Paralelograma problemose. Kaip rasti lygiagretainio, trikampio, trapecijos plotą Kaip apskaičiuoti lygiagretainio plotą

Geometrinis plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, apribota uždaru šios figūros kontūru). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

1. Trikampio ploto formulė kraštinei ir aukščiui
   Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
   
2. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir apibrėžto apskritimo spindulys
   
3. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir įbrėžto apskritimo spindulys
   Trikampio plotas lygi trikampio pusės perimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.
   
kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,

Kvadratinių plotų formulės

1. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį
   kvadratinis plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
2. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į įstrižainės ilgį
   kvadratinis plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
   

   S =	1	2
   	2

kur S yra kvadrato plotas,
yra kvadrato kraštinės ilgis,
yra kvadrato įstrižainės ilgis.

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas yra lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai

kur S yra stačiakampio plotas,
yra stačiakampio kraštinių ilgiai.

Lygiagretainio ploto formulės

1. Lygiagretaus ploto formulė šonų ilgiui ir aukščiui
   Lygiagretaus plotas
2. Lygiagretainio ploto formulė, nurodyta dviem kraštinėmis ir kampas tarp jų
   Lygiagretaus plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
   

   a b sinα

kur S yra lygiagretainio plotas,
yra lygiagretainio kraštinių ilgiai,
yra lygiagretainio aukštis,
yra kampas tarp lygiagretainio kraštinių.

Rombo ploto formulės

1. Rombo ploto formulė, nurodyta kraštinės ilgiu ir aukščiu
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
2. Rombo ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį ir kampą
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
3. Rombo ploto formulė iš jo įstrižainių ilgių
   Rombo sritis yra lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.
kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.

Trapecijos ploto formulės

1. Garnio trapecijos formulė

   kur S yra trapecijos plotas,
   - trapecijos pagrindų ilgis,
   - trapecijos kraštinių ilgis,
   

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio kraštinės poromis lygiagrečios.

Šiame paveikslėlyje priešingos pusės ir kampai yra lygūs vienas kitam. Lygiagretainio įstrižainės susikerta viename taške ir padalija jį pusiau. Lygiagrečios srities formulės leidžia rasti vertę per šonus, aukštį ir įstrižaines. Lygiagretainis taip pat gali būti pavaizduotas ypatingais atvejais. Jie laikomi stačiakampiu, kvadratu ir rombu.
Pirmiausia panagrinėkime lygiagretainio ploto apskaičiavimo pagal aukštį ir pusę, į kurią jis nuleistas, pavyzdį.

Ši byla laikoma klasikine ir nereikalauja tolesnio tyrimo. Geriau atsižvelgti į formulę, kaip apskaičiuoti plotą per dvi puses ir kampą tarp jų. Skaičiuojant naudojamas tas pats metodas. Jei pateikiami šonai ir kampas tarp jų, tada plotas apskaičiuojamas taip:

Tarkime, kad mums duotas lygiagretainis, kurio kraštinės a = 4 cm, b = 6 cm. Kampas tarp jų α = 30°. Raskime sritį:

Lygiagretainio plotas, išreikštas įstrižainėmis

Lygiagretainio ploto formulė įstrižainėmis leidžia greitai rasti vertę.
Skaičiavimams reikia kampo, esančio tarp įstrižainių, vertės.

Apsvarstykite lygiagretainio ploto per įstrižaines apskaičiavimo pavyzdį. Pateikiame lygiagretainį, kurio įstrižainės D = 7 cm, d = 5 cm. Kampas tarp jų yra α = 30°. Pakeiskite duomenis formulėje:

Lygiagretainio ploto per įstrižainę apskaičiavimo pavyzdys davė puikų rezultatą - 8,75.

Žinodami lygiagretainio ploto formulę įstrižainės atžvilgiu, galite išspręsti daug įdomių problemų. Pažvelkime į vieną iš jų.

Užduotis: Duotas lygiagretainis, kurio plotas 92 kv. žr. taškas F yra jo šono BC viduryje. Raskime trapecijos ADFB plotą, kuris bus mūsų lygiagretainyje. Pirmiausia nupieškime viską, ką gavome pagal sąlygas.
Pereikime prie sprendimo:

Pagal mūsų sąlygas, ah \u003d 92, ir atitinkamai, jūsų trapecijos plotas bus lygus

Prieš išmokdami rasti lygiagretainio plotą, turime prisiminti, kas yra lygiagretainis ir kas vadinamas jo aukščiu. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios (guli lygiagrečiose tiesėse). Statmenas, nubrėžtas iš savavališko taško, esančio priešingoje tiesėje, kurioje yra ši pusė, yra vadinamas lygiagretainio aukščiu.

Kvadratas, stačiakampis ir rombas yra specialūs lygiagretainio atvejai.

Lygiagretainio plotas žymimas (S).

Formulės lygiagretainio plotui rasti

S=a*h, kur a yra pagrindas, h yra aukštis, nubrėžtas prie pagrindo.

S=a*b*sinα, kur a ir b yra pagrindai, o α yra kampas tarp bazių a ir b.

S \u003d p * r, kur p yra pusiau perimetras, r yra apskritimo, įrašyto į lygiagretainį, spindulys.

Lygiagretainio plotas, kurį sudaro vektoriai a ir b, yra lygus nurodytų vektorių sandaugos moduliui, būtent:

Apsvarstykite pavyzdį Nr. 1: pateiktas lygiagretainis, kurio kraštinė yra 7 cm, o aukštis yra 3 cm. Kaip rasti lygiagretainio plotą, mums reikia sprendimo formulės.

Taigi S = 7x3. S = 21. Atsakymas: 21 cm 2.

Apsvarstykite pavyzdį Nr. 2: Pagrindai yra 6 ir 7 cm, o kampas tarp pagrindų yra 60 laipsnių. Kaip rasti lygiagretainio plotą? Išspręsti naudojama formulė:

Taigi pirmiausia randame kampo sinusą. Sinusas 60 \u003d 0,5, atitinkamai S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Atsakymas: 21 cm 2.

Tikiuosi, kad šie pavyzdžiai padės jums išspręsti problemas. Ir atminkite, kad svarbiausia yra formulių išmanymas ir atidumas

Kas yra lygiagretainis? Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios.

1. Lygiagretainio plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Kur:
a yra lygiagretainio kraštinė,
h a yra aukštis, nubrėžtas į šią pusę.

2. Jei žinomi dviejų gretimų lygiagretainio kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų, tada lygiagretainio plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Jei nurodytos lygiagretainio įstrižainės ir žinomas kampas tarp jų, tada lygiagretainio plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Lygiagretainės savybės

Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

Lygiagretainio priešingi kampai yra: \(\kampas A = \kampas C \) , \(\kampas B = \kampas D \)

Lygiagretainio įstrižainės sankirtos taške yra padalintos per pusę \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Lygiagretainio įstrižainė padalija jį į du vienodus trikampius.

Lygiagretainio, besiribojančio su viena kraštine, kampų suma yra 180 o:

\(\kampas A + \kampas B = 180^(o) \), \(\kampas B + \kampas C = 180^(o)\)

\(\kampas C + \kampas D = 180^(o) \), \(\kampas D + \kampas A = 180^(o)\)

Lygiagretainio įstrižainės ir kraštinės yra susietos tokiu ryšiu:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Lygiagretainiame kampas tarp aukščių lygus jo smailiajam kampui: \(\kampas K B H =\kampas A \) .

Vienai lygiagretainio kraštinei besiribojančių kampų bisektoriai yra vienas kitam statmeni.

Lygiagretainio dviejų priešingų kampų bisektoriai yra lygiagrečiai.

Lygiagretainės savybės

Keturkampis yra lygiagretainis, jei:

\(AB = CD \) ir \(AB || CD \)

\(AB = CD \) ir \(BC = AD \)

\(AO = OC \) ir \(BO = OD \)

\(\kampas A = \kampas C \) ir \(\kampas B = \kampas D \)

„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norint atlikti skaičiavimus, ActiveX valdikliai turi būti įjungti!

Kaip ir Euklido geometrijoje, taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra viena iš pagrindinių išgaubtų keturkampių figūrų. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.

Susisiekus su

Lygiagretainio apibrėžimas

išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.

Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, yra keturkampis ABCD. Kraštinės vadinamos pagrindais (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šios viršūnės pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.

Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.

Šonai ir kampai: santykio ypatybės

Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:

1. Priešingos pusės poromis yra identiškos.
2. Kampai, kurie yra priešingi vienas kitam, yra lygūs poromis.

Įrodymas: apsvarstykite ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami keturkampį ABCD padalijus tiese AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės kriterijus).

Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, o tai reiškia, kad jie yra identiški: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat yra identiškos poromis, tai ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.

Figūros įstrižainių charakteristikos

Pagrindinis bruožasšios lygiagretainės tiesės: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.

Įrodymas: tegul m. E yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.

AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantus ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.

Pagal antrąjį lygybės ženklą ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE yra: AE = CE, BE = DE ir, be to, jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.

Gretimų kampų ypatybės

Gretimose pusėse kampų suma yra 180°, nes jie yra toje pačioje lygiagrečių linijų ir sekanto pusėje. Keturkampiui ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoriaus savybės:

1. , nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
2. priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
3. trikampis, gautas nubrėžus pusiausvyrą, bus lygiašonis.

Lygiagretainio charakteristikų nustatymas teorema

Šios figūros ypatybės išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri skamba taip: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.

Įrodymas: Tegul keturkampio ABCD linijos AC ir BD susikerta t. E. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pirmuoju trikampių lygybės ženklu). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai sekanto AC susikirtimo kampai linijoms AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || pr. Kr. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.

Figūros ploto apskaičiavimas

Šios figūros plotas rasti keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.

Įrodymas: Iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenus BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD yra lygus stačiakampiui EBCF, nes jie taip pat susideda iš proporcingų skaičių: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad šios geometrinės figūros plotas yra toks pat kaip ir stačiakampio:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Norėdami nustatyti bendrą lygiagretainio ploto formulę, pažymime aukštį kaip hb, ir šoną b. Atitinkamai:

Kiti būdai rasti plotą

Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.

,

Spr-ma – plotas;

a ir b yra jos kraštinės

α - kampas tarp atkarpų a ir b.

Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nupjauna statųjį trikampį, kurio parametrus randa trigonometrinės tapatybės, t.y. Pavertę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.

Per lygiagretainio ir kampo įstrižaines, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.

Įrodymas: AC ir BD susikerta sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.

Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti iš išraiškos , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Kadangi , tada skaičiavimuose naudojama viena sinuso reikšmė. Tai yra . Kadangi AE+CE=AC= d 1 ir BE+DE=BD= d 2 , ploto formulė sumažinama iki:

.

Taikymas vektorinėje algebroje

Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent: dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiIrNeyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.

Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – tai yra. - kuriame vektorius ir . Toliau statome lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.

Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės

Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:

1. a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
2. d 1 ir d 2 , γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
3. h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;

Parametras	Formulė
Šalių paieška
išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso
įstrižai ir į šoną
per aukštį ir priešingą viršūnę
Įstrižainių ilgio radimas
šonuose ir viršaus dydis tarp jų
išilgai šonų ir viena iš įstrižainių	 Išvada Lygiagretainis, kaip vienas iš pagrindinių geometrijos figūrų, naudojamas gyvenime, pavyzdžiui, statybose apskaičiuojant sklypo plotą ar atliekant kitus matavimus. Todėl žinios apie skiriamuosius požymius ir įvairių jo parametrų skaičiavimo metodus gali būti naudingos bet kuriuo gyvenimo metu.