CHARAKTERYSTYKA ROZPROSZENIA

Od charakterystyk pozycji – oczekiwanie matematyczne, mediana, tryb – przejdźmy do charakterystyk rozrzutu zmiennej losowej x. dyspersja D(X)= a 2 , odchylenie standardowe a i współczynnik zmienności v. W poprzednim rozdziale omówiono definicję i własności wariancji dla dyskretnych zmiennych losowych. Dla ciągłych zmiennych losowych

Odchylenie standardowe to nieujemna wartość pierwiastka kwadratowego wariancji:

Współczynnik zmienności to stosunek odchylenia standardowego do oczekiwań matematycznych:

Współczynnik zmienności - stosowany, gdy M(X)> O - mierzy rozpiętość w jednostkach względnych, natomiast odchylenie standardowe - bezwzględnie.

Przykład 6. Dla zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym x znajdź wariancję, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności. Dyspersja to:

Zmienna substytucja umożliwia napisanie:

gdzie Z = f-aU2.

Dlatego odchylenie standardowe wynosi a współczynnik zmienności wynosi:

PRZEKSZTAŁCENIA WARTOŚCI LOSOWYCH

Dla każdej zmiennej losowej x zdefiniuj jeszcze trzy wielkości - wyśrodkowane Tak, znormalizowany V i dane U. Wyśrodkowana zmienna losowa Y to różnica między daną zmienną losową x i jego matematyczne oczekiwanie M(X), tych. Y=X - M(X). Matematyczne oczekiwanie wyśrodkowanej zmiennej losowej Y jest równa 0, a wariancja jest wariancją danej zmiennej losowej:

funkcja dystrybucyjna Fy(x) wyśrodkowana zmienna losowa Y związane z funkcją dystrybucji F(x) oryginalnej zmiennej losowej x stosunek:

Dla gęstości tych zmiennych losowych równość

Znormalizowana zmienna losowa V to stosunek danej zmiennej losowej x do jego odchylenia standardowego a, tj. V = XIo. Matematyczne oczekiwanie i wariancja znormalizowanej zmiennej losowej V wyrażona poprzez cechy x Więc:

gdzie v jest współczynnikiem zmienności pierwotnej zmiennej losowej x. Dla funkcji dystrybucji Fv(x) i gęstość fv(x) znormalizowana zmienna losowa V mamy:

gdzie F(x)- dystrybuanty pierwotnej zmiennej losowej x; naprawić) jest jego gęstość prawdopodobieństwa.

Zmniejszona zmienna losowa U jest wyśrodkowaną i znormalizowaną zmienną losową:

Dla zredukowanej zmiennej losowej

Znormalizowane, wycentrowane i zredukowane zmienne losowe są stale wykorzystywane zarówno w badaniach teoretycznych, jak iw algorytmach, produktach oprogramowania, dokumentacji regulacyjnej i technicznej oraz instruktażowo-metodologicznej. W szczególności, ponieważ równości M(U) = 0, D(lf) = 1 umożliwiają uproszczenie uzasadniania metod, formułowania twierdzeń i formuł obliczeniowych.

Wykorzystywane są przekształcenia zmiennych losowych i bardziej ogólny plan. Więc jeśli U = aX + b, gdzie a oraz b to jakieś liczby?

Przykład 7. Jeśli a= 1/G, b = -M(X)/G, wtedy Y jest zredukowaną zmienną losową, a wzory (8) są przekształcane we wzory (7).

Z każdą zmienną losową x możliwe jest połączenie zbioru zmiennych losowych Y danych wzorem Y = Oh + b w różnych > 0 i b. Ten zestaw nazywa się rodzina nożyc łuskowych, generowane przez zmienną losową x. Funkcje dystrybucji Fy(x) stanowią rodzinę przesunięć skali rozkładów generowanych przez dystrybuantę F(x). Zamiast Y= aX + b często używana notacja

Numer Z nazywa się parametrem przesunięcia, a liczba D- parametr skali. Wzór (9) pokazuje, że x- wynik pomiaru określonej wartości - przechodzi do K - wynik pomiaru tej samej wartości, jeśli początek pomiaru zostanie przesunięty do punktu Z, a następnie użyj nowej jednostki miary, w D razy większy niż stary.

Dla rodziny przesunięć skali (9) rozkład x zwany standardem. W probabilistyczno-statystycznych metodach podejmowania decyzji i innych badaniach stosowanych stosuje się standardowy rozkład normalny, standardowy rozkład Weibulla-Gnedenko, standardowy rozkład gamma.

dystrybucja itp. (patrz poniżej).

Wykorzystywane są również inne przekształcenia zmiennych losowych. Na przykład dla dodatniej zmiennej losowej x rozważać Y = IgX, gdzie IgX- logarytm dziesiętny liczby x.Łańcuch równości

dotyczy funkcji dystrybucji x oraz Y.

Powyżej zapoznaliśmy się z prawami rozkładu zmiennych losowych. Każde prawo rozkładu wyczerpująco opisuje właściwości prawdopodobieństw zmiennej losowej i umożliwia obliczenie prawdopodobieństw dowolnych zdarzeń związanych ze zmienną losową. Jednak w wielu kwestiach praktycznych nie ma potrzeby takiego pełnego opisu i często wystarczy wskazać tylko pojedyncze parametry liczbowe charakteryzujące istotne cechy rozkładu. Przykładowo średnia, wokół której rozrzucone są wartości zmiennej losowej, to pewna liczba charakteryzująca wielkość tego rozrzutu. Liczby te mają na celu wyrażenie w zwięzłej formie najważniejszych cech rozkładu i są nazywane charakterystyka liczbowa zmiennej losowej.

Wśród cech liczbowych zmiennych losowych w pierwszej kolejności biorą pod uwagę cechy ustalające położenie zmiennej losowej na osi liczb, tj. jakąś średnią wartość zmiennej losowej, wokół której grupowane są jej możliwe wartości. Spośród cech pozycji w rachunku prawdopodobieństwa największą rolę odgrywa wartość oczekiwana, która jest czasami po prostu nazywana średnią wartością zmiennej losowej.

Załóżmy, że dyskretny SW? przyjmuje wartości x ( , x 2 ,..., x p z prawdopodobieństwami r J, p 2 ,...y Ptv tych. podane przez serię dystrybucji

Możliwe, że w tych eksperymentach wartość x x zauważony N( razy, wartość x 2 - N 2 razy,..., wartość x n - N n pewnego razu. W tym samym czasie + N 2 +... + N n = N.

Średnia arytmetyczna wyników obserwacji

Jeśli n duże, tj. n- "Och, wtedy

opisując centrum dystrybucji. Otrzymaną w ten sposób średnią wartość zmiennej losowej będziemy nazywać oczekiwaniem matematycznym. Podajmy słowne sformułowanie definicji.

Definicja 3.8. matematyczne oczekiwanie (MO) dyskretny SV% to liczba równa sumie iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i prawdopodobieństw tych wartości (zapis M;):

Rozważmy teraz przypadek, w którym liczba możliwych wartości dyskretnego CV jest policzalna, tj. mamy RR

Wzór na oczekiwanie matematyczne pozostaje taki sam, tylko w górnej granicy sumy P zostaje zastąpione przez oo, tj.

W tym przypadku otrzymujemy już serię, która może się różnić, tj. odpowiednie CV ^ może nie mieć matematycznych oczekiwań.

Przykład 3.8. CB?, podane przez szereg dystrybucji

Znajdźmy MO tego SW.

Rozwiązanie. Zgodnie z definicją. tych. Mt, nie istnieje.

Zatem w przypadku policzalnej liczby wartości SW otrzymujemy następującą definicję.

Definicja 3.9. matematyczne oczekiwanie, czyli średnia wartość, dyskretny SW, mający policzalną liczbę wartości, nazywamy liczbą równą sumie szeregu iloczynów wszystkich jego możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw, pod warunkiem, że szereg ten jest zbieżny bezwzględnie, tj.

Jeśli ta seria jest rozbieżna lub zbieżna warunkowo, wtedy mówimy, że CV ^ nie ma żadnych matematycznych oczekiwań.

Przejdźmy od dyskretnego do ciągłego SW z gęstością p(x).

Definicja 3.10. matematyczne oczekiwanie, czyli średnia wartość, ciągły SW nazwany liczbą równą

pod warunkiem, że ta całka jest zbieżna absolutnie.

Jeśli ta całka jest rozbieżna lub zbieżna warunkowo, to mówią, że ciągła CB? nie ma żadnych matematycznych oczekiwań.

Uwaga 3.8. Jeśli wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej J;

należą tylko do przedziału ( a; b) następnie

Oczekiwanie matematyczne nie jest jedyną charakterystyką pozycji używaną w teorii prawdopodobieństwa. Czasami używane są takie jak tryb i mediana.

Definicja 3.11. Moda CB ^ (oznaczenie Mot,) jego najbardziej prawdopodobna wartość to tzw. taki, dla którego prawdopodobieństwo Liczba Pi lub gęstość prawdopodobieństwa p(x) osiąga najwyższą wartość.

Definicja 3.12. mediana SV?, (oznaczenie spotkał) nazywa się taką wartością, dla której P(t> Met) = P(? > spotkał) = 1/2.

Geometrycznie, dla ciągłego SW, mediana jest odciętą tego punktu na osi Oh, dla których obszary po lewej i po prawej stronie są takie same i równe 1/2.

Przykład 3.9. południowy zachódT,ma numer dystrybucyjny

Znajdźmy matematyczne oczekiwanie, tryb i medianę SW

Rozwiązanie. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/O? = 2. Ja(?) nie istnieje.

Przykład 3.10. Ciągły CB% ma gęstość

Znajdźmy oczekiwanie matematyczne, medianę i modę.

Rozwiązanie.

p(x) osiąga maksimum, to oczywiście mediana jest również równa, ponieważ obszary po prawej i lewej stronie linii przechodzącej przez punkt są równe.

Oprócz charakterystyk pozycji w teorii prawdopodobieństwa wykorzystuje się również szereg charakterystyk liczbowych do różnych celów. Wśród nich szczególne znaczenie mają momenty – początkowe i centralne.

Definicja 3.13. Moment początkowy k-tego rzędu SW?, nazywa się matematycznym oczekiwaniem k-ty stopień tej wartości: =M(t > k).

Z definicji matematycznych oczekiwań dla dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych wynika, że:

Uwaga 3.9. Oczywiście początkowy moment pierwszego rzędu to oczekiwanie matematyczne.

Przed zdefiniowaniem momentu centralnego wprowadzamy nową koncepcję wyśrodkowanej zmiennej losowej.

Definicja 3.14. Wyśrodkowany CV to odchylenie zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania, tj.

Łatwo to zweryfikować

Wyśrodkowanie zmiennej losowej jest oczywiście równoznaczne z przeniesieniem początku do punktu M;. Momenty wyśrodkowanej zmiennej losowej są nazywane punkty centralne.

Definicja 3.15. Centralny moment k-tego rzędu SW % nazywa się oczekiwaniem matematycznym k-ty stopnie wyśrodkowanej zmiennej losowej:

Z definicji matematycznego oczekiwania wynika, że:

Oczywiście dla dowolnej zmiennej losowej ^ moment centralny pierwszego rzędu jest równy zero: z x= M(? 0) = 0.

Szczególne znaczenie dla praktyki ma drugi centralny punkt od 2 . Nazywa się to dyspersją.

Definicja 3.16. dyspersja CB? nazywa się matematycznym oczekiwaniem kwadratu odpowiadającej mu wartości wyśrodkowanej (notacja D?)

Aby obliczyć wariancję, bezpośrednio z definicji można uzyskać następujące wzory:

Przekształcając wzór (3.4), możemy otrzymać następujący wzór do obliczania D.L.

Dyspersja SW jest cechą charakterystyczną rozproszenie, rozrzut wartości zmiennej losowej wokół jej matematycznego oczekiwania.

Wariancja ma wymiar kwadratu zmiennej losowej, co nie zawsze jest wygodne. Dlatego dla jasności, jako cechy rozrzutu, wygodnie jest użyć liczby, której wymiar pokrywa się z wymiarem zmiennej losowej. Aby to zrobić, weź pierwiastek kwadratowy z dyspersji. Otrzymana wartość nazywa się odchylenie standardowe zmienna losowa. Oznaczymy to jako a: a = l / w.

W przypadku nieujemnej CB?, czasami jest używana jako cecha współczynnik zmienności, równy stosunkowi odchylenia standardowego do oczekiwań matematycznych:

Znając oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe zmiennej losowej, można w przybliżeniu uzyskać wyobrażenie o zakresie jej możliwych wartości. W wielu przypadkach możemy założyć, że wartości zmiennej losowej % tylko sporadycznie wykraczają poza przedział M; ± Dla. Ta reguła rozkładu normalnego, którą uzasadnimy później, nazywa się reguła trzech sigma.

Oczekiwanie matematyczne i wariancja to najczęściej używane cechy liczbowe zmiennej losowej. Z definicji matematycznego oczekiwania i wariancji wynika kilka prostych i dość oczywistych właściwości tych cech liczbowych.

pierwotniakiwłasności matematycznego oczekiwania i dyspersji.

1. Matematyczne oczekiwanie zmiennej nielosowej Z równy wartości c: M(s) = s.

Rzeczywiście, ponieważ wartość Z przyjmuje tylko jedną wartość z prawdopodobieństwem 1, wtedy М(с) = Z 1 = s.

2. Wariancja zmiennej nielosowej c jest równa zeru, tj. D(c) = 0.

Naprawdę, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Ze znaku oczekiwania można usunąć nielosowy mnożnik: M(c^) = c M(?,).

Pokażmy ważność tej własności na przykładzie dyskretnej RV.

Niech RV będzie dana przez szereg rozdzielczy

Następnie

W związku z tym,

Właściwość jest podobnie udowodniona dla ciągłej zmiennej losowej.

4. Z kwadratu znaku wariancji można wyciągnąć nielosowy mnożnik:

Im więcej znanych jest momentów zmiennej losowej, tym bardziej szczegółowe mamy pojęcie o prawie rozkładu.

W teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowaniach wykorzystuje się jeszcze dwie charakterystyki liczbowe zmiennej losowej, oparte na momentach centralnych trzeciego i czwartego rzędu, współczynniku asymetrii, czyli m x .

Dla dyskretnych zmiennych losowych wartość oczekiwana :

Suma wartości odpowiedniej wartości przez prawdopodobieństwo zmiennych losowych.

Moda (Mod) zmiennej losowej X nazywamy jej wartością najbardziej prawdopodobną.

Dla dyskretnej zmiennej losowej. Dla ciągłej zmiennej losowej.

Dystrybucja jednomodalna

Dystrybucja multimodalna

Ogólnie rzecz biorąc, Mod i wartość oczekiwana nie

dopasować.

mediana (Med) zmiennej losowej X to taka wartość, dla której prawdopodobieństwo, że P(X Med). Każda dystrybucja Med może mieć tylko jedną.

Med dzieli obszar pod krzywą na 2 równe części. W przypadku rozkładu jednomodalnego i symetrycznego

Chwile.

Najczęściej w praktyce stosuje się dwa rodzaje momentów: początkowy i centralny.

Moment rozpoczęcia. -ty rząd dyskretnej zmiennej losowej X jest sumą postaci:

Dla ciągłej zmiennej losowej X początkowym momentem zamówienia jest całka , oczywiste jest, że matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest pierwszym momentem początkowym.

Używając znaku (operatora) M, początkowy moment -tego rzędu można przedstawić jako matę. oczekiwanie potęgi-tej pewnej zmiennej losowej.

Wyśrodkowany zmienna losowa odpowiadającej zmiennej losowej X jest odchyleniem zmiennej losowej X od jej matematycznego oczekiwania:

Matematyczne oczekiwanie wyśrodkowanej zmiennej losowej wynosi 0.

Dla dyskretnych zmiennych losowych mamy:

Momenty wyśrodkowanej zmiennej losowej są nazywane Centralne momenty

Centralny moment porządku zmienna losowa X nazywana jest matematycznym oczekiwaniem potęgi odpowiadającej wyśrodkowanej zmiennej losowej.

Dla dyskretnych zmiennych losowych:

Dla ciągłych zmiennych losowych:

Związek pomiędzy momentami centralnymi i początkowymi różnych porządków

Spośród wszystkich momentów pierwszy moment (matematyczne oczekiwanie) i drugi moment centralny są najczęściej używane jako charakterystyka zmiennej losowej.

Drugi centralny moment nazywa się dyspersja zmienna losowa. Ma oznaczenie:

Zgodnie z definicją

Dla dyskretnej zmiennej losowej:

Dla ciągłej zmiennej losowej:

Rozrzut zmiennej losowej jest cechą rozproszenia (rozproszenia) zmiennych losowych X wokół jej matematycznego oczekiwania.

Dyspersja oznacza rozproszenie. Wariancja ma wymiar kwadratu zmiennej losowej.

Do wizualnej charakterystyki dyspersji wygodniej jest zastosować wartość m y taką samą jak wymiar zmiennej losowej. W tym celu z dyspersji pobiera się pierwiastek i uzyskuje się wartość zwaną - odchylenie standardowe (RMS) zmienna losowa X, wprowadzając oznaczenie: