Паралелограм во проблеми. Како да се најде плоштината на паралелограм, триаголник, трапез Како да се пресмета плоштината на паралелограм

Површина на геометриска фигура- нумеричка карактеристика на геометриска фигура што ја покажува големината на оваа фигура (дел од површината ограничен со затворената контура на оваа фигура). Големината на површината се изразува со бројот на квадратни единици содржани во неа.

Формули за плоштина на триаголник

1. Формула за плоштина на триаголник на страна и висина
   Плоштина на триаголникеднаква на половина од производот од должината на страната на триаголникот и должината на висината нацртана на оваа страна
   
2. Формула за плоштина на триаголник заснован на три страни и радиус на кружниот круг
   
3. Формула за плоштина на триаголник заснована на три страни и радиус на впишаниот круг
   Плоштина на триаголнике еднаков на производот на полупериметарот на триаголникот и радиусот на впишаната кружница.
   
каде што S е плоштината на триаголникот,
- должини на страните на триаголникот,
- висина на триаголникот,
- аголот помеѓу страните и,
- радиус на впишаниот круг,
R - радиус на ограничениот круг,

Формули за квадратна површина

1. Формула за плоштина на квадрат по должина
   Квадратна површинаеднаков на квадратот на должината на неговата страна.
2. Формула за плоштина на квадрат по должината на дијагоналата
   Квадратна површинаеднаква на половина од квадратот од должината на неговата дијагонала.
   

   S=	1	2
   	2

каде што S е плоштината на квадратот,
- должина на страната на квадратот,
- должина на дијагоналата на квадратот.

Формула за површина на правоаголник

Површина на правоаголникеднаков на производот од должините на неговите две соседни страни

каде што S е плоштината на правоаголникот,
- должини на страните на правоаголникот.

Формули за паралелограмска површина

1. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на должината и висината на страната
   Плоштина на паралелограм
2. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на две страни и аголот меѓу нив
   Плоштина на паралелограме еднаков на производот од должините на неговите страни помножен со синусот на аголот меѓу нив.
   

   a b sin α

каде што S е плоштината на паралелограмот,
- должини на страните на паралелограмот,
- должина на висина на паралелограм,
- аголот помеѓу страните на паралелограмот.

Формули за плоштина на ромб

1. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и висината на страната
   Површина на ромбеднаков на производот од должината на неговата страна и должината на висината спуштена на оваа страна.
2. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и аголот на страната
   Површина на ромбе еднаков на производот од квадратот на должината на неговата страна и синусот на аголот помеѓу страните на ромбот.
3. Формула за плоштина на ромб врз основа на должините на неговите дијагонали
   Површина на ромбеднаква на половина од производот од должините на неговите дијагонали.
каде што S е плоштината на ромбот,
- должина на страната на ромбот,
- должина на висината на ромбот,
- аголот помеѓу страните на ромбот,
1, 2 - должини на дијагонали.

Формули за трапезоидна област

1. Херонова формула за трапез

   Каде што S е плоштината на трапезот,
   - должини на основите на трапезоидот,
   - должини на страните на трапезоидот,
   

Паралелограме четириаголник чии страни се паралелни во парови.

На оваа слика, спротивните страни и агли се еднакви едни на други. Дијагоналите на паралелограмот се сечат во една точка и ја преполовуваат. Формулите за плоштина на паралелограм ви овозможуваат да ја пронајдете вредноста користејќи ги страните, висината и дијагоналите. Паралелограм може да се прикаже и во посебни случаи. Тие се сметаат за правоаголник, квадрат и ромб.
Прво, да погледнеме пример за пресметување на плоштината на паралелограм по висина и страната до која е спуштен.

Овој случај се смета за класичен и не бара дополнителна истрага. Подобро е да се разгледа формулата за пресметување на површината преку две страни и аголот меѓу нив. Истиот метод се користи при пресметките. Ако се дадени страните и аголот меѓу нив, тогаш површината се пресметува на следниов начин:

Да претпоставиме дека ни е даден паралелограм со страни a = 4 cm, b = 6 cm Аголот меѓу нив е α = 30°. Ајде да ја најдеме областа:

Плоштина на паралелограм низ дијагонали

Формулата за плоштина на паралелограм со помош на дијагоналите ви овозможува брзо да ја пронајдете вредноста.
За пресметки, ќе ви треба големината на аголот лоциран помеѓу дијагоналите.

Да разгледаме пример за пресметување на плоштината на паралелограм користејќи дијагонали. Нека е даден паралелограм со дијагонали D = 7 cm, d = 5 cm Аголот меѓу нив е α = 30°. Да ги замениме податоците во формулата:

Пример за пресметување на плоштината на паралелограм низ дијагоналата ни даде одличен резултат - 8,75.

Знаејќи ја формулата за плоштината на паралелограм низ дијагоналата, можете да решите многу интересни проблеми. Ајде да погледнеме во еден од нив.

Задача:Даден е паралелограм со површина од 92 квадратни метри. види Точката F се наоѓа во средината на нејзината страна п.н.е. Ајде да ја најдеме областа на трапезоидот ADFB, кој ќе лежи во нашиот паралелограм. Прво, да нацртаме се што добивме според условите.
Ајде да дојдеме до решението:

Според нашите услови, ah = 92, и соодветно, површината на нашиот трапез ќе биде еднаква на

Пред да научиме како да ја пронајдеме плоштината на паралелограм, треба да запомниме што е паралелограм и што се нарекува неговата висина. Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во пар (лежат на паралелни прави). Нормална извлечена од произволна точка на спротивната страна на правата што ја содржи оваа страна се нарекува висина на паралелограм.

Квадрат, правоаголник и ромб се посебни случаи на паралелограм.

Областа на паралелограм е означена како (S).

Формули за наоѓање плоштина на паралелограм

S=a*h, каде што a е основата, h е висината што се влече кон основата.

S=a*b*sinα, каде што a и b се основите, а α е аголот помеѓу основите a и b.

S =p*r, каде што p е полупериметарот, r е радиусот на кругот што е впишан во паралелограмот.

Областа на паралелограмот, која е формирана од векторите a и b, е еднаква на модулот на производот на дадените вектори, имено:

Да го разгледаме примерот бр. 1: Даден е паралелограм, чија страна е 7 cm, а висината е 3 cm. Како да ја најдеме плоштината на паралелограм, потребна ни е формула за решението.

Така S= 7x3. S=21. Одговор: 21 cm 2.

Да го разгледаме примерот бр. 2: Дадените основи се 6 и 7 cm, а исто така е даден агол помеѓу основите од 60 степени. Како да се најде плоштината на паралелограм? Формула што се користи за решавање:

Така, прво го наоѓаме синусот на аголот. Синус 60 = 0,5, соодветно S = 6*7*0,5=21 Одговор: 21 cm 2.

Се надевам дека овие примери ќе ви помогнат во решавањето на проблемите. И запомнете, главната работа е познавање на формули и внимание

Што е паралелограм? Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

1. Плоштината на паралелограм се пресметува со формулата:

\[ \ГОЛЕМИ S = a \cdot h_(a)\]

Каде:
a е страната на паралелограмот,
h a – висина повлечена на оваа страна.

2. Ако се познати должините на две соседни страни на паралелограмот и аголот меѓу нив, тогаш плоштината на паралелограмот се пресметува со формулата:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Ако се дадени дијагоналите на паралелограм и е познат аголот меѓу нив, тогаш плоштината на паралелограмот се пресметува со формулата:

\[ \ГОЛЕМИ S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Својства на паралелограм

Во паралелограм, спротивните страни се еднакви: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

Во паралелограм, спротивните агли се еднакви: \(\агол A = \агол C\), \(\агол B = \агол D\)

Дијагоналите на паралелограмот на пресечната точка се поделени на половина \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Дијагоналата на паралелограм го дели на два еднакви триаголници.

Збирот на аглите на паралелограм во непосредна близина на едната страна е 180 o:

\(\агол A + \агол B = 180^(o)\), \(\агол B + \агол C = 180^(o)\)

\(\агол C + \агол D = 180^(o)\), \(\агол D + \агол A = 180^(o)\)

Дијагоналите и страните на паралелограмот се поврзани со следнава врска:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Во паралелограм, аголот помеѓу висините е еднаков на неговиот остар агол: \(\агол K B H =\агол A\) .

Симетралите на аглите соседни на едната страна на паралелограмот се меѓусебно нормални.

Симетралите на два спротивни агли на паралелограм се паралелни.

Знаци на паралелограм

Четириаголник ќе биде паралелограм ако:

\(AB = CD\) и \(AB || CD\)

\(AB = CD\) и \(BC = AD\)

\(AO = OC\) и \(BO = OD\)

\(\агол A = \агол C\) и \(\агол B = \агол D\)

Javascript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да извршите пресметки, мора да овозможите ActiveX контроли!

Исто како што во Евклидовата геометрија, точка и права линија се главните елементи на теоријата на рамнините, така и паралелограмот е една од клучните фигури на конвексните четириаголници. Од него, како нишки од топка, течат концептите на „правоаголник“, „квадрат“, „ромб“ и други геометриски големини.

Во контакт со

Дефиниција на паралелограм

конвексен четириаголник,кој се состои од отсечки, од кои секој пар е паралелен, во геометријата е познат како паралелограм.

Како изгледа класичен паралелограм е прикажан со четириаголник ABCD. Страните се нарекуваат основи (AB, BC, CD и AD), нормалното извлечено од кое било теме на страната спротивна на ова теме се нарекува висина (BE и BF), линиите AC и BD се нарекуваат дијагонали.

Внимание!Квадрат, ромб и правоаголник се посебни случаи на паралелограм.

Страни и агли: карактеристики на врската

Клучни својства, во голема мера, предодредено од самата ознака, тие се докажуваат со теоремата. Овие карактеристики се како што следува:

1. Спротивните страни се идентични во парови.
2. Аглите еден спроти друг се еднакви во парови.

Доказ: Размислете за ∆ABC и ∆ADC, кои се добиваат со делење на четириаголникот ABCD со правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, бидејќи AC е вообичаена за нив (вертикални агли за BC||AD и AB||CD, соодветно). Од ова произлегува: ∆ABC = ∆ADC (вториот знак за еднаквост на триаголниците).

Отсечките AB и BC во ∆ABC во парови одговараат на правите CD и AD во ∆ADC, што значи дека се идентични: AB = CD, BC = AD. Така, ∠B одговара на ∠D и тие се еднакви. Бидејќи ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, кои исто така се идентични по парови, тогаш ∠A = ∠C. Имотот е докажан.

Карактеристики на дијагоналите на фигурата

Главна карактеристикаод овие прави на паралелограм: пресечната точка ги дели на половина.

Доказ: Нека е пресечната точка на дијагоналите AC и BD на сликата ABCD. Тие формираат два сразмерни триаголници - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD бидејќи се спротивни. Според линиите и секантите, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

Според вториот критериум на еднаквост, ∆ABE = ∆CDE. Тоа значи дека елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и истовремено се пропорционални делови на AC и BD. Имотот е докажан.

Карактеристики на соседните агли

Соседните страни имаат збир на агли еднакви на 180°, бидејќи лежат на иста страна на паралелни линии и трансверзала. За четириаголник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Својства на симетралата:

1. , спуштени на едната страна, се нормални;
2. спротивните темиња имаат паралелни симетрали;
3. триаголникот добиен со цртање симетрала ќе биде рамнокрак.

Определување на карактеристичните црти на паралелограм со помош на теоремата

Карактеристиките на оваа бројка произлегуваат од нејзината главна теорема, која го вели следново: четириаголник се смета за паралелограмво случај кога неговите дијагонали се сечат, а оваа точка ги дели на еднакви отсечки.

Доказ: нека правата AC и BD на четириаголникот ABCD се сечат на т.е. Бидејќи ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, тогаш ∆AED = ∆BEC (по првиот критериум за еднаквост на триаголниците). Тоа е, ∠EAD = ∠ЕЦБ. Тие се и внатрешните вкрстени агли на секантата AC за линиите AD и BC. Така, по дефиниција на паралелизам - АД || п.н.е. Слично својство на линиите BC и CD е исто така изведено. Теоремата е докажана.

Пресметување на плоштината на фигурата

Областа на оваа фигура пронајдени со неколку методиеден од наједноставните: множење на висината и основата до која е нацртан.

Доказ: нацртајте нормални BE и CF од темињата B и C. ∆ABE и ∆DCF се еднакви, бидејќи AB = CD и BE = CF. ABCD е еднаков по големина на правоаголникот EBCF, бидејќи тие се состојат од сразмерни бројки: S ABE и S EBCD, како и S DCF и S EBCD. Од ова произлегува дека областа на оваа геометриска фигура е иста како онаа на правоаголникот:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да ја одредиме општата формула за плоштината на паралелограм, да ја означиме висината како hb, и страната - б. Соодветно:

Други начини за наоѓање област

Пресметки на површина низ страните на паралелограмот и аголот, кој тие го формираат, е вториот познат метод.

,

Спр-ма - област;

a и b се неговите страни

α е аголот помеѓу отсечките a и b.

Овој метод практично се базира на првиот, но во случај да е непознат. секогаш отсекува правоаголен триаголник чии параметри се наоѓаат со тригонометриски идентитети, т.е. Трансформирајќи ја релацијата, добиваме . Во равенката на првиот метод, ја заменуваме висината со овој производ и добиваме доказ за валидноста на оваа формула.

Преку дијагоналите на паралелограмот и аголот,кои ги создаваат кога ќе се вкрстат, можете да ја најдете и областа.

Доказ: AC и BD се сечат за да формираат четири триаголници: ABE, BEC, CDE и AED. Нивниот збир е еднаков на плоштината на овој четириаголник.

Површината на секое од овие ∆ може да се најде со изразот , каде што a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Бидејќи , пресметките користат единечна синусна вредност. Тоа е . Бидејќи AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за плоштина се намалува на:

.

Примена во векторска алгебра

Карактеристиките на составните делови на овој четириаголник нашле примена во векторската алгебра, имено собирањето на два вектори. Правилото за паралелограм го кажува тоа ако се дадени векториИНесе колинеарни, тогаш нивниот збир ќе биде еднаков на дијагоналата на оваа бројка, чии основи одговараат на овие вектори.

Доказ: од произволно избран почеток - т.е. - конструирај вектори и . Следно, конструираме паралелограм OASV, каде што отсечките OA и OB се страни. Така, ОС лежи на векторот или збирот.

Формули за пресметување на параметрите на паралелограм

Идентитетот се дава под следниве услови:

1. a и b, α - страни и аголот меѓу нив;
2. d 1 и d 2, γ - дијагонали и на местото на нивното вкрстување;
3. h a и h b - висини спуштени на страните a и b;

Параметар	Формула
Наоѓање на страните
по дијагоналите и косинусот на аголот меѓу нив
по дијагонали и страни
низ висината и спротивното теме
Наоѓање на должината на дијагоналите
на страните и големината на врвот меѓу нив
по страните и една од дијагоналите	 Заклучок Паралелограмот, како една од клучните фигури на геометријата, се користи во животот, на пример, во градежништвото при пресметување на површината на локацијата или други мерења. Затоа, знаењето за карактеристичните карактеристики и методите за пресметување на неговите различни параметри може да биде корисно во секое време од животот.