Pagpapatuloy ng mga pag-andar. Continuity of functions - theorems and properties Paano maghanap ng mga pagitan ng continuity ng isang halimbawa ng function

Lektura 4.

Pagpapatuloy ng mga pag-andar

1. Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto

Kahulugan 1. Hayaan ang function y=f(x) ay tinukoy sa punto X 0 at sa ilang lugar sa puntong ito. Function y=f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa punto x 0 , kung mayroong limitasyon ng function sa puntong ito at ito ay katumbas ng halaga ng function sa puntong ito, i.e.

Kaya, ang kondisyon para sa pagpapatuloy ng function y=f(x) sa punto X 0 iyan ba:

kasi
, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (32) ay maaaring isulat sa anyo

(33)

Ito ay nangangahulugan na kapag paghahanap ng limitasyon ng isang tuluy-tuloy na functionf(x) ang isa ay maaaring pumunta sa limitasyon sa ilalim ng function sign, i.e. sa isang function f(x) sa halip na isang argumento X palitan ang halaga ng limitasyon nito X 0 .

lim kasalanan x= kasalanan(lim x);

lim arctan x=arctg(lim x); (34)

lim log x=log(lim x).

Mag-ehersisyo. Hanapin ang limitasyon: 1); 2)
.

Tukuyin natin ang pagpapatuloy ng isang function, batay sa mga konsepto ng increment ng argumento at function.

kasi kundisyon at
ay magkapareho (Larawan 4), pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (32) ay nasa anyo:

o
.

Kahulugan 2. Function y=f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa punto x 0 , kung ito ay tinukoy sa isang punto X 0 at ang kapitbahayan nito, at ang isang infinitesimal increment sa argument ay tumutugma sa isang infinitesimal na increment sa function.

Mag-ehersisyo. Suriin ang pagpapatuloy ng isang function y=2X 2 1.

Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang punto

1. Kung ang mga function f(x) At φ (x) ay tuloy-tuloy sa punto X 0, pagkatapos ang kanilang kabuuan
, trabaho
at pribado
(Kung ganoon
) ay mga function na tuloy-tuloy sa punto X 0 .

2. Kung ang function sa=f(x) ay tuloy-tuloy sa punto X 0 at f(x 0)>0, pagkatapos ay mayroong ganoong kapitbahayan ng punto X 0 , kung saan f(x)>0.

3. Kung ang function sa=f(u) ay tuloy-tuloy sa puntong u 0 , at ang function na u= φ (x) ay tuloy-tuloy sa punto u 0 = φ (x 0 ), pagkatapos ay isang kumplikadong function y=f[φ (x)] ay tuloy-tuloy sa punto X 0 .

2. Continuity ng isang function sa isang interval at sa isang segment

Pag-andar y=f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa pagitan (a; b), kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.

Pag-andar y=f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa segment [a; b] kung ito ay tuloy-tuloy sa pagitan ( a; b), at sa punto X=A ay tuloy-tuloy sa kanan (i.e.), at sa punto x=b ay iniwang tuloy-tuloy (i.e.
).

3. Function discontinuity point at ang kanilang pag-uuri

Ang mga punto kung saan nasira ang pagpapatuloy ng isang function ay tinatawag break points ang tungkuling ito.

Kung X=X 0 – function break point y=f(x), at hindi bababa sa isa sa mga kundisyon ng unang kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function ay hindi nasiyahan.

Halimbawa.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Break point X 0 ay tinatawag na break point unang uri mga function y=f(x), kung sa puntong ito ay may mga may hangganang limitasyon ng function sa kaliwa at sa kanan (isang panig na mga limitasyon), i.e.
At
. kung saan:

Magnitude | A 1 -A 2 | tinawag pagtalon ng function sa punto ng hindi pagpapatuloy ng unang uri. ▲

▼Break point X 0 ay tinatawag na break point pangalawang uri mga function y=f(x), kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon (kaliwa o kanan) ay wala o katumbas ng infinity. ▲

Mag-ehersisyo. Maghanap ng mga break point at alamin ang kanilang uri para sa mga function:

1)
; 2)
.

4. Mga pangunahing teorema sa tuluy-tuloy na pag-andar

Ang mga teorema sa pagpapatuloy ng mga pag-andar ay direktang sumusunod mula sa kaukulang mga teorema sa mga limitasyon.

Teorama 1. Ang kabuuan, produkto at quotient ng dalawang tuluy-tuloy na function ay isang tuluy-tuloy na function (para sa quotient, maliban sa mga halaga ng argument kung saan ang divisor ay hindi katumbas ng zero).

Teorama 2. Hayaan ang mga function u=φ (x) ay tuloy-tuloy sa punto X 0 at ang function y=f(u) ay tuloy-tuloy sa punto u=φ (x 0 ). Pagkatapos ay ang kumplikadong pag-andar f(φ (x)), na binubuo ng tuluy-tuloy na pag-andar, ay tuloy-tuloy sa punto X 0 .

Teorama 3. Kung ang function y=f(x) ay tuloy-tuloy at mahigpit na monotone sa [ a; b] mga palakol Oh, pagkatapos ay ang inverse function sa=φ (x) ay tuloy-tuloy din at monotoniko sa kaukulang segment [ c;d] mga palakol OU.

Ang bawat elementary function ay tuloy-tuloy sa bawat punto kung saan ito tinukoy.

5. Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang pagitan

Ang teorama ni Weierstrass. Kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang segment, maaabot nito ang maximum at minimum na mga halaga sa segment na ito.

Bunga. Kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang agwat, kung gayon ito ay nakatali sa pagitan.

Bolzano-Cauchy theorem. Kung ang function y=f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a; b] at kumukuha ng hindi pantay na halaga sa mga dulo nito f(a)=A At f(b)=B,
, pagkatapos ay anuman ang numero SA, nagtapos sa pagitan ng A At SA, may punto ganyan f(c)=C.

Sa geometriko halata ang theorem. Para sa anumang numero SA, nagtapos sa pagitan ng A At SA, mayroong isang punto c sa loob ng segment na ito na ganoon f(SA)=C. Diretso sa=SA nag-intersect sa graph ng function kahit man lang sa isang punto.

Bunga. Kung ang function y=f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a; b] at kinukuha ang mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo nito, pagkatapos ay sa loob ng segment [ a; b] mayroong kahit isang punto Sa, kung saan ang function y=f(x) napupunta sa zero: f(c)=0.

Geometric ang kahulugan ng theorem: kung ang graph ng isang tuluy-tuloy na function ay pumasa mula sa isang gilid ng axis Oh sa isa pa, pagkatapos ay i-intersect nito ang axis Oh.

Kahulugan. Ang function na f(x), na tinukoy sa kapitbahayan ng ilang punto x 0, ay tinatawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung ang limitasyon ng function at ang halaga nito sa puntong ito ay pantay, i.e.

Ang parehong katotohanan ay maaaring isulat sa ibang paraan:

Kahulugan. Kung ang function na f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0, ngunit hindi tuloy-tuloy sa puntong x 0 mismo, kung gayon ito ay tinatawag pampasabog function, at ang point x 0 ay ang discontinuity point.

Halimbawa ng tuluy-tuloy na function:

y

0 x 0 - x 0 x 0 + x

P halimbawa ng hindi tuluy-tuloy na function:

Kahulugan. Ang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntong x 0 kung para sa anumang positibong numero >0 mayroong isang numerong >0 na para sa anumang x na nakakatugon sa kundisyon

totoo ang hindi pagkakapantay-pantay
.

Kahulugan. Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa puntong x = x 0, kung ang pagtaas ng function sa puntong x 0 ay isang infinitesimal na halaga.

f(x) = f(x 0) + (x)

kung saan ang (x) ay infinitesimal sa xx 0.

Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar.

1) Ang kabuuan, pagkakaiba at produkto ng mga function na tuloy-tuloy sa puntong x 0 ay isang function na tuloy-tuloy sa puntong x 0.

2) Quotient ng dalawang tuloy-tuloy na function – ay isang tuluy-tuloy na function sa kondisyon na ang g(x) ay hindi katumbas ng zero sa puntong x 0.

3) Ang superposisyon ng tuluy-tuloy na pag-andar ay isang tuluy-tuloy na pag-andar.

Ang pag-aari na ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Kung ang u = f(x), v = g(x) ay tuluy-tuloy na function sa puntong x = x 0, kung gayon ang function na v = g(f(x)) ay isa ring tuluy-tuloy na function sa puntong ito.

Ang bisa ng mga katangian sa itaas ay madaling mapatunayan gamit ang limit theorems.

Pagpapatuloy ng ilang elementarya na pag-andar.

1) Ang function na f(x) = C, C = const ay isang tuluy-tuloy na function sa buong domain ng kahulugan.

2) Rational function
ay tuluy-tuloy para sa lahat ng mga halaga ng x maliban sa mga kung saan ang denominator ay nagiging zero. Kaya, ang isang function ng ganitong uri ay tuluy-tuloy sa buong domain ng kahulugan.

3) Ang mga function ng trigonometric na sin at cos ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan.

Patunayan natin ang property 3 para sa function na y = sinx.

Isulat natin ang pagtaas ng function y = sin(x + x) – sinx, o pagkatapos ng pagbabagong-anyo:

Sa katunayan, may limitasyon para sa produkto ng dalawang function
At
. Sa kasong ito, ang cosine function ay isang limitadong function saх0
, at dahil

limitasyon ng pag-andar ng sine
, pagkatapos ito ay infinitesimal saх0.

Kaya, mayroong isang produkto ng isang bounded function at isang infinitesimal, samakatuwid ang produktong ito, i.e. ang function na у ay infinitesimal. Alinsunod sa mga kahulugan na tinalakay sa itaas, ang function na y = sinx ay isang tuluy-tuloy na function para sa anumang halaga x = x 0 mula sa domain ng kahulugan, dahil ang pagtaas nito sa puntong ito ay isang infinitesimal na halaga.

Mga break point at ang kanilang pag-uuri.

Isaalang-alang natin ang ilang function na f(x), tuloy-tuloy sa kapitbahayan ng puntong x 0, maliban sa puntong ito mismo. Mula sa kahulugan ng isang break point ng isang function sumusunod na ang x = x 0 ay isang break point kung ang function ay hindi tinukoy sa puntong ito o hindi tuloy-tuloy dito.

Dapat ding tandaan na ang pagpapatuloy ng isang function ay maaaring one-sided. Ipaliwanag natin ito tulad ng sumusunod.

, pagkatapos ay sinasabing right continuous ang function.

Kung ang isang panig na limitasyon (tingnan sa itaas)
, kung gayon ang function ay sinasabing iniwanang tuloy-tuloy.

Kahulugan. Ang puntong x 0 ay tinatawag break point function na f(x), kung ang f(x) ay hindi tinukoy sa puntong x 0 o hindi tuloy-tuloy sa puntong ito.

Kahulugan. Ang puntong x 0 ay tinatawag discontinuity point ng 1st kind, kung sa puntong ito ang function na f(x) ay may hangganan, ngunit hindi pantay, kaliwa at kanang mga limitasyon.

Upang matugunan ang mga kondisyon ng kahulugan na ito, hindi kinakailangan na ang function ay tukuyin sa puntong x = x 0, ito ay sapat na ito ay tinukoy sa kaliwa at sa kanan nito.

Mula sa kahulugan maaari nating tapusin na sa discontinuity point ng unang uri ang isang function ay maaari lamang magkaroon ng isang may hangganang pagtalon. Sa ilang mga espesyal na kaso, tinatawag din minsan ang discontinuity point ng 1st kind matatanggal breaking point, ngunit pag-uusapan pa natin ito sa ibaba.

Kahulugan. Ang puntong x 0 ay tinatawag punto ng discontinuity ng ika-2 uri, kung sa puntong ito ang function na f(x) ay walang kahit isa sa mga one-sided na limitasyon o kahit isa sa mga ito ay walang katapusan.

Pagpapatuloy ng isang function sa isang interval at sa isang segment.

Kahulugan. Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa isang pagitan (segment), kung ito ay tuloy-tuloy sa anumang punto ng pagitan (segment).

Sa kasong ito, hindi kinakailangan ang pagpapatuloy ng function sa mga dulo ng isang segment o interval;

Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang agwat.

Ari-arian 1: (Ang unang teorama ni Weierstrass (Carl Weierstrass (1815-1897) - German mathematician)). Ang isang function na tuluy-tuloy sa isang pagitan ay nakatali sa pagitan na ito, i.e. ang kundisyon –M  f(x)  M ay nasiyahan sa segment.

Ang patunay ng property na ito ay batay sa katotohanan na ang isang function na tuluy-tuloy sa puntong x 0 ay nakatali sa isang partikular na kapitbahayan nito, at kung hahatiin mo ang segment sa isang walang katapusang bilang ng mga segment na "nakontrata" hanggang sa punto x 0, pagkatapos ay nabuo ang isang tiyak na kapitbahayan ng puntong x 0.

Ari-arian 2: Ang isang function na tuluy-tuloy sa segment ay tumatagal ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga dito.

Yung. may mga halaga x 1 at x 2 na ang f(x 1) = m, f(x 2) = M, at

m  f(x)  M

Tandaan natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga na maaaring gawin ng function sa isang segment nang maraming beses (halimbawa, f(x) = sinx).

Ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment ay tinatawag pag-aatubili mga function sa isang segment.

Ari-arian 3: (Ikalawang Bolzano–Cauchy theorem). Ang isang function na tuluy-tuloy sa pagitan ay tumatagal sa lahat ng mga halaga sa pagitan ng dalawang arbitrary na halaga sa pagitan na ito.

Ari-arian 4: Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x = x 0, kung gayon mayroong ilang kapitbahayan ng puntong x 0 kung saan pinapanatili ng function ang tanda nito.

Ari-arian 5: (Unang teorama ng Bolzano (1781-1848) - Cauchy). Kung ang isang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang segment at may mga halaga ng magkasalungat na mga palatandaan sa mga dulo ng segment, kung gayon mayroong isang punto sa loob ng segment na ito kung saan ang f(x) = 0.

Yung. kung sign(f(a))  sign(f(b)), kung gayon  x 0: f(x 0) = 0.

Halimbawa.

sa puntong x = -1 ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x = 1 discontinuity point ng unang uri

sa

Halimbawa. Suriin ang function para sa continuity at tukuyin ang uri ng mga discontinuity point, kung mayroon man.

sa puntong x = 0 ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x = 1 discontinuity point ng unang uri

Ang kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto ay ibinigay. Ang mga katumbas na kahulugan ayon kay Heine, ayon kay Cauchy at sa mga tuntunin ng mga pagtaas ay isinasaalang-alang. Pagpapasiya ng isang panig na pagpapatuloy sa mga dulo ng isang segment. Pagbubuo ng kakulangan ng pagpapatuloy. Sinusuri ang mga halimbawa kung saan kinakailangang patunayan ang pagpapatuloy ng isang function gamit ang mga kahulugan ng Heine at Cauchy.

Nilalaman

Tingnan din: Limitasyon ng isang function - mga kahulugan, teorema at katangian

Pagpapatuloy sa isang punto

Pagtukoy sa pagpapatuloy ng isang function sa isang punto
Tungkulin f (x) tinawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kapitbahayan U (x0) sa puntong ito, at kung ang limitasyon bilang x ay may posibilidad na x 0 umiiral at katumbas ng halaga ng function sa x 0 :
.

Ito ay nagpapahiwatig na ang x 0 - ito ang dulong punto. Ang halaga ng function dito ay maaari lamang maging isang may hangganang numero.

Kahulugan ng pagpapatuloy sa kanan (kaliwa)
Tungkulin f (x) tinawag tuloy-tuloy sa kanan (kaliwa) sa puntong x 0 , kung ito ay tinukoy sa ilang kanang bahagi (kaliwang bahagi) na kapitbahayan ng puntong ito, at kung ang kanan (kaliwa) na limitasyon sa puntong x 0 katumbas ng halaga ng function sa x 0 :
.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Gamit ang mga kahulugan ng Heine at Cauchy, patunayan na ang function ay tuloy-tuloy para sa lahat ng x.

Hayaan ang isang arbitrary na numero. Patunayan natin na ang ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa punto. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng x . Samakatuwid, ito ay tinukoy sa isang punto at sa alinman sa mga kapitbahayan nito.

Ginagamit namin ang kahulugan ni Heine

Gamitin natin ang . Hayaang magkaroon ng isang arbitrary na pagkakasunud-sunod na nagtatagpo sa: . Paglalapat ng pag-aari ng limitasyon ng isang produkto ng mga pagkakasunud-sunod na mayroon tayo:
.
Dahil mayroong isang arbitrary na pagkakasunud-sunod na nagtatagpo sa , kung gayon
.
Ang pagpapatuloy ay napatunayan.

Ginagamit namin ang kahulugan ng Cauchy

Gamitin natin ang .
Isaalang-alang natin ang kaso. May karapatan kaming isaalang-alang ang function sa alinmang kapitbahayan ng punto. Samakatuwid, ipagpalagay natin iyon
(A1.1) .

Ilapat natin ang formula:
.
Isinasaalang-alang ang (A1.1), ginagawa namin ang sumusunod na pagtatantya:

;
(A1.2) .

Sa paglalapat (A1.2), tinatantya namin ang ganap na halaga ng pagkakaiba:
;
(A1.3) .
.
Ayon sa mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay, kung (A1.3) ay nasiyahan, kung at kung , pagkatapos .

.

Ngayon tingnan natin ang punto. Sa kasong ito
.
.

.
Nangangahulugan ito na ang function ay tuloy-tuloy sa punto.

Sa katulad na paraan, mapapatunayan ng isa na ang function , kung saan ang n ay isang natural na numero, ay tuloy-tuloy sa buong tunay na axis.

Halimbawa 2

Gamit ang patunayan na ang function ay tuloy-tuloy para sa lahat.

Ang ibinigay na function ay tinukoy sa . Patunayan natin na ito ay tuloy-tuloy sa punto.

Isaalang-alang natin ang kaso.
May karapatan kaming isaalang-alang ang function sa alinmang kapitbahayan ng punto. Samakatuwid, ipagpalagay natin iyon
(A2.1) .

Ilapat natin ang formula:
(A2.2) .
Ilagay natin. Pagkatapos
.

Isinasaalang-alang ang (A2.1), ginagawa namin ang sumusunod na pagtatantya:


.
Kaya,
.

Sa paglalapat ng hindi pagkakapantay-pantay at paggamit ng (A2.2), tinatantya namin ang pagkakaiba:

.
Kaya,
(A2.3) .

Ipinakilala namin ang mga positibong numero at , ikinokonekta ang mga ito sa mga sumusunod na ugnayan:
.
Ayon sa mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay, kung (A2.3) ay nasiyahan, kung at kung , pagkatapos .

Nangangahulugan ito na para sa anumang positibo ay palaging may . Pagkatapos para sa lahat ng x na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay awtomatikong nasiyahan:
.
Nangangahulugan ito na ang function ay tuloy-tuloy sa punto.

Ngayon tingnan natin ang punto. Kailangan nating ipakita na ang ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa puntong ito sa kanan. Sa kasong ito
.
Maglagay ng mga positibong numero at:
.

Ito ay nagpapakita na para sa anumang positibo ay palaging may . Pagkatapos para sa lahat ng x tulad na , ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.
Ibig sabihin nito ay . Ibig sabihin, tuloy-tuloy ang function sa kanan sa punto.

Sa katulad na paraan, mapapatunayan ng isa na ang function , kung saan ang n ay isang natural na numero, ay tuloy-tuloy para sa .

Mga sanggunian:
O.I. Besov. Mga lektura sa pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. Moscow, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.

Tingnan din: Kahulugan. Hayaang tukuyin ang isang function na f(x) sa ilang pagitan at ang x 0 ay isang punto sa pagitan na ito. Kung , kung gayon ang f(x) ay sinasabing tuloy-tuloy sa puntong x 0 .
Mula sa kahulugan ay sumusunod na maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pagpapatuloy lamang na may kaugnayan sa mga punto kung saan ang f(x) ay tinukoy (kapag tinukoy ang limitasyon ng isang function, ang naturang kundisyon ay hindi naitakda). Para sa tuluy-tuloy na pag-andar , ibig sabihin, ang mga operasyong f at lim ay commutative. Alinsunod dito, ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto ay maaaring bigyan ng dalawang kahulugan ng pagpapatuloy - "sa wika ng mga pagkakasunud-sunod" at "sa wika ng mga hindi pagkakapantay-pantay" (sa wika ng ε-δ). Iminumungkahi na gawin mo ito sa iyong sarili.
Para sa praktikal na paggamit, kung minsan ay mas maginhawang tukuyin ang pagpapatuloy sa wika ng mga pagtaas.
Ang halagang Δx=x-x 0 ay tinatawag na pagtaas ng argumento, at ang Δy=f(x)-f(x 0) ay ang pagtaas ng function kapag lumilipat mula sa puntong x 0 patungo sa puntong x.
Kahulugan. Hayaang tukuyin ang f(x) sa punto x 0 . Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung ang isang infinitesimal na pagtaas ng argumento sa puntong ito ay tumutugma sa isang infinitesimal na pagtaas ng function, iyon ay, Δy→0 para sa Δx→0.

Halimbawa Blg. 1. Patunayan na ang function na y=sinx ay tuloy-tuloy para sa anumang halaga ng x.
Solusyon. Hayaang ang x 0 ay isang arbitrary na punto. Ang pagbibigay nito ng dagdag na Δx, nakukuha natin ang puntong x=x 0 +Δx. Pagkatapos Δy=f(x)-f(x 0) = sin(x 0 +Δx)-sin(x) = . Nakukuha namin .

Kahulugan . Ang function na y=f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntong x 0 sa kanan (kaliwa) kung
.
Ang isang function na tuloy-tuloy sa isang panloob na punto ay parehong kanan at kaliwa tuloy-tuloy. Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang isang function ay tuluy-tuloy sa isang punto sa kaliwa at kanan, kung gayon ito ay magiging tuluy-tuloy sa puntong iyon. Gayunpaman, ang isang function ay maaari lamang maging tuloy-tuloy sa isang panig. Halimbawa, para sa , , f(1)=1, samakatuwid, ang function na ito ay tuloy-tuloy lamang sa kaliwa (para sa graph ng function na ito, tingnan ang talata 5.7.2 sa itaas).
Kahulugan. Ang isang function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa ilang pagitan kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.
Sa partikular, kung ang agwat ay isang segment, kung gayon ang isang panig na pagpapatuloy ay ipinahiwatig sa mga dulo nito.

Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar

1. Ang lahat ng elementarya ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan.
2. Kung ang f(x) at φ(x), na ibinigay sa isang tiyak na pagitan, ay tuloy-tuloy sa puntong x 0 ng interval na ito, kung gayon ang mga function ay magiging tuluy-tuloy din sa puntong ito.
3. Kung ang y=f(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x 0 mula sa X, at ang z=φ(y) ay tuloy-tuloy sa katumbas na puntong y 0 =f(x 0) mula sa Y, kung gayon ang complex function na z=φ (f(x )) ay magiging tuluy-tuloy sa punto x 0 .

Mga function break at ang kanilang pag-uuri

Ang isang tanda ng pagpapatuloy ng function na f(x) sa puntong x 0 ay ang pagkakapantay-pantay, na nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng tatlong kundisyon:
1) ang f(x) ay tinukoy sa punto x 0 ;
2) ;
3) .
Kung hindi bababa sa isa sa mga kinakailangang ito ang nilabag, ang x 0 ay tinatawag na break point ng function. Sa madaling salita, ang break point ay isang punto kung saan ang function na ito ay hindi tuloy-tuloy. Mula sa kahulugan ng mga break point, sumusunod na ang mga break point ng isang function ay:
a) mga puntos na kabilang sa domain ng kahulugan ng function kung saan ang f(x) ay nawawala ang ari-arian ng pagpapatuloy,
b) mga puntos na hindi kabilang sa domain ng kahulugan ng f(x), na mga katabing punto ng dalawang pagitan ng domain ng kahulugan ng function.
Halimbawa, para sa isang function, ang point x=0 ay isang break point, dahil ang function sa puntong ito ay hindi tinukoy, at ang function ay may discontinuity sa puntong x=1, na katabi ng dalawang pagitan (-∞,1) at (1,∞) ng domain ng kahulugan ng f(x) at hindi umiiral.

Ang sumusunod na klasipikasyon ay pinagtibay para sa mga break point.
1) Kung sa puntong x 0 ay may hangganan At , ngunit f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), pagkatapos x 0 ay tinatawag discontinuity point ng unang uri , at tinatawag na pagtalon ng function .

Halimbawa 2. Isaalang-alang ang function
Ang function ay maaari lamang masira sa puntong x=2 (sa ibang mga punto ito ay tuloy-tuloy tulad ng anumang polynomial).
Hahanapin natin , . Dahil ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan, ngunit hindi katumbas ng bawat isa, kung gayon sa puntong x=2 ang function ay may discontinuity ng unang uri. pansinin mo yan , samakatuwid ang function sa puntong ito ay tuloy-tuloy sa kanan (Larawan 2).
2) Mga discontinuity point ng pangalawang uri ay tinatawag na mga punto kung saan ang hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ay katumbas ng ∞ o wala.

Halimbawa 3. Ang function na y=2 1/ x ay tuloy-tuloy para sa lahat ng value ng x maliban sa x=0. Maghanap tayo ng mga one-sided na limitasyon: , , samakatuwid ang x=0 ay isang discontinuity point ng pangalawang uri (Fig. 3).
3) Point x=x 0 ay tinatawag naaalis na break point , kung f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
"Aalisin" namin ang puwang sa kahulugan na sapat na upang baguhin (muling tukuyin o muling tukuyin) ang halaga ng function sa puntong ito sa pamamagitan ng pagtatakda , at ang function ay magiging tuluy-tuloy sa puntong x 0 .
Halimbawa 4. Ito ay kilala na , at ang limitasyong ito ay hindi nakadepende sa paraan na ang x ay nagiging zero. Ngunit ang pag-andar sa puntong x=0 ay hindi tinukoy. Kung muling tukuyin natin ang function sa pamamagitan ng pagtatakda ng f(0)=1, ito ay magiging tuloy-tuloy sa puntong ito (sa ibang mga punto ito ay tuloy-tuloy bilang quotient ng tuluy-tuloy na function na sinx at x).
Halimbawa 5. Suriin ang pagpapatuloy ng isang function .
Solusyon. Ang mga function na y=x 3 at y=2x ay tinukoy at tuloy-tuloy sa lahat ng dako, kasama ang mga ipinahiwatig na pagitan. Suriin natin ang junction point ng mga pagitan x=0:
, , . Nakuha namin iyon , na nagpapahiwatig na sa puntong x=0 ang function ay tuloy-tuloy.
Kahulugan. Ang isang function na tuloy-tuloy sa isang interval maliban sa isang may hangganang bilang ng mga discontinuity point ng unang uri o naaalis na discontinuity ay tinatawag na piecewise continuous sa interval na ito.

Mga halimbawa ng mga hindi tuluy-tuloy na function

Halimbawa 1. Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa (-∞+∞) maliban sa puntong x=2. Tukuyin natin ang uri ng pahinga. Dahil ang At , pagkatapos ay sa puntong x=2 mayroong isang discontinuity ng pangalawang uri (Larawan 6).
Halimbawa 2. Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy para sa lahat ng x maliban sa x=0, kung saan ang denominator ay zero. Maghanap tayo ng mga one-sided na limitasyon sa puntong x=0:
Ang mga one-sided na limitasyon ay may hangganan at iba, samakatuwid, ang x=0 ay isang discontinuity point ng unang uri (Larawan 7).
Halimbawa 3. Tukuyin kung anong mga punto at kung anong uri ng mga discontinuities mayroon ang function
Ang function na ito ay tinukoy sa [-2,2]. Dahil ang x 2 at 1/x ay tuloy-tuloy sa mga pagitan [-2,0] at , ayon sa pagkakabanggit, ang discontinuity ay maaari lamang mangyari sa junction ng mga pagitan, iyon ay, sa puntong x=0. Dahil ang , kung gayon ang x=0 ay isang discontinuity point ng pangalawang uri.

Halimbawa 4. Posible bang alisin ang mga gaps sa pag-andar:
A) sa puntong x=2;
b) sa puntong x=2;
V) sa punto x=1?
Solusyon. Tungkol sa halimbawa a) maaari nating agad na sabihin na ang discontinuity f(x) sa puntong x=2 ay hindi maaaring alisin, dahil sa puntong ito ay may mga walang katapusang one-sided na limitasyon (tingnan ang halimbawa 1).
b) Ang function na g(x) bagama't may finite one-sided na limitasyon sa puntong x=2

(,),

ngunit hindi sila nagtutugma, kaya hindi rin maalis ang puwang.
c) Ang function na φ(x) sa discontinuity point x=1 ay may katumbas na one-sided finite limits: . Samakatuwid, ang gap ay maaaring alisin sa pamamagitan ng muling pagtukoy sa function sa x=1 sa pamamagitan ng paglalagay ng f(1)=1 sa halip na f(1)=2.

Halimbawa Blg. 5. Ipakita na ang Dirichlet function

hindi nagpapatuloy sa bawat punto sa numerical axis.
Solusyon. Hayaang ang x 0 ay anumang punto mula sa (-∞+∞). Sa alinman sa mga kapitbahayan nito ay may parehong makatwiran at hindi makatwiran na mga punto. Nangangahulugan ito na sa anumang kapitbahayan ng x 0 ang function ay magkakaroon ng mga halaga na katumbas ng 0 at 1. Sa kasong ito, ang limitasyon ng function sa puntong x 0 ay hindi maaaring umiral alinman sa kaliwa o sa kanan, na nangangahulugan na ang Dirichlet function ay may mga discontinuities ng pangalawang uri sa bawat punto sa totoong axis.

Halimbawa 6. Maghanap ng mga breakpoint ng function

at tukuyin ang kanilang uri.
Solusyon. Ang mga puntos na pinaghihinalaang nasira ay mga puntos x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3.
Sa puntong x 1 =2 f(x) ay may discontinuity ng pangalawang uri, dahil
.
Ang punto x 2 =5 ay isang punto ng pagpapatuloy, dahil ang halaga ng function sa puntong ito at sa paligid nito ay tinutukoy ng pangalawang linya, at hindi ang una: .
Suriin natin ang punto x 3 =3: , , kung saan sumusunod na ang x=3 ay isang discontinuity point ng unang uri.

Para sa malayang desisyon.
Suriin ang mga function para sa continuity at tukuyin ang uri ng mga discontinuity point:
1) ; Sagot: x=-1 – punto ng naaalis na discontinuity;
2) ; Sagot: Discontinuity ng pangalawang uri sa punto x=8;
3) ; Sagot: Discontinuity ng unang uri sa x=1;
4)
Sagot: Sa puntong x 1 =-5 ay may naaalis na puwang, sa x 2 =1 may puwang ng pangalawang uri at sa puntong x 3 =0 ay may puwang ng unang uri.
5) Paano dapat piliin ang numero A upang ang function

magiging tuluy-tuloy sa x=0?
Sagot: A=2.
6) Posible bang piliin ang numero A upang ang function

magiging tuluy-tuloy sa x=2?
Sagot: hindi.

Kahulugan ng pagpapatuloy ayon kay Heine

Ang function ng isang tunay na variable \(f\left(x \right)\) ay sinasabing tuloy-tuloy sa puntong \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)set ng mga totoong numero), kung para sa anumang sequence \(\left\( ((x_n)) \right\ )\ ), kung kaya't \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] ang kaugnayan \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] Sa pagsasagawa, maginhawang gamitin ang sumusunod na \(3\) kundisyon para sa pagpapatuloy ng function \(f\left(x \right)\) sa puntong \(x = a\) ( na dapat isagawa nang sabay-sabay):

1. Ang function na \(f\left(x \right)\) ay tinukoy sa puntong \(x = a\);
2. Ang limitasyon \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) ay umiiral;
3. Ang pagkakapantay-pantay na \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) ay hawak.

Kahulugan ng Cauchy continuity (notation \(\varepsilon - \delta\))

Isaalang-alang ang isang function na \(f\left(x \right)\) na nagmamapa sa hanay ng mga tunay na numero \(\mathbb(R)\) sa isa pang subset \(B\) ng mga tunay na numero. Ang function na \(f\left(x \right)\) ay sinasabing tuloy-tuloy sa puntong \(a \in \mathbb(R)\), kung para sa anumang numero \(\varepsilon > 0\) mayroong isang numerong \(\delta > 0\) para sa lahat ng \(x \in \ mathbb (R)\), na nagbibigay-kasiyahan sa kaugnayang \[\left| (x - a) \kanan| Kahulugan ng pagpapatuloy sa mga tuntunin ng mga pagtaas ng argumento at paggana

Ang kahulugan ng continuity ay maaari ding bumalangkas gamit ang mga increment ng argumento at function. Ang function ay tuloy-tuloy sa puntong \(x = a\) kung ang pagkakapantay-pantay \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] kung saan \(\Delta x = x - a\).

Ang mga kahulugan sa itaas ng pagpapatuloy ng isang function ay katumbas sa hanay ng mga tunay na numero.

Ang function ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na agwat , kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.

Mga teorema ng pagpapatuloy

Teorama 1.
Hayaang ang function na \(f\left(x \right)\) ay tuluy-tuloy sa puntong \(x = a\) at \(C\) ay isang pare-pareho. Pagkatapos ang function na \(Cf\left(x \right)\) ay tuloy-tuloy din para sa \(x = a\).

Teorama 2.
Dahil sa dalawang function na \((f\left(x \right))\) at \((g\left(x \right))\), tuluy-tuloy sa puntong \(x = a\). Pagkatapos ang kabuuan ng mga function na ito \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy din sa puntong \(x = a\).

Teorama 3.
Ipagpalagay na ang dalawang function na \((f\left(x \right))\) at \((g\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy sa puntong \(x = a\). Pagkatapos ang produkto ng mga function na ito \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy din sa puntong \(x = a\).

Teorama 4.
Dahil sa dalawang function na \((f\left(x \right))\) at \((g\left(x \right))\), tuluy-tuloy para sa \(x = a\). Pagkatapos ang ratio ng mga function na ito \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) ay tuloy-tuloy din para sa \(x = a\ ) napapailalim sa , na \((g\left(a \right)) \ne 0\).

Teorama 5.
Ipagpalagay na ang function na \((f\left(x \right))\) ay differentiable sa puntong \(x = a\). Pagkatapos ang function na \((f\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy sa puntong ito (ibig sabihin, ang differentiability ay nagpapahiwatig ng pagpapatuloy ng function sa punto; ang kabaligtaran ay hindi totoo).

Theorem 6 (Limit value theorem).
Kung ang isang function na \((f\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy sa isang closed at bounded interval \(\left[ (a,b) \right]\), kung gayon ito ay bounded sa itaas at ibaba nito pagitan. Sa madaling salita, may mga numerong \(m\) at \(M\) na \ para sa lahat ng \(x\) sa pagitan \(\left[ (a,b) \right]\) (Figure 1) .

Fig.1		Fig.2

Theorem 7 (Intermediate value theorem).
Hayaang ang function na \((f\left(x \right))\) ay tuluy-tuloy sa isang sarado at may hangganan na pagitan \(\left[ (a,b) \right]\). Pagkatapos, kung ang \(c\) ay ilang numerong mas malaki kaysa sa \((f\left(a \right))\) at mas mababa sa \((f\left(b \right))\), kung gayon mayroong isang numero \(( x_0)\), tulad na \ Ang teorama na ito ay inilalarawan sa Figure 2.

Pagpapatuloy ng elementarya function

Lahat mga pag-andar ng elementarya ay tuluy-tuloy sa anumang punto sa kanilang domain ng kahulugan.

Tinatawag ang function elementarya , kung ito ay binuo mula sa isang may hangganang bilang ng mga komposisyon at kumbinasyon
(gamit ang \(4\) operations - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati) . Isang grupo ng pangunahing mga pag-andar ng elementarya kasama ang: