Gauso matricos. Gauso metodas manekenams: sprendimų pavyzdžiai. Gauso taisyklės naudojimo problemos

Tegul bus pateikta linijinių algebrinių lygčių sistema, kuri turi būti išspręsta (suraskite tokias nežinomųjų xi reikšmes, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia lygybe).

Mes žinome, kad linijinių algebrinių lygčių sistema gali:

1) Neturi sprendimų (būk nenuoseklus).
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Turėkite unikalų sprendimą.

Kaip mes prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas netaikomi tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Gauso metodas – galingiausias ir universaliausias įrankis ieškant bet kurios tiesinių lygčių sistemos sprendimų, kurį kiekvienu atvejuatves mus į atsakymą! Pats metodo algoritmas veikia vienodai visais trim atvejais. Jei Cramerio ir matricos metoduose reikalingos lemiančių veiksnių žinios, tada norint taikyti Gauso metodą, būtinos tik aritmetinių operacijų žinios, todėl jos prieinamos net pradinių klasių mokiniams.

Išplėstinės matricos transformacijos ( tai yra sistemos matrica - matrica, sudaryta tik iš nežinomų koeficientų, pridėjus laisvųjų terminų stulpelį)tiesinių algebrinių lygčių sistemos pagal Gauso metodą:

1) nuo stygos matricos gali pertvarkytivietomis.

2) jei matricoje yra (arba yra) proporcingos (kaip ypatingas atvejis - tas pats) eilutės, tai ji seka ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną.

3) jei transformacijų metu matricoje atsirado nulio eilutė, tai ji taip pat seka ištrinti.

4) matricos eilutė gali būti dauginti (dalinti)į bet kurį kitą skaičių, išskyrus nulį.

5) matricos eilutė gali būti pridėkite dar vieną eilutę, padaugintą iš skaičiausnulis.

Taikant Gauso metodą, elementarios transformacijos nepakeičia lygčių sistemos sprendimo.

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų:

1. „Tiesioginis judėjimas“ - elementarių transformacijų pagalba sumažinkite tiesinių algebrinių lygčių sistemos išplėstinę matricą iki „trikampio“ laipsniškos formos: išplėstosios matricos elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui (judėjimas „iš viršaus į apačią“). Pavyzdžiui, į šią formą:

Norėdami tai padaryti, atlikite šiuos veiksmus:

1) Tarkime, kad mes apsvarstysime pirmąją linijinių algebrinių lygčių sistemos lygtį, o koeficientas x 1 yra K. Antroji, trečioji ir kt. lygtys transformuojamos taip: kiekviena lygtis (nežinomų koeficientai, įskaitant laisvuosius terminus) padalijama iš nežinomo x 1 koeficiento, kuris yra kiekvienoje lygtyje, ir padaugintas iš K. Po to mes atimame pirmąją iš antrosios lygties (nežinomų ir laisvųjų terminų koeficientai). Antroje lygtyje gauname koeficientą 0 x 1. Atimkite pirmąją lygtį iš trečiosios transformuotos lygties, kol visos lygtys, išskyrus pirmąją, nežinomiems x 1 turi koeficientą 0.

2) Pereikite prie kitos lygties. Tegul tai bus antroji lygtis, o koeficientas prie x 2 yra lygus M. Su visomis „žemesnėmis“ lygtimis mes einame taip, kaip aprašyta aukščiau. Taigi, „po“ nežinomas x 2 visose lygtyse bus nuliai.

3) Pereikite prie kitos lygties ir t. T., Kol bus paskutinis nežinomas ir transformuotas laisvasis terminas.

1. Gauso metodo „atvirkštinis“ - tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo gavimas (judėjimas „iš apačios į viršų“). Iš paskutinės „apatinės“ lygties gauname vieną pirmąjį sprendimą - nežinomą x n. Norėdami tai padaryti, mes išsprendžiame elementarią lygtį A * x n \u003d B. Aukščiau pateiktame pavyzdyje x 3 \u003d 4. Rastą vertę pakeiskite į „viršutinę“ kitą lygtį ir išspręskite ją kitos nežinomos atžvilgiu. Pavyzdžiui, x 2 - 4 \u003d 1, t.y. x 2 \u003d 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomus.

Pavyzdys.

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą pagal Gauso metodą, kaip pataria kai kurie autoriai:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodamiesi elementariomis transformacijomis, pateikime ją laipsniška forma:

Pažvelgiame į viršutinį kairįjį „laiptelį“. Turėtume ten turėti vienetą. Problema ta, kad pirmame stulpelyje iš viso nėra nė vieno, todėl eilių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinį reikia organizuoti naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Padarykime tai:
1 žingsnis ... Prie pirmosios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš –1 ir pridėjome pirmąją ir antrąją eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršutiniame kairiajame kampe „minus one“, kuris mums puikiai tinka. Kiekvienas, norintis gauti +1, gali atlikti papildomą veiksmą: padauginti pirmąją eilutę iš –1 (pakeisti jos ženklą).

2 žingsnis ... Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo pridėta prie trečiosios eilutės.

3 žingsnis ... Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi ant antrojo „laiptelio turime reikiamą vienetą.

4 žingsnis ... Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės padauginus iš 2.

5 žingsnis ... Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Ženklas, nurodantis klaidą skaičiuojant (rečiau - rašybos klaidą), yra „bloga“ apatinė eilutė. Tai yra, jei apačioje mes gavome kažką panašaus (0 0 11 | 23) ir, atitinkamai, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, tai su dideliu tikimybės laipsniu galima teigti, kad klaida buvo padaryta elementarūs virsmai.

Mes atliekame atvirkštinį žingsnį, kuriant pavyzdžius, pati sistema dažnai neperašoma, o lygtys „paimamos tiesiai iš duotos matricos“. Atvirkštinis žingsnis, primenu, veikia iš apačios į viršų. Šiame pavyzdyje mes gavome dovaną:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, todėl x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Atsakymas: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Išspręskime tą pačią sistemą pagal siūlomą algoritmą. Mes gauname

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Padalinkite antrąją lygtį iš 5 ir trečiąją iš 3. Gauname:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Padauginę antrąją ir trečiąją lygtis iš 4, gausime:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Iš antrosios ir trečiosios lygčių atimdami pirmąją lygtį, turime:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Padalinkite trečiąją lygtį iš 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Padauginkite trečiąją lygtį iš 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Atimkime antrąją iš trečiosios lygties, kad gautume „laipsnišką“ išplėstinę matricą:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Taigi, kadangi atliekant skaičiavimus sukaupta paklaida, gauname x 3 \u003d 0,96 arba apytiksliai 1.

x 2 \u003d 3 ir x 1 \u003d -1.

Tokiu būdu sprendžiant, niekada nesupainiosite skaičiavimuose ir, nepaisant skaičiavimo klaidų, gausite rezultatą.

Šis tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo metodas yra lengvai programuojamas ir neatsižvelgia į specifinius nežinomų koeficientų ypatumus, nes praktikoje (atliekant ekonominius ir techninius skaičiavimus) tenka spręsti ne sveikojo skaičiaus koeficientus.

Linkiu sėkmės! Iki pasimatymo klasėje! Mokytojas.

tinklaraščio svetainėje reikia visiškai arba iš dalies nukopijuoti medžiagą, reikalinga nuoroda į šaltinį.

Tegul bus pateikta linijinių algebrinių lygčių sistema, kuri turi būti išspręsta (suraskite tokias nežinomųjų xi reikšmes, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia lygybe).

Mes žinome, kad linijinių algebrinių lygčių sistema gali:

1) Neturi sprendimų (būk nenuoseklus).
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Turėkite unikalų sprendimą.

Kaip mes prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas netaikomi tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Gauso metodas – galingiausias ir universaliausias įrankis ieškant bet kurios tiesinių lygčių sistemos sprendimų, kurį kiekvienu atvejuatves mus į atsakymą! Pats metodo algoritmas veikia vienodai visais trim atvejais. Jei Cramerio ir matricos metoduose reikalingos lemiančių veiksnių žinios, tada norint taikyti Gauso metodą, būtinos tik aritmetinių operacijų žinios, todėl jos prieinamos net pradinių klasių mokiniams.

Išplėstinės matricos transformacijos ( tai yra sistemos matrica - matrica, sudaryta tik iš nežinomų koeficientų, pridėjus laisvųjų terminų stulpelį)tiesinių algebrinių lygčių sistemos pagal Gauso metodą:

1) nuo stygos matricos gali pertvarkytivietomis.

2) jei matricoje yra (arba yra) proporcingos (kaip ypatingas atvejis - tas pats) eilutės, tai ji seka ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną.

3) jei transformacijų metu matricoje atsirado nulio eilutė, tai ji taip pat seka ištrinti.

4) matricos eilutė gali būti dauginti (dalinti)į bet kurį kitą skaičių, išskyrus nulį.

5) matricos eilutė gali būti pridėkite dar vieną eilutę, padaugintą iš skaičiausnulis.

Taikant Gauso metodą, elementarios transformacijos nepakeičia lygčių sistemos sprendimo.

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų:

1. „Tiesioginis judėjimas“ - elementarių transformacijų pagalba sumažinkite tiesinių algebrinių lygčių sistemos išplėstinę matricą iki „trikampio“ laipsniškos formos: išplėstosios matricos elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui (judėjimas „iš viršaus į apačią“). Pavyzdžiui, į šią formą:

Norėdami tai padaryti, atlikite šiuos veiksmus:

1) Tarkime, kad mes apsvarstysime pirmąją linijinių algebrinių lygčių sistemos lygtį, o koeficientas x 1 yra K. Antroji, trečioji ir kt. lygtys transformuojamos taip: kiekviena lygtis (nežinomų koeficientai, įskaitant laisvuosius terminus) padalijama iš nežinomo x 1 koeficiento, kuris yra kiekvienoje lygtyje, ir padaugintas iš K. Po to mes atimame pirmąją iš antrosios lygties (nežinomų ir laisvųjų terminų koeficientai). Antroje lygtyje gauname koeficientą 0 x 1. Atimkite pirmąją lygtį iš trečiosios transformuotos lygties, kol visos lygtys, išskyrus pirmąją, nežinomiems x 1 turi koeficientą 0.

2) Pereikite prie kitos lygties. Tegul tai bus antroji lygtis, o koeficientas prie x 2 yra lygus M. Su visomis „žemesnėmis“ lygtimis mes einame taip, kaip aprašyta aukščiau. Taigi, „po“ nežinomas x 2 visose lygtyse bus nuliai.

3) Pereikite prie kitos lygties ir t. T., Kol bus paskutinis nežinomas ir transformuotas laisvasis terminas.

1. Gauso metodo „atvirkštinis“ - tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo gavimas (judėjimas „iš apačios į viršų“). Iš paskutinės „apatinės“ lygties gauname vieną pirmąjį sprendimą - nežinomą x n. Norėdami tai padaryti, mes išsprendžiame elementarią lygtį A * x n \u003d B. Aukščiau pateiktame pavyzdyje x 3 \u003d 4. Rastą vertę pakeiskite į „viršutinę“ kitą lygtį ir išspręskite ją kitos nežinomos atžvilgiu. Pavyzdžiui, x 2 - 4 \u003d 1, t.y. x 2 \u003d 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomus.

Pavyzdys.

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą pagal Gauso metodą, kaip pataria kai kurie autoriai:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodamiesi elementariomis transformacijomis, pateikime ją laipsniška forma:

Pažvelgiame į viršutinį kairįjį „laiptelį“. Turėtume ten turėti vienetą. Problema ta, kad pirmame stulpelyje iš viso nėra nė vieno, todėl eilių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinį reikia organizuoti naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Padarykime tai:
1 žingsnis ... Prie pirmosios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš –1 ir pridėjome pirmąją ir antrąją eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršutiniame kairiajame kampe „minus one“, kuris mums puikiai tinka. Kiekvienas, norintis gauti +1, gali atlikti papildomą veiksmą: padauginti pirmąją eilutę iš –1 (pakeisti jos ženklą).

2 žingsnis ... Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo pridėta prie trečiosios eilutės.

3 žingsnis ... Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi ant antrojo „laiptelio turime reikiamą vienetą.

4 žingsnis ... Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės padauginus iš 2.

5 žingsnis ... Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Ženklas, nurodantis klaidą skaičiuojant (rečiau - rašybos klaidą), yra „bloga“ apatinė eilutė. Tai yra, jei apačioje mes gavome kažką panašaus (0 0 11 | 23) ir, atitinkamai, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, tai su dideliu tikimybės laipsniu galima teigti, kad klaida buvo padaryta elementarūs virsmai.

Mes atliekame atvirkštinį žingsnį, kuriant pavyzdžius, pati sistema dažnai neperašoma, o lygtys „paimamos tiesiai iš duotos matricos“. Atvirkštinis žingsnis, primenu, veikia iš apačios į viršų. Šiame pavyzdyje mes gavome dovaną:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, todėl x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Atsakymas: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Išspręskime tą pačią sistemą pagal siūlomą algoritmą. Mes gauname

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Padalinkite antrąją lygtį iš 5 ir trečiąją iš 3. Gauname:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Padauginę antrąją ir trečiąją lygtis iš 4, gausime:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Iš antrosios ir trečiosios lygčių atimdami pirmąją lygtį, turime:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Padalinkite trečiąją lygtį iš 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Padauginkite trečiąją lygtį iš 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Atimkime antrąją iš trečiosios lygties, kad gautume „laipsnišką“ išplėstinę matricą:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Taigi, kadangi atliekant skaičiavimus sukaupta paklaida, gauname x 3 \u003d 0,96 arba apytiksliai 1.

x 2 \u003d 3 ir x 1 \u003d -1.

Tokiu būdu sprendžiant, niekada nesupainiosite skaičiavimuose ir, nepaisant skaičiavimo klaidų, gausite rezultatą.

Šis tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo metodas yra lengvai programuojamas ir neatsižvelgia į specifinius nežinomų koeficientų ypatumus, nes praktikoje (atliekant ekonominius ir techninius skaičiavimus) tenka spręsti ne sveikojo skaičiaus koeficientus.

Linkiu sėkmės! Iki pasimatymo klasėje! Korepetitorius Dmitrijus Aistrachanovas.

svetainėje, visiškai ar iš dalies kopijuojant medžiagą, būtina pateikti nuorodą į šaltinį.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.Leiskite mums rasti sistemos sprendimą iš n tiesinės lygtys su n nežinomi kintamieji
kurio pagrindinės matricos nulinis skaičius nėra nulinis.

Gauso metodo esmė susideda iš eilės nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirma, x 1 iš visų sistemos lygčių, pradedant antrąja, dar neįtraukite x 2visų lygčių, pradedant trečiąja ir t. t., kol paskutinėje lygtyje lieka tik nežinomas kintamasis x n... Toks sistemos lygčių transformavimo procesas, skirtas nuosekliam nežinomų kintamųjų pašalinimui, yra vadinamas tiesiogiai einant Gauso metodu... Baigę Gauso metodo paleidimą į priekį, iš paskutinės lygties randame x n, naudojant šią reikšmę iš priešpaskutinės lygties apskaičiuojama x n-1ir taip toliau, iš pirmosios randamos lygties x 1... Vadinamas nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios atsilikęs Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Manysime, kad, kadangi tai visada galime pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Pašalinkite nežinomą kintamąjį x 1 iš visų sistemos lygčių, pradedant antrąja. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš, prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš ir t. T. n-tasisprie lygties pridedame pirmą, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgauna formą

kur.

Jei išsakytume, pasiektume tą patį rezultatą x 1 per kitus nežinomus kintamuosius pirmojoje sistemos lygtyje, o gaunama išraiška buvo pakeista į visas kitas lygtis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamos į visas lygtis, pradedant antrąja.

Tam prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją padaugintą iš, prie ketvirtosios lygties pridedame antrąją padaugintą iš ir t. T. n-tasisprie lygties pridedame antrą, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgauna formą

kur. Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamos į visas lygtis, pradedant trečiąja.

Taigi mes tęsiame tiesioginį Gauso metodo eigą, kol sistema įgis formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinį Gauso metodo eigą: apskaičiuokite x n iš paskutinės lygties as, naudojant gautą vertę x n rasti x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir pan., mes randame x 1 nuo pirmosios lygties.

Pavyzdys.

Gauso metodu išspręskite tiesinių lygčių sistemą. ...

Atsakymas:

x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

RHB APSAUGOS KARO UNIVERSITETO KOSTROMO FILIALAS

„Karių vadovavimo ir valdymo automatizavimo“ skyrius

Tik mokytojams

"Patvirtinu"

9 skyriaus vedėjas

pulkininkas A.B. YAKOVLEV

"____" ______________ 2004 m

docentė A.I. SMIRNOVA

"MATRIKOS. GAUSO METODAS"

PASKAITA Nr. 2/3

Aptarta 9 skyriaus skyriaus posėdyje

"____" ___________ 2003 m

___________ protokolo Nr.

Kostroma, 2003 m

Capsėdimas

Įvadas

1. Veiksmai su matricomis.

2. Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.

Išvada

Literatūra

1. V.E. Schneider ir kt., Trumpasis aukštosios matematikos kursas, I tomas, 2 skyrius, §6, 7.

2. V.S. Ščipachevas, aukštoji matematika, Ch. 10 straipsnio 1, 7 dalys.

ĮVADAS

Paskaitoje aptariama matricos samprata, veiksmai su matricomis, taip pat Gausso metodas sprendžiant linijinių lygčių sistemas. Specialiu atveju, vadinamosiomis kvadratinėmis matricomis, galima apskaičiuoti determinantus, kurių samprata buvo svarstyta ankstesnėje paskaitoje. Gauso metodas yra bendresnis nei anksčiau svarstytas Cramerio metodas sprendžiant linijines sistemas. Paskaitoje aptarti klausimai naudojami įvairiose matematikos šakose ir taikomuosiuose klausimuose.

1-asis tyrimo klausimas VEIKSMAI SU MATRIKAIS

1 APIBRĖŽIMAS. Stačiakampis stalas išm, n numeriai, kuriuose yram - linijos irn - stulpeliai, tipas:

paskambino dydžio matrica m ´ n

Skambinami matricą sudarantys skaičiai matricos elementai.

Elemento padėtis ir i j matricoje būdingas dvigubas indeksas:

pirmas i - eilės numeris;

antra j - stulpelio, kuriame susikerta elementas, numeris.

Sutrumpintai matricos žymimos didžiosiomis raidėmis: A, B, C ...

Trumpai tariant, galite parašyti taip:

2 APIBRĖŽIMAS.Matrica, kurios eilučių skaičius yra lygus stulpelių skaičiui, t.m = n vadinamas aikštė.

Kvadratinės matricos eilučių (stulpelių) skaičius vadinamas matricos tvarka.

PAVYZDYS.

PASTABA 1. Mes atsižvelgsime į matricas, kurių įrašai yra skaičiai. Matematikoje ir jos taikymuose yra matricų, kurių elementai yra kiti objektai, pavyzdžiui, funkcijos, vektoriai.

PASTABA 2. Matrica yra speciali matematinė sąvoka. Matricų pagalba patogu rašyti įvairias transformacijas, tiesines sistemas ir kt., Todėl matricos dažnai randamos matematinėje ir techninėje literatūroje.

3 APIBRĖŽIMAS.Dydžio matrica1 nvadinama viena eilutė matrica - eilutė.

T dydžio matrica1 susidedantis iš vieno stulpelio vadinamas matrica - stulpelis.

4 APIBRĖŽIMAS. Nulio matrica vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui.

Apsvarstykite kvadratinę tvarkos matricą n:

šoninė įstrižainė

pagrindinė įstrižainė

Kvadratinės matricos įstrižainė, einanti nuo viršutinio kairiojo lentelės elemento iki apatinės dešinės pusės, vadinama pagrindinė matricos įstrižainė (pagrindinėje įstrižainėje yra formos elementai ir i i).

Įstrižainė, einanti nuo viršutinio dešiniojo elemento iki apačios kairėje, vadinama šonine matricos įstriža.

Apsvarstykime keletą specialių kvadratinių matricų tipų.

1) Vadinama kvadratinė matrica įstrižaijei visi elementai, esantys ne pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs nuliui.

2) Įvadinė matrica, kurioje visi pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs vienai, vadinama viengungis... Nurodoma:

3) Vadinama kvadratinė matrica trikampis, jei visi elementai toje pačioje pagrindinės įstrižainės pusėje yra lygūs nuliui:

viršutinis apatinis

trikampė matrica trikampė matrica

Kvadratinės matricos sąvoka pristatoma: matricos determinantas... Tai yra determinantas, susidedantis iš matricos elementų. Nurodoma:

Akivaizdu, kad tapatumo matricos determinantas yra lygus 1: 1 E½ \u003d 1

KOMENTARUOTI. Ne kvadratinė matrica neturi determinanto.

Jei kvadratinės matricos determinantas yra nulis, tada matrica vadinama ne degeneracija, jei determinantas lygus nuliui, vadinama matrica išsigimęs.

5 APIBRĖŽIMAS. Vadinama matrica, gauta pakeičiant jos eilutes stulpeliais su tais pačiais skaičiais perkeltas į duotą.

Matrica perkelta į IR, žymi A T..

PAVYZDYS.

3 3 2

APIBRĖŽIMAS.Vadinamos dvi to paties dydžio matricos lygus, jei visi jų atitinkami elementai yra lygūs .

Apsvarstykime matricų operacijas.

PRIEDAS MATRIKSŲ.

Pridėjimo operacija atliekama tik to paties dydžio matricoms.

7 APIBRĖŽIMAS. Dviejų matricų suma A \u003d (a i j ) ir B \u003d ( b i j ) tokio pat dydžio matrica С \u003d (su i j) to paties dydžio, kurio elementai yra lygūs atitinkamų matricos terminų elementų sumoms, t. nuo i j \u003d a i j + b i j

Matricų suma žymima A + B.

PAVYZDYS.

TIKRAS MATRIKŲ DAUGIAPASKYRIMAS

8 APIBRĖŽIMAS.Matricą padauginti iš skaičiausk, turite padauginti kiekvieną matricos elementą iš šio skaičiaus:

jeigu A \u003d(ir i j )tada k · A= (k · a i j )

PAVYZDYS.

MATRIKOS PRIDĖJIMO IR KELIŲ SKELBIMO SAVYBĖS

1. Poslinkio savybė: A + B \u003d B + A

2. Kombinuota savybė: (A + B) + C \u003d A + (B + C)

3. Paskirstymo savybė: k · (A + B) = k A + k Bkur k – numeris

MATRIKOS MULTIPLIKACIJA

Matrica IRbus vadinamas rutuliu su matrica INjei matricos stulpelių skaičius IR yra lygus matricos eilučių skaičiui IN, t.y. suderintoms matricoms matrica IR turi dydį m ´ n , matrica IN turi dydį n ´ k . Kvadratinės matricos yra nuoseklios, jei jos yra tos pačios eilės.

APIBRĖŽIMAS 9.Matricos A dydžio sandaugam ´ n matricos B dydžiuin ´ k vadinama C matrica Cm ´ kkurio elementas a i j randasii -Th eilutė irj - trečioji skiltis, yra lygi elementų sandaugos sumaii - trečioji matricos eilutė prie atitinkamų elementųj - B matricos stulpelis, t.y.

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j

Mes žymime: C \u003d A· IN.

tada

Kompozicija IN´ IR nėra prasmės, nes matricos

nesutiko.

PASTABA 1. Jei IR´ IN prasminga tada IN´ IR gali neturėti prasmės.

PASTABA 2. Jei prasminga IR´ IN ir IN´ IR, tada, paprastai tariant

IR´ IN ¹ IN´ IR, t.y. matricos dauginimas neturi perkėlimo dėsnio.

PASTABA 3. Jei IRAr kvadratinė matrica ir EAr tada tapatumo matrica yra tos pačios eilės IR´ E= E´ A \u003d A.

Iš to išplaukia, kad tapatybės matrica daugindamasi vaidina vienybės vaidmenį.

PAVYZDŽIAI... Raskite, jei įmanoma, IR´ IN ir IN´ IR.

Sprendimas: Tos pačios antros eilės kvadratinės matricos sutampa ta pačia tvarka ir todėl IR´ IN ir IN´ IR egzistuoti.