Кои од множествата имаат кардиналност на континуум. Структурата на некои множества на броеви. Неколку прашања во врска со континуитетот на овој процес

За моќта на множеството реални броеви Р постои посебна ознака - с. Секое множество со таква моќ се нарекува континуум (од англискиот продолжи - да продолжи).

Воведувањето на концептот на континуумска моќност покренува две прашања.

1. Дали има множество на кардиналност поголемо од c?

2. Дали постои множество на средна моќност помеѓу броилото и континуумот?

На прв поглед, множеството на моќност поголемо од c е која било рамна фигура, на пример, квадрат. Сепак, тоа не е точно и не е точно

ТЕОРЕМА. Отворена единица квадрат на рамнина има кардиналност еднаква на c.

ДОКАЗ. Дозволете ни да конструираме пресликување на f точки на квадрат на неговата страна. Да земеме која било точка во квадратот со координати (x, y). Нека во децимална нотација x = 0,a 1 a 2 a 3 ..., и y = 0,b 1 b 2 b 3 ... . Да го формираме бројот z = f(x, y) = = 0,a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ..., кој е координата на точка на страната на квадратот. Така, ќе ги мапираме точките на плоштадот на неговата страна. Јасно е дека ова мапирање е инјективно, т.е. ако ги земеме точките A = (x 1, y 1) и B = (x 2, y 2), така што A ¹ B, и дефинираме z A = f(A), z B = f(B), тогаш ние добие z A ¹ z B , т.е. две различни точки А и Б на квадрат се пресликани на две различни точки на отсечка. Навистина, нека A ¹ B. Ова значи x 1 ¹ x 2 или y 1 ¹ y 2, и ако е така, тогаш овие бројки се разликуваат барем на едно децимално место, и затоа z A ¹ z B.

Инјективност значи дека нема повеќе точки на квадрат отколку што има на сегмент. Од друга страна, не може да има помалку од нив, бидејќи сегментот е подмножество на квадратот. Следствено, конструираното пресликување f е еден-на-еден.

Сепак, множества на кардиналност над континуумот постојат;

ТЕОРЕМА. За секое множество А постои множество Б со поголема моќност.

ДОКАЗ. Нека има множество A. Размислете за множеството B, кое е множество од сите функции дефинирани во точките од множеството A и еднакво на 0 или 1 во овие точки. Да покажеме дека моќта на множеството Б е поголема од моќта на А.

Размислете за множеството А функција од B дефинирана со правилото

каде што аОА. Да ја поврземе секоја точка АОА со функцијата f a (x)ОВ и да го разгледаме добиеното множество

B 1 = ( f a (x)ÎB | aÎA )Ì B.

Очигледно е дека воспоставивме мапирање еден-на-еден A «B 1. Затоа, | A | = | B 1 |, што значи | A | £ | B 1 |.

Да покажеме дека | A | ¹ | B 1 |. Ова е еквивалентно на фактот дека нема пресликување еден-на-еден од А до сите Б. Да претпоставиме, напротив, дека постои бијективно пресликување j: A ® B, кое на секој aOA му доделува елемент bОB и на секоја функција од B е елемент од множеството A. Да означиме j(a ) = f (a) (x) и да ја разгледаме функцијата

g(x) = 1 – f (a) (x).

Врз основа на својствата на елементите од множеството B, имаме дека вредноста на f (a) (x) е еднаква на 0 или 1, тогаш ова својство важи и за функцијата g(x). Според тоа, g(x)ОВ. Ова значи дека, по претпоставка, постои точка bОА таква што g(x) уникатно одговара на неа, т.е. g(x) = f (б) (x). Да земеме x = b, потоа добиваме

g(b) = 1 – f (b) (b) = f (b) (b).

Оттука f (b) (b) = 1/2, што е во спротивност со условот дека функцијата f (b) (x) припаѓа на множеството B. Затоа, такво пресликување j не постои. Ова значи дека моќта на Б е строго поголема од моќта на А.

Од теоремата произлегува дека збир на најголема кардиналност не постои.

Добиваме еквивалентен начин да конструираме множество со поголема моќност ако го дефинираме B како множество чии елементи се сите можни подмножества на множеството А. Множеството од сите подмножества од одредено множество А се нарекува Булова и се означува 2 А ( 2 A =( C | C Í A)). Тогаш m(2 A) = 2 | A | .

Множеството чија кардиналност е 2c се нарекува хиперконтинуумска кардиналност.

Што се однесува до проблемот со постоењето на збир на средна кардиналност, се покажа дека оваа изјава не може да се докаже врз основа на аксиомите на теоријата на множества, но не им противречи.

ТЕСТ ПРАШАЊА И ЗАДАЧИ

1. Определете ја кардиналноста на следните множества:

а) множеството од сите триаголници на рамнината, чии координати на темињата се изразуваат со рационални броеви;

б) множество корени на полиноми со целобројни коефициенти;

в) множество реални броеви од 0 до 1, во децималното претставување на кое 7 е на трето место (т.е. броеви од формата 0.ab7cd...).

2. На бројната права е дадено неограничено бројливо множество E. Докажете дека секогаш постои реален број z и дека со поместување на множеството E за z надесно, добиваме ново множество E 1, кое ќе има празно раскрсница со Е.

3*. Докажете дека множеството од сите непрекинати функции на интервал има кардиналност на континуум.

4. Која е кардиналноста на множеството од сите функции дефинирани на интервал и дисконтинуирани барем една точка од овој интервал?

5. Која е кардиналноста на множеството на сите строго растечки континуирани функции дефинирани на интервалот?

6. Која е кардиналноста на множеството на сите монотони функции на интервалот?

7. Покажете дека множеството од сите пермутации на природната серија Н има моќ на континуитет.

8. Која е кардиналноста на множеството на сите строго растечки низи на природни броеви?

9. Која е кардиналноста на множеството на сите низи природни броеви?

Примери на решенија

Да го разгледаме множеството Q од сите рационални точки на отсечката , нумерирани на произволен начин, т.е. Q= = (r 1, r 2, ...). Дозволете ни да поврземе со секоја континуирана функција f низа од реални броеви f(r 1), f(r 2), ... Бидејќи континуираната функција вклучена е целосно одредена од нејзините вредности во точките од множеството Q, на тој начин воспостави кореспонденција еден-на-еден помеѓу множеството од сите континуирани функции на и дел од множеството од сите низи од реални броеви. Ова значи дека, врз основа на резултатите од задачите 11-13 од став 4, кардиналноста на множеството на сите континуирани функции не е поголема од кардиналноста на континуумот. Од друга страна, не може да биде помала од моќноста на континуумот, бидејќи сите функции кои се константни на веќе формираат множество од моќноста на континуумот. За да се заврши доказот, останува да се примени теоремата Кантор-Бернштајн.

Нејасни комплети. Основни концепти

Теоријата на класичните множества потекнува од почетокот на 20 век во делата на Кантор, а во 1965 година, професорот на Универзитетот во Калифорнија (Беркли) Лотфи А. Задех го објави делото „Нејасни множества“, во кое го прошири класичниот концепт на ги постави и ги постави основите за моделирање на човековата интелектуална активност.

Во многу применети проблеми решени со помош на теоријата на множества, може да биде тешко недвосмислено и јасно да се ограничи множеството елементи кои припаѓаат на дадено множество, бидејќи Настанува контрадикција помеѓу формалната природа на математиката и човечката навика да размислува во нејасни, нејасни концепти. (Колку парчиња е куп камења? 5 слона се многу, 10 мравки се неколку итн.). Заде успеа до одреден степен да ја надмине оваа противречност.

Понатамошната работа на професорот Л. Задех и неговите следбеници постави цврста основа за новата теорија и создаде предуслови за воведување на методи за нејасна контрола во инженерската практика. До 1990 година, беа објавени над 10.000 трудови за ова прашање, а бројот на истражувачи достигна 10.000, со 200-300 луѓе во САД, Европа и СССР, околу 1000 во Јапонија, 2000-3000 во Индија и околу 5000 истражувачи. во Кина. Во последните 5 - 7 години започна употребата на нови методи и модели во индустријата. И иако првите апликации на нејасни системи за контрола се случија во Европа, таквите системи најинтензивно се имплементираат во Јапонија. Нивниот опсег на апликации е широк: од контролирање на процесот на поаѓање и запирање на воз во метрото, контрола на товарни лифтови и високи печки до машини за перење, правосмукалки и микробранови печки. Во исто време, нејасните системи овозможуваат подобрување на квалитетот на производите додека ги намалуваат ресурсите и трошоците за енергија и обезбедуваат поголема отпорност на факторите кои пречат во споредба со традиционалните системи за автоматска контрола.

Со други зборови, новите пристапи овозможуваат проширување на опсегот на примена на системите за автоматизација надвор од применливоста на класичната теорија. Во овој поглед, интересно е гледиштето на Л. Задех: „Верувам дека прекумерната желба за прецизност почна да има ефект на поништување на теоријата на контрола и теоријата на системи, бидејќи тоа води до фактот дека истражувањето во оваа област се концентрира на оние и само оние проблеми што можат прецизно да се решат. , многу класи на важни проблеми во кои податоците, целите и ограничувањата се премногу сложени или лошо дефинирани за да се признае прецизна математичка анализа биле и остануваат настрана од причина што тие не се посветуваат на математичко лекување. , мора да ги напуштиме нашите барања за прецизност и да дозволиме резултати кои се донекаде нејасни или неизвесни“.

Преместувањето на фокусот на истражувањето на нејасните системи кон практични апликации доведе до формулирање на голем број проблеми како што се новите компјутерски архитектури за нејасни пресметувања, елементарната основа на нејасните компјутери и контролери, развојните алатки, инженерските методи за пресметување и развивање на fuzzy контролни системи и многу повеќе.

Нека E е универзално множество, x е елемент на E, а P некакво својство. Вообичаено (остри) подмножество А од универзалното множество Е, чии елементи го задоволуваат својството P, се дефинира како множество од подредени парови А = (m A (x) / X } , каде што m A (x) е карактеристична функција која ја зема вредноста 1 ако x го задоволува својството P , и 0 – во спротивно.

Нејасното подмножество се разликува од обичното по тоа што за елементите x од E нема јасен одговор „да-не“ во врска со својството P. Во овој поглед, нејасното подмножество А од универзалното множество Е се дефинира како збир од подредени парови А = (m A (x) /x), каде што m A (x) е карактеристична функција на членство (или едноставно функција на членство) земајќи вредности во некое добро подредено множество M (на пример, M = [ 0,1] ). Функцијата за членство го означува степенот (или нивото) на членството на елементот x во подмножеството A. Множеството M се нарекува множество на членство. Ако М = { 0,1} , потоа нејасното подмножество Аможе да се смета како обичен или остар сет.

Примери за пишување нејасно множество

Нека E= (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5), М = [ 0,1] ; A е нејасно множество за кое m A ( x 1)=0,3; m A ( x 2)=0; m A ( x 3)=1; m A ( x 4)=0,5; m A ( x 5)=0,9. Тогаш А може да се претстави како:
A= { 0,3 / x1; 0 / x 2; 1/x3; 0,5 / x4; 0,9/x5 } или
А = 0,3/x 1 È 0/x 2 È 1/x 3 È 0,5/x 4 È 0,9/x 5, или

A=	x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0,3 0,5 0,9

§2. Континуум напојувања.

Сите досега разгледани бесконечни множества беа избројливи, односно еднакви на множеството Нприродни броеви. Кантор ја има следната извонредна теорема, која вели дека има бесконечни множества кои не се бројат. Начинот на кој се докажува оваа теорема се нарекува „дијагонален процес“ или „дијагонална конструкција“ на Кантор. Успешно се користи во многу други аргументи.

Теорема 2.1.

Еден куп В = {0, 1} НСите бесконечни низи од 0 и 1 се неброени.

Доказ.

Нека X В– секое пребројливо подмножество. Можете да напишете: X = (x 1, x 2, ...). Секој елемент од множеството X е бесконечна низа: x j =  j 1 ,  j 2 , …, каде што  jk (0, 1). Ајде да конструираме нова бесконечна низа y = 1- 11, 1- 22, 1- 33, …. Забележете дека j: y  x j, бидејќи j-тите членови од овие низи се различни:  jj  1- jj. Според тоа, yX и затоа X  В. Ова значи дека Вбезброј.

Дефиниција.

Секој сет е еднаков Все нарекува множество моќност на континуумот.

Како што беше забележано во претходниот дел, тој има моќ на континуум.

Значи, кардиналноста на бесконечните множества може да се разликуваат. Моќта на континуумот е поголема од моќноста на броиво множество. Одговорот на прашањето дали има множества на поголема кардиналност од кардиналноста на континуумот е даден со следнава теорема (дадена без доказ).

Теорема за множества на повисока кардиналност.Множеството од сите подмножества на даденото множество има поголема кардиналност од даденото множество.

Од оваа теорема произлегува дека нема множества со најголема кардиналност.

Тест прашања за тема 1.

1. Нека аÎ А. Дали од ова произлегува дека ( а} А?

2. Во кој случај А АÇ ВО?

3. Наведете множество што е подмножество на кое било множество.

4. Дали множеството може да биде еквивалентно на неговото подмножество?

5. Кое множество има поголема кардиналност: множеството природни броеви или множеството точки на отсечката?