Tegul jai patinka pamokos. Kompiuterijos ir IKT „loginės algebros elementų“ egzaminas. Individualaus darbo užduotys

Pamokos tikslai:

Švietimo

Gaukite idėją apie teiginio algebrą.
Kompleksinio teiginio sąvokos įvedimas.
Supažindinkite studentus su pagrindinėmis loginėmis operacijomis.
Tiesos lentelių sudarymas sudėtingiems teiginiams.

Besivystanti

Pažintinės veiklos plėtra.
Gebėjimo analizuoti, daryti bendras išvadas ugdymas.

Švietimo

Suprasti ryšius tarp kitų studentų, elgesio kultūrą.

CRC: Pranešimai „Logikos istorija“ [1 priedas], „Mąstymo formos“ [2 priedas].

Pamokos planas:

Laiko organizavimas.
Ką tiria logika? Kokios yra pagrindinės logikos sąvokos?
Iš kur atsirado teiginių algebra? Studentų žinutė.
Kaip pateikiami sudėtingi teiginiai? Loginės operacijos.
Pasiruošimas egzaminui. Žinių įtvirtinimas.

KLASIŲ METU

I. Organizacinis momentas.

Problemos formulavimas:

Ką bendro turi algebra su logikos algebra?
Kokios yra logikos algebros operacijos ir kaip jos skiriamos?
Koks bus operacijos rezultatas?
Kokias logines operacijas naudojame formuluodami teoremas?

II. Atnaujinama.

Frontalinė apklausa „Kas yra logika? Pagrindinės logikos sąvokos “.

Peržiūrėkite klausimus:

Ką tiria logika? Kokios yra pagrindinės logikos sąvokos?

Kas yra „sąvoka“ logikos požiūriu? Pateikite pavyzdžių.

Kokios yra dvi koncepcijos pusės?

Kas yra teiginys? Kokių tipų teiginius žinote (pateikite bendrų, privačių ir individualių teiginių pavyzdžius)

Iš šių sakinių pasirinkite tuos, kurie yra teiginiai, ir pagrįskite savo pasirinkimą.

Napoleonas buvo Prancūzijos imperatorius.
Koks atstumas nuo Žemės iki Marso?
Dėmesio! Pažvelk į dešinę.
Elektronas yra elementari dalelė.
Nepažeiskite kelių eismo taisyklių!
„Polaris“ yra Mažosios Ursa žvaigždyne.
Ne viskas kas blizga yra auksas.

Paaiškinkite, kodėl bet kurios teoremos teiginys yra teiginys.

Kurie iš pateiktų pavyzdžių yra privatūs, o kurie bendrieji?

Ne visose knygose yra naudingos informacijos.
Katė yra augintinis.
Kai kurie studentai yra prasti studentai.
Visi ananasai skanūs.
Daugelis augalų turi gydomųjų savybių.
Bet kuris neprotingas žmogus vaikšto ant rankų.
A yra pirmoji abėcėlės raidė.

Kokiomis priemonėmis gaunamos naujos žinios apie objektus?

Kokius samprotavimus žinote?

Pateikite dedukcinių, indukcinių ir analogiškų samprotavimų pavyzdžių.

III. Naujų žinių formavimas.

Mažas studento pranešimas apie tai, kaip ir kada atsirado teiginių algebra.

Galite naudoti pristatymą „Logikos istorija“ [1 priedas].

Mokytojas. Logikos algebros tyrimai yra glaudžiai susiję su teiginių tyrimu. Teiginių pagalba nustatome savybes, santykius su objektais. Teiginys yra teisingas, jei jis tinkamai atspindi šį ryšį, kitaip jis yra klaidingas..

Apibrėžimas. Teiginys vadinamas paprastu, jei nė viena jo dalis nėra teiginys.

Naudojami įprastoje kalboje, raiščiai "ir", "arba", "ne", "jei ... tada ...", "jei ir tik jei ..." ir kt. leidžia kurti naujus sudėtingus teiginius iš jau pateiktų teiginių. Tai yra logiškos operacijos, pavyzdžiui, sudėjimas, dauginimas įprastoje algebroje.

Gautos tiesos ar melagingumas. teiginiai priklauso nuo pirminių teiginių tiesos ar melagingumo ir atitinkamo jungiamųjų elementų kaip loginių teiginių operacijų aiškinimo.

Tiesai žymėti paprastai naudojami ženklai „I“ ir „1“, o melagingumui - simboliai „Л“ ir „0“.

Loginę operaciją galima apibūdinti tiesos lentele, nurodant, kokias vertes kompleksinis teiginys turi visoms įmanomoms paprastų teiginių reikšmėms.

Apsvarstykime logines operacijas.

1. Konjunkcija.

Apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš dviejų ar daugiau teiginių, sujungiant juos su „And“ ryšuliu, vadinamas jungtuku arba loginiu dauginimu.

Čia galite samprotauti su vaikinais, paprastais teiginiais paėmę akivaizdų A \u003d (2 * 2 \u003d 4) ir B \u003d (2 * 2 \u003d 5) ir kt. Mes darome išvadą:

Išreikšdami jungtį, mes tvirtiname, kad abu šie nagrinėjami įvykiai yra įvykdyti.

Pavyzdžiui, pranešdami (Petrovai nuėjo pas dachą ir pasiėmė šunį su savimi) viename pareiškime išreiškiame įsitikinimą, kad įvyko abu šie įvykiai.

Suformuluokime taisyklę.

Taisyklė. Sudėtinis sakinys, suformuotas kartu, yra teisingas tik tada, jei visi į jį įtraukti paprasti teiginiai yra teisingi.

Paskyrimas. AB, A ir B, A * B, A ir B.

Tiesos lentelė.

Užduotis. Pateikite jungtuko pavyzdžius.

Pavyzdys. Apsvarstykite du teiginius A \u003d (rytoj bus šalna) ir B \u003d (rytoj snigs). Naujas teiginys A & B yra teisingas tik tuo atveju, jei abu šie teiginiai yra teisingi.

Rusų kalba jungtys, be jungties „ir“, taip pat atitinka raiščius „a“ ir „bet“.

2. Disjunkcija.

Apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš dviejų ar daugiau teiginių, sujungiant juos su nuoroda „OR“, vadinamas disjunkcija arba loginiu papildymu.

Panašiai mes ginčijamės dėl sudėtingo teiginio, sukurto naudojant „arba“, tiesos, naudojant vaikinams akivaizdžius pavyzdžius.

Suformuluokime išvadą:

Teiginiuose, kuriuose yra nuoroda „OR“, nurodoma, kad yra du ar daugiau galimų įvykių, iš kurių bent vienas turi būti realizuotas.

Pavyzdžiui, pranešdami (Tolya geria arbatą ar skaito knygą), mes vienu pareiškimu išreiškiame įsitikinimą, kad bent vienas iš šių įvykių įvyko.

Suformuluokime taisyklę.

Taisyklė. Sudėtinis teiginys, sudarytas iš disjunkcijos, yra teisingas, jei bent vienas iš paprastų teiginių, įtrauktų į jį, yra teisingas.

Paskyrimas. AB, A + B, A arba B.

Tiesos lentelė.

Užduotis. Pateikite pavyzdžių.

Pavyzdys. Tegul A \u003d (Kolumbas buvo Indijoje), o B \u003d (Kolumbas buvo Egipte).

AB teiginys bus teisingas ir tuo atveju, jei Kolumbas buvo Indijoje, bet nebuvo Egipte, ir jei jis buvo Egipte, bet nebuvo Indijoje. Bet šis teiginys bus melagingas, nes jis nebuvo nei Indijoje, nei Egipte.

3. Išskirtinis „ARBA“.

Junginys „arba“ gali būti vartojamas kalboje ir kita, išskirtine prasme. Tada tai atitinka kitą teiginį - dalijamasis arba griežtas disjunkcija.

Apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš dviejų ar daugiau sakinių, sujungiant juos su nuoroda „OR“, vadinamas skiriamuoju disjunkcija (griežtas), išskyrus „arba“, papildymo modulo 2.

Skirtingai nuo įprasto disjunkcijos, mes tvirtiname, kad įvyks vienas iš dviejų dalykų.

Pavyzdžiui, (Tolja geria arbatą ar pieną), (Kolja sėdi ant A arba B pakylos).

Suformuluokime taisyklę.

Taisyklė. Griežtas arba dalijantis disjunkcija yra logiška operacija, kuri susirašinėja tarp dviejų teiginių naują teiginį, kuris yra teisingas tik tada, jei tiksliai vienas iš teiginių yra teisingas .

Paskyrimas. AB.

Tiesos lentelė.

Užduotis. Pateikite pavyzdžių.

Pavyzdys. Tegul A \u003d (katė medžioja peles), B \u003d (katė miega ant sofos). Naujas AB teiginys bus teisingas dviem atvejais, kai katė medžioja peles arba kai katė miega ramiai. Šis teiginys bus melagingas, jei katė nedarys nei vieno, nei kito, kaip ir tuo atveju, kai abu įvykiai turėtų vykti vienu metu.

4. Inversija.

Apibrėžimas. Neigimas (inversija) yra logiška operacija, kiekvienam elementariam teiginiui priskirianti naują teiginį, kurio reikšmė priešinga pradiniam.

Rusų kalba, norint sukonstruoti neigimą, naudojama nuoroda „netiesa, kas“.

Klausimas: kada bus teisingas tokiu būdu sukonstruotas teiginys?

Inversija paverčia tikrąjį teiginį klaidingu ir klaidingą teiginį.

Užduotis. Pateikite pavyzdžių.

Pavyzdys. Teiginio paneigimas (aš namuose turiu kompiuterį) bus teiginys (Netiesa, kad namuose turiu kompiuterį) arba, kas yra tas pats (neturiu kompiuterio namuose).

Paskyrimas. ¬A

Tiesos lentelė.

1. Teiginio paneigimas (aš nemoku totorių kalbos) bus teiginys (Netiesa, kad nemoku totorių kalbos) arba (Aš moku totorių kalbą).

2. Teiginio paneigimas (visi 11 klasės berniukai yra puikūs mokiniai) yra teiginys (netiesa, kad visi 11 klasės berniukai yra puikūs mokiniai) arba (ne visi 11 klasės berniukai yra puikūs mokiniai) arba, kitaip tariant, (kai kurie 11 klasės berniukai yra x pažymiai nėra puikūs mokiniai).

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad sukonstruoti duoto teiginio neigimą yra gana paprasta. Tačiau taip nėra.

1 pavyzdys. Pareiškimas (visi 11 klasės berniukai nėra puikūs mokiniai) nėra teiginio paneigimas (visi 11 klasės berniukai yra puikūs mokiniai). Tai paaiškinama taip. Teiginys (visi 11 klasės berniukai yra puikūs mokiniai) yra klaidingas. Klaidingo teiginio paneigimas turi būti teisingas teiginys. Tačiau teiginys (visi 11 klasės jaunuoliai nėra puikūs mokiniai) nėra teisingas, nes tarp vienuoliktų klasių yra ir puikių, ir ne puikių mokinių.

2 pavyzdys. Teiginyje (automobilių stovėjimo aikštelėje yra raudonų žigulių) šie sakiniai nebus paneigti:

1) (Aikštelėje nėra raudonų žigulių);

2) (Aikštelėje yra baltas „Mercedes“);

H) (Raudonųjų žigulių nėra automobilių stovėjimo aikštelėje).

Siūloma šį pavyzdį suprasti savarankiškai. Klasė suskirstyta į grupes, šis pavyzdys aptariamas grupėje, tada pranešėjai grupės vardu išsako savo nuomonę.

Išanalizavus šiuos pavyzdžius, galima gauti naudingą taisyklę.

Paprasto teiginio neigimo sudarymo taisyklė:

Konstruojant neigimą, naudojamas paprastas teiginys arba žodinė apyvarta „netiesa, kad“, arba neiginys sukonstruojamas iki predikato, tada dalelė „ne“ pridedama prie predikato, o žodis „visi“ pakeičiamas žodžiu „kai kurie“ ir atvirkščiai.

Užduotis. Sukurkite teiginių neigimą:

Visi vaikinai gali plaukioti.
Amžino judesio aparato sukurti neįmanoma.
Kiekvienas žmogus yra menininkas.
Žmogus gali viską.
Šiandien teatre rodoma opera „Eugenijus Oneginas“.

5. Operacijų prioritetas.

Kiekvienas junginys gali būti išreikštas kaip formulė (loginė išraiška), į kurią įeis simboliai, žymintys teiginius ir jų neiginius, susieti loginių operacijų ženklais.

Operacijų prioritetas:

Inversija
Sąsaja
Disjunkcija

Užduotis. Išdėstykite loginės išraiškos veiksmų tvarką

IV. Išmoktųjų įtvirtinimas.

Šios užduotys atliekamos savarankiškai, tada aptariamas sprendimas.

Užduotys studentams:

1. Tolesniuose teiginiuose išryškinkite paprastus, pažymėdami kiekvieną iš jų po raidę; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami loginių operacijų raides ir ženklus.

a) Skaičius 376 yra lyginis ir trijų skaitmenų.

b) Žiemą vaikai eina čiuožti ar slidinėti.

c) Naujuosius metus sutiksime dachoje arba Raudonojoje aikštėje.

d) Netiesa, kad Saulė juda aplink Žemę.

f) Žemė turi rutulio formą, kuri iš kosmoso atrodo mėlyna.

g) Matematikos pamokoje vyresnieji mokiniai atsakė į mokytojo klausimus, taip pat parašė savarankišką darbą.

3. Ar šios sakinių poros neigia viena kitą? Diskusija.

a) Jis yra mano draugas. Jis yra mano priešas.

b) didelis namas. Mažas namas.

c) didelis namas. Mažas namas.

d) X\u003e 2.X< 2.

4. Tegul p \u003d (Ana mėgsta matematikos pamokas) ir q \u003d (Ana mėgsta chemijos pamokas). Išreikškite šias formules natūralia kalba. Komentavimas.

Kortelės

a u (Marsas - planeta) yra tikras teiginys;
b ir (Marsas - planeta) yra klaidingas teiginys;
c arba (Saulė yra Žemės palydovas) yra teisingas teiginys;
d arba (Saulė yra Žemės palydovas) yra klaidingas teiginys.

Nustatykite loginių kintamųjų a, b, c, d reikšmes, jei:

a arba (1 litras pieno yra brangesnis nei 1 kg sviesto) - tiesa;
b ir (1 litras pieno yra brangesnis nei 1 kg sviesto) - klaidinga;
c arba (sviestas brangesnis už varškę) - tiesa;
d ir (sviestas yra brangesnis už varškę) yra klaidingas teiginys.

Tegul a \u003d „ši naktis yra žvaigždėta“ ir b \u003d „ši naktis yra šalta“. Išreikškite šias formules bendrine kalba:

a ir b;
a ir ne b;
ne a ir ne b;

Papildoma užduotis - užduotys iš egzamino.

Egzamino užduotys

A10. Kokiomis kintamųjų reikšmėmis yra logiškas spėjimas. Išdėstykite loginės išraiškos veiksmų eilę.pykštanti išraiška), kurioje bus simbolius, žyminčius išraiškas

¬ (M \u003d N) v ¬ (M<Р) принимает значение “Ложь”?

M \u003d 1; N \u003d 1; P \u003d 0
M \u003d -1; N \u003d -1; P \u003d 0
M \u003d 1; N \u003d 1; P \u003d 0
M \u003d 0; N \u003d 0; P \u003d -1

A12. Iš dviejų teiginių „Dėdė Fiodoras ir katinas Matroskis nemėgsta pieno“ ir „Katė Matroskinas nemyli“ Pieno vienas yra melagingas, kitas teisingas. Kuris iš jų nemėgsta pieno?

1) Abu nemėgsta pieno.

2) Abu myli Pieną.

H) Katinas Matroskinas myli pieną, bet dėdė Fiodoras - ne.

4) Dėdė Fedoras mėgsta pieną, bet Katinas Matroskinas - ne.

V. Namų darbai.

Vadovėlis: Ugrinovičius, 10-11 kl., P. 3.2 (p. 125-129), mankšta. 3.1.

Sugalvokite kiekvienos loginės operacijos pavyzdžius.

Vi. Pamokos santrauka.

Klausimai, skirti apibendrinti pamoką:

Ką naujo sužinojote šios dienos pamokoje?
Kaip galime gauti sudėtingus kelių paprastų teiginius?
Kokias logines operacijas jūs žinote dabar?
Kas lemia kompleksinio teiginio tiesą?

Literatūra

Matematiniai kompiuterijos pagrindai. Pasirenkamasis kursas: vadovėlis / Andreeva E.V., Bosova L.L., Falina I.N. M.: BINOMAS. Žinių laboratorija, 2005 m.
Kompiuterija. Probleminė knyga-seminaras 2 tomuose / red. Semakina I.G., Henner E.K. M .: Pagrindinių žinių laboratorija, 2001 m.
Pasiruošimas kompiuterių egzaminui. Pasirenkamasis kursas: vadovėlis / N. N. Samylkina, S. V. Rusakovas, A.P. Šestakovas, S.V. Badaninas. - M.: BINOMAS. Žinių laboratorija, 2008 m.

5.1. Nustatykite, kurie iš šių sakinių yra logiški teiginiai, o kurie ne (paaiškinkite, kodėl):

- ir) "Saulė yra žemės palydovas";
- b) "2+3 =4 ";
- in) "puikus oras šiandien";
- d) "romane L.N. Tolstojus „Karas ir taika“ 3 432 536 žodžiai";
- e) "Sankt Peterburgas yra prie Nevos";
- e) "bacho muzika yra per daug sudėtinga";
- g) "pirmasis kosminis greitis yra 7,8 km / s";
- h) "geležis - metalas";
- ir) "jei vienas trikampio kampas yra tiesus, tai trikampis bus bukas";
- iki) "jei dviejų trikampio kraštinių kvadratų suma lygi trečiojo kvadratui, tada ji yra stačiakampė".

[ Atsakymas ] 5.1. Ar pasakymai: a), d), e), g), h), i), j);
nėra teiginiai: b); in); e).

5.2. Nurodykite, kurie iš ankstesnio pratimo teiginių yra teisingi, kurie melagingi ir kurie yra tarp tų, kuriuos sunku ar neįmanoma nustatyti.
[ Atsakymas ] 5.2. Tiesa: e), h), j);
klaidinga: a), i);
sunku nustatyti: d);
galima laikyti ir tikra, ir melaginga atsižvelgiant į reikiamą vaizdavimo tikslumą: g).

5.3. Pateikite teisingų ir melagingų teiginių pavyzdžius:

- ir) iš aritmetikos; b) iš fizikos;
- in) iš biologijos; d) iš kompiuterių mokslo;
- e) iš geometrijos; e) nuo gyvenimo.

[ Atsakymas ] 5.3. Pavyzdžiai.
Tikri teiginiai: a) "2+2=4 "; b) "kūnų traukos jėga yra atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui" in) „kiškiai valgo augalus“; d) "šiek tiek yra pagrindinis informacijos vienetas, naudojamas informacijos teorijoje"; e) "du trikampiai yra lygūs, jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra lygūs abiejų kraštinių kraštams ir kampams tarp jų"; e) „Pirmadienis yra pirmoji savaitės diena“.
Klaidingi teiginiai: ir) "4+3=5" ; b) „kūnas krenta į Žemę pagreičiu, proporcingu jo masei“; in) „gyvūnai yra negyva gamta“ d) "informatika yra metalų terminio apdorojimo mokslas"; e) "kvadratas yra figūra iš penkių pusių"; e) "liūtas yra augintinis"

5.4. Suformuluokite šių teiginių ar posakių neiginius:

- ir) "Elbrusas - aukščiausia kalnų viršūnė Europoje";
- b) "2>=5 ";
- in) "10<7 ";
- d) "visi natūralieji skaičiai yra sveiki skaičiai";
- e) "galite nupiešti apskritimą per bet kuriuos tris plokštumos taškus";
- e) "tenisininkas Kafelnikovas nepralaimėjo paskutinio žaidimo";
- g) "";
- h) "šis rytas giedras ir šiltas";
- ir) "skaičius n dalijasi iš 2 arba 3";
- iki) "";
- l) "teste kiekvienas studentas rašė savo rašikliu".

[ Atsakymas ] 5.4. ir) „Elbrusas nėra aukščiausia kalnų viršūnė Europoje“; b) "2<5" ; in) "10>=7" ; d) "ne visi natūralūs skaičiai yra sveiki skaičiai"; e) "ne per tris taškus plokštumoje galite piešti apskritimą"; e) „tenisininkas Kafelnikovas pralaimėjo finalinį žaidimą“; g) „taikinys nėra pataikytas pirmu šūviu“; h) "šis rytas nėra aiškus ar ne šiltas" (Paaiškinimas. Tegul IR = "šitas rytas aiškus"ir B = "šis rytas yra šiltas"... Tada "šis rytas yra giedras ir šiltas" galima rašyti kaip IR. IN, kurio neigimas yra tas, kuris atitinka išraiškos formą „šis rytas nėra aiškus arba nėra šiltas"; ir)"skaičius n nesidalija iš 2 ir jis dalijasi iš 3"; iki) "šis trikampis nėra lygiašonis arba stačiakampis"; l) "ne kiekvienas studentas parašė kontrolę savo rašikliu" (variantas: „kažkas nerašė testo savo rašikliu“).

5.5. Nustatykite, kurie iš šių porų teiginių (išraiškos formų) yra vienas kito neiginiai, o kurie ne:

- ir) "5<10 ", "5>10 ";
- b) "10>9 ", "10<=9 ";
- in) "taikinys pataikytas pirmu smūgiu", "taikinys pataikė antru šūviu";
- d) "automobilis sustojo prie kiekvieno iš dviejų šviesoforų", "automobilis nestojo prie kiekvieno iš dviejų šviesoforų",
- e) "žmonija žino visas Saulės sistemos planetas", "saulės sistemoje yra žmonijai nežinomų planetų";
- e) "yra baltų dramblių", "visi drambliai yra pilki";
- g) "banginis - žinduolis", "banginis - žuvis";
- h) "netiesa, kad taškas A nėra tiesėje a", "taškas A guli tiese a";
- ir) "linija a yra lygiagreti tiesei b", "linija statmena tiesei b";
- iki) "šis trikampis yra lygiašonis ir stačiakampis", "šis trikampis nėra lygiašonis arba stačiakampis".

[ Atsakymas ] 5.5. Jie yra vienas kito neiginiai: b), d), e), j);
nėra vienas kito neiginiai: a), c), f), g), h), i).

5.6. Nustatykite teiginių tiesos vertes:

- ir) "norint įstoti į institutą pakanka turėti vidurinio išsilavinimo pažymėjimą";
- b) "stojant į institutą būtinas vidurinio išsilavinimo pažymėjimas";
- in) "jei sveikasis skaičius dalijasi iš 6, tai jis dalijasi iš 3";
- d) "trikampių panašumas yra būtina jų lygybės sąlyga";
- e) "trikampių panašumas yra būtina ir pakankama sąlyga jų lygybei";
- e) "trikampiai yra panašūs tik tuo atveju, jei jie yra lygūs";
- g) "trikampiai yra lygūs tik tuo atveju, jei jie yra panašūs";
- h) "trikampių lygybė yra pakankama jų panašumo sąlyga";
- ir) "kad trikampiai būtų nevienodi, pakanka, kad jie būtų nepanašūs";
- iki) "kad keturkampis būtų kvadratas, pakanka, kad jo įstrižainės būtų lygios ir statmenos".

[ Atsakymas ] 5.6. Tiesa: b), c), d), h), j), i);
klaidinga: a), e), f), g).

5.7. Šiose teiginių formose sakinius pakeiskite vietoj loginių kintamųjų a, b, c, d, kad tokiu būdu gauti sudėtiniai teiginiai turėtų reikšmės kasdieniame gyvenime:

- ir) jeigu (ir arba (gim ir nuo)), tada d;
- b) jeigu (ne ir ir ne b), tada (iš arba d);
- in) (ir arba b) jeigu, ir tik jeigu (iš ir ne d).

5.8. Suformuluokite šią išvadą: "Jei a ir b tada yra tiesa c - tiesa. Bet c - klaidingas: reiškia, a arba b melagingas “.
[ Atsakymas ] 5.8. .

Skaičius 376 yra lyginis ir trijų skaitmenų.

Skaičius dalijasi iš 3 tik tada, jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3

Simbolis F x , y , z F F ? 1)

Savarankiškas darbas

2 variantas

Leisti būti P Klausimas

Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus, pažymėdami kiekvieną iš jų raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami loginių operacijų raides ir ženklus.

Žiemą vaikai eina čiuožinėti ar slidinėti.
Jei natūralaus skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai skaičius dalijasi iš 3.

Simbolis F nurodoma viena iš šių loginių išraiškų iš trijų argumentų:x , y , z ... Pateiktas išraiškos tiesos lentelės fragmentasF ... Kuris posakis sutampaF ? 1)

Savarankiškas darbas

3 variantas

Leisti būti P \u003d (Anai patinka matematikos pamokos), irKlausimas \u003d (Anyai patinka chemijos pamokos). Išreikškite šias formules natūralia kalba:

Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus, pažymėdami kiekvieną iš jų raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami loginių operacijų raides ir ženklus.

Netiesa, kad saulė juda aplink žemę.
Jei vakar buvo sekmadienis, tai Dima vakar nebuvo mokykloje ir visą dieną vaikščiojo.

Simbolis F nurodoma viena iš šių loginių išraiškų iš trijų argumentų:x , y , z ... Pateiktas išraiškos tiesos lentelės fragmentasF . Kuris posakis sutampaF ? 1)

Savarankiškas darbas

4 variantas

Leisti būti P \u003d (Anai patinka matematikos pamokos), irKlausimas \u003d (Anyai patinka chemijos pamokos). Išreikškite šias formules natūralia kalba:

Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus, pažymėdami kiekvieną iš jų raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami loginių operacijų raides ir ženklus.

Matematikos pamokoje gimnazistai atsakė į mokytojo klausimus, taip pat rašė savarankišką darbą.

Simbolis F nurodoma viena iš šių loginių išraiškų iš trijų argumentų:x , y , z ... Pateiktas išraiškos tiesos lentelės fragmentasF ... Kuris posakis sutampaF ? 1)

Raktažodžiai:

logikos algebra
ištarimas
logiška operacija
jungtukas
disjunkcija
neigimas
loginė išraiška
tiesos lentelė
logikos dėsniai

1.3.1. Pasakymas

Algebra plačiąja šio žodžio prasme yra mokslas apie bendras operacijas, analogiškas sudėjimui ir dauginimui, kurį galima atlikti su įvairiais matematiniais objektais. Mokykitės daugybės matematinių objektų (sveikieji skaičiai ir racionalieji skaičiai, daugianariai, vektoriai, aibės) mokyklos algebros kurse, kur susipažinsite su tokiomis matematikos šakomis kaip skaičių algebra, polinomų algebra, aibių algebra ir kt.

Informatikai svarbi matematikos šaka, vadinama logikos algebra; logikos algebros objektai yra teiginiai.

Pavyzdžiui, kalbant apie sakinius „Puikus rusų mokslininkas MV Lomonosovas gimė 1711 m.“ Ir „Du plius šeši yra aštuoni“, galime vienareikšmiškai pasakyti, kad jie teisingi. Sakinys „Žvirbliai žiemoja žiemą“ yra melagingas. Vadinasi, šie sakiniai yra teiginiai.

Pavyzdžiui, sakinys „Šis sakinys yra melagingas“ nėra teiginys, nes apie jį negalima pasakyti, ar jis teisingas, ar neteisingas, nesulaukiant prieštaravimo. Iš tiesų, jei mes pripažįstame, kad sakinys yra teisingas, tai prieštarauja tai, kas pasakyta. Jei sutiksime, kad pasiūlymas yra melagingas, vadinasi, jis yra teisingas.

Kalbant apie sakinį „Kompiuterinė grafika yra įdomiausia tema mokyklos informatikos srityje“, taip pat negalima vienareikšmiškai pasakyti, ar tai tiesa, ar melas. Pagalvokite patys, kodėl.

Pavyzdžiui, tokie sakiniai: „Užsirašyk namų darbus“, „Kaip patekti į biblioteką?“, „Kas pas mus atėjo? ".

Teiginių pavyzdžiai:

„Na yra metalas“ (tikras pasakymas);
„Antrasis Niutono dėsnis išreiškiamas formule F \u003d m a“ (teisingas teiginys);
"Stačiakampio, kurio kraštinės ilgis a u b, perimetras yra lygus b" (klaidingas teiginys).

Skaitinės išraiškos nėra teiginiai, tačiau teiginį galite padaryti iš dviejų skaitinių posakių, susiedami juos su lygybės ar nelygybės ženklais. Pavyzdžiui:

"34-5 \u003d 2 4" (teisingas teiginys);
„II4-VI\u003e VIII“ (melagingas teiginys).

Ar kintamieji nėra teiginiuose ir lygybėse ar nelygybėse. Pavyzdžiui, sakinys „X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Teiginių tiesos ar melagingumo pagrindimą sprendžia tie mokslai, kuriems jie priklauso. Logikos algebra yra atitraukta nuo semantinio teiginių turinio. Ją domina tik tai, ar pateiktas teiginys yra teisingas, ar melagingas. Logikos algebroje teiginiai žymimi raidėmis ir vadinami loginiais kintamaisiais. Be to, jei teiginys yra teisingas, atitinkamo loginio kintamojo reikšmė žymima vienu (A \u003d 1), o jei klaidinga - nuline (B \u003d 0). 0 ir 1s, žymintys loginių kintamųjų reikšmes, vadinami loginėmis reikšmėmis.

Veikdama su loginiais kintamaisiais, kurie gali būti lygūs tik 0 arba 1, loginė algebra leidžia sumažinti informacijos apdorojimą iki operacijų su dvejetainiais duomenimis. Būtent logikos algebros aparatas yra kompiuterių saugojimo ir informacijos apdorojimo įrenginių pagrindas. Susitiksite su logikos algebros elementų naudojimu daugelyje kitų informatikos sričių.

1.3.2. Loginės operacijos

Teiginiai yra paprasti ir sudėtingi. Teiginys vadinamas paprastu, jei nė viena jo dalis nėra pats teiginys. Kompleksiniai (sudėtiniai) teiginiai yra kuriami iš paprastų, naudojant logines operacijas.

Panagrinėkime pagrindines logines operacijas, apibrėžtas teiginiuose. Visi jie atitinka natūralioje kalboje vartojamus raiščius.

Sąsaja

Apsvarstykite du teiginius: A \u003d "Loginės algebros įkūrėjas yra George'as Boole'as", B \u003d "Claude'o Shannono tyrimai leido taikyti loginę algebrą skaičiuojant". Akivaizdu, kad naujas teiginys „Logikos algebros įkūrėjas yra George'as Boole'as, o Claude'o Shannono tyrimas leido taikyti logikos algebrą skaičiuojant“ yra teisingas tik tuo atveju, jei abu pradiniai teiginiai yra teisingi vienu metu.

Junginiui rašyti naudojami šie ženklai: ,, Ir, &. Pvz .: A B, A B, A IR B, A & B.

Junginį galima apibūdinti lentelės forma, kuri vadinama tiesos lentele:

Tiesų lentelėje pateikiamos visos galimos pirminių sakinių reikšmės (A ir B stulpeliai), o atitinkami dvejetainiai skaičiai paprastai išdėstomi didėjimo tvarka: 00, 01, 10, 11. Paskutiniame stulpelyje pateikiamas atitinkamų operandų loginės operacijos rezultatas.

Priešingu atveju jungtukas vadinamas loginiu dauginimu. Pagalvok, kodėl.

Disjunkcija

Apsvarstykite du teiginius: A \u003d „Matematinių simbolių naudojimo logikoje idėja priklauso Gottfriedui Wilhelmui Leibnizui“, B \u003d „Leibnizas yra dvejetainės aritmetikos pradininkas“. Akivaizdu, kad naujas teiginys „Idėja naudoti matematinius simbolius logikoje priklauso Gottfriedui Wilhelmui Leibnizui arba Leibnizas yra dvejetainės aritmetikos pradininkas“ yra melagingas tik tuo atveju, jei abu pradiniai teiginiai yra melagingi vienu metu.

Patys nustatykite trijų svarstytų teiginių tiesą ar melagingumą.

Parašant disjunkciją naudojami šie ženklai: v, |, OR, +. Pvz .: AvB, A | B, A OR B, A + B.

Disjunkcija apibrėžiama šioje tiesos lentelėje:

Kitu atveju disjunkcija vadinama loginiu papildymu. Pagalvok, kodėl.

Inversija

Inversijai rašyti naudojami šie ženklai: NOT, ¬, ‾. Pvz .: NE, ¬, ‾.

Inversija nustatoma pagal šią tiesos lentelę:

Inversija dar vadinama loginiu neigimu.

Teiginio „namuose turiu kompiuterį“ paneigimas bus teiginys „Netiesa, kad namie turiu kompiuterį“ arba, tas pats rusų kalba, „neturiu kompiuterio namuose“. Teiginio „Aš nemoku kinų kalbos“ paneigimas bus teiginys „Netiesa, kad nemoku kinų kalbos“ arba, tas pats rusų kalba, „Aš moku kinų kalbą“. Teiginio „Visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“ paneigimas yra teiginys „Netiesa, kad visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“, kitaip tariant, „Ne visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“.

Taigi, konstruojant neigimą, naudojamas paprastas teiginys arba žodinė apyvarta „netiesa, kad ...“, arba neiginys sukonstruojamas iki predikato, tada dalelė „ne“ pridedama prie atitinkamo veiksmažodžio.

Bet koks sudėtingas teiginys gali būti parašytas loginės išraiškos forma - išraiška, kurioje yra loginiai kintamieji, loginių operacijų ženklai ir skliausteliuose. Loginės operacijos logine išraiška atliekamos tokia tvarka: inversija, jungtukas, disjunkcija. Naudodamiesi skliaustais, galite pakeisti operacijų tvarką.

1 pavyzdys... Tegul A \u003d "Tinklalapyje pasirodo žodis" kreiseris ", B \u003d" Tinklalapyje pasirodo žodis "karo laivas". " Laikoma tam tikru interneto segmentu, kuriame yra 5 000 000 tinklalapių. Jame A teisinga 4800 puslapių, B - 4500 puslapių, o A v B - 7000 puslapių. Kiek tinklalapių šiuo atveju bus teisingi šie posakiai ir teiginiai?

a) NE (A AR B);

c) Svetainėje yra žodis „kreiseris“ ir nėra žodžio „karo laivas“.

Sprendimas... Pavaizduokime visų nagrinėjamo interneto sektoriaus visų tinklalapių rinkinį ratu, į kurio vidų dedame du apskritimus: vienas jų atitinka tinklalapių rinkinį, kur teiginys A teisingas, antrasis - kur teiginys B teisingas (1.3 pav.).

Paveikslėlis: 1.3.
Grafinis kelių tinklalapių atvaizdavimas

Grafiškai pavaizduokime tinklalapių rinkinį, kurio išraiškos ir teiginys a) - c) yra teisingi (1.4 pav.)

Paveikslėlis: 1.4.
Grafinis tinklalapių rinkinių, kurių išraiškos ir teiginiai a) - c) yra teisingi, atvaizdavimas

Sukurtos schemos padės mums atsakyti į užduotyje pateiktus klausimus.

Išraiška A OR B galioja 7000 tinklalapių, iš viso yra 5 000 000 puslapių. Todėl išraiška A OR B yra klaidinga 4 993 000 tinklalapiams. Kitaip tariant, NE (A AR B) galioja 4 993 000 tinklalapių.

Išraiška A v B galioja tiems tinklalapiams, kur tiesa A (4800), taip pat tiems tinklalapiams, kuriuose tiesa B (4500). Jei visi tinklalapiai būtų skirtingi, A v B būtų teisingas 9300 (4800 + 4500) tinklalapiams. Bet, atsižvelgiant į sąlygą, tokių tinklalapių yra tik 7000. Tai reiškia, kad 2300 (9300 - 7000) tinklalapiuose abu žodžiai rodomi vienu metu. Todėl A & B galioja 2300 tinklalapių.

Norėdami sužinoti, kiek tinklalapių teiginio A yra teisinga ir tuo pačiu metu B neteisingas, atimkite 2300 iš 4800. Taigi teiginys „Žodis„ kreiseris “randamas tinklalapyje, o žodis„ mūšio laivas nerandamas “yra teisingas 2500 svetainių. puslapių.

Patį užrašykite svarstomą teiginį atitinkančią loginę išraišką.

Federalinio informacijos ir švietimo išteklių centro svetainėje (http://fcoir.edu.ru/) yra informacinis modulis „Išraiška. Paprasti ir sudėtingi teiginiai. Pagrindinės loginės operacijos ". Susipažinę su šiuo ištekliu, galėsite geriau suprasti tiriamą temą.

1.3.3. Tiesos lentelių kūrimas loginėms išraiškoms

Loginei išraiškai galite sukurti tiesos lentelę, parodančią, kokių reikšmių išraiška turi visiems į ją įtrauktų kintamųjų reikšmių rinkiniams. Norėdami sukurti tiesos lentelę, turėtumėte:

apskaičiuoti n - kintamųjų skaičių išraiškoje;
apskaičiuoti bendrą loginių operacijų skaičių išraiškoje;
nustatyti loginių operacijų vykdymo seką, atsižvelgiant į skliaustus ir prioritetus;
nustatyti lentelės stulpelių skaičių: kintamųjų skaičius + operacijų skaičius;
3 dalyje nurodyta seka užpildyti lentelės antraštę, įskaitant kintamuosius ir operacijas joje;
nustatyti eilučių skaičių lentelėje (neskaičiuojant lentelės antraštės) m \u003d 2n;
išrašyti įvesties kintamųjų rinkinius, atsižvelgiant į tai, kad jie atspindi visą n bitų dvejetainių skaičių seriją nuo 0 iki 2 n - 1;
užpildykite lentelę stulpeliais, atlikdami logines operacijas pagal nustatytą seką.

Sukonstruokime loginės išraiškos A v A ir B. tiesos lentelę. Joje yra du kintamieji, dvi operacijos ir pirmiausia atliekama jungtys, o paskui - disjunkcija. Iš viso lentelėje bus keturi stulpeliai:

Įvesties kintamųjų rinkiniai yra sveiki skaičiai nuo 0 iki 3, vaizduojami dviejų bitų dvejetainiu kodu: 00, 01, 10, 11. Užpildyta tiesos lentelė atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad paskutinis stulpelis (rezultatas) sutampa su A stulpeliu. Šiuo atveju loginė išraiška A v A & B yra tolygi loginei išraiškai A.

1.3.4. Loginių operacijų ypatybės

Apsvarstykite pagrindines logikos algebros savybes (dėsnius).

Logikos algebros dėsnius galima įrodyti naudojant tiesos lenteles.

Įrodykime loginio papildymo paskirstymo dėsnį:

A v (B & C) \u003d (A V B) & (A v C).

Stulpelių, atitinkančių logines išraiškas kairėje ir dešinėje lygybės pusėje, sutapimas įrodo skirstymo dėsnio pagrįstumą loginiam papildymui.

2 pavyzdys... Raskite loginės išraiškos vertę skaičiui X \u003d 0.

Sprendimas... Kai X \u003d 0, gauname tokią loginę išraišką :. Kadangi loginės išraiškos yra 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Loginių problemų sprendimas

Apsvarstykime kelis loginių problemų sprendimo būdus.

1 problema... Kolja, Vasya ir Seryozha vasarą aplankė močiutę. Kartą vienas iš berniukų netyčia nulaužė mylimos močiutės vazą. Paklausti, kas sulaužė vazą, jie atsakė taip:

Seryozha: 1) Aš jo nesulaužiau. 2) Vasja nepalūžo.

Vasja: 3) Seryozha jo nesulaužė. 4) Kolja sulaužė vazą.

Kolja: 5) Aš jo nesulaužiau. 6) Seryozha sulaužė vazą.

Močiutė žinojo, kad vienas jos anūkas, pavadinkime jį tikru, abu kartus sakė tiesą; antrasis, pavadinkime jį juokdariu, abu kartus melavo; trečiasis, pavadinkime jį gudrumu, kartą sakiusiu tiesą, o kitą kartą - melu. Kokie yra tikri, juokdariai ir gudrūs vardai. Kuris iš anūkų sulaužė vazą?

Sprendimas. Tegul K \u003d „Kolja sulaužė vazą“, B \u003d „Vasja sulaužė vazą“, C \u003d „Sergejus sulaužė vazą“. Sudarykime tiesos lentelę, kurioje pateikiame kiekvieno berniuko teiginius 1.

1 Atsižvelgiant į tai, kad vazą sulaužė vienas anūkas, buvo galima sudaryti ne visą lentelę, o tik jos fragmentą, kuriame buvo šie įvesties kintamųjų rinkiniai: 001, 010, 100.

Atsižvelgdami į tai, ką močiutė žino apie anūkus, lentelėje turėtumėte ieškoti eilučių, kuriose yra trys vertybių deriniai tam tikra tvarka: 00, 11, 01 (arba 10). Lentelėje buvo dvi tokios eilutės (jos pažymėtos varnelėmis). Pasak antrojo jų, Kolja ir Vasja sulaužė vazą, o tai prieštarauja būklei. Pagal pirmąją iš rastų eilučių Seryozha sulaužė vazą, jis taip pat pasirodė gudrus. Vasja pasirodė esanti juokdarė. Tikro anūko vardas yra Kolja.

2 problema... Alla, Valya, Sima ir Daša dalyvauja gimnastikos varžybose. Gerbėjai spėliojo apie galimus laimėtojus:

Sima bus pirmoji, Valya - antroji;
Sima bus antra, Daša - trečia;
Alla bus antra, Daša - ketvirta.

Konkurso pabaigoje paaiškėjo, kad kiekvienoje iš prielaidų tik vienas iš teiginių yra teisingas, kitas - melagingas. Kokią vietą varžybose užėmė kiekviena mergina, jei jos visos buvo skirtingose \u200b\u200bvietose?

Sprendimas... Apsvarstykite paprastus teiginius:

C 1 \u003d "Sima užėmė pirmąją vietą";

В 2 \u003d "Valija užėmė antrąją vietą";

C 2 \u003d "Sima užėmė antrąją vietą";

D 3 \u003d "Daša užėmė trečią vietą";

2 \u003d "Alla užėmė antrąją vietą";

D 4 \u003d "Daša užėmė ketvirtą vietą".

Kadangi kiekvienoje iš trijų prielaidų vienas iš teiginių yra teisingas, o kitas neteisingas, galime daryti išvadą:

C1 + B2 \u003d 1, C1B2 \u003d 0;
C2 + D3 \u003d 1, C2D3 \u003d 0;
A 2 + D 4 \u003d 1, A 2 D 4 \u003d 0.

Logiškas teisingų teiginių produktas bus teisingas:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

Remiantis paskirstymo dėsniu, mes transformuojame kairę šios išraiškos pusę:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

Pasakymas С 1 С 2 reiškia, kad Shema užėmė tiek pirmąją, tiek antrąją vietas. Pagal problemos sąlygą šis teiginys yra klaidingas. Teiginys В 2 С 2 taip pat melagingas. Atsižvelgdami į operacijų, kurių konstanta 0, dėsnį, mes rašome:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

Tolesnis šios lygybės kairiosios pusės transformavimas ir žinomai melagingų teiginių pašalinimas suteikia:

S 1 D 3 A 2 + S 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 \u003d 1.

C 1 D 3 A 2 \u003d 1.

Iš paskutinės lygybės matyti, kad C 1 \u003d 1, A 3 \u003d 1, A 2 \u003d 1. Tai reiškia, kad Sima užėmė pirmąją vietą, Alla - antrąją, Daša - trečiąją. Todėl Valija užėmė ketvirtą vietą.

Susipažinti su kitais loginių problemų sprendimo būdais, taip pat dalyvauti interneto olimpiadose ir jų sprendimo konkursuose galite svetainėje „Matematika moksleiviams“ (http://www.kenqyry.com/).

Svetainėje http://www.kaser.com/ galite atsisiųsti labai naudingos, tobulinančios „Sherlock“ logikos dėlionės logikos ir argumentavimo įgūdžių demonstracinę versiją.

1.3.6. Loginiai vartai

Logikos algebra yra žaidžianti matematikos šaka svarbus vaidmuo kuriant automatinius prietaisus, kuriant informacinių ir ryšių technologijų aparatinę ir programinę įrangą.

Jūs jau žinote, kad bet kokią informaciją galima pateikti atskirai - kaip fiksuotą individualių verčių rinkinį. Įrenginiai, apdorojantys tokias vertes (signalus), vadinami diskretiškais. Diskretus keitiklis, kuris, apdorojęs dvejetainius signalus, išleidžia vienos iš loginių operacijų vertę, vadinamas loginiu elementu.

Fig. 1.5 rodo loginių elementų, įgyvendinančių loginį dauginimą, loginį pridėjimą ir inversiją, simbolius (diagramas).

1.5 pav.
Loginiai vartai

Loginis elementas AND (konjunktorius) įgyvendina loginio daugybos operaciją (1.5 pav., A). Vienetas šio elemento išvestyje pasirodys tik tada, kai visuose įėjimuose bus vienetai.

Loginis elementas OR (disjunktas) įgyvendina loginio pridėjimo operaciją (1.5 pav., B). Jei bent viena įvestis yra viena, tada elemento išvestis taip pat bus viena.

Loginis elementas NE (inverteris) įgyvendina neigimo operaciją (1.5 pav., C). Jei elemento įvestis yra O, tada išvestis yra 1 ir atvirkščiai.

Kompiuteriniai įrenginiai, atliekantys dvejetainių skaičių ir duomenų kaupiančių ląstelių operacijas, yra elektroninės grandinės, susidedančios iš atskirų loginių elementų. Išsamiau šie klausimai bus atskleisti 10–11 klasių informatikos kursuose.

3 pavyzdys... Panagrinėkime elektroninę grandinę, tai yra, sužinosime, koks signalas turėtų būti išėjime kiekvienam įmanomam signalų rinkiniui įėjimuose.

Sprendimas... Visi įmanomi signalų deriniai įėjimuose nuo A iki B bus įrašyti į tiesos lentelę. Atsekime kiekvienos signalų poros transformaciją, kai jos praeina pro loginius vartus, ir įrašykime rezultatą į lentelę. Užpildytoje tiesos lentelėje išsamiai aprašoma nagrinėjama elektroninė grandinė.

Tiesos lentelę taip pat galima sukurti naudojant loginę išraišką, atitinkančią elektroninę grandinę. Paskutinis loginis elementas nagrinėjamoje grandinėje yra konjunktorius. Jis priima signalus iš įėjimo L ir iš keitiklio. Savo ruožtu keitiklis gauna signalą iš įėjimo B. Taigi,

Darbas su „Logic“ treniruokliu (http: // kpolyakov. Narod. Ru / prog / logic. Htm) padės jums gauti išsamesnį vaizdą apie loginius vartus ir elektronines grandines.

Pats svarbiausias dalykas

Teiginys yra sakinys bet kuria kalba, kurio turinį galima vienareikšmiškai identifikuoti kaip teisingą ar melagingą.

Pagrindinės loginės operacijos, apibrėžtos teiginiuose: inversija, jungtukas, disjunkcija.

Tiesos lentelės pagrindinėms loginėms operacijoms:

Vertinant logines išraiškas, pirmiausia atliekami skliaustuose esantys veiksmai. Būlo vykdymo prioritetas: