Wasto ngunit hindi makatuwirang mga halimbawa. Logic ng matematika: Mga patnubay para sa kursong "Mga Batayan ng discrete mathematics." Aling numero ang makatwiran?

Ang artikulong ito ay nakatuon sa pag-aaral ng paksang "Rational numbers". Nasa ibaba ang mga kahulugan ng mga rational na numero, ang mga halimbawa ay ibinigay, at kung paano matukoy kung ang isang numero ay makatwiran o hindi.

Mga rational na numero. Mga Kahulugan

Bago ibigay ang kahulugan ng mga rational na numero, tandaan natin kung ano pa ang iba pang set ng mga numero at kung paano ito nauugnay sa isa't isa.

Ang mga natural na numero, kasama ang kanilang mga kabaligtaran at ang numerong zero, ay bumubuo sa hanay ng mga integer. Sa turn, ang hanay ng mga integer fractional na numero ay bumubuo sa hanay ng mga rational na numero.

Kahulugan 1. Mga rational na numero

Ang mga rational na numero ay mga numero na maaaring katawanin bilang positibong karaniwang fraction a b, negatibong karaniwang fraction a b, o numerong zero.

Kaya, maaari naming panatilihin ang isang bilang ng mga katangian ng mga rational na numero:

1. Ang anumang natural na numero ay isang rational na numero. Malinaw, ang bawat natural na numero n ay maaaring katawanin bilang isang fraction 1 n.
2. Ang anumang integer, kasama ang numerong 0, ay isang rational na numero. Sa katunayan, ang anumang positibong integer at anumang negatibong integer ay madaling kinakatawan bilang positibo o negatibong ordinaryong fraction, ayon sa pagkakabanggit. Halimbawa, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
3. Anumang positibo o negatibong karaniwang fraction a b ay isang rational na numero. Ito ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan na ibinigay sa itaas.
4. Ang anumang magkahalong numero ay makatwiran. Sa katunayan, ang isang halo-halong numero ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong di-wastong bahagi.
5. Anumang may hangganan o periodic decimal fraction ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, ang bawat periodic o finite decimal fraction ay isang rational number.
6. Ang mga infinite at non-periodic decimal ay hindi mga rational na numero. Hindi sila maaaring katawanin sa anyo ng mga ordinaryong fraction.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga rational na numero. Ang mga numero 5, 105, 358, 1100055 ay natural, positibo at integer. Malinaw, ito ay mga makatwirang numero. Ang mga numero - 2, - 358, - 936 ay mga negatibong integer at sila rin ay makatwiran ayon sa kahulugan. Ang mga karaniwang praksiyon 3 5, 8 7, - 35 8 ay mga halimbawa rin ng mga rational na numero.

Ang kahulugan sa itaas ng mga rational na numero ay maaaring mabalangkas nang mas maikli. Muli nating sasagutin ang tanong, ano ang rational number?

Kahulugan 2. Mga rational na numero

Ang mga rational na numero ay mga numero na maaaring katawanin bilang isang fraction ± z n, kung saan ang z ay isang integer at n ay isang natural na numero.

Maipapakita na ang kahulugang ito ay katumbas ng naunang kahulugan ng mga rational na numero. Upang gawin ito, tandaan na ang fraction line ay katumbas ng division sign. Isinasaalang-alang ang mga patakaran at katangian ng paghahati ng mga integer, maaari nating isulat ang mga sumusunod na patas na hindi pagkakapantay-pantay:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Kaya, maaari tayong sumulat:

z n = z n , p r at z > 0 0 , p r at z = 0 - z n , p r at z< 0

Sa totoo lang, ang recording na ito ay ebidensya. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga rational na numero batay sa pangalawang kahulugan. Isaalang-alang ang mga numero - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 at - 1 3 5. Ang lahat ng mga numerong ito ay makatwiran, dahil maaari silang isulat bilang isang fraction na may integer numerator at isang natural na denominator: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Magbigay tayo ng isa pang katumbas na anyo para sa kahulugan ng mga rational na numero.

Kahulugan 3. Mga rational na numero

Ang rational na numero ay isang numero na maaaring isulat bilang isang may hangganan o walang katapusan na periodic decimal fraction.

Direktang sumusunod ang kahulugang ito mula sa pinakaunang kahulugan ng talatang ito.

Buod tayo at bumalangkas ng buod ng puntong ito:

1. Ang mga positibo at negatibong fraction at integer ay bumubuo sa hanay ng mga rational na numero.
2. Ang bawat rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction, ang numerator nito ay isang integer at ang denominator ay isang natural na numero.
3. Ang bawat rational na numero ay maaari ding katawanin bilang isang decimal fraction: may hangganan o walang katapusan na pana-panahon.

Aling numero ang makatwiran?

Tulad ng nalaman na natin, ang anumang natural na numero, integer, wasto at hindi wastong ordinaryong fraction, periodic at finite decimal fraction ay mga rational na numero. Gamit ang kaalamang ito, madali mong matukoy kung ang isang tiyak na numero ay makatwiran.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang isang tao ay madalas na humarap hindi sa mga numero, ngunit sa mga numerical na expression na naglalaman ng mga ugat, kapangyarihan at logarithms. Sa ilang mga kaso, ang sagot sa tanong na "makatuwiran ba ang numero?" ay malayo sa halata. Tingnan natin ang mga pamamaraan para sa pagsagot sa tanong na ito.

Kung ang isang numero ay ibinibigay bilang isang expression na naglalaman lamang ng mga rational na numero at arithmetic operations sa pagitan ng mga ito, kung gayon ang resulta ng expression ay isang rational na numero.

Halimbawa, ang halaga ng expression na 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) ay isang rational na numero at katumbas ng 18.

Kaya, ang pagpapasimple ng isang kumplikadong numerical expression ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy kung ang numero na ibinigay nito ay makatwiran.

Ngayon tingnan natin ang tanda ng ugat.

Lumalabas na ang bilang na m n na ibinigay bilang ugat ng kapangyarihan n ng bilang na m ay makatwiran lamang kapag ang m ay ang ika-n na kapangyarihan ng ilang natural na numero.

Tingnan natin ang isang halimbawa. Ang numero 2 ay hindi makatwiran. Samantalang ang 9, 81 ay mga rational na numero. Ang 9 at 81 ay mga perpektong parisukat ng mga numerong 3 at 9, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga numerong 199, 28, 15 1 ay hindi mga rational na numero, dahil ang mga numero sa ilalim ng root sign ay hindi perpektong mga parisukat ng anumang natural na mga numero.

Ngayon kunin natin ang isang mas kumplikadong kaso. Ang 243 5 ba ay isang rational na numero? Kung itataas mo ang 3 sa ikalimang kapangyarihan, makakakuha ka ng 243, kaya ang orihinal na expression ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: 243 5 = 3 5 5 = 3. Samakatuwid, ang bilang na ito ay makatwiran. Ngayon kunin natin ang numerong 121 5. Ang numerong ito ay hindi makatwiran, dahil walang natural na numero na ang pagtaas sa ikalimang kapangyarihan ay nagbibigay ng 121.

Upang malaman kung ang logarithm ng isang numero a hanggang base b ay isang rational na numero, kailangan mong ilapat ang paraan ng kontradiksyon. Halimbawa, alamin natin kung ang bilang na log 2 5 ay makatwiran. Ipagpalagay natin na ang numerong ito ay makatwiran. Kung gayon, maaari itong isulat sa anyo ng isang ordinaryong fraction log 2 5 = m n Ayon sa mga katangian ng logarithm at mga katangian ng degree, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Malinaw, ang huling pagkakapantay-pantay ay imposible dahil ang kaliwa at kanang bahagi ay naglalaman ng mga kakaiba at kahit na mga numero, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, ang pagpapalagay na ginawa ay hindi tama at ang log 2 5 ay hindi isang makatwirang numero.

Kapansin-pansin na kapag tinutukoy ang katwiran at irrationality ng mga numero, hindi ka dapat gumawa ng mga biglaang desisyon. Halimbawa, ang resulta ng produkto ng mga hindi makatwirang numero ay hindi palaging isang hindi makatwirang numero. Isang mapaglarawang halimbawa: 2 · 2 = 2.

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero, ang pagtaas nito sa isang hindi makatwirang kapangyarihan ay nagbibigay ng isang makatwirang numero. Sa isang kapangyarihan ng form 2 log 2 3, ang base at exponent ay hindi makatwiran na mga numero. Gayunpaman, ang bilang mismo ay makatuwiran: 2 log 2 3 = 3.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Suliranin 2. 1

Ipahayag ang mga simbolikong pahayag na nakalista sa ibaba sa mga salita kung ang P(x) ay isang unary predicate na tinukoy sa set M:

Suliranin 2. 2

Ano ang mangyayari sa extensional ng predicate na A(x), na tinukoy bilang hindi pagkakapantay-pantay x*x<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

Suliranin 2.3

Hayaan ang R(x) - "x ay isang tunay na numero",

Q(x) - "Ang x ay isang rational na numero." Gamit ang mga simbolo na ito, isulat ang formula:

1. lahat ng mga rational na numero ay totoo

2. walang rational number ang tunay

3. ang ilang mga rational na numero ay totoo

4. ang ilang mga rational na numero ay hindi totoo

Suliranin 2.4

Ang mga sumusunod na panaguri ay ipinakilala:

J(x)- "x ang hukom",

L(x)- "x ay isang abogado",

S(x)- "x ay isang manloloko",

Q(x)- "x ay isang matandang lalaki",

V(x)- "x - masayahin",

P(x)- "x ay isang politiko",

C(x)- "x ay isang miyembro ng parlyamento",

W(x)- "x ay isang babae",

U(x)- "x ay isang maybahay",

A(x, y) - "x hinahangaan y",

j - Jones.

Maghanap ng sulat sa pagitan ng pandiwang paglalarawan at mga formula:

Ang lahat ng mga hukom ay mga abogado

Ang ilang mga abogado ay manloloko

Walang hukom ang manloloko

Ang ilang mga hukom ay matanda na, ngunit masigla

Si Judge Jones ay hindi matanda o hindi maganda

Hindi lahat ng abogado ay hukom

Ang ilang mga abogado na mga pulitiko, mga miyembro ng parlyamento

Walang Member of Parliament na masayahin

Ang lahat ng mga lumang miyembro ng parlyamento ay mga abogado

Ang ilang kababaihan ay parehong abogado at miyembro ng parlyamento

Walang babaeng parehong pulitiko at maybahay

Ang ilang mga babaeng abogado ay mga maybahay din

Lahat ng babaeng abogado ay humahanga sa ilang hukom

Ang ilang mga abogado ay humahanga lamang sa mga hukom

Hinahangaan ng ilang abogado ang mga babae

Ang ilang mga manloloko ay hindi humahanga sa sinumang abogado

Hindi Hinahangaan ni Judge Jones ang Sinumang Manloloko

Mayroong parehong mga abogado at manloloko na humahanga kay Judge Jones

Ang mga hukom lamang ang humahanga sa mga hukom

a.

$x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))

b.

"x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))

c.

"x (C(x) ® ù "(x))

d.

"x (C(x)/\Q(x) ®L(x))

e.

$x (W(x)/\L(x)/\C(x))

f.

$x (W(x)/\L(x)/\U(x))

g.

"x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))

h.

"x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))

j.

"x (J(x) ®L(x))

k.

$x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

l.

Kung ang bawat numero ay nahahati sa bawat numero, kung gayon ito ay pantay

para sa bawat totoong numerong x mayroong y na para sa bawat k, kung ang kabuuan ng k at 1 ay mas mababa sa y, kung gayon ang kabuuan ng x at 2 ay mas mababa sa 4

mayroong kahit na numero na nahahati sa anumang numero kung ang numerong ito ay prime

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay nahahati ng bawat isa sa kanilang mga karaniwang divisors

para maging prime ang anumang numero, hindi ito dapat mahahati ng anumang odd number

para sa bawat tunay na numero mayroong mas malaking tunay na numero

May mga tunay na numerong x, y, k na ang kabuuan ng x at y ay mas malaki kaysa sa produkto ng x at k.

kung ang produkto ng isang may hangganang bilang ng mga salik ay 0, kung gayon ang isa sa mga salik ay 0

Suliranin 2.6

Ang mga sumusunod na panaguri ay ipinakilala:

P(x) - "x ay isang prime number"

E(x) - "x ay isang even na numero"

O(x) - "x ay isang kakaibang numero"

D(x, y) - "y ay hinati ng x"

Isalin ang mga formula sa Russian:

3. "x (D(2, x) ®E(x))

4. $x (E(x)/\D(x, 6))

5. "x (ù E(x) ® ù D(2, x))

6. "x (E(x)/\"y (D(x, y) ®E(y)))

7. "x (P(x) ®$y (E(y)/\D(x, y)))

8. "x (O(x) ®*y (P(y) ® ù D(x, y)))

Suliranin 2.7

Patunayan ang mga sumusunod na katumbas:

1. = $x (A(x) ®B(x))¬®"x (A(x) ®$x B(x))

2. = $x (A(x) ¬®B(x)) ¬®"x (A(x)\/B(x)) ® $x (A(x)/\B(x))

Suliranin 2.8

Patunayan ang mga sumusunod na tautologies:

1. = "x A(x)® $x A(x)

2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)

3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)

Suliranin 2.9

Kumuha ng mga predicate expression sa tamang normal na anyo:

1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))

2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))

Suliranin 2. 10

Bawasan ang expression sa conjunctive normal form:

"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\

/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))

Suliranin 2. 11

Bumuo ng mga talahanayan ng katotohanan para sa mga sumusunod na formula (ang mga panaguri ay tinukoy sa isang set ng dalawang elemento):

1. "x(P(x) ®Q)\/(Q/\P(y))

2. "x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)

3. "x $y((B(x)/\D(y)))\/(B(x) ®C))

4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)

5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)

6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))

7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)

Suliranin 2. 12

Ibinigay: D=(a, b), P(a, a)=at, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=at Tukuyin ang mga halaga ng katotohanan ​ng mga formula:

1. "x $y P(x, y)

2. $x "y P(x, y)

3. "x "y (P(x, y) ®P(y, x))

4. "x "y P(x, y)

5. $y ù P(a, y)

7. "x $y (P(x, y)/\P(y, x))

8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)

Suliranin 2. 13

Suriin ang sumusunod na pangangatwiran para sa pagkakapare-pareho:

Ang bawat estudyante ay tapat. Hindi tapat si John. Kaya hindi estudyante si John.

Si Saint Francis ay minamahal ng lahat ng nagmamahal sa isang tao. Ang bawat tao'y nagmamahal sa isang tao. Kaya naman, mahal ng lahat si St. Francis.

Walang hayop ang imortal. Ang mga pusa ay mga hayop. Nangangahulugan ito na ang ilang mga pusa ay hindi imortal.

Tanging mga ibon ang may balahibo. Walang mammal ang isang ibon. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga mammal ay walang mga balahibo.

Lahat ng pulitiko ay artista. Ipokrito ang ilang artista. Ibig sabihin, ipokrito ang ilang pulitiko.

Kakayanin ito ng isang tanga. Hindi ko kaya ito. Kaya hindi ako tanga.

Kung sinuman ang maaaring malutas ang problemang ito, gayon din ang sinumang mathematician. Si Sasha ay isang mathematician, ngunit hindi niya magagawa. Nangangahulugan ito na hindi malulutas ang problema.

Kahit sinong mathematician ay kayang lutasin ang problemang ito kung sinuman ang makakalutas nito. Si Sasha ay isang mathematician, ngunit hindi niya ito malulutas. Nangangahulugan ito na ang problema ay hindi malulutas.

Ang sinumang makakalutas ng problemang ito ay isang mathematician.

Hindi ito malulutas ni Sasha. Samakatuwid, si Sasha ay hindi isang mathematician.

Ang sinumang makakalutas ng problemang ito ay isang matematiko.

Walang mathematician ang makakalutas sa problemang ito. Samakatuwid, ito ay hindi mapagpasyahan.

Kung ang anumang numerong namamalagi nang mahigpit sa pagitan ng 1 at 101 ay humahati sa 101, kung gayon walang prime number na mas mababa sa 11 ang humahati sa 101. Walang prime number na mas mababa sa 11 ang humahati sa 101. Samakatuwid, walang numero sa pagitan ng 1 at 101 ang naghahati sa 101 .

Kung ang bawat ninuno ng isang ninuno ng isang partikular na indibidwal ay ninuno din ng parehong indibidwal, at walang indibidwal na ninuno ng kanyang sarili, dapat mayroong isang tao na walang mga ninuno.

Para sa bawat tao, mayroong isang tao na mas matanda sa kanya. Kung ang x ay inapo ng y, ang x ay hindi mas matanda sa y. Ang lahat ng tao ay mga inapo ni Adan.

Samakatuwid, si Adan ay hindi isang tao.

Para sa anumang set x, mayroong isang set y na ang cardinality ng y ay mas malaki kaysa sa cardinality ng x. Kung ang x ay kasama sa y, kung gayon ang kapangyarihan ng x ay hindi mas malaki kaysa sa kapangyarihan ng y. Ang bawat set ay kasama sa V. Samakatuwid, ang V ay hindi isang set.

Ang lahat ng mga reptilya ay may 4 na paa o walang paa. Ang palaka ay may 4 na paa. Kaya siya ay isang reptilya.

Ang bawat mag-aaral na pumasa sa pagsusulit sa tamang oras ay tumatanggap ng scholarship. Hindi tumatanggap ng scholarship si Petrov. Kaya naman hindi siya estudyante.

Walang taong may gusto sa mga insekto. Ang mga gagamba ay hindi mga insekto. Ibig sabihin may nagmamahal sa kanila.

Lahat ng mga guro sa sining ay lalaki. Ang lahat ng mga aralin sa mas mababang baitang ay itinuturo ng mga kababaihan.

Dahil dito, ang pagguhit ay hindi itinuturo sa mas mababang grado.

Ang sinumang nakapagtapos ng paaralan ay maaaring magsalita ng Ingles. Walang sinuman sa pamilya ni Mueller ang nagsasalita ng Ingles. Ang mga taong walang sekondaryang edukasyon ay hindi tinatanggap sa instituto.

Dahil dito, wala sa mga Müller ang nag-aaral sa institute.

Lahat ng gasolinahan ay kumikita. Ang lahat ng mga punto ng koleksyon ng ulam ay hindi kumikita. Ang isang negosyo ay hindi maaaring maging parehong kumikita at hindi kumikita. Dahil dito, walang gasolinahan ang tumatanggap ng mga bote.

Ang sinumang may matinong pag-iisip ay makakaunawa ng matematika. Wala sa mga anak ni Tom ang nakakaintindi ng matematika.

Bawal bumoto ang mga loko.

Dahil dito, wala sa mga anak ni Tom ang pinapayagang bumoto.

Ang bawat barbero sa N ay inaahit ang lahat ng iyon at tanging ang mga hindi nag-ahit sa kanilang sarili. Dahil dito, walang nag-iisang tagapag-ayos ng buhok sa N.

Ang bawat atleta ay malakas. Lahat ng malakas at matalino ay nakakamit ng tagumpay sa buhay. Si Peter ay isang atleta.

Matalino si Peter. Kaya naman, magiging matagumpay siya sa buhay.

Suliranin 2. 14

Ibalik ang nawawalang lugar o konklusyon upang ang sumusunod na pangangatwiran ay lohikal:

Ang matapang lamang ang karapat-dapat mahalin. Maswerte siya sa pag-ibig. Hindi siya matapang.

Ang mga matatanda ay pinapayagan lamang na pumasok kasama ang mga bata. Pinapasok nila ako.

Kaya, ako ay isang bata o may kasamang isang bata.

Suliranin 2. 15

Ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

ang kaalaman sa istruktura ng data ay kinakailangan upang mapabuti ang disiplina sa kaisipan;

tanging karanasan sa programming ang makakalikha ng isang disiplinadong pag-iisip;

para makapagsulat ng compiler, kailangan mong masuri ang mga problema;

hindi masusuri ng hindi disiplinadong isip ang mga problema;

sinumang may nakasulat na mga nakabalangkas na programa ay maaaring ituring na isang bihasang programmer.

Posible bang matukoy mula sa mga pagpapalagay na ito ang bisa ng mga sumusunod na pahayag:

Premise: 1. masaya ang dragon kung lahat ng anak nito ay makakalipad;

2. Ang berdeng dragon ay maaaring lumipad;

3. berde ang dragon kung berde man lang ang isa sa mga magulang nito, kung hindi man ay matingkad na rosas.

Konklusyon: 1. Masaya ang mga berdeng dragon.

2. Masaya ang mga dragon na walang anak (maaaring kailanganin mo ang ilang halatang napalampas na lugar dito).

3. Ano ang dapat gawin ng matingkad na kulay rosas na dragon para maging masaya?

Suliranin 2. 17

Paggamit ng mga simbolo na ipinakilala para sa mga panaguri at mga palatandaan ng aritmetika (halimbawa, "+" at "<"), перевести на язык формул:

1. Kung ang produkto ng isang may hangganan na bilang ng mga salik ay zero, kung gayon ang isa man lang sa mga salik ay sero (Ang ibig sabihin ng Px ay “x ay produkto ng isang may hangganang bilang ng mga salik”, at ang Fxy ay nangangahulugang “x ay isa sa mga salik ng y”).

2. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay nahahati sa bawat isa sa kanilang mga karaniwang divisor (Fxy ay nangangahulugang "x ay isa sa mga divisor ng numero y", at Gxyz - "z ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero x at y”).

3. Para sa bawat tunay na numerong x mayroong mas malaking tunay na numerong y(Rx).

4. Mayroong tunay na mga numerong x, y, z na ang kabuuan ng mga numerong x at y ay mas malaki kaysa sa produkto ng mga numerong x at z.

5. Para sa bawat tunay na numerong x mayroong y na para sa bawat z, kung ang kabuuan ng z at 1 ay mas mababa sa y, kung gayon ang kabuuan ng x at 2 ay mas mababa sa 4.

Suliranin 2. 18

Hayaang ang A0, A1, ..., An, ... ay isang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero. Gamit ang mga limitadong quantifier, isalin sa simbolikong anyo:

1. Ang pahayag na ang a ay ang limitasyon ng sequence na ito; 2. Ang pahayag na ang sequence na ito ay may limitasyon;< e).

3. Ang pahayag na ang sequence na ito ay isang Cauchy sequence (i.e., na kung bibigyan ng e>0, pagkatapos ay mayroong positibong numero k na ang n, m>k ay nagpapahiwatig ng úAn - Amú

Isulat ang negasyon ng bawat isa sa mga formula.

Suliranin 2. 19

Gumawa ng mga konklusyon na naaayon sa sumusunod na pangangatwiran:

Walang Republikano o Demokratiko ang sosyalista. Si Norman Thomas ay isang sosyalista. Samakatuwid hindi siya isang Republikano.

Ang bawat rational na numero ay isang tunay na numero. May rational number.

Gustung-gusto ng ilang freshmen ang lahat ng sophomores.

Wala ni isang freshman ang may gusto sa alinman sa mga penultimate year students.

Dahil dito, wala ni isang mag-aaral sa ikalawang taon ang mag-aaral sa penultimate na taon.

May mga taong gusto si Elvis. May mga taong ayaw sa sinumang may gusto kay Elvis. Samakatuwid, ang ilang mga tao ay hindi minamahal ng lahat.

Walang drug dealer ang drug addict. Ang ilang mga lulong sa droga ay dinala sa hustisya.

Dahil dito, ang ilan sa mga taong inuusig ay hindi mga nagbebenta ng droga.

Ang lahat ng mga freshmen ay nakakatugon sa lahat ng mga sophomore. Wala ni isang freshman ang nakikipag-date sa isang solong estudyante mula sa penultimate year. May mga sophomores. Dahil dito, wala ni isang mag-aaral sa ikalawang taon ang mag-aaral sa penultimate na taon.

Ang lahat ng mga rational na numero ay tunay na mga numero. Ang ilang mga rational na numero ay mga integer.

Samakatuwid, ang ilang mga tunay na numero ay mga integer.

16. Alin sa mga sumusunod na pangungusap ang isang pahayag:

a) ang bakal ay mas mabigat kaysa tingga;

Ang lahat ng mga freshmen ay nakakatugon sa lahat ng mga sophomore. Wala ni isang freshman ang nakikipag-date sa isang solong estudyante mula sa penultimate year. May mga sophomores. Dahil dito, wala ni isang mag-aaral sa ikalawang taon ang mag-aaral sa penultimate na taon.

b) ang sinigang ay isang masarap na ulam;

c) ang matematika ay isang kawili-wiling paksa;

d) masama ang panahon ngayon.

17. Alin sa mga sumusunod na pangungusap ang maling pahayag:

b) oxygen – gas;

c) ang computer science ay isang kawili-wiling paksa;

d) ang bakal ay mas magaan kaysa tingga.

18. Alin sa mga sumusunod na pahayag ang negasyon ng pahayag: "Lahat ng prime numbers ay odd":

a) "May pantay na prime number";

b) "May kakaibang prime number";

c) "Lahat ng prime number ay pantay";

d) "Lahat ng mga kakaibang numero ay prime"?

19. Aling lohikal na operasyon ang tumutugma sa sumusunod na talahanayan ng katotohanan:

a) mga pang-ugnay;

b) disjunctions;

c) mga implikasyon;

d) "Lahat ng mga kakaibang numero ay prime"?

d) pagkakapantay-pantay.

20. Aling lohikal na operasyon ang tumutugma sa sumusunod na talahanayan ng katotohanan:

a) pagkakapantay-pantay;

b) mga pang-ugnay;

d) mga paghihiwalay.

21. Hayaang tukuyin ng A ang pahayag na "Ang tatsulok na ito ay isosceles," at hayaan

B - ang pahayag na "Ang tatsulok na ito ay equilateral." Ipahiwatig ang totoong pahayag:

22. Kung mayroong isang set ng mga pahayag A 1, A 2, … A n na nagpapalit ng propositional algebra formula F(X 1, X 2, …, X n) sa isang tunay na pahayag, kung gayon ang formula na ito ay tinatawag na:

a) magagawa;

b) tautolohiya;

c) kontradiksyon;

c) na nagiging maling pahayag para sa lahat ng hanay ng mga variable;

d) kung saan mayroong isang hanay ng mga pahayag na nagiging maling pahayag ang formula.

24. Alin sa mga formula ang mapabulaanan:

25. Alin sa mga formula ang magagawa:

26. Aling pahayag ang tumutugma sa pahayag: "Para sa anumang numero mayroong isang bilang na":

27. Aling pahayag ang tumutugma sa pahayag:

a) “May mga bilang na ganyan;

b) “Ang pagkakapantay-pantay ay patas para sa lahat;

c) "May isang bilang na para sa lahat ng mga numero";

d) "Para sa anumang numero mayroong isang bilang na ."

28. Alin sa mga sumusunod na pahayag ang mali:

29. Tukuyin ang truth set ng panaguri “ x maramihang ng 3", na tinukoy sa set M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):

a) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

d) TP=(3, 6, 9, 12).

30. Tukuyin ang truth set ng panaguri " x maramihang ng 3", tinukoy sa set M=(3, 6, 9, 12):

a) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP=Æ.

31. Tukuyin ang truth set ng panaguri " x 2 +x+6=0", na tinukoy sa hanay ng mga tunay na numero:

a) TP=Æ; b) TP=(1, 6); c) TP=(–2, 3); d) TP=(–3, 2).

32. Tukuyin ang hanay ng katotohanan ng panaguri:

33. Tukuyin ang hanay ng katotohanan ng panaguri:

38. Ipakilala natin ang mga sumusunod na unary predicates:

Q(x): « x– makatwirang numero";

R(x): « x- totoong numero."

Kung gayon ang panaguri ay maaaring ituring bilang isang pagsasalin sa wika ng predicate algebra ng sumusunod na pahayag:

a) ang ilang mga makatwirang numero ay totoo;

b) ang ilang mga rational na numero ay hindi totoo;

c) walang makatwirang numero ang totoo;

d) lahat ng mga rational na numero ay totoo.

10 - Logic sa matematika i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; * Sa ilalim ng anong mga kundisyon: a) ∀x P (x) ≡ ∃x P(x) ; ∀x (C(x)→Y(x)), kung saan ang C(x) ay “x ay isang mag-aaral”, at Y(x) ay “x ay isang mag-aaral”. 25b. ∃x (C(x) at O(x)) . ika-25 siglo Isulat natin ang dalawang-lugar na panaguri sa anyo ng isang ordinaryong ugnayan: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.

Mga praktikal na gawain para sa seksyon 3

Ang konsepto ng isang panaguri at mga operasyon sa mga ito.

3.1. Alin sa mga sumusunod na expression ang predicates:

A) " X nahahati sa 5" ( X Î N);

b) "Ilog" X dumadaloy sa Lawa ng Baikal" ( X dumadaloy sa maraming pangalan ng lahat ng uri ng ilog);

V) " x2 + 2X+ 4" ( XÎ R) ;

G) "( X + sa)2 = x2 + 2Xy + y 2" ( x, yÎ R);

d)" X may kapatid sa» ( x, y maraming tao ang tumatakbo);

e) " X At sa» ( x, sa tumakbo sa hanay ng lahat ng mga mag-aaral ng isang partikular na grupo);

at)" X At sa humiga sa magkabilang panig ng z» ( x, sa tumakbo sa hanay ng lahat ng mga puntos, at z - lahat ng mga linya ng isang eroplano);

h) “ctg 45° = 1”;

At)" X patayo sa» ( X, sa tumakbo sa hanay ng lahat ng tuwid na linya ng isang eroplano).

3.2. Para sa bawat isa sa mga sumusunod na pahayag, humanap ng isang panaguri (isahan o maramihan) na nagiging isang ibinigay na pahayag kapag pinapalitan ang mga variable ng paksa ng mga angkop na halaga mula sa kaukulang mga domain:

a) “3 + 4 = 7”;

b) “Ang Pananampalataya at Pag-asa ay magkapatid”;

c) "Ngayon ay Martes";

d) "Ang lungsod ng Saratov ay matatagpuan sa pampang ng Volga River;

e) “sin 30° = 1/2”;

f) "-mahusay na makatang Ruso";

g) “32 + 42= 52;

h) "Ang Indigirka River ay dumadaloy sa Lake Baikal";

Ang pagkakaroon ng constructed tulad ng isang panaguri, subukan upang tumpak na ipahiwatig nito domain ng katotohanan, o sa anumang paraan outline ito.

Solusyon. i) Maaaring tukuyin ang tatlong panaguri, na ang bawat isa ay nagiging isang ibinigay na pahayag na may naaangkop na pagpapalit. Ang unang panaguri ay unary:

"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48"> Ito ay nagiging pahayag na ito sa pagpapalit Ang resultang pahayag ay totoo hindi nauubos ang itinakdang katotohanan ng nabuong panaguri Madaling matukoy na ang hanay na ito ay ang mga sumusunod. . Ang pangalawang panaguri ay unary din: "" (yÎ R). Ito ay nagiging pahayag na ito kapag pinapalitan y = 1. Malinaw na inuubos ng value na ito ang truth set ng predicate na ito..png" width="240" height="48">. Ito ay nagiging pahayag na ito kapag napalitan, sa= 1. Ang domain ng katotohanan nito ay isang hanay ng mga nakaayos na pares, na ang koleksyon nito ay graphical na inilalarawan bilang isang walang katapusang pamilya ng mga kurba na tinatawag na mga tangentoids.

3.3. Basahin ang mga sumusunod na pahayag at alamin kung alin sa mga ito ang totoo at alin ang mali, sa pag-aakalang lahat ng mga variable ay tumatakbo sa hanay ng mga tunay na numero:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" width="135" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" width="136" height="21 src=">

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" width="232" height="24 src=">

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" width="204" height="24 src=">

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" width="201" height="24 src=">

l) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" na nauugnay sa variable x, na tumatakbo sa hanay ng R. Sinasabi na sa resultang expression ang variable sa ay konektado, at ang variable X libre. Sa halip na isang variable sa hindi na natin mapapalitan ang anuman, samantalang sa halip X ang mga tunay na numero ay maaaring palitan, bilang isang resulta kung saan ang unary predicate ay magiging mga pahayag. Halimbawa, ang pahayag na " " mababasa ng ganito: "May totoong numero sa, ganyan X)($y)( X+ sa= 7)" ay totoo. Mababasa ito bilang sumusunod: "Para sa anumang tunay na numero, mayroong isang tunay na numero na ang kabuuan sa una ay 7." Sa ekspresyong "(" X)($y)( X+ sa= 7)” wala nang mga libreng variable. Parehong variable X At sa tumayo sa ilalim ng mga palatandaan ng mga quantifier at samakatuwid ay nauugnay. Ang ekspresyon mismo ay hindi na isang panaguri, ito ay isang pahayag, totoo, tulad ng itinatag natin. Gayunpaman, kung gusto natin, kung gayon, ang pagbuo ng konsepto ng isang panaguri, maaari nating ipagpalagay na ang isang pahayag ay isang 0-lugar na panaguri, iyon ay, isang panaguri na walang mga variable. Ngunit dapat nating matanto na ang quantitative transition mula sa isang predicate na isang lugar patungo sa isang predicate na 0-place ay humahantong sa isang qualitative leap, upang ang isang 0-place predicate ay isang object na qualitatively naiiba mula sa isang isang-place predicate, bagama't kami ay may kondisyong ipapabilang ito. sa ilalim ng konsepto ng "predicate".

b) Ang pahayag na "($у)(" X)(X+ sa= 7)" ay mababasa tulad ng sumusunod: "May isang tunay na numero na, kapag idinagdag sa anumang tunay na numero, ay nagdaragdag ng hanggang 7." Hindi mahirap makita na mali ang pahayag na ito. Sa katunayan, isaalang-alang ang unary predicate "(" X)(X+ sa= 7)" na nauugnay sa variable y, sa pamamagitan ng paglalapat ng existential quantifier kung saan nakuha ang ibinigay na pahayag. Malinaw na, kahit na anong tunay na numero ang ipalit sa subject variable y, Halimbawa "(" X)(X+ 4 = 7)", ang panaguri ay magiging maling pahayag. (Ang pahayag na "(" X)(X+ 4 = 7)" ay mali, dahil ang unary predicate "( X+ 4 = 7)" nagiging maling pahayag, halimbawa, kapag pinapalitan ang isang variable X numero 5.) Samakatuwid ang pahayag na “($y)(" X)(X+ sa= 7)", na nagreresulta mula sa unary predicate na "(" X)(X+ sa= 7)" gamit ang operasyon ng pagkuha ng existence quantifier sa pamamagitan ng y, mali.

i) Ang pahayag na ito ay mababasa tulad ng sumusunod: "Anumang tunay na numero ay katumbas ng sarili nito kung at kung ito ay mas malaki sa 1 o mas mababa sa 2." Upang malaman kung totoo o mali ang pahayag na ito, susubukan naming hanapin ang totoong numero x0, na magpapaikot sa unary na panaguri

sa isang maling pahayag. Kung namamahala kaming makahanap ng ganoong numero, kung gayon ang ibinigay na pahayag na nakuha mula sa panaguri na ito sa pamamagitan ng "pag-attach" (i.e., paglalapat ng operasyon ng pagkuha) ang pangkalahatang quantifier ay mali. Kung dumating tayo sa isang kontradiksyon, ipagpalagay na ito ay x0 umiiral, kung gayon ang pahayag ay totoo.

Malinaw na ang panaguri " x = x" nagiging totoong pahayag kapag pinalitan X anumang tunay na numero, iyon ay, ito ay magkaparehong totoo. Ang tanong ay: posible bang magpahiwatig ng isang tunay na numero na magbabago sa panaguri " » sa isang maling pahayag? Hindi, dahil kahit anong totoong numero ang kunin natin, ito ay mas malaki sa 1 o mas mababa sa 2 (o parehong mas malaki sa 1 at mas mababa sa 2, na hindi naman talaga ipinagbabawal sa aming kaso). Samakatuwid, ang panaguri " "ay magkatulad na totoo. Kung gayon ang panaguri ay magiging magkaparehong totoo

At nangangahulugan ito ng pahayag na ito

sa pamamagitan ng kahulugan ng operasyon ng pagkuha ng isang pangkalahatang quantifier ay totoo.

3.4. Hayaan ang P (x) at Q (x) na maging unary predicates na tinukoy sa set M, upang ang pahayag https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height=23 " height="23">false.

3.5. Tukuyin kung ang isa sa mga panaguri na tinukoy sa hanay ng mga tunay na numero ay bunga ng isa pa:

a) "| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

b) “x4 = 16”, “x2 = - 2”;

c) “x - 1 > 0”, “(x - 2) (x + 5) = 0”;

d) “sin x = 3”, “x2 + 5 = 0”;

e) “x2 + 5x - 6 > 0”, “x + 1 = 1 + x”;

e) “x2 £ 0”, “x = sin p”;

g) “x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0”, “| x - 2| = 1".

Solusyon. g) Ang pangalawang panaguri ay nagiging isang tunay na pahayag na may dalawang pagpapalit lamang: x = 1 at x = 3. Madaling i-verify na ang mga pagpapalit na ito ay nagiging tunay na pahayag din ang unang panaguri (sila ang mga ugat ng cubic equation na ito) . Samakatuwid, ang unang panaguri ay bunga ng pangalawa.

3.6. Tukuyin ang isang set M ng mga halaga ng variable ng paksa upang sa set na ito ang pangalawang panaguri ay magiging bunga ng una:

A) " X maramihang ng 3", " X kahit";

b) " x 2 = 1", " x-1 = 0";

V) " x kakaiba", " X- parisukat ng isang natural na numero";

G)" x- rhombus", " x- paralelogram";

d)" x- paralelogram", " x- rhombus";

e) " x- siyentipikong Ruso", " x- mathematician";

at)" x- parisukat", " x- paralelogram."

Solusyon. g) Dahil ang bawat parisukat ay isang paralelogram, ang set ng lahat ng quadrilaterals ay maaaring kunin bilang set kung saan ang pangalawang panaguri ay bunga ng una.

3.7. Patunayan na ang pagsasama ng isang magkatulad na tunay na panaguri sa anumang iba pang panaguri depende sa parehong mga variable ay katumbas ng huli.

3.8. Patunayan na ang implikasyon ng dalawang panaguri depende sa parehong mga variable na may kaparehong huwad na kahihinatnan ay katumbas ng negasyon ng premise nito.

MGA TALA SA WIKA NG PREDICATE ALGEBRA

at Pagsusuri ng pangangatwiran gamit ang predicate algebra

Halimbawa 1. Ano ang ibig sabihin ng pahayag na "Ang mga linya a at b ay hindi magkatulad"?

Upang ipakita ang kahulugan ng formula Ø(a || b), kailangan nating hanapin ang negation ng formula $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b). Mayroon kaming Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.

Ngunit ang formula na Ø$a(a Ì a & b Ì a), ibig sabihin sa Russian "Walang eroplanong naglalaman ng parehong linya a at b," ay nagbibigay ng kaugnayan ng mga tumatawid na linya, at ang formula a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, isinalin sa Russian na may pangungusap na "Ang mga linya a at b ay may mga karaniwang punto, ngunit hindi nag-tutugma," ay nagpapahayag ng kaugnayan ng intersection ng mga linya.

Kaya, ang mga di-parallel na linya ay nangangahulugan ng kanilang intersection o pagtawid. Halimbawa 2. Isulat sa wika ng predicate algebra ang tinatawag na "Aristotelian categorical judgments" na kadalasang ginagamit sa pangangatwiran: "Everything S kakanyahan R", "Ilan S kakanyahan R", "Wala S hindi ang punto R", "Ilan S hindi ang punto R».

Ang entry ay ibinigay sa talahanayan. 1.1. Ang unang hanay ng talahanayang ito ay nagpapahiwatig ng uri ng paghatol na lumitaw kapag nag-uuri ng mga kategoryang paghatol ayon sa isang kumplikadong pamantayan na isinasaalang-alang ang dami (pangkalahatan at partikular na mga paghatol), na ipinahayag sa pagbabalangkas ng mga salitang quantifier na "lahat", "ilan", at kalidad (nagpapatibay at negatibong mga paghuhusga), na naihatid ng mga nag-uugnay na "kakanyahan", "hindi ang kakanyahan", "ay".

Ang ikalawang hanay ay nagbibigay ng karaniwang pandiwang pagbabalangkas ng mga paghatol sa tradisyonal na lohika, at ang ikalima - ang kanilang pag-record sa wika ng predicate algebra, habang S(x) dapat unawain bilang “x has the property S", A P(x)- parang “x has the property R».

Ipinapakita ng ikaapat na column ang kaugnayan sa pagitan ng mga volume Vs at VP ng mga konsepto S At R, kung ang mga paghatol ay nauunawaan sa pinakapangkalahatang anyo, kapag nagbibigay ang mga ito ng komprehensibong impormasyon tungkol lamang sa paksa. Halimbawa, mula sa paghatol na “Lahat S kakanyahan R"Malinaw na pinag-uusapan natin ang lahat S, ang saklaw ng panaguri ay hindi tinukoy: pinag-uusapan ba natin ang lahat ng mga bagay na may ari-arian P, o tungkol lamang sa ilan; kung S kakanyahan P, o iba pang mga bagay ay din R. Minsan ang kawalan ng katiyakan tungkol sa saklaw ng panaguri R inaalis ang konteksto, kung minsan ang pag-aalis na ito ay hindi kinakailangan. Upang bigyang-diin ang ratio ng volume VP sa volume Vs, isang mas tiyak na pagbabalangkas ang ginagamit: "Lahat S at hindi lang S kakanyahan R"o lahat S at sila lang ang esensya R" Ang pangalawang pagbabalangkas ay tinatawag paglalahat apirmatibong paghatol. Ang unang paghatol ay sinasagot ng Venn diagram na ipinapakita sa Fig. 1, a, pangalawa - sa Fig. 1, b. Sa sinabi nito, ang paghatol na “Ilan S kakanyahan R" ay karaniwang nauunawaan bilang "Ilan S at hindi lang sila R", na tumutugma sa diagram sa Fig. 2, a, ngunit maaari rin itong mangahulugang “Ilan S at sila lang ang esensya S"(Larawan 2, b). Ang paghatol na “Lahat S hindi ang punto R", na nauunawaan sa pangkalahatang anyo, ay tumutugma sa diagram sa Fig. 3, a. Sa parehong paghatol sa madiin na anyo na "Lahat S at sila lang ang hindi R"tumugon sa diagram sa Fig. 3, b. Ang pagbabalangkas na ito ay tumutugma sa paglalarawan ng relasyon sa pagitan ng magkasalungat na konsepto , ibig sabihin, yaong ang mga volume ay hindi nagsalubong at nauubos ang volume ng isang mas pangkalahatang generic na konsepto. Sa wakas, ang paghatol na “Ilan S wag kumain R»sa pangkalahatan ay tumutugma sa diagram sa Fig. 4, a, at sa anyo ng pag-highlight na “Ilan S at sila lang ang hindi R"- diagram sa fig. 4, b. Talahanayan 3.1

Uri ng paghatol	Pagre-record sa tradisyunal na lohika ng mga verbal formulations	Notasyon sa predicate algebra language	Relasyon sa pagitan ng mga volume Vs at VP
Pangkalahatang sang-ayon	Lahat S kakanyahan P		Fig.1
Pribadong apirmatibo	Ang ilan S kakanyahan R		kanin. 2
Pangkalahatang negatibo	wala S hindi ang punto R
Bahagyang negatibo	Ang ilan S hindi ang punto R		Fig.4

Halimbawa 3. Suriin ang pangangatwiran “Lahat ng tao ay mortal; Si Socrates ay isang lalaki; kaya mortal si Socrates." Ang unang premise ng argumento ay isang pangkalahatang affirmative na proposisyon (tingnan ang halimbawa 2). Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: H(x): x - person; C (x): x - mortal; c - Socrates.

Istraktura ng argumento:

"x(H(x)ÞC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)

Hayaan ang (3.1) na hindi humawak. Pagkatapos, sa ilang domain Do dapat mayroong isang set (a, li(x), lj(x)) para sa (c, H(x), C(x)), kung saan ang mga sumusunod na kundisyon ay matutugunan:

"x(li(x) Þ lj (x)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.

Ngunit ang implikasyon na li(a) Þ lj (a) ay may halagang A, na nangangahulugang, sa pamamagitan ng kahulugan ng pangkalahatang quantifier, “x(li(x) Þ lj (x)) = A, na sumasalungat sa unang kundisyon . Samakatuwid, ang Corollary 2.8 ay tama, at ang orihinal na pangangatwiran ay tama.

Halimbawa 4. Suriin ang pangangatwiran: "Anumang koponan ng hockey na maaaring talunin ang CSKA ay isang pangunahing koponan ng liga. Walang major league team ang makakatalo sa CSKA. Nangangahulugan ito na ang CSKA ay hindi matatalo.

O notation: P(x): kayang talunin ng team x ang CSKA; B (x): pangkat x mula sa pangunahing liga.

Istraktura ng argumento:

"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).

Itinatag namin kung tama ang resulta gamit ang paraan ng mga katumbas na pagbabago. Gamit ang corollary b) ng generalization ng Proposisyon 1.10, binabago natin ang formula na “x(P(x) Þ B(x))&”x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x).

Mayroon kaming: "x(P(x) Þ B(x)) & "x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = "x((P(x) Þ B(x) ) ) at (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) at (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) at $хП(х)) =

= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) at $xP(x) = ØL = I.

Sa mga katumbas na pormasyon na ito, ang property ng conjunction A & ØA = А ay ginamit ng dalawang beses at ang property ng disjunction A Ú A = A ay ginamit nang isang beses.

Kaya, ang orihinal na pormula ay karaniwang wasto, na nangangahulugang tama ang pangangatwiran.

Halimbawa 5. Suriin ang pangangatwiran: "Kung ang anumang koponan ay maaaring talunin ang CSKA, kung gayon ang ilang pangunahing koponan ng liga ay maaari din. Ang Dynamo (Minsk) ay isang pangunahing koponan ng liga, ngunit hindi matalo ang CSKA. Nangangahulugan ito na ang CSKA ay hindi matatalo.

Notation: P(x): kayang talunin ng team x ang CSKA; B(x): koponan x mula sa pangunahing liga; d - "Dynamo" (Minsk).

Istraktura ng argumento:

"X P( X) Þ $ X(SA( X)& P( X)), V(d) at ØP(d) ├ Ø$ X P( X). (3.2)

Magkomento. Kapag ginagawang pormal ang pangangatwiran, dapat itong isaalang-alang na sa natural na wika, upang maiwasan ang madalas na pag-uulit ng parehong mga salita o parirala, ang magkasingkahulugan na mga parirala ay malawakang ginagamit. Malinaw na sa panahon ng pagsasalin dapat silang maihatid ng parehong pormula. Sa ating halimbawa, ang mga kasingkahulugan ay ang mga panaguri na “utos X kayang talunin ang CSKA" at "team X maaaring talunin ang CSKA", at pareho silang ipinahayag ng formula P( X).

Ang implikasyon ng (3.2) ay mali. Upang patunayan ito, sapat na upang ipahiwatig ang hindi bababa sa isang interpretasyon ng mga formula na nagpapahayag ng mga lugar at konklusyon, kung saan ang mga lugar ay kukuha ng halaga I, at ang konklusyon - ang halaga L. Ang ganitong interpretasyon, halimbawa, ay ang mga sumusunod: D = (1, 2, 3, 4) . Sa interpretasyong ito mayroon tayo, pagkatapos ng mga kalkulasyon,

I Þ I, I &ØL ├ ØI, o I, I ├ L.

Kaya, sa interpretasyong ito, ang parehong premise ay may halaga I, at ang konklusyon ay may halagang L. Nangangahulugan ito na ang sumusunod (3.2) ay hindi tama, at ang pangangatwiran ay hindi tama.

3.9. Kapag naipasok ang angkop na unary predicates sa mga kaukulang domain, isalin ang mga sumusunod na pahayag sa wika ng predicate algebra:

a) Lahat ng mga rational na numero ay totoo.

b) Walang rasyonal na numero ang totoo.

c) Ang ilang mga rational na numero ay totoo.

d) Ang ilang mga rational na numero ay hindi totoo.

Solusyon. Ipakilala natin ang mga sumusunod na unary predicates

Q(x): « X- makatwirang numero";

R(x): « X- totoong numero."

Kung gayon ang pagsasalin ng mga pahayag sa itaas sa wika ng predicate algebra ay magiging ganito:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" width="144" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" width="137" height="21 src=">

3.10. Ipakilala ang unary predicates sa mga kaukulang domain at gamitin ang mga ito upang isulat ang mga sumusunod na pahayag sa anyo ng predicate algebra formula:

a) Ang bawat natural na bilang na nahahati sa 12 ay nahahati sa 2, 4 at 6.

b) Ang mga residente ng Switzerland ay dapat magsalita ng alinman sa French, Italian, o German.

c) Ang isang function na tuluy-tuloy sa pagitan ay nagpapanatili ng sign nito o tumatagal sa isang zero na halaga.

d) Ang ilang mga ahas ay lason.

e) Lahat ng aso ay may magandang pang-amoy.

3.11. Sa mga sumusunod na halimbawa, gawin ang parehong bilang sa nakaraang problema, nang hindi kinakailangang nililimitahan ang iyong sarili sa unary predicates:

a) Kung ang a ay ang ugat ng isang polynomial sa isang variable na may tunay na coefficients, kung gayon ito rin ang ugat ng polynomial na ito.

b) Sa pagitan ng alinmang dalawang natatanging mga punto sa isang linya ay mayroong hindi bababa sa isang punto na hindi nag-tutugma sa kanila.

c) Mayroon lamang isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang magkaibang punto.

d) Nakumpleto ng bawat mag-aaral ang hindi bababa sa isang gawaing laboratoryo.

e) Kung ang produkto ng mga natural na numero ay nahahati sa isang prime number, kung gayon hindi bababa sa isa sa mga salik ang mahahati nito.

f) Ang isang eroplano ay dumadaan sa tatlong punto na hindi nakahiga sa parehong linya.

g) Pinakamahusay na karaniwang divisor ng mga numero a At b ay hinati ng bawat karaniwang divisor.

h) Para sa bawat tunay na numero X may ganyan sa na para sa lahat z, kung ang halaga z at 1 mas mababa sa, pagkatapos ay ang kabuuan X at ang 2 ay mas mababa sa 4.

at) X- Pangunahing numero.

j) Ang bawat even na numerong higit sa apat ay ang kabuuan ng dalawang prime numbers (Goldbach's conjecture).

3.12. Isulat ang mga sumusunod na pahayag sa wikang predicate algebra:

a) May eksaktong isa X, ganyan P(x).

b) Mayroong hindi bababa sa dalawang magkaibang X, ganyan P(x).

c) Hindi hihigit sa dalawa X, ganyan P(x).

d) May eksaktong dalawang magkaibang X, ganyan P(x).

3.13. Ano ang masasabi sa set M kung para sa anumang panaguri B(x) sa set M totoo ba ang pahayag?

3.14. Hayaan P(x) ibig sabihin ay " x- Prime number", E(x) ibig sabihin ay " X- kahit na numero", Oh) - « X- kakaibang numero", D ( x,y) - « X naghahati sa"o" sa hinati ng X" Isalin ang mga sumusunod na simbolikong notasyon sa Russian sa wika ng predicate algebra, na isinasaalang-alang na ang mga variable X At sa tumakbo sa hanay ng mga natural na numero:

A) P( 7) ;

b) E ( 2) & P( 2) ;

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" width="136" height="21 src=">;

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" width="237" height="23 src=">;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" width="248" height="23 src=">;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" width="109" height="21 src=">.png" width="127" height="23">. png" width="108" height="23"> ├ ?

Ang kawastuhan ng mga sumusunod ay maaari ding suriin gamit ang mga Venn diagram, kung ang mga premise at konklusyon ay iisang panaguri na nakasalalay sa isang variable. Para sa mga kategoryang paghatol, na siyang mga lugar at konklusyon sa aming halimbawa, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga volume ng mga konsepto S At R ay inilarawan sa halimbawa 2. Gagamitin natin ang paglalarawang ito.

Ang pamamaraan ng Venn diagram para sa solong premise case ay ang mga sumusunod. Inilalarawan namin sa mga diagram ang lahat ng posibleng mga kaso ng mga relasyon sa pagitan ng mga volume ng mga konsepto S At R, naaayon sa parsela.

Kung ang konklusyon ay lumabas na totoo sa bawat isa sa mga nagresultang diagram, kung gayon ang sumusunod ay tama. Kung mali ang konklusyon sa kahit isa sa mga diagram, mali ang sumusunod.

(a) Dahil ang premise ay isang negatibong proposisyon, ang mga diagram na ipinapakita sa Fig. 1 ay posible para dito. 5.

Wala sa mga diagram na ito ang paghatol https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" height="23"> isang partikular na apirmatibong paghatol, kung gayon ang mga posibleng diagram para dito ay ipinapakita sa Fig. 6.