Свойства степенной функции. Показательная функция – свойства, графики, формулы. Знаменатель дробного показателя - нечетный
Функции у = ах, у = ax 2 , у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1 .
В случае если n
дробное число p
/
q
с четным знаменателем q
и нечетным числителем р
, то величина может иметь два знака , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х
, причем она симметрична верхней части.
Видим график двузначной функции у = ±2х 1/2 , т. е. представленный параболой с горизонтальной осью.
Графики функций у = х n при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Эти графики проходят через точку (1; 1).
Когда n = -1 получаем гиперболу . При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1 , а потом ниже (при х > 1 ). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n .
Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у , не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.
1. Степенная функция, ее свойства и график;
2. Преобразования:
Параллельный перенос;
Симметрия относительно осей координат;
Симметрия относительно начала координат;
Симметрия относительно прямой y = x;
Растяжение и сжатие вдоль осей координат.
3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;
4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;
5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Функция: y = x\n - ее свойства и график.
Степенная функция, ее свойства и график
y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x p
. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p = 2n - четное натуральное число.
y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.
График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .
2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y = x 2n-1 y = x 3 .
3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x0.
График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .
4. Показатель p = -(2n-1)
, где n
- натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1)
обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x = 0;
- множество значений - множество R, кроме y = 0;
- функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
- функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .
График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .
Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x
p
.
Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p=2n -четное натуральное число.
свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y=x 2n четная, так как x 2n =(- x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
2. Показатель p=2n-1
- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y=x 2n-1
, где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
3.Показатель p=-2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x=0;
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y=1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n =1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x
p
.
Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p=2n -четное натуральное число.
свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y=x 2n четная, так как x 2n =(- x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
2. Показатель p=2n-1
- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y=x 2n-1
, где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
3.Показатель p=-2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x=0;
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y=1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n =1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
10 класс
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенной называется функция, заданная формулой где , p – некоторое действительное число.
I . Показатель - чётное натуральное число. Тогда степенная функция где n
D ( y )= (−; +).
2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если:
множество неположительных чисел, если:
3) ) . Значит, функция Oy .
4) Если, то функция убывает при х (- ; 0] и возрастает при х и убывает при х }