Случајни променливи. Дискретна случајна променлива.Математичко очекување. Очекување и варијанса на случајна променлива Во теоријата на портфолио, просечното очекување покажува
Ќе има и проблеми кои ќе ги решите сами, на кои ќе можете да ги видите одговорите.
Очекувањето и варијансата се најчесто користените нумерички карактеристики на случајната променлива. Тие ги карактеризираат најважните карактеристики на дистрибуцијата: нејзината положба и степенот на расејување. Очекуваната вредност често се нарекува едноставно просечна. случајна променлива. Дисперзија на случајна променлива - карактеристика на дисперзија, ширење на случајна променлива за неговото математичко очекување.
Во многу практични проблеми, целосна, исцрпна карактеристика на случајна променлива - законот за распределба - или не може да се добие или воопшто не е потребна. Во овие случаи, еден е ограничен на приближен опис на случајна променлива користејќи нумерички карактеристики.
Очекување на дискретна случајна променлива
Ајде да дојдеме до концептот на математичко очекување. Нека масата на некоја супстанција биде распределена помеѓу точките на оската x x1 , x 2 , ..., x n. Покрај тоа, секоја материјална точка има соодветна маса со веројатност од стр1 , стр 2 , ..., стр n. Потребно е да се избере една точка на оската на апсцисата, што ја карактеризира положбата на целиот систем на материјални точки, земајќи ги предвид нивните маси. Природно е да се земе центарот на масата на системот на материјални точки како таква точка. Ова е пондериран просек на случајната променлива X, на која апсцисата на секоја точка xјасвлегува со „тежина“ еднаква на соодветната веројатност. Просечната вредност на случајната променлива добиена на овој начин Xсе нарекува негово математичко очекување.
Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и веројатностите на овие вредности:
Пример 1.Организирана е лотарија со добивка. Има 1000 добивки, од кои 400 се 10 рубли. 300-20 рубли секој. 200-100 рубли секој. и по 100 - 200 рубли. Која е просечната добивка за некој што ќе купи еден тикет?
Решение. Просечните добивки ќе ги најдеме ако вкупниот износ на добивки, кој е 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 рубли, го поделиме со 1000 (вкупен износ на добивки). Потоа добиваме 50000/1000 = 50 рубли. Но, изразот за пресметување на просечната добивка може да се претстави во следнава форма:
Од друга страна, во овие услови, победничката големина е случајна променлива, која може да земе вредности од 10, 20, 100 и 200 рубли. со веројатности еднакви на 0,4, соодветно; 0,3; 0,2; 0.1. Според тоа, очекуваната просечна победа е еднаква на збирот на производите од големината на добивките и веројатноста за нивно примање.
Пример 2.Издавачот одлучи да објави нова книга. Тој планира да ја продаде книгата за 280 рубли, од кои самиот ќе добие 200, 50 - книжарницата и 30 - авторот. Табелата дава информации за трошоците за издавање на книга и за веројатноста за продажба на одреден број примероци од книгата.
Најдете го очекуваниот профит на издавачот.
Решение. Случајната променлива „профит“ е еднаква на разликата помеѓу приходот од продажба и цената на трошоците. На пример, ако се продадени 500 примероци од книга, тогаш приходот од продажбата е 200 * 500 = 100.000, а трошоците за објавување се 225.000 рубли. Така, издавачот се соочува со загуба од 125.000 рубли. Следната табела ги сумира очекуваните вредности на случајната променлива - профит:
| Број | Профит xјас | Веројатност стрјас | xјас стрјас |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Вкупно: | 1,00 | 25000 |
Така, го добиваме математичкото очекување за профитот на издавачот:
.
Пример 3.Веројатност да се погоди со еден истрел стр= 0,2. Определете ја потрошувачката на проектили кои обезбедуваат математичко очекување за бројот на удари еднаков на 5.
Решение. Од истата формула за математичко очекување што ја користевме досега, се изразуваме x- потрошувачка на школка:
.
Пример 4.Определи го математичкото очекување на случајна променлива xброј на удари со три удари, ако веројатноста за погодок со секој истрел стр = 0,4 .
Совет: пронајдете ја веројатноста за случајни вредности на променливи според Формулата на Бернули .
Својства на математичкото очекување
Да ги разгледаме својствата на математичкото очекување.
Имотот 1.Математичкото очекување за константна вредност е еднакво на оваа константа:
Имотот 2.Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување:
Имотот 3.Математичкото очекување од збирот (разликата) на случајните променливи е еднакво на збирот (разликата) на нивните математички очекувања:
Имотот 4.Математичкото очекување на производ од случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:
Имотот 5.Ако сите вредности на случајна променлива Xсе намалува (зголемува) за ист број СО, тогаш неговото математичко очекување ќе се намали (зголеми) за ист број:
Кога не можете да се ограничите само на математичко очекување
Во повеќето случаи, само математичкото очекување не може доволно да карактеризира случајна променлива.
Нека случајните променливи XИ Yсе дадени со следните закони за дистрибуција:
| Значење X | Веројатност |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значење Y | Веројатност |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математичките очекувања од овие количини се исти - еднакви на нула:
Сепак, нивните модели на дистрибуција се различни. Случајна вредност Xможе да земе само вредности кои малку се разликуваат од математичкото очекување и случајната променлива Yможе да земе вредности кои значително отстапуваат од математичкото очекување. Сличен пример: просечната плата не овозможува да се процени уделот на високо и ниско платените работници. Со други зборови, од математичкото очекување не може да се процени какви отстапувања од него, барем во просек, се можни. За да го направите ова, треба да ја пронајдете варијансата на случајната променлива.
Варијанса на дискретна случајна променлива
Варијансадискретна случајна променлива Xсе нарекува математичко очекување на квадратот на неговото отстапување од математичкото очекување:
Стандардна девијација на случајна променлива Xаритметичката вредност на квадратниот корен на неговата варијанса се вика:
.
Пример 5.Пресметајте ги варијансите и стандардните отстапувања на случајните променливи XИ Y, чии закони за распределба се дадени во горните табели.
Решение. Математички очекувања на случајни променливи XИ Y, како што е откриено погоре, се еднакви на нула. Според формулата за дисперзија кај Е(X)=Е(y)=0 добиваме:
Потоа стандардните отстапувања на случајните променливи XИ YШминка
.
Така, со истите математички очекувања, варијансата на случајната променлива Xмногу мала, но случајна променлива Y- значајно. Ова е последица на разликите во нивната дистрибуција.
Пример 6.Инвеститорот има 4 алтернативни инвестициски проекти. Табелата ја сумира очекуваната добивка во овие проекти со соодветната веројатност.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Најдете ги математичкото очекување, варијансата и стандардното отстапување за секоја алтернатива.
Решение. Дозволете ни да покажеме како се пресметуваат овие вредности за третата алтернатива:
Табелата ги сумира пронајдените вредности за сите алтернативи.
Сите алтернативи имаат исти математички очекувања. Тоа значи дека долгорочно сите имаат исти приходи. Стандардната девијација може да се толкува како мерка за ризик - колку е поголема, толку е поголем ризикот од инвестицијата. Инвеститор кој не сака многу ризик ќе го избере проектот 1 бидејќи има најмало стандардно отстапување (0). Доколку инвеститорот претпочита ризик и високи приноси во краток период, тогаш ќе го избере проектот со најголемо стандардно отстапување - проект 4.
Карактеристики на дисперзија
Да ги претставиме својствата на дисперзијата.
Имотот 1.Варијансата на константна вредност е нула:
Имотот 2.Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање:
.
Имотот 3.Варијансата на случајната променлива е еднаква на математичкото очекување на квадратот на оваа вредност, од кое се одзема квадратот на математичкото очекување на самата вредност:
,
Каде 
.
Имотот 4.Варијансата на збирот (разликата) на случајните променливи е еднаква на збирот (разликата) на нивните варијанси:
Пример 7.Познато е дека дискретна случајна променлива Xзема само две вредности: −3 и 7. Освен тоа, познато е и математичкото очекување: Е(X) = 4 . Најдете ја варијансата на дискретна случајна променлива.
Решение. Да означиме со стрверојатноста со која случајната променлива зема вредност x1 = −3 . Тогаш веројатноста на вредноста x2 = 7 ќе биде 1 − стр. Да ја изведеме равенката за математичкото очекување:
Е(X) = x 1 стр + x 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,
каде ги добиваме веројатностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .
Закон за распределба на случајна променлива:
| X | −3 | 7 |
| стр | 0,3 | 0,7 |
Ние ја пресметуваме варијансата на оваа случајна променлива користејќи ја формулата од својството 3 на дисперзијата:
Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Пронајдете го сами математичкото очекување на случајна променлива, а потоа погледнете го решението
Пример 8.Дискретна случајна променлива Xзема само две вредности. Ја прифаќа поголемата од вредностите 3 со веројатност 0,4. Дополнително, позната е и варијансата на случајната променлива Д(X) = 6 . Најдете го математичкото очекување на случајна променлива.
Пример 9.Во урната има 6 бели и 4 црни топчиња. Од урната се извлекуваат 3 топчиња. Бројот на бели топчиња меѓу извлечените топчиња е дискретна случајна променлива X. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива.
Решение. Случајна вредност Xможе да земе вредности 0, 1, 2, 3. Соодветните веројатности може да се пресметаат од правило за множење на веројатноста. Закон за распределба на случајна променлива:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| стр | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Оттука и математичкото очекување на оваа случајна променлива:
М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Варијансата на дадена случајна променлива е:
Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Очекување и варијанса на континуирана случајна променлива
За континуирана случајна променлива, механичкото толкување на математичкото очекување ќе го задржи истото значење: центар на маса за единица маса распределена континуирано на оската x со густина ѓ(x). За разлика од дискретна случајна променлива, чијшто функционален аргумент xјассе менува нагло; за континуирана случајна променлива, аргументот постојано се менува. Но, математичкото очекување на континуирана случајна променлива е исто така поврзано со нејзината просечна вредност.
За да ги пронајдете математичкото очекување и варијансата на континуирана случајна променлива, треба да најдете дефинитивни интеграли . Ако е дадена функцијата за густина на континуирана случајна променлива, тогаш таа директно влегува во интеграндот. Ако е дадена функција за распределба на веројатност, тогаш со нејзино диференцирање, треба да ја пронајдете функцијата за густина.
Аритметичкиот просек на сите можни вредности на континуирана случајна променлива се нарекува нејзин математичко очекување, означено со или .
Очекувана вредност
Дисперзијаконтинуирана случајна променлива X, чиишто можни вредности припаѓаат на целата оска Ox, се определува со еднаквоста: 
Цел на услугата. Онлајн калкулаторот е дизајниран да решава проблеми во кои или густина на дистрибуција f(x) или дистрибутивна функција F(x) (види пример). Обично во такви задачи треба да најдете математичко очекување, стандардно отстапување, графички функции f(x) и F(x).
Инструкции. Изберете го типот на изворните податоци: густина на дистрибуција f(x) или функција на дистрибуција F(x).
Густината на распределбата f(x) е дадена: 
Функцијата за распределба F(x) е дадена: 
Континуирана случајна променлива е одредена со густина на веројатност 
(Рејлиевиот закон за дистрибуција - се користи во радио инженерството). Најдете M(x) , D(x) .
Се повикува случајната променлива X континуирано
, ако неговата дистрибутивна функција F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцијата за распределба на континуирана случајна променлива се користи за пресметување на веројатноста случајната променлива да падне во даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Покрај тоа, за континуирана случајна променлива, не е важно дали нејзините граници се вклучени во овој интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Густина на дистрибуција
континуирана случајна променлива се нарекува функција
f(x)=F’(x) , извод на функцијата распределба.
Својства на густината на дистрибуцијата
1. Густината на распределбата на случајната променлива е ненегативна (f(x) ≥ 0) за сите вредности на x.2. Состојба за нормализација:
Геометриското значење на условот за нормализација: површината под кривата на густина на распределбата е еднаква на единство.
3. Веројатноста случајната променлива X да падне во интервалот од α до β може да се пресмета со формулата
Геометриски, веројатноста континуираната случајна променлива X да падне во интервалот (α, β) е еднаква на областа на криволинеарниот трапез под кривата на густина на дистрибуција врз основа на овој интервал.
4. Функцијата на дистрибуција се изразува во однос на густината на следниот начин:
Вредноста на густината на распределбата во точката x не е еднаква на веројатноста да се прифати оваа вредност; за континуирана случајна променлива можеме да зборуваме само за веројатноста да падне во даден интервал. Нека)
