Wartości względne. Wartość względna jest wynikiem podzielenia (porównania) dwóch wartości bezwzględnych. Porównanie średnich Jakie wartości można ze sobą porównać
Wartość względna jest wynikiem dzielenia (porównywania) dwóch wartości bezwzględnych. Licznikiem ułamka jest porównywana wartość, a mianownikiem porównywana wartość (podstawa porównania). Na przykład, jeśli porównamy eksport Stanów Zjednoczonych i Rosji, który w 2005 r. wyniósł odpowiednio 904,383 i 243,569 mld dolarów, to wartość względna wykaże, że wartość eksportu USA jest 3,71 razy (904,383/243,569) większa niż Rosyjski eksport, natomiast porównaniem bazowym jest wartość eksportu Rosji. Otrzymana wartość względna jest wyrażona jako współczynnik, który pokazuje, ile razy porównywana wartość bezwzględna jest większa niż wartość podstawowa. W tym przykładzie baza porównawcza jest traktowana jako jedna. Jeżeli jako podstawę przyjmuje się 100, wartość względną wyraża się jako procent (% ), jeśli za 1000 - w ppm (‰ ). Wybór takiej czy innej formy względnej wartości zależy od jej wartości bezwzględnej:
- jeśli porównywana wartość jest ponad 2 razy większa od podstawy porównania, to wybierz formę współczynnika (jak w powyższym przykładzie);
- jeśli wartość względna jest bliska jedności, to z reguły wyraża się ją w procentach (na przykład porównując wartości eksportu Rosji w 2006 i 2005 r., które wynosiły odpowiednio 304,5 i 243,6 mld dolarów, można powiedzieć, że eksport w 2006 r. wyniósł 125% w 2005 r.);
- jeśli wartość względna jest znacznie mniejsza niż jeden (bliska zeru), wyraża się ją w ppm (np. w 2004 roku Rosja wyeksportowała do krajów WNP łącznie 4142 tys. ton produktów naftowych, w tym 10,7 tys. ton do Gruzji, czyli 0,0026 lub 2,6 ‰ z całego eksportu produktów naftowych do krajów WNP).
Istnieją względne wartości dynamiki, struktury, koordynacji, porównania i intensywności, dla zwięzłości, o których mowa w dalszej części. indeksy.
Indeks dynamiczny charakteryzuje zmianę dowolnego zjawiska w czasie. Jest to stosunek wartości tej samej wartości bezwzględnej w różnych okresach czasu. Wskaźnik ten określa wzór (2):
gdzie liczby oznaczają: 1 - okres sprawozdawczy lub analizowany, 0 - okres ostatni lub bazowy.
Kryterium wartości wskaźnika dynamiki wynosi jeden (lub 100%), czyli jeśli >1, to następuje wzrost (wzrost) zjawiska w czasie; jeśli =1 – stabilność; Jeśli<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – zmień indeks, odejmując jednostkę (100%), uzyskaj tempo zmian (dynamika) o wartości kryterium 0, którą określa wzór (3):
Jeśli T>0 to następuje wzrost zjawiska; T=0 - stabilność, T<0 – спад.
W powyższym przykładzie dotyczącym rosyjskiego eksportu w latach 2006 i 2005 był to wskaźnik dynamiki obliczony ze wzoru (2): ID= 304,5/243,6*100% = 125%, czyli więcej niż wartość kryterium 100%, co wskazuje na wzrost eksportu. Korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy tempo zmian: T= 125% - 100% = 25%, co pokazuje, że eksport wzrósł o 25%.
Odmiany wskaźnika dynamiki to wskaźniki zaplanowanego zadania i wykonania planu, obliczone dla planowania różnych ilości i monitorowania ich realizacji.
Indeks zaplanowanych zadań to stosunek planowanej wartości cechy do wartości bazowej. Określa go wzór (4):
gdzie X' 1– planowana wartość; x0 jest wartością podstawową funkcji.
Np. administracja celna w 2006 roku przekazała do budżetu federalnego 160 mld rubli, a w przyszłym roku planowała przekazać 200 mld rubli, czyli zgodnie ze wzorem (4): ja pz= 200/160 = 1,25, czyli cel dla administracji celnej na 2007 r. to 125% roku poprzedniego.
Aby określić procent realizacji planu, należy obliczyć wskaźnik wykonania planu, czyli stosunek zaobserwowanej wartości atrybutu do planowanej (optymalnej, maksymalnej możliwej) wartości według wzoru (5):
Na przykład za styczeń-listopad 2006 r. organy celne planowały przekazać do budżetu federalnego 1,955 bln rubli. rubli, ale faktycznie przeniesiono 2,59 biliona. pocierać, oznacza wzór (5): ja wiceprezes= 2,59 / 1,955 = 1,325, czyli 132,5%, czyli zaplanowane zadanie zostało wykonane o 132,5%.
Indeks struktury (udział) to stosunek dowolnej części obiektu (zestawu) do całego obiektu. Określa się ją wzorem (6):
W powyższym przykładzie dotyczącym eksportu produktów naftowych do krajów WNP udział tego eksportu do Gruzji obliczono ze wzoru (6): D\u003d 10,7 / 4142 \u003d 0,0026 lub 2,6 ‰ .
Wskaźnik koordynacji- jest to stosunek dowolnej części obiektu do innej jego części, przyjmowany za podstawę (podstawa porównania). Określa go wzór (7):
Np. import Rosji w 2006 r. wyniósł 163,9 mld dolarów, następnie porównując go z eksportem (baza porównawcza) obliczamy wskaźnik koordynacyjny za pomocą wzoru (7): ja K= 163,9/304,5 = 0,538, co pokazuje stosunek obu składników obrotów handlu zagranicznego, czyli wartość importu Rosji w 2006 r. stanowi 53,8% wartości eksportu. Zmieniając bazę porównawczą na import, korzystając z tej samej formuły, otrzymujemy: ja K= 304,5/163,9 = 1,858, czyli eksport Rosji w 2006 roku jest 1,858 razy większy niż import, czyli eksport stanowi 185,8% importu.
Indeks porównawczy- jest to porównanie (stosunek) różnych obiektów według tych samych cech. Określa go wzór (8):
gdzie A, b- porównywane obiekty.
W omówionym powyżej przykładzie, w którym porównywany był eksport Stanów Zjednoczonych i Rosji, to właśnie wskaźnik porównawczy obliczono za pomocą wzoru (8): jest= 904,383/243,569 = 3,71. Zmieniając bazę porównania (czyli eksport rosyjski to obiekt A, a eksport amerykański to obiekt B), używając tej samej formuły, otrzymujemy: jest= 243,569 / 904,383 = 0,27, czyli rosyjski eksport stanowi 27% eksportu USA.
Wskaźnik intensywności- jest to stosunek różnych cech jednego obiektu do siebie. Określa go wzór (9):
gdzie x– jeden atrybut przedmiotu; Y- inny znak tego samego przedmiotu
Na przykład wskaźniki produkcji na jednostkę czasu pracy, koszty na jednostkę produkcji, ceny jednostkowe itp.
Od najdawniejszych czasów ludzie poważnie interesowali się pytaniem, jak najwygodniej porównywać wielkości wyrażone w różnych wartościach. I to nie tylko naturalna ciekawość. Człowiek najstarszych cywilizacji ziemskich przywiązywał do tej dość trudnej sprawy znaczenie czysto aplikacyjne. Prawidłowe zmierzenie gruntu, określenie wagi produktu na rynku, obliczenie wymaganego stosunku towarów w handlu barterowym, określenie prawidłowej dawki winogron przy zbiorze wina - to tylko niektóre z zadań, które często pojawiały się w i tak już trudnym życiu naszych przodków. Dlatego ludzie słabo wykształceni i niepiśmienni, jeśli trzeba, żeby porównać wartości, szli po radę do swoich bardziej doświadczonych towarzyszy i często brali za taką usługę odpowiednią łapówkę, zresztą całkiem niezłą.
Co można porównać
W dzisiejszych czasach ta lekcja odgrywa również znaczącą rolę w procesie studiowania nauk ścisłych. Oczywiście wszyscy wiedzą, że konieczne jest porównywanie wartości jednorodnych, czyli jabłek z jabłkami i buraków z burakami. Nikomu nie przyszłoby do głowy, aby spróbować wyrazić stopnie Celsjusza w kilometrach lub kilogramach w decybelach, ale od dzieciństwa znamy długość wężyka boa u papug (dla tych, którzy nie pamiętają: w jednym dusicie boa jest 38 papug). . Chociaż papugi są również różne, a w rzeczywistości długość boa dusiciela będzie się różnić w zależności od podgatunku papugi, ale są to szczegóły, które postaramy się ustalić.
Wymiary
Gdy zadanie mówi: „Porównaj wartości wielkości”, konieczne jest sprowadzenie tych samych ilości do tego samego mianownika, to znaczy wyrażenie ich w tych samych wartościach w celu ułatwienia porównania. Oczywiste jest, że wielu z nas nie będzie trudno porównać wartość wyrażoną w kilogramach z wartością wyrażoną w centach czy w tonach. Istnieją jednak wielkości jednorodne, które można wyrazić w różnych wymiarach, a ponadto w różnych systemach pomiarowych. Spróbuj na przykład porównać lepkości kinematyczne i określić, który płyn jest bardziej lepki w centystoksach i metrach kwadratowych na sekundę. Nie działa? I to nie zadziała. Aby to zrobić, musisz odzwierciedlić obie wartości w tych samych wartościach, a już przez wartość liczbową, aby określić, która z nich jest lepsza od przeciwnika.
System miar
Aby zrozumieć, jakie wielkości można porównać, spróbujmy przywołać istniejące systemy pomiarowe. Aby zoptymalizować i przyspieszyć procesy rozliczeniowe w 1875 roku siedemnaście krajów (m.in. Rosja, USA, Niemcy itd.) podpisało konwencję metryczną i zdefiniowało metryczny system miar. W celu opracowania i utrwalenia standardów metra i kilograma powołano Międzynarodowy Komitet Miar i Wag, a w Paryżu utworzono Międzynarodowe Biuro Miar i Wag. System ten ostatecznie przekształcił się w Międzynarodowy Układ Jednostek, SI. Obecnie system ten jest przyjmowany przez większość krajów w dziedzinie obliczeń technicznych, w tym w tych krajach, w których w życiu codziennym tradycyjnie stosuje się systemy krajowe (np. USA i Anglia).
GHS
Jednak równolegle z ogólnie przyjętym standardem norm opracowano inny, mniej wygodny system CGS (centymetr-gram-sekunda). Został zaproponowany w 1832 roku przez niemieckiego fizyka Gaussa, aw 1874 zmodernizowany przez Maxwella i Thompsona, głównie w dziedzinie elektrodynamiki. W 1889 roku zaproponowano wygodniejszy system ISS (metr-kilogram-sekunda). Porównywanie obiektów według wielkości referencyjnych wartości metra i kilograma jest dla inżynierów znacznie wygodniejsze niż używanie ich pochodnych (centy-, mili-, decy- itp.). Jednak koncepcja ta również nie znalazła masowego oddźwięku w sercach tych, dla których była przeznaczona. Na całym świecie był aktywnie rozwijany i używany, dlatego obliczenia w CGS były przeprowadzane coraz rzadziej, a po 1960 roku, wraz z wprowadzeniem systemu SI, CGS praktycznie wyszedł z użycia. Obecnie CGS jest faktycznie stosowany w praktyce tylko w obliczeniach w mechanice teoretycznej i astrofizyce, a następnie ze względu na prostszą formę zapisywania praw elektromagnetyzmu.
Instrukcja krok po kroku
Przeanalizujmy szczegółowo przykład. Załóżmy, że problem brzmi: „Porównaj wartości 25 ton i 19570 kg. Która z wartości jest większa?” Pierwszą rzeczą do zrobienia jest ustalenie w jakich ilościach podaliśmy wartości. Tak więc pierwsza wartość jest podawana w tonach, a druga - w kilogramach. W drugim kroku sprawdzamy, czy kompilatorzy problemu nie próbują nas zwieść, próbując zmusić nas do porównania niejednorodnych wielkości. Są też takie zadania pułapkowe, zwłaszcza w szybkich testach, gdzie na każde pytanie dajemy 20-30 sekund. Jak widać wartości są jednorodne: zarówno w kilogramach, jak i tonach mierzymy masę i wagę ciała, więc drugi test został zdany z wynikiem pozytywnym. W trzecim kroku przekładamy kilogramy na tony lub odwrotnie, tony na kilogramy, aby ułatwić porównanie. W pierwszej wersji uzyskuje się 25 i 19,57 ton, a w drugiej: 25 000 i 19 570 kilogramów. A teraz możesz spokojnie porównać wielkości tych wartości. Jak widać, pierwsza wartość (25 ton) w obu przypadkach jest większa od drugiej (19570 kg).
Majdan
Jak wspomniano powyżej, współczesne testy zawierają wiele zadań zwodniczych. Niekoniecznie są to zadania, które przeanalizowaliśmy, dość nieszkodliwe pytanie może okazać się pułapką, zwłaszcza takie, na które nasuwa się całkowicie logiczna odpowiedź. Jednak oszustwo z reguły tkwi w szczegółach lub w małym niuansie, który kompilatorzy zadania starają się ukryć w każdy możliwy sposób. Np. zamiast pytania znanego Ci już z analizowanych problemów z sformułowaniem pytania: „Porównaj wartości tam, gdzie to możliwe” – kompilatorzy testu mogą po prostu poprosić Cię o porównanie wskazanych wartości i wybrać wartości są uderzająco do siebie podobne. Na przykład kg * m / s 2 i m / s 2. W pierwszym przypadku jest to siła działająca na obiekt (niutony), a w drugim przyspieszenie ciała, czyli m/s 2 i m/s, gdzie należy porównać przyspieszenie z prędkością ciało, czyli absolutnie niejednorodne ilości.
Złożone porównania
Jednak bardzo często w zadaniach podaje się dwie wartości, wyrażone nie tylko w różnych jednostkach miary i w różnych systemach liczenia, ale także różniące się od siebie specyfiką znaczenia fizycznego. Na przykład opis problemu mówi: „Porównaj wartości lepkości dynamicznej i kinematycznej i określ, która ciecz jest bardziej lepka”. W tym przypadku wartości są podane w jednostkach SI, czyli w m 2 / s, a dynamiczne - w CGS, czyli w puza. Jak postępować w takim przypadku?
Aby rozwiązać takie problemy, możesz skorzystać z instrukcji przedstawionych powyżej z niewielkim dodatkiem. Decydujemy, w którym z systemów będziemy pracować: niech to będzie ogólnie przyjęte wśród inżynierów. W drugim kroku sprawdzamy też, czy to pułapka? Ale i w tym przykładzie wszystko jest czyste. Porównujemy dwa płyny pod względem tarcia wewnętrznego (lepkość), więc obie wartości są jednorodne. Trzecim krokiem jest konwersja z równowagi na drugi pascal, czyli na ogólnie przyjęte jednostki układu SI. Następnie tłumaczymy lepkość kinematyczną na dynamiczną, mnożąc ją przez odpowiednią wartość gęstości cieczy (wartość tabelaryczna) i porównujemy otrzymane wyniki.
Poza systemem
Istnieją również jednostki miary niesystemowe, czyli takie, które nie są ujęte w SI, ale zgodne z wynikami decyzji zwołania Generalnej Konferencji Miar (GCVM), dopuszczalne do udostępnienia SI. Możliwe jest porównanie takich wielkości ze sobą tylko wtedy, gdy sprowadzimy je do ogólnej postaci w normie SI. Jednostki niesystemowe obejmują takie jednostki jak minuta, godzina, dzień, litr, elektronowolt, węzeł, hektar, bar, angstrem i wiele innych.
Najpierw rozważ problem porównania wartości zmierzonej w eksperymencie ze stałą a. Wartość można określić tylko w przybliżeniu, obliczając średnią z pomiarów. Musimy się dowiedzieć, czy związek się utrzymuje. W tym przypadku postawione są dwa zadania, bezpośrednie i odwrotne:
a) ze znanej wartości znajdź stałą a, która jest przekroczona z określonym prawdopodobieństwem
b) znajdź prawdopodobieństwo, że , gdzie a jest daną stałą.
Oczywiście, jeśli to prawdopodobieństwo, że jest mniejsze niż 1/2. Ta sprawa nie jest interesująca, a dalej założymy, że
Problem sprowadza się do problemów omówionych w rozdziale 2. Niech X i jego standard będą określone przez pomiary
Liczba pomiarów będzie uważana za niezbyt małą, więc istnieje zmienna losowa o normalnym rozkładzie. Następnie z kryterium Studenta (9), uwzględniając symetrię rozkładu normalnego, wynika, że dla arbitralnie wybranego prawdopodobieństwa warunek
Przepiszmy to wyrażenie w następującej formie:
gdzie są współczynniki Studenta podane w Tabeli 23. W ten sposób rozwiązano problem bezpośredni: znaleziono stałą a, która z prawdopodobieństwem przekracza
Problem odwrotny rozwiązuje się za pomocą prostego. Przepiszmy formuły (23) w następujący sposób:
Oznacza to, że musisz obliczyć t ze znanych wartości a, wybrać wiersz z danymi w tabeli 23 i znaleźć odpowiednią wartość z wartości t. Określa to pożądane prawdopodobieństwo
Dwie zmienne losowe. Często wymagane jest ustalenie wpływu jakiegoś czynnika na badaną ilość - na przykład, czy (i w jakim stopniu) dany dodatek zwiększa wytrzymałość metalu. Aby to zrobić, należy zmierzyć wytrzymałość pierwotnego metalu i wytrzymałość stopu y i porównać te dwie wielkości, tj. znaleźć
Porównywane wartości są losowe; Tak więc właściwości określonego gatunku metalu różnią się w zależności od ciepła, ponieważ surowce i reżim topienia nie są dokładnie takie same. Oznaczmy te ilości przez . Wielkość badanego efektu jest równa i konieczne jest określenie, czy warunek jest spełniony
Tym samym problem sprowadzał się do porównania zmiennej losowej ze stałą a omówioną powyżej. Problemy porównania bezpośredniego i odwrotnego w tym przypadku są sformułowane w następujący sposób:
a) na podstawie wyników pomiarów znaleźć stałą a, która z określonym prawdopodobieństwem przekracza (tj. oszacuj wielkość badanego efektu);
b) określić prawdopodobieństwo, że gdzie a jest pożądaną wielkością efektu; oznacza to, że konieczne jest określenie prawdopodobieństwa, z jakim
Aby rozwiązać te problemy, należy obliczyć z i wariancję tej wielkości. Przyjrzyjmy się dwóm sposobom ich znalezienia.
Niezależne pomiary. Zmierzmy wartość w eksperymentach i wartość w eksperymentach niezależnie od pierwszych eksperymentów. Średnie wartości obliczamy za pomocą zwykłych formuł:
Te średnie są same w sobie zmiennymi losowymi, a ich standardy (nie mylić ze standardami pojedynczych pomiarów!) są w przybliżeniu określone przez bezstronne szacunki:
Ponieważ eksperymenty są niezależne, zmienne losowe x i y są również niezależne, więc odejmuje się ich wartości średnie i dodaje się ich wariancje:
Nieco dokładniejsze oszacowanie wariancji to:
W ten sposób stwierdza się również jego rozrzut, a dalsze obliczenia wykonuje się za pomocą wzorów (23) lub (24).
Spójne pomiary. Większą dokładność uzyskuje się inną metodą przetwarzania, gdy w każdym z eksperymentów jednocześnie mierzymy . Na przykład, po uwolnieniu połowy wytopu, do metalu pozostającego w piecu dodaje się dodatek, a następnie porównuje się próbki metalu z każdej połowy wytopu.
W tym przypadku w zasadzie w każdym eksperymencie od razu mierzy się wartość jednej zmiennej losowej, którą należy porównać ze stałą a. Pomiary są następnie przetwarzane zgodnie ze wzorami (21)–(24), gdzie z należy wszędzie podstawić.
Wariancja dla spójnych pomiarów będzie mniejsza niż dla niezależnych, ponieważ wynika to tylko z części czynników losowych: te czynniki, które konsekwentnie się zmieniają, nie wpływają na rozrzut ich różnicy. Dlatego ta metoda pozwala na uzyskanie bardziej wiarygodnych wniosków.
Przykład. Ciekawą ilustracją porównania wartości jest wyłonienie zwycięzcy w tych sportach, w których ocenianie odbywa się „na oko” – gimnastyka, łyżwiarstwo figurowe itp.
Tabela 24. Wyniki oceny
Tabela 24 przedstawia protokół zawodów ujeżdżeniowych na Igrzyskach Olimpijskich w 1972 r. Widać, że rozrzut ocen sędziowskich jest duży i ani jednej oceny nie można uznać za rażąco błędną i odrzuconą. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że wiarygodność ustalenia zwycięzcy jest niska.
Obliczmy, jak poprawnie wyłoniono zwycięzcę, czyli jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia. Ponieważ obaj jeźdźcy byli oceniani przez tych samych sędziów, można zastosować metodę skoordynowanych pomiarów. Zgodnie z tabelą 24 obliczamy podstawiając te wartości do wzoru (24) i otrzymujemy .
Wybierając wiersz w tabeli 23 stwierdzamy, że ta wartość t odpowiada Stąd, czyli z prawdopodobieństwem 90% złoty medal został przyznany prawidłowo.
Porównanie metodą niezależnego pomiaru da nieco gorszy wynik, ponieważ nie wykorzystuje informacji, że oceny wystawili ci sami sędziowie.
Porównanie wariancji. Niech będzie wymagane porównanie dwóch metod doświadczalnych. Oczywiście dokładniejsza metoda to taka, w której wariancja pojedynczego pomiaru jest mniejsza (oczywiście, jeśli błąd systematyczny się nie zwiększa). Musimy więc ustalić, czy nierówność jest zaspokojona.
Wartości średnie
W medycynie klinicznej i praktyce zdrowia publicznego często spotykamy się z cechami ilościowymi (wzrost, liczba dni niezdolności do pracy, poziom ciśnienia krwi, wizyty w przychodni, populacja na miejscu itp.). Wartości ilościowe mogą być dyskretne lub ciągłe. Przykładem wartości dyskretnej jest liczba dzieci w rodzinie, puls; przykładem wartości ciągłej jest ciśnienie krwi, wzrost, waga (liczba może być ułamkiem, przechodząc w następną)
Każda wartość liczbowa jednostki obserwacji jest nazywana opcja(x). Jeśli zbudujesz wszystkie opcje w porządku rosnącym lub malejącym i wskażesz częstotliwość każdej opcji (p), to możesz uzyskać tzw. seria wariacji.
Szereg wariacyjny o rozkładzie normalnym przedstawia graficznie dzwon (histogram, wielokąt).
Aby scharakteryzować szereg wariacyjny, który ma rozkład normalny (lub rozkład Gaussa-Lyapunowa), zawsze używane są dwie grupy parametrów:
1. Parametry charakteryzujące główny trend szeregu: wartość średnia (`x), moda (Mo), mediana (Me).
2. Parametry charakteryzujące rozrzut szeregu: odchylenie standardowe (d), współczynnik zmienności (V).
Średnia wartość(`x) to wartość określająca jedną liczbą cechę ilościową jakościowo jednorodnej populacji.
Moda (Mo)- najczęstszy wariant serii wariacji.
Mediana (ja)- wariant, który dzieli serię wariacji na równe połowy.
Odchylenie standardowe(d) pokazuje, jak średnio każda opcja odbiega od średniej.
Współczynnik zmienności (V) określa w procentach zmienność szeregu zmienności i umożliwia ocenę jednorodności jakościowej badanej populacji. Wskazane jest wykorzystanie do porównania zmienności różnych cech (a także stopnia zmienności bardzo różnych grup, grup osobników różnych gatunków, np. masy noworodków i dzieci siedmioletnich).
Limity lub limity(lim) – minimalna i maksymalna wartość opcji. najprostszy sposób na scharakteryzowanie szeregu wariacyjnego, wskazanie jego zakresu, wartości minimalnych i maksymalnych szeregu, tj. jego granice. Granice nie wskazują jednak, w jaki sposób rozkładają się poszczególni członkowie populacji według badanej cechy, dlatego stosuje się powyższe dwie grupy parametrów szeregu zmienności.
Istnieją różne modyfikacje obliczania parametrów szeregu wariacyjnego. Ich wybór zależy od samej serii odmian i środków technicznych.
W zależności od tego, jak zmienia się znak - dyskretnie lub w sposób ciągły, w szerokim lub wąskim zakresie rozróżnia się szeregi proste nieważone, proste ważone (dla wartości dyskretnych) i przedziałowe (dla wartości ciągłych).
Grupowanie serii odbywa się z dużą liczbą obserwacji w następujący sposób:
1. Określ zakres serii, odejmując minimalną opcję od maksymalnej.
2. Wynikową liczbę dzieli się przez żądaną liczbę grup (minimalna liczba to 7, maksymalna to 15). Tak definiuje się interwał.
3. Zaczynając od opcji minimalnej, zbuduj serię odmian. Granice interwałów powinny być jasne, wykluczając wpisanie tej samej opcji do różnych grup.
Obliczenie parametrów szeregu wariacyjnego odbywa się z wariantu centralnego. Jeżeli szereg jest ciągły, to wariant centralny jest obliczany jako połowa sumy początkowego wariantu poprzedniej i kolejnych grup. Jeśli jest to szereg nieciągły, wariant centralny jest obliczany jako połowa sumy wariantu początkowego i końcowego w grupie.
Obliczanie parametrów szeregu wariacyjnego
Algorytm obliczania parametrów prostego nieważonego szeregu wariacyjnego:
1. Ułóż opcje w kolejności rosnącej
2. Sumuj wszystkie opcje (Sx);
3. Dzieląc sumę przez liczbę obserwacji, otrzymuje się średnią nieważoną;
4. Oblicz numer seryjny mediany (Me);
5. Określ wariant mediany (Me)
6. Znajdź odchylenie (d) każdej opcji od średniej (d = x -`x)
7. Podnieś odchylenie do kwadratu (d 2);
8. Suma d 2 (Sd 2);
9. Oblicz odchylenie standardowe według wzoru: ± ;
10. Wyznacz współczynnik zmienności według wzoru: 
.
11. Wyciągnij wnioski na temat wyników.
Notatka: w jednorodnej populacji statystycznej współczynnik zmienności wynosi 5-10%, 11-20% - średnia zmienność, ponad 20% - duża zmienność.
Przykład:
Na oddziale resuscytacji i intensywnej terapii leczono 9 pacjentów ze zmianami naczyniowymi mózgu. Czas trwania leczenia dla każdego pacjenta w dniach: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5.11.
1. Budujemy serię wariacyjną (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12
2. Oblicz opcję sumy: Sx = 72
3. Oblicz średnią wartość serii odmian: =72/9=8 dni;
4. 
;
5. Me n =5 =8 dni;
| x | D | d2 |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| +1 | ||
| +2 | ||
| +3 | ||
| +4 | ||
| S=72 | S=0 | Sd2=60 |
9. 
(dni);
10. Współczynnik zmienności wynosi: ;
Algorytm obliczania parametrów prostej ważonej serii wariacyjnej:
1. Uporządkuj opcje w kolejności rosnącej, wskazując ich częstotliwość (p);
2. Pomnóż każdą opcję przez jej częstotliwość (x * p);
3. Suma produktów xp (Sxp);
4. Oblicz średnią wartość ze wzoru (`x)= ;
5. Znajdź numer seryjny mediany;
6. Określ wariant mediany (Me);
7. Najpopularniejszym wariantem jest moda (Mo);
8. Znajdź odchylenia d każdej opcji od średniej (d = x - `x);
9. Podnieś odchylenia do kwadratu (d 2);
10. Pomnóż d 2 przez p (d 2 *p);
11. Suma d 2 *p (Sd 2 *p);
12. Obliczyć odchylenie standardowe (s) według wzoru: ± ;
13. Wyznacz współczynnik zmienności według wzoru: .
Przykład.
Skurczowe ciśnienie krwi mierzono u dziewcząt w wieku 16 lat.
| Skurczowe ciśnienie krwi, mm Hg x | Liczba zbadanych, p | x*p | D | d2 | d2*p |
| -11.4 | 130.0 | 260.0 | |||
| -9.4 | 88.4 | 265.2 | |||
| -7.4 | 54.8 | 219.2 | |||
| -5.4 | 29.2 | 175.2 | |||
| -1.4 | 2.0 | 20.0 | |||
| +0.6 | 0.4 | 9.6 | |||
| 2.6 | 6.8 | 40.8 | |||
| 4.6 | 21.2 | 84.8 | |||
| 6.6 | 43.6 | 130.8 | |||
| 10.6 | 112.4 | 337.2 | |||
| 12.6 | 158.8 | 317.6 | |||
| n=67 | Sxp=7194 | Sd 2 p=1860.4 |
mmHg;
MmHg.
;
Me=108 mm Hg; Mo=108 mmHg
Algorytm obliczania parametrów zgrupowanego szeregu wariacyjnego metodą momentów:
1. Uporządkuj opcje w kolejności rosnącej, wskazując ich częstotliwość (p)
2. Przytrzymaj opcję grupowania
3. Oblicz wariant centralny
4. Za średnią warunkową przyjmuje się wariant o największej częstotliwości (A)
5. Oblicz odchylenie warunkowe (a) każdej opcji centralnej od średniej warunkowej (A)
6. Pomnóż a przez p (a * p)
7. Podsumuj produkty ar
8. Określ wartość przedziału y, odejmując opcję środkową od poprzedniej
9. Oblicz średnią wartość według wzoru:
;
10. Aby obliczyć warunkowe odchylenie kwadratowe, odchylenia warunkowe są podnoszone do kwadratu (a 2)
11. Pomnóż 2 * p
12. Podsumuj produkty a * p 2
13. Oblicz odchylenie standardowe ze wzoru
Przykład
Dostępne dane dla mężczyzn w wieku 30-39 lat
| masa, kg x | Liczba ankietowanych p | Opcja środkowa x s | a | 2 | 2 *p | a*r | Skumulowane częstotliwości |
| 45-49 | 47,5 | -4 | -4 | ||||
| 50-54 | 52,5 | -3 | -9 | ||||
| 55-59 | 57,5 | -2 | -14 | ||||
| 60-64 | 62,5 | -1 | -10 | ||||
| 65-69 | 67,5 | ||||||
| 70-74 | 72,5 | ||||||
| 75-79 | 77,5 | ||||||
| 80-84 | 82,5 | ||||||
| 85-89 | 87,5 | ||||||
| suma |
- Średnia arytmetyczna
; - odchylenie standardowe; 
- średni błąd
Ocena niezawodności
Statystyczna ocena rzetelności wyników medycznego badania statystycznego składa się z kilku etapów – dokładność wyników zależy od poszczególnych etapów.
W tym przypadku istnieją dwie kategorie błędów: 1) błędy, których nie można z góry uwzględnić metodami matematycznymi (błędy dokładności, uwagi, typowości, błędy metodologiczne itp.); 2) błędy reprezentatywności związane z badaniami na próbie.
Wielkość błędu reprezentatywności zależy zarówno od wielkości próby, jak i różnorodności cechy i jest wyrażana jako błąd średni. Średni błąd wskaźnika oblicza się według wzoru:
gdzie m jest średnim błędem wskaźnika;
p jest wskaźnikiem statystycznym;
q jest odwrotnością p (1-p, 100-p, 1000-p itd.)
n to liczba obserwacji.
Gdy liczba obserwacji jest mniejsza niż 30, wprowadza się poprawkę do wzoru:
Błąd wartości średniej oblicza się ze wzorów:
; 
;
gdzie s jest odchyleniem standardowym;
n to liczba obserwacji.
Przykład 1
289 osób opuściło szpital, 12 zmarło.
Śmiertelność będzie:
; ;
Podczas przeprowadzania powtarzanych badań średnia (M) w 68% przypadków będzie się wahać w granicach ±m, tj. stopień prawdopodobieństwa (p), z jakim otrzymujemy takie granice ufności dla średniej wynosi 0,68. Jednak ten stopień prawdopodobieństwa zwykle nie satysfakcjonuje badaczy. Najmniejszy stopień prawdopodobieństwa, z jakim chcą uzyskać pewne granice dla wahania średniej (granice ufności) wynosi 0,95 (95%). W takim przypadku granice ufności średniej należy rozszerzyć, mnożąc błąd (m) przez współczynnik ufności (t).
Współczynnik ufności (t) - liczba pokazująca, ile razy należy zwiększyć błąd średniej wartości, aby przy danej liczbie obserwacji stwierdzić z pożądanym stopniem prawdopodobieństwa (p), że wartość średnia nie przekroczy granic uzyskane w ten sposób.
Przy p=0,95 (95%) t=2, tj. M±tm=M+2m;
Przy p=0,99 (99%) t=3, tj. M±tm=M+3m;
Porównanie średnich
Porównując dwie średnie arytmetyczne (lub dwa wskaźniki) obliczone dla różnych okresów lub w nieco innych warunkach, określa się istotność różnic między nimi. W tym przypadku obowiązuje następująca zasada: różnicę między średnimi (lub wskaźnikami) uważa się za istotną, jeśli różnica arytmetyczna między porównywanymi średnimi (lub wskaźnikami) jest większa niż dwa pierwiastki kwadratowe z sumy kwadratów błędów tych średnich ( lub wskaźniki), tj. .
(dla porównywanych średnich);
(dla porównywalnych wskaźników).
Walerij Galasiuk- Akademik AES Ukrainy, Dyrektor Generalny firmy audytorskiej COWPERWOOD (Dniepropietrowsk), Członek Prezydium Rady Związku Biegłych Rewidentów Ukrainy, Członek Izby Obrachunkowej Ukrainy, Przewodniczący Komisji Rewizyjnej Ukrainy Towarzystwo Rzeczoznawców Majątkowych, Wiceprzewodniczący Zarządu Stowarzyszenia Podatników Ukrainy, Wiceprzewodniczący Komisji Oceny Efektywności Działalności Inwestycyjnej Ukraińskiego Towarzystwa Analityków Finansowych, rzeczoznawca wiodący Ukraińskiego Towarzystwa Rzeczoznawców
Wiktor Galasiuk– Dyrektor Departamentu Doradztwa Kredytowego Firmy Informacyjno-Doradczej „INCON-CENTER” (grupa doradcza „COWPERWOOD”), Mistrz Ekonomii Przedsiębiorstwa, laureat konkursów dla młodych rzeczoznawców Ukraińskiego Towarzystwa Rzeczoznawców
Matematyka to jedyna doskonała metoda
pozwalając się prowadzić za nos
Einstein
Moim zadaniem jest mówić prawdę, a nie sprawić, żebyś w nią uwierzył.
Rousseau
Artykuł poświęcony jest fundamentalnemu problemowi, który pojawia się w procesie numerycznego porównywania wielkości. Istota tego problemu polega na tym, że w określonych warunkach różne metody numerycznego porównywania tych samych wielkości ustalają różny stopień ich nierówności. Wyjątkowość tego problemu polega nie tyle na tym, że nie został jeszcze rozwiązany, choć wydawałoby się, że procedury porównań liczbowych zostały dokładnie przestudiowane i nie budzą wątpliwości nawet wśród uczniów, ale na tym, że nie znalazły jeszcze odpowiedniego odzwierciedlenia w świadomości społecznej i, co ważniejsze, w praktyce.
Jak wiesz, możesz porównać dwie wartości liczbowo albo odpowiadając na pytanie „O ile jedna wartość jest większa od drugiej?” lub odpowiadając na pytanie „Ile razy jedna wartość jest większa od drugiej?”. Oznacza to, że aby liczbowo porównać dwie wielkości, musisz albo odjąć jedną od drugiej () albo podzielić jedną przez drugą (). Jednocześnie, jak wykazały badania, istnieją tylko dwa początkowe typy kryteriów liczbowego porównywania wielkości: i , a żadne z nich nie ma wyłącznego prawa do istnienia.
Możliwych jest tylko 13 jakościowo różnych wariantów stosunku na osi liczbowej wartości dwóch porównywanych wartości X i Y (patrz rys. 1).
Przy porównywaniu dwóch wartości X i Y w oparciu o kryterium porównania przy każdym wariancie ich stosunku na osi liczb nie ma problemów. W końcu niezależnie od wartości X i Y kryterium porównania jednoznacznie charakteryzuje odległość między punktami X i Y na osi rzeczywistej.
Jednak zastosowanie kryterium porównania porównanie wartości X i Y w niektórych przypadkach ich stosunku na osi liczb może prowadzić do problemów, ponieważ w tych przypadkach wartości X i Y mogą mieć istotny wpływ na wyniki porównanie. Na przykład porównując wartości 0.0100000001 i 0.0000000001 odpowiadające opcji 5 na „paciorkach Galasyuka”, zastosowanie kryterium porównania pokazuje, że pierwsza liczba jest większa od drugiej o 0,01, a zastosowanie kryterium porównania pokazuje, że pierwsza liczba jest większa od drugiej o 100 000 001 razy. Zatem przy pewnym stosunku porównywanych wartości na osi liczbowej kryterium porównania wskazuje: niewielki stopień nierówności porównane wartości X i Y, a kryterium porównania wskazuje na znaczny stopień ich nierówności.
Lub, na przykład, porównując wartości 1 000 000 000 100 i
1 000 000 000 000, co odpowiada tej samej opcji 5 na koralikach Galasyuka, zastosowanie kryterium porównania pokazuje, że pierwsza liczba jest większa od drugiej o 100, a zastosowanie kryterium porównania pokazuje, że pierwsza liczba jest w przybliżeniu równa drugiej, ponieważ jest większa niż druga liczba tylko w 1,0000000001 razy. Zatem przy pewnym stosunku porównywanych wartości na osi liczbowej kryterium porównania wskazuje: znaczny stopień nierówności porównane wartości X i Y, a kryterium porównania wskazuje na niewielki stopień ich nierówności.
Ponieważ problem omawiany w tym artykule pojawia się tylko przy zastosowaniu kryterium porównania , to aby go zbadać, rozważamy porównanie dwóch wielkości m oraz n na podstawie kryterium porównania. Aby porównać te wielkości, dzielimy m na n: .
Analiza wyników porównania wartości m oraz n można przeprowadzić w dwóch etapach: w pierwszym etapie przyjmujemy mianownik stosunku bez zmian – wartość n, na drugim liczniku - wartość m(patrz rys. 2).
W celu przeprowadzenia pierwszego etapu analizy konstruujemy wykres zależności stosunku od wartości m(patrz rys. 3), przy czym należy zauważyć, że kiedy n Relacja =0 nie jest zdefiniowana.
Jak widać na rysunku 3, jeśli n=const, n¹0, to dla |m|→∞ zależność | |→∞, a dla |m|→0 relacja | |→0.
W celu realizacji drugiego etapu analizy konstruujemy wykres zależności wskaźnika od wartości n(patrz rys. 4), przy czym należy zauważyć, że kiedy n Relacja =0 nie jest zdefiniowana.
Jak widać na rysunku 4, jeśli m=const, m¹0, n¹0, to dla |n|→∞ zależność | |→0, a dla |n|→0 relacja | |→∞. Należy zauważyć, że jako wartości | n| równe zmiany | n| pociągają za sobą coraz mniejsze zmiany w nastawieniu | |. A przy zbliżaniu się do wartości zerowych | n| równe zmiany | n| pociągają za sobą coraz większe zmiany w postawie | |.
Podsumowując wyniki etapów I i II analizy, przedstawiamy je w postaci poniższej tabeli, zawierającej również wyniki analizy porównawczej w oparciu o początkowy rodzaj kryteriów (patrz Tabela 1). Sytuacje, w których X=0 i Y=0 nie są tutaj brane pod uwagę. Mamy nadzieję, że przeanalizujemy je w przyszłości.
Tabela 1
Uogólnione wyniki analizy porównania wartościxorazY
w oparciu o dwa oryginalne typy kryteriów porównawczych
(x¹ 0 iY¹ 0)
|
7. Galasyuk W.W. Ile powinno być początkowych rodzajów kryteriów efektywności kosztowej: jeden, dwa, trzy…?//Giełda.-2000.-№3.-s.39-42. 8. Galasyuk W.W. O dwóch wstępnych rodzajach kryteriów opłacalności//Pytania oceny, Moskwa.-2000.-№1.-p.37-40. 9. Poincaré Henri. O nauce: Per. od French-M.-Nauka. Wydanie główne literatury fizycznej i matematycznej, 1983.-560 s. 20.10.2002 |
