Многу лесно се памети.

Па, да не одиме далеку, веднаш да ја разгледаме инверзната функција. Која функција е инверзна на експоненцијалната функција? Логаритам:

Во нашиот случај, основата е бројот:

Таквиот логаритам (т.е. логаритам со основа) се нарекува „природен“ и користиме посебна нотација за него: наместо тоа пишуваме.

На што е еднакво? Секако, .

Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:

Примери:

1. Најдете го изводот на функцијата.
2. Кој е изводот на функцијата?

Одговори: Експоненцијалниот и природниот логаритам се уникатно едноставни функции од перспектива на извод. Експоненцијалните и логаритамските функции со која било друга основа ќе имаат различен извод, кој ќе го анализираме подоцна, откако ќе ги поминеме правилата за диференцијација.

Правила за диференцијација

Правила за што? Пак нов мандат, пак?!...

Диференцијацијае процес на пронаоѓање на дериватот.

Тоа е се. Како друго можете да го наречете овој процес со еден збор? Не извод... Математичарите диференцијалот го нарекуваат исто зголемување на функцијата во. Овој термин доаѓа од латинската диференција - разлика. Еве.

Кога ги изведуваме сите овие правила, ќе користиме две функции, на пример, и. Ќе ни требаат и формули за нивните зголемувања:

Има вкупно 5 правила.

Константата се вади од дериватниот знак.

Ако - некој константен број (константа), тогаш.

Очигледно ова правило работи и за разликата: .

Да го докажеме тоа. Нека биде, или поедноставно.

Примери.

Најдете ги изводите на функциите:

1. во точка;
2. во точка;
3. во точка;
4. во точката.

Решенија:

1. (изводот е ист во сите точки, бидејќи е линеарна функција, се сеќавате?);

Дериват на производот

Сè е слично овде: да воведеме нова функција и да го најдеме нејзиниот прираст:

Дериват:

Примери:

1. Најди ги изводите на функциите и;
2. Најдете го изводот на функцијата во точка.

Решенија:

Извод на експоненцијална функција

Сега вашето знаење е доволно за да научите како да го пронајдете изводот на која било експоненцијална функција, а не само на експоненти (сè уште сте заборавиле што е тоа?).

Значи, каде е некој број.

Веќе го знаеме изводот на функцијата, па ајде да се обидеме да ја намалиме нашата функција на нова база:

За да го направите ова, ќе користиме едноставно правило: . Потоа:

Па, успеа. Сега обидете се да го пронајдете изводот и не заборавајте дека оваа функција е сложена.

Се случи?

Еве, проверете се:

Се покажа дека формулата е многу слична на изводот на експонент: како што беше, таа останува иста, се појави само фактор, кој е само број, но не и променлива.

Примери:
Најдете ги изводите на функциите:

Одговори:

Ова е само бројка што не може да се пресмета без калкулатор, односно не може да се запише во поедноставна форма. Затоа, го оставаме во оваа форма во одговорот.

Забележете дека тука е количникот на две функции, така што го применуваме соодветното правило за диференцијација:

Во овој пример, производ на две функции:

Извод на логаритамска функција

Слично е овде: веќе го знаете дериватот на природниот логаритам:

Затоа, да се најде произволен логаритам со различна основа, на пример:

Треба да го намалиме овој логаритам на основата. Како се менува основата на логаритам? Се надевам дека се сеќавате на оваа формула:

Само сега наместо тоа ќе напишеме:

Именителот е едноставно константа (константен број, без променлива). Дериватот се добива многу едноставно:

Деривати на експоненцијални и логаритамски функции речиси никогаш не се наоѓаат во унифицираниот државен испит, но нема да биде излишно да ги знаеме.

Извод на сложена функција.

Што е „комплексна функција“? Не, ова не е логаритам, ниту арктангенс. Овие функции може да бидат тешки за разбирање (иако ако ви е тежок логаритмот, прочитајте ја темата „Логаритми“ и ќе бидете во ред), но од математичка гледна точка, зборот „комплекс“ не значи „тешко“.

Замислете мала подвижна лента: две лица седат и прават некои активности со некои предмети. На пример, првиот завиткува чоколадна лента во обвивка, а втората ја врзува со лента. Резултатот е композитен предмет: чоколадна лента завиткана и врзана со лента. За да јадете чоколадна лента, треба да ги направите обратните чекори во обратен редослед.

Ајде да создадеме сличен математички цевковод: прво ќе го најдеме косинусот на некој број, а потоа ќе го квадратиме добиениот број. Значи, ни се дава број (чоколадо), јас го наоѓам неговиот косинус (обвивка), а потоа го квадрирате она што го добив (врзете го со лента). Што се случи? Функција. Ова е пример за сложена функција: кога, за да ја пронајдеме нејзината вредност, го извршуваме првото дејство директно со променливата, а потоа второто дејство со она што произлегло од првото.

Со други зборови, комплексна функција е функција чиј аргумент е друга функција: .

За нашиот пример,.

Можеме лесно да ги правиме истите чекори во обратен редослед: прво го квадратите, а потоа го барам косинусот на добиениот број: . Лесно е да се погоди дека резултатот скоро секогаш ќе биде различен. Важна карактеристика на сложените функции: кога се менува редоследот на дејствата, функцијата се менува.

Втор пример: (истото). .

Дејството што го правиме последно ќе се вика „надворешна“ функција, и дејството извршено прво - соодветно „внатрешна“ функција(ова се неформални имиња, ги користам само за да го објаснам материјалот на едноставен јазик).

Обидете се сами да одредите која функција е надворешна, а која внатрешна:

Одговори:Одвојувањето на внатрешните и надворешните функции е многу слично на менувањето на променливите: на пример, во функција

1. Која акција прво ќе ја извршиме? Прво, да го пресметаме синусот, па дури потоа да го коцкаме. Тоа значи дека тоа е внатрешна функција, но надворешна.
   А оригиналната функција е нивниот состав: .
2. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
3. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
4. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
5. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .

Ги менуваме променливите и добиваме функција.

Па, сега ќе ја извадиме нашата чоколадна лента и ќе го бараме дериватот. Постапката е секогаш обратна: прво го бараме изводот на надворешната функција, а потоа резултатот го множиме со изводот на внатрешната функција. Во однос на оригиналниот пример, изгледа вака:

Друг пример:

Значи, конечно да го формулираме официјалното правило:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

Се чини едноставно, нели?

Ајде да провериме со примери:

Решенија:

1) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

2) Внатрешна: ;

(Само не обидувајте се да го пресечете досега! Ништо не излегува од косинусот, се сеќавате?)

3) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

Веднаш е јасно дека ова е сложена функција на три нивоа: на крајот на краиштата, ова е веќе сложена функција сама по себе, а ние исто така го извлекуваме коренот од него, односно го извршуваме третото дејство (ставете го чоколадото во обвивка и со лента во актовката). Но, нема причина да се плашиме: ние сепак ќе ја „отпакуваме“ оваа функција по истиот редослед како и обично: од крајот.

Односно, прво го разликуваме коренот, па косинусот, па дури потоа изразот во загради. И тогаш сето тоа го множиме.

Во такви случаи, погодно е да се нумерираат дејствата. Односно, да замислиме што знаеме. По кој редослед ќе извршиме дејствија за да ја пресметаме вредноста на овој израз? Ајде да погледнеме на пример:

Колку подоцна се изврши дејството, толку „понадворешна“ ќе биде соодветната функција. Редоследот на дејствата е ист како и претходно:

Овде гнездото е генерално на 4 нивоа. Ајде да го одредиме текот на дејствувањето.

1. Радикално изразување. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Плоштад. .

5. Спојување на сето тоа заедно:

ДЕРИВАТИВ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Извод на функција- односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот:

Основни деривати:

Правила за диференцијација:

Константата се вади од дериватниот знак:

Извод на збирот:

Дериват на производот:

Извод на количникот:

Извод на сложена функција:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

1. Ја дефинираме „внатрешната“ функција и го наоѓаме нејзиниот дериват.
2. Ја дефинираме функцијата „надворешна“ и го наоѓаме нејзиниот дериват.
3. Ги множиме резултатите од првата и втората точка.

И теоремата за изводот на сложена функција, чија формулација е како што следува:

Нека 1) функцијата $u=\varphi (x)$ има во одреден момент $x_0$ изводот $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) функцијата $y=f(u)$ имаат во соодветната во точката $u_0=\varphi (x_0)$ изводот $y_(u)"=f"(u)$. Тогаш сложената функција $y=f\left(\varphi (x) \right)$ во споменатата точка ќе има и извод еднаков на производот од изводите на функциите $f(u)$ и $\varphi ( x) $:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \десно)\cdot \varphi"(x_0) $$

или, пократко: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Во примерите во овој дел, сите функции имаат форма $y=f(x)$ (т.е., сметаме само функции на една променлива $x$). Според тоа, во сите примери се зема изводот $y"$ во однос на променливата $x$. За да се нагласи дека изводот се зема во однос на променливата $x$, $y"_x$ често се пишува наместо $y „$.

Примерите бр. 1, бр. 2 и бр. 3 го прикажуваат деталниот процес за пронаоѓање на изводот на сложените функции. Примерот бр. 4 е наменет за поцелосно разбирање на табелата со деривати и има смисла да се запознаете со неа.

Препорачливо е, по проучувањето на материјалот во примерите бр.1-3, да се премине на самостојно решавање на примерите бр.5, бр.6 и бр.7. Примерите #5, #6 и #7 содржат кратко решение за да може читателот да ја провери точноста на неговиот резултат.

Пример бр. 1

Најдете го изводот на функцијата $y=e^(\cos x)$.

Треба да го најдеме изводот на сложена функција $y"$. Бидејќи $y=e^(\cos x)$, тогаш $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. најдете го изводот $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ја користиме формулата бр. 6 од табелата со деривати. За да ја искористиме формулата бр. 6, треба да земеме предвид дека во нашиот случај $u=\cos x$. Понатамошното решение се состои во едноставно замена на изразот $\cos x$ наместо $u$ во формула бр. 6:

$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ознака (1.1)$$

Сега треба да ја најдеме вредноста на изразот $(\cos x)"$. Повторно се свртуваме кон табелата со деривати, избирајќи ја формулата бр. 10 од неа. Заменувајќи ја $u=x$ во формулата бр. 10, имаме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Сега да продолжиме со еднаквоста (1.1), дополнувајќи ја со пронајдениот резултат:

$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ознака (1.2) $$

Бидејќи $x"=1$, продолжуваме со еднаквоста (1.2):

$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ознака (1.3) $$

Значи, од еднаквоста (1.3) имаме: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Нормално, објаснувањата и средните еднаквости обично се прескокнуваат, запишувајќи го наодот на изводот во една линија. како во еднаквоста ( 1.3) Значи, изводот на сложена функција е најден, останува само да се запише одговорот.

Одговори: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Пример бр. 2

Најдете го изводот на функцијата $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Треба да го пресметаме изводот $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За почеток, забележуваме дека константата (т.е. бројот 9) може да се извади од дериватниот знак:

$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)" \ознака (2.1) $$

Сега да се свртиме кон изразот $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За полесно да ја изберете саканата формула од табелата со деривати, ќе го претставам изразот во прашање во оваа форма: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е јасно дека е неопходно да се користи формула бр.2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Да ги замениме $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$ во оваа формула:

Дополнувајќи ја еднаквоста (2.1) со добиениот резултат, имаме:

$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ознака (2,2) $$

Во оваа ситуација, често се прави грешка кога решавачот на првиот чекор ја избира формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ наместо формулата $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Поентата е дека изводот на надворешната функција мора да биде на прво место. За да разберете која функција ќе биде надворешна на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, замислете дека ја пресметувате вредноста на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ по некоја вредност $x$. Прво ќе ја пресметате вредноста на $5^x$, а потоа ќе го помножите резултатот со 4, добивајќи $4\cdot 5^x$. Сега ја земаме арктангентата од овој резултат, добивајќи $\arctg(4\cdot 5^x)$. Потоа го подигаме добиениот број до дванаесеттата сила, добивајќи $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Последната акција, т.е. подигањето на јачината од 12 ќе биде надворешна функција. И токму од ова мора да започнеме да го наоѓаме изводот, што беше направено во еднаквост (2.2).

Сега треба да најдеме $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ја користиме формулата бр. 19 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=4\cdot \ln x$ во неа:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Ајде малку да го поедноставиме добиениот израз, земајќи го предвид $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Еднаквоста (2.2) сега ќе стане:

$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ознака (2,3) $$

Останува да се најде $(4\cdot \ln x)"$. Да ја извадиме константата (т.е. 4) од знакот за извод: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. За За да најдеме $(\ln x)"$ ја користиме формулата бр. 8, заменувајќи ја $u=x$ во неа: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x „$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Заменувајќи го добиениот резултат во формулата (2.3), добиваме:

$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Да ве потсетам дека изводот на сложена функција најчесто се наоѓа во една линија, како што е напишано во последната еднаквост. Затоа, при подготовка на стандардни пресметки или контролна работа, воопшто не е неопходно да се опише решението толку детално.

Одговори: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Пример бр. 3

Најдете $y"$ од функцијата $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Прво, малку да ја трансформираме функцијата $y$, изразувајќи го радикалот (root) како моќност: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \десно)^(\frac(3)(7))$. Сега да почнеме да го наоѓаме дериватот. Бидејќи $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, тогаш:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\десно)" \ознака (3.1) $$

Да ја користиме формулата бр. 2 од табелата со деривати, заменувајќи ги $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$ во неа:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Да продолжиме со еднаквоста (3.1) користејќи го добиениот резултат:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ознака (3.2) $$

Сега треба да најдеме $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За ова ја користиме формулата бр. 9 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=5\cdot 9^x$ во неа:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Откако ја дополнивме еднаквоста (3.2) со добиениот резултат, имаме:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ознака (3.3) $$

Останува да се најде $(5\cdot 9^x)"$. Прво, да ја земеме константата (бројот $5$) надвор од знакот за извод, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. За да го пронајдете дериватот $(9^x)"$, примени ја формулата бр. 5 од табелата со деривати, заменувајќи ги $a=9$ и $u=x$ во неа: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можеме да продолжиме со еднаквоста (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можеме повторно да се вратиме од моќ до радикали (т.е. корени), пишувајќи $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ во форма $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Тогаш дериватот ќе биде напишан во оваа форма:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Одговори: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Пример бр. 4

Покажете дека формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се посебен случај на формулата бр. 2 од оваа табела.

Формулата бр. 2 од табелата со деривати го содржи изводот на функцијата $u^\alpha$. Заменувајќи го $\alpha=-1$ во формула бр. 2, добиваме:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\таг (4.1)$$

Бидејќи $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогаш еднаквоста (4.1) може да се препише на следниов начин: $ \left(\frac(1)(u) \десно)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ова е формула бр. 3 од табелата со деривати.

Да се ​​свртиме повторно кон формулата бр. 2 од табелата со деривати. Ајде да го замениме $\alpha=\frac(1)(2)$ во него:

$$\лево(u^(\frac(1)(2))\десно)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\ознака (4.2) $$

Бидејќи $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогаш еднаквоста (4.2) може да се препише на следниов начин:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Добиената еднаквост $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ е формула бр. 4 од табелата со деривати. Како што можете да видите, формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се добиени од формулата бр. 2 со замена на соодветната вредност $\alpha$.

Сложени деривати. Логаритамски дериват.
Извод на моќно-експоненцијална функција

Продолжуваме да ја подобруваме нашата техника на диференцијација. Во оваа лекција ќе го консолидираме материјалот што го опфативме, ќе разгледаме посложени деривати, а исто така ќе се запознаеме со нови техники и трикови за наоѓање извод, особено со логаритамскиот извод.

Оние читатели кои имаат ниско ниво на подготовка треба да се повикаат на статијата Како да се најде дериватот? Примери на решенија, што ќе ви овозможи да ги подигнете своите вештини речиси од нула. Следно, треба внимателно да ја проучите страницата Извод на сложена функција, разберете и решите Ситепримерите што ги наведов. Оваа лекција логично е трета по ред, а откако ќе ја совладате самоуверено ќе разликувате прилично сложени функции. Непожелно е да се заземе ставот „Каде на друго место? Доста е!“, бидејќи сите примери и решенија се земени од вистински тестови и често се среќаваат во пракса.

Да почнеме со повторување. На лекцијата Извод на сложена функцијаРазгледавме голем број примери со детални коментари. Во текот на изучувањето на диференцијалното сметање и другите гранки на математичката анализа, ќе треба да се разликувате многу често, и не е секогаш погодно (и не секогаш е потребно) да се опишуваат примери детално. Затоа, ќе вежбаме усно да наоѓаме деривати. Најпогодни „кандидати“ за ова се деривати на наједноставните сложени функции, на пример:

Според правилото за диференцијација на сложените функции :

При проучување на други матни теми во иднина, најчесто не е потребно вакво детално снимање, се претпоставува дека студентот знае како да најде такви деривати на автопилот. Да замислиме дека во 3 часот наутро телефонот заѕвони и пријатен глас праша: „Која е дериватот на тангентата на две X?“ Ова треба да биде проследено со речиси моментален и љубезен одговор: .

Првиот пример веднаш ќе биде наменет за независно решение.

Пример 1

Најди ги следните изводи усно, во едно дејство, на пример: . За да ја завршите задачата, треба само да ја користите табела на деривати на елементарни функции(ако сè уште не сте се сетиле). Ако имате какви било тешкотии, препорачувам повторно да ја прочитате лекцијата Извод на сложена функција.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Одговори на крајот од лекцијата

Сложени деривати

По прелиминарната артилериска подготовка, примерите со 3-4-5 гнезда на функции ќе бидат помалку страшни. Следниве два примери можеби некому му изгледаат комплицирани, но ако ги разберете (некој ќе страда), тогаш речиси сè друго во диференцијалното пресметување ќе изгледа како детска шега.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата

Како што веќе беше забележано, при наоѓање на изводот на сложена функција, пред сè, потребно е Во правоРАЗБЕРЕТЕ ги вашите инвестиции. Во случаи кога има сомнежи, ве потсетувам на корисна техника: ја земаме експерименталната вредност на „x“, на пример, и се обидуваме (ментално или во нацрт) да ја замениме оваа вредност со „страшниот израз“.

1) Прво треба да го пресметаме изразот, што значи дека збирот е најдлабокото вградување.

2) Потоа треба да го пресметате логаритамот:

4) Потоа коцкај го косинусот:

5) На петтиот чекор разликата:

6) И конечно, најоддалечената функција е квадратниот корен:

Формула за диференцијација на сложена функција се применуваат во обратен редослед, од најоддалечената функција до највнатрешната. Ние одлучуваме:

Се чини дека нема грешки...

(1) Земете го дериватот на квадратниот корен.

(2) Го земаме изводот на разликата користејќи го правилото

(3) Изводот на тројка е нула. Во вториот член го земаме изводот на степенот (коцка).

(4) Земете го изводот на косинус.

(5) Земете го изводот на логаритамот.

(6) И конечно, го земаме дериватот на најдлабокото вградување.

Можеби изгледа премногу тешко, но ова не е најбруталниот пример. Земете ја, на пример, колекцијата на Кузнецов и ќе ја цените сета убавина и едноставност на анализираниот дериват. Забележав дека сакаат да даваат слично нешто на испит за да проверат дали студентот разбира како да најде извод на сложена функција или не разбира.

Следниот пример е за вас да го решите сами.

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата

Совет: Прво ги применуваме правилата за линеарност и правилото за диференцијација на производот

Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Време е да преминете на нешто помало и поубаво.
Не е невообичаено примерот да покаже производ на не две, туку три функции. Како да се најде дериватот на производот од три фактори?

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата

Прво гледаме, дали е можно производот од три функции да се претвори во производ на две функции? На пример, ако имаме два полиноми во производот, тогаш би можеле да ги отвориме заградите. Но, во примерот што се разгледува, сите функции се различни: степен, експонент и логаритам.

Во такви случаи тоа е неопходно последователноприменувајте го правилото за диференцијација на производите двапати

Финтата е што со „y“ го означуваме производот на две функции: , а со „ve“ го означуваме логаритамот: . Зошто може да се направи ова? Дали е навистина – ова не е производ на два фактора и правилото не функционира?! Нема ништо комплицирано:

Сега останува да се примени правилото по втор пат во заграда:

Можете исто така да се извртите и да ставите нешто од загради, но во овој случај подобро е да го оставите одговорот токму во оваа форма - ќе биде полесно да се провери.

Разгледаниот пример може да се реши на вториот начин:

Двете решенија се апсолутно еквивалентни.

Пример 5

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за независно решение, во примерокот се решава со помош на првиот метод.

Ајде да погледнеме слични примери со дропки.

Пример 6

Најдете го изводот на функцијата

Постојат неколку начини на кои можете да отидете овде:

Или вака:

Но, решението ќе биде напишано покомпактно ако прво го искористиме правилото за диференцијација на количникот , земајќи го целиот броител:

Во принцип, примерот е решен, и ако се остави како што е, нема да биде грешка. Но, ако имате време, секогаш е препорачливо да проверите на нацрт за да видите дали одговорот може да се поедностави? Да го намалиме изразот на броителот на заеднички именител и да се ослободиме од трикатната дропка:

Недостаток на дополнителните поедноставувања е што постои ризик да се направи грешка не при наоѓање на дериватот, туку при банални училишни трансформации. Од друга страна, наставниците често ја отфрлаат задачата и бараат да го „донесат на ум“ дериватот.

Поедноставен пример за решавање самостојно:

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата

Продолжуваме да ги совладуваме методите за наоѓање на дериватот, а сега ќе разгледаме типичен случај кога „страшниот“ логаритам е предложен за диференцијација

Пример 8

Најдете го изводот на функцијата

Овде можете да одите на долг пат, користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција:

Но, првиот чекор веднаш ве втурнува во очај - треба да го земете непријатниот дериват од фракциона моќ, а потоа и од дропка.

Затоа предкако да се земе дериватот на „софистицираниот“ логаритам, прво се поедноставува со користење на добро познати училишни својства:

! Ако имате при рака тетратка за вежбање, копирајте ги овие формули директно таму. Ако немате тетратка, препишете ги на парче хартија, бидејќи останатите примери од лекцијата ќе се вртат околу овие формули.

Самото решение може да се напише вака:

Ајде да ја трансформираме функцијата:

Наоѓање на дериватот:

Пред-конвертирањето на самата функција значително го поедностави решението. Така, кога се предлага сличен логаритам за диференцијација, секогаш е препорачливо да се „разложи“.

И сега неколку едноставни примери за да ги решите сами:

Пример 9

Најдете го изводот на функцијата

Пример 10

Најдете го изводот на функцијата

Сите трансформации и одговори се на крајот од лекцијата.

Логаритамски дериват

Ако дериватот на логаритмите е толку слатка музика, тогаш се поставува прашањето: дали е можно во некои случаи вештачки да се организира логаритмот? Може! Па дури и неопходно.

Пример 11

Најдете го изводот на функцијата

Неодамна разгледавме слични примери. Што да се прави? Можете последователно да го примените правилото за диференцијација на количникот, а потоа правилото за диференцијација на производот. Недостаток на овој метод е тоа што на крајот доаѓате со огромна дропка од три ката, со која воопшто не сакате да се справите.

Но, во теоријата и практиката постои таква прекрасна работа како логаритамскиот извод. Логаритмите можат да се организираат вештачки со нивно „закачување“ на двете страни:

Забелешка : затоа што функцијата може да земе негативни вредности, тогаш, општо земено, треба да користите модули: , кој ќе исчезне како резултат на диференцијација. Но, прифатлив е и сегашниот дизајн, каде стандардно се зема предвид комплексзначења. Но, ако е со сета строгост, тогаш и во двата случаи треба да се резервира тоа.

Сега треба да го „распаднете“ логаритмот на десната страна што е можно повеќе (формули пред вашите очи?). Ќе го опишам овој процес во многу детали:

Да почнеме со диференцијација.
Двата дела ги заклучуваме под програмот:

Дериватот на десната страна е прилично едноставен, нема да коментирам за него, бидејќи ако го читате овој текст, треба да можете самоуверено да се справите со него.

Што е со левата страна?

На левата страна имаме комплексна функција. Го предвидувам прашањето: „Зошто, има една буква „Y“ под логаритамот?

Факт е дека оваа „игра со една буква“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(ако не е многу јасно, погледнете ја статијата Извод на функција наведен имплицитно). Според тоа, логаритамот е надворешна функција, а „y“ е внатрешна функција. И ние го користиме правилото за диференцијација на сложена функција :

На левата страна, како со магија, имаме дериват. Следно, според правилото за пропорција, го пренесуваме „y“ од именителот на левата страна на врвот на десната страна:

И сега да се потсетиме за каква функција „играч“ зборувавме за време на диференцијацијата? Да ја погледнеме состојбата:

Конечниот одговор:

Пример 12

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами. Примерок за дизајн на пример од овој тип е на крајот од лекцијата.

Користејќи го логаритамскиот извод беше можно да се реши кој било од примерите бр. 4-7, друга работа е што функциите таму се поедноставни и, можеби, употребата на логаритамскиот извод не е многу оправдана.

Извод на моќно-експоненцијална функција

Сè уште не сме ја разгледале оваа функција. Моќно-експоненцијална функција е функција за која и степенот и основата зависат од „x“. Класичен пример што ќе ви биде даден во кој било учебник или предавање:

Како да се најде изводот на моќно-експоненцијална функција?

Неопходно е да се користи техниката штотуку дискутирана - логаритамскиот дериват. Закачуваме логаритми на двете страни:

Како по правило, на десната страна степенот се вади од под логаритамот:

Како резултат на тоа, на десната страна го имаме производот на две функции, кои ќе се разликуваат според стандардната формула .

Го наоѓаме дериватот; за да го направиме ова, ги ставаме двата дела под потези:

Понатамошните активности се едноставни:

Конечно:

Ако било која конверзија не е целосно јасна, ве молиме внимателно да ги препрочитате објаснувањата од Примерот бр. 11.

Во практичните задачи, функцијата моќно-експоненцијална секогаш ќе биде покомплицирана од разгледуваниот пример на предавањето.

Пример 13

Најдете го изводот на функцијата

Го користиме логаритамскиот извод.

На десната страна имаме константа и производ од два фактора - „x“ и „логаритам на логаритам x“ (друг логаритам е вгнезден под логаритамот). Кога се разликуваме, како што се сеќаваме, подобро е веднаш да се помести константата од дериватниот знак за да не се попречи; и, се разбира, го применуваме познатото правило :

Во оваа лекција ќе научиме како да наоѓаме извод на сложена функција. Лекцијата е логично продолжение на лекцијата Како да се најде дериватот?, во која ги испитавме наједноставните деривати, а се запознавме и со правилата на диференцијација и некои технички техники за пронаоѓање на деривати. Така, ако не сте многу добри со деривати на функции или некои точки во оваа статија не се сосема јасни, тогаш прво прочитајте ја горната лекција. Ве молам сериозно да се расположите - материјалот не е едноставен, но сепак ќе се обидам да го претставам едноставно и јасно.

Во пракса, мора да се занимавате со изводот на сложена функција многу често, дури би рекол, скоро секогаш, кога ви се даваат задачи да најдете изводи.

Ја гледаме табелата на правилото (бр. 5) за диференцијација на сложена функција:

Ајде да го сфатиме. Пред сè, да обрнеме внимание на записот. Овде имаме две функции - и , а функцијата, фигуративно кажано, е вгнездена во функцијата. Функцијата од овој тип (кога една функција е вгнездена во друга) се нарекува комплексна функција.

Ќе ја повикам функцијата надворешна функција, и функцијата – внатрешна (или вгнездена) функција.

! Овие дефиниции не се теоретски и не треба да се појавуваат во конечниот дизајн на задачите. Јас користам неформални изрази „надворешна функција“, „внатрешна“ функција само за да ви олеснам да го разберете материјалот.

За да ја разјасните ситуацијата, размислете:

Пример 1

Најдете го изводот на функцијата

Под синусот ја немаме само буквата „Х“, туку цел израз, така што наоѓањето на дериватот веднаш од табелата нема да работи. Забележуваме и дека е невозможно да се применат првите четири правила овде, се чини дека има разлика, но факт е дека синусот не може да се „искине на парчиња“:

Во овој пример, веќе е интуитивно јасно од моите објаснувања дека функцијата е сложена функција, а полиномот е внатрешна функција (вградување) и надворешна функција.

Првиот чекорона што треба да го направите кога го наоѓате изводот на сложената функција е да разберете која функција е внатрешна, а која надворешна.

Во случај на едноставни примери, се чини јасно дека полином е вграден под синусот. Но, што ако сè не е очигледно? Како точно да се одреди која функција е надворешна, а која внатрешна? За да го направите ова, предлагам да ја користите следнава техника, која може да се направи ментално или во нацрт.

Да замислиме дека треба да ја пресметаме вредноста на изразот at на калкулатор (наместо еден може да има кој било број).

Што прво ќе пресметаме? Најпрвоќе треба да го извршите следново дејство: , затоа полиномот ќе биде внатрешна функција:

Второќе треба да се најде, па синус - ќе биде надворешна функција:

Откако ние ПРОДАДЕНОСо внатрешните и надворешните функции, време е да се примени правилото за диференцијација на сложените функции.

Да почнеме да одлучуваме. Од класа Како да се најде дериватот?се сеќаваме дека дизајнот на решение за кој било дериват секогаш започнува вака - го ставаме изразот во загради и ставаме удар горе десно:

Првого наоѓаме изводот на надворешната функција (синус), ја гледаме табелата со изводи на елементарните функции и забележуваме дека . Сите формули за табели се исто така применливи ако „x“ се замени со сложен израз, во овој случај:

Ве молиме имајте предвид дека внатрешната функција не е променето, не го допираме.

Па, сосема е очигледно дека

Конечниот резултат од примената на формулата изгледа вака:

Константниот фактор обично се става на почетокот на изразот:

Доколку дојде до недоразбирање, запишете го решението на хартија и повторно прочитајте ги објаснувањата.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата

Како и секогаш, запишуваме:

Ајде да откриеме каде имаме надворешна функција, а каде внатрешна. За да го направите ова, се обидуваме (ментално или во нацрт) да ја пресметаме вредноста на изразот во . Што треба прво да направите? Пред сè, треба да пресметате на што е еднаква основата: затоа, полиномот е внатрешната функција:

И, само тогаш се врши степенувањето, затоа, функцијата за моќност е надворешна функција:

Според формулата, прво треба да го пронајдете дериватот на надворешната функција, во овој случај, степенот. Ја бараме потребната формула во табелата: . Повторуваме повторно: секоја табеларна формула е валидна не само за „X“, туку и за сложен израз. Така, резултатот од примената на правилото за диференцијација на сложена функција е како што следува:

Повторно нагласувам дека кога ќе го земеме изводот на надворешната функција, нашата внатрешна функција не се менува:

Сега останува само да се најде многу едноставен дериват на внатрешната функција и малку да се измени резултатот:

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

За да го консолидирам вашето разбирање за изводот на сложена функција, ќе дадам пример без коментари, обидете се сами да го сфатите, причина каде е надворешната, а каде внатрешната функција, зошто задачите се решаваат на овој начин?

Пример 5

а) Најдете го изводот на функцијата

б) Најдете го изводот на функцијата

Пример 6

Најдете го изводот на функцијата

Овде имаме корен, а за да се разликува коренот, тој мора да биде претставен како моќ. Така, прво ја внесуваме функцијата во форма соодветна за диференцијација:

Анализирајќи ја функцијата, доаѓаме до заклучок дека збирот на трите члена е внатрешна функција, а подигањето до моќ е надворешна функција. Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции:

Повторно го претставуваме степенот како радикал (корен), а за изводот на внатрешната функција применуваме едноставно правило за диференцирање на збирот:

Подготвени. Можете исто така да го намалите изразот на заеднички именител во загради и да запишете сè како една дропка. Убаво е, се разбира, но кога ќе добиете незгодни долги деривати, подобро е да не го правите ова (лесно е да се збуните, да направите непотребна грешка и ќе биде незгодно наставникот да провери).

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

Интересно е да се забележи дека понекогаш наместо правилото за диференцијација на сложена функција, можете да го користите правилото за диференцијација на количник , но таквото решение ќе изгледа како смешна перверзија. Еве типичен пример:

Пример 8

Најдете го изводот на функцијата

Овде можете да го користите правилото за диференцијација на количникот , но многу поисплатливо е да се најде изводот преку правилото за диференцијација на сложена функција:

Ја подготвуваме функцијата за диференцијација - го поместуваме минусот од дериватниот знак и го креваме косинусот во броителот:

Косинусот е внатрешна функција, степенувањето е надворешна функција.
Ајде да го искористиме нашето правило:

Го наоѓаме дериватот на внатрешната функција и го ресетираме косинусот надолу:

Подготвени. Во разгледаниот пример, важно е да не се мешате во знаците. Патем, обидете се да го решите користејќи го правилото , одговорите мора да се совпаѓаат.

Пример 9

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

Досега разгледавме случаи кога имавме само едно гнездење во сложена функција. Во практичните задачи, често можете да најдете деривати, каде што, како куклите за гнездење, една во друга, 3 или дури 4-5 функции се вгнездени одеднаш.

Пример 10

Најдете го изводот на функцијата

Ајде да ги разбереме прилозите на оваа функција. Ајде да се обидеме да го пресметаме изразот користејќи ја експерименталната вредност. Како би сметале на калкулатор?

Прво треба да го пронајдете, што значи дека лакот е најдлабокото вградување:

Овој лак од еден треба да се квадрира:

И, конечно, креваме седум на моќ:

Односно, во овој пример имаме три различни функции и две вградувања, додека највнатрешната функција е лакот, а најоддалечената функција е експоненцијалната функција.

Да почнеме да одлучуваме

Според правилото, прво треба да го земете дериватот на надворешната функција. Ја гледаме табелата со изводи и го наоѓаме изводот на експоненцијалната функција: Единствената разлика е во тоа што наместо „x“ имаме сложен израз, кој не ја негира валидноста на оваа формула. Значи, резултатот од примената на правилото за диференцијација на сложена функција е како што следува:

Под удар повторно имаме сложена функција! Но, тоа е веќе поедноставно. Лесно е да се потврди дека внатрешната функција е лак, а надворешната е степенот. Според правилото за диференцијација на сложена функција, прво треба да го земете дериватот на моќноста.

Откако дојдовте овде, веројатно веќе сте ја виделе оваа формула во учебникот

и направи вакво лице:

Пријател, не грижи се! Всушност, сè е едноставно срамота. Дефинитивно ќе разберете сè. Само едно барање - прочитајте ја статијата полека, обидете се да го разберете секој чекор. Напишав што е можно поедноставно и јасно, но сепак треба да ја разберете идејата. И не заборавајте да ги решите задачите од статијата.

Што е сложена функција?

Замислете дека се преселувате во друг стан и затоа ги пакувате работите во големи кутии. Да претпоставиме дека треба да соберете некои мали предмети, на пример, училишни материјали за пишување. Ако само ги фрлите во огромна кутија, тие ќе се изгубат меѓу другото. За да го избегнете ова, прво ги ставате, на пример, во кеса, која потоа ја ставате во голема кутија, по што ја затворате. Овој „комплексен“ процес е претставен на дијаграмот подолу:

Се чини, каква врска има математиката со тоа? Да, и покрај фактот што комплексна функција се формира ТОЧНО НА ИСТ начин! Само ние „спакуваме“ не тетратки и пенкала, туку \(x\), додека „пакетите“ и „кутиите“ се различни.

На пример, да земеме x и да го „спакуваме“ во функција:

Како резултат на тоа, добиваме, се разбира, \(\cos⁡x\). Ова е нашата „торба со работи“. Сега да го ставиме во „кутија“ - да го спакуваме, на пример, во кубна функција.

Што ќе се случи на крајот? Да, тоа е точно, ќе има „торба со работи во кутија“, односно „косинус од коцки X“.

Резултирачкиот дизајн е сложена функција. По тоа се разликува од едноставниот НЕКОЛКУ „влијанија“ (пакети) се применуваат на еден X по реди излегува како „функција од функција“ - „пакување во пакување“.

Во училишниот курс има многу малку видови на овие „пакети“, само четири:

Ајде сега да го „спакуваме“ X прво во експоненцијална функција со основа 7, а потоа во тригонометриска функција. Добиваме:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Сега да го „спакуваме“ x двапати во тригонометриски функции, прво во, а потоа во:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Едноставно, нели?

Сега напишете ги самите функции, каде x:
- прво се „спакува“ во косинус, а потоа во експоненцијална функција со основа \(3\);
- прво до петтиот степен, а потоа до тангентата;
- прво до логаритам до основата \(4\) , потоа на моќта \(-2\).

Најдете ги одговорите на оваа задача на крајот од статијата.

Можеме ли да го „спакуваме“ X не два, туку три пати? Нема проблем! И четири, и пет, и дваесет и пет пати. Еве, на пример, функција во која x е „спакувана“ \(4\) пати:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Но, таквите формули нема да се најдат во училишната практика (учениците имаат повеќе среќа - нивната може да биде посложена☺).

„Отпакување“ сложена функција

Повторно погледнете ја претходната функција. Можете ли да ја сфатите низата „пакување“? Во што прво се напика Х, што потоа и така до самиот крај. Односно, која функција е вгнездена во која? Земете парче хартија и запишете што мислите. Можете да го направите ова со синџир со стрелки како што напишавме погоре или на кој било друг начин.

Сега точниот одговор е: прво, x беше „спакуван“ во \(4\)-та моќност, потоа резултатот беше спакуван во синус, тој, пак, беше ставен во логаритам до основата \(2\) , и на крајот целата оваа конструкција беше набиена во моќни петки.

Односно, треба да ја одвиткате низата ПО ОБРАТЕН РЕД. И еве совет како да го направите тоа полесно: веднаш погледнете го X - треба да танцувате од него. Ајде да погледнеме неколку примери.

На пример, тука е следнава функција: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Гледаме во Х - што се случува прво со него? Земено од него. И потоа? Се зема тангентата на резултатот. Редоследот ќе биде ист:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Друг пример: \(y=\cos⁡((x^3))\). Ајде да анализираме - прво го коцкавме X, а потоа го зедовме косинусот на резултатот. Ова значи дека низата ќе биде: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Обрнете внимание, функцијата изгледа како да е слична на првата (каде што има слики). Но, ова е сосема друга функција: овде во коцката е x (т.е. \(\cos⁡((x·x·x)))\), а таму во коцката е косинусот \(x\) ( односно \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Оваа разлика произлегува од различни секвенци на „пакување“.

Последниот пример (со важни информации во него): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Јасно е дека овде прво правеле аритметички операции со x, а потоа го земале синусот на резултатот: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). И ова е важна точка: и покрај фактот што аритметичките операции сами по себе не се функции, овде тие исто така дејствуваат како начин на „пакување“. Ајде да навлеземе малку подлабоко во оваа суптилност.

Како што реков погоре, во едноставни функции x се „спакува“ еднаш, а во сложени функции - две или повеќе. Покрај тоа, секоја комбинација на едноставни функции (односно нивниот збир, разлика, множење или делење) е исто така едноставна функција. На пример, \(x^7\) е едноставна функција, а истото е и \(ctg x\). Ова значи дека сите нивни комбинации се едноставни функции:

\(x^7+ ctg x\) - едноставно,
\(x^7· креветче x\) - едноставно,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – едноставно, итн.

Меѓутоа, ако се примени уште една функција на таква комбинација, таа ќе стане сложена функција, бидејќи ќе има два „пакети“. Види дијаграм:

Добро, продолжи сега. Напишете ја низата од функциите „завиткување“:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Одговорите се повторно на крајот од статијата.

Внатрешни и надворешни функции

Зошто треба да го разбереме вгнездувањето на функциите? Што ни дава ова? Факт е дека без таква анализа нема да можеме со сигурност да најдеме деривати на функциите дискутирани погоре.

А за да продолжиме понатаму, ќе ни требаат уште два концепта: внатрешни и надворешни функции. Ова е многу едноставна работа, згора на тоа, всушност, веќе ги анализиравме погоре: ако се сеќаваме на нашата аналогија на самиот почеток, тогаш внатрешната функција е „пакет“, а надворешната функција е „кутија“. Оние. она во што X е „завиткано“ прво е внатрешна функција, а она во што е „завиткано“ внатрешната функција е веќе надворешно. Па, јасно е зошто - таа е надвор, тоа значи надворешна.

Во овој пример: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), функцијата \(\log_2⁡x\) е внатрешна, и
- надворешен.

И во ова: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) е внатрешно, и
- надворешен.

Завршете ја последната практика на анализа на сложени функции и конечно да преминеме на она за што сите почнавме - ќе најдеме деривати на сложени функции:

Пополнете ги празните места во табелата:

Извод на сложена функција

Браво за нас, конечно стигнавме до „газдата“ на оваа тема - всушност, изводот на сложена функција, и конкретно, до таа многу страшна формула од почетокот на статијата.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cточка g"(x)\)

Оваа формула гласи вака:

Изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на надворешната функција во однос на константна внатрешна функција и изводот на внатрешната функција.

И веднаш погледнете го дијаграмот за парсирање „збор по збор“ за да разберете што е што:

Се надевам дека термините „дериват“ и „производ“ не предизвикуваат никакви тешкотии. „Комплексна функција“ - веќе ја средиме. Уловот е во „дериват на надворешна функција во однос на постојана внатрешна функција“. Што е тоа?

Одговор: Ова е вообичаен извод на надворешна функција, во која се менува само надворешната функција, а внатрешната останува иста. Сè уште не е јасно? Добро, ајде да користиме пример.

Дозволете ни да имаме функција \(y=\sin⁡(x^3)\). Јасно е дека внатрешната функција овде е \(x^3\), а надворешната
. Сега да го најдеме дериватот на надворешноста во однос на константната внатрешност.