Przedstawiono metodę całkowania całki nieoznaczonej przez części. Podano przykłady całek obliczonych tą metodą. Analizie poddano przykładowe rozwiązania.

Treść

Zobacz też: Metody obliczania całek nieoznaczonych
Tablica całek nieoznaczonych
Podstawowe funkcje elementarne i ich własności

Wzór na całkowanie przez części to:
.

Metoda całkowania przez części polega na zastosowaniu tego wzoru. W praktyce warto zauważyć, że u i v są funkcjami zmiennej całkowej. Niech zmienną całkowania oznaczymy jako x (symbol po znaku różniczkowym d na końcu zapisu całkowego). Wtedy u i v są funkcjami x : u(x) i v(x) .
Następnie
, .
Formuła całkowania przez części ma postać:
.

Oznacza to, że całka musi składać się z iloczynu dwóch funkcji:
,
jeden z nich oznaczamy jako u: g(x) \u003d u, a całkę należy obliczyć dla drugiego (dokładniej należy znaleźć funkcję pierwotną):
, wtedy dv = f(x) dx .

W niektórych przypadkach f(x) = 1 . Czyli w całce
,
możemy umieścić g(x) = u, x = v .

Streszczenie

Tak więc w tej metodzie formułę całkowania przez części należy zapamiętać i zastosować w dwóch postaciach:
;
.

Całki obliczone przez całkowanie przez części

Całki zawierające logarytmy i odwrotne funkcje trygonometryczne (hiperboliczne).

Całki zawierające logarytm i odwrotne funkcje trygonometryczne lub hiperboliczne są często całkowane przez części. W tym przypadku część, która zawiera logarytm lub odwrotną funkcję trygonometryczną (hiperboliczną) jest oznaczona przez u, pozostała część - przez dv.

Oto przykłady takich całek, które są obliczane metodą całkowania przez części:
, , , , , , .

Całki zawierające iloczyn wielomianu i sin x, cos x lub e x

Zgodnie ze wzorem na całkowanie części, całki postaci znajdują się:
, , ,
gdzie P(x) jest wielomianem w x . W całce wielomian P(x) jest oznaczony przez u i e ax dx , cos ax dx Lub grzech topór dx- przez dv.

Oto przykłady takich całek:
, , .

Przykłady obliczania całek metodą całkowania przez części

Przykłady całek zawierających logarytm i odwrotne funkcje trygonometryczne

Przykład

Oblicz całkę:

Szczegółowe rozwiązanie

Tutaj całka zawiera logarytm. Dokonywanie zastępstw
u= ln x,
dv=x 2dx.
Następnie
,
.

Obliczamy pozostałą całkę:
.
Następnie
.
Na koniec obliczeń konieczne jest dodanie stałej C, ponieważ całka nieoznaczona jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych. Można go również dodać w obliczeniach pośrednich, ale to tylko zaśmieciłoby obliczenia.

Krótsze rozwiązanie

Istnieje możliwość przedstawienia rozwiązania w krótszej wersji. Aby to zrobić, nie musisz dokonywać podstawień za pomocą u i v, ale możesz pogrupować czynniki i zastosować formułę całkowania przez części w drugiej postaci.

.

Inne przykłady

Przykłady całek zawierających iloczyn wielomianu i sin x, cos x lub ex

Przykład

Oblicz całkę:
.

Wprowadzamy wykładnik pod znakiem różniczkowym:
e - x dx = - mi - x d(-x) = - d(e - x).

Całkujemy przez części.
.
Stosujemy również metodę całkowania przez części.
.
.
.
Wreszcie mamy.

Metoda ta opiera się na następującym wzorze: (*)

Pozwalać I są funkcjami x, które mają ciągłe pochodne i .

Wiadomo, że Lub ; Lub .

Całki i , ponieważ z założenia funkcje u i v są różniczkowalne, a zatem ciągłe.

Formuła (*) nazywana jest formułą całkowania przez części.

Metoda oparta na jej zastosowaniu nazywana jest metodą całkowania przez części.

Redukuje obliczenia do obliczenia innej całki: .

Zastosowanie metody całkowania przez części polega na tym, że pod całkowym wyrażeniem danej całki starają się one przedstawić w postaci iloczynu, gdzie i są pewnymi funkcjami x, a funkcje te są tak dobrane, że była łatwiejsza do obliczenia niż całka pierwotna. Kiedy obliczyć znalezione wcześniej i .

(jako „v” bierzemy jedną z pierwotnych funkcji pierwotnych znalezionych z dv, dlatego w przyszłości przy obliczaniu „v” będziemy pomijać stałą C w notacji).

Komentarz. Podczas rozkładania na czynniki pod wyrażeniem całkowym należy zrozumieć, co i powinno zawierać.

Niestety nie jest możliwe podanie ogólnych zasad rozkładania wyrażenia całkowego na czynniki „u” i „dv”. Można się tego nauczyć poprzez wiele przemyślanych ćwiczeń.

Przy tym wszystkim należy mieć na uwadze, że była prostsza niż całka pierwotna.

Przykład 6.6.22.

Bywa, że ​​w celu uzyskania ostatecznego wyniku stosuje się kolejno kilka razy zasadę całkowania przez części.

Metoda całkowania przez części jest oczywiście wygodna w użyciu nie za każdym razem, a umiejętność jej stosowania zależy od doświadczenia.

Podczas obliczania całek ważne jest, aby poprawnie ustalić, którą metodę całkowania należy zastosować (tak jak w poprzednim przykładzie podstawienie trygonometryczne prowadzi do celu szybciej).

Rozważ najczęstsze całki, które są obliczane przez całkowanie przez części.

1.Całki formy :

gdzie jest liczbą całkowitą (względem x) wielomianu; a jest liczbą stałą.

Jeśli iloczyn funkcji trygonometrycznej lub wykładniczej jest algebraiczny pod znakiem całki, wówczas funkcję algebraiczną przyjmuje się zwykle za „u”.

Przykład 6.6.23.

Zauważ, że kolejny podział na czynniki: nie prowadzi do celu.

Udowodniono
.

Otrzymujemy bardziej złożoną całkę.

2.Całki formy :

gdzie jest wielomianem.

Jeżeli znak całki jest iloczynem logarytmu funkcji lub odwrotności funkcji trygonometrycznej przez funkcję algebraiczną, to funkcje należy przyjąć jako „u”.

Przykład 6.6.23.

3.Całki postaci:

Tutaj możesz użyć dowolnego z 2 możliwych podziałów wyrażenia całkowego na czynniki: dla „u” możesz wziąć oba i .

Ponadto obliczenie takich całek metodą całkowania przez części prowadzi do całki pierwotnej, to znaczy uzyskuje się równanie w odniesieniu do pożądanej całki.

Przykład 6.6.24 Oblicz .

.

Podczas całkowania często konieczne jest zastosowanie kolejno metody podstawienia i metody całkowania przez części.

Przykład 6.6.25.

Całkowanie niektórych funkcji zawierających trójmian kwadratowy

1)

.

a to są całki tabelaryczne.

2) współczynniki liczb rzeczywistych

w liczniku wybieramy pochodną mianownika.

a,b,c to liczby rzeczywiste

A) ; Następnie mamy:

B) . W takim przypadku sensowne jest rozważenie tylko wtedy, gdy dyskryminator trójmian pozytywny:

Teraz mamy:

Komentarz. W praktyce zwykle nie korzystają z gotowych wyników, ale wolą przeprowadzać podobne obliczenia za każdym razem od nowa.

Przykład.

4)

Przekształcamy licznik tak, aby można było z niego wyciągnąć pochodną kwadratowego trójmianu:

W związku z tym, że w praktyce nie ma dogodnej ogólnej metody obliczania całek nieoznaczonych, oprócz szczególnych metod całkowania (patrz poprzedni wykład), musimy również rozważyć metody całkowania pewnych klas funkcji, których całki są często spotykane w praktyce.

Najważniejszą spośród nich klasą jest klasa funkcji wymiernych.

„Integracja funkcji ułamkowo-wymiernych”

Całkowanie właściwego ułamka wymiernego polega na rozwinięciu ułamka wymiernego na sumę ułamków elementarnych.

Ułamki elementarne (proste) i ich całkowanie.

Definicja. Ułamki postaci: ; (1)

(2), gdzie

(to znaczy pierwiastki trójmianu są złożone), nazywane są elementarnymi.

Rozważ całkowanie ułamków elementarnych

2)

(gdzie niech).

Obliczamy całkę

(*)

Ostatnia całka jest obliczana przy użyciu formuły rekurencyjnej.

Czasami całkowanie przez części pozwala uzyskać zależność między całką nieoznaczoną zawierającą stopień jakiejś funkcji, a podobną całką, ale z mniejszym wykładnikiem tej samej funkcji. Takie relacje nazywane są formułami rekurencyjnymi.

Oznacz przez .

Mamy:

W ostatniej całce umieszczamy:

Dlatego

Gdzie

W ten sposób doszliśmy do formuły rekurencyjnej, której wielokrotne zastosowanie ostatecznie prowadzi do całki „stołowej”:

Następnie zamiast „t” i „k” podstawiamy ich wartości.

Przykład 6.6.26.

(według wzoru rekurencyjnego).=

.

Ułamek wymierny to funkcja dająca się przedstawić w formie ; gdzie i są wielomianami o rzeczywistych współczynnikach.

Ułamek wymierny nazywamy właściwym, jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika.

Każdy właściwy ułamek wymierny można przedstawić jako sumę skończonej liczby ułamków elementarnych.

Rozkład ułamka właściwego na elementarne określa następujące twierdzenie, które rozważamy bez dowodu.

Twierdzenie . Jeśli ułamek - poprawne i (gdzie trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych), to tożsamość jest prawdziwa:

(I)

Zauważ, że każdy pierwiastek rzeczywisty, na przykład a, z krotności „ ” wielomianu w tym rozwinięciu odpowiada sumie elementarnych ułamków postaci (1), a każda para pierwiastków zespolonych i (takich, że ) z krotności „ ” odpowiada sumie elementarnych ułamków postaci (2).

Aby przeprowadzić rozwinięcie (I), musisz nauczyć się wyznaczać współczynniki .

Istnieją różne sposoby, aby je znaleźć. Rozważymy metodę współczynników nieokreślonych i metodę wartości cząstkowych.

Całkowanie przez części. Przykłady rozwiązań

Witam ponownie. Dzisiaj na lekcji nauczymy się całkować przez części. Metoda całkowania przez części jest jednym z kamieni węgielnych rachunku całkowego. Na teście, egzaminie prawie zawsze proponuje się uczniowi rozwiązanie całki następujących typów: całka najprostsza (patrz artykuł) lub całka, aby zmienić zmienną (patrz artykuł) lub całka po prostu włączona metoda całkowania przez części.

Jak zawsze pod ręką powinno być: Tablica całek I Tabela pochodna. Jeśli nadal ich nie masz, odwiedź magazyn mojej witryny: Wzory i tablice matematyczne. Nie zmęczę się powtarzaniem - lepiej wszystko wydrukować. Postaram się przedstawić cały materiał w spójny, prosty i przystępny sposób, nie ma szczególnych trudności w całkowaniu przez części.

Jaki problem rozwiązuje całkowanie przez części? Metoda całkowania przez części rozwiązuje bardzo ważny problem, pozwala na całkowanie niektórych funkcji, których nie ma w tabeli, praca funkcje, aw niektórych przypadkach - i prywatne. Jak pamiętamy, nie ma wygodnej formuły: . Ale jest taki: jest formułą całkowania przez części osobiście. Wiem, wiem, jesteś jedyny - z nią przepracujemy całą lekcję (już jest łatwiej).

I od razu lista w studio. Całki następujących typów są przyjmowane przez części:

1) , , - logarytm, logarytm pomnożony przez jakiś wielomian.

2) ,jest funkcją wykładniczą pomnożoną przez pewien wielomian. Obejmuje to również całki, takie jak - funkcja wykładnicza pomnożona przez wielomian, ale w praktyce jest to 97 procent, ładna litera „e” pyszni się pod całką. ...artykuł okazuje się być czymś lirycznym, o tak... nadeszła wiosna.

3) , , to funkcje trygonometryczne pomnożone przez pewien wielomian.

4) , - odwrotne funkcje trygonometryczne („łuki”), „łuki”, pomnożone przez pewien wielomian.

Ponadto niektóre ułamki są pobierane w częściach, szczegółowo rozważymy również odpowiednie przykłady.

Całki logarytmów

Przykład 1

Klasyczny. Od czasu do czasu tę całkę można znaleźć w tabelach, ale niepożądane jest stosowanie gotowej odpowiedzi, ponieważ nauczyciel ma beri-beri na wiosnę i będzie dużo beształ. Ponieważ rozważana całka nie jest bynajmniej tabelaryczna - jest brana w częściach. My decydujemy:

Przerywamy rozwiązanie dla pośrednich wyjaśnień.

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

Formuła jest stosowana od lewej do prawej

Patrzymy na lewą stronę:. Oczywiście w naszym przykładzie (i we wszystkich innych, które rozważymy) coś musi być oznaczone przez , a coś przez .

W całkach rozważanego typu zawsze oznaczamy logarytm.

Technicznie projekt rozwiązania jest realizowany w następujący sposób, piszemy w kolumnie:

To znaczy, ponieważ oznaczyliśmy logarytm, a dla - pozostała część całka.

Następny krok: znajdź różnicę:

Różniczka jest prawie taka sama jak pochodna, omówiliśmy już, jak ją znaleźć w poprzednich lekcjach.

Teraz znajdujemy funkcję . Aby znaleźć funkcję, konieczne jest całkowanie prawa strona niższa równość:

Teraz otwieramy nasze rozwiązanie i konstruujemy prawą stronę wzoru: .
Nawiasem mówiąc, oto przykład ostatecznego rozwiązania z kilkoma uwagami:

Jedyny moment w produkcie, od razu przestawiłem i, ponieważ zwyczajowo pisze się mnożnik przed logarytmem.

Jak widać, zastosowanie formuły całkowania przez części zasadniczo zredukowało nasze rozwiązanie do dwóch prostych całek.

Należy pamiętać, że w niektórych przypadkach zaraz po stosując wzór, uproszczenie jest koniecznie przeprowadzane pod pozostałą całką - w rozważanym przykładzie całkę zmniejszyliśmy o „x”.

Zróbmy kontrolę. Aby to zrobić, musisz wziąć pochodną odpowiedzi:

Otrzymuje się oryginalną całkę, co oznacza, że ​​całka została rozwiązana poprawnie.

Podczas weryfikacji zastosowaliśmy zasadę różnicowania produktów: . I to nie przypadek.

Formuła całkowania przez części i formuła Są to dwie wzajemnie odwrotne reguły.

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całka jest iloczynem logarytmu i wielomianu.
My decydujemy.

Jeszcze raz szczegółowo opiszę procedurę stosowania reguły, w przyszłości przykłady zostaną przedstawione krócej, a jeśli masz trudności z samodzielnym rozwiązaniem, musisz wrócić do dwóch pierwszych przykładów lekcji .

Jak już wspomniano, konieczne jest wyznaczenie logarytmu (fakt, że jest w stopniu, nie ma znaczenia). oznaczamy pozostała część całka.

Piszemy w kolumnie:

Najpierw znajdujemy różniczkę:

Korzystamy tutaj z reguły różniczkowania funkcji zespolonej . To nie przypadek, że na pierwszej lekcji tego tematu Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań Skoncentrowałem się na tym, że aby opanować całki, trzeba „położyć rękę” na pochodnych. Derywaty będą musiały stawić czoła więcej niż raz.

Teraz znajdujemy funkcję , w tym celu całkujemy prawa strona niższa równość:

Do integracji zastosowaliśmy najprostszą formułę tabelaryczną

Teraz możesz przystąpić do zastosowania formuły . Otwieramy go „gwiazdką” i „projektujemy” rozwiązanie zgodnie z prawą stroną:

Pod całką znowu mamy wielomian na logarytmie! W związku z tym rozwiązanie zostaje ponownie przerwane i zasada całkowania przez części jest stosowana po raz drugi. Nie zapominaj, że w podobnych sytuacjach logarytm jest zawsze oznaczony.

Byłoby miło, gdybyś w tym momencie potrafił znaleźć ustnie najprostsze całki i pochodne.

(1) Nie daj się zmylić znakom! Bardzo często gubi się tutaj minus, zauważ też, że minus obowiązuje do wszystkich nawias , a te nawiasy muszą być poprawnie otwarte.

(2) Rozwiń nawiasy. Upraszczamy ostatnią całkę.

(3) Bierzemy ostatnią całkę.

(4) „czesanie” odpowiedź.

Konieczność dwukrotnego (a nawet trzykrotnego) zastosowania zasady całkowania przez części nie jest rzadkością.

A teraz kilka przykładów niezależnego rozwiązania:

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ten przykład jest rozwiązany przez zmianę metody zmiennej (lub podsumowanie pod znakiem różniczkowym)! A czemu nie - możesz spróbować wziąć to na części, dostaniesz zabawną rzecz.

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ale ta całka jest całkowana przez części (ułamek obiecany).

Są to przykłady do samodzielnego rozwiązania, rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Wydaje się, że w przykładach 3,4 całki są podobne, ale metody rozwiązania są różne! To jest właśnie główna trudność w opanowaniu całek - jeśli wybierzesz niewłaściwą metodę rozwiązania całki, możesz bawić się nią godzinami, jak przy prawdziwej układance. Dlatego im więcej rozwiążesz różnych całek, tym lepiej, tym łatwiejszy będzie test i egzamin. Poza tym na drugim roku będą równania różniczkowe, a bez doświadczenia w rozwiązywaniu całek i pochodnych nie ma tam nic do roboty.

Według logarytmów, może więcej niż wystarczająco. Na przekąskę pamiętam też, że studenci technikum kobiece piersi nazywają logarytmami =). Nawiasem mówiąc, warto znać na pamięć wykresy głównych funkcji elementarnych: sinus, cosinus, arc tangens, wykładnik, wielomiany trzeciego, czwartego stopnia itp. Nie, oczywiście, prezerwatywa na kuli ziemskiej
Nie będę ciągnął, ale teraz dużo pamiętasz z sekcji Wykresy i funkcje =).

Całki wykładnika pomnożone przez wielomian

Główna zasada:

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Korzystając ze znanego algorytmu, całkujemy przez części:

Jeśli masz jakiekolwiek trudności z całką, powinieneś wrócić do artykułu Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Jedyną inną rzeczą do zrobienia jest „przeczesanie” odpowiedzi:

Ale jeśli twoja technika obliczeniowa nie jest zbyt dobra, pozostaw jako odpowiedź najbardziej opłacalną opcję. lub nawet

Oznacza to, że przykład uważa się za rozwiązany, gdy zostanie wzięta ostatnia całka. To nie będzie pomyłka, to inna sprawa, o którą nauczyciel może poprosić, aby uprościć odpowiedź.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład zrób to sam. Ta całka jest całkowana dwukrotnie przez części. Szczególną uwagę należy zwrócić na znaki - łatwo się w nich pogubić, o tym też pamiętamy - złożona funkcja.

Niewiele więcej można powiedzieć o wystawcy. Mogę tylko dodać, że wykładniczy i logarytm naturalny są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, to ja w temacie zabawnych wykresów wyższej matematyki =) Przestań, przestań, nie martw się, wykładowca jest trzeźwy.

Całki funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: zawsze oznacza wielomian

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całkowanie przez części:

Hmmm... i nie ma co komentować.

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład samodzielnego rozwiązania

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

Kolejny przykład z ułamkiem. Podobnie jak w dwóch poprzednich przykładach, wielomian jest oznaczony przez.

Całkowanie przez części:

Jeśli masz trudności lub nieporozumienie ze znalezieniem całki, to polecam udział w lekcji Całki funkcji trygonometrycznych.

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład zrób to sam.

Wskazówka: zanim użyjesz metody całkowania przez części, powinieneś zastosować jakiś wzór trygonometryczny, który zamienia iloczyn dwóch funkcji trygonometrycznych w jedną funkcję. Formuła może być również wykorzystana przy stosowaniu metody całkowania przez części, komu jest to wygodniejsze.

To chyba wszystko w tym akapicie. Z jakiegoś powodu przypomniał mi się wers z hymnu Wydziału Fizyki i Matematyki „A wykres sinusoidalny fala po fali biegnie wzdłuż osi odciętych”…

Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: zawsze oznacza odwrotną funkcję trygonometryczną.

Przypominam, że odwrotne funkcje trygonometryczne obejmują arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arccotangens. Dla zwięzłości będę je nazywał „łukami”

Metodę całkowania przez części stosuje się, gdy konieczne jest uproszczenie istniejącej całki nieoznaczonej lub zredukowanie jej do wartości tabelarycznej. Najczęściej stosuje się go w przypadku wykładniczych, logarytmicznych, prostych i odwrotnych wzorów trygonometrycznych oraz ich kombinacji w całce.

Podstawowa formuła potrzebna do zastosowania tej metody wygląda następująco:

∫ fa (x) re x = ∫ u (x) re (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u (x))

Oznacza to, że najpierw musimy przedstawić wyrażenie pod całką jako iloczyn funkcji u(x) i różniczki funkcji v(x) . Następnie obliczamy wartość funkcji v (x) za pomocą jakiejś metody (najczęściej stosuje się metodę bezpośredniego całkowania), a otrzymane wyrażenia podstawiamy do wskazanego wzoru, zmniejszając pierwotną całkę do różnicy u (x ) v (x) - ∫ v (x) re(u(x)) . Wynikową całkę można również przyjąć dowolną metodą całkowania.

Rozważ problem, w którym musisz znaleźć zbiór funkcji pierwotnych funkcji logarytmicznej.

Przykład 1

Oblicz całkę nieoznaczoną ∫ ln (x) d x .

Rozwiązanie

Korzystamy z metody całkowania przez części. Aby to zrobić, bierzemy ln (x) jako funkcję u (x) , a resztę całki jako d (v (x)) . W rezultacie otrzymujemy, że ln (x) re x = u (x) re (v (x)) , gdzie u (x) = ln (x) , re (v (x)) = re x .

Różniczką funkcji u(x) jest d(u(x)) - u"(x)dx = dxx a funkcję v(x) można przedstawić jako v(x) = ∫ d(v(x)) = ∫ dx = x

Ważny: stała C przy obliczaniu funkcji v (x) będzie uważana za równą 0 .

To, co otrzymaliśmy, podstawiamy do wzoru na całkowanie przez części:

∫ ln (x) re x = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x re x x = ln (x) x - ∫ re x \u003d ln (x) x - x + do 1 \u003d \u003d x (ln (x) - 1) + do

gdzie C \u003d - C 1

Odpowiedź:∫ ln (x) re x = x (ln (x) - 1) + do .

Najtrudniejszą rzeczą w stosowaniu tej metody jest wybór, którą część oryginalnego wyrażenia pod całką przyjąć jako u (x) i która - d (v (x)) .

Spójrzmy na kilka standardowych przypadków.

Jeśli mamy całki postaci ∫ P n (x) e a x d x , ∫ P n (x) sin (a x) d x lub ∫ P n (x) cos (a x) d x , gdzie a jest współczynnikiem, a P n (x ) jest wielomianem stopnia n , to P n (x) należy przyjąć jako funkcję u (x).

Przykład 2

Znajdź zbiór funkcji pierwotnych funkcji f (x) = (x + 1) sin (2 x) .

Rozwiązanie

Całkę nieoznaczoną ∫ (x + 1) sin (2 x) d x możemy podzielić na części. Przyjmujemy x + 1 jako u (x) i sin (2 x) d x jako d (v (x)) , czyli d (u (x)) = d (x + 1) = d x .

Stosując całkowanie bezpośrednie otrzymujemy:

v (x) = ∫ grzech (2 x) re x = - 1 2 sałata (2 x)

Zastąp we wzorze na całkowanie przez części:

∫ (x + 1) grzech (2 x) re x = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 sałata (2 x ) - ∫ - 1 2 sałata (2 x) re x = = - 1 2 (x + 1) sałata (2 x) + 1 2 ∫ sałata (2 x) re (x) = = - 1 2 (x + 1) sałata ( 2 x) + 1 4 grzech (2 x) + C

Odpowiedź:∫ (x + 1) grzech (2 x) re x = - 1 2 (x + 1) sałata (2 x) + 1 4 grzech (2 x) + do .

Przykład 3

Oblicz całkę nieoznaczoną ∫ (x 2 + 2 x) e x d x .

Rozwiązanie

Bierzemy wielomian drugiego rzędu x 2 + 2 x jako u (x) i d (v (x)) - e x d x .

∫ x 2 + 2 x mi x re x = u (x) = x 2 + 2 x , re (v (x)) = mi x re x re (u (x)) = (2 x + 2) re x , v (x) = ∫ mi x re x = mi x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u (x)) = (x 2 + 2 x) mi x - ∫ (2 x + 2) mi x re x

Do tego, co zrobiliśmy, musimy ponownie zastosować metodę całkowania przez części:

∫ (2 x + 2) mi x re x = (x 2 + 2 x) mi x - ∫ 2 x + 2 mi x re x = = u (x) = (2 x + 2) , re (v (x)) = mi x re x re (u ( x)) = 2 re x , v (x) = ∫ mi x re x = mi x = = (x 2 + 2 x) mi x - (2 x + 2) mi x - ∫ v (x) re (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) mi x - (2 x + 2) mi x - ∫ 2 mi x re x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) mi x + 2 ∫ mi x re x = (x 2 - 2) mi x + 2 mi x + do = x 2 mi x + do

Odpowiedź:∫ (x 2 + 2 x) mi x re x = x 2 mi x + do .

Przykład 4

Oblicz całkę ∫ x 3 cos 1 3 x d x .

Rozwiązanie

Zgodnie z metodą całkowania przez części przyjmujemy u (x) = x 3 i d (v (x)) = cos 1 3 x d x .

W tym przypadku re (u (x)) = 3 x 2 re x i v (x) = ∫ sałata 1 3 x re x = 3 grzech 1 3 x .

Teraz podstawiamy otrzymane wyrażenia do wzoru:

∫ x 3 sałata 1 3 x re x = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u)) = = x 3 3 grzech 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 grzech 1 3 x re x = = 3 x 3 grzech 1 3 x - 9 ∫ x 2 grzech 1 3 x re x

Mamy całkę nieoznaczoną, którą ponownie należy podzielić na części:

∫ x 3 sałata 1 3 x re x = 3 x 3 grzech 1 3 x - 9 ∫ x 2 grzech 1 3 x re x = = u (x) = x 2, d (v (x)) = grzech 1 3 x re x d (u (x )) = 2 x re x , v (x) = ∫ grzech 1 3 x re x = - 3 sałata 1 3 x = = 3 x 3 grzech 1 3 x - 9 - 3 x 2 sałata 1 3 x - ∫ - 3 sałata 1 3 x 2 x re x = = 3 x 3 grzech 1 3 x + 27 x 2 sałata 1 3 x - 54 ∫ x sałata 1 3 x re x

Ponownie przeprowadzamy częściową integrację:

∫ x 3 sałata 1 3 x re x = 3 x 3 grzech 1 3 x + 27 x 2 sałata 1 3 x - 54 ∫ x sałata 1 3 x re x = = u (x) = x, d (v (x)) = sałata 1 3 x re x re (u (x)) = re x , v (x) = ∫ sałata 1 3 x - ∫ 3 grzech 1 3 x re x = = 3 x 3 - 162 x grzech 1 3 x + 27 x 2 sałata 1 3 x + 162 ∫ grzech 1 3 x re x = = (3 x 3 - 162 x) grzech 1 3 x + 27 x 2 sałata 1 3 x - 486 sałata 1 3 x + do = = (3 x 3 - 162 x) grzech 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

Odpowiedź:∫ x 3 sałata 1 3 x re x = (3 x 3 - 162 x) grzech 1 3 x + (27 x 2 - 486) sałata 1 3 x + do .

Jeśli mamy całki postaci ∫ P n (x) ln (a x) d x , ∫ P n (x) a r c sin (a x) d x , ∫ P n (x) a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x ) a r c t g (a x) re x , ∫ P n (x) a r c c t g (a x) d x

wtedy powinniśmy przyjąć jako u (x) funkcje a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x) , a r c sin (a x) , a r cos (a x) .

Przykład 5

Oblicz zbiór funkcji pierwotnych funkcji (x + 1) ln (2 x) .

Rozwiązanie

Bierzemy ln (2 x) jako u (x) i (x + 1) d x jako d (v (x)) . Otrzymujemy:

re (u (x)) = (ln (2 x)) " re x = 1 2 x (2 x) " re x = re x x v (x) = ∫ (x + 1) re x = x 2 2 + x

Podstaw te wyrażenia do wzoru:

∫ (x + 1) ln (2 x) re x = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x re x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 re x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x re x - ∫ re x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

Odpowiedź:∫ (x + 1) ln (2 x) re x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + do .

Przykład 6

Oblicz całkę nieoznaczoną ∫ x · a r c sin (2 x) d x .

Rozwiązanie

Decydujemy, którą część wziąć za u (x), a którą za d (v (x)) . Zgodnie z powyższą regułą, jako pierwszą funkcję należy przyjąć a r c sin (2 x) , oraz d (v (x)) = x d x . Otrzymujemy:

re (u (x)) = (a r do grzech (2 x) "d x = 2 x" re x 1 - (2 x) 2 = 2 re x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x re x = x 2 2

Zastąp wartości we wzorze:

∫ x za r do grzech (2 x) re x = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u (x)) = = x 2 2 za r do grzech (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 za r do grzech (2 x) - ∫ x 2 re x 1 - 4 x 2

W rezultacie doszliśmy do następującej równości:

∫ x za r do grzech (2 x) re x = x 2 2 za r do grzech (2 x) - ∫ x 2 re x 1 - 4 x 2

Teraz obliczamy wynikową całkę ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2:

∫ x 2 re x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 re x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 re x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 re x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 re x = - 1 2 1 4 - x 2 re x + 1 8 ∫ re x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 re x + 1 8 a r c grzech (2x)

Tutaj możesz zastosować metodę całkowania przez części i uzyskać:

∫ x 2 re x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 re x + 1 8 za r do grzech (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , re (v (x)) = re x re (u (x)) = 1 4 - x 2 "d x 2 1 4 - x 2 = - x re x 1 4 - x 2 , v (x) = ∫ re x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 za r do grzech (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 re x 1 4 - x 2 + 1 8 za r c grzech (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 re x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c grzech (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c grzech (2 x)

Teraz nasza równość wygląda tak:

∫ x 2 re x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 re x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r do grzech (2 x)

Widzimy, że całka po prawej stronie jest podobna do tej po lewej. Przenosimy go do innej części i otrzymujemy:

2 ∫ x 2 re x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r do grzech (2 x) + do 1 ⇒ x 2 re x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + do 2 x 2 re x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + do 2

gdzie C 2 = C 1 2

Wróćmy do oryginalnych zmiennych:

∫ x za r do grzech (2 x) re x = x 2 2 za r do grzech (2 x) - ∫ x 2 re x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 za r c grzech (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c grzech (2 x) + do 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c grzech (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + do

gdzie C \u003d - C 2

Odpowiedź:∫ x za r do grzech (2 x) re x = 1 2 x 2 - 1 8 za r do grzech (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + do .

Jeśli w zadaniu mamy całkę postaci ∫ e a x sin (b x) d x lub ∫ e a x cos (b x) d x, to dowolną funkcję można wybrać jako u (x).

Przykład 7

Oblicz całkę nieoznaczoną ∫ e x · sin (2 x) d x .

Rozwiązanie

∫ mi x grzech (2 x) re x = u (x) = grzech (2 x) , re (v (x)) = mi x re x re (u (x)) = 2 sałata (2 x) re x , v (x) = ∫ mi x re x = mi x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) re (u (x)) = grzech (2 x) e x - ∫ mi x 2 sałata 2 x re x = = grzech (2 x) mi x - 2 ∫ mi x sałata (2 x) re x = u (x) = sałata (2 x) , re (v (x)) = mi x re x re (u (x)) = - 2 grzech (2 x) re x , v (x) = ∫ mi x re x = mi x = = grzech (2 x) mi x - 2 sałata (2 x) mi x - ∫ (mi x (- 2 grzech (2 x) re x)) = = grzech (2 x) mi x = 2 sałata (2 x ) mi x - 4 ∫ mi x grzech (2 x) re x

W efekcie otrzymamy:

∫ mi x grzech (2 x) re x = grzech (2 x) mi x - 2 sałata (2 x) mi x - 4 ∫ mi x grzech (2 x) d x

Widzimy te same całki po lewej i po prawej stronie, co oznacza, że ​​możemy wprowadzić podobne wyrazy:

5 ∫ mi x grzech (2 x) re x = grzech (2 x) mi x - 2 sałata (2 x) mi x ⇒ ∫ mi x grzech (2 x) d x = 1 5 grzech (2 x) mi x - 2 5 sałata (2 x) e x + C

Odpowiedź: ∫ e x grzech (2 x) re x = 1 5 grzech (2 x) e x - 2 5 sałata (2 x) e x + C

Ten sposób rozwiązania jest standardowy, a po prawej często otrzymuje się całkę identyczną z pierwotną.

Zbadaliśmy najbardziej typowe zadania, w których można dokładnie określić, którą część wyrażenia przyjąć dla d (v (x)), a którą dla u (x) . W innych przypadkach należy to ustalić samodzielnie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Całka nieoznaczona

1Całka pierwotna i nieoznaczona 1

2Najprostsze własności całki nieoznaczonej. 3

Tablica całek podstawowych 3

2.1 Dodatkowa tablica całek 4

3Zmiana zmiennej w całce nieoznaczonej 5

3.1Metoda całkowania funkcji postaci i (a≠ 0). 6

4Całkowanie przez części w całce nieoznaczonej 7

4.1Metoda całkowania funkcji postaci. 7

4.2 Metoda całkowania funkcji postaci: 8

5Całkowanie ułamków wymiernych 8

5.1Metoda całkowania najprostszych ułamków IV typu. jedenaście

6Całkowanie wyrażeń niewymiernych 12

6.1Całkowanie wyrażeń trygonometrycznych 14

1. Całka pierwotna i całka nieoznaczona

Rozwiąż równanie różniczkowe

na interwale, tj. znaleźć taką funkcję, że . Ponieważ , równanie (1) można przepisać na różniczki:

Każde rozwiązanie takiego równania nazywa się funkcją pierwotną. Funkcja jest więc wywoływana funkcja pierwotna w przedziale jeśli dla wszystkich . Przypadki i/lub nie są wykluczone. Jest jasne, że jeśli funkcja pierwotna, to także funkcja pierwotna. Naszym zadaniem jest znalezienie wszystkich rozwiązań równania (1). Funkcja dwóch zmiennych nazywana jest ogólnym rozwiązaniem równania (1) lub innymi słowy całka nieoznaczona funkcje, jeśli podstawiając dowolną liczbę, otrzymamy określone rozwiązanie równania (1) i otrzymamy w ten sposób dowolne rozwiązanie równania (1).

Całka nieoznaczona jest oznaczona przez . Funkcja nazywa się całką, różniczka nazywa się całką i jest znakiem całki (rozciągnięta litera łacińska S, pierwsza litera słowa Sum to suma). Powstaje pytanie o istnienie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. W części „Całka oznaczona”, § wzór Newtona-Leibniza zostanie udowodnione, że funkcja pierwotna funkcji ciągłej istnieje zawsze.

Lemat.Niech będzie identyczny dla wszystkich. Wtedy jest stałą w tym przedziale.

Dowód. Oznaczmy dla dowolnego punktu . Weźmy dowolny punkt i zastosujmy twierdzenie Lagrange'a do różnicy: dla pewnego punktu . Zatem lemat jest udowodniony.□

Twierdzenie o funkcjach pierwotnych. Dwie funkcje pierwotne tej samej funkcji zdefiniowanej w przedziale różnią się o stałą.

Dowód. Niech i będą funkcjami pierwotnymi. Następnie skąd, zgodnie z lematem -- stała. Stąd, . □

Konsekwencja. Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji, to .

Zauważmy, że jeśli za funkcję ODZ weźmiemy nie przedział, ale np. taki rozłączony zbiór, jak suma dwóch przedziałów , To dowolną funkcję formularza

ma zerową pochodną, ​​a zatem lemat i twierdzenie o funkcji pierwotnej przestają być prawdziwe w tym przypadku.

1. Najprostsze własności całki nieoznaczonej.

1. Całka sumy jest równa sumie całek:

2. Stałą można wyjąć ze znaku całki:

3. Pochodna całki równa się całce.

4. Różniczek od całki jest równy całce.

5. (Liniowa zmiana zmiennych) Jeżeli , To (Tutaj ).

Tabela podstawowych całek

W szczególności,

W wyjątkowym przypadku mamy:

1. Dodatkowa tablica całek

1. Zmiana zmiennej w całce nieoznaczonej

Rozciągnijmy definicję całki nieoznaczonej na bardziej ogólny przypadek: zakładamy z definicji . W ten sposób np

Twierdzenie. Niech będzie funkcją różniczkowalną. Następnie

Dowód. Pozwalać . Następnie

co należało udowodnić.□

W szczególnym przypadku, gdy otrzymujemy liniową zmianę zmiennych (patrz właściwość 5, §1). Zastosowanie wzoru (1) „od lewej do prawej” będzie oznaczało zmianę zmiennej. Zastosowanie wzoru (1) w kierunku przeciwnym, „od prawej do lewej” nazywa się wchodzeniem pod znak różniczkowy.

Przykłady. A.

1. W liczniku wybieramy pochodną trójmianu kwadratowego:

3. Aby obliczyć pierwszą całkę w (2), korzystamy z wpisu pod znakiem różniczki:

Aby obliczyć drugą całkę, wybieramy pełny kwadrat w trójmianze kwadratowym i redukujemy go do tabelarycznego przez liniową zmianę zmiennych.

Całki formy

Przykłady

1. Całkowanie przez części w całce nieoznaczonej

Twierdzenie. Dla funkcji różniczkowalnych i mamy zależność

Dowód. Całkowanie lewej i prawej strony formuły , otrzymujemy:

Ponieważ z definicji i , następuje wzór (1).□

Przykład.

Aby zintegrować takie funkcje, umieszczamy wielomian pod znakiem różniczkowym i stosujemy wzór na całkowanie przez części. Procedurę powtarza się k razy.

Przykład.

1. Całkowanie ułamków wymiernych

Ułamek racjonalny nazywa się funkcją postaci , gdzie są wielomianami. Jeśli , to nazywamy ułamek wymierny prawidłowy. Inaczej nazywa się zło.

Następujące ułamki wymierne nazywane są najprostszymi

(typ 2)

(typ 3)

(4 rodzaje) ,

Twierdzenie 1. Każdy ułamek można rozłożyć na sumę wielomianu i właściwego ułamka wymiernego.

Dowód. Niech będzie niewłaściwym ułamkiem wymiernym. Podziel licznik przez mianownik z resztą: tutaj są wielomiany, a następnie

Ułamek jest poprawny ze względu na nierówność. □

Twierdzenie 2. Każdy właściwy ułamek wymierny można rozłożyć na sumę najprostszych.

Algorytm dekompozycji.

a) Rozwińmy mianownik ułamka właściwego do iloczynu wielomianów nierozkładalnych (liniowych i kwadratowych z ujemnym wyróżnikiem):

Tutaj oraz -- krotności odpowiednich pierwiastków.

b) Rozkładamy ułamek na sumę najprostszych o nieokreślonych współczynnikach według następujących zasad:

Robimy to dla każdego czynnika liniowego i dla każdego czynnika kwadratowego.

c) Wynikowe rozwinięcie mnoży się przez wspólny mianownik, a nieokreślone współczynniki wyznacza się z warunku, że lewa i prawa część są identyczne. Praca z połączeniem dwóch metod

??? – uzasadnienie algorytmu

Przykłady. A. Rozłożyć w sumie najprostsze

Stąd wynika, że. Podstawiając do tego stosunku, natychmiast znajdujemy . Więc

B. Rozwiń ułamek wymierny w sumie najprostsze. Rozwinięcie tego ułamka o nieokreślone współczynniki ma postać

Mnożąc przez wspólny mianownik, otrzymujemy stosunek

Podstawiając tutaj , znajdujemy gdzie . Podstawiając znajdujemy . Zrównując współczynniki w , otrzymujemy układ

Stąd i . Dodając równości ostatniego systemu, otrzymujemy i . Następnie I

Stąd,

/**/ Zadanie. Uogólnij wynik z przykładu A i udowodnij równość

1. Metoda całkowania najprostszych ułamków IV typu.

a) Rozdzielając pochodną mianownika w liczniku, rozszerzamy całkę do sumy dwóch całek.

b) Pierwsza z otrzymanych całek po wpisaniu pod znakiem różniczki stanie się tabelaryczna.

c) W drugim mianowniku wybierz pełny kwadrat i sprowadź obliczenia do całki postaci . Do tej całki zastosujemy następującą procedurę rekurencyjną

Stosujemy formułę całkowania przez części do ostatniej całki:

Jeśli więc wyznaczymy , To

Jest to rekurencyjna formuła do obliczania całek przy danej wartości początkowej .

Przykład

1. Integracja wyrażeń niewymiernych

Całki formy , gdzie m/n,...,r/s są liczbami wymiernymi o wspólnym mianowniku k, są redukowane do całki funkcji wymiernej przez zmianę

Wtedy istota wyrażeń wymiernych, dlatego po podstawieniu otrzymujemy całkę ułamka wymiernego:

Obliczając tę ​​całkę (patrz par. 4) i dokonując odwrotnego podstawienia, otrzymujemy odpowiedź.

Podobnie całki formy

gdzie ad-bc≠ 0, a k ma takie samo znaczenie jak powyżej, sprowadza się do całek ułamka wymiernego przez zastąpienie

Przykłady. A. Oblicz całkę

B. Oblicz całkę

Prostsza metoda integracji (ale wymagająca zgadywania) dla tej samej funkcji jest następująca:

1. Całkowanie wyrażeń trygonometrycznych

Całki formy są redukowane do całek funkcji wymiernej przez zmianę uniwersalną

więc otrzymujemy całkę wyrażenia wymiernego

W szczególnych przypadkach  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx i R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, lepiej zastosować podstawienia odpowiednio .