Линии од втор ред на авион. Линии од прв ред Зошто се нарекува линија од прв ред?
Криви од втор редна рамнина се линии дефинирани со равенки во кои променливата координира xИ yсе содржани во вториот степен. Тие вклучуваат елипса, хипербола и парабола.
Општата форма на равенката на кривата од втор ред е како што следува:
Каде А, Б, Ц, Д, Е, Ф- бројки и најмалку еден од коефициентите А, Б, Цне е еднаква на нула.
При решавање на проблеми со криви од втор ред, најчесто се разгледуваат канонските равенки на елипсата, хиперболата и параболата. Лесно е да се премине на нив од општите равенки; пример 1 за проблеми со елипсови ќе биде посветен на ова.
Елипса дадена со канонската равенка
Дефиниција на елипса.Елипса е множество од сите точки на рамнината за кои збирот на растојанијата до точките наречени фокуси е константна вредност поголема од растојанието помеѓу фокусите.
Фокусите се означени како на сликата подолу.
Канонската равенка на елипса има форма:
Каде аИ б (а > б) - должините на полуоските, т.е., половина од должините на сегментите отсечени со елипсата на координатните оски.
Правата линија што минува низ фокусите на елипсата е нејзината оска на симетрија. Друга оска на симетрија на елипсата е права линија што минува низ средината на отсечка нормална на овој сегмент. Точка ЗАпресекот на овие линии служи како центар на симетрија на елипсата или едноставно центар на елипсата.
Оската на апсцисата на елипсата се сече на точките ( а, ЗА) И (- а, ЗА), а оската на ординатите е во точки ( б, ЗА) И (- б, ЗА). Овие четири точки се нарекуваат темиња на елипсата. Отсечката помеѓу темињата на елипсата на оската x се нарекува нејзина главна оска, а на ординатна оска - нејзината помала оска. Нивните отсечки од врвот до центарот на елипсата се нарекуваат полуоски.
Ако а = б, тогаш равенката на елипсата добива форма . Ова е равенка на круг со радиус а, а круг е посебен случај на елипса. Елипса може да се добие од круг со радиус а, ако го компресирате во а/бпати по оската Ој .
Пример 1.Проверете дали правата дадена со општа равенка е 
, елипса.
Решение. Ја трансформираме општата равенка. Го користиме преносот на слободниот член на десната страна, поделбата по член по член на равенката со ист број и намалувањето на дропките:
Одговори. Равенката добиена како резултат на трансформациите е канонската равенка на елипсата. Затоа, оваа линија е елипса.
Пример 2.Составете ја канонската равенка на елипса ако нејзините полуоски се 5 и 4, соодветно.
Решение. Ја разгледуваме формулата за канонската равенка на елипса и ја заменуваме: полуголемата оска е а= 5, полуминорната оска е б= 4. Ја добиваме канонската равенка на елипсата:
Точки и , означени со зелено на главната оска, каде
се нарекуваат трикови.
повикани ексцентричностелипса.
Став б/аја карактеризира „растеченоста“ на елипсата. Колку е помал овој однос, толку повеќе елипсата е издолжена по главната оска. Сепак, степенот на издолжување на елипсата почесто се изразува преку ексцентричност, формулата за која е дадена погоре. За различни елипси, ексцентричноста варира од 0 до 1, секогаш останувајќи помала од единството.
Пример 3.Составете ја канонската равенка на елипсата ако растојанието помеѓу фокусите е 8 и главната оска е 10.
Решение. Ајде да направиме неколку едноставни заклучоци:
Ако главната оска е еднаква на 10, тогаш нејзината половина, односно полуоската а = 5 ,
Ако растојанието помеѓу фокусите е 8, тогаш бројот вод фокалните координати е еднаква на 4.
Заменуваме и пресметуваме:
Резултатот е канонската равенка на елипсата:
Пример 4.Составете ја канонската равенка на елипса ако нејзината главна оска е 26, а нејзината ексцентричност е .
Решение. Како што следува и од големината на главната оска и од равенката на ексцентричност, полуглавната оска на елипсата а= 13. Од равенката за ексцентричност го изразуваме бројот в, потребна за пресметување на должината на малата полуоска:
.
Го пресметуваме квадратот на должината на малата полуоска:
Ја составуваме канонската равенка на елипсата:
Пример 5.Определи ги фокусите на елипсата дадени со канонската равенка.
Решение. Најдете го бројот в, кој ги одредува првите координати на фокусите на елипсата:
.
Ги добиваме фокусите на елипсата:
Пример 6.Фокусите на елипсата се наоѓаат на оската Волсиметрично за потеклото. Составете ја канонската равенка на елипсата ако:
1) растојанието помеѓу фокусите е 30, а главната оска е 34
2) мала оска 24, а еден од фокусите е во точката (-5; 0)
3) ексцентричност, а едно од фокусите е во точката (6; 0)
Ајде да продолжиме да ги решаваме проблемите со елипсата заедно
Ако е произволна точка на елипсата (означена со зелено во горниот десен дел од елипсата на цртежот) и е растојанието до оваа точка од фокусите, тогаш формулите за растојанијата се како што следува:
За секоја точка што припаѓа на елипсата, збирот на растојанија од фокусите е константна вредност еднаква на 2 а.
Линии дефинирани со равенки
се нарекуваат директоркиелипса (на цртежот има црвени линии по должината на рабовите).
Од двете равенки погоре следува дека за која било точка на елипсата
,
каде и се растојанијата на оваа точка до насоките и .
Пример 7.Дадена е елипса. Напишете равенка за нејзините директори.
Решение. Ја гледаме директската равенка и откриваме дека треба да ја најдеме ексцентричноста на елипсата, т.е. Ги имаме сите податоци за ова. Ние пресметуваме:
.
Ја добиваме равенката на насоките на елипсата:
Пример 8.Составете ја канонската равенка на елипса ако нејзините фокуси се точки, а директорите се прави.
Линии од втор ред.
Елипса и нејзината канонска равенка. Заокружете
По темелно проучување прави линии во рамнинатаПродолжуваме да ја проучуваме геометријата на дводимензионалниот свет. Влоговите се удвоени и ве поканувам да ја посетите живописната галерија на елипси, хиперболи, параболи, кои се типични репрезентативци линии од втор ред. Екскурзијата е веќе започната, а најпрвин кратка информација за целата изложба на различни катови од музејот:
Концептот на алгебарска линија и нејзиниот редослед
Линија на авион се нарекува алгебарски, ако во афин координатен системнеговата равенка има форма , каде што е полином кој се состои од членови на формата ( – реален број, – ненегативни цели броеви).
Како што можете да видите, равенката на алгебарската линија не содржи синуси, косинуси, логаритми и други функционални Beau Monde. Влегуваат само X и Y ненегативни цели броевистепени.
Линиски редоследеднаква на максималната вредност на поимите вклучени во него.
Според соодветната теорема, концептот на алгебарска линија, како и неговиот редослед, не зависат од изборот афин координатен систем, затоа, за полесно постоење, претпоставуваме дека сите последователни пресметки се одвиваат во Декартови координати.
Општа равенкалинијата од втор ред има форма , каде 
– произволни реални броеви (Вообичаено е да се напише со фактор два), а коефициентите не се еднакви на нула во исто време.
Ако , тогаш равенката се поедноставува на 
, а ако коефициентите не се еднакви на нула во исто време, тогаш тоа е точно општа равенка на „рамна“ линија, што претставува линија од прв ред.
Многумина го разбраа значењето на новите термини, но, сепак, за 100% да го совладаме материјалот, ги ставаме прстите во штекерот. За да го одредите редоследот на линиите, треба да повторите сите термининеговите равенки и најдете за секоја од нив збир на степенидојдовни променливи.
На пример:
терминот содржи „x“ до 1 сила;
терминот содржи „Y“ до 1 сила;
Во поимот нема променливи, така што збирот на нивните моќи е нула.
Сега да откриеме зошто равенката ја дефинира линијата второсо цел:
терминот содржи „x“ до втора сила;
збирот го има збирот на моќите на променливите: 1 + 1 = 2;
терминот содржи „Y“ до втора сила;
сите други термини - помалкустепени.
Максимална вредност: 2
Ако дополнително додадеме, да речеме, на нашата равенка, тогаш таа веќе ќе определи линија од трет ред. Очигледно е дека општата форма на равенката на линијата од 3 ред содржи „целосен сет“ поими, збирот на моќите на променливите во кој е еднаков на три:
, каде што коефициентите не се еднакви на нула во исто време.
Во случај да додадете еден или повеќе соодветни термини кои содржат 
, тогаш веќе ќе зборуваме за Линии од 4 ред, итн.
Ќе мора да се сретнеме со алгебарски линии од 3, 4 и повисоки редови повеќе од еднаш, особено кога се запознаваме со поларен координатен систем.
Сепак, да се вратиме на општата равенка и да се потсетиме на нејзините наједноставни училишни варијации. Како примери, се појавува парабола, чија равенка може лесно да се сведе на општа форма, и хипербола со еквивалентна равенка. Сепак, не е се така мазно...
Значаен недостаток на општата равенка е тоа што речиси секогаш не е јасно која линија ја дефинира. Дури и во наједноставниот случај, нема веднаш да сфатите дека ова е хипербола. Таквите распореди се добри само за маскенбал, така што типичен проблем се разгледува во текот на аналитичката геометрија доведување на равенката на линијата од 2 ред во канонска форма.
Која е канонската форма на равенката?
Ова е општо прифатена стандардна форма на равенка, кога за неколку секунди станува јасно каков геометриски објект дефинира. Покрај тоа, канонската форма е многу погодна за решавање на многу практични задачи. Така, на пример, според канонската равенка „рамно“ директно, прво, веднаш е јасно дека ова е права линија, и второ, точката што и припаѓа и векторот на насока се лесно видливи.
Очигледно е дека било кој Линија од 1 реде права линија. На вториот кат веќе не чека чуварот, туку многу поразновидна дружина од девет статуи:
Класификација на линии од втор ред
Користејќи посебен сет на дејства, секоја равенка на линија од втор ред се сведува на една од следниве форми:
(и се позитивни реални броеви)
1) 
– канонска равенка на елипсата;
2) – канонска равенка на хипербола;
3) 
– канонска равенка на парабола;
4) – имагинаренелипса;
5) – пар линии кои се вкрстуваат;
6) – пар имагинаренлинии кои се пресекуваат (со една валидна точка на пресек на почетокот);
7) – пар паралелни прави;
8) – пар имагинаренпаралелни линии;
9) – пар совпаѓачки линии.
Некои читатели може да имаат впечаток дека списокот е нецелосен. На пример, во точката бр. 7, равенката го одредува парот директно, паралелно со оската и се поставува прашањето: каде е равенката што ги одредува правите паралелни со оската на ординатите? Одговори не се смета за канонски. Правите линии го претставуваат истиот стандарден случај, ротиран за 90 степени, а дополнителниот внес во класификацијата е излишен, бидејќи не носи ништо суштински ново.
Така, постојат девет и само девет различни типови линии од втор ред, но во пракса најчести се елипса, хипербола и парабола.
Ајде прво да ја погледнеме елипсата. Како и обично, се фокусирам на оние точки кои се од големо значење за решавање на проблемите, а ако ви треба детално изведување на формули, докази на теореми, ве молиме погледнете го, на пример, учебникот на Базилев/Атанасјан или Александров.
Елипса и нејзината канонска равенка
Правопис.
Канонската равенка на елипса има форма , каде се позитивни реални броеви и . Подоцна ќе ја формулирам самата дефиниција за елипса, но засега е време да се одмориме од продавницата за зборување и да решиме заеднички проблем:
Како да се изгради елипса?
Да, само земете го и само нацртајте го. Задачата се јавува често, а значителен дел од учениците не се справуваат правилно со цртежот:
Пример 1
Конструирај ја елипсата дадена со равенката
Решение: Прво, да ја доведеме равенката во канонска форма: 
Зошто да се донесе? Една од предностите на канонската равенка е тоа што ви овозможува веднаш да одредите темиња на елипсата, кои се наоѓаат на точки. Лесно е да се види дека координатите на секоја од овие точки ја задоволуваат равенката.
Во овој случај : 
Линиски сегментповикани главната оскаелипса;
линиски сегмент – мала оска;
број 
повикани полу-главна осовинаелипса;
број 
– мала оска.
во нашиот пример: .
За брзо да замислите како изгледа одредена елипса, само погледнете ги вредностите на „a“ и „be“ на нејзината канонска равенка.
Сè е во ред, мазно и убаво, но има едно предупредување: го направив цртежот користејќи ја програмата. И можете да го направите цртежот користејќи која било апликација. Меѓутоа, во суровата реалност, на масата има карирано парче хартија, а глувците танцуваат во кругови на нашите раце. Луѓето со уметнички талент, се разбира, можат да се расправаат, но имате и глувци (иако помали). Не залудно човештвото измисли владетел, компас, транспортер и други едноставни уреди за цртање.
Поради оваа причина, веројатно нема да можеме точно да нацртаме елипса знаејќи ги само темињата. Во ред е ако елипсата е мала, на пример, со полуоски. Алтернативно, можете да ја намалите скалата и, соодветно, димензиите на цртежот. Но, генерално, многу е пожелно да се најдат дополнителни поени.
Постојат два пристапи за изградба на елипса - геометриски и алгебарски. Не ми се допаѓа конструкцијата со помош на компас и линијар бидејќи алгоритмот не е најкраток и цртежот е значително натрупан. Во случај на итност, ве молиме погледнете го учебникот, но во реалноста е многу порационално да се користат алатките на алгебрата. Од равенката на елипсата во нацртот брзо изразуваме: 
Равенката потоа се распаѓа на две функции: 
– го дефинира горниот лак на елипсата; 
– го дефинира долниот лак на елипсата.
Елипсата дефинирана со канонската равенка е симетрична во однос на координатните оски, како и во однос на потеклото. И ова е одлично - симетријата е скоро секогаш предвесник на гратис. Очигледно, доволно е да се справиме со првата координатна четвртина, па ни треба функцијата 
. Моли да се најдат дополнителни поени со апсциси 
. Ајде да допреме три СМС пораки на калкулаторот: 
Се разбира, исто така е убаво што ако се направи сериозна грешка во пресметките, веднаш ќе стане јасно за време на изградбата.
Ајде да ги означиме точките на цртежот (црвено), симетричните точки на преостанатите лакови (сини) и внимателно да ја поврземе целата компанија со линија: 
Подобро е да се нацрта почетната скица многу тенко, а дури потоа да се притисне со молив. Резултатот треба да биде сосема пристојна елипса. Патем, дали би сакале да знаете што е оваа крива?
Дефиниција на елипса. Фокуси на елипса и ексцентричност на елипсата
Елипсата е посебен случај на овал. Зборот „овален“ не треба да се разбере во филистинска смисла („детето нацрта овална“ итн.). Ова е математички термин кој има детална формулација. Целта на оваа лекција не е да се разгледа теоријата на овали и нивните различни типови, на кои практично не им се обрнува внимание во стандардниот курс на аналитичката геометрија. И, во согласност со поактуелните потреби, веднаш преминуваме на строгата дефиниција на елипса:
Елипсае множество од сите точки на рамнината, збирот на растојанијата до секоја од две дадени точки, т.н. триковиелипса, е константна големина, нумерички еднаква на должината на главната оска на оваа елипса: .
Во овој случај, растојанијата помеѓу фокусите се помали од оваа вредност: .
Сега сè ќе стане појасно: 
Замислете дека сината точка „патува“ по елипса. Значи, без разлика која точка на елипсата ќе ја земеме, збирот на должините на отсечките секогаш ќе биде ист:
Да се увериме дека во нашиот пример вредноста на збирот е навистина еднаква на осум. Ментално поставете ја точката „um“ на десното теме на елипсата, а потоа: , што треба да се провери.
Друг метод за негово цртање се заснова на дефиницијата за елипса. Високата математика понекогаш е причина за напнатост и стрес, па време е да имате уште една сесија за истовар. Ве молиме земете хартија Whatman или голем лист картон и закачете го на масата со два клинци. Тоа ќе бидат трикови. Заврзете зелена нишка на испакнатите глави на ноктите и повлечете ја до крај со молив. Оводот за молив ќе заврши во одредена точка што припаѓа на елипсата. Сега почнете да го движите моливот по листот хартија, држејќи ја зелената нишка затегната. Продолжете со процесот додека не се вратите на почетната точка... одлично... цртежот може да го проверат докторот и наставникот =)
Како да ги пронајдете фокусите на елипсата?
Во горниот пример, ги прикажав „готовите“ фокусни точки, а сега ќе научиме како да ги извлечеме од длабочините на геометријата.
Ако елипсата е дадена со канонска равенка, тогаш нејзините фокуси имаат координати 
, каде е растојание од секој фокус до центарот на симетријата на елипсата.
Пресметките се поедноставни отколку едноставни: 
! Специфичните координати на фокуси не можат да се идентификуваат со значењето на „це“!Повторувам дека ова е ДИСТЕНЦИЈА од секој фокус до центарот(што во општиот случај не мора да се наоѓа токму на потеклото).
И, според тоа, растојанието помеѓу фокусите, исто така, не може да се поврзе со канонската положба на елипсата. Со други зборови, елипсата може да се премести на друго место и вредноста ќе остане непроменета, додека фокусите природно ќе ги променат своите координати. Ве молиме земете го ова предвид додека дополнително ја истражувате темата.
Ексцентричност на елипсата и нејзиното геометриско значење
Ексцентричноста на елипсата е сооднос што може да земе вредности во опсегот.
Во нашиот случај:
Ајде да дознаеме како обликот на елипсата зависи од нејзината ексцентричност. За ова поправете ги левите и десните темињана разгледуваната елипса, односно вредноста на полуглавната оска ќе остане константна. Тогаш формулата за ексцентричност ќе добие форма: .
Да почнеме да ја приближуваме вредноста на ексцентричноста до единството. Ова е можно само доколку. Што значи тоа? ...сетете се на триковите 
. Ова значи дека фокусите на елипсата ќе се „раздвојат“ долж оската на апсцисата до страничните темиња. И, бидејќи „зелените сегменти не се гумени“, елипсата неизбежно ќе почне да се израмнува, претворајќи се во потенок и потенок колбас нанижан на оска.
Така, колку е поблиску вредноста на ексцентричноста на елипсата до единството, толку е поиздолжена елипсата.
Сега да го моделираме спротивниот процес: фокусите на елипсата 
тргнаа еден кон друг, приближувајќи се кон центарот. Ова значи дека вредноста на „ce“ станува сè помала и, соодветно, ексцентричноста се стреми кон нула: .
Во овој случај, „зелените сегменти“, напротив, ќе „станат преполни“ и ќе почнат да ја „туркаат“ линијата на елипсата нагоре и надолу.
Така, Колку е поблиску вредноста на ексцентричноста до нула, толку елипсата е повеќе слична со... погледнете го ограничувачкиот случај кога фокусите успешно се обединуваат на потекло:
Круг е посебен случај на елипса
Навистина, во случај на еднаквост на полуоските, канонската равенка на елипсата ја добива формата , која рефлексно се трансформира во равенката на круг со центар на почетокот на радиусот „а“, добро позната уште од училиште.
Во практиката почесто се користи ознаката со „зборувачка“ буква „ер“: . Радиусот е должината на сегментот, при што секоја точка на кругот е отстранета од центарот за растојание од радиус.
Забележете дека дефиницијата за елипса останува целосно точна: фокусите се совпаѓаат, а збирот на должините на совпаѓачките отсечки за секоја точка на кругот е константа. Бидејќи растојанието помеѓу фокусите е , тогаш ексцентричноста на кој било круг е нула.
Изградбата на круг е лесно и брзо, само користете компас. Сепак, понекогаш е неопходно да се дознаат координатите на некои од неговите точки, во овој случај одиме на познатиот начин - ја доведуваме равенката до веселата форма Матанов:
– функција на горниот полукруг;
– функција на долниот полукруг.
Потоа ги наоѓаме потребните вредности, разликуваат, интегрираати прави други добри работи.
Написот, се разбира, е само за референца, но како можете да живеете во светот без љубов? Креативна задача за самостојно решение
Пример 2
Составете ја канонската равенка на елипса ако се познати едно од нејзините фокуси и полумала оска (центарот е на почетокот). Најдете темиња, дополнителни точки и повлечете линија на цртежот. Пресметајте ја ексцентричноста.
Решение и цртање на крајот од часот
Ајде да додадеме акција:
Ротирајте и паралелно преведете елипса
Да се вратиме на канонската равенка на елипсата, имено, на состојбата, чија мистерија ги измачува љубопитните умови уште од првото спомнување на оваа крива. Така ја погледнавме елипсата 
, но дали во пракса не е можно да се исполни равенката 
? На крајот на краиштата, и овде, сепак, се чини дека е елипса!
Овој вид на равенка е ретка, но се среќава. И всушност дефинира елипса. Ајде да демистифицираме: 
Како резултат на изградбата, добиена е нашата родна елипса, ротирана за 90 степени. Тоа е, 
- Ова неканонски влезелипса 
. Рекорд!- равенката 
не дефинира друга елипса, бидејќи на оската нема точки (фокуси) кои би ја задоволиле дефиницијата за елипса.
Во Декартови координати, равенката од прв степен дефинира одредена права линија.
Прави што се одредуваат со равенка од прв степен во Декартови координати се нарекуваат линии од прв ред. Следствено, секоја права линија е линија од прв ред.
Општа равенка на права(како општа равенка од прв степен) се определува со равенка од формата:
О + Ву + СО = 0.
Да разгледаме нецелосни равенки на права линија.
1. СО= 0. Равенката на права линија има форма: Ах + Ву = 0; правата линија минува низ потеклото.
2. ВО = 0 (Абр. 0). Равенката е О + СО= 0 или X =А, Каде А= Правата минува низ точката А(А; 0), таа е паралелна со оската ОУ. Број А О(сл. 1).
Ориз. 1
Ако А= 0, тогаш правата линија се совпаѓа со оската ОУ. Равенката на ординатна оска Oy има форма: X = 0.
3. А = 0 (ВОбр. 0). Равенката изгледа вака: Ву + СО= 0 или на = б, Каде б= . Права линија поминува низ точка ВО(0; б), таа е паралелна со оската О. Број бе вредноста на отсечката што правата линија ја отсекува на оската ОУ(сл. 2).
Ориз. 2
Ако b = 0, тогаш правата линија се совпаѓа со оската x Ox. Равенката на x-оската Ox има форма: y = 0.
Равенка на права во отсечки на оскисе одредува со равенката:
Каде се бројките АИ бсе вредностите на сегментите отсечени со права линија на координатните оски (сл. 3).
(X 0 ;на 0)нормално на нормалниот вектор = {А; Б), се одредува со формулата:
А(X – X 0) + ВО(на – на 0) = 0.
Равенка на права што минува низ дадена точка М(X 0 ; на 0) паралелно со векторот на насоката = {л; м), ја има формата:
Равенка на права што минува низ две дадени точки М 1 (X 1 ; на 1) и М 2 (X 2 ; на 2), се одредува со равенката:
Наклонот на линијата kсе нарекува тангента на аголот на наклон на правата кон оската О, што се мери од позитивната насока на оската до правата линија спротивно од стрелките на часовникот, к= tgα.
Равенка на права линија со наклон kима форма:
y = khx + б,
Каде к= tgα, б– големината на сегментот отсечен со права линија на оската ОУ(сл. 4).
Равенка на права што минува низ дадена точка М(X 0 ;на 0)во оваа насока(наклон кпознато), определено со формулата:
y - y 0 = к(X –X 0).
Равенка на молив од прави што минуваат низ дадена точка М(X 0 ;на 0) (наклон кнепознато), определено со формулата:
y - y 0 = к(X –X 0).
Равенка на молив од прави што минуваат низ точката на пресек на правите
А 1 X + ВО 1 на + СО 1 = 0 и А 2 X + ВО 2 на + СО 2 = 0, определено со формулата:
α( А 1 X + ВО 1 на + СО 1) + β( А 2 X + ВО 2 на + СО 2) = 0.
Катче j, броено спротивно од стрелките на часовникот од права линија y = k 1 X + б 1 до права линија y = k 2 X + б 2, се одредува со формулата (сл. 5):
За правите дадени со општи равенки А 1 X + ВО 1 на + СО 1 = 0 и А 2 X + ВО 2 на + СО 2 = 0, аголот помеѓу две прави линии се одредува со формулата:
Условот за паралелизам на две прави има форма: к 1 = к 2 или .
Условот две прави да бидат нормални има формата: или А 1 А 2 + ВО 1 ВО 2 = 0.
Нормалната равенка на правата има форма:
x cosα + yсина - стр = 0,
Каде стр -должината на нормалното паднато од почеток до права линија, α е аголот на наклон на нормалното на позитивната насока на оската О(сл. 6).
Да се даде општата равенка на права линија О + Ву + СО= 0 во нормална форма, треба да ги помножите сите негови членови со нормализирачки фактор μ= , земен со знакот спротивен на знакот на слободниот член СО.
Растојание од точка М(X 0 ;на 0)до право Ах + Ву + СО= 0 се одредува со формулата:
Равенки на симетрали на аглите меѓу правите А 1 X + ВО 1 на + СО 1 = 0 и А 2 X + ВО 2 на + СО 2 = 0 изгледа вака:
Пример 4. Дадени се темињата на триаголник ABC: А (–5; –7), ВО (7; 2), СО(–6; 8). Најдете: 1) должина на страна АБ; 2) равенки на страните АБИ ACи нивните аголни коефициенти; 3) внатрешен агол ВО; 4) средна равенка AE; 5) равенка и должина на висина ЦД; 6) симетрална равенка АК; 7) равенка на права што минува низ точка Епаралелно на страна АБ; 8) координати на точки М, лоциран симетрично до точката Арелативно исправен ЦД.
1. Растојание гпомеѓу две точки А(X 1 ; на 1) и ВО(X 2 ; на 2) определено со формулата:
Најдете ја должината на страната АБкако растојание помеѓу две точки А(–7; –8) и ВО(8; –3):
2. Равенка на права што минува низ точки А(X 1 ; на 1) и ВО(X 2 ;y 2), ја има формата:
Замена на координатите на точките АИ ВО, ја добиваме равенката на страната АБ:
3(X+ 5) = 4(на+ 7); 3X– 4на– 13 = 0 (АБ).
Да се најде наклонот k ABдиректно ( АБ) да ја решиме добиената равенка во однос на на:
4y= 3x– 13;
– равенка на правата ( АБ) со наклон,
Слично на тоа, замена на координатите на точките ВОИ СО, ја добиваме равенката на права линија ( Сонцето):
6X– 42 = –13на+ 26; 6x+ 13y– 68 = 0 (п.н.е.).
Да ја решиме равенката на правата ( Сонцето) релативно на: .
3. Тангента на аголот j помеѓу две прави чии аголни коефициенти се еднакви к 1 и к 2, се одредува со формулата:
Внатрешен агол ВОформирана од прави линии ( АБ) И ( Сонцето), а тоа е остар агол низ кој мора да се ротира правата линија Сонцетово позитивна насока (спротивно од стрелките на часовникот) додека не се совпадне со права линија ( АБ). Затоа, да ја замениме формулата к 1 = , к 2 = :
Ð ВО= arctg = arctg 1,575 » 57,59°.
4. Да се најде средната равенка ( AE), прво ги одредуваме координатите на точката Е,што е средната точка на страната Сонцето.За да го направите ова, ги применуваме формулите за делење на сегмент на два еднакви дела:
Затоа, поентата Еима координати: Е(0,5; 5).
Замена на координатите на точките во равенка на права линија што минува низ две точки АИ Е, ја наоѓаме средната равенка ( AE):
24X – 11на + 43 = 0 (AE).
5. Од висината ЦДнормално на страната АБ, потоа права линија ( АБ) нормално на права линија ( ЦД). Да се најде наклонот на висината ЦД,Да го искористиме условот за перпендикуларност на две прави:
Равенка на права што минува низ дадена точка М(X 0 ; на 0) во дадена насока (наклон кпознато), ја има формата:
y – y 0 = к (x – x 0).
Замена на координатите на точката во последната равенка СО(–6; 8) и , ја добиваме висинската равенка ЦД:
на – 8 = (X -(–6)), 3на – 24 = – 4X– 24, 4X + 3на = 0 (ЦД).
Растојание од точка М(X 0 ; на 0) до права линија Аx + By+C = 0 се одредува со формулата:
Висина должина ЦДнајдете го како растојание од точката СО(-6; 8) до права линија ( АБ): 3X – 4на– 13. Заменувајќи ги потребните количини во формулата, ја наоѓаме должината ЦД:
6. Равенки на симетрали на агли меѓу прави Секира + Со +
C= 0 и
А 1 x+B 1 y +
В 1 =
0 се одредуваат со формулата:
Симетрална равенка АКнаоѓаме една од равенките за симетралите на аглите меѓу правите ( АБ) И ( AC).
Ајде да создадеме равенка на права линија ( AC) како равенка на права што минува низ две точки А(–5; –7) и СО (–6; 8):
Да ја трансформираме последната равенка:
15(X+ 5) = – (на+ 7); 15x + y + 82 = 0 (AC).
Замена на коефициентите од општите равенки на правите ( АБ) И ( AC), ги добиваме равенките на симетралите на аглите:
Да ја трансформираме последната равенка:
; (3X – 4на– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);
3 X - 4 на– 13 = ± (75 X +5на + 410).
Да разгледаме два случаи:
1) 3 X - 4 на – 13 = 75X +5на+ 410.у l АВ .
Тријаголник ABC,висина ЦД, средна AE, симетрала АК, директно ли период Мконструирани во координатен систем Охоо(сл. 7).
Обем е збир на сите точки на рамнината еднакво оддалечени од една дадена точка, наречена центарот на кругот.Растојанието од центарот на кругот до која било точка на кругот се нарекува . радиус на кругот.
- канонска равенка на круг (16) - центар на кругот.
Ако центарот на кругот лежи на почетокот, тогаш равенката на кругот е (16 .)
Елипсае множество од сите точки на рамнината, збирот на растојанијата од две дадени точки на оваа рамнина (наречен триковина оваа елипса) е константна вредност.
Во (0;b)M(x,y)
r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a
(-a;0) F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) (a;0) X
Да означиме за краткост a 2 -b 2 =c 2 (*), тогаш равенката на елипсата е: (17)
Ако ставите y=0, добивате , а ако ставите x=0, добивате ; тоа значи дека и се должините на полуоските на елипсата - големо() И мали(). Покрај тоа, секој од поимите на левата страна не може да биде поголем од еден, оттука , и затоа целата елипса се наоѓа внатре во правоаголникот. Точките A, B, C, D, на кои елипсата ги пресекува оските на симетрија, се викаат темиња на елипсата.
Став 
се нарекува ексцентричност на елипсата.
Хипербола е множество од сите точки на рамнината, модулот на разликата во растојанија од две дадени точки на оваа рамнина (наречен триковина оваа хипербола) е константна вредност. Се нарекува средната точка на растојанието помеѓу фокусите центар на хиперболата.
r 2 r 1 –r 2 =2a
F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) x
Да означиме 2 -c 2 = -b 2 (**), хипербола равенка: (18)
Од оваа равенка е јасно дека хиперболата има две оски на симетрија (главни оски), како и центар на симетрија (центар на хиперболата).
Став 
се нарекува ексцентричност на хиперболата.
Ако ставите y=0, добивате , а ако ставите x=0, добивате .
Ова значи дека оската Ox ја пресекува хиперболата во две точки (темиња на хиперболата), ова е - реална оска; Оската Ој не ја пресекува хиперболата - ова е „ имагинарна оска. „Секоја отсечка што поврзува две точки на хипербола, ако поминува низ центарот, се нарекува дијаметар на хиперболата.
Права линија до која крива линија се приближува колку што сакате, но никогаш не ја пресекува се нарекува асимптота на кривата.Хиперболата има две асимптоти. Нивните равенки се: (19)
Парабола е збир на сите точки на рамнината, растојанието од секоја од нив до дадена точка (наречен фокус)еднакво на растојанието до дадена права линија (наречен директорка).
- параметар на парабола.
Параболата има една оска на симетрија. Точката на пресек на параболата со оската на симетрија се вика темето на параболата.
Канонската равенка на парабола со теме на почеток, чија оска на симетрија е оската Ox и гранките насочени десно има форма (20)
Равенката на нејзината директорка:
Канонската равенка на парабола со теме на почеток, чија оска на симетрија е оската Ox и гранките насочени налево има форма 
(20 ,)
Равенката на нејзината директорка:
Канонската равенка на парабола со теме на почеток, чија оска на симетрија е оската Oy и гранките насочени нагоре има форма 
(20 ,)
Равенката на нејзината директорка:
Канонската равенка на парабола со теме на почеток, чија оска на симетрија е оската Oy и гранките насочени надолу има форма (20 ,)
Равенката на нејзината директорка:
y y
F 0 p/2 x -p/2 0 x
Y y
стр/2
–p/2
Тема 2.1. Предавање 7. Лекција 10
Тема: Функции на една независна променлива, нивните графикони.
Концепт на функција
Еден од основните математички концепти е концептот на функцијата. Концептот на функција е поврзан со воспоставување на зависност (врска) помеѓу елементите на две множества.
Нека се дадени две непразни множества X и Y. Кореспонденцијата ƒ, која одговара на секој елемент xО X еден и само еден елемент уО Y, се нарекува функција и се пишува y=ƒ(x), xО X или ƒ : X→Y. Велат и дека функцијата ƒ го пресликува множеството X со множеството Y.
На пример, кореспонденциите ƒ и g прикажани на Слика 98 a и b се функции, но оние на Слика 98 c и d не се. Во случај во - не секој елемент xÎX одговара на елементот yÎY. Во случајот г, условот за единственост не е исполнет.
Множеството X се нарекува домен на дефинирање на функцијата ƒ и се означува D(f). Множеството на сите уОY се нарекува множество вредности на функцијата ƒ и се означува E(ƒ).
Нумерички функции. График на функции. Методи за одредување функции
Нека е дадена функција ƒ : X→Y.
Ако елементите на множествата X и Y се реални броеви (т.е. XÌ R и YÌ R), тогаш функцијата ƒ се нарекува бројна функција. Во иднина ќе ги проучуваме (по правило) нумеричките функции, за кратко ќе ги нарекуваме функции и ќе напишеме y = ƒ (x).
Променливата x се нарекува аргумент или независна променлива, а y се нарекува функција или зависна променлива (од x). Во однос на самите величини x и y, се вели дека се функционално зависни. Понекогаш функционалната зависност на y од x се пишува во форма y = y (x), без да се воведе нова буква (ƒ) за означување на зависноста.
Приватна вредностфункциите ƒ(x) за x=a се запишуваат на следниов начин: ƒ(a). На пример, ако ƒ(x)=2x 2 -3, тогаш ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.
График на функции y=(x) е множество од сите точки на рамнината Oxy, за секоја од нив x е вредноста на аргументот, а y е соодветната вредност на функцијата.
На пример, графикот на функцијата y=√(1-2) е горниот полукруг со радиус R=1 со центар на O(0;0) (види Сл. 99).
За да се постави функцијата y=ƒ(x), потребно е да се определи правило кое овозможува, знаејќи го x, да се најде соодветната вредност на y.
Најчестите три начини за одредување на функцијата се: аналитички, табеларни и графички.
Аналитички метод: Функцијата е одредена како една или повеќе формули или равенки.
Ако доменот на дефиниција на функцијата y = ƒ(x) не е наведен, тогаш се претпоставува дека се совпаѓа со множеството на сите вредности на аргументот за кој има смисла соодветната формула. Така, доменот на дефиниција на функцијата y = √(1-x2) е отсечката [-1; 1].
Аналитичкиот метод за одредување функција е најнапреден, бидејќи е придружен со методи на математичка анализа кои овозможуваат целосно проучување на функцијата y=ƒ(x).
Графички метод: се одредува графикот на функцијата.
Честопати графиконите се цртаат автоматски со инструменти за снимање или се прикажуваат на екранот. Вредностите на функцијата y што одговараат на одредени вредности на аргументот x се директно пронајдени од овој график.
Предноста на графичката задача е нејзината јасност, недостаток е нејзината неточност.
Табеларен метод: функцијата се одредува со табела со низа вредности на аргументи и соодветни вредности на функцијата. На пример, добро познати табели на вредности на тригонометриски функции, логаритамски табели.
Во пракса, често е неопходно да се користат табели со вредности на функции добиени експериментално или како резултат на набљудувања.
Да ги разгледаме линиите дефинирани со равенката на вториот степен во однос на тековните координати
Коефициентите на равенката се реални броеви, но барем еден од броевите A, B или C се разликува од 0. таквите прави се нарекуваат прави (криви) од втор ред. Подолу ќе покажеме дека равенката (1) дефинира елипса, хипербола или парабола на рамнина.
Заокружете
Наједноставната крива од втор ред е круг. Потсетиме дека кругот со радиус R со центар во точката M 0 се нарекува множество точки M на рамнината што го задоволува условот MM 0 =R. Нека точката M 0 во системот Oxy има координати x 0 ,y 0 , а M(x,y) е произволна точка на кружницата. Потоа или
-канонска равенка на круг . Претпоставувајќи x 0 =y 0 =0 добиваме x 2 +y 2 =R 2
Да покажеме дека равенката на круг може да се запише како општа равенка од втор степен (1). За да го направите ова, ја квадратуваме десната страна на равенката на кругот и добиваме:
За да може оваа равенка да одговара на (1) потребно е:
1) коефициент Б=0,
2) . Потоа добиваме: (2)
Се нарекува последната равенка општа равенка на круг . Поделувајќи ги двете страни на равенката со A ≠0 и собирајќи ги членовите што содржат x и y на целосен квадрат, добиваме:
(2)
Споредувајќи ја оваа равенка со канонската равенка на круг, откриваме дека равенката (2) е навистина равенка на круг ако:
1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.
Ако овие услови се исполнети, центарот на кругот се наоѓа во точката О и неговиот радиус 
.
Елипса
|
|
|
|
По дефиниција 2 >2c, односно >c За да ја изведеме равенката на елипсата, ќе претпоставиме дека фокусите F 1 и F 2 лежат на оската Ox, а t.O се совпаѓа со средината на отсечката F 1 F 2 , потоа F 1 (-c, 0), F 2 (c,0). Нека M(x,y) е произволна точка на елипсата, тогаш, според дефиницијата за елипсата MF 1 +MF 2 =2 т.е.
Ова е равенка на елипса. Можете да го конвертирате во поедноставна форма на следниов начин:
Квадрат:
квадрат го
Бидејќи 2 -c 2 >0 ставаме 2 -c 2 =b 2
Тогаш последната равенка ќе ја добие формата:
е равенка на елипса во канонска форма.
Обликот на елипсата зависи од односот: кога b= елипсата се претвора во круг. Равенката ќе има форма. Соодносот често се користи како карактеристика на елипсата. Оваа големина се нарекува ексцентричност на елипсата и 0< <1 так как 0 Проучување на обликот на елипсата. 1) равенката на елипсата содржи x и y, само до парен степен, затоа елипсата е симетрична во однос на оските Ox и Oy, како и во однос на TO (0,0), што се нарекува центар на елипсата. 2) најдете ги точките на пресек на елипсата со координатните оски. Поставувајќи y=0 наоѓаме A 1 ( ,0) и A 2 (- ,0), во кои елипсата го сече Ox. Ставајќи x=0, наоѓаме B 1 (0,b) и B 2 (0,-b). Точките A 1 , A 2 , B 1 , B 2 се нарекуваат темиња на елипсата. Отсечките A 1 A 2 и B 1 B 2, како и нивните должини 2 и 2b, се нарекуваат главни и помали оски на елипсата, соодветно. Броевите и b се главните и малите полуоски, соодветно. 4) Во равенката на елипсата, збирот на ненегативни членови е еднаков на еден. Следствено, како што еден член се зголемува, другиот ќе се намалува, односно ако |x| се зголемува, потоа |y| - се намалува и обратно. Од сето она што е кажано, произлегува дека елипсата ја има формата прикажана на слика 2. (овална затворена крива).
А 1 (,0)
А2(-,0)
Следствено, сите точки на елипсата лежат во правоаголникот формиран од правите x=± ,y=±b. (Сл.2.)
B 2 (0,b)
