Kanoninė kvadratinė forma. Kvadratinės formos kanoninė forma. Kvadratinės formos redukavimas į kanoninę formą

Duota kvadratinė forma (2) A(x, x) \u003d, kur x = (x 1 , x 2 , …, x n). Apsvarstykite kvadrato formą erdvėje R 3, tai yra x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(mes naudojome formos simetrijos sąlygą, būtent ir 12 = ir 21 , ir 13 = ir 31 , ir 23 = ir 32). Parašykime kvadratinės formos matricą A pagrindu ( e}, A(e) =
... Keičiantis pagrindui, kvadratinės formos matrica keičiasi pagal formulę A(f) = C t A(e)Ckur C - perėjimo iš pagrindo matrica ( e) į pagrindą ( f) ir C t - perkelta matrica C.

Apibrėžimas11.12. Kvadratinės formos su įstriža matrica forma vadinama kanoninis.

Taigi tegul A(f) =
tada A"(x, x) =
+
+
kur x" 1 , x" 2 , x"3 - vektorinės koordinatės x nauju pagrindu ( f}.

Apibrėžimas11.13. Įleisti n V pasirenkamas toks pagrindas f = {f 1 , f 2 , …, f n ), kurioje kvadratinė forma turi formą

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

kur y 1 , y 2 , …, y n - vektorinės koordinatės x pagrindu ( f). Išraiška (3) vadinama kanoninis vaizdas kvadratinė forma. Koeficientai  1, λ 2,…, λ n yra vadinami kanoninis; vadinamas pagrindas, kuriame kvadratinė forma turi kanoninę formą kanoninis pagrindas.

Pakomentuokite... Jei kvadratinė forma A(x, x) redukuojama į kanoninę formą, tada, paprastai tariant, ne visi koeficientai  i yra nulis. Kvadratinės formos rangas yra lygus jos matricos rangui bet kokiu pagrindu.

Leiskite kvadratinės formos rangą A(x, x) yra lygus rkur r ≤ n... Kanoninės formos kvadratinės formos matrica turi įstrižainę. A(f) =
kadangi jo rangas yra r, tada tarp koeficientų  i turėtų būti rnelygus nuliui. Iš to išplaukia, kad nenulinių kanoninių koeficientų skaičius yra lygus kvadratinės formos rangui.

Pakomentuokite... Linijinė koordinačių transformacija yra perėjimas nuo kintamųjų x 1 , x 2 , …, x n į kintamuosius y 1 , y 2 , …, y n , kuriame seni kintamieji išreiškiami naujais kintamaisiais su tam tikrais skaitiniais koeficientais.

x 1 \u003d α 11 y 1 + α 12 y 2 + ... + α 1 n y n ,

x 2 \u003d α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + ... + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 \u003d α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + ... + α nn y n .

Kadangi kiekviena pagrindo transformacija atitinka negeneruotą linijinę koordinačių transformaciją, kvadratinės formos redukcijos į kanoninę formą klausimą galima išspręsti pasirinkus tinkamą neatgeneruotą koordinačių transformaciją.

11.2 teorema (pagrindinė kvadratinių formų teorema). Bet kokia kvadratinė forma A(x, x) pateiktas n-dimensinė vektorinė erdvė V, naudojant neegeneruotą linijinę koordinačių transformaciją, galima sumažinti iki kanoninės formos.

Įrodymai... (Lagrange'o metodas) Šio metodo idėja yra nuosekliai papildyti kvadratinį trinomą kiekviename kintamajame iki viso kvadrato. Mes manysime, kad A(x, x) ≠ 0 ir pagrindu e = {e 1 , e 2 , …, e n ) turi formą (2):

A(x, x) =
.

Jeigu A(x, x) \u003d 0, tada ( a t) \u003d 0, tai yra, forma jau yra kanoninė. Formulė A(x, x) galima transformuoti taip, kad koeficientas a 11 ≠ 0. Jei a 11 \u003d 0, tada kito kintamojo kvadratinis koeficientas yra nulis, tada per sunumeravus kintamuosius galima tai pasiekti a 11 ≠ 0. Kintamųjų numeravimas yra ne degeneracinė tiesinė transformacija. Jei visi kintamųjų kvadratų koeficientai yra lygūs nuliui, tada reikalingos transformacijos gaunamos taip. Tegul, pavyzdžiui, a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, todėl bent vienas koeficientas a t 0). Apsvarstykite transformaciją

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i , i = 3, 4, …, n.

Ši transformacija nėra degeneruota, nes jos matricos determinantas yra nulis
= = 2 ≠ 0.

Tada 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, tai yra forma A(x, x) pasirodys dviejų kintamųjų kvadratai.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Paskirtą sumą konvertuojame į formą:

A(x, x) = a 11
, (5)

o koeficientai a t pakeisti į ... Apsvarstykite ne degeneracinę transformaciją

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Tada mes gauname

A(x, x) =
. (6).

Jei kvadratinė forma
\u003d 0, tada klausimas dėl sumažinimo A(x, x) į kanoninę formą išspręsta.

Jei ši forma nėra lygi nuliui, tada pakartojame samprotavimus, atsižvelgdami į koordinačių transformaciją y 2 , …, y n ir nekeičiant koordinatės y 1. Akivaizdu, kad šios transformacijos nebus degeneracinės. Baigtiniu žingsnių skaičiumi kvadratinė forma A(x, x) bus sumažinta iki kanoninės formos (3).

Pakomentuokite1. Norima originalių koordinačių transformacija x 1 , x 2 , …, x n galima gauti dauginant ne degeneracines transformacijas, rastas samprotavimo procese: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], tada [ x] = AB[z] = ABC[t], t.y [ x] = M[t], kur M = ABC.

Pakomentuokite 2. Leisk A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, kur  i ≠ 0, i = 1, 2, …, rkur  1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Apsvarstykite ne degeneracinę transformaciją

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n ... Kaip rezultatas A(x, x) bus tokia forma: A(x, x) = + + … + – – … – kuris vadinamas normali kvadratinės formos rūšis.

Pavyzdys11.1. Kanalizuoti kvadratinę formą A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Sprendimas... Tiek, kiek a 11 \u003d 0, mes naudojame transformaciją

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Ši transformacija turi matricą A =
, t.y [ x] = A[y] mes gauname A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Kadangi koeficientas yra nėra nulis, galite pasirinkti vieno nežinomo kvadratą, tebūnie y 1. Pasirinkime visus narius, kuriuose yra y 1 .

A(x, x) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Atlikime transformaciją, kurios matrica lygi B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Mes gauname A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Pasirinkime narius, kuriuose yra z 2. Mes turime A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Transformacijos atlikimas su matrica C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Turiu: A(x, x) = 2– 2+ 6 kvadratinės formos kanoninė forma, tuo tarpu x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], iš čia [ x] = ABC[t];

ABC =


=
... Transformacijos formulės yra tokios

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Kvadratinė forma vadinama kanonine, jei viskas, t.y.

Bet kuri kvadratinė forma gali būti redukuota į kanoninę, naudojant linijines transformacijas. Praktiškai paprastai naudojami šie metodai.

1. Ortogonalinė erdvės transformacija:

kur - matricos savosios vertės A.

2. Lagrange'o metodas - nuoseklus tobulų kvadratų pasirinkimas. Pavyzdžiui, jei

Tada panaši procedūra atliekama su kvadratine forma ir taip toliau.Jei kvadratine forma viskas yra tada po išankstinio pertvarkymo byla sumažinama iki nagrinėjamos procedūros. Taigi, jei, pavyzdžiui, tada mes įdėti

3. Jacobi metodas (tuo atveju, kai visi pagrindiniai nepilnamečiai yra nulis):

Bet kuri tiesi plokštumos plokštuma gali būti pateikiama pagal pirmosios eilės lygtį

Kirvis + Wu + C \u003d 0,

ir A, B konstantos tuo pačiu metu nėra lygios nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis.Atsižvelgiant į A, B ir C konstantų reikšmes, galimi šie specialūs atvejai:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linija eina per pradą

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (pagal + C \u003d 0) - tiesė yra lygiagreti Ox ašiai

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - tiesė yra lygiagreti Oy ašiai

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - tiesė sutampa su Oy ašimi

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - tiesė sutampa su Ox ašimi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikiama įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurias pradines sąlygas.

Galima nurodyti tiesią liniją erdvėje:

1) kaip dviejų plokštumų sankirtos linija, t.y. lygčių sistema:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) dviem taškais M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesi linija, einanti per juos, pateikiama lygtimis:

= ; (3.3)

3) jai priklausantis taškas M 1 (x 1, y 1, z 1) ir vektorius a(m, n, p), kolineariai į jį. Tada tiesė nustatoma pagal lygtis:

. (3.4)

Vadinamos lygtys (3.4) kanoninės tiesės lygtys.

Vektorius a paskambino nukreipiantis tiesiosios linijos vektorių.

Tiesiosios linijos parametrines lygtis gauname sulygindami kiekvieną santykį (3.4) su parametru t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Sprendimo sistema (3.2) kaip tiesinių lygčių sistema nežinomųjų atžvilgiu x ir y, mes prieiname tiesės lygtis projekcijos arba į sumažintos tiesės lygtys:

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3.6)

Iš lygčių (3.6) galima pereiti prie kanoninių lygčių radus z iš kiekvienos lygties ir lyginant gautas reikšmes:

.

Iš bendrųjų lygčių (3.2) galima pereiti prie kanoninių ir kitaip, jei rasime kurį nors šios tiesės tašką ir jo krypties vektorių n= [n 1 , n 2], kur n 1 (A1, B1, C1) ir n 2 (A 2, B 2, C 2) yra normalūs nurodytų plokštumų vektoriai. Jei vienas iš vardiklių m, n arba r lygtyse (3.4) bus lygus nuliui, tada atitinkamos trupmenos skaitiklis turi būti nustatytas lygus nuliui, t.y. sistema

yra lygiavertis sistemai ; tokia tiesė yra statmena Ox ašiai.

Sistema yra lygiavertis sistemai x \u003d x 1, y \u003d y 1; tiesė yra lygiagreti Ozo ašiai.

Bet kuri pirmojo laipsnio lygtis koordinačių atžvilgiu x, y, z

Kirvis + pagal + Cz + D \u003d 0 (3,1)

apibrėžia plokštumą ir atvirkščiai: bet kurią plokštumą galima pavaizduoti lygtimi (3.1), kuri vadinama plokštumos lygtis.

Vektorius n Vadinamas (A, B, C) statmenas plokštumai normalus vektorius lėktuvas. (3.1) lygtyje koeficientai A, B, C tuo pačiu metu nėra lygūs 0.

Specialūs (3.1) lygties atvejai:

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - plokštuma eina per pradą.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - plokštuma yra lygiagreti Ozo ašiai.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - plokštuma eina per Oz ašį.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - plokštuma yra lygiagreti Oyz plokštumai.

Koordinačių plokštumų lygtys: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Linija gali priklausyti arba nepriklausyti plokštumai. Jis priklauso plokštumai, jei bent du jo taškai yra plokštumoje.

Jei tiesė nepriklauso plokštumai, ji gali būti lygiagreti jai arba ją kirsti.

Tiesi linija yra lygiagreti plokštumai, jei ji yra lygiagreti kitai tiesiai, esančiai šioje plokštumoje.

Tiesi linija gali kirsti plokštumą skirtingais kampais ir visų pirma būti jai statmena.

Taškas plokštumos atžvilgiu gali būti išdėstytas taip: priklausyti ar nepriklausyti jam. Taškas priklauso plokštumai, jei jis yra tiesioje linijoje, esančioje šioje plokštumoje.

Erdvėje dvi linijos gali arba susikirsti, arba būti lygiagrečios, arba peržengti.

Projekcijose išsaugotas linijų segmentų lygiagretumas.

Jei tiesės susikerta, tada to paties pavadinimo jų projekcijų susikirtimo taškai yra toje pačioje ryšio linijoje.

Sukryžiuotos linijos nepriklauso tai pačiai plokštumai, t.y. nesikerta ir lygiagrečiai.

brėžinyje to paties pavadinimo linijų projekcijos, paimtos atskirai, turi susikertančių arba lygiagrečių linijų ženklus.

Elipsė. Elipsė yra taškų vieta, kuriai atstumų iki dviejų fiksuotų taškų (židinių) suma yra vienoda pastovi visų elipsės taškų vertė (ši pastovi vertė turi būti didesnė už atstumą tarp židinių).

Paprasčiausia elipsės lygtis

kur a - pusiau pagrindinė elipsės ašis, b yra pusiau mažesnė elipsės ašis. Jei 2 c yra atstumas tarp židinių, tada tarp a, b ir c (jeigu a > b) yra santykis

a 2 - b 2 = c 2 .

Elipsės ekscentriškumas yra atstumo tarp šios elipsės židinių ir pagrindinės ašies ilgio santykis

Elipsė turi ekscentriškumą e < 1 (так как c < a), o jo židiniai yra pagrindinėje ašyje.

Hiperbolo lygtis, parodyta paveiksle.

Parametrai:
a, b - pusašiai;
- atstumas tarp židinių,
- ekscentriškumas;
- asimptotai;
- režisieriai.
Stačiakampis, parodytas paveikslo centre, yra pagrindinis stačiakampis, jo įstrižainės yra asimptotės.