Kaip apskaičiuoti vektorių modulių taškinį sandaugą. Taškinis vektorių sandauga. Vektoriaus ilgis. Taškinis produktas koordinatėmis

Paskaita: Vektorių koordinatės; taškinis vektorių sandauga; kampas tarp vektorių

Vektorių koordinatės

Taigi, kaip minėta anksčiau, vektoriai yra kryptinis segmentas, turintis savo pradžią ir pabaigą. Jei pradžią ir pabaigą vaizduoja kai kurie taškai, tada jie turi savo koordinates plokštumoje ar erdvėje.

Jei kiekvienas taškas turi savo koordinates, tada galime gauti viso vektoriaus koordinates.

Tarkime, kad turime kokį nors vektorių, kurio vektoriaus pradžia ir pabaiga turi šiuos žymėjimus ir koordinates: A (A x; Ay) ir B (B x; By)

Norint gauti šio vektoriaus koordinates, reikia atimti atitinkamas pradžios koordinates iš vektoriaus pabaigos koordinačių:

Norėdami nustatyti vektoriaus koordinates erdvėje, naudokite šią formulę:

Taškinis vektorių sandauga

Taškinį produktą galima apibrėžti dviem būdais:

• Geometrinis būdas. Anot jo, taškinis sandauga yra lygi šių modulių reikšmių sandaugai iš kampo tarp jų kosinuso.

• Algebrinė reikšmė. Algebros požiūriu dviejų vektorių taškų sandauga yra tam tikras kiekis, gaunamas kaip atitinkamų vektorių sandaugos rezultatas.

Jei vektoriai pateikiami erdvėje, turėtumėte naudoti panašią formulę:

Savybės:

• Jei du vienodus vektorius padauginsite skaliariai, tada jų taškinis sandaugas nebus neigiamas:

• Jei dviejų identiškų vektorių skaliarinė sandauga pasirodė lygi nuliui, šie vektoriai laikomi nuliais:

• Jei vektorius padauginamas iš jo, taško sandauga bus lygi jo modulio kvadratui:

• Skaliarinis produktas turi komunikacinę savybę, tai yra, skaliarinis produktas nepasikeis nuo vektorių permutacijos:

• Nulinių vektorių skaliarinis sandauga gali būti lygi nuliui, tik jei vektoriai yra statmeni vienas kitam:

• Vektorių skaliarinės sandaugos atveju poslinkio dėsnis galioja tuo atveju, jei vieną iš vektorių padaugina iš skaičiaus:

• Su taškiniu produktu taip pat galite naudoti daugybos skirstomąją savybę:

Kampas tarp vektorių

Plokštumos problemos atveju skaliarinį vektorių a \u003d (a x; a y) ir b \u003d (b x; b y) sandaugą galima rasti naudojant šią formulę:

a b \u003d a x b x + a y b y

Vektorinio taško produkto formulė erdvinėms problemoms spręsti

Erdvinės problemos atveju vektorių a \u003d (a x; a y; a z) ir b \u003d (b x; b y; b z) skaliarinį sandaugą galima rasti naudojant šią formulę:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

N-matmenų vektorių taško sandaugos formulė

N matmenų erdvės atveju vektorių a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) ir b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) skaliarinį sandaugą galima rasti naudojant šią formulę:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektorių taškinių sandaugų savybės

1. Vektoriaus skaliarinis sandauga visada yra didesnė arba lygi nuliui:

2. Skaliarinis vektoriaus sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tuo atveju, jei vektorius yra lygus nulio vektoriui:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Skaliarinis vektoriaus sandauga yra lygi jo modulio kvadratui:

4. Skaliarinio dauginimo operacija yra komunikacinė:

5. Jei dviejų nulio vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui, tai šie vektoriai yra stačiakampiai:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. Skaliarinio dauginimo operacija yra skirstomoji:

(a + b) c \u003d a c + b c

Vektorių taškų sandaugos skaičiavimo uždavinių pavyzdžiai

Vektorių taškų sandaugos, susijusios su plokštumos problemomis, apskaičiavimo pavyzdžiai

Raskite vektorių a \u003d (1; 2) ir b \u003d (4; 8) taškų sandaugą.

Sprendimas: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

Raskite a ir b vektorių skaliarinę sandaugą, jei jų ilgiai | a | \u003d 3, | b | \u003d 6, o kampas tarp vektorių yra 60˚.

Sprendimas: a b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

Raskite vektorių p \u003d a + 3b ir q \u003d 5a - 3 b skaliarinę sandaugą, jei jų ilgiai | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, o kampas tarp vektorių a ir b yra 60˚.

Sprendimas:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | a | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Erdvinių problemų vektorių taškų sandaugos apskaičiavimo pavyzdys

Raskite vektorių a \u003d (1; 2; -5) ir b \u003d (4; 8; 1) taškų sandaugą.

Sprendimas: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

N taškinių vektorių taškinio sandaugos apskaičiavimo pavyzdys

Raskite vektorių a \u003d (1; 2; -5; 2) ir b \u003d (4; 8; 1; -2) taškinį sandaugą.

Sprendimas: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Vadinamas vektorių ir vektoriaus sandauga trečiasis vektorius apibrėžta taip:

2) statmena, statmena. (1 "")

3) vektoriai yra orientuoti taip pat, kaip visos erdvės pagrindas (teigiamai arba neigiamai).

Paskirti:

Fizinė vektoriaus produkto reikšmė

- jėgos momentas taško O atžvilgiu; - spindulys yra jėgos taikymo taško vektorius, tada

be to, jei perkeltas į tašką O, tripletas turi būti orientuotas kaip bazinis vektorius.

1 apibrėžimas

Vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, lygus šių vektorių dyno ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Vektorių a → ir b → sandaugos žymėjimas turi formą a →, b →. Konvertuokime į formulę:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → ir b → žymi vektorių ilgius, a →, b → ^ žymi kampą tarp duotų vektorių. Jei bent vienas vektorius yra nulis, ty jo vertė yra 0, rezultatas bus lygus nuliui, a →, b → \u003d 0

Padauginę vektorių iš savęs, gauname jo ilgio kvadratą:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

2 apibrėžimas

Skaliarinis vektoriaus dauginimasis pats savaime vadinamas skaliariniu kvadratu.

Apskaičiuota pagal formulę:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

Žymėjimas a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → rodo, kad npb → a → yra skaitinė projekcija b →, npa → a → yra atitinkamai b → projekcija į a →.

Suformuluokime dviejų vektorių sandaugos apibrėžimą:

Dviejų vektorių a → pagal b → skaliarinė sandauga vadinama vektoriaus a → ilgiu sandauga projekcijos b → krypties a → arba ilgio b → sandaugos projekcijos a → atitinkamai.

Taškinis produktas koordinatėmis

Taškų sandaugą galima apskaičiuoti per vektorių koordinates tam tikroje plokštumoje arba erdvėje.

Dviejų vektorių, esančių plokštumoje, erdvinėje erdvėje skaliarinė sandauga vadinama duotų vektorių a → ir b → koordinačių suma.

Apskaičiuojant duotų vektorių a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) skaliarinį sandaugą Dekarto sistemoje, naudokite:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

trimatėje erdvėje taikoma ši išraiška:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Tiesą sakant, tai yra trečias taškinio produkto apibrėžimas.

Įrodykime tai.

1 įrodymas

Norėdami įrodyti, naudokite a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay vektoriams a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) Dekarto sistema.

Vektorius reikėtų atidėti

O A → \u003d a → \u003d a x, a y ir O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Tada vektoriaus A B → ilgis bus lygus A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Apsvarstykite trikampį O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) yra teisinga, remiantis kosinuso teorema.

Pagal sąlygą galima pastebėti, kad O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, todėl rašome skirtingo kampo tarp vektorių radimo formulę

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Tada iš pirmojo apibrėžimo išplaukia, kad b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), taigi (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Taikydami vektorių ilgio apskaičiavimo formulę, gauname:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + 2) 2 - ((bx - kirvis) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - kirvis) 2 - (pagal - ay) 2) \u003d \u003d kirvis bx + ay pagal

Įrodykime lygybę:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- atitinkamai trimatės erdvės vektoriams.

Vektorių su koordinatėmis skaliarinis sandauga sako, kad vektoriaus skaliarinis kvadratas yra lygus jo koordinačių kvadratų sumai atitinkamai erdvėje ir plokštumoje. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) ir (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Taškinis produktas ir jo savybės

Yra taškų produkto savybės, kurios taikomos →, b → ir c →:

1. komutatyvumas (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. skirstomumas (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. derinio savybė (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ yra bet kuris skaičius;
4. skaliarinis kvadratas visada yra didesnis už nulį (a →, a →) ≥ 0, kur (a →, a →) \u003d 0 tuo atveju, kai a → yra nulis.

1 pavyzdys

Savybės yra paaiškinamos dėl taško sandaugos apibrėžimo plokštumoje ir realiųjų skaičių sudėties ir dauginimo savybių.

Įrodykite komutatyvumo savybę (a →, b →) \u003d (b →, a →). Iš apibrėžimo turime, kad (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y ir (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

Pagal komutatyvumo savybę lygybės a x b x \u003d b x a x ir a y b y \u003d b y a y yra teisingos, taigi a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Iš to seka, kad (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Platinimas galioja bet kokiems skaičiams:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

ir (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

taigi mes turime

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Taškinis produktas su pavyzdžiais ir sprendimais

Bet kuri tokio plano problema išspręsta naudojant taškų sandaugai skirtas savybes ir formules:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y arba (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Panagrinėkime keletą sprendimo pavyzdžių.

2 pavyzdys

Ilgis a → yra 3, ilgis b → yra 7. Raskite taškinį sandaugą, jei kampas yra 60 laipsnių.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime visus duomenis, todėl apskaičiuojame pagal formulę:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Atsakymas: (a →, b →) \u003d 21 2.

3 pavyzdys

Pateikti vektoriai a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Kas yra taškinis produktas.

Sprendimas

Šiame pavyzdyje atsižvelgiama į skaičiavimo pagal koordinates formulę, nes jos nurodytos problemos sakinyje:

(a →, b →) \u003d kirvis bx + ay pagal + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Atsakymas: (a →, b →) \u003d - 9

4 pavyzdys

Raskite taškinį sandaugą A B → ir A C →. Taškai A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) nurodyti koordinačių plokštumoje.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojamos vektorių koordinatės, nes taškų koordinates nurodo sąlyga:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Pakeisdami į formulę naudodami koordinates, gauname:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Atsakymas: (A B →, A C →) \u003d 28.

5 pavyzdys

Pateikti vektoriai a → \u003d 7 m → + 3 n → ir b → \u003d 5 m → + 8 n →, raskite jų sandaugą. m → yra lygus 3, o n → yra lygus 2 vienetams, jie yra statmeni.

Sprendimas

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Taikydami skirstomąją savybę, gauname:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3) n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Mes paimame produkto ženklo koeficientą ir gauname:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Komutatyvumo savybe mes transformuojame:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) ) + 24 (n →, n →)

Todėl gauname:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Dabar taikykime taškinio produkto formulę su kampu, kurį nurodo sąlyga:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Atsakymas: (a →, b →) \u003d 411

Jei yra skaitinė projekcija.

6 pavyzdys

Raskite taškinį sandaugą a → ir b →. Vektorius a → turi koordinates a → \u003d (9, 3, - 3), projekcija b → su koordinatėmis (- 3, - 1, 1).

Sprendimas

Pagal hipotezę vektoriai a → ir projekcija b → yra nukreipti priešingai, nes a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, taigi projekcija b → atitinka ilgį n p a → b → → ir su ženklu „-“:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Pakeitę į formulę, gauname išraišką:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Atsakymas: (a →, b →) \u003d - 33.

Problemos, susijusios su žinomu taškų sandauga, kai reikia rasti vektoriaus ilgį arba skaitmeninę projekciją.

7 pavyzdys

Kokia reikšmė turėtų būti λ tam tikram skaliariniam sandaugai a → \u003d (1, 0, λ + 1) ir b → \u003d (λ, 1, λ) bus lygi -1.

Sprendimas

Formulė rodo, kad būtina rasti koordinačių sandaugų sumą:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Atsižvelgiant į tai, kad turime (a →, b →) \u003d - 1.

Norėdami rasti λ, apskaičiuojame lygtį:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, taigi λ \u003d - 1.

Atsakymas: λ \u003d - 1.

Fizinė taškinio produkto reikšmė

Mechanika svarsto taškinio produkto pritaikymą.

Dirbdami A su pastovia jėga F → kūnas, perkeltas iš taško M į N, galite rasti vektorių F → ir M N → ilgių sandaugą su kampo tarp jų kosinusu, o tai reiškia, kad darbas yra lygus jėgos ir poslinkio vektorių sandaugai:

A \u003d (F →, M N →).

8 pavyzdys

Medžiaginio taško judėjimas 3 metrais veikiant jėgai, lygiai 5 ntonams, yra nukreiptas 45 laipsnių kampu ašies atžvilgiu. Surasti.

Sprendimas

Kadangi darbas yra jėgos vektoriaus ir poslinkio sandauga, tai reiškia, kad, remiantis sąlyga F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, gauname A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Atsakymas: A \u003d 15 2 2.

9 pavyzdys

Materialusis taškas, judėdamas nuo M (2, - 1, - 3) į N (5, 3 λ - 2, 4), veikdamas jėgos F → \u003d (3, 1, 2), atliko darbą, lygų 13 J. Apskaičiuokite judėjimo ilgį.

Sprendimas

Pateiktoms vektoriaus M N → koordinatėms turime M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

Pagal formulę, kaip surasti darbą su vektoriais F → \u003d (3, 1, 2) ir MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7), gauname A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

Pagal hipotezę nurodoma, kad A \u003d 13 J, o tai reiškia 22 + 3 λ \u003d 13. Taigi λ \u003d - 3, taigi M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Norėdami sužinoti poslinkio ilgį M N →, pritaikykite formulę ir pakeiskite reikšmes:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Atsakymas: 158.

Jei pastebite klaidą tekste, pasirinkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Kampas tarp vektorių

Apsvarstykite du pateiktus vektorius $ \\ overrightarrow (a) $ ir $ \\ overrightarrow (b) $. Atskirkime vektorius $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ ir $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ iš savavališkai pasirinkto taško $ O $, tada kampas $ AOB $ vadinamas kampu tarp vektorių $ \\ overrightarrow ( a) $ ir $ \\ overrightarrow (b) $ (1 pav.).

1 paveikslas.

Čia atkreipkite dėmesį, kad jei vektoriai $ \\ overrightarrow (a) $ ir $ \\ overrightarrow (b) $ yra krypčių kryptimi arba vienas iš jų yra nulio vektorius, tada kampas tarp vektorių yra $ 0 ^ 0 $.

Pavadinimas: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Taškinis vektorių sandauga

Matematiškai šį apibrėžimą galima parašyti taip:

Taškinis produktas gali būti nulis dviem atvejais:

Jei vienas iš vektorių yra nulio vektorius (nuo tada jo ilgis yra lygus nuliui).

Jei vektoriai yra tarpusavyje statmeni (t. Y. $ Cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad taško sandauga yra didesnė už nulį, jei kampas tarp šių vektorių yra aštrus (nes $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright] \\)\u003e 0 $) ir mažiau nei nulis, jei kampas tarp šių vektorių yra bukas (nes $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

Skaliarinio kvadrato sąvoka siejama su skaliarinio produkto sąvoka.

2 apibrėžimas

Vektoriaus skaliarinis kvadratas $ \\ overrightarrow (a) $ yra pats skaliarinis šio vektoriaus sandauga.

Gauname, kad skaliarinė kvadratas yra

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d (\\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right |) ^ 2 \\]

Taškų sandaugos apskaičiavimas pagal vektorių koordinates

Be standartinio taško produkto vertės nustatymo būdo, kuris išplaukia iš apibrėžimo, yra ir kitas būdas.

Pasvarstykime.

Tegul vektoriai $ \\ overrightarrow (a) $ ir $ \\ overrightarrow (b) $ turi koordinates $ \\ left (a_1, b_1 \\ right) $ ir $ \\ left (a_2, b_2 \\ right) $.

1 teorema

Vektorių skaliarinis sandauga $ \\ overrightarrow (a) $ ir $ \\ overrightarrow (b) $ yra lygi atitinkamų koordinačių sandaugų sumai.

Matematiškai tai galima parašyti taip

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Įrodymai.

Teorema yra įrodyta.

Ši teorema turi keletą pasekmių:

1 pasekmė: Vektoriai $ \\ overrightarrow (a) $ ir $ \\ overrightarrow (b) $ yra statmeni tik tada, jei $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

2 pasekmė: Kampo tarp vektorių kosinusas yra $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Vektorių taškinės sandaugos savybės

Bet kuriems trims vektoriams ir realiam skaičiui $ k $ tai tiesa:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Ši savybė kyla iš skaliarinio kvadrato apibrėžimo (2 apibrėžimas).

Kelionių įstatymas: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Ši savybė kyla iš taškinio produkto apibrėžimo (1 apibrėžimas).

Platinimo įstatymas:

$ \\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. \\ end (surašyti)

Pagal 1 teoremą turime:

\\ [\\ kairė (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ kairė (a_1 + a_2 \\ dešinė) a_3 + \\ kairė (b_1 + b_2 \\ dešinė) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

Kombinuotas įstatymas: $ \\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ end (surašyti)

Pagal 1 teoremą turime:

\\ [\\ kairė (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ left (a_1a_2 + b_1b_2 \\ right) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

Vektorių taškų sandaugos skaičiavimo problemos pavyzdys

1 pavyzdys

Raskite vektorių taškų sandaugą $ \\ overrightarrow (a) $ ir $ \\ overrightarrow (b) $, jei $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ ir $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $, o kampas tarp jų yra $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Sprendimas.

Naudodamiesi 1 apibrėžimu, gauname

Už $ (30) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

Už $ (45) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

Už $ (90) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

Už $ (135) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Panašūs straipsniai