Równanie boków prostokąta i jego przekątnej. Prostokąt. Wzory i właściwości prostokąta. Wszystkie rogi prostokąta są proste

Definicja.

Prostokąt to czworokąt, w którym dwa przeciwległe boki są równe i wszystkie cztery rogi są takie same.

Prostokąty różnią się od siebie tylko stosunkiem długiego boku do krótszego, ale wszystkie cztery rogi są proste, czyli 90 stopni.

Nazywa się długi bok prostokąta długość prostokątai krótko - szerokość prostokąta.

Boki prostokąta są również jego wysokościami.

Podstawowe właściwości prostokąta

Prostokąt może być równoległobokiem, kwadratem lub rombem.

1. Przeciwległe boki prostokąta mają tę samą długość, to znaczy są równe:

AB \u003d CD, BC \u003d AD

2. Przeciwległe boki prostokąta są równoległe:

3. Sąsiednie boki prostokąta są zawsze prostopadłe:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Wszystkie cztery rogi prostokąta są proste:

∠ABC \u003d ∠BCD \u003d ∠CDA \u003d ∠DAB \u003d 90 °

5. Suma kątów prostokąta wynosi 360 stopni:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB \u003d 360 °

6. Przekątne prostokąta mają tę samą długość:

7. Suma kwadratów przekątnej prostokąta jest równa sumie kwadratów boków:

2d 2 \u003d 2a 2 + 2b 2

8. Każda przekątna prostokąta dzieli prostokąt na dwa identyczne kształty, a mianowicie trójkąty prostokątne.

9. Przekątne prostokąta przecinają się i są podzielone na pół na przecięciu:

		AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO \u003d	re
			2

10. Punkt przecięcia się przekątnych nazywany jest środkiem prostokąta i jest jednocześnie środkiem opisanego okręgu

11. Przekątna prostokąta to średnica opisanego koła

12. Wokół prostokąta zawsze można opisać okrąg, ponieważ suma kątów przeciwnych wynosi 180 stopni:

∠ABC \u003d ∠CDA \u003d 180 ° ∠BCD \u003d ∠DAB \u003d 180 °

13. Nie można wpisać koła w prostokąt, którego długość nie jest równa jego szerokości, ponieważ sumy przeciwległych boków nie są sobie równe (okrąg można wpisać tylko w specjalnym przypadku prostokąta - kwadratu).

Boki prostokąta

Definicja.

Długość prostokąta to długość dłuższej pary jego boków. Szerokość prostokąta to długość krótszej pary boków.

Wzory do określania długości boków prostokąta

1. Wzór boku prostokąta (długość i szerokość prostokąta) przechodzącego przez przekątną i drugą stronę:

a \u003d √ d 2 - b 2

b \u003d √ d 2 - a 2

2. Wzór boku prostokąta (długość i szerokość prostokąta) przechodzącego przez pole i z drugiej strony:

b \u003d d cos	β
	2

Przekątna prostokąta

Definicja.

Prostokąt ukośny nazywany jest dowolnym segmentem łączącym dwa wierzchołki przeciwległych rogów prostokąta.

Wzory do określania długości przekątnej prostokąta

1. Wzór na przekątną prostokąta przechodzącą przez dwa boki prostokąta (poprzez twierdzenie Pitagorasa):

d \u003d √ a 2 + b 2

2. Wzór na przekątną prostokąta przechodzącą przez obszar i dowolny bok:

4. Wzór przekątnej prostokąta przechodzącego przez promień opisanego koła:

d \u003d 2R

5. Wzór przekątnej prostokąta przechodzącej przez średnicę opisanego koła:

d \u003d D około

6. Wzór na przekątną prostokąta wyrażony jako sinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku przeciwnego do tego kąta:

8. Wzór na przekątną prostokąta wyrażony jako sinus kąta ostrego pomiędzy przekątnymi a polem prostokąta

d \u003d √2S: sin β

Obwód prostokąta

Definicja.

Obwód prostokąta nazywana sumą długości wszystkich boków prostokąta.

Wzory do określania długości obwodu prostokąta

1. Wzór na obwód prostokąta przechodzący przez dwa boki prostokąta:

P \u003d 2a + 2b

P \u003d 2 (a + b)

2. Wzór na obwód prostokąta z uwzględnieniem powierzchni i dowolnego boku:

P \u003d	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	za		b

3. Wzór na obwód prostokąta przez przekątną i dowolny bok:

P \u003d 2 (a + √ d 2 - a 2) \u003d 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. Wzór na obwód prostokąta wyrażony jako promień opisanego okręgu i dowolnego boku:

P \u003d 2 (a + √4R 2 - a 2) \u003d 2 (b + √4R 2 - b 2)

5. Wzór na obwód prostokąta przechodzący przez średnicę opisanego koła i dowolnego boku:

P \u003d 2 (a + √D o 2 - a 2) \u003d 2 (b + √D o 2 - b 2)

Obszar prostokąta

Definicja.

W obszarze prostokąta zwana przestrzenią ograniczoną bokami prostokąta, to znaczy w obwodzie prostokąta.

Wzory do określania powierzchni prostokąta

1. Wzór na pole prostokąta z dwóch boków:

S \u003d a b

2. Wzór na pole prostokąta z uwzględnieniem obwodu i dowolnego boku:

5. Wzór pola prostokąta z uwzględnieniem promienia opisanego koła i dowolnego boku:

S \u003d a √4R 2 - a 2 \u003d b √4R 2 - b 2

6. Wzór na pole prostokąta z uwzględnieniem średnicy opisanego koła i dowolnego boku:

S \u003d a √D o 2 - a 2 \u003d b √D o 2 - b 2

Okrąg otoczony prostokątem

Definicja.

Okrągły prostokąt nazywany jest okręgiem przechodzącym przez cztery wierzchołki prostokąta, którego środek leży na przecięciu przekątnych prostokąta.

Wzory do określania promienia okręgu opisanego wokół prostokąta

1. Wzór na promień okręgu opisanego wokół prostokąta z dwóch stron:

Prostokąt Jest czworobokiem, którego każdy róg jest właściwy.

Dowód

Właściwość jest wyjaśniona działaniem atrybutu 3 równoległoboku (czyli \\ angle A \u003d \\ angle C, \\ angle B \u003d \\ angle D)

2. Przeciwległe boki są równe.

AB \u003d CD, \\ enspace BC \u003d AD

3. Przeciwległe boki są równoległe.

AB \\ parallel CD, \\ enspace BC \\ parallel AD

4. Sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.

AB \\ perp BC, \\ enspace BC \\ perp CD, \\ enspace CD \\ perp AD, \\ enspace AD \u200b\u200b\\ perp AB

5. Przekątne prostokąta są równe.

AC \u003d BD

Dowód

Według właściwość 1 prostokąt jest równoległobokiem, co oznacza AB \u003d CD.

Dlatego \\ triangle ABD \u003d \\ triangle DCA w dwóch odnogach (AB \u003d CD i AD - joint).

Jeśli obie figury - ABC i DCA są identyczne, to ich przeciwprostokątne BD i AC są również identyczne.

Stąd AC \u003d BD.

Tylko prostokąt wszystkich figur (tylko równoległoboków!) Ma równe przekątne.

My też to udowodnimy.

ABCD - równoległobok \\ Rightarrow AB \u003d CD, AC \u003d BD według warunku. \\ Rightarrow \\ triangle ABD \u003d \\ triangle DCA już z trzech stron.

Okazuje się, że \\ angle A \u003d \\ angle D (podobnie jak kąty równoległoboku). I \\ angle A \u003d \\ angle C, \\ angle B \u003d \\ angle D.

Wydedukujemy to \\ angle A \u003d \\ angle B \u003d \\ angle C \u003d \\ angle D... Wszystkie mają 90 ^ (\\ circ). W sumie - 360 ^ (\\ circ).

Udowodniony!

6. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jej dwóch sąsiednich boków.

Właściwość ta jest poprawna na mocy twierdzenia Pitagorasa.

AC ^ 2 \u003d AD ^ 2 + CD ^ 2

7. Przekątna dzieli prostokąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne.

\\ triangle ABC \u003d \\ triangle ACD, \\ enspace \\ triangle ABD \u003d \\ triangle BCD

8. Punkt przecięcia przekątnych dzieli je na pół.

AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO

9. Punkt przecięcia przekątnych stanowi środek prostokąta i okręgu opisanego.

10. Suma wszystkich kątów wynosi 360 stopni.

\\ angle ABC + \\ angle BCD + \\ angle CDA + \\ angle DAB \u003d 360 ^ (\\ circ)

11. Wszystkie rogi prostokąta są proste.

\\ angle ABC \u003d \\ angle BCD \u003d \\ angle CDA \u003d \\ angle DAB \u003d 90 ^ (\\ circ)

12. Średnica koła opisanego wokół prostokąta jest równa przekątnej prostokąta.

13. Wokół prostokąta zawsze możesz opisać okrąg.

Ta właściwość jest prawdziwa, ponieważ suma przeciwnych rogów prostokąta wynosi 180 ^ (\\ circ)

\\ angle ABC \u003d \\ angle CDA \u003d 180 ^ (\\ circ), \\ enspace \\ angle BCD \u003d \\ angle DAB \u003d 180 ^ (\\ circ)

14. Prostokąt może zawierać wpisane koło i tylko jeden, jeśli ma takie same długości boków (jest kwadratem).

Ogólnie lewy prostokątny wzórna segmencie następująco (21) :

W tej formule x 0 \u003d a, x n \u003d b, ponieważ każda całka w ogólnej postaci wygląda tak: (patrz wzór 18 ).

h można obliczyć według wzoru 19 .

y 0 , y 1 , ..., y n-1 x 0 , x 1 , ..., x n-1 (x ja \u003d x i-1 + godz).

Wzór na prawe prostokąty.

Ogólnie prawy wzór prostokątana segmencie następująco (22) :

W tej formule x 0 \u003d a, x n \u003d b(patrz wzór dla lewych prostokątów).

h można obliczyć przy użyciu tego samego wzoru, co dla lewych prostokątów.

y 1 , y 2 , ..., y n są wartościami odpowiedniej funkcji f (x) w punktach x 1 , x 2 , ..., x n (x ja \u003d x i-1 + godz).

Formuła średnich prostokątów.

Ogólnie średni prostokątny wzórna segmencie następująco (23) :

Gdzie x ja \u003d x i-1 + godz.

W tej formule, podobnie jak w poprzednich, h jest wymagane do pomnożenia sumy wartości funkcji f (x), ale nie tylko do podstawiania odpowiednich wartości x 0 , x 1 , ..., x n-1 do funkcji f (x) i dodając do każdej z tych wartości h / 2(x 0 + h / 2, x 1 + h / 2, ..., x n-1 + h / 2), a następnie tylko podstawiając je do danej funkcji.

h można obliczyć przy użyciu tego samego wzoru, co dla lewych prostokątów. "[ 6 ]

W praktyce metody te realizowane są w następujący sposób:

Mathcad ;

Przewyższać .

Mathcad ;

Przewyższać .

Aby obliczyć całkę według wzoru na średnie prostokąty w Excelu, należy wykonać następujące czynności:

Kontynuuj pracę w tym samym dokumencie, co przy obliczaniu całki według wzorów z lewego i prawego prostokąta.

Wprowadź tekst xi + h / 2 w komórce E6 i f (xi + h / 2) w F6.

Wprowadź formułę \u003d B7 + $ B 4/2 $ w komórce E7, skopiuj tę formułę, przeciągając do zakresu komórek E8: E16

Wprowadź w komórce F7 formułę \u003d ROOT (E7 ^ 4-E7 ^ 3 + 8), skopiuj tę formułę, przeciągając do zakresu komórek F8: F16

Wprowadź formułę \u003d SUMA (F7: F16) w komórce F18.

Wprowadź formułę \u003d B4 * F18 w komórce F19.

Wprowadź tekst średnich w komórce F20.

W rezultacie otrzymujemy:

Odpowiedź: wartość podanej całki to 13,40797.

Na podstawie uzyskanych wyników możemy stwierdzić, że wzór na środkowe prostokąty jest najdokładniejszy niż wzory na prawy i lewy prostokąt.

1. Metoda Monte Carlo

„Główną ideą metody Monte Carlo jest powtarzanie testów losowych. Cechą charakterystyczną metody Monte Carlo jest wykorzystanie liczb losowych (wartości liczbowe pewnej zmiennej losowej). Liczby takie można uzyskać za pomocą czujników liczb losowych. Na przykład w języku programowania Turbo Pascal istnieje funkcja standardowa losowy , których wartości są liczbami losowymi równomiernie rozłożonymi na segmencie ... Oznacza to, że jeśli podzielimy określony segment na pewną liczbę równych przedziałów i obliczymy wartość funkcji losowej dużą liczbę razy, to w każdym przedziale znajdzie się w przybliżeniu taka sama liczba liczb losowych. W języku programowania dorzecza podobnym czujnikiem jest funkcja rnd. W arkuszu kalkulacyjnym MS Excel funkcja SKRAJ zwraca równomiernie rozłożoną liczbę losową większą lub równą 0 i mniejszą niż 1 (zmienia się po przeliczeniu) "[ 7 ].

Aby to obliczyć, musisz użyć wzoru () :

Gdzie (i \u003d 1, 2, ..., n) to liczby losowe leżące w przedziale .

Aby otrzymać takie liczby na podstawie ciągu liczb losowych x i, równomiernie rozłożonych w przedziale, wystarczy wykonać transformację x i \u003d a + (b-a) x i.

W praktyce ta metoda jest realizowana w następujący sposób:

Aby obliczyć całkę metodą Monte Carlo w programie Excel, należy wykonać następujące czynności:

W komórce B1 wprowadź tekst n \u003d.

Wprowadź tekst a \u003d w komórce B2.

W komórce B3 wprowadź tekst b \u003d.

Wprowadź liczbę 10 w komórce C1.

Wprowadź liczbę 0 w komórce C2.

Wprowadź liczbę 3.2 w komórce C3.

Wpisz I w komórce A5, w B5 - xi, w C5 - f (xi).

Wypełnij komórki A6: A15 liczbami 1, 2, 3, ..., 10 - ponieważ n \u003d 10.

Wprowadź w komórce B6 formułę \u003d RAND () * 3.2 (generowane są liczby z zakresu od 0 do 3,2), skopiuj tę formułę, przeciągając do zakresu komórek B7: B15.

Wprowadź w komórce C6 formułę \u003d ROOT (B6 ^ 4-B6 ^ 3 + 8), skopiuj tę formułę, przeciągając do zakresu komórek C7: C15.

Wpisz tekst „kwota” w komórce B16, „(b-a) / n” w B17, „I \u003d” w B18.

Wprowadź formułę \u003d SUMA (C6: C15) w komórce C16.

Wprowadź formułę \u003d (C3-C2) / C1 w komórce C17.

Wprowadź formułę \u003d C16 * C17 w komórce C18.

W efekcie otrzymujemy:

Odpowiedź: wartość podanej całki to 13,12416.

Oszacowanie pozostałej części wzoru: , lub .

Cel usługi... Serwis służy do obliczania całki oznaczonej w trybie online według wzoru prostokątów.

Instrukcja. Wprowadź całkę i f (x), kliknij Rozwiąż. Wynikowe rozwiązanie jest zapisywane w pliku Word. Tworzy również szablon rozwiązania w programie Excel. Poniżej znajduje się samouczek wideo.

Zasady wprowadzania funkcji

Przykłady
≡ x ^ 2 / (1 + x)
cos 2 (2x + π) ≡ (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ x + (x-1) ^ (2/3) To jest najprostsza formuła całkowa kwadraturowa wykorzystująca jedną wartość funkcji
(1)
gdzie; h \u003d x 1 -x 0.
Formuła (1) to formuła centralnego prostokąta. Obliczmy resztę. Rozwińmy funkcję y \u003d f (x) w szeregu Taylora w punkcie ε 0:
(2)
gdzie ε 1; x∈. Integrujemy (2):
(3)

W drugim członie całka jest nieparzysta, a granice całkowania są symetryczne względem punktu ε 0. Dlatego druga całka jest równa zero. Tak więc z (3) wynika .
Ponieważ drugi czynnik całki nie zmienia znaku, otrzymujemy twierdzenie o wartości średniej gdzie. Po integracji otrzymujemy . (4)
Porównując z resztą wzoru na trapez, widzimy, że błąd wzoru na prostokąt jest równy połowie błędu wzoru na trapez. Ten wynik jest poprawny, jeśli we wzorze prostokąta weźmiemy wartość funkcji w punkcie środkowym.
Otrzymujemy formułę prostokąta i resztę dla przedziału. Niech zostanie dana siatka x i \u003d a + ih, i \u003d 0,1, ..., n, h \u003d x i + 1 -x i. Rozważmy siatkę ε i \u003d ε 0 + ih, i \u003d 1,2, .., n, ε 0 \u003d a-h / 2. Następnie . (5)
Pozostały termin .
Geometrycznie wzór prostokątów można przedstawić na poniższym rysunku:

Jeśli funkcja f (x) jest podana w tabeli, to używana jest albo lewostronna formuła prostokąta (dla jednolitej siatki)

lub formuła prostokąta po prawej stronie

.
Błąd tych wzorów jest szacowany za pomocą pierwszej pochodnej. Dla interwału błąd wynosi

; .
Po integracji otrzymujemy.

Przykład. Oblicz całkę dla n \u003d 5:
a) według wzoru trapezowego;
b) według wzoru prostokątów;
c) według wzoru Simpsona;
d) według wzoru Gaussa;
e) według formuły Czebyszewa.
Oblicz błąd.
Decyzja. Dla 5 węzłów integracji krok siatki wyniesie 0,125.
Podczas rozwiązywania użyjemy tabeli wartości funkcji. Tutaj f (x) \u003d 1 / x.

	x		f (x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a) wzór trapezu:
I \u003d h / 2 ×;
I \u003d (0,125 / 2) × \u003d 0.696;
R \u003d [- (b-a) / 12] × h × y ¢¢ (x);
f ¢¢ (x) \u003d 2 / (x 3).
Maksymalna wartość drugiej pochodnej funkcji na przedziale to 16: max (f ¢¢ (x)), xÎ \u003d 2 / (0,5 3) \u003d 16, dlatego
R \u003d [- (1-0,5) / 12] × 0,125 × 16 \u003d - 0.0833;
b) wzór prostokąta:
dla wzoru po lewej stronie I \u003d h × (y0 + y1 + y2 + y3);
I \u003d 0,125 × (2 + 1,6 + 1,33 + 1,14) \u003d 0.759;
R \u003d [(b-a) / 6] × h 2 × y ¢¢ (x);
R \u003d [(1-0,5) / 6] × 0,125 2 × 16 \u003d 0.02;
c) wzór Simpsona:
I \u003d (2h / 6) × (y0 + y4 + 4 × (y1 + y3) + 2 × y2);
I \u003d (2 × 0,125) / 6 × (2 + 1 + 4 × (1,6 + 1,14) + 2 × 1,33) \u003d 0.693;
R \u003d [- (b-a) / 180] × h 4 × y (4) (x);
f (4) (x) \u003d 24 / (x 5) \u003d 768;
R \u003d [- (1-0,5) / 180] × (0,125) 4 × 768 = - 5.2 mi-4;
d) wzór Gaussa:
I \u003d (b-a) / 2 ×;
x i \u003d (b + a) / 2 + t i (b-a) / 2
(A i, t i - wartości tabelaryczne).

				t (n \u003d 5)		A (n \u003d 5)
x1	0.9765	y1	1.02	t 1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t 2	0.53846931	A 2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t 3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t 4	-0.53846931	A 4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t 5	-0.90617985	A 5	0.23692688

I \u003d (1-0,5) / 2 × (0,2416 + 0,5408 + 0,7566 + 0,7777 + 0,4525) \u003d 0.6923;
e) Wzór Czebyszewa:
I \u003d [(b-a) / n] × S f (x i), i \u003d 1..n,
x i \u003d (b + a) / 2 + [t i (b-a)] / 2 - niezbędna redukcja przedziału całkowania do przedziału [-1; 1].
Dla n \u003d 5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Znajdźmy wartości x i wartości funkcji w tych punktach:

x1	0,958	f (x1)	1,043
x2	0,844	f (x2)	1,185
x3	0,75	f (x3)	1,333
x4	0,656	f (x4)	1,524
x5	0,542	f (x5)	1,845

Suma wartości funkcji wynosi 6,927.
I \u003d (1-0,5) / 5 × 6,927 \u003d 0,6927.

Jednym z podstawowych pojęć w matematyce jest obwód prostokąta. Istnieje wiele problemów na ten temat, przy rozwiązywaniu których nie można obejść się bez wzoru na obwód i umiejętności jego obliczenia.

Podstawowe koncepcje

Prostokąt to czworokąt, w którym wszystkie rogi są prawidłowe, a przeciwległe boki są równe i równoległe parami. W naszym życiu wiele figurek ma kształt prostokąta, na przykład blat stołu, zeszyt i tak dalej.

Rozważmy przykład: wzdłuż granic działki należy umieścić ogrodzenie. Aby poznać długość każdej strony, musisz je zmierzyć.

Postać: 1. Działka w kształcie prostokąta.

Działka posiada boki o długości 2 m., 4 m., 2 m., 4 m. Ponieważ w celu ustalenia całkowitej długości ogrodzenia należy doliczyć długości wszystkich boków:

2 + 2 + 4 + 4 \u003d 2 2 + 4 2 \u003d (2 + 4) 2 \u003d 12 m.

To ta wartość w ogólnym przypadku nazywana jest obwodem. Tak więc, aby znaleźć obwód, wszystkie boki figury muszą być złożone. Litera P służy do wskazania obwodu.

Aby obliczyć obwód prostokątnej figury, nie musisz dzielić jej na prostokąty, musisz zmierzyć linijką (centymetrem) tylko wszystkie boki tej figury i znaleźć ich sumę.

Obwód prostokąta jest mierzony w mm, cm, m, km i tak dalej. W razie potrzeby dane w zadaniu są tłumaczone na ten sam system pomiarowy.

Obwód prostokąta jest mierzony w różnych jednostkach: mm, cm, m, km i tak dalej. W razie potrzeby dane w zadaniu są przenoszone do jednego systemu pomiarowego.

Kształt obwodu

Jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że przeciwległe boki prostokąta są równe, możemy wyprowadzić wzór na obwód prostokąta:

$ P \u003d (a + b) * 2 $, gdzie a, b to boki figury.

Postać: 2. Prostokąt ze wskazanymi przeciwległymi bokami.

Istnieje inny sposób na znalezienie obwodu. Jeśli zadanie ma tylko jedną stronę i obszar figury, możesz użyć, aby wyrazić drugą stronę przez obszar. Wtedy formuła będzie wyglądać następująco:

$ P \u003d ((2S + 2a2) \\ over (a)) $, gdzie S jest polem prostokąta.

Postać: 3. Prostokąt o bokach a, b.

Zadanie : Oblicz obwód prostokąta, jeśli jego boki mają 4 cm i 6 cm.

Decyzja:

Używamy wzoru $ P \u003d (a + b) * 2 $

$ P \u003d (4 + 6) * 2 \u003d 20 cm $

Zatem obwód figury wynosi $ P \u003d 20 cm $.

Ponieważ obwód jest sumą wszystkich boków figury, półobwód jest sumą tylko jednej długości i szerokości. Aby uzyskać obwód, musisz pomnożyć pół obwodu przez 2.

Powierzchnia i obwód to dwie podstawowe koncepcje pomiaru dowolnego kształtu. Nie należy ich mylić, chociaż są one powiązane. Jeśli zwiększysz lub zmniejszysz obszar, odpowiednio jego obwód zwiększy się lub zmniejszy.

Czego się nauczyliśmy?

Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć obwód prostokąta. A także zapoznałem się ze wzorem do jego obliczania. Z tym tematem można się spotkać nie tylko podczas rozwiązywania problemów matematycznych, ale także w prawdziwym życiu.

Testuj według tematu

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.5. Otrzymane oceny ogółem: 365.