Линеарен векторски простор: дефиниција, својства. Дефиниција на линеарен простор. Примери на линеарни простори Линеарни простори за кукли

Предавање 6. Векторски простор.

Главни прашања.

1. Векторски линеарен простор.

2. Основа и димензија на просторот.

3. Ориентација на просторот.

4. Разложување на вектор по основа.

5. Векторски координати.

1. Векторски линеарен простор.

Множество составено од елементи од која било природа во кое се дефинираат линеарни операции: собирање на два елементи и множење на елемент со број се нарекуваат простори, а нивните елементи се векториовој простор и се означуваат на ист начин како векторските величини во геометријата: . ВекториВаквите апстрактни простори, по правило, немаат ништо заедничко со обичните геометриски вектори. Елементи на апстрактни простори можат да бидат функции, систем од броеви, матрици итн., а во одреден случај, обични вектори. Затоа, таквите простори обично се нарекуваат векторски простори .

Векторските простори се, На пример, збир на колинеарни вектори, означени В1 , множество од компланарни вектори В2 , збир на вектори на обичен (реален простор) В3 .

За овој конкретен случај, можеме да ја дадеме следната дефиниција за векторски простор.

Дефиниција 1.Множеството вектори се нарекува векторски простор, ако линеарна комбинација од кои било вектори на множество е исто така вектор на ова множество. Самите вектори се нарекуваат елементивекторски простор.

Поважен, и теоретски и применет, е општиот (апстрактниот) концепт на векторскиот простор.

Дефиниција 2.Еден куп Релементи, во кои збирот се одредува за кои било два елементи и за кој било елемент https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> т.н. вектор(или линеарно) простор, а неговите елементи се вектори, ако операциите на собирање вектори и множење вектор со број ги задоволуваат следните услови ( аксиоми) :

1) собирањето е комутативно, т.е.gif" width="184" height="25">;

3) постои таков елемент (нулта вектор) што за кој било https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) за кои било вектори и за кој било број λ важи еднаквоста;

6) за кои било вектори и кои било броеви λ И µ еднаквоста е вистина: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и сите броеви λ И µ фер ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Следат наједноставните аксиоми кои дефинираат векторски простор: последиците :

1. Во векторскиот простор има само една нула - елементот - нултиот вектор.

2. Во векторскиот простор, секој вектор има единствен спротивен вектор.

3. За секој елемент е задоволена еднаквоста.

4. За кој било реален број λ и нула вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> е вектор што ја задоволува еднаквоста https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Значи, навистина, множеството од сите геометриски вектори е линеарен (векторски) простор, бидејќи за елементите на ова множество се дефинирани дејствата на собирање и множење со број што ги задоволуваат формулираните аксиоми.

2. Основа и димензија на просторот.

Суштинските концепти на векторски простор се концептите на основа и димензија.

Дефиниција.Збир од линеарно независни вектори, земени по одреден редослед, преку кои може линеарно да се изрази кој било вектор на просторот, се вика основаовој простор. Вектори. Се нарекуваат компонентите на основата на просторот основни .

Основата на збир на вектори лоцирани на произволна линија може да се смета за еден колинеарен вектор на оваа линија.

Основа на авионотајде да повикаме два неколинеарни вектори на оваа рамнина, земени по одреден редослед https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Ако основните вектори се парно нормални (ортогонални), тогаш основата се нарекува ортогонални, и ако овие вектори имаат должина еднаква на еден, тогаш се нарекува основата ортонормални .

Се нарекува најголемиот број линеарно независни вектори во просторот димензијана овој простор, односно димензијата на просторот се совпаѓа со бројот на основни вектори на овој простор.

Значи, според овие дефиниции:

1. Еднодимензионален простор В1 е права линија, а основата се состои од еден колинеаренвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src=">.

3. Обичниот простор е тродимензионален простор В3 , чија основа се состои од три некомпланарнивектори

Од тука гледаме дека бројот на основни вектори на права, на рамнина, во реалниот простор се совпаѓа со она што во геометријата обично се нарекува број на димензии (димензија) на права, рамнина, простор. Затоа, природно е да се воведе поопшта дефиниција.

Дефиниција.Векторски простор Рповикани n– димензионални ако нема повеќе од nлинеарно независни вектори и се означува Р n. Број nповикани димензијапростор.

Во согласност со димензијата на просторот се делат на конечни-димензионалниИ бесконечно-димензионални. Димензијата на нултиот простор се смета за еднаква на нула по дефиниција.

Забелешка 1.Во секој простор можете да наведете онолку основи колку што сакате, но сите основи на дадениот простор се состојат од ист број вектори.

Забелешка 2.ВО n– во димензионален векторски простор, основа е секоја нарачана колекција nлинеарно независни вектори.

3. Ориентација на просторот.

Нека основните вектори во просторот В3 имаат општ почетокИ нареди, односно се означува кој вектор се смета за прв, кој за втор и кој за трет. На пример, во основата векторите се подредени според индексирање.

За тоа за да се ориентира просторот, неопходно е да се постави одредена основа и да се прогласи за позитивен .

Може да се покаже дека множеството од сите основи на просторот спаѓа во две класи, односно во две разединети подмножества.

а) сите основи кои припаѓаат на едно подмножество (класа) имаат истоориентација (основи со исто име);

б) кои било две основи кои припаѓаат на различниподмножества (класи), имаат спротивнатаориентација, ( различни имињаоснови).

Ако една од двете класи на основи на просторот се прогласи за позитивна, а другата негативна, тогаш се вели дека овој простор ориентирана .

Често, кога се ориентира просторот, се нарекуваат некои основи право, и други - лево .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> се нарекуваат право, ако, при набљудување од крајот на третиот вектор, најкратката ротација на првиот вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > се спроведува спротивно од стрелките на часовникот(Сл. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ориз. 1.8. Десна основа (а) и лева основа (б)

Обично правилната основа на просторот се прогласува за позитивна основа

Десната (лева) основа на просторот, исто така, може да се одреди со користење на правилото на „десна“ („лева“) завртка или завртка.

По аналогија со ова, се воведува концептот на десно и лево тројкинекомпланарни вектори кои мора да се подредат (сл. 1.8).

Така, во општиот случај, две подредени тројки од некомпланарни вектори имаат иста ориентација (исто име) во просторот В3 ако и двајцата се десни или и двете леви, и - спротивна ориентација (спротивна) ако едниот е десен, а другиот лев.

Истото се прави и во случај на простор В2 (рамнина).

4. Разложување на вектор по основа.

За едноставност на расудувањето, да го разгледаме ова прашање користејќи го примерот на тродимензионален векторски простор Р3 .

Нека https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> биде произволен вектор на овој простор.

Поглавје 3. Линеарни векторски простори

Тема 8. Линеарни векторски простори

Дефиниција на линеарен простор. Примери на линеарни простори

Во §2.1 операцијата на додавање слободни вектори од Р 3 и операцијата на множење вектори со реални броеви, а исто така ги наведува својствата на овие операции. Проширувањето на овие операции и нивните својства на збир на објекти (елементи) од произволна природа доведува до генерализација на концептот на линеарен простор на геометриски вектори од Р 3 дефинирано во §2.1. Дозволете ни да ја формулираме дефиницијата за линеарен векторски простор.

Дефиниција 8.1.Еден куп Велементи X , на , z ,... повикан линеарен векторски простор, Ако:

постои правило дека на секои два елементи x И на од Водговара на третиот елемент од В, повикан износ X И на и назначени X + на ;

постои правило дека секој елемент x и одговара на кој било реален број со елемент од В, повикан производ на елементот Xпо броји назначени x .

Покрај тоа, збирот на кои било два елементи X + на и работа x кој било елемент за кој било број мора да ги исполнува следниве барања - аксиоми на линеарен простор:

1°. X + на = на + X (комутативност на собирањето).

2°. ( X + на ) + z = X + (на + z ) (асоцијативност на собирање).

3°. Постои елемент 0 , повикан нула, така што

X + 0 = X , x .

4°. За било кој x постои елемент (- X ), повикан спротивно за X , така што

X + (– X ) = 0 .

5°. ( x ) = ()x , x , , Р.

6°. x = x , x .

7°. () x = x + x , x , , Р.

8°. ( X + на ) = x + y , x , y , Р.

Ќе ги наречеме елементите на линеарен простор векторибез разлика на нивната природа.

Од аксиомите 1°–8° следува дека во кој било линеарен простор Ввалидни се следните својства:

1) постои еден нула вектор;

2) за секој вектор x има само еден спротивен вектор (- X ), и (- X ) = (– l) X ;

3) за кој било вектор X еднаквоста 0× е точно X = 0 .

Да докажеме, на пример, својството 1). Да претпоставиме дека во вселената Вима две нули: 0 1 и 0 2. Ставајќи 3° во аксиомата X = 0 1 , 0 = 0 2, добиваме 0 1 + 0 2 = 0 1 . Исто така, ако X = 0 2 , 0 = 0 1, тогаш 0 2 + 0 1 = 0 2. Земајќи ја предвид аксиомата 1°, добиваме 0 1 = 0 2 .

Да дадеме примери на линеарни простори.

1. Множеството реални броеви формира линеарен простор Р. Во него очигледно се задоволни аксиомите 1°–8°.

2. Множеството слободни вектори во тридимензионален простор, како што е прикажано во §2.1, исто така формира линеарен простор, означен Р 3. Нулата на овој простор е нула вектор.

Множеството вектори на рамнината и на правата се исто така линеарни простори. Ќе ги означиме Р 1 и Р 2 соодветно.

3. Генерализација на простори Р 1 , Р 2 и Р 3 служи простор Рn, n Н, повикан аритметички n-димензионален простор, чии елементи (вектори) се подредени збирки nпроизволни реални броеви ( x 1 ,…, x n), т.е.

Рn = {(x 1 ,…, x n) | x i Р, јас = 1,…, n}.

Удобно е да се користи ознаката x = (x 1 ,…, x n), при што x iповикани i-та координата(компонента)вектор x .

За X , на РnИ РНие дефинираме собирање и множење со број користејќи ги следните формули:

X + на = (x 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

x = (x 1 ,…, x n).

Нултиот елемент на просторот Рnе вектор 0 = (0,…, 0). Равенство на два вектори X = (x 1 ,…, x n) И на = (y 1 ,…, y n) од Рn, по дефиниција, значи еднаквост на соодветните координати, т.е. X = на Û x 1 = y 1 &… & x n = y n.

Овде е очигледно исполнувањето на аксиомите 1°–8°.

4. Нека В [ а ; б] – множество од реални континуирани на интервалот [ а; б] функции ѓ: [а; б] Р.

Збир на функции ѓИ еод В [ а ; б] се нарекува функција ч = ѓ + е, дефинирана со еднаквост

ч = ѓ + е Û ч(x) = (ѓ + е)(x) = ѓ(X) + е(x), " x Î [ а; б].

Производ на функција ѓ Î В [ а ; б] по број а Î Рсе определува со еднаквост

u = ѓ Û u(X) = (ѓ)(X) = ѓ(x), " x Î [ а; б].

Така, воведените операции за собирање две функции и множење на функција со број го трансформираат множеството В [ а ; б] во линеарен простор чии вектори се функции. Аксиомите 1°–8° се очигледно задоволни во овој простор. Нултиот вектор на овој простор е идентично нултата функција и еднаквоста на две функции ѓИ езначи, по дефиниција, следново:

ѓ = е ѓ(x) = е(x), " x Î [ а; б].

Головизин В.В. Предавања по алгебра и геометрија. 4

Предавања по алгебра и геометрија. Семестар 2.

Предавање 22. Векторски простори.

Резиме: дефиниција на векторски простор, неговите наједноставни својства, системи на вектори, линеарна комбинација на систем на вектори, тривијална и нетривијална линеарна комбинација, линеарно зависни и независни системи на вектори, услови за линеарна зависност или независност на систем на вектори, потсистеми на систем од вектори, системи на колони на аритметички векторски простор.

клаузула 1. Дефиниција на векторски простор и неговите наједноставни својства.

Овде, за погодност на читателот, ја повторуваме содржината од став 13 од предавање 1.

Дефиниција. Нека е произволно непразно множество, чии елементи ќе ги наречеме вектори, K – поле, чии елементи ќе ги наречеме скалари. Нека е дефинирана внатрешна бинарна алгебарска операција на множество, која ќе ја означиме со знакот + и ќе повикаме векторско собирање. Нека се дефинира и надворешна бинарна алгебарска операција на множеството, која ќе ја наречеме множење на вектор со скалар и означена со знакот за множење. Со други зборови, дефинирани се две мапирања:

Множеството заедно со овие две алгебарски операции се нарекува векторски простор над полето K ако важат следните аксиоми:

1. Дополнувањето е асоцијативно, т.е.

2. Постои нулта вектор, т.е.

3. За секој вектор постои спротивност:

Векторот y наспроти векторот x обично се означува -x, така

4. Собирањето е комутативно, т.е. .

5. Множењето на вектор со скалар го почитува законот за асоцијативност, т.е.

каде што производот е производ на скалари дефинирани во полето К.

6. , каде што 1 е единицата на полето К.

7. Множењето на вектор со скалар е дистрибутивно во однос на собирањето вектори:

8. Множењето на вектор со скалар е дистрибутивно во однос на собирањето скалари: .

Дефиниција. Векторскиот простор над полето со реални броеви се нарекува реален векторски простор.

Теорема. (Наједноставните својства на векторските простори.)

1. Во векторскиот простор има само еден нула вектор.

2. Во векторскиот простор, секој вектор има единствена спротивност на него.

3. или
.

4. .

Доказ. 1) Единственоста на нултиот вектор се докажува на ист начин како и единственоста на идентитетската матрица и, воопшто, како единственоста на неутралниот елемент на која било внатрешна бинарна алгебарска операција.

Нека 0 е нултиот вектор на векторскиот простор V. Тогаш . Нека
– уште еден нула вектор. Потоа. Да го земеме во првиот случај
, а во втората -
. Потоа
И
, од што произлегува дека
, итн.

2а) Прво докажуваме дека производот на нула скалар и кој било вектор е еднаков на нула вектор.

Нека
. Потоа, применувајќи ги аксиомите на векторскиот простор, добиваме:

Во однос на собирањето, векторскиот простор е Абелова група, а законот за откажување важи за која било група. Применувајќи го законот за откажување, тоа произлегува од последната еднаквост

.

2б) Сега ја докажуваме изјавата 4). Нека
– произволен вектор. Потоа

Веднаш следува дека векторот
е спротивен на векторот x.

2в) Нека сега
. Потоа, користејќи ги аксиомите на векторскиот простор,
И
добиваме:

2г) Нека
и да претпоставиме дека
. Бидејќи
, каде што К е поле, тогаш има
. Ајде да ја помножиме еднаквоста
оставено на
:
, што следи
или
или
.

Теоремата е докажана.

клаузула 2. Примери на векторски простори.

1) Збир на нумерички реални функции на една променлива, континуирани на интервалот (0; 1) во однос на вообичаените операции на собирање функции и множење на функција со број.

2) Множество полиноми од една буква со коефициенти од полето K во однос на собирање полиноми и множење на полиноми со скалар.

3) Множество сложени броеви во однос на собирање сложени броеви и множење со реален број.

4) Збир на матрици со иста големина со елементи од полето K во однос на собирање на матрици и множење на матрици со скалар.

Следниот пример е важен посебен случај од Пример 4.

5) Нека е произволен природен број. Да означиме со множеството на сите колони со висина n, т.е. збир на матрици на поле со големина К
.

Множеството е векторски простор над полето K и се нарекува аритметички векторски простор на колони со висина n над полето K.

Конкретно, ако наместо произволно поле K го земеме полето со реални броеви, тогаш векторскиот простор
се нарекува реален аритметички векторски простор на колони со висина n.

Слично на тоа, векторскиот простор е исто така збир од матрици над полето K со големина
или, со други зборови, низи со должина n. Се означува и со и се нарекува и аритметички векторски простор на низи со должина n над полето K.

клаузула 3. Векторски простор векторски системи.

Дефиниција. Систем на вектори во векторски простор е секое конечно непразно множество вектори во овој простор.

Ознака:
.

Дефиниција. Изразување

, (1)

каде се скаларите на полето К, дали се векторите на векторскиот простор V, се нарекува линеарна комбинација на систем на вектори
. Скаларите се нарекуваат коефициенти на оваа линеарна комбинација.

Дефиниција. Ако сите коефициенти на линеарна комбинација (1) се еднакви на нула, тогаш таквата линеарна комбинација се нарекува тривијална, во спротивно - нетривијална.

Пример. Нека
систем од три вектори во векторскиот простор V. Потоа

– тривијална линеарна комбинација на даден систем на вектори;

е нетривијална линеарна комбинација на даден систем на вектори, бидејќи првиот коефициент на оваа комбинација
.

Дефиниција. Ако некој вектор x од векторскиот простор V може да се претстави како:

тогаш велат дека векторот x линеарно се изразува преку векторите на системот
. Во овој случај се вели и дека системот
линеарно го претставува векторот x.

Коментар. Во оваа и претходната дефиниција често се прескокнува зборот „линеарно“ и се вели дека системот претставува вектор или векторот се изразува со системски вектори итн.

Пример. Нека
е систем од две колони од аритметички реален векторски простор од колони со висина 2. Тогаш колоната
линеарно изразено преку колоните на системот или даден систем на колони линеарно ја претставува x колоната. Навистина,

клаузула 4. Линеарно зависни и линеарно независни системи на вектори во векторски простор.

Бидејќи производот на нулта скалар од кој било вектор е нула вектор, а збирот на нула вектори е еднаков на нула вектор, тогаш за кој било систем на вектори еднаквоста

Следи дека нултиот вектор е линеарно изразен преку векторите на кој било систем на вектори или, со други зборови, секој систем на вектори линеарно го претставува нултиот вектор.

Пример. Нека
. Во овој случај, нултата колона може да се изрази линеарно преку колоните на системот на повеќе од еден начин:

или

За да се направи разлика помеѓу овие методи на линеарно претставување на нултиот вектор, ја воведуваме следнава дефиниција.

Дефиниција. Ако важи еднаквоста

а во исто време сите коефициенти , тогаш велат дека системот
тривијално го претставува нултиот вектор. Ако во еднаквост (3) барем еден од коефициентите
не е еднаков на нула, тогаш велат дека системот на вектори
нетривијално го претставува нултиот вектор.

Од последниот пример гледаме дека постојат системи на вектори кои можат да го претстават нултиот вектор на нетривијални начини. Од следниот пример ќе видиме дека постојат системи на вектори кои не можат да го претстават нултиот вектор на нетривијален начин.

Пример. Нека
– систем од две колони од векторски простор. Размислете за еднаквоста:

,

Каде
уште непознати коефициенти. Користејќи ги правилата за множење колона со скалар (број) и собирање колони, ја добиваме еднаквоста:

.

Од дефиницијата за матрична еднаквост произлегува дека
И
.

Така, овој систем не може да ја претставува нултата колона на нетривијален начин.

Од горенаведените примери произлегува дека постојат два вида векторски системи. Некои системи нетривијално го претставуваат нултиот вектор, додека други не. Забележете повторно дека секој систем на вектори тривијално го претставува нултиот вектор.

Дефиниција. Систем на вектори во векторски простор кој САМО тривијално го претставува нултиот вектор се нарекува линеарно независен.

Дефиниција. Систем на вектори во векторски простор кој може да го претставува нултиот вектор на нетривијален начин се нарекува линеарно зависен.

Последната дефиниција може да се даде во подетална форма.

Дефиниција. Векторски систем
векторскиот простор V се нарекува линеарно зависен ако постои такво ненулто множество скалари на полето К

Коментар. Било кој векторски систем
може тривијално да го претставува нултиот вектор:

Но, ова не е доволно за да се открие дали даден систем на вектори е линеарно зависен или линеарно независен. Од дефиницијата произлегува дека линеарно независен систем на вектори не може да го претставува нултиот вектор нетривијално, туку само тривијално. Затоа, за да ја потврдиме линеарната независност на даден систем на вектори, треба да го разгледаме претставувањето на нула со произволна линеарна комбинација на овој систем на вектори:

Ако оваа еднаквост е невозможна под услов барем еден коефициент од оваа линеарна комбинација да биде ненула, тогаш овој систем е, по дефиниција, линеарно независен.

Така во примерите од претходниот пасус системот на колони
е линеарно независен, а системот на колони
е линеарно зависен.

На сличен начин се докажува и линеарната независност на системот на колони , , ... ,

од просторот каде K е произволно поле, n е произволен природен број.

Следниве теореми даваат неколку критериуми за линеарна зависност и, соодветно, линеарна независност на векторските системи.

Теорема. (Неопходен и доволен услов за линеарна зависност на систем од вектори.)

Систем на вектори во векторски простор е линеарно зависен ако и само ако еден од векторите на системот е линеарно изразен во однос на другите вектори на овој систем.

Доказ. Потреба. Нека системот
линеарно зависни. Потоа, по дефиниција, нетривијално го претставува нултиот вектор, т.е. постои нетривијална линеарна комбинација на овој систем на вектори еднаква на нултиот вектор:

каде што барем еден од коефициентите на оваа линеарна комбинација не е еднаков на нула. Нека
,
.

Ајде да ги поделиме двете страни на претходната еднаквост со овој коефициент кој не е нула (т.е. помножи со :

Да означиме:
, Каде.

тие. еден од векторите на системот линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем итн.

Адекватност. Нека еден од векторите на системот е линеарно изразен преку другите вектори на овој систем:

Ајде да го поместиме векторот на десната страна на оваа еднаквост:

Бидејќи коефициентот на векторот еднакви
, тогаш имаме нетривијално претставување на нула со систем на вектори
, што значи дека овој систем на вектори е линеарно зависен итн.

Теоремата е докажана.

Последица.

1. Систем на вектори во векторски простор е линеарно независен ако и само ако ниту еден од векторите на системот не е линеарно изразен во однос на другите вектори на овој систем.

2. Систем на вектори што содржи нула вектор или два еднакви вектори е линеарно зависен.

Доказ.

1) неопходност. Нека системот е линеарно независен. Да го претпоставиме спротивното и постои вектор на системот кој линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем. Тогаш, според теоремата, системот е линеарно зависен и доаѓаме до контрадикција.

Адекватност. Нека ниту еден од векторите на системот не се изразува во однос на другите. Да го претпоставиме спротивното. Нека системот е линеарно зависен, но тогаш од теоремата произлегува дека постои вектор на системот кој линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем и повторно доаѓаме до контрадикција.

2а) Нека системот содржи нула вектор. За дефинитивноста да претпоставиме дека векторот
:. Тогаш еднаквоста е очигледна

тие. еден од векторите на системот линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем. Од теоремата произлегува дека таквиот систем на вектори е линеарно зависен итн.

Забележете дека овој факт може да се докаже директно од дефиницијата за линеарно зависен систем на вектори.

Бидејќи
, тогаш следнава еднаквост е очигледна

Ова е нетривијална претстава на векторот нула, што значи системот
е линеарно зависен.

2б) Нека системот има два еднакви вектори. Нека за сигурност
. Тогаш еднаквоста е очигледна

Оние. првиот вектор линеарно се изразува преку преостанатите вектори од истиот систем. Од теоремата произлегува дека овој систем е линеарно зависен итн.

Слично на претходната, оваа изјава може да се докаже директно со дефинирање на линеарно зависен систем.

Навистина, бидејќи
, тогаш еднаквоста е вистина

тие. имаме нетривијална претстава на векторот нула.

Истрагата е докажана.

Теорема (за линеарната зависност на систем од еден вектор.

Систем кој се состои од еден вектор е линеарно зависен ако и само ако овој вектор е нула.

Доказ.

Потреба. Нека системот
линеарно зависна, т.е. постои нетривијална претстава на нултиот вектор

,

Каде
И
. Од наједноставните својства на векторскиот простор произлегува дека тогаш
.

Адекватност. Нека системот се состои од еден нула вектор
. Тогаш овој систем нетривијално го претставува нултиот вектор

,

од каде следи линеарната зависност на системот
.

Теоремата е докажана.

Последица. Систем кој се состои од еден вектор е линеарно независен ако и само ако овој вектор е ненула.

Доказот е оставен како вежба на читателот.

Векторски (линеарен) простор е збир на вектори (елементи) со реални компоненти, во кои се дефинираат операциите на собирање вектори и множење на вектор со број, задоволувајќи одредени аксиоми (својства)

1) x+на=на+X(заменливост на додавање);

2)(X+на)+z=x+(y+z) (асоцијативност на додавање);

3) постои нула вектор 0 (или нула вектор) што го задоволува условот x+ 0 =x:за кој било вектор x;

4) за кој било вектор Xима спротивен вектор натакви што X+на = 0 ,

5) 1 x=X,

6) а(bx)=(ab)X(асоцијативност на множење);

7) (а+б)X=ах+bx(дистрибутивно својство во однос на нумеричкиот фактор);

8) а(X+на)=ах+ај(дистрибутивно својство во однос на векторскиот множител).

Линеарен (векторски) простор V(P) над полето P е непразно множество V. Елементите од множеството V се нарекуваат вектори, а елементите од полето P се нарекуваат скалари.

Наједноставните својства.

1. Векторски простор е абелова група (група во која групната операција е комутативна. Групната операција во абелиските групи обично се нарекува „додавање“ и се означува со знакот +)

2. Неутралниот елемент е единствениот што следи од својствата на групата за која било .

3. За било кој, спротивниот елемент е единствениот што следи од групните својства.

4.(–1) x = – x за било кој x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) за било кои α є P и x є V.

Изразување а 1 и 1+а 2 и 2+ … +a n e n(1) се нарекува линеарна комбинација на вектори e 1 , e 2 ,..., e nсо коефициенти а 1, а 2,..., а н.Линеарната комбинација (1) се нарекува нетривијална ако барем еден од коефициентите a 1, a 2,..., a nразличен од нула. Вектори e 1 , e 2 ,..., e nсе нарекуваат линеарно зависни ако постои нетривијална комбинација (1), која е нула вектор. Во спротивно (односно, ако е само тривијална комбинација на вектори e 1 , e 2 ,..., e nеднаква на нултиот вектор) вектори e 1 , e 2 ,..., e nсе нарекуваат линеарно независни.

Димензијата на просторот е максималниот број на LZ вектори содржани во него.

Векторски просторсе нарекува n-димензионална (или има „димензија n"), доколку постои nлинеарно независни елементи e 1 , e 2 ,..., e n ,и било кој n+ 1 елементите се линеарно зависни (генерализирана состојба Б). Векторски просторсе нарекуваат бесконечно-димензионални ако во него за било кој природен nпостои nлинеарно независни вектори. Било кој nлинеарно независни n-димензионални вектори Векторски просторја формираат основата на овој простор. Ако e 1 , e 2 ,..., e n- основа Векторски простор, потоа било кој вектор Xовој простор може да се претстави уникатно како линеарна комбинација на основни вектори: x=а 1 и 1+а 2 и 2+... +a n e n.
Во исто време, бројките a 1, a 2, ..., a nсе нарекуваат векторски координати Xво оваа основа.

4.3.1 Дефиниција на линеарен простор

Нека ā , , - елементи на некое множество ā , , Л и λ , μ - реални бројки, λ , μ Р..

Множеството L се нарекувалинеарна иливекторски простор, ако се дефинираат две операции:

1 0 . Додаток. Секој пар на елементи од ова множество е поврзан со елемент од истото множество, наречен нивен збир

ā + =

2°.Множење со број. Било кој реален број λ и елемент ā Лодговара на елемент од истото множество λ ā Ли следните својства се задоволни:

1. à+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. постои нула елемент
, така што ā +=ā ;

4. постои спротивен елемент -
такви што ā +(-ā )=.

Ако λ , μ - реални броеви, тогаш:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Елементи на линеарен простор à, , ... се нарекуваат вектори.

Вежбајте.Покажете си дека овие множества формираат линеарни простори:

1) Множество од геометриски вектори на рамнина;

2) Многу геометриски вектори во тродимензионален простор;

3) Множество полиноми од одреден степен;

4) Збир на матрици со иста димензија.

4.3.2 Линеарно зависни и независни вектори. Димензии и основа на просторот

Линеарна комбинација вектори ā 1 , ā 2 , …, ā n Лсе нарекува вектор од истиот простор на формата:

,

Каде λ Јас сум вистински бројки.

Вектори ā 1 , .. , ā n се нарекуваатлинеарно независна, ако нивната линеарна комбинација е нулта вектор ако и само ако сите λјас се еднакви на нула,тоа е

λ i =0

Ако линеарната комбинација е нула вектор и барем еден од λ јасе различна од нула, тогаш овие вектори се нарекуваат линеарно зависни. Последново значи дека барем еден од векторите може да се претстави како линеарна комбинација на други вектори. Навистина, дури и ако, на пример,
. Потоа,
, Каде

.

Се нарекува максимално линеарно независен подреден систем на вектори основа простор Л. Се нарекува бројот на основни вектори димензија простор.

Да претпоставиме дека има nлинеарно независни вектори, тогаш се нарекува просторот n-димензионални. Другите просторни вектори може да се претстават како линеарна комбинација nосновни вектори. По основа n- може да се земе димензионален простор било кој nлинеарно независни вектори на овој простор.

Пример 17.Најдете ја основата и димензијата на овие линеарни простори:

а) множество вектори што лежат на права (колинеарно на некоја права)

б) збир на вектори кои припаѓаат на рамнината

в) збир на вектори на тродимензионален простор

г) збир на полиноми со степен не поголем од два.

Решение.

А)Сите два вектори кои лежат на права линија ќе бидат линеарно зависни, бидејќи векторите се колинеарни
, Тоа
, λ - скаларен. Следствено, основата на даден простор е само еден (било кој) вектор различен од нула.

Обично овој простор е назначен Р, неговата димензија е 1.

б)кои било два неколинеарни вектори
ќе бидат линеарно независни, а сите три вектори на рамнината ќе бидат линеарно независни. За кој било вектор , има бројки  И  такви што
. Просторот се нарекува дводимензионален, означен со Р 2 .

Основата на дводимензионалниот простор е формирана од кои било два неколинеарни вектори.

V)Сите три некомпланарни вектори ќе бидат линеарно независни, тие ја формираат основата на тродимензионалниот простор Р 3 .

G)Како основа за просторот на полиноми со степен не поголем од два, можеме да ги избереме следните три вектори: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 е полином идентично еднаков на еден). Овој простор ќе биде тридимензионален.