Liniowa przestrzeń wektorowa: definicja, własności. Definicja przestrzeni liniowej. Przykłady przestrzeni liniowych Przestrzenie liniowe dla manekinów

Wykład 6. Przestrzeń wektorowa.

Główne pytania.

1. Wektorowa przestrzeń liniowa.

2. Podstawa i wymiar przestrzeni.

3. Orientacja przestrzeni.

4. Dekompozycja wektora ze względu na bazę.

5. Współrzędne wektora.

1. Wektorowa przestrzeń liniowa.

Zbiór składający się z elementów dowolnego rodzaju, w którym zdefiniowane są operacje liniowe: dodawanie dwóch elementów i mnożenie elementu przez liczbę nazywa się spacje, a ich elementy są wektory w tej przestrzeni i są oznaczane w taki sam sposób jak wielkości wektorowe w geometrii: . Wektory takie abstrakcyjne przestrzenie z reguły nie mają nic wspólnego ze zwykłymi wektorami geometrycznymi. Elementami przestrzeni abstrakcyjnych mogą być funkcje, układy liczb, macierze itp., aw szczególnym przypadku zwykłe wektory. Dlatego takie przestrzenie są nazywane przestrzenie wektorowe .

Przestrzenie wektorowe to Na przykład, zbiór wektorów współliniowych, oznaczony przez V1 , zbiór wektorów współpłaszczyznowych V2 , zbiór wektorów zwykłych (rzeczywistej przestrzeni). V3 .

W tym konkretnym przypadku możemy podać następującą definicję przestrzeni wektorowej.

Definicja 1. Zbiór wektorów nazywa się Przestrzeń wektorowa, jeśli liniowa kombinacja dowolnych wektorów zbioru jest również wektorem tego zbioru. Same wektory są nazywane elementy Przestrzeń wektorowa.

Ważniejsza zarówno teoretycznie, jak iw praktyce jest ogólna (abstrakcyjna) koncepcja przestrzeni wektorowej.

Definicja 2. Pęczek R elementy , w którym dla dowolnych dwóch elementów i sumy jest zdefiniowana i dla dowolnego elementu https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> o nazwie wektor(lub liniowy) przestrzeń, a jego elementami są wektory, jeśli operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę spełniają następujące warunki ( aksjomaty) :

1) dodawanie jest przemienne, tj..gif" width="184" height="25">;

3) istnieje taki element (wektor zerowy), który dla dowolnego https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"wysokość="27">;

5) dla dowolnych wektorów i dowolnej liczby λ zachodzi równość;

6) dla dowolnych wektorów i dowolnych liczb λ I µ obowiązuje równość https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> i dowolne liczby λ I µ sprawiedliwy ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Z aksjomatów definiujących przestrzeń wektorową wynikają najprostsze konsekwencje :

1. W przestrzeni wektorowej jest tylko jedno zero - element - wektor zerowy.

2. W przestrzeni wektorowej każdy wektor ma unikalny przeciwny wektor.

3. Dla każdego elementu równość jest spełniona.

4. Dla dowolnej liczby rzeczywistej λ i wektor zerowy https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> to wektor spełniający równość https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Tak więc rzeczywiście zbiór wszystkich wektorów geometrycznych jest również przestrzenią liniową (wektorową), ponieważ dla elementów tego zbioru określone są działania dodawania i mnożenia przez liczbę, które spełniają sformułowane aksjomaty.

2. Podstawa i wymiar przestrzeni.

Podstawowymi pojęciami przestrzeni wektorowej są pojęcia podstawy i wymiaru.

Definicja. Zbiór liniowo niezależnych wektorów, wziętych w określonej kolejności, przez który dowolny wektor przestrzeni jest wyrażony liniowo, nazywa się podstawa ta przestrzeń. Wektory. Przestrzenie tworzące podstawę nazywamy podstawowy .

Podstawę zbioru wektorów znajdujących się na dowolnej prostej można uznać za jedną współliniową z tym wektorem liniowym .

Baza na płaszczyźnie nazwijmy dwa niewspółliniowe wektory na tej płaszczyźnie, pobrane w określonej kolejności https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Jeśli wektory bazowe są parami prostopadłe (ortogonalne), wówczas nazywa się bazę prostokątny, a jeśli te wektory mają długość równą jeden, to baza jest nazywana ortonormalny .

Nazywa się największą liczbę liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni wymiar ta przestrzeń, tj. wymiar przestrzeni pokrywa się z liczbą wektorów bazowych tej przestrzeni.

Tak więc, zgodnie z tymi definicjami:

1. Przestrzeń jednowymiarowa V1 jest linią prostą, a podstawa składa się z jeden współliniowy wektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Zwykła przestrzeń to przestrzeń trójwymiarowa V3 , którego podstawa składa się z trzy niewspółpłaszczyznowe wektory .

Stąd widzimy, że liczba wektorów bazowych na linii prostej, na płaszczyźnie, w rzeczywistej przestrzeni pokrywa się z tym, co w geometrii nazywa się zwykle liczbą wymiarów (wymiaru) prostej, płaszczyzny, przestrzeni. Dlatego naturalne jest wprowadzenie bardziej ogólnej definicji.

Definicja. Przestrzeń wektorowa R zwany N- wymiarowy, jeśli zawiera co najwyżej N liniowo niezależnych wektorów i jest oznaczony R N. Numer N zwany wymiar przestrzeń.

Zgodnie z wymiarem przestrzeń dzieli się na skończenie wymiarowy I nieskończenie wymiarowy. Z definicji przyjmuje się, że wymiar przestrzeni zerowej wynosi zero.

Uwaga 1. W każdej przestrzeni możesz określić dowolną liczbę podstaw, ale wszystkie podstawy tej przestrzeni składają się z tej samej liczby wektorów.

Uwaga 2. W N- w wymiarowej przestrzeni wektorowej podstawą jest dowolny uporządkowany zbiór N wektory liniowo niezależne.

3. Orientacja przestrzeni.

Niech wektory bazowe będą w przestrzeni V3 Posiadać wspólny początek I zamówione, tj. wskazano, który wektor jest uważany za pierwszy, który za drugi, a który za trzeci. Na przykład w bazie wektory są uporządkowane według indeksacji.

Za to aby zorientować przestrzeń, konieczne jest ustalenie pewnej podstawy i zadeklarowanie jej jako pozytywnej .

Można pokazać, że zbiór wszystkich podstaw przestrzeni dzieli się na dwie klasy, to znaczy na dwa nieprzecinające się podzbiory.

a) wszystkie bazy należące do jednego podzbioru (klasy) mają ten sam orientacja (podstawy o tej samej nazwie);

b) dowolne dwie bazy należące do różny podzbiory (klasy), mają naprzeciwko orientacja, ( różne nazwy zasady).

Jeśli jedna z dwóch klas podstaw przestrzeni jest zadeklarowana jako dodatnia, a druga jest ujemna, to mówimy, że ta przestrzeń zorientowany .

Często podczas orientowania przestrzeni nazywane są niektóre bazy Prawidłowy, podczas gdy inne są lewicowcy .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> o nazwie Prawidłowy, jeśli obserwując od końca trzeciego wektora, najkrótszy obrót pierwszego wektora https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> jest przeprowadzany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara(Ryc. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ryż. 1.8. Prawa podstawa (a) i lewa podstawa (b)

Zwykle właściwa podstawa przestrzeni jest deklarowana jako podstawa pozytywna

Prawą (lewą) podstawę przestrzeni można również określić za pomocą reguły „prawej” („lewej”) śruby lub świdra.

Przez analogię do tego, koncepcja prawej i lewej strony trojaczki wektory niekomplementarne, które należy uporządkować (ryc. 1.8).

Zatem w ogólnym przypadku dwie uporządkowane trójki wektorów niewspółpłaszczyznowych mają tę samą orientację (mają tę samą nazwę) w przestrzeni V3 czy oba są prawe, czy obaj lewe, oraz - przeciwna orientacja (przeciwna), jeżeli jeden z nich jest prawy, a drugi lewy.

To samo dzieje się w przypadku przestrzeni V2 (samoloty).

4. Dekompozycja wektora ze względu na bazę.

Dla uproszczenia rozumowania rozważymy to pytanie na przykładzie trójwymiarowej przestrzeni wektorowej R3 .

Niech https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> będzie dowolnym wektorem tej przestrzeni.

Rozdział 3 Liniowe przestrzenie wektorowe

Temat 8. Liniowe przestrzenie wektorowe

Definicja przestrzeni liniowej. Przykłady przestrzeni liniowych

Sekcja 2.1 definiuje operację dodawania wektorów swobodnych z R 3 oraz operację mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste, a także wymieniono właściwości tych operacji. Rozszerzenie tych operacji i ich własności na zbiór obiektów (elementów) o dowolnym charakterze prowadzi do uogólnienia pojęcia przestrzeni liniowej wektorów geometrycznych z R 3 określone w §2 ust.1. Sformułujmy definicję liniowej przestrzeni wektorowej.

Definicja 8.1. Pęczek V elementy X , Na , z ,... jest nazywany liniowa przestrzeń wektorowa, Jeśli:

istnieje zasada, że ​​co dwa elementy X I Na z V pasuje do trzeciego elementu z V, zwany suma X I Na i oznaczone X + Na ;

istnieje zasada, że ​​każdy element X a każda liczba rzeczywista kojarzy element z V, zwany produkt elementarny X na numer i oznaczone X .

Suma dowolnych dwóch elementów X + Na i praca X dowolny element do dowolnej liczby musi spełniać następujące wymagania − aksjomaty przestrzeni liniowej:

1°. X + Na = Na + X (przemienność dodawania).

2°. ( X + Na ) + z = X + (Na + z ) (łączność dodawania).

3°. Jest element 0 , zwany zero, takie że

X + 0 = X , X .

4°. Dla kazdego X jest element (- X ), zwany przeciwny dla X , takie że

X + (– X ) = 0 .

5°. ( X ) = ()X , X , , R.

6°. X = X , X .

7°. () X = X + X , X , , R.

8°. ( X + Na ) = X + y , X , y , R.

Nazywamy elementy przestrzeni liniowej wektory bez względu na ich charakter.

Z aksjomatów 1°–8° wynika, że ​​w dowolnej przestrzeni liniowej V następujące właściwości są prawdziwe:

1) istnieje unikalny wektor zerowy;

2) dla każdego wektora X istnieje jeden przeciwny wektor (– X ) , I (- X ) = (–l) X ;

3) dla dowolnego wektora X równość 0× X = 0 .

Udowodnijmy na przykład własność 1). Załóżmy, że w kosmosie V są dwa zera: 0 1 i 0 2. Wprowadzenie aksjomatu 3° X = 0 1 , 0 = 0 2, otrzymujemy 0 1 + 0 2 = 0 1. Podobnie, jeśli X = 0 2 , 0 = 0 1, w takim razie 0 2 + 0 1 = 0 2. Biorąc pod uwagę aksjomat 1°, otrzymujemy 0 1 = 0 2 .

Podajemy przykłady przestrzeni liniowych.

1. Zbiór liczb rzeczywistych tworzy przestrzeń liniową R. Aksjomaty 1°–8° są w nim oczywiście spełnione.

2. Zbiór wektorów swobodnych w przestrzeni trójwymiarowej, jak pokazano w §2.1, również tworzy przestrzeń liniową, oznaczoną R 3 . Wektor zerowy jest zerem tej przestrzeni.

Zbiór wektorów na płaszczyźnie i na prostej to także przestrzenie liniowe. Oznaczymy je R 1 i R 2 odpowiednio.

3. Uogólnienie przestrzeni R 1 , R 2 i R 3 serwuje miejsce RN, N N zwany arytmetyczna n-wymiarowa przestrzeń, którego elementy (wektory) są uporządkowanymi zbiorami N dowolne liczby rzeczywiste ( X 1 ,…, x rz), tj.

RN = {(X 1 ,…, x rz) | x ja R, I = 1,…, N}.

Wygodnie jest używać notacji X = (X 1 ,…, x rz), w której x ja zwany i-ta współrzędna(część)wektor X .

Dla X , Na RN I R Zdefiniujmy dodawanie i mnożenie za pomocą następujących wzorów:

X + Na = (X 1 + y 1 ,…, x rz+ y n);

X = (X 1 ,…, x rz).

Element zerowej przestrzeni RN jest wektorem 0 = (0,…, 0). Równość dwóch wektorów X = (X 1 ,…, x rz) I Na = (y 1 ,…, y n) z RN, z definicji, oznacza równość odpowiednich współrzędnych, tj. X = Na Û X 1 = y 1 &… & x rz = y n.

Spełnienie aksjomatów 1°–8° jest tu oczywiste.

4. Niech C [ A ; B] jest zbiorem liczb rzeczywistych ciągłych na odcinku [ A; B] Funkcje F: [A; B] R.

Suma funkcji F I G z C [ A ; B] nazywa się funkcją H = F + G, określone przez równość

H = F + G Û H(X) = (F + G)(X) = F(X) + G(X), " X Î [ A; B].

Produkt funkcyjny F Î C [ A ; B] na numer A Î R jest określony przez równość

u = F Û u(X) = (F)(X) = F(X), " X Î [ A; B].

Tak więc wprowadzone operacje dodawania dwóch funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę odwracają zbiór C [ A ; B] w przestrzeń liniową, której wektory są funkcjami. Aksjomaty 1°–8° oczywiście obowiązują w tej przestrzeni. Wektor zerowy tej przestrzeni jest identycznie zerową funkcją i równością dwóch funkcji F I G oznacza, z definicji, co następuje:

F = G F(X) = G(X), " X Î [ A; B].

Golovizin V.V. Wykłady z algebry i geometrii. 4

Wykłady z algebry i geometrii. Semestr 2.

Wykład 22. Przestrzenie wektorowe.

Treść skrócona: definicja przestrzeni wektorowej, jej najprostsze własności, układy wektorów, kombinacja liniowa układu wektorów, trywialna i nietrywialna kombinacja liniowa, liniowo zależne i niezależne układy wektorów, warunki liniowej zależności lub niezależności układu wektorów, podsystemy układu wektorów, układy kolumn arytmetycznej przestrzeni wektorowej.

przedmiot 1. Definicja przestrzeni wektorowej i jej najprostsze własności.

Tutaj dla wygody czytelnika powtórzymy treść paragrafu 13 wykładu 1.

Definicja. Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem, którego elementy nazwiemy wektorami, K jest ciałem, którego elementy nazwiemy skalarami. Niech zdefiniujemy na zbiorze wewnętrzną binarną operację algebraiczną, którą będziemy oznaczać znakiem + i nazwiemy dodawaniem wektorów. Niech też zdefiniujemy na zbiorze zewnętrzną binarną operację algebraiczną, którą będziemy nazywać mnożeniem wektora przez skalar i oznaczać znakiem mnożenia. Innymi słowy, zdefiniowane są dwa odwzorowania:

Zbiór wraz z tymi dwoma operacjami algebraicznymi nazywany jest przestrzenią wektorową nad ciałem K, jeśli zachodzą następujące aksjomaty:

1. Dodawanie jest asocjacyjne, tj.

2. Istnieje wektor zerowy, tj.

3. Dla każdego wektora istnieje wektor przeciwny:

Wektor y, przeciwny do wektora x, jest zwykle oznaczany przez -x, tak że

4. Dodawanie jest przemienne, tj. .

5. Mnożenie wektora przez skalar podlega prawu asocjatywności, tj.

gdzie iloczyn jest iloczynem skalarów zdefiniowanych w polu K.

6. , gdzie 1 to jednostka pola K.

7. Mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów:

8. Mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania skalarów: .

Definicja. Przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb rzeczywistych nazywana jest rzeczywistą przestrzenią wektorową.

Twierdzenie. (Najprostsze własności przestrzeni wektorowych.)

1. W przestrzeni wektorowej jest tylko jeden wektor zerowy.

2. W przestrzeni wektorowej każdy wektor ma unikalne przeciwieństwo.

3. lub
.

4. .

Dowód. 1) Jednoznaczność wektora zerowego dowodzi się w taki sam sposób, jak jednoznaczność macierzy tożsamości i, ogólnie, jednoznaczność elementu neutralnego dowolnej wewnętrznej binarnej operacji algebraicznej.

Niech 0 będzie wektorem zerowym przestrzeni wektorowej V. Wtedy . Pozwalać
jest kolejnym wektorem zerowym. Następnie . Weźmy pierwszy przypadek
, a w drugim
. Następnie
I
, skąd to wynika
itp.

2a) Najpierw udowodnimy, że iloczyn zerowego skalara i dowolnego wektora jest równy wektorowi zerowemu.

Pozwalać
. Następnie, stosując aksjomaty przestrzeni wektorowej, otrzymujemy:

W odniesieniu do dodawania przestrzeń wektorowa jest grupą abelową, a prawo anulowania obowiązuje w dowolnej grupie. Stosując prawo redukcji, wynika ostatnia równość

.

2b) Teraz udowodnijmy twierdzenie 4). Pozwalać
jest dowolnym wektorem. Następnie

Wynika z tego natychmiast, że wektor
jest przeciwieństwem x.

2c) Niech teraz
. Następnie, stosując aksjomaty przestrzeni wektorowej,
I
otrzymujemy:

2d) Niech
i załóżmy, że
. Ponieważ
, gdzie K jest polem, to istnieje
. Pomnóżmy równość
na lewo od
:
, skąd wynika
Lub
Lub
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

pozycja 2. Przykłady przestrzeni wektorowych.

1) Zbiór liczbowych funkcji rzeczywistych jednej zmiennej, ciągłych na przedziale (0; 1) w odniesieniu do zwykłych operacji dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę.

2) Zbiór wielomianów z jednej litery o współczynnikach z ciała K ze względu na dodawanie wielomianów i mnożenie wielomianów przez skalar.

3) Zbiór liczb zespolonych w zakresie dodawania liczb zespolonych i mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

4) Zbiór macierzy tej samej wielkości z elementami ciała K ze względu na dodawanie macierzy i mnożenie macierzy przez skalar.

Poniższy przykład jest ważnym przypadkiem szczególnym Przykładu 4.

5) Niech będzie dowolną liczbą naturalną. Oznaczmy przez zbiór wszystkich kolumn wysokości n, tj. zbiór macierzy nad polem K o rozmiarze
.

Zbiór jest przestrzenią wektorową nad ciałem K i jest nazywany arytmetyczną przestrzenią wektorową kolumn o wysokości n nad ciałem K.

W szczególności, jeśli zamiast dowolnego pola K weźmiemy pole liczb rzeczywistych, to przestrzeń wektorową
nazywamy rzeczywistą arytmetyczną przestrzenią wektorową kolumn o wysokości n.

Podobnie zbiór macierzy nad ciałem K o rozmiarze jest również przestrzenią wektorową
lub inaczej, ciągi o długości n. Jest również oznaczony przez i jest również nazywany arytmetyczną przestrzenią wektorową łańcuchów o długości n nad ciałem K.

pozycja 3. Układy wektorów przestrzeni wektorowej.

Definicja. Układem wektorów przestrzeni wektorowej jest dowolny skończony niepusty zbiór wektorów tej przestrzeni.

Przeznaczenie:
.

Definicja. Wyrażenie

, (1)

gdzie są skalary pola K, są wektorami przestrzeni wektorowej V, nazywamy kombinacją liniową układu wektorów
. Skalary nazywane są współczynnikami tej kombinacji liniowej.

Definicja. Jeżeli wszystkie współczynniki kombinacji liniowej (1) są równe zeru, to taka kombinacja liniowa nazywana jest trywialną, w przeciwnym razie jest nietrywialna.

Przykład. Pozwalać
układ trzech wektorów w przestrzeni wektorowej V. Wtedy

jest trywialną kombinacją liniową danego układu wektorów;

jest nietrywialną kombinacją liniową danego układu wektorów, ponieważ pierwszy współczynnik tej kombinacji
.

Definicja. Jeśli dowolny wektor x z przestrzeni wektorowej V można przedstawić jako:

wtedy mówimy, że wektor x jest liniowo wyrażony za pomocą wektorów układu
. W tym przypadku mówimy również, że system
liniowo reprezentuje wektor x.

Komentarz. W tej i poprzedniej definicji słowo „liniowy” jest często pomijane i mówi się, że system reprezentuje wektor lub wektor jest wyrażany za pomocą wektorów systemu i tak dalej.

Przykład. Pozwalać
jest układem dwóch kolumn arytmetycznej rzeczywistej przestrzeni wektorowej kolumn o wysokości 2. Wtedy kolumna
wyrażony liniowo w kategoriach kolumn systemu lub dany system kolumn liniowo reprezentuje kolumnę x. Naprawdę,

punkt 4. Liniowo zależne i liniowo niezależne układy wektorów w przestrzeni wektorowej.

Ponieważ iloczyn zerowego skalara przez dowolny wektor jest wektorem zerowym, a suma wektorów zerowych jest równa wektorowi zerowemu, to dla dowolnego układu wektorów równość

Wynika z tego, że wektor zerowy jest liniowo wyrażony za pomocą wektorów dowolnego układu wektorów, czyli innymi słowy, dowolny układ wektorów liniowo reprezentuje wektor zerowy.

Przykład. Pozwalać
. W tym przypadku pusta kolumna można wyrazić liniowo w kategoriach kolumn systemu na więcej niż jeden sposób:

Lub

Aby rozróżnić te metody liniowej reprezentacji wektora zerowego, wprowadzimy następującą definicję.

Definicja. Jeśli równość

i wszystkie współczynniki , to mówimy, że system
trywialnie reprezentuje wektor zerowy. Jeśli w równości (3) przynajmniej jeden ze współczynników
nie jest równy zeru, to mówimy, że układ wektorów
reprezentuje wektor zerowy w nietrywialny sposób.

Z ostatniego przykładu widzimy, że istnieją układy wektorów, które mogą reprezentować wektor zerowy w nietrywialny sposób. Z poniższego przykładu zobaczymy, że istnieją układy wektorów, które nie mogą w sposób nietrywialny reprezentować wektora zerowego.

Przykład. Pozwalać
jest układem dwóch kolumn z przestrzeni wektorowej. Rozważ równość:

,

Gdzie
nieznane współczynniki. Korzystając z reguł mnożenia kolumny przez skalar (liczbę) i dodawania kolumn, otrzymujemy równość:

.

Z definicji równości macierzy wynika, że
I
.

Zatem dany system nie może reprezentować kolumny zerowej w nietrywialny sposób.

Z powyższych przykładów wynika, że ​​istnieją dwa rodzaje układów wektorowych. Niektóre systemy reprezentują wektor zerowy w nietrywialny sposób, podczas gdy inne nie. Zauważ jeszcze raz, że dowolny system wektorów reprezentuje wektor zerowy w trywialny sposób.

Definicja. Mówimy, że układ wektorów w przestrzeni wektorowej, który reprezentuje wektor zerowy TYLKO trywialnie, jest liniowo niezależny.

Definicja. Układ wektorów w przestrzeni wektorowej, który może w sposób nietrywialny reprezentować wektor zerowy, nazywany jest liniowo zależnym.

Ostatnią definicję można podać w bardziej szczegółowej formie.

Definicja. Układ wektorowy
przestrzeń wektorową V nazywamy liniowo zależną, jeśli istnieje taki niezerowy zbiór skalarów pola K

Komentarz. Dowolny układ wektorów
może trywialnie reprezentować wektor zerowy:

Ale to nie wystarczy, aby stwierdzić, czy dany układ wektorów jest liniowo zależny, czy liniowo niezależny. Z definicji wynika, że ​​liniowo niezależny układ wektorów nie może reprezentować wektora zerowego w sposób nietrywialny, a jedynie w sposób trywialny. Dlatego, aby zweryfikować liniową niezależność danego układu wektorów, należy rozważyć reprezentację zera przez dowolną kombinację liniową tego układu wektorów:

Jeśli ta równość jest niemożliwa, pod warunkiem, że przynajmniej jeden współczynnik tej kombinacji liniowej jest niezerowy, to układ ten jest z definicji liniowo niezależny.

Tak więc w przykładach z poprzedniego akapitu system kolumn
jest liniowo niezależny, a układ kolumnowy
jest liniowo zależny.

Podobnie dowodzi się liniowej niezależności układu kolumn , , ... ,

z przestrzeni , gdzie K jest dowolnym ciałem, n jest dowolną liczbą naturalną.

Następujące twierdzenia podają kilka kryteriów liniowej zależności, a zatem liniowej niezależności układów wektorów.

Twierdzenie. (Warunek konieczny i wystarczający dla liniowej zależności układu wektorów.)

Układ wektorów w przestrzeni wektorowej jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów układu jest liniowo wyrażony za pomocą innych wektorów tego układu.

Dowód. Konieczność. Niech system
liniowo zależne. Wtedy z definicji reprezentuje wektor zerowy w sposób nietrywialny, tj. istnieje nietrywialna kombinacja liniowa tego układu wektorów równa wektorowi zerowemu:

gdzie co najmniej jeden ze współczynników tej kombinacji liniowej nie jest równy zeru. Pozwalać
,
.

Podziel obie części poprzedniej równości przez ten niezerowy współczynnik (tj. Pomnóż przez :

Oznaczać:
, Gdzie .

te. jeden z wektorów układu jest liniowo wyrażony za pomocą innych wektorów tego układu itd.

Adekwatność. Niech jeden z wektorów układu będzie wyrażony liniowo za pomocą innych wektorów tego układu:

Przesuńmy wektor po prawej stronie tego równania:

Ponieważ współczynnik na wektorze równa się
, to mamy nietrywialną reprezentację zera przez układ wektorów
, co oznacza, że ​​ten układ wektorów jest liniowo zależny itd.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja.

1. Układ wektorów w przestrzeni wektorowej jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów układu nie jest liniowo wyrażony za pomocą innych wektorów tego układu.

2. Układ wektorów zawierający wektor zerowy lub dwa równe wektory jest liniowo zależny.

Dowód.

1) Konieczność. Niech układ będzie liniowo niezależny. Załóżmy, że jest odwrotnie i istnieje wektor systemowy, który jest liniowo wyrażony przez inne wektory tego systemu. Następnie, zgodnie z twierdzeniem, system jest liniowo zależny i dochodzimy do sprzeczności.

Adekwatność. Niech żaden z wektorów systemu nie będzie wyrażany za pomocą innych. Załóżmy, że jest odwrotnie. Niech układ będzie liniowo zależny, ale wtedy z twierdzenia wynika, że ​​istnieje wektor układu, który jest liniowo wyrażony przez inne wektory tego układu, i znów dochodzimy do sprzeczności.

2a) Niech układ zawiera wektor zerowy. Załóżmy dla pewności, że wektor
:. Potem równość

te. jeden z wektorów układu jest wyrażony liniowo za pomocą innych wektorów tego układu. Z twierdzenia wynika, że ​​taki układ wektorów jest liniowo zależny itd.

Zauważ, że fakt ten można udowodnić bezpośrednio z definicji liniowo zależnego układu wektorów.

Ponieważ
, to następująca równość jest oczywista

Jest to nietrywialna reprezentacja wektora zerowego, co oznacza, że ​​układ
jest liniowo zależny.

2b) Niech układ ma dwa równe wektory. Niech dla ścisłości
. Potem równość

Te. pierwszy wektor jest wyrażony liniowo w kategoriach innych wektorów tego samego systemu. Z twierdzenia wynika, że ​​dany układ jest liniowo zależny i tak dalej.

Podobnie jak poprzednie, twierdzenie to można również udowodnić bezpośrednio z definicji układu liniowo zależnego.

Rzeczywiście, od
, to równość

te. mamy nietrywialną reprezentację wektora zerowego.

Konsekwencja jest udowodniona.

Twierdzenie (O liniowej zależności układu jednego wektora.

Układ składający się z jednego wektora jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy ten wektor jest równy zeru.

Dowód.

Konieczność. Niech system
liniowo zależne, tj. istnieje nietrywialna reprezentacja wektora zerowego

,

Gdzie
I
. Z najprostszych własności przestrzeni wektorowej wynika, że ​​wtedy
.

Adekwatność. Niech układ składa się z jednego wektora zerowego
. Wtedy ten system reprezentuje wektor zerowy w sposób nietrywialny

,

skąd wynika liniowa zależność systemu
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja. Układ składający się z jednego wektora jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy ten wektor jest niezerowy.

Dowód pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie.

Przestrzeń wektorowa (liniowa) to zbiór wektorów (elementów) o składowych rzeczywistych, w którym zdefiniowane są operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, które spełniają określone aksjomaty (właściwości)

1)x+Na=Na+X(przemienność dodawania);

2)(X+Na)+z=X+(y+z) (łączność dodawania);

3) istnieje wektor zerowy 0 (lub wektor zerowy) spełniający warunek X+ 0 =X: dla dowolnego wektora X;

4) dla dowolnego wektora X istnieje przeciwny wektor Na takie że X+Na = 0 ,

5) 1 x=X,

6) A(bx)=(Ab)X(asocjatywność mnożenia);

7) (A+B)X=ach+bx(własność rozdzielcza w odniesieniu do czynnika liczbowego);

8) A(X+Na)=ach+tak(właściwość rozdzielcza względem czynnika wektora).

Przestrzeń liniowa (wektorowa) V(P) nad ciałem P jest niepustym zbiorem V. Elementy zbioru V nazywane są wektorami, a elementy ciała P skalarami.

Najprostsze właściwości.

1. Przestrzeń wektorowa to grupa abelowa (grupa, w której operacja grupowa jest przemienna. Operacja grupowa w grupach abelowych jest zwykle nazywana „dodawaniem” i jest oznaczana znakiem +)

2. Element neutralny jest jedynym, który wynika z właściwości grupy dla dowolnego elementu .

3. Dla dowolnego elementu przeciwnego jest jedynym, który wynika z właściwości grupy.

4.(–1) x = – x dla dowolnego x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) dla dowolnych α є P i x є V.

Wyrażenie a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) nazywamy liniową kombinacją wektorów mi 1 , mi 2 ,..., mi rz ze współczynnikami 1 , 2,..., jakiś . Kombinacja liniowa (1) nazywana jest nietrywialną, jeśli co najmniej jeden ze współczynników za 1 , za 2 ,..., za n różne od zera. Wektory mi 1 , mi 2 ,..., mi rz nazywane są liniowo zależnymi, jeśli istnieje nietrywialna kombinacja (1), która jest wektorem zerowym. W przeciwnym razie (to znaczy, jeśli tylko trywialna kombinacja wektorów mi 1 , mi 2 ,..., mi rz wektor równy zero) wektory mi 1 , mi 2 ,..., mi rz nazywa się liniowo niezależnym.

Wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba zawartych w niej wektorów LZ.

Przestrzeń wektorowa jest nazywany n-wymiarowym (lub ma „dimension N"), jeśli zawiera N elementy liniowo niezależne mi 1 , mi 2 ,..., mi n , i jakikolwiek N+ 1 elementy są liniowo zależne (warunek uogólniony B). Przestrzeń wektorowa nazywane są nieskończenie wymiarowymi, jeśli w nim dla każdego naturalnego N istnieje N wektory liniowo niezależne. Każdy N liniowo niezależne wektory n-wymiarowe Przestrzeń wektorowa tworzą podstawę tej przestrzeni. Jeśli mi 1 , mi 2 ,..., mi rz- podstawa Przestrzeń wektorowa, to dowolny wektor X tej przestrzeni można jednoznacznie przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych: X=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
W tym samym czasie liczby za 1 , za 2, ..., za n nazywane są współrzędnymi wektora X w tej podstawie.

4.3.1 Definicja przestrzeni liniowej

Pozwalać ā , , - elementy jakiegoś zestawu ā , , Grunt λ , μ - liczby rzeczywiste, λ , μ R..

Nazywa się zbiór Lliniowy LubPrzestrzeń wektorowa, jeśli zdefiniowane są dwie operacje:

1 0 . Dodatek. Każda para elementów tego zbioru jest powiązana z elementem tego samego zbioru, zwanym ich sumą

ā + =

2°.Mnożenie przez liczbę. Dowolna liczba rzeczywista λ i pierwiastek ā Ł przypisany jest element tego samego zestawu λ ā Ł i spełnione są następujące właściwości:

1. a+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. istnieje element zerowy
, takie że ā +=ā ;

4. istnieje element przeciwny -
takie że ā +(-ā )=.

Jeśli λ , μ - liczby rzeczywiste, to:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elementy przestrzeni liniowej ā, , ... nazywane są wektorami.

Ćwiczenia. Pokaż sobie, że te zbiory tworzą przestrzenie liniowe:

1) Zbiór wektorów geometrycznych na płaszczyźnie;

2) Zbiór wektorów geometrycznych w przestrzeni trójwymiarowej;

3) Zbiór wielomianów pewnego stopnia;

4) Zbiór macierzy tego samego wymiaru.

4.3.2 Wektory liniowo zależne i niezależne. Wymiar i podstawa przestrzeni

Kombinacja liniowa wektory ā 1 , ā 2 , …, ā N Łnazywamy wektorem tej samej przestrzeni postaci:

,

Gdzie λ i - liczby rzeczywiste.

Wektory ā 1 , .. , ā N zwanyliniowo niezależny, jeśli ich kombinacja liniowa jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie λ I są równe zeru, to jest

λ i=0

Jeśli kombinacja liniowa jest wektorem zerowym i co najmniej jednym z λ I jest różny od zera, to wektory te nazywamy liniowo zależnymi. To ostatnie oznacza, że ​​co najmniej jeden z wektorów można przedstawić jako liniową kombinację innych wektorów. Rzeczywiście, niech i np.
. Następnie,
, Gdzie

.

Nazywa się maksymalnie liniowo niezależny uporządkowany układ wektorów podstawa przestrzeń Ł. Liczba wektorów bazowych jest nazywana wymiar przestrzeń.

Załóżmy, że istnieje N liniowo niezależnych wektorów, to nazywamy przestrzeń N-wymiarowy. Inne wektory przestrzenne można przedstawić jako kombinację liniową N wektory bazowe. za podstawę N- można przyjąć przestrzeń wymiarową każdy N liniowo niezależne wektory tej przestrzeni.

Przykład 17. Znajdź podstawę i wymiar podanych przestrzeni liniowych:

a) zbiory wektorów leżących na prostej (współliniowej do jakiejś prostej)

b) zbiór wektorów należących do płaszczyzny

c) zbiór wektorów przestrzeni trójwymiarowej

d) zbiór wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

Rozwiązanie.

A) Dowolne dwa wektory leżące na linii będą liniowo zależne, ponieważ wektory są współliniowe
, To
, λ - skalarny. Dlatego podstawą tej przestrzeni jest tylko jeden (dowolny) wektor inny niż zero.

Zwykle jest to miejsce R, jego wymiar wynosi 1.

B) dowolne dwa wektory niewspółliniowe
są liniowo niezależne, a dowolne trzy wektory na płaszczyźnie są liniowo zależne. Dla dowolnego wektora , są liczby  I  takie że
. Przestrzeń nazywana jest dwuwymiarową, oznaczoną R 2 .

Podstawę przestrzeni dwuwymiarowej tworzą dowolne dwa wektory niewspółliniowe.

V) Dowolne trzy wektory niewspółpłaszczyznowe będą liniowo niezależne, stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej R 3 .

G) Jako podstawę dla przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej drugiego można wybrać następujące trzy wektory: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .

(1 to wielomian, identycznie równy jeden). Ta przestrzeń będzie trójwymiarowa.