Најдете го математичкото очекување за бројот на промашувања. Веројатноста и статистиката се основни факти. Основни формули за математичко очекување

Теоријата на веројатност е посебна гранка од математиката која ја изучуваат само студенти на високообразовни институции. Дали ви се допаѓаат пресметки и формули? Зарем не ве плашат изгледите да се запознаете со нормалната распределба, ентропијата на ансамблот, математичкото очекување и дисперзијата на дискретна случајна променлива? Тогаш оваа тема ќе ви биде многу интересна. Да се ​​запознаеме со неколку од најважните основни концепти на оваа гранка на науката.

Да се ​​потсетиме на основите

Дури и ако се сеќавате на наједноставните концепти на теоријата на веројатност, не ги занемарувајте првите ставови од статијата. Поентата е дека без јасно разбирање на основите, нема да можете да работите со формулите дискутирани подолу.

Значи, се случува некој случаен настан, некој експеримент. Како резултат на активностите што ги преземаме, можеме да добиеме неколку исходи - некои од нив се случуваат почесто, други поретко. Веројатноста за настан е односот на бројот на реално добиените исходи од еден тип до вкупниот број на можни. Само знаејќи ја класичната дефиниција на овој концепт, можете да започнете да ги проучувате математичкото очекување и дисперзијата на континуираните случајни променливи.

Просечна

Уште во училиште, за време на часовите по математика, почнавте да работите со аритметичката средина. Овој концепт е широко користен во теоријата на веројатност и затоа не може да се игнорира. Главното за нас во моментов е што ќе го сретнеме во формулите за математичко очекување и дисперзија на случајна променлива.

Имаме низа од броеви и сакаме да ја најдеме аритметичката средина. Сè што се бара од нас е да сумираме се што е достапно и да се подели со бројот на елементи во низата. Да имаме броеви од 1 до 9. Збирот на елементите ќе биде еднаков на 45, а оваа вредност ќе ја поделиме со 9. Одговор: - 5.

Дисперзија

Во научна смисла, дисперзијата е просечниот квадрат на отстапувањата на добиените вредности на карактеристиката од аритметичката средина. Се означува со една голема латинична буква D. Што е потребно за да се пресмета? За секој елемент од низата ја пресметуваме разликата помеѓу постоечкиот број и аритметичката средина и ја квадратуваме. Ќе има точно онолку вредности колку што може да има исходи за настанот што го разгледуваме. Следно, сумираме сè што е примено и делиме со бројот на елементи во низата. Ако имаме пет можни исходи, тогаш подели со пет.

Дисперзијата има и својства кои треба да се запомнат за да се користат при решавање на проблеми. На пример, кога се зголемува случајната променлива за X пати, варијансата се зголемува за X квадрат пати (т.е. X*X). Никогаш не е помал од нула и не зависи од поместување на вредностите нагоре или надолу во еднакви количини. Дополнително, за независни испитувања, варијансата на збирот е еднаква на збирот на варијансите.

Сега дефинитивно треба да разгледаме примери за варијанса на дискретна случајна променлива и математичко очекување.

Да речеме дека извршивме 21 експеримент и добивме 7 различни резултати. Ние го набљудувавме секој од нив 1, 2, 2, 3, 4, 4 и 5 пати, соодветно. На што ќе биде еднаква варијансата?

Прво, да ја пресметаме аритметичката средина: збирот на елементите, се разбира, е 21. Поделете го со 7, добивајќи 3. Сега одземете 3 од секој број во оригиналната низа, квадрат секоја вредност и додадете ги резултатите заедно. Резултатот е 12. Сега сè што треба да направиме е да го поделиме бројот со бројот на елементи и, се чини, тоа е сè. Но, има финта! Ајде да го дискутираме.

Зависност од бројот на експерименти

Излегува дека кога се пресметува варијансата, именителот може да содржи еден од двата броја: или N или N-1. Овде N е бројот на извршени експерименти или бројот на елементи во низата (што во суштина е иста работа). Од што зависи ова?

Ако бројот на тестови се мери во стотици, тогаш во именителот мора да ставиме N. Ако во единици, тогаш N-1. Научниците решија да ја исцртаат границата прилично симболично: денес таа минува низ бројот 30. Ако направивме помалку од 30 експерименти, тогаш количината ќе ја поделиме со N-1, а ако повеќе, тогаш со N.

Задача

Да се ​​вратиме на нашиот пример за решавање на проблемот на варијанса и математичко очекување. Добивме среден број 12, кој требаше да се подели со N или N-1. Бидејќи спроведовме 21 експеримент, што е помалку од 30, ќе ја избереме втората опција. Значи, одговорот е: варијансата е 12/2 = 2.

Очекувана вредност

Ајде да преминеме на вториот концепт, кој мора да го разгледаме во оваа статија. Математичкото очекување е резултат на собирање на сите можни исходи помножени со соодветните веројатности. Важно е да се разбере дека добиената вредност, како и резултатот од пресметувањето на варијансата, се добиваат само еднаш за целиот проблем, без разлика колку исходи се разгледуваат во него.

Формулата за математичко очекување е прилично едноставна: го земаме исходот, го множиме со неговата веројатност, го додаваме истиот за вториот, третиот резултат итн. Сè што е поврзано со овој концепт не е тешко да се пресмета. На пример, збирот на очекуваните вредности е еднаков на очекуваната вредност на збирот. Истото важи и за работата. Не секоја количина во теоријата на веројатност ви дозволува да извршите такви едноставни операции. Да го земеме проблемот и да го пресметаме значењето на два концепта што ги проучувавме одеднаш. Освен тоа, ни беше одвлечено вниманието од теоријата - време е за вежбање.

Уште еден пример

Извршивме 50 испитувања и добивме 10 типа на исходи - бројки од 0 до 9 - кои се појавуваат во различни проценти. Тоа се, соодветно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Потсетете се дека за да добиете веројатности, треба да ги поделите процентуалните вредности со 100. Така, добиваме 0,02; 0,1, итн. Да претставиме пример за решавање на проблемот за варијансата на случајна променлива и математичкото очекување.

Ја пресметуваме аритметичката средина користејќи ја формулата што ја паметиме од основно училиште: 50/10 = 5.

Сега да ги конвертираме веројатностите во бројот на исходи „на парчиња“ за полесно да се брои. Добиваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Од секоја добиена вредност ја одземаме аритметичката средина, по што го квадратуваме секој од добиените резултати. Погледнете како да го направите ова користејќи го првиот елемент како пример: 1 - 5 = (-4). Следно: (-4) * (-4) = 16. За други вредности, направете ги овие операции сами. Ако сте направиле сè правилно, тогаш откако ќе ги соберете сите ќе добиете 90.

Да продолжиме да ја пресметуваме варијансата и очекуваната вредност со делење 90 со N. Зошто избираме N наместо N-1? Точно, бидејќи бројот на извршени експерименти надминува 30. Значи: 90/10 = 9. Ја добивме варијансата. Ако добиете друг број, не очајувајте. Најверојатно, сте направиле едноставна грешка во пресметките. Проверете го тоа што сте го напишале и веројатно се ќе си дојде на свое место.

Конечно, запомнете ја формулата за математичко очекување. Ние нема да ги дадеме сите пресметки, ќе напишеме само одговор со кој можете да проверите откако ќе ги завршите сите потребни процедури. Очекуваната вредност ќе биде 5,48. Само да се потсетиме како да ги извршуваме операциите, користејќи ги првите елементи како пример: 0*0.02 + 1*0.1... и така натаму. Како што можете да видите, ние едноставно ја множиме вредноста на исходот со неговата веројатност.

Отстапување

Друг концепт тесно поврзан со дисперзијата и математичкото очекување е стандардното отстапување. Се означува или со латинските букви sd или со грчкото мало „сигма“. Овој концепт покажува колку вредностите во просек отстапуваат од централната карактеристика. За да ја пронајдете неговата вредност, треба да го пресметате квадратниот корен на варијансата.

Ако нацртате график за нормална дистрибуција и сакате да го видите квадратното отстапување директно на него, тоа може да се направи во неколку фази. Земете половина од сликата лево или десно од режимот (средишна вредност), нацртајте нормално на хоризонталната оска, така што областите на добиените фигури се еднакви. Големината на сегментот помеѓу средината на дистрибуцијата и добиената проекција на хоризонталната оска ќе го претставува стандардното отстапување.

Софтвер

Како што може да се види од описите на формулите и презентираните примери, пресметувањето на варијансата и математичкото очекување не е наједноставната постапка од аритметичка гледна точка. За да не губите време, има смисла да се користи програмата што се користи во високообразовните институции - таа се нарекува „Р“. Има функции кои ви дозволуваат да пресметате вредности за многу концепти од статистиката и теоријата на веројатност.

На пример, одредувате вектор на вредности. Ова се прави на следниов начин: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Конечно

Дисперзијата и математичкото очекување се без кои е тешко да се пресмета нешто во иднина. Во главниот тек на предавањата на универзитетите, тие се дискутираат веќе во првите месеци од изучувањето на предметот. Токму поради неразбирањето на овие едноставни поими и неможноста да се пресметаат многу студенти веднаш почнуваат да заостануваат во програмата и подоцна добиваат лоши оценки на крајот од сесијата, што ги лишува од стипендија.

Вежбајте најмалку една недела, половина час дневно, решавајќи задачи слични на оние претставени во оваа статија. Потоа, на кој било тест во теоријата на веројатност, ќе можете да се справите со примерите без дополнителни совети и листови за измами.

Како што е веќе познато, законот за распределба целосно карактеризира случајна променлива. Меѓутоа, честопати законот за дистрибуција е непознат и човек мора да се ограничи на помалку информации. Понекогаш е уште попрофитабилно да се користат броеви кои ја опишуваат случајната променлива вкупно; се нарекуваат такви броеви нумерички карактеристики на случајна променлива.

Една од важните нумерички карактеристики е математичкото очекување.

Математичкото очекување е приближно еднакво на просечната вредност на случајната променлива.

Математичко очекување на дискретна случајна променливае збир на производите на сите негови можни вредности и нивните веројатности.

Ако случајната променлива се карактеризира со конечна дистрибутивна серија:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
Р	стр 1	стр 2	стр 3	…	r стр

потоа математичкото очекување М(Х)определено со формулата:

Математичкото очекување на континуирана случајна променлива се определува со еднаквоста:

каде е густината на веројатноста на случајната променлива X.

Пример 4.7.Најдете го математичкото очекување за бројот на поени што се појавуваат при фрлање коцка.

Решение:

Случајна вредност Xги зема вредностите 1, 2, 3, 4, 5, 6. Да го создадеме законот за неговата дистрибуција:

X
Р

Тогаш математичкото очекување е:

Својства на математичкото очекување:

1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа:

M (S) = S.

2. Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување:

M (CX) = CM (X).

3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:

M(XY) = M(X)M(Y).

Пример 4.8. Независни случајни променливи XИ Yсе дадени со следните закони за дистрибуција:

X					Y
Р	0,6	0,1	0,3		Р	0,8	0,2

Најдете го математичкото очекување на случајната променлива XY.

Решение.

Ајде да ги најдеме математичките очекувања за секоја од овие величини:

Случајни променливи XИ Yнезависно, затоа бараното математичко очекување е:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Последица.Математичкото очекување од производот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.

4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Последица.Математичкото очекување од збирот на неколку случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите.

Пример 4.9.Се испукани 3 истрели со веројатност за погодување на целта еднаква на стр 1 = 0,4; стр2= 0,3 и стр 3= 0,6. Најдете го математичкото очекување од вкупниот број на погодоци.

Решение.

Бројот на удари на првиот истрел е случајна променлива X 1, што може да земе само две вредности: 1 (хит) со веројатност стр 1= 0,4 и 0 (промашување) со веројатност q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Математичкото очекување на бројот на удари при првиот удар е еднакво на веројатноста за удар:

Слично, ги наоѓаме математичките очекувања за бројот на удари за вториот и третиот удар:

М(X 2)= 0,3 и M(X 3)= 0,6.

Вкупниот број на погодоци е исто така случајна променлива која се состои од збир на погодоци во секоја од трите снимки:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Потребното математичко очекување XГо наоѓаме користејќи ја теоремата за математичкото очекување на збирот.

Случајна променливаПроменлива се нарекува променлива која, како резултат на секој тест, добива една претходно непозната вредност, во зависност од случајни причини. Случајните променливи се означуваат со големи латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Според нивниот тип, случајните променливи можат да бидат дискретниИ континуирано.

Дискретна случајна променлива- ова е случајна променлива чии вредности не можат да бидат повеќе од бројатливи, односно конечни или броиви. Под броење подразбираме дека вредностите на случајната променлива може да се нумерираат.

Пример 1 . Еве примери на дискретни случајни променливи:

а) бројот на удари на целта со $n$ снимки, тука можните вредности се $0,\ 1, \ \dots,\ n$.

б) бројот на амблеми паднати при фрлање паричка, тука можните вредности се $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

в) бројот на бродови кои пристигнуваат на одборот (броиво збир на вредности).

г) бројот на повици кои пристигнуваат до PBX (броиво збир на вредности).

1. Закон за распределба на веројатност на дискретна случајна променлива.

Дискретна случајна променлива $X$ може да има вредности $x_1,\dots,\ x_n$ со веројатности $p\left(x_1\десно),\ \dots,\ p\left(x_n\right)$. Кореспонденцијата помеѓу овие вредности и нивните веројатности се нарекува закон за распределба на дискретна случајна променлива. Како по правило, оваа кореспонденција се одредува со помош на табела, чија прва линија ги означува вредностите $x_1,\dots,\ x_n$, а втората линија ги содржи веројатностите $p_1,\dots,\ p_n$ што одговараат на овие вредности.

$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \ точки & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \ точки & p_n \\
\hline
\крај (низа)$

Пример 2 . Случајната променлива $X$ нека биде бројот на валани поени при фрлање матрица. Таквата случајна променлива $X$ може да ги земе следните вредности: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Веројатноста за сите овие вредности се еднакви на 1/6 $. Тогаш законот за дистрибуција на веројатност на случајната променлива $X$:

$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\крај (низа)$

Коментар. Бидејќи во законот за распределба на дискретна случајна променлива $X$ настаните $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ формираат целосна група настани, тогаш збирот на веројатностите мора да биде еднаков на една, односно $ \sum(p_i)=1$.

2. Математичко очекување на дискретна случајна променлива.

Очекување на случајна променливаго поставува неговото „централно“ значење. За дискретна случајна променлива, математичкото очекување се пресметува како збир од производите на вредностите $x_1,\dots,\ x_n$ и веројатностите $p_1,\dots,\ p_n$ што одговараат на овие вредности, т.е. : $M\лево(X\десно)=\збир ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Во литературата на англиски јазик се користи друга нотација $E\left(X\right)$.

Својства на математичкото очекување$M\лево(X\десно)$:

1. $M\left(X\десно)$ лежи помеѓу најмалите и најголемите вредности на случајната променлива $X$.
2. Математичкото очекување на константа е еднакво на самата константа, т.е. $M\лево(C\десно)=C$.
3. Константниот фактор може да се извади од знакот на математичкото очекување: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математичкото очекување од збирот на случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математичкото очекување на производот на независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Да го најдеме математичкото очекување на случајната променлива $X$ од примерот $2$.

$$M\лево(X\десно)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\над (6))=3,5.$$

Можеме да забележиме дека $M\left(X\десно)$ лежи помеѓу најмалите ($1$) и најголемите ($6$) вредности на случајната променлива $X$.

Пример 4 . Познато е дека математичкото очекување на случајната променлива $X$ е еднакво на $M\left(X\right)=2$. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива $3X+5$.

Користејќи ги горенаведените својства, добиваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\десно)+M\left(5\десно)=3M\лево(X\десно)+5=3\ cdot 2 +5 = $11.

Пример 5 . Познато е дека математичкото очекување на случајната променлива $X$ е еднакво на $M\left(X\right)=4$. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива $2X-9$.

Користејќи ги горенаведените својства, добиваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\десно)-M\left(9\десно)=2M\лево(X\десно)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Дисперзија на дискретна случајна променлива.

Можните вредности на случајните променливи со еднакви математички очекувања можат различно да се дисперзираат околу нивните просечни вредности. На пример, во две студентски групи просечната оценка за испитот по теорија на веројатност испаднала 4, но во едната група сите се покажале добри студенти, а во другата група имало само студенти Ц и одлични студенти. Според тоа, постои потреба од нумеричка карактеристика на случајна променлива која би го прикажала ширењето на вредностите на случајната променлива околу нејзиното математичко очекување. Оваа карактеристика е дисперзија.

Варијанса на дискретна случајна променлива$X$ е еднакво на:

$$D\лево(X\десно)=\sum^n_(i=1)(p_i(\лево(x_i-M\лево(X\десно)\десно))^2).\ $$

Во англиската литература се користи ознаката $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Многу често варијансата $D\left(X\right)$ се пресметува со помош на формулата $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ лево(X \десно)\десно))^2$.

Карактеристики на дисперзија$D\лево(X\десно)$:

1. Варијансата е секогаш поголема или еднаква на нула, т.е. $D\лево(X\десно)\ge 0$.
2. Варијансата на константата е нула, т.е. $D\лево(C\десно)=0$.
3. Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија под услов да е квадрат, т.е. $D\лево(CX\десно)=C^2D\лево(X\десно)$.
4. Варијансата на збирот на независни случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси, т.е. $D\лево(X+Y\десно)=D\лево(X\десно)+D\лево(Y\десно)$.
5. Варијансата на разликата помеѓу независните случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси, т.е. $D\лево(X-Y\десно)=D\лево(X\десно)+D\лево(Y\десно)$.

Пример 6 . Да ја пресметаме варијансата на случајната променлива $X$ од примерот $2$.

$$D\лево(X\десно)=\sum^n_(i=1)(p_i(\лево(x_i-M\лево(X\десно)\десно))^2)=((1)\над (6))\cточка (\лево(1-3,5\десно))^2+((1)\над (6))\cdot (\лево(2-3,5\десно))^2+ \точки +( (1)\над (6))\cdot (\лево(6-3,5\десно))^2=((35)\над (12))\приближно 2,92.$$

Пример 7 . Познато е дека варијансата на случајната променлива $X$ е еднаква на $D\left(X\right)=2$. Најдете ја варијансата на случајната променлива $4X+1$.

Користејќи ги горенаведените својства, наоѓаме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\десно)+D\left(1\десно)=4^2D\left(X\десно)+0= 16D\ лево(X\десно)=16\cточка 2=32$.

Пример 8 . Познато е дека варијансата на случајната променлива $X$ е еднаква на $D\left(X\right)=3$. Најдете ја варијансата на случајната променлива $3-2X$.

Користејќи ги горенаведените својства, наоѓаме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\десно)+D\left(2X\десно)=0+2^2D\left(X\десно)= 4D\ лево(X\десно)=4\cточка 3=12$.

4. Дистрибутивна функција на дискретна случајна променлива.

Методот на претставување на дискретна случајна променлива во форма на серија на дистрибуција не е единствениот, и што е најважно, не е универзален, бидејќи континуирана случајна променлива не може да се специфицира со помош на дистрибутивна серија. Постои уште еден начин за претставување на случајна променлива - функцијата за дистрибуција.

Дистрибутивна функцијаслучајната променлива $X$ се нарекува функција $F\left(x\right)$, која ја одредува веројатноста случајната променлива $X$ да има вредност помала од некоја фиксна вредност $x$, односно $F\ лево(x\десно)=P\лево(X< x\right)$

Својства на дистрибутивната функција:

1. $0\le F\лево(x\десно)\le 1$.
2. Веројатноста случајната променлива $X$ да зема вредности од интервалот $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ е еднаква на разликата помеѓу вредностите на функцијата за дистрибуција на краевите на оваа интервал: $P\лево(\алфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\десно)$ - не се намалува.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \десно)=1\ )$.

Пример 9 . Дозволете ни да ја најдеме функцијата за распределба $F\left(x\right)$ за законот за распределба на дискретната случајна променлива $X$ од примерот $2$.

$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\крај (низа)$

Ако $x\le 1$, тогаш, очигледно, $F\left(x\right)=0$ (вклучувајќи и за $x=1$ $F\left(1\десно)=P\лево(X< 1\right)=0$).

Ако $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ако $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ако $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ако 4 долари< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ако $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ако $x > 6$, тогаш $F\лево(x\десно)=P\лево(X=1\десно)+P\лево(X=2\десно)+P\лево(X=3\десно) +P\лево(X=4\десно)+P\лево(X=5\десно)+P\лево(X=6\десно)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Значи $F(x)=\лево\(\почеток(матрица)
0,\ на\ x\le 1, \\
1/6, на \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ на \ 2< x\le 3,\\
1/2, на \ 3< x\le 4,\\
2/3, \ на\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ на\ 4< x\le 5,\\
1,\ за\ x > 6.
\end(матрица)\десно.$

Концептот на математичко очекување може да се разгледа користејќи го примерот на фрлање матрица. Со секое фрлање се запишуваат испуштените поени. За нивно изразување, се користат природни вредности во опсегот 1-6.

По одреден број на фрлања, користејќи едноставни пресметки, можете да го најдете аритметичкиот просек на валани поени.

Исто како и појавата на која било од вредностите во опсегот, оваа вредност ќе биде случајна.

Што ако го зголемите бројот на фрлања неколку пати? Со голем број на фрлања, аритметичкиот просек на поени ќе се приближи до одредена бројка, која во теоријата на веројатност се нарекува математичко очекување.

Значи, под математичко очекување подразбираме просечна вредност на случајна променлива. Овој индикатор може да се прикаже и како пондериран збир на веројатни вредности.

Овој концепт има неколку синоними:

• средна вредност;
• средна вредност;
• индикатор за централна тенденција;
• првиот момент.

Со други зборови, тоа не е ништо повеќе од број околу кој се распределуваат вредностите на случајна променлива.

Во различни сфери на човековата активност, пристапите за разбирање на математичкото очекување ќе бидат малку различни.

Може да се смета како:

• просечната корист добиена од донесување одлука, кога таквата одлука се разгледува од гледна точка на теоријата на големи броеви;
• можниот износ на добивка или загуба (теорија на коцкање), пресметан во просек за секој облог. Во сленг, тие звучат како „предност на играчот“ (позитивна за играчот) или „предност во казино“ (негативна за играчот);
• процент од добивката добиена од добивки.

Очекувањето не е задолжително за апсолутно сите случајни променливи. Го нема за оние кои имаат несовпаѓање во соодветната сума или интеграл.

Својства на математичкото очекување

Како и секој статистички параметар, математичкото очекување ги има следните својства:

Основни формули за математичко очекување

Пресметката на математичкото очекување може да се изврши и за случајни променливи кои се карактеризираат и со континуитет (формула А) и со дискретност (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, каде xi се вредностите на случајната променлива, pi се веројатностите:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, каде што f(x) е дадената густина на веројатност.

Примери за пресметување на математичко очекување

Пример А.

Дали е можно да се открие просечната висина на џуџињата во бајката за Снежана. Познато е дека секое од 7-те џуџиња имало одредена висина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритмот за пресметка е прилично едноставен:

• го наоѓаме збирот на сите вредности на индикаторот за раст (случајна променлива):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Поделете ја добиената количина со бројот на гноми:
  6,31:7=0,90.

Така, просечната висина на гномите во бајката е 90 см.Со други зборови, ова е математичкото очекување за растот на гномите.

Работна формула - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Практична имплементација на математичкото очекување

Пресметката на статистичкиот индикатор на математичкото очекување се прибегнува во различни области на практична активност. Пред сè, зборуваме за комерцијалната сфера. На крајот на краиштата, воведувањето на овој индикатор од страна на Хајгенс е поврзано со одредување на шансите кои можат да бидат поволни, или, напротив, неповолни за некој настан.

Овој параметар е широко користен за проценка на ризиците, особено кога станува збор за финансиски инвестиции.
Така, во бизнисот, пресметката на математичкото очекување делува како метод за проценка на ризикот при пресметување на цените.

Овој индикатор може да се користи и за пресметување на ефективноста на одредени мерки, на пример, заштита на трудот. Благодарение на него, можете да ја пресметате веројатноста да се случи некој настан.

Друга област на примена на овој параметар е управувањето. Може да се пресмета и при контрола на квалитетот на производот. На пример, со користење на мат. очекувања, можете да го пресметате можниот број на произведени неисправни делови.

Математичкото очекување, исто така, се покажува како незаменливо при спроведување на статистичка обработка на резултатите добиени во текот на научното истражување. Ви овозможува да ја пресметате веројатноста за посакуван или непожелен исход од експеримент или студија во зависност од нивото на постигнување на целта. На крајот на краиштата, неговото достигнување може да се поврзе со добивка и корист, а неговиот неуспех може да биде поврзан со загуба или загуба.

Користење на математичко очекување во Forex

Практичната примена на овој статистички параметар е можна при вршење трансакции на девизниот пазар. Со негова помош, можете да го анализирате успехот на трговските трансакции. Згора на тоа, зголемувањето на вредноста на очекувањата укажува на зголемување на нивниот успех.

Исто така, важно е да се запамети дека математичкото очекување не треба да се смета како единствен статистички параметар што се користи за анализа на перформансите на трговецот. Употребата на неколку статистички параметри заедно со просечната вредност значително ја зголемува точноста на анализата.

Овој параметар добро се покажа во следењето на набљудувањата на трговските сметки. Благодарение на него, се врши брза проценка на работата извршена на депозитната сметка. Во случаи кога активноста на трговецот е успешна и тој избегнува загуби, не се препорачува исклучиво да се користи пресметката на математичкото очекување. Во овие случаи, ризиците не се земаат предвид, што ја намалува ефективноста на анализата.

Спроведените студии за тактиките на трговците покажуваат дека:

• Најефективните тактики се оние засновани на случаен внес;
• Најмалку ефективни се тактиките засновани на структурирани влезови.

За да се постигнат позитивни резултати, не помалку важни се:

• тактики за управување со пари;
• стратегии за излез.

Користејќи таков индикатор како математичко очекување, можете да предвидите колкава ќе биде добивката или загубата кога инвестирате 1 долар. Познато е дека овој индикатор, пресметан за сите игри што се практикуваат во казиното, е во корист на основањето. Ова е она што ви овозможува да заработите пари. Во случај на долга серија игри, веројатноста клиентот да изгуби пари значително се зголемува.

Игрите што ги играат професионални играчи се ограничени на кратки временски периоди, што ја зголемува веројатноста за победа и го намалува ризикот од губење. Истата шема се забележува и при извршување на инвестициските операции.

Инвеститорот може да заработи значителен износ со тоа што има позитивни очекувања и прави голем број трансакции за краток временски период.

Очекувањето може да се смета како разлика помеѓу процентот на добивка (PW) помножен со просечната добивка (AW) и веројатноста за загуба (PL) помножена со просечната загуба (AL).

Како пример, можеме да го земеме следново: позиција – 12,5 илјади долари, портфолио – 100 илјади долари, ризик од депозит – 1%. Профитабилноста на трансакциите е 40% од случаите со просечна добивка од 20%. Во случај на загуба, просечната загуба е 5%. Пресметувањето на математичкото очекување за трансакцијата дава вредност од 625 долари.

Математичкото очекување е просечната вредност на случајната променлива.

Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и нивните веројатности:

Пример.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Решение: Математичкото очекување е еднакво на збирот на производите на сите можни вредности на X и нивните веројатности:

M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.

За да се пресмета математичкото очекување, погодно е да се извршат пресметки во Excel (особено кога има многу податоци), предлагаме да користите готов образец ().

Пример како сами да го решите (можете да користите калкулатор).
Најдете го математичкото очекување на дискретна случајна променлива X дадено со законот за распределба:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Математичкото очекување ги има следните својства.

Својство 1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа: M(C)=C.

Својство 2. Константниот фактор може да се извади како знак на математичкото очекување: M(CX)=CM(X).

Својство 3. Математичкото очекување на производот на заемно независните случајни променливи е еднакво на производот од математичките очекувања на факторите: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Својство 4. Математичкото очекување од збирот на случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Задача 189. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Решение: Користејќи ги својствата на математичкото очекување (математичкото очекување на збирот е еднакво на збирот на математичките очекувања на поимите; константниот фактор може да се извади од знакот на математичкото очекување), добиваме M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Користејќи ги својствата на математичкото очекување, докажи дека: а) M(X - Y) = M(X) - M (Y); б) математичкото очекување на отстапувањето X-M(X) е еднакво на нула.

191. Дискретна случајна променлива X зема три можни вредности: x1= 4 Со веројатност p1 = 0,5; xЗ = 6 Со веројатност P2 = 0,3 и x3 со веројатност p3. Најдете: x3 и p3, знаејќи дека M(X)=8.

192. Дадена е листа на можни вредности на дискретна случајна променлива X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; познати се и математичките очекувања од оваа вредност и нејзиниот квадрат: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0,9. Најдете ги веројатностите p1, p2, p3 што одговараат на можните вредности на xi

194. Серија од 10 делови содржи три нестандардни делови. Два дела беа избрани по случаен избор. Најдете го математичкото очекување на дискретна случајна променлива X - бројот на нестандардни делови меѓу два избрани.

196. Најдете го математичкото очекување на дискретна случајна променлива X-број на такви фрлања од пет коцки, во секоја од кои по една точка ќе се појави на две коцки, ако вкупниот број на фрлања е дваесет.

Математичкото очекување за биномна распределба е еднакво на бројот на испитувања помножен со веројатноста да се случи настан во едно испитување: