Visos formulės tema vektorių skaliarinė sandauga. Kaip rasti vektorių skaliarinę sandaugą. Vektorių skaliarinės sandaugos koordinatėmis apibrėžimas

Skaliarinis produktas vektoriai (toliau – SP). Mieli draugai! Matematikos egzaminas apima vektorių sprendimo uždavinių grupę. Kai kurias problemas jau apsvarstėme. Juos galite pamatyti kategorijoje „Vektoriai“. Apskritai vektorių teorija yra paprasta, svarbiausia ją nuosekliai studijuoti. Skaičiavimai ir veiksmai su vektoriais mokykliniame matematikos kurse yra paprasti, formulės nesudėtingos. Pažiūrėk į. Šiame straipsnyje mes analizuosime užduotis, susijusias su jungtinės vektorių įmonės veikla (įtraukta į egzaminą). Dabar „pasinėrimas“ į teoriją:

H Norėdami rasti vektoriaus koordinates, turite atimti iš jo pabaigos koordinačiųatitinkamos jo pradžios koordinatės

Ir toliau:

*Vektoriaus ilgis (modulis) apibrėžiamas taip:

Šias formules reikia išmokti atmintinai!!!

Parodykime kampą tarp vektorių:

Akivaizdu, kad jis gali svyruoti nuo 0 iki 180 0(arba radianais nuo 0 iki Pi).

Galime padaryti keletą išvadų apie skaliarinės sandaugos ženklą. Akivaizdu, kad vektorių ilgiai yra teigiami. Taigi skaliarinės sandaugos ženklas priklauso nuo kampo tarp vektorių kosinuso reikšmės.

Galimi atvejai:

1. Jei kampas tarp vektorių yra aštrus (nuo 0 0 iki 90 0), tai kampo kosinusas turės teigiamą reikšmę.

2. Jei kampas tarp vektorių yra bukas (nuo 90 0 iki 180 0), tai kampo kosinusas turės neigiamą reikšmę.

*Esant nuliui laipsnių, tai yra, kai vektoriai turi tą pačią kryptį, kosinusas yra lygus vienetui ir atitinkamai rezultatas bus teigiamas.

Esant 180 o, tai yra, kai vektoriai turi priešingas kryptis, kosinusas yra lygus minus vienetui,ir rezultatas bus neigiamas.

Dabar SVARBUS TAŠKAS!

Esant 90 o, tai yra, kai vektoriai yra statmeni vienas kitam, kosinusas yra lygus nuliui, taigi ir bendra įmonė yra nulis. Šis faktas (pasekmė, išvada) naudojamas sprendžiant daugelį problemų, apie kurias mes kalbame santykinė padėtis vektoriai, įskaitant užduotis, įtrauktas į atvirą matematikos užduočių banką.

Suformuluojame teiginį: skaliarinė sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai pateikti vektoriai yra ant statmenų tiesių.

Taigi, SP vektorių formulės yra šios:

Jei žinomos vektorių koordinatės arba jų pradžios ir pabaigos taškų koordinatės, visada galime rasti kampą tarp vektorių:

Apsvarstykite užduotis:

27724 Raskite vektorių a ir b vidinę sandaugą.

Vektorių skaliarinę sandaugą galime rasti naudodami vieną iš dviejų formulių:

Kampas tarp vektorių nežinomas, bet galime lengvai rasti vektorių koordinates ir tada panaudoti pirmąją formulę. Kadangi abiejų vektorių pradžios sutampa su pradžia, šių vektorių koordinatės yra lygios jų galų koordinatėms, tai yra

Kaip rasti vektoriaus koordinates, aprašyta.

Skaičiuojame:

Atsakymas: 40

Raskite vektorių koordinates ir naudokite formulę:

Norint rasti vektoriaus koordinates, reikia iš vektoriaus pabaigos koordinačių atimti atitinkamas jo pradžios koordinates, o tai reiškia

Skaičiuojame skaliarinį sandaugą:

Atsakymas: 40

Raskite kampą tarp vektorių a ir b . Atsakymą pateikite laipsniais.

Tegul vektorių koordinatės turi tokią formą:

Norėdami rasti kampą tarp vektorių, naudojame vektorių skaliarinės sandaugos formulę:

Kampo tarp vektorių kosinusas:

Taigi:

Šių vektorių koordinatės yra šios:

Įtraukime juos į formulę:

Kampas tarp vektorių yra 45 laipsniai.

Atsakymas: 45

Plokštumos uždavinio atveju vektorių a = (a x ; a y ) ir b = (b x ; b y ) skaliarinę sandaugą galima rasti naudojant šią formulę:

a b = a x b x + a y b y

Erdvinių problemų vektorių skaliarinės sandaugos formulė

Erdvinės problemos atveju vektorių a = (a x ; a y ; a z ) ir b = (b x ; b y ; b z ) skaliarinę sandaugą galima rasti naudojant šią formulę:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

N matmenų vektorių taškinės sandaugos formulė

n-matės erdvės atveju vektorių a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) ir b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) skaliarinę sandaugą galima rasti naudojant tokią formulę:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektorių taško sandaugos savybės

1. Vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi visada yra didesnė arba lygi nuliui:

2. Vektoriaus su savimi skaliarinė sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai vektorius lygus nuliniam vektoriui:

a a = 0<=>a = 0

3. Vektoriaus skaliarinė sandauga yra lygi jo modulio kvadratui:

4. Skaliarinės daugybos operacija yra komunikacinė:

5. Jei dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tai šie vektoriai yra stačiakampiai:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Skaliarinės daugybos operacija yra skirstomoji:

(a + b) c = a c + b c

Vektorių skaliarinės sandaugos skaičiavimo užduočių pavyzdžiai

Vektorių skaliarinės sandaugos skaičiavimo plokštumos uždaviniams pavyzdžiai

Raskite vektorių a = (1; 2) ir b = (4; 8) skaliarinę sandaugą.

Sprendimas: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

Raskite vektorių a ir b skaliarinę sandaugą, jei jų ilgiai |a| = 3, |b| = 6, o kampas tarp vektorių yra 60˚.

Sprendimas: a · b = |a| |b| cos α = 3 6 cos 60˚ = 9.

Raskite vektorių p = a + 3b ir q = 5a - 3 b vidinę sandaugą, jei jų ilgiai |a| = 3, |b| = 2, o kampas tarp vektorių a ir b yra 60˚.

Sprendimas:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Erdvinių problemų vektorių skaliarinės sandaugos apskaičiavimo pavyzdys

Raskite vektorių a = (1; 2; -5) ir b = (4; 8; 1) skaliarinę sandaugą.

Sprendimas: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Taškinės sandaugos n-mačių vektoriams apskaičiavimo pavyzdys

Raskite vektorių a = (1; 2; -5; 2) ir b = (4; 8; 1; -2) skaliarinę sandaugą.

Sprendimas: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Vektorių ir vektoriaus sandauga vadinama trečiasis vektorius , apibrėžiamas taip:

2) statmenas, statmenas. (1"")

3) vektoriai orientuoti taip pat, kaip ir visos erdvės pagrindas (teigiamai arba neigiamai).

Paskirti: .

fizinę reikšmę vektorinis produktas

yra jėgos momentas taško O atžvilgiu; yra spindulys yra jėgos taikymo taško vektorius, tada

be to, jei perkeliamas į tašką O, tada trigubas turi būti orientuotas kaip pagrindo vektorius.

1. Apibrėžimas ir paprastos savybės. Paimkime nulinius vektorius a ir b ir atidėkime juos nuo savavališko taško O: OA = a ir OB = b. Kampo AOB reikšmė vadinama kampu tarp vektorių a ir b ir žymima (a, b). Jei bent vienas iš dviejų vektorių yra lygus nuliui, kampas tarp jų pagal apibrėžimą laikomas teisingu. Atkreipkite dėmesį, kad pagal apibrėžimą kampas tarp vektorių yra ne mažesnis kaip 0 ir didžiausias . Be to, kampas tarp dviejų nulinių vektorių yra lygus 0 tada ir tik tada, kai šie vektoriai yra vienakrypčiai ir lygūs jei ir tik tada, kai jie yra priešingomis kryptimis.

Patikrinkite, ar kampas tarp vektorių nepriklauso nuo taško O pasirinkimo. Tai akivaizdu, jei vektoriai yra kolinearūs. Priešingu atveju atidedame nuo savavališko taško O 1 vektoriai O 1 A 1 = a ir o 1 IN 1 = b ir atkreipkite dėmesį, kad trikampiai AOB ir A 1 APIE 1 IN 1 yra lygios iš trijų pusių, nes |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 IN 1 | = |b|, |AB| = |A 1 IN 1 | = |b–а|. Todėl kampai AOB ir A 1 APIE 1 IN 1 yra lygūs.

Dabar šioje pastraipoje galime pateikti pagrindinį dalyką

(5.1) Apibrėžimas. Dviejų vektorių a ir b skaliarinė sandauga (žymima ab) yra skaičius 6 , lygus šių vektorių ilgių ir kampo tarp vektorių kosinuso sandaugai. Trumpai tariant:

ab = |a||b|cos (a, b).

Skaliarinės sandaugos radimo operacija vadinama vektorių skaliariniu dauginimu. Vektoriaus su savimi skaliarinė sandauga aa vadinama šio vektoriaus skaliariniu kvadratu ir žymima 2 .

(5.2) Vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus jo ilgio kvadratui.

 Jei |a|  0, tada (a,a) = 0, iš kur a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Jei a = 0, tai a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Koši nelygybė. Dviejų vektorių skaliarinės sandaugos modulis neviršija faktorių modulių sandaugos: |ab| |a||b|. Šiuo atveju lygybė pasiekiama tada ir tik tada, kai vektoriai a ir b yra kolinearūs.

 Pagal apibrėžimą |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Tai įrodo pačią Koši nelygybę. Dabar pastebėkime. kad nuliniams vektoriams a ir b lygybė joje pasiekiama tada ir tik tada, kai |cos (a,b)| = 1, t.y. adresu (a, b) = 0 arba (a, b) =  . Pastaroji yra lygiavertė tam, kad vektoriai a ir b yra nukreipti kartu arba priešingi, t.y. kolinearinis. Jei bent vienas iš vektorių a ir b yra lygus nuliui, tai jie yra kolineariniai ir |ab| = |a||b| = 0. 

2. Pagrindinės skaliarinės daugybos savybės. Tai apima:

(CS1) ab = ba (komutatyvumas);

(CS2) (xa)b = x(ab) (asociatyvumas);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (paskirstymas).

Komutatyvumas čia yra akivaizdus, nes ab =  ba. Asociatyvumas x = 0 taip pat akivaizdus. Jei x > 0, tada

(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

dėl (xa, b) = (a,b) (iš vektorių xa ir a kokrypties – 21 pav.). Jei x< 0, tada

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

dėl (xa, b) = –  (a,b) (iš priešingos krypties vektoriams xa ir a - 22 pav.). Taigi asociatyvumas taip pat įrodytas.

Įrodyti paskirstymą yra sunkiau. Tam mums reikia tokių

(5.4) Lemma. Tegu a yra nulinis vektorius, lygiagretus tiesei l, o b savavališkas vektorius. Tada ortogonalioji projekcijab" vektoriaus b tiesei l yra lygus
.



Jei b = 0, tadab" = 0 ir ab = 0, todėl šiuo atveju lema yra teisinga. Toliau darysime prielaidą, kad vektorius b" nėra lygus nuliui. Šiuo atveju iš savavališko tiesės l taško O atidedame vektorius OA = a ir OB = b, taip pat nuleidžiame statmeną BB "iš taško B į tiesę l. Pagal apibrėžimąOB" = b"Ir (a, b) =  AOW. Pažymėti AOB per ir įrodykite lemą atskirai kiekvienu iš šių trijų atvejų:

1)  <  /2. Tada vektoriai a ir bendrai režisuota (23 pav.) ir

b" = =
=
.

2)  >  /2 . Tada vektoriai a irb„priešingai nukreiptas (24 pav.) ir

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Tadab" = 0 ir ab = 0, iš kurb" =
= 0. 

Dabar įrodome (CS3) pasiskirstymą. Akivaizdu, kad vektorius a lygus nuliui. Tegul a  0. Tada nubrėžkite liniją l || a ir žymėkiteb"Irc" stačiakampės vektorių b ir c projekcijos į jį ir perd" yra vektoriaus d = b + c stačiakampė projekcija į jį. Pagal 3.5 teoremąd" = b"+ c". Taikydami 5.4 lemą paskutinei lygybei, gauname lygybę
=
. Skaliariai padauginę jį iš a, gauname, kad 2 =
, iš kur ad = ab+ac, kas turėjo būti įrodyta.

Mūsų įrodytos vektorių skaliarinės daugybos savybės yra panašios į atitinkamas skaičių daugybos savybes. Tačiau ne visos skaičių daugybos savybės perkeliamos į vektorių skaliarinį dauginimą. Štai tipiški pavyzdžiai:

) Jei ab = 0, tai nereiškia, kad a = 0 arba b = 0. Pavyzdys: du nuliniai vektoriai, sudarantys stačią kampą.

2) Jei ab = ac, tai nereiškia, kad b = c, net jei vektorius a yra nulis. Pavyzdys: b ir c yra du skirtingi vienodo ilgio vektoriai, sudarantys vienodus kampus su vektoriumi a (25 pav.).

3) Netiesa, kad visada a(bc) = (ab)c: jei tik todėl, kad tokios lygybės galiojimas bc, ab 0 reiškia, kad vektoriai a ir c yra kolinearūs.

3. Vektorių ortogonalumas. Du vektoriai vadinami stačiakampiais, jei kampas tarp jų yra teisingas. Vektorių ortogonalumas rodomas piktograma .

Kai apibrėžėme kampą tarp vektorių, sutikome kampą tarp nulinio vektoriaus ir bet kurio kito vektoriaus laikyti tiesia linija. Todėl nulinis vektorius yra statmenas bet kuriam. Šis susitarimas leidžia mums tai įrodyti

(5.5) Dviejų vektorių ortogonalumo ženklas. Du vektoriai yra stačiakampiai tada ir tik tada, kai jų taškinė sandauga yra 0.

 Tegul a ir b yra savavališki vektoriai. Jei bent vienas iš jų yra lygus nuliui, tai jie yra stačiakampiai, o jų skaliarinė sandauga lygi 0. Taigi šiuo atveju teorema yra teisinga. Tarkime, kad abu duoti vektoriai nėra nuliniai. Pagal apibrėžimą ab = |a||b|cos (a, b). Kadangi pagal mūsų prielaidą skaičiai |a| ir |b| nėra lygūs 0, tada ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, kuris turėjo būti įrodytas.

Lygybė ab = 0 dažnai laikoma vektorių ortogonalumo apibrėžimu.

(5.6) Išvada. Jei vektorius a yra statmenas kiekvienam iš vektorių a 1 , …, A P , tada jis taip pat yra statmenas bet kuriam jų tiesiniam deriniui.

 Pakanka pastebėti, kad iš lygybės aa 1 = … = aa P = 0 reiškia lygybę a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (ak 1 ) + … + x P (ak P ) = 0. 

Iš 5.6 išvados nesunku išvesti mokyklos kriterijų tiesės ir plokštumos statmenumui. Iš tiesų, tegul kuri nors tiesė MN yra statmena dviem susikertančioms tiesėms AB ir AC. Tada vektorius MN yra statmenas vektoriams AB ir AC. Paimkime bet kurią tiesę DE plokštumoje ABC. Vektorius DE yra lygiagretus nekolineariniams vektoriams AB ir AC, todėl juose plečiasi. Bet tada jis taip pat yra statmenas vektoriui MN, tai yra, tiesės MN ir DE yra statmenos. Pasirodo, tiesė MN yra statmena bet kuriai tiesei iš plokštumos ABC, kurią reikėjo įrodyti.

4. Ortonormalūs pagrindai. (5.7) Apibrėžimas. Vektorinės erdvės pagrindas yra laikomas stačiakampiu, jei, pirma, visi jo vektoriai yra vienetinio ilgio ir, antra, bet kurie du jo vektoriai yra stačiakampiai.

Ortonormalaus pagrindo vektoriai trimatėje erdvėje dažniausiai žymimi raidėmis i, j ir k, o vektoriaus plokštumoje – raidėmis i ir j. Atsižvelgiant į dviejų vektorių ortogonalumo ženklą ir vektoriaus skaliarinio kvadrato lygybę jo ilgio kvadratui, nustatomos erdvės V pagrindo (i,j,k) ortonormalumo sąlygos. 3 galima parašyti taip:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

o vektorinės plokštumos pagrindas (i,j) yra toks:

(5.9) i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Tegul vektoriai a ir b ortonormaliajame pagrinde (i,j,k) turi erdves V 3 koordinatės (a 1 , A 2 , A 3 ) ir (b 1 b 2 ,b 3 ) atitinkamai. Tadaab = (A 1 i+A 2 j+A 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . Taip pateikiama vektorių a skaliarinės sandaugos formulė (a 1 ,A 2 ,A 3 ) ir b(b 1 ,b 2 ,b 3 ), pateiktos jų koordinatėmis erdvės V ortonormaliajame pagrinde 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 .

Vektoriams a(a 1 ,A 2 ) ir b(b 1 ,b 2 ), pateiktos jų koordinatėmis ortonormaliu pagrindu vektorių plokštumoje, ji turi formą

(5.11) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 .

Pakeiskime b = a į (5.10) formulę. Pasirodo, ortonormaliu pagrindu a 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Kadangi a 2 = |a| 2 , gauname tokią formulę vektoriaus ilgiui a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) apibrėžiamas jo koordinatėmis erdvės V ortonormaliajame pagrinde 3 :

(5.12) |a| =
.

Vektorinėje plokštumoje pagal (5.11) jis įgauna formą

(5.13) |a| =
.

Į formulę (5.10) pakeitę b = i, b = j, b = k, gauname dar tris naudingas lygybes:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Koordinačių formulių, skirtų vektorių ir vektoriaus ilgio skaliarinei sandaugai rasti, paprastumas yra pagrindinis ortonormalių bazių privalumas. Neortonormalių bazių atveju šios formulės, paprastai tariant, yra neteisingos, o jų taikymas šiuo atveju yra grubi klaida.

5. Krypties kosinusai. Paimkite ortonormaliu pagrindu (i, j, k) tarpus V 3 vektorius a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Tadaai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i).Kita vertus, ai = a 1 pagal formulę 5.14. Paaiškėjo, kad

(5.15) a 1 = |a|cos (a, i).

ir taip pat

A 2 = |a|cos (a, j) ir 3 = |a|cos (a, k).

Jei vektorius a yra vienetas, šios trys lygybės įgauna ypač paprastą formą:

(5.16) A 1 = cos (a, i),A 2 = cos (a, j),A 3 = cos (a, k).

Vektoriaus suformuotų kampų kosinusai su ortonormalaus pagrindo vektoriais vadinami šio vektoriaus krypties kosinusais duotame pagrinde. Kaip rodo 5.16 formulės, vienetinio vektoriaus koordinatės ortonormaliame pagrinde yra lygios jo krypties kosinusams.

Iš 5.15 seka, kad a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a, k)). Kita vertus, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 . Paaiškėjo, kad

(5.17) nenulinio vektoriaus krypties kosinusų kvadratu suma lygi 1.

Šis faktas yra naudingas sprendžiant kai kurias problemas.

(5.18) Problema. Stačiakampio gretasienio įstrižainė susidaro, kai dvi jo briaunos išeina iš tų pačių viršūnių kampų 60 . Koks kampas susidaro su trečiąja briauna, išeinančia iš šios viršūnės?

 Apsvarstykite ortonormalų erdvės V pagrindą 3 , kurio vektorius vaizduoja gretasienio, išeinančio iš duotosios viršūnės, briaunos. Kadangi įstrižainės vektorius sudaro 60 kampus su dviem šio pagrindo vektoriais , dviejų iš trijų jo krypčių kosinusų kvadratai yra lygūs cos 2 60  = 1/4. Todėl trečiojo kosinuso kvadratas yra 1/2, o pats kosinusas yra 1/
. Taigi norimas kampas yra 45 . 

Kampas tarp vektorių

Apsvarstykite du pateiktus vektorius $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$. Atidėkime vektorius $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ ir $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ nuo savavališkai pasirinkto taško $O$, tada kampas $AOB$ vadinamas kampas tarp vektorių $\overrightarrow( a)$ ir $\overrightarrow(b)$ (1 pav.).

1 paveikslas.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vektoriai $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ yra bendros krypties arba vienas iš jų yra nulinis vektorius, tada kampas tarp vektorių yra lygus $0^0$.

Žymėjimas: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektorių skaliarinės sandaugos samprata

Matematiškai šį apibrėžimą galima parašyti taip:

Skaliarinė sandauga gali būti lygi nuliui dviem atvejais:

Jei vienas iš vektorių bus nulinis vektorius (nuo tada jo ilgis lygus nuliui).

Jei vektoriai yra vienas kitą statmeni (t.y. $cos(90)^0=0$).

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad vidinė sandauga yra didesnė už nulį, jei kampas tarp šių vektorių yra aštrus (nes $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , ir mažesnis už nulį, jei kampas tarp šių vektorių yra bukas (nuo $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Skaliarinio kvadrato sąvoka yra susijusi su skaliarinio sandaugos sąvoka.

2 apibrėžimas

Vektoriaus $\overrightarrow(a)$ skaliarinis kvadratas yra šio vektoriaus skaliarinė sandauga su pačiu savimi.

Gauname, kad skaliarinis kvadratas yra

Skaliarinės sandaugos apskaičiavimas pagal vektorių koordinates

Be standartinio taško produkto vertės nustatymo būdo, kuris išplaukia iš apibrėžimo, yra ir kitas būdas.

Pasvarstykime.

Tegul vektoriai $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ turi atitinkamai $\left(a_1,b_1\right)$ ir $\left(a_2,b_2\right)$ koordinates.

1 teorema

Vektorių $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ skaliarinė sandauga yra lygi atitinkamų koordinačių sandaugų sumai.

Matematiškai tai galima parašyti taip

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Įrodymas.

Teorema įrodyta.

Ši teorema turi keletą pasekmių:

1 išvada: Vektoriai $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ yra statmeni tada ir tik tada, kai $a_1a_2+b_1b_2=0$

2 pasekmė: Kampo tarp vektorių kosinusas yra $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektorių taško sandaugos savybės

Bet kokiems trims vektoriams ir tikrajam skaičiui $k$ yra teisinga:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ši savybė išplaukia iš skaliarinio kvadrato apibrėžimo (2 apibrėžimas).

poslinkio įstatymas:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ši savybė išplaukia iš vidinio produkto apibrėžimo (1 apibrėžimas).

Paskirstymo įstatymas:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(išvardinti)

Pagal 1 teoremą turime:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Derinio įstatymas:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(išvardinti)

Pagal 1 teoremą turime:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektorių skaliarinės sandaugos skaičiavimo problemos pavyzdys

1 pavyzdys

Raskite vektorių $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ vidinę sandaugą, jei $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ ir $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, o kampas tarp jų yra $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Sprendimas.

Naudodami 1 apibrėžimą, gauname

Už $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Už $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Už $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Už $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ dešinė)=-3\sqrt(2)\]

Jei užduotyje ir vektorių ilgiai, ir kampas tarp jų pateikti „ant sidabrinės lėkštutės“, tai uždavinio būklė ir jos sprendimas atrodo taip:

1 pavyzdys Pateikiami vektoriai. Raskite vektorių skaliarinę sandaugą, jei jų ilgiai ir kampas tarp jų yra pavaizduoti šiomis reikšmėmis:

Galioja ir kitas apibrėžimas, kuris visiškai atitinka 1 apibrėžimą.

2 apibrėžimas. Vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius (skaliaras), lygus vieno iš šių vektorių ilgio ir kito vektoriaus projekcijos į ašį, kurią nustato pirmasis iš šių vektorių, sandaugai. Formulė pagal 2 apibrėžimą:

Uždavinį išspręsime naudodami šią formulę po kito svarbaus teorinio punkto.

Vektorių skaliarinės sandaugos koordinatėmis apibrėžimas

Tą patį skaičių galima gauti, jei vektoriai yra padauginti iš jų koordinačių.

3 apibrėžimas. Vektorių taškinė sandauga yra skaičius, lygus atitinkamų jų koordinačių porinių sandaugų sumai.

Ant paviršiaus

Jei du vektoriai ir plokštumoje yra apibrėžti jų dviem Dekarto koordinatės

tada šių vektorių taškinė sandauga yra lygi jų atitinkamų koordinačių porinių sandaugų sumai:

2 pavyzdys Raskite vektoriaus projekcijos į ašį, lygiagrečią vektoriui, skaitinę reikšmę.

Sprendimas. Vektorių skaliarinę sandaugą randame sudėję jų koordinačių porines sandaugas:

Dabar turime prilyginti gautą skaliarinę sandaugą vektoriaus ilgio ir vektoriaus projekcijos į ašį, lygiagrečią vektoriui (pagal formulę), sandaugai.

Mes randame vektoriaus ilgį kaip Kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos:

Parašykite lygtį ir išspręskite:

Atsakymas. Norima skaitinė reikšmė yra minus 8.

Kosmose

Jei du vektoriai ir erdvėje yra apibrėžti jų trimis Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis

tada šių vektorių skaliarinė sandauga taip pat lygi jų atitinkamų koordinačių porinių sandaugų sumai, tik jau yra trys koordinatės:

Apsvarstytu būdu rasti skaliarinę sandaugą tenka išanalizavus skaliarinės sandaugos savybes. Nes užduotyje reikės nustatyti, kokį kampą sudaro padauginti vektoriai.

Vektorių taško sandaugos savybės

Algebrinės savybės

1. (komutacinė nuosavybė: jų skaliarinės sandaugos reikšmė nesikeičia keičiant padaugintų vektorių vietas).

2. (asociatyvinė savybė skaitinio koeficiento atžvilgiu: vektoriaus skaliarinė sandauga, padauginta iš vieno ir kito vektoriaus, yra lygi šių vektorių skaliarinei sandaugai, padaugintai iš to paties koeficiento).

3. (paskirstymo savybė vektorių sumos atžvilgiu: dviejų vektorių sumos skaliarinė sandauga iš trečiojo vektoriaus yra lygi pirmojo vektoriaus trečiojo vektoriaus ir antrojo vektoriaus trečiojo vektoriaus skaliarinių sandaugų sumai).

4. (didesnio už nulį vektoriaus skaliarinis kvadratas) jei yra nulinis vektorius, ir , jei yra nulinis vektorius.

Geometrinės savybės

Tiriamos operacijos apibrėžimuose jau palietėme kampo tarp dviejų vektorių sampratą. Atėjo laikas paaiškinti šią sąvoką.

Aukščiau esančiame paveikslėlyje matomi du vektoriai, kurie suvesti į bendrą pradžią. Ir pirmas dalykas, į kurį reikia atkreipti dėmesį: tarp šių vektorių yra du kampai - φ 1 Ir φ 2 . Kuris iš šių kampų atsiranda vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimuose ir savybėse? Nagrinėjamų kampų suma yra 2 π ir todėl šių kampų kosinusai yra lygūs. Taškinės sandaugos apibrėžimas apima tik kampo kosinusą, o ne jo išraiškos reikšmę. Tačiau nuosavybėse atsižvelgiama tik į vieną kampą. Ir tai yra vienas iš dviejų kampų, kuris neviršija π ty 180 laipsnių. Šis kampas parodytas paveikslėlyje kaip φ 1 .

1. Vadinami du vektoriai stačiakampis Ir kampas tarp šių vektorių yra dešinysis (90 laipsnių arba π /2) jei šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui :

Ortogonalumas vektorių algebroje yra dviejų vektorių statmena.

2. Susidaro du nuliniai vektoriai aštrus kampas (nuo 0 iki 90 laipsnių arba, kas yra tas pats, mažiau π taškinis produktas yra teigiamas .

3. Susidaro du nuliniai vektoriai bukas kampas (nuo 90 iki 180 laipsnių arba, kas yra tas pats - daugiau π /2 ) tada ir tik tada taškinis produktas yra neigiamas .

3 pavyzdys Vektoriai pateikiami koordinatėmis:

Apskaičiuokite visų pateiktų vektorių porų taškines sandaugas. Kokį kampą (smailų, dešinįjį, bukąjį) sudaro šios vektorių poros?

Sprendimas. Apskaičiuosime sudėję atitinkamų koordinačių sandaugas.

Gavome neigiamą skaičių, todėl vektoriai sudaro bukąjį kampą.

Gavome teigiamą skaičių, todėl vektoriai sudaro smailųjį kampą.

Gavome nulį, todėl vektoriai sudaro stačią kampą.

Gavome teigiamą skaičių, todėl vektoriai sudaro smailųjį kampą.

Norėdami atlikti savęs patikrinimą, galite naudoti internetinis skaičiuotuvas Taškinė vektorių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas .

4 pavyzdys Atsižvelgiant į dviejų vektorių ilgius ir kampą tarp jų:

Nustatykite, kokia skaičiaus reikšme vektoriai ir yra stačiakampiai (statmenai).

Sprendimas. Vektorius padauginame pagal daugianario daugybos taisyklę:

Dabar apskaičiuokime kiekvieną terminą:

Sudarykime lygtį (produkto lygybė nuliui), suteikime panašius terminus ir išspręskime lygtį:

Atsakymas: mes gavome vertę λ = 1,8 , kai vektoriai yra stačiakampiai.

5 pavyzdysĮrodykite, kad vektorius statmena (statmena) vektoriui

Sprendimas. Norėdami patikrinti ortogonalumą, padauginame vektorius ir kaip polinomus, vietoj jos pakeisdami uždavinio sąlygoje pateiktą išraišką:

Norėdami tai padaryti, turite padauginti kiekvieną pirmojo daugianario terminą (terminą) iš kiekvieno antrojo polinomo ir pridėti gautus produktus:

Dėl to sumažėja mokėtina dalis. Gaunamas toks rezultatas:

Išvada: daugybos rezultate gavome nulį, todėl vektorių ortogonalumas (statmenumas) įrodytas.

Išspręskite problemą patys ir tada pamatykite sprendimą

6 pavyzdys Atsižvelgiant į vektorių ilgius ir , Ir kampas tarp šių vektorių yra π /4 . Nustatykite, kokia verte μ vektoriai ir yra viena kitai statmenos.

Norėdami atlikti savęs patikrinimą, galite naudoti internetinis skaičiuotuvas Taškinė vektorių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas .

Vektorių skaliarinės sandaugos ir n-mačių vektorių sandaugos matrica

Kartais aiškumo dėlei naudinga du padaugintus vektorius pavaizduoti matricų pavidalu. Tada pirmasis vektorius vaizduojamas kaip eilučių matrica, o antrasis - kaip stulpelių matrica:

Tada vektorių skaliarinė sandauga bus šių matricų sandauga :

Rezultatas yra toks pat, kaip ir gautas taikant mūsų jau svarstytą metodą. Gavome vieną skaičių, o matricos eilutės sandauga iš matricos stulpelio taip pat yra vienas skaičius.

Matricos formoje patogu vaizduoti abstrakčių n-mačių vektorių sandaugą. Taigi dviejų keturmačių vektorių sandauga bus keturių elementų eilučių matricos sandauga su stulpelio matrica, taip pat su keturiais elementais, dviejų penkiamačių vektorių sandauga bus eilučių matricos su penkiais elementais sandauga stulpelio matrica taip pat su penkiais elementais ir pan.

7 pavyzdys Raskite vektorių porų taškinius produktus

naudojant matricinį atvaizdavimą.

Sprendimas. Pirmoji vektorių pora. Pirmąjį vektorių pavaizduojame kaip eilučių matricą, o antrąjį – kaip stulpelių matricą. Šių vektorių skaliarinę sandaugą randame kaip eilutės matricos sandaugą iš stulpelio matricos:

Panašiai reprezentuojame antrąją porą ir randame:

Kaip matote, rezultatai yra tokie patys kaip ir tų pačių porų iš 2 pavyzdžio.

Kampas tarp dviejų vektorių

Kampo tarp dviejų vektorių kosinuso formulės išvedimas yra labai gražus ir glaustas.

Išreikšti vektorių taškinę sandaugą

(1)

V koordinačių forma, pirmiausia randame ortų skaliarinę sandaugą. Vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi yra pagal apibrėžimą:

Tai, kas parašyta aukščiau esančioje formulėje, reiškia: vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi yra lygi jo ilgio kvadratui. Nulio kosinusas yra lygus vienetui, todėl kiekvienos ortos kvadratas bus lygus vienetui: