс сандар идеясы пайда болады. (Теріс сандар енді натурал сандар емес)

Теріс сандардың пайда болу кезеңінде (және олар бөлшекке қарағанда кейінірек пайда болды)оларды бос сөз деп санайтын қарсыластары да болды. (Саусағыңызда үш нысанды көрсетуге болады, он көрсетуге болады, мың нысанды ұқсастықпен көрсетуге болады. Ал «минус үш қап» дегеніміз не? - Ол кезде сандар белгілі бір мәннен бөлек қолданылған. объектілер, олардың саны әлі күнге дейін адамдардың санасында осы нақты субъектілерге қазіргіден әлдеқайда жақын болды.) Бірақ, қарсылықтар сияқты, теріс сандардың пайдасына негізгі дәлел тәжірибеден келді: теріс сандар ыңғайлы түрде жасауға мүмкіндік берді. қарыздарды санау. 3 − 5 = −2 - 3 тиыным бар еді, 5 тиын жұмсадым. Бұл менің тиыным таусылып қана қоймай, біреуге 2 тиын қарыз болдым деген сөз. Біреуін қайтарсам, қарыз −2+1=−1 өзгереді, бірақ теріс санмен де көрсетілуі мүмкін.

Нәтижесінде математикада теріс сандар пайда болды, енді бізде натурал сандар шексіз (1, 2, 3, 4, ...) және олардың қарама-қарсы саны бірдей (−1, −2, −) 3, −4 , ...). Оларға тағы да 0 қосайық.Және осы барлық сандар жиынын бүтін сандар деп атаймыз.

Анықтамасы: Натурал сандар, олардың қарама-қарсы сандары және нөл бүтін сандар жиынын құрайды. Ол Z әрпімен белгіленеді.

Кез келген екі бүтін санды бір-бірінен азайтуға немесе бүтін санды қосуға болады.

Бүтін сандарды қосу идеясы қазірдің өзінде қосудың жылдам әдісі ретінде көбейту мүмкіндігін ұсынады. Егер бізде әрқайсысы 6 килограмнан 7 қап болса, біз 6+6+6+6+6+6+6 қоса аламыз (ағымдағы жиынтыққа 6-ны жеті рет қосыңыз) немесе мұндай операция әрқашан нәтиже беретінін есте сақтай аламыз. 42. Алты жетіні қосқандай, 7+7+7+7+7+7 де әрқашан 42 береді.

Қосу операциясының нәтижелері белгіліөзіңізбен сандар белгілі 2-ден 9-ға дейінгі барлық жұп сандардың рет саны жазылады және көбейту кестесі құрастырылады. 9-дан үлкен бүтін сандарды көбейту үшін бағанды ​​көбейту ережесі ойлап шығарылады. (Бұл ондық бөлшектерге де қатысты және ол келесі мақалалардың бірінде талқыланады.) Кез келген екі бүтін сандарды бір-біріне көбейткенде, нәтиже әрқашан бүтін сан болады.

Рационал сандар

Енді бөлу. Алу амалы қосудың кері операциясы болғандықтан, біз бөлу идеясына көбейтудің кері операциясы ретінде келеміз.

Бізде 6 килограммдық 7 қап болған кезде, көбейтуді қолдана отырып, қаптардағы жалпы салмағы 42 келі екенін оңай есептедік. Біз барлық қаптардың барлық мазмұнын салмағы 42 келі болатын бір ортақ қадаға құйдық деп елестетейік. Содан кейін олар ойларын өзгертіп, мазмұнын 7 пакетке қайта таратпақ болды. Бір дорбаға теңдей таратсақ неше килограмм болады? – Әлбетте, 6.

42 килограмды 6 қапқа таратсақ ше? Бұл жерде біз 7 келілік 6 қапты үйіндіге құйсақ, дәл осындай 42 килограмм алуға болатынын ойлаймыз. Ал бұл 42 килограмды 6 қапқа тең бөлгенде бір қапта 7 келі шығады деген сөз.

42 килограмды 3 қапқа тең бөлсеңіз ше? Мұнда да біз 3-ке көбейткенде 42 болатын санды таңдай бастаймыз. «Кестелік» мәндер үшін, 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 жағдайындағыдай, біз бөлуді орындаймыз. көбейту кестесін еске түсіру арқылы орындалады. Неғұрлым күрделі жағдайлар үшін бағандарды бөлу қолданылады, ол келесі мақалалардың бірінде талқыланады. 3 және 42 жағдайында 3 · 14 = 42 екенін есте сақтау үшін «таңдауға» болады. Бұл 42:3 = 14 дегенді білдіреді. Әр қапта 14 келі салмақ болады.

Енді 42 килограмды 5 қапқа тең бөліп көрейік. 42:5=?
5 · 8 = 40 (аз), 5 · 9 = 45 (көп) екенін байқаймыз. Яғни, 5 қаптан 42 келі, қапта 8 келі де, 9 келі де алмаймыз. Сонымен қатар, шын мәнінде кез келген мөлшерді (мысалы, дәнді дақылдарды) 5 тең бөлікке бөлуге ештеңе кедергі келтірмейтіні анық.

Бүтін сандарды бір-біріне бөлу операциясы міндетті түрде бүтін санға әкелмейді. Бөлшек ұғымына осылай келдік. 42:5 = 42/5 = 8 бүтін 2/5 (бөлшектермен есептелетін болса) немесе 42:5 = 8,4 (ондық бөлшектермен есептелсе).

Жай және ондық бөлшектер

Кез келген жай бөлшек m/n (m – кез келген бүтін сан, n – кез келген натурал сан) жай ғана m санын n санына бөлу нәтижесін жазудың ерекше түрі деп айта аламыз. (m – бөлшектің алымы, n – бөлгіш деп аталады) Мысалы, 25 санын 5 санына бөлудің нәтижесін 25/5 жай бөлшек түрінде де жазуға болады. Бірақ бұл қажет емес, өйткені 25-ті 5-ке бөлудің нәтижесін жай 5 бүтін сан ретінде жазуға болады. (Және 25/5 = 5). Бірақ 25 санын 3 санына бөлу нәтижесін енді бүтін сан ретінде көрсету мүмкін емес, сондықтан бұл жерде бөлшекті пайдалану қажеттілігі туындайды, 25:3 = 25/3. (Бүтін бөлікті 25/3 = 8 бүтін 1/3 деп ажыратуға болады. Жай бөлшектер мен жай бөлшектермен амалдар келесі мақалаларда толығырақ қарастырылады.)

Қарапайым бөлшектердің жақсы жағы кез келген екі бүтін санды бөлудің нәтижесін осындай бөлшек түрінде көрсету үшін дивидендті бөлшектің алымы мен бөлгішті бөліміне жазу керек. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Содан кейін, мүмкін болса, бөлшекті азайтыңыз және/немесе бүтін бөлікті оқшаулаңыз (бұл әрекеттер қарапайым бөлшектермен келесі мақалаларда егжей-тегжейлі талқыланатын болады). Мәселе мынада: жай бөлшектермен арифметикалық амалдарды (қосу, азайту) орындау бүтін сандар сияқты ыңғайлы емес.

Жазуға ыңғайлы болу үшін (бір жолға) және есептеулерге ыңғайлы болу үшін (жай бүтін сандар сияқты бағанда есептеу мүмкіндігімен) жай бөлшектерден басқа, ондық бөлшектер де ойлап табылды. Ондық бөлшек деп бөлгіші 10, 100, 1000, т.б арнайы жазылған жай бөлшекті айтады. Мысалы, 7/10 жай бөлшек 0,7 ондық бөлшекпен бірдей. (8/100 = 0,08; 2 бүтін 3/10 = 2,3; 7 бүтін 1/1000 = 7, 001). Бөлек мақала жай бөлшектерді ондық бөлшектерге және керісінше түрлендіруге арналады. Ондық бөлшектермен амалдар – басқа артикльдер.

Кез келген бүтін санды бөлгіші 1 болатын жай бөлшек түрінде беруге болады. (5=5/1; −765=−765/1).

Анықтамасы: Бөлшек түрінде беруге болатын барлық сандар рационал сандар деп аталады. Рационал сандар жиыны Q әрпімен белгіленеді.

Кез келген екі бүтін санды бір-біріне бөлгенде (0-ге бөлуден басқа) нәтиже әрқашан рационал сан болады. Жай бөлшектер үшін кез келген екі бөлшекпен сәйкес операцияны орындауға және нәтижесінде рационал санды (бөлшек немесе бүтін сан) алуға мүмкіндік беретін қосу, алу, көбейту және бөлу ережелері бар.

Рационал сандар жиыны біз қарастырған жиындардың біріншісі болып табылады, онда қосуға, азайтуға, көбейтуге және бөлуге (0-ге бөлуді қоспағанда), ешқашан осы жиынның шекарасынан шықпай (яғни әрқашан рационалды алуға болады) нәтижесінде саны).

Басқа сандар жоқ сияқты, барлық сандар ұтымды. Бірақ бұл да дұрыс емес.

Нақты сандар

m/n бөлшек түрінде көрсетуге болмайтын сандар бар (мұндағы m – бүтін сан, n – натурал сан).

Бұл қандай сандар? Біз дәрежеге шығару операциясын әлі қарастырған жоқпыз. Мысалы, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Көбейту қосуды жазудың және есептеудің ыңғайлы түрі болғаны сияқты, дәрежеге шығару да бір санның көбейтіндісін белгілі бір санды өздігінен жазудың түрі болып табылады.

Бірақ енді экспоненциацияның кері операциясын – түбірді шығаруды қарастырайық. 16-ның квадрат түбірі - квадраты 16-ны беретін сан, яғни 4 саны. 9-ның квадрат түбірі 3-ке тең. Бірақ 5 немесе 2-нің квадрат түбірін, мысалы, рационал санмен көрсету мүмкін емес. (Осы мәлімдеменің дәлелі, иррационал сандардың басқа мысалдары және олардың тарихын, мысалы, Уикипедиядан табуға болады)

9-сыныптағы ЖИА-да жазылуында түбірі бар санның рационал немесе иррационал екенін анықтау тапсырмасы берілген. Тапсырма - бұл санды түбірі жоқ пішінге түрлендіруге тырысу (түбірлердің қасиеттерін пайдалану). Егер сіз түбірден құтыла алмасаңыз, онда бұл сан қисынсыз.

Иррационал санның тағы бір мысалы - геометрия мен тригонометриядан бастап бәріне таныс π саны.

Анықтамасы: Рационал және иррационал сандар бірге нақты (немесе нақты) сандар деп аталады. Барлық нақты сандар жиыны R әрпімен белгіленеді.

Рационал сандарға қарағанда нақты сандарда түзудің немесе жазықтықтың кез келген екі нүктесінің арасындағы қашықтықты өрнектей аламыз.
Егер сіз түзу сызып, оның үстінен екі ерікті нүктені таңдасаңыз немесе жазықтықтағы екі ерікті нүктені таңдасаңыз, бұл нүктелер арасындағы дәл қашықтықты рационал сан ретінде көрсету мүмкін емес болып шығуы мүмкін. (Мысалы – катеттері 1 және 1 болатын тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы Пифагор теоремасы бойынша екі түбірге – яғни иррационал санға тең болады. Бұған тетрадалық ұяшық диагоналының дәл ұзындығы да кіреді. (бүтін қабырғалары бар кез келген идеал квадраттың диагоналының ұзындығы).
Ал нақты сандар жиынында түзудегі, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі кез келген қашықтықты сәйкес нақты санмен өрнектеуге болады.

Бұл мақалада біз бүтін сандар жиынын анықтаймыз, қандай бүтін сандар оң, қайсысы теріс деп аталатынын қарастырамыз. Сондай-ақ белгілі бір шамадағы өзгерістерді сипаттау үшін бүтін сандар қалай қолданылатынын көрсетеміз. Бүтін сандардың анықтамасы мен мысалдарынан бастайық.

Бүтін сандар. Анықтама, мысалдар

Алдымен ℕ натурал сандарды еске түсірейік. Атаудың өзі бұл сандар ерте заманнан бері санау үшін қолданылған сандар екенін көрсетеді. Бүтін сандар ұғымын қамту үшін натурал сандар анықтамасын кеңейту қажет.

Анықтама 1. Бүтін сандар

Бүтін сандар – натурал сандар, олардың қарама-қарсы сандары және нөл саны.

Бүтін сандар жиыны ℤ әрпімен белгіленеді.

ℕ натурал сандар жиыны ℤ бүтін сандардың ішкі жиыны болып табылады. Әрбір натурал сан бүтін сан, бірақ әрбір бүтін сан натурал сан емес.

Анықтамадан 1, 2, 3 сандарының кез келгені бүтін сан екені шығады. . , 0 саны, сонымен қатар - 1, - 2, - 3, сандары. .

Осыған сәйкес біз мысалдар келтіреміз. 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 сандары бүтін сандар.

Координаталық түзу горизонталь жүргізіліп, оңға бағытталсын. Жолдағы бүтін сандардың орнын визуализациялау үшін оны қарастырайық.

Координаталық түзудегі басы 0 санына, ал нөлдің екі жағында жатқан нүктелер оң және теріс бүтін сандарға сәйкес келеді. Әрбір нүкте бір бүтін санға сәйкес келеді.

Координатасы бүтін сан болатын түзудің кез келген нүктесіне басынан бірлік сегменттерінің белгілі бір санын бөліп қою арқылы жетуге болады.

Оң және теріс бүтін сандар

Барлық бүтін сандардан оң және теріс бүтін сандарды ажырату қисынды. Олардың анықтамаларын берейік.

Анықтама 2: оң бүтін сандар

Оң бүтін сандар қосу таңбасы бар бүтін сандар.

Мысалы, 7 саны қосу таңбасы бар бүтін сан, яғни натурал сан. Координаталық түзуде бұл сан 0 саны ретінде қабылданған тірек нүктесінің оң жағында жатыр. Натурал сандардың басқа мысалдары: 12, 502, 42, 33, 100500.

Анықтама 3: Теріс бүтін сандар

Теріс бүтін сандар минус таңбасы бар бүтін сандар.

Теріс бүтін сандарға мысалдар: - 528, - 2568, - 1.

0 саны оң және теріс бүтін сандарды бөледі және өзі оң да, теріс те емес.

Натурал санға қарама-қарсы кез келген сан, анықтамасы бойынша теріс бүтін сан болып табылады. Керісінше де шындық. Кез келген теріс бүтін санға кері сан натурал сан болады.

Теріс және оң бүтін сандар анықтамаларының басқа тұжырымдарын нөлмен салыстыру арқылы беруге болады.

4-анықтама: оң бүтін сандар

Оң бүтін сандар нөлден үлкен бүтін сандар.

Анықтама 5: Теріс бүтін сандар

Теріс бүтін сандар нөлден кіші бүтін сандар.

Сәйкесінше, оң сандар координаталық түзуде басының оң жағында, ал теріс бүтін сандар нөлдің сол жағында жатады.

Натурал сандар бүтін сандардың ішкі жиыны екенін жоғарыда айттық. Осы жайды нақтылап көрейік. Натурал сандар жиыны натурал сандардан тұрады. Өз кезегінде, теріс бүтін сандар жиыны натурал сандарға қарама-қарсы сандар жиыны болып табылады.

Маңызды!

Кез келген натурал санды бүтін сан деп атауға болады, бірақ кез келген бүтін санды натурал сан деп атауға болмайды. Теріс сандар натурал сандар ма деген сұраққа жауап бергенде, біз батыл айтуымыз керек - жоқ, олар жоқ.

Оң емес және теріс емес бүтін сандар

Кейбір анықтамалар берейік.

Анықтама 6. Теріс емес бүтін сандар

Теріс емес бүтін сандар оң бүтін сандар және нөл саны.

Анықтама 7. Оң емес бүтін сандар

Оң емес бүтін сандар теріс бүтін сандар және нөл саны болып табылады.

Көріп отырғаныңыздай, нөл саны оң да, теріс те емес.

Теріс емес бүтін сандарға мысалдар: 52, 128, 0.

Оң емес бүтін сандарға мысалдар: - 52, - 128, 0.

Теріс емес сан - нөлден үлкен немесе оған тең сан. Сәйкесінше, оң емес бүтін сан нөлден кіші немесе тең сан болып табылады.

Қысқалық үшін «оң емес сан» және «теріс емес сан» терминдері қолданылады. Мысалы, а саны нөлден үлкен немесе оған тең бүтін сан деп айтудың орнына: а - теріс емес бүтін сан деп айтуға болады.

Шамалардағы өзгерістерді сипаттау үшін бүтін сандарды пайдалану

Бүтін сандар не үшін қолданылады? Ең алдымен, олардың көмегімен кез келген объектілердің сандық өзгерістерін сипаттауға және анықтауға ыңғайлы. Мысал келтірейік.

Қоймада иінді біліктердің белгілі бір саны сақталсын. Қоймаға тағы 500 иінді білік әкелінсе, олардың саны артады. 500 саны бөліктер санының өзгеруін (ұлғаюын) дәл білдіреді. Егер қоймадан 200 бөлік алынса, онда бұл сан иінді біліктердің санының өзгеруін де сипаттайды. Бұл жолы төмен.

Егер қоймадан ештеңе алынбаса және ештеңе жеткізілмесе, онда 0 саны бөлшектер санының өзгеріссіз қалғанын көрсетеді.

Натурал сандарға қарағанда бүтін сандарды қолданудың айқын ыңғайлылығы олардың таңбасы мәннің өзгеру бағытын (өсу немесе кему) анық көрсетеді.

Температураның 30 градусқа төмендеуі теріс бүтін санмен - 30, ал 2 градусқа артуы - оң бүтін 2 санымен сипатталуы мүмкін.

Бүтін сандарды қолдану арқылы тағы бір мысал келтірейік. Бұл жолы біз біреуге 5 тиын беруіміз керек деп елестетейік. Сонда, бізде бар деп айта аламыз - 5 монета. 5 саны қарыздың мөлшерін сипаттайды, ал минус белгісі тиындарды беруіміз керек екенін көрсетеді.

Егер бір адамға 2 тиын, екіншісіне 3 тиын қарыз болса, онда жалпы қарызды (5 тиын) теріс сандарды қосу ережесі арқылы есептеуге болады:

2 + (- 3) = - 5

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Теріс сандар алғаш рет Ежелгі Қытай мен Үндістанда қолданылған, Еуропада оларды математикалық қолданысқа Николас Чукет (1484) және Майкл Штифель (1544) енгізген.

Алгебралық қасиеттер

$\backslash mathbb(Z)$екі бүтін санға бөлу кезінде жабылмайды (мысалы, 1/2). Келесі кесте кез келген бүтін сан үшін қосу және көбейтудің бірнеше негізгі қасиеттерін көрсетеді а, бЖәне в.

	қосу	көбейту
жабықтық:	а + б- тұтас	а × б- тұтас
ассоциациялық:	а + (б + в) = (а + б) + в	а × ( б × в) = (а × б) × в
коммутативтілік:	а + б = б + а	а × б = б × а
бейтарап элементтің болуы:	а + 0 = а	а× 1 = а
қарама-қарсы элементтің болуы:	а + (−а) = 0	а≠ ±1 ⇒ 1/ абүтін сан емес
Көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділігі:	а × ( б + в) = (а × б) + (а × в)

|тақырып3= Кеңейтім құралдары
санау жүйелері |тақырып4= Сандар иерархиясы |тізім4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash лдоц$ Бүтін сандар $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Рационал сандар $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Нақты сандар
$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	Күрделі сандар

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash нүктелер$ Квартерниондар $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; нүктелер$ Октониондар $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash нүктелер$ Цедениондар |тақырып5= Басқалар
санау жүйелері

|list5=Кардиналдық сандар – Сіз оны міндетті түрде төсекке жылжытуыңыз керек, бұл жерде мүмкін емес...
Науқасты дәрігерлер, ханшайымдар мен қызметшілер қоршап алғаны сонша, Пьер басқа жүздерді көргеніне қарамастан, бүкіл қызмет барысында бір сәтке көз алдынан кетпейтін сұр жалды қызыл-сары басты көрмеді. Пьер орындықты қоршап тұрған адамдардың ұқыпты қимылынан өліп жатқан адамды көтеріп, көтеріп жатқанын түсінді.
«Менің қолымнан ұстаңыз, мені осылай тастап кетесіз», - деп ол қызметшілердің бірінің үрейленген сыбырын естиді, «төменнен... тағы біреуі бар», - деген дауыстар және оның ауыр тыныс алуы мен қадамдары. Көтеріп жүрген ауыртпалық күшінен асып кеткендей, адамдардың аяғы асыға бастады.
Тасымалдаушылар, олардың ішінде Анна Михайловна, жас жігітпен теңестірді, және бір сәтке халықтың арқасы мен артқы жағынан, ол биік, майлы, ашық кеудені көрді, науқастың майлы иықтары көтерілді. Оны қолтықтап ұстап тұрған адамдар жоғары қарай және сұр шашты, бұйра, арыстан басы. Ерекше кең маңдайы мен бет сүйегі, әдемі нәзік аузы және керемет суық көзқарасы бар бұл бас өлімнің жақындығынан айнымаған. Ол Пьер оны үш ай бұрын граф оны Петербургке жіберуге рұқсат берген кезде қалай танитын болса, дәл солай болды. Бірақ бұл бас тасымалдаушылардың біркелкі емес қадамдарынан дәрменсіз тербелді, ал суық, бейжай көзқарас қайда тоқтарын білмеді.
Биік кереуеттің төңірегінде әбігерге түскен бірнеше минут өтті; Науқасты көтерген адамдар тарап кетті. Анна Михайловна Пьердің қолын ұстап: «Венес», - деді. [Барыңыз.] Пьер онымен бірге науқас адам мерекелік күйде жатқан төсекке қарай жүрді, шамасы, жаңа ғана орындалған қасиетті рәсімге қатысты. Жастыққа басын жоғары көтеріп жатты. Оның қолдары жасыл жібек көрпеге симметриялы түрде жайылған, алақандары төмен. Пьер жақындаған кезде, граф оған тіке қарады, бірақ ол мағынасы мен мағынасын адам түсінбейтін көзқараспен қарады. Немесе бұл көзқарас көзіңіз бар болса, бір жерге қарау керек дегеннен басқа ештеңе білдірмеді немесе ол тым көп айтты. Пьер не істерін білмей тоқтады да, басшысы Анна Михайловнаға сұрақпен қарады. Анна Михайловна оған көзімен асығыс ымдап, науқастың қолын көрсетіп, ернімен сүйді. Пьер көрпеге ілініп қалмас үшін мойнын қадағалап, оның кеңесіне құлақ асып, үлкен сүйекті және етті қолды сүйді. Графтың қолы да, бетінің бірде-бір бұлшық еті дірілдеген жоқ. Пьер тағы да Анна Михайловнаға сұрақпен қарап, енді не істеу керектігін сұрады. Анна Михайловна оны көзімен кереуеттің жанында тұрған орындықты нұсқады. Пьер мойынсұнғыштықпен орындыққа отыра бастады, көздері оның қажет нәрсені жасады ма деп сұрай бастады. Анна Михайловна мақұлдағандай басын изеді. Пьер қайтадан мысырлық мүсіннің симметриялы аңғал позициясына ие болды, шамасы, оның ебедейсіз және семіз денесі соншалықты үлкен кеңістікті алып жатқанына өкініп, мүмкіндігінше кішкентай болып көріну үшін бар ақыл-ой күшін жұмсады. Ол санауға қарады. Граф Пьер тұрған кезде оның жүзі тұрған жерге қарады. Анна Михайловна өз ұстанымында әке мен бала кездесуінің осы соңғы минутының әсерлі маңыздылығын түсінетінін көрсетті. Бұл екі минутқа созылды, бұл Пьерге бір сағаттай көрінді. Кенет графтың бетінің үлкен бұлшықеттері мен әжімдерінде тремор пайда болды. Дірілдеу күшейіп, әдемі аузы бұртиды (сол кезде ғана Пьер әкесінің өліміне қаншалықты жақын екенін түсінді) және бұралған аузынан анық емес қарлығаш естілді. Анна Михайловна науқастың көзіне мұқият қарап, оған не қажет екенін анықтауға тырысып, алдымен Пьерді, содан кейін сусынды көрсетті, содан кейін князь Василий деп аталатын сұраулы сыбырмен, содан кейін көрпеге нұсқады. Науқастың көзі мен бетінде шыдамсыздық байқалды. Төсектің басында тынымсыз тұрған қызметшіге қарауға күш салды.
«Олар екінші жаққа бұрылғысы келеді», - деп сыбырлады қызметші және графтың ауыр денесін қабырғаға қарату үшін орнынан тұрды.
Пьер қызметшіге көмектесу үшін орнынан тұрды.
Граф төңкеріліп жатқанда оның бір қолы дәрменсіз артқа құлады да, оны сүйретуге босқа күш салды. Граф Пьердің осы жансыз қолға қараған сұмдық түрін байқады ма, әлде сол сәтте оның өліп бара жатқан басынан басқа қандай ойлар жыпылықтағанын байқады ма, бірақ ол бағынбайтын қолына, Пьердің жүзіндегі қорқыныштың көрінісіне қарады. қолында, ал бетінде оның мінезіне сәйкес келмейтін әлсіз, азапты күлімсіреу пайда болды, ол өзінің әлсіздігін мазақ етті. Кенет, бұл күлімсіреуді көргенде, Пьер кеудесі дірілдеп, мұрны шымшып, көз жасы бұлыңғыр болды. Науқас қабырғаға бүйіріне қаратылған. Ол күрсінді.
«Il est assoupi, [Ол ұйықтап қалды», - деді Анна Михайловна ханшайымның оның орнына келе жатқанын байқап. – Аллонс. [Келейік.]
Пьер кетіп қалды.

Осы мақаладағы ақпарат жалпы түсінік береді бүтін сандар. Алдымен бүтін сандардың анықтамасы беріліп, мысалдар келтіріледі. Әрі қарай, сан түзуіндегі бүтін сандарды қарастырамыз, осыдан қай сандар оң бүтін сандар, қайсысы теріс бүтін сандар деп аталатыны белгілі болады. Осыдан кейін шамалардың өзгеруі бүтін сандар арқылы қалай сипатталатыны көрсетіледі, ал теріс бүтін сандар қарыз мағынасында қарастырылады.

Бетті шарлау.

Бүтін сандар – анықтама және мысалдар

Анықтама.

Бүтін сандар– бұл натурал сандар, нөл саны, сонымен қатар натурал сандарға қарама-қарсы сандар.

Бүтін сандардың анықтамасында 1, 2, 3, …, 0 саны, сондай-ақ −1, −2, −3, … сандарының кез келгені бүтін сан болып табылады. Енді біз оңай әкеле аламыз бүтін сандарға мысалдар. Мысалы, 38 саны бүтін сан, 70 040 саны да бүтін сан, нөл бүтін сан (нөлдің натурал САН ЕМЕС, нөл бүтін сан екенін есте сақтаңыз), −999, −1, −8,934,832 сандары да бүтін сандарға мысалдар.

Барлық бүтін сандарды бүтін сандар тізбегі ретінде көрсету ыңғайлы, оның келесі формасы бар: 0, ±1, ±2, ±3, ... Бүтін сандар тізбегін былай жазуға болады: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Бүтін сандардың анықтамасынан натурал сандар жиыны бүтін сандар жиынының ішкі жиыны екендігі шығады. Демек, әрбір натурал сан бүтін сан, бірақ әрбір бүтін сан натурал сан емес.

Координаталық түзудегі бүтін сандар

Анықтама.

Оң бүтін сандарнөлден үлкен бүтін сандар.

Анықтама.

Теріс бүтін сандарнөлден кіші бүтін сандар.

Оң және теріс бүтін сандарды координаталық түзудегі орны бойынша да анықтауға болады. Көлденең координаталық түзуде координаталары натурал сандар болатын нүктелер координаталар басының оң жағында жатады. Өз кезегінде, теріс бүтін координаталары бар нүктелер О нүктесінің сол жағында орналасқан.

Барлық натурал сандар жиыны натурал сандар жиыны екені анық. Өз кезегінде, барлық теріс бүтін сандар жиыны натурал сандарға қарама-қарсы барлық сандар жиыны болып табылады.

Сонымен қатар, кез келген натурал санды бүтін сан деп қауіпсіз айта алатынымызға назар аударайық, бірақ біз кез келген бүтін санды натурал сан деп айта алмаймыз. Біз кез келген оң бүтін санды тек натурал сан деп атай аламыз, өйткені теріс бүтін сандар мен нөл натурал сандар емес.

Оң емес және теріс емес бүтін сандар

Оң емес бүтін және теріс емес бүтін сандардың анықтамаларын берейік.

Анықтама.

Барлық натурал сандар нөл санымен бірге шақырылады теріс емес бүтін сандар.

Анықтама.

Оң емес бүтін сандар– бұлардың барлығы 0 санымен бірге теріс бүтін сандар.

Басқаша айтқанда, теріс емес бүтін сан нөлден үлкен немесе нөлге тең бүтін сан, ал оң емес бүтін сан нөлден кіші немесе нөлге тең бүтін сан.

Оң емес бүтін сандарға −511, −10,030, 0, −2 сандары мысал бола алады, ал теріс емес бүтін сандарға мысал ретінде 45, 506, 0, 900,321 сандарын береміз.

Көбінесе қысқалық үшін «оң емес бүтін сандар» және «теріс емес бүтін сандар» терминдері қолданылады. Мысалы, «а саны бүтін сан, ал а нөлден үлкен немесе нөлге тең» деген сөйлемнің орнына «a - теріс емес бүтін сан» деп айтуға болады.

Бүтін сандар арқылы шамалардың өзгеруін сипаттау

Бірінші кезекте бүтін сандар не үшін қажет екендігі туралы айтатын кез келді.

Бүтін сандардың негізгі мақсаты – олардың көмегімен кез келген объектілердің санындағы өзгерістерді сипаттауға ыңғайлы. Мұны мысалдар арқылы түсінейік.

Қоймада бөлшектердің белгілі бір саны болсын. Егер, мысалы, қоймаға тағы 400 деталь әкелінсе, онда қоймадағы бөлшектердің саны артады, ал 400 саны бұл сандық өзгерісті оң бағытта (өсуде) білдіреді. Егер, мысалы, қоймадан 100 бөлік алынса, онда қоймадағы бөлшектердің саны азаяды, ал 100 саны теріс бағытта (төмен қарай) санның өзгеруін білдіреді. Бөлшектер қоймаға әкелінбейді, ал бөлшектер қоймадан алынбайды, онда бөлшектердің тұрақты саны туралы айтуға болады (яғни, санның нөлдік өзгеруі туралы айтуға болады).

Келтірілген мысалдарда бөліктер санының өзгеруін сәйкесінше 400, −100 және 0 бүтін сандары арқылы сипаттауға болады. 400 бүтін оң сан санның оң бағытта (өсу) өзгеруін көрсетеді. Теріс бүтін −100 санның теріс бағытта өзгеруін (азаюын) білдіреді. 0 бүтін саны шаманың өзгеріссіз қалатынын көрсетеді.

Натурал сандарды қолданумен салыстырғанда бүтін сандарды қолданудың ыңғайлылығы мынада: шаманың өсу немесе кемуін анық көрсетудің қажеті жоқ – бүтін сан өзгерісті сандық түрде көрсетеді, ал бүтін санның таңбасы өзгеріс бағытын көрсетеді.

Бүтін сандар санның өзгеруін ғана емес, кейбір шаманың өзгеруін де көрсете алады. Мұны температураның өзгеруінің мысалы арқылы түсінейік.

Температураның, айталық, 4 градусқа жоғарылауы 4 натурал санмен өрнектеледі. Температураның, мысалы, 12 градусқа төмендеуін −12 теріс бүтін санмен сипаттауға болады. Ал температураның инварианттылығы оның 0 бүтін санымен анықталатын өзгерісі.

Теріс бүтін сандарды қарыз сомасы ретінде түсіндіру туралы бөлек айту керек. Мысалы, егер бізде 3 алма болса, онда 3 натурал саны біздегі алмалар санын білдіреді. Екінші жағынан, егер біреуге 5 алма беру керек болса, бірақ бізде олар жоқ болса, онда бұл жағдайды −5 теріс бүтін саны арқылы сипаттауға болады. Бұл жағдайда бізде −5 алма бар, минус таңбасы қарызды, ал 5 саны қарызды көрсетеді.

Теріс бүтін санды қарыз ретінде түсіну, мысалы, теріс бүтін сандарды қосу ережесін негіздеуге мүмкіндік береді. Мысал келтірейік. Егер біреу бір адамға 2 алма, екіншісіне 1 алма қарыз болса, онда жалпы қарыз 2+1=3 алмаға тең, демек −2+(−1)=−3.

Әдебиеттер тізімі.

• Виленкин Н.Я. және т.б.. Математика. 6-сынып: Жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық.

Натурал сандар қатарының сол жағына 0 санын қоссақ, аламыз натурал сандар қатары:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Теріс бүтін сандар

Шағын мысалды қарастырайық. Сол жақтағы суретте 7 °C температураны көрсететін термометр көрсетілген. Температура 4 °C төмендесе, термометр 3 °C жылуды көрсетеді. Температураның төмендеуі азайту әрекетіне сәйкес келеді:

Ескерту: барлық градустар С (Цельсий) әрпімен жазылады, градус белгісі саннан бос орынмен бөлінеді. Мысалы, 7 °C.

Температура 7 °C төмендесе, термометр 0 °C көрсетеді. Температураның төмендеуі азайту әрекетіне сәйкес келеді:

Температура 8 °C төмендесе, термометр -1 °C (нөлден 1 °C төмен) көрсетеді. Бірақ 7 - 8-ді азайтудың нәтижесін натурал сандар мен нөл арқылы жазуға болмайды.

Натурал сандар қатарын пайдаланып азайтуды көрсетейік:

1) 7 санынан солға қарай 4 санды санап 3 шығады:

2) 7 санынан солға қарай 7 санды санап 0 шығады:

Натурал сандар қатарында 7 санынан солға қарай 8 санды санау мүмкін емес. 7 - 8 әрекеттерін орындау үшін оң бүтін сандар ауқымын кеңейтеміз. Ол үшін нөлдің сол жағына барлық натурал сандарды ретімен жазамыз (оңнан солға қарай), олардың әрқайсысына - таңбасын қосып, бұл сан нөлдің сол жағында екенін көрсетеді.

Жазбалар -1, -2, -3, ... минус 1, минус 2, минус 3 және т.б. оқылады:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Алынған сандар қатары деп аталады бүтін сандар қатары. Бұл жазбаның сол және оң жағындағы нүктелер қатарды оңға және солға шексіз жалғастыруға болатынын білдіреді.

Бұл қатардағы 0 санының оң жағында шақырылған сандар орналасқан табиғинемесе оң бүтін сандар(қысқаша - оң).

Бұл қатардағы 0 санының сол жағында шақырылған сандар орналасқан бүтін теріс(қысқаша - теріс).

0 саны бүтін сан, бірақ оң сан да, теріс сан да емес. Ол оң және теріс сандарды ажыратады.

Демек, бүтін сандар қатары теріс бүтін сандар, нөл және оң бүтін сандардан тұрады.

Бүтін сандарды салыстыру

Екі бүтін санды салыстыр- қайсысы үлкен, қайсысы кіші екенін анықтау немесе сандардың тең екенін анықтау.

Бүтін сандар қатарын пайдаланып бүтін сандарды салыстыруға болады, өйткені қатар бойымен солдан оңға қарай жылжытсаңыз, ондағы сандар кішіден ең үлкенге қарай орналасады. Сондықтан бүтін сандар қатарында үтірлерді кіші белгісімен ауыстыруға болады:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Демек, екі бүтін сан қатардың оң жағындағы сан үлкенірек, ал сол жақтағы сан кішірек болады, білдіреді:

1) Кез келген оң сан нөлден үлкен және кез келген теріс саннан үлкен:

1 > 0; 15 > -16

2) нөлден кіші кез келген теріс сан:

7 < 0; -357 < 0

3) Екі теріс санның бүтін сандар қатарының оң жағындағысы үлкен.