Anong puwersa ang tinatawag na kritikal. Ang formula ni Euler para sa pagtukoy ng kritikal na puwersa. Tingnan kung ano ang "pinababang haba ng baras" sa ibang mga diksyunaryo

Sa unang pagkakataon, ang problema ng katatagan ng mga naka-compress na rod ay ipinakita. Nakuha ni Euler ang isang formula ng pagkalkula para sa kritikal na puwersa at ipinakita na ang halaga nito ay nakadepende nang malaki sa paraan ng pag-secure ng baras. Ang ideya ng pamamaraan ni Euler ay upang magtatag ng mga kondisyon kung saan, bilang karagdagan sa isang rectilinear, ang isang katabi (i.e., arbitraryong malapit sa orihinal) curvilinear form ng balanse ng isang baras sa ilalim ng isang pare-pareho ang pagkarga ay posible din.

Ipagpalagay natin na ang isang tuwid na baras ay nakabitin sa mga dulo at pinipiga ng isang puwersa P= Pk, ay inilabas sa estado ng rectilinear equilibrium sa pamamagitan ng ilang pahalang na puwersa at nanatiling hubog pagkatapos maalis ang pahalang na puwersa (Larawan 13.4). Kung ang mga pagpapalihis ng baras ay maliit, kung gayon ang tinatayang differential equation ng axis nito ay magkakaroon ng parehong anyo tulad ng para sa transverse bending ng beam:

Pinagsasama ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng mas mababang seksyon, itinuturo namin ang axis sa patungo sa mga pagpapalihis ng baras, at ang axis X- kasama ang axis ng baras.

Sa teorya ng longitudinal bending, kaugalian na isaalang-alang ang compressive force na positibo. Samakatuwid, sa pamamagitan ng pagtukoy ng baluktot na sandali sa kasalukuyang seksyon ng pamalo na isinasaalang-alang, nakuha namin

Ngunit, tulad ng sumusunod mula sa Fig. 13.4, na may napiling direksyon ng axis sa // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси sa sa kabaligtaran, pagkatapos ay ang mga palatandaan ay sabay-sabay na magbabago sa At sa// at ang minus sign sa kanang bahagi ng equation (13.2) ay mananatili.

Dahil dito, ang equation ng nababanat na linya ng baras ay may anyo

.

Naniniwala α 2 =RK/EI, nakakakuha tayo ng linear homogenous differential equation

,

na ang pangkalahatang integral

Dito A At B- integration constants tinutukoy mula sa mga kondisyon ng pag-aayos ng baras, ang tinatawag na hangganan o hangganan kondisyon.

Ang pahalang na pag-aalis ng ibabang dulo ng baras, tulad ng makikita mula sa Fig. 13.4, katumbas ng zero, ibig sabihin, kapag X=0 pagpapalihis sa=0. Ang kundisyong ito ay masisiyahan kung B=0. Samakatuwid, ang curved axis ng baras ay isang sinusoid

.

Ang pahalang na pag-aalis ng itaas na dulo ng baras ay zero din, kaya

.

pare-pareho A, na kumakatawan sa pinakamalaking pagpapalihis ng baras, ay hindi maaaring katumbas ng zero, mula noong A=0 lamang ang isang rectilinear form ng equilibrium ay posible, at kami ay naghahanap ng isang kondisyon kung saan ang isang curvilinear form ng equilibrium ay posible rin. Kaya dapat mayroong kasalananα l=0. Ito ay sumusunod na ang mga curvilinear form ng equilibrium ng baras ay maaaring umiral kung α l tumatagal ng mga halaga π ,2π ,.nπ . Magnitude α l hindi maaaring katumbas ng zero, dahil ang solusyon na ito ay tumutugma sa kaso

Pagtutumbas α l= nπ at pagpapalit

nakukuha namin

.

Ang expression (13.5) ay tinatawag na formula ni Euler. Mula dito maaari mong kalkulahin ang kritikal na puwersa RK kapag ang baras ay buckles sa isa sa dalawang pangunahing eroplano nito, dahil sa ilalim lamang ng kondisyong ito ay may bisa ang equation (13.2), at samakatuwid ay formula (13.5).

Ang pag-ikot ng baras ay nangyayari sa direksyon ng hindi bababa sa tigas, kung walang mga espesyal na aparato na pumipigil sa baluktot ng baras sa direksyon na ito. Samakatuwid, dapat nating palitan ang formula ni Euler akomin- ang mas maliit sa mga pangunahing gitnang sandali ng pagkawalang-galaw ng cross section ng baras.

Ang maximum na halaga ng pagpapalihis ng baras A sa solusyon sa itaas ay nananatiling hindi tiyak;

Ang magnitude ng kritikal na puwersa, na tinutukoy ng formula (13.5), ay nakasalalay sa koepisyent n. Alamin natin ang geometric na kahulugan ng coefficient na ito.

Sa itaas ay itinatag namin na ang curved axis ng baras ay isang sinusoid, ang equation na pagkatapos ng pagpapalit α =π n/l sa pagpapahayag (13.4) ang anyo

.

Sine waves para sa n=1, n=2 ay ipinapakita sa Fig. 13.5. Ito ay madaling makita na ang halaga n ay kumakatawan sa bilang ng mga kalahating alon ng sinusoid kung saan ang baras ay yumuko. Malinaw, ang baras ay palaging yumuko sa pinakamaliit na bilang ng mga kalahating alon na pinapayagan ng mga sumusuportang aparato nito, dahil ayon sa (13.5) ang pinakamaliit n tumutugma sa pinakamaliit na kritikal na puwersa. Tanging ang unang kritikal na puwersang ito lamang ang may tunay na pisikal na kahulugan.

Halimbawa, ang isang baras na may mga bisagra na dulo ay baluktot sa sandaling maabot ang pinakamababang halaga ng kritikal na puwersa, na tumutugma sa n=1, dahil pinapayagan ito ng mga sumusuportang aparato ng baras na ito na yumuko kasama ang isang kalahating alon ng sinusoid. Mga kritikal na pwersa na katumbas n=2, n=3 o higit pa ay maaari lamang makamit sa pamamagitan ng mga intermediate na suporta (Larawan 13.6). Para sa isang baras na may hinged end support na walang intermediate fastenings, ang unang kritikal na puwersa ay may tunay na kahulugan

.

Ang Formula (13.5), tulad ng sumusunod mula sa hinango nito, ay wasto hindi lamang para sa isang baras na may bisagra ang mga dulo, kundi pati na rin para sa anumang baras na yumuko kapag buckling sa isang integer na bilang ng kalahating alon. Ilapat natin ang formula na ito, halimbawa, kapag tinutukoy ang kritikal na puwersa para sa isang baras na ang mga aparatong sumusuporta ay nagbibigay-daan lamang sa mga pahaba na displacement ng mga dulo nito (isang stand na may mga naka-embed na dulo). Tulad ng makikita mula sa Figure 13.7, ang bilang ng mga kalahating alon ng curved axis sa kasong ito n=2 at, samakatuwid, ang kritikal na puwersa para sa baras para sa ibinigay na mga aparatong pangsuporta

.

Ipagpalagay natin na ang isang rack na may isang pinched na dulo at ang isa pang libreng dulo (Fig. 13.8) ay na-compress sa pamamagitan ng puwersa R.

Kung lakas P= Pk, at bilang karagdagan sa rectilinear, maaari ding magkaroon ng curvilinear form ng equilibrium ng rack (dotted line sa Fig. 13.8).

Differential equation ng curved axis ng rack na ipinapakita sa Fig. Ang 13.8 coordinate axes system ay may parehong anyo.

Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay:

Ang pagsasailalim sa solusyon na ito sa malinaw na mga kundisyon sa hangganan: y=0 sa x=0 at y/ =0 sa x= l, nakukuha namin B=0, Aα cosα l= 0.

Ipinapalagay namin na ang stand ay hubog, kaya ang halaga A hindi maaaring katumbas ng zero. Kaya naman, cosα l= 0. Ang pinakamaliit na nonzero root ng equation na ito α l= π Tinutukoy ng /2 ang unang kritikal na puwersa

,

na tumutugma sa sinusoidal bending ng baras

.

Mga halaga α l=3π /2, α l=5π /2, atbp., tulad ng ipinapakita sa itaas, ay tumutugma sa malalaking halaga Pk at mas kumplikadong mga anyo ng curved axis ng rack, na halos umiiral lamang sa pagkakaroon ng mga intermediate na suporta.

Bilang pangalawang halimbawa, isaalang-alang ang isang rack na may isang pinched na dulo at ang isa pang hinged dulo (Fig. 13.9). Dahil sa curvature ng rod axis kapag P= Pk ang isang pahalang na puwersa ng reaksyon ay nagmumula sa gilid ng suporta ng bisagra R. Samakatuwid, ang baluktot na sandali sa kasalukuyang seksyon ng baras

.α :

Tinutukoy ng pinakamaliit na ugat ng equation na ito ang unang kritikal na puwersa. Ang equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpili. Hindi mahirap paniwalaan na ang pinakamaliit na di-zero na ugat ng equation na ito ay α l= 4.493=1.43 π .

Pagkuha α l= 1.43 π , nakukuha namin ang sumusunod na expression para sa kritikal na puwersa:

Dito μ =1/n- ang kapalit ng bilang ng mga kalahating alon n sinusoid kung saan yumuko ang baras. pare-pareho μ ay tinatawag na haba pagbabawas kadahilanan, at ang produkto μ l- ibinigay na haba ng pamalo. Ang ibinigay na haba ay ang haba ng kalahating alon ng sinusoid kung saan yumuko ang baras na ito.

Ang kaso ng hinged fastening ng mga dulo ng baras ay tinatawag na pangunahing. Mula sa itaas ay sumusunod na ang kritikal na puwersa para sa anumang kaso ng pag-fasten ng isang baras ay maaaring kalkulahin gamit ang formula para sa pangunahing kaso kapag pinapalitan ang aktwal na haba ng baras sa pinababang haba nito. μ l.

Mga coefficient ng pagbabawas μ para sa ilang mga rack ay ipinapakita sa Fig. 17.10.

Ang konsepto ng katatagan at kritikal na puwersa. Pagkalkula ng disenyo at pag-verify.

Sa mga istruktura at istruktura, ang mga bahagi na malawakang ginagamit ay medyo mahaba at manipis na mga baras, kung saan ang isa o dalawang cross-sectional na dimensyon ay maliit kumpara sa haba ng baras. Ang pag-uugali ng naturang mga rod sa ilalim ng pagkilos ng isang axial compressive load ay lumalabas na sa panimula ay naiiba kaysa kapag ang mga maiikling rod ay na-compress: kapag ang compressive force F ay umabot sa isang tiyak na kritikal na halaga na katumbas ng Fcr, ang rectilinear form ng equilibrium ng mahabang rod ay lumiliko. out na hindi matatag, at kapag ang Fcr ay lumampas, ang baras ay magsisimulang masinsinang yumuko (bulge). Sa kasong ito, ang isang bagong (sandali) equilibrium na estado ng nababanat na mahaba ay nagiging bago, na curvilinear na hugis. Ang kababalaghang ito ay tinatawag na pagkawala ng katatagan.

kanin. 37. Pagkawala ng katatagan

Ang katatagan ay ang kakayahan ng katawan na mapanatili ang isang posisyon o anyo ng balanse sa ilalim ng panlabas na impluwensya.

Ang kritikal na puwersa (Fcr) ay isang pagkarga, ang labis nito ay nagiging sanhi ng pagkawala ng katatagan ng orihinal na hugis (posisyon) ng katawan. Kondisyon ng katatagan:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Katatagan ng isang naka-compress na baras. Problema ni Euler.

Kapag tinutukoy ang kritikal na puwersa na nagiging sanhi ng pagkawala ng katatagan ng isang naka-compress na baras, ipinapalagay na ang baras ay ganap na tuwid at ang puwersa F ay inilapat nang mahigpit sa gitna. Ang problema ng kritikal na pagkarga ng isang compressed rod, na isinasaalang-alang ang posibilidad ng pagkakaroon ng dalawang anyo ng equilibrium sa parehong halaga ng puwersa, ay nalutas ni L. Euler noong 1744.

kanin. 38. Compressed rod

Isaalang-alang natin ang isang baras na nakabitin na suportado sa mga dulo, na pinipiga ng isang longitudinal na puwersa F. Ipagpalagay natin na sa ilang kadahilanan ang baras ay nakatanggap ng isang bahagyang kurbada ng axis nito, bilang isang resulta kung saan ang isang baluktot na sandali M ay lumitaw dito:

kung saan ang y ay ang pagpapalihis ng baras sa isang arbitrary na seksyon na may coordinate x.

Upang matukoy ang kritikal na puwersa, maaari mong gamitin ang tinatayang differential equation ng isang nababanat na linya:

(26)

Sa pagsasakatuparan ng mga pagbabagong-anyo, makikita mo na ang kritikal na puwersa ay kukuha ng pinakamababang halaga sa n = 1 (isang kalahating alon ng sinusoid ay umaangkop sa haba ng baras) at J = Jmin (ang baras ay baluktot na may kaugnayan sa axis na may pinakamaliit na sandali ng pagkawalang-galaw)

(27)

Ang expression na ito ay formula ni Euler.

Ang pag-asa ng kritikal na puwersa sa mga kondisyon ng pag-aayos ng baras.

Ang formula ni Euler ay nakuha para sa tinatawag na pangunahing kaso - sa ilalim ng palagay na ang baras ay nakabitin sa mga dulo. Sa pagsasagawa, may iba pang mga kaso ng pag-aayos ng baras. Sa kasong ito, posible na makakuha ng isang formula para sa pagtukoy ng kritikal na puwersa para sa bawat isa sa mga kasong ito sa pamamagitan ng paglutas, tulad ng sa nakaraang talata, ang differential equation ng curved axis ng beam na may kaukulang mga kondisyon ng hangganan. Ngunit maaari kang gumamit ng isang mas simpleng pamamaraan kung naaalala mo na, sa kaganapan ng pagkawala ng katatagan, isang kalahating alon ng isang sinusoid ay dapat magkasya sa haba ng baras.

Isaalang-alang natin ang ilang karaniwang mga kaso ng pag-fasten ng isang baras sa mga dulo at kumuha ng isang pangkalahatang formula para sa iba't ibang uri ng pangkabit.

kanin. 39. Iba't ibang kaso ng pag-aayos ng baras

Pangkalahatang formula ni Euler:

(28)

kung saan μ·l = l pr - pinababang haba ng pamalo; l ay ang aktwal na haba ng pamalo; Ang μ ay ang pinababang haba na koepisyent, na nagpapakita kung gaano karaming beses na kailangang baguhin ang haba ng baras upang ang kritikal na puwersa para sa baras na ito ay maging katumbas ng kritikal na puwersa para sa isang simpleng suportadong sinag. (Isa pang interpretasyon ng pinababang haba na koepisyent: Ang μ ay nagpapakita sa kung anong bahagi ng haba ng baras para sa isang partikular na uri ng pangkabit ng isang kalahating alon ng sinusoid na umaangkop sa panahon ng buckling.)

Kaya, ang kondisyon ng katatagan ay sa wakas ay magkakaroon ng anyo

(29)

Isaalang-alang natin ang dalawang uri ng mga kalkulasyon para sa katatagan ng mga naka-compress na rod - pagsubok at disenyo.

Pagkalkula ng pagpapatunay

Ang pamamaraan para sa pagsuri sa katatagan ay ang mga sumusunod:

Batay sa mga kilalang sukat at cross-sectional na hugis at kundisyon para sa pag-aayos ng baras, kinakalkula namin ang flexibility;

Gamit ang talahanayan ng sanggunian, nakita namin ang kadahilanan ng pagbabawas para sa pinahihintulutang boltahe, pagkatapos ay matukoy ang pinahihintulutang boltahe para sa katatagan;

Inihahambing namin ang maximum na boltahe sa pinahihintulutang boltahe para sa katatagan.

Pagkalkula ng disenyo

Sa panahon ng pagkalkula ng disenyo (pagpili ng isang cross-section para sa isang naibigay na load), ang formula ng pagkalkula ay naglalaman ng dalawang hindi kilalang dami - ang nais na cross-sectional area A at ang hindi kilalang coefficient φ (dahil ang φ ay nakasalalay sa flexibility ng rod, at samakatuwid ay sa ang hindi kilalang lugar A). Samakatuwid, kapag pumipili ng isang seksyon, karaniwang kailangan mong gamitin ang paraan ng sunud-sunod na pagtatantya:

Karaniwan, sa unang pagtatangka, kunin ang φ 1 = 0.5...0.6 at tukuyin ang cross-sectional area bilang unang approximation

Batay sa nahanap na lugar A1, isang cross section ang napili at ang flexibility ng rod ay kinakalkula sa isang unang approximation λ1. Pag-alam sa λ, isang bagong halaga ng φ′1 ang natagpuan;

Pagpili ng materyal at nakapangangatwiran na cross-sectional na hugis.

Pagpili ng materyal. Dahil ang Euler formula ay kinabibilangan lamang ng Young's modulus ng lahat ng mekanikal na katangian, hindi ipinapayong gumamit ng mataas na lakas ng mga materyales upang mapataas ang katatagan ng lubos na nababaluktot na mga rod, dahil ang modulus ng Young ay halos pareho para sa lahat ng mga grado ng bakal.

Para sa mga rod na mababa ang kakayahang umangkop, ang paggamit ng mga high-grade na bakal ay makatwiran, dahil sa pagtaas ng lakas ng ani ng naturang mga bakal, ang mga kritikal na stress, at samakatuwid ang margin ng katatagan, ay tumataas din.

Alamin natin ang kritikal na puwersa para sa isang centrally compressed rod, hingedly supported sa mga dulo (Fig. 13.4). Sa mababang halaga ng puwersa R ang axis ng baras ay nananatiling tuwid at ang gitnang compression stress o = bumangon sa mga seksyon nito P/F. Sa isang kritikal na halaga ng puwersa P = P, nagiging posible ang isang curved form ng equilibrium ng baras.

Ang isang paayon na liko ay nangyayari. Ang baluktot na sandali sa isang arbitrary na seksyon x ng baras ay katumbas ng

Mahalagang tandaan na ang baluktot na sandali ay tinutukoy para sa deformed state ng baras.

Kung ipinapalagay namin na ang mga baluktot na stress na nagmumula sa mga cross section ng baras mula sa pagkilos ng kritikal na puwersa ay hindi lalampas sa limitasyon ng proporsyonalidad ng materyal tungkol sa pc at ang mga deflection ng baras ay maliit, pagkatapos ay maaari naming gamitin ang tinatayang kaugalian. equation para sa curved axis ng rod (tingnan ang § 9.2)

Sa pamamagitan ng pagpasok ng pagtatalaga

Sa halip na (13.2), makuha natin ang sumusunod na equation:

Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay

Ang solusyon na ito ay naglalaman ng tatlong hindi alam: integration constants Cj, C 2 at ang parameter kay, dahil ang magnitude ng kritikal na puwersa ay hindi rin alam. Upang matukoy ang tatlong dami na ito, mayroon lamang dalawang kundisyon sa hangganan: u(0) = 0, v(l) = 0. Mula sa unang kondisyon ng hangganan ay sumusunod na C 2 = 0, at mula sa pangalawa ay nakuha natin

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na alinman C ( = 0 o kasalanan kl = 0. Sa kaso ng C, = 0, ang mga pagpapalihis sa lahat ng mga seksyon ng baras ay katumbas ng zero, na sumasalungat sa paunang pagpapalagay ng problema. Sa pangalawang kaso kl = pk, saan p - di-makatwirang integer. Isinasaalang-alang ito, gamit ang mga formula (13.3) at (13.5) ay nakukuha namin

Ang problemang isinasaalang-alang ay isang eigenvalue na problema. Nakahanap ng mga numero Upang = pc/1 ay tinatawag sariling numero, at ang mga kaukulang function ay sariling function.

Tulad ng makikita mula sa (13.7), depende sa bilang n ang compressive force P (i), kung saan ang baras ay nasa isang baluktot na estado, ay maaaring theoretically tumagal sa isang bilang ng mga halaga. Sa kasong ito, ayon sa (13.8), ang baras ay yumuko n kalahating alon ng isang sinusoid (Larawan 13.5).

Ang pinakamababang halaga ng puwersa ay nasa n = 1:

Ang puwersang ito ay tinatawag unang kritikal na puwersa. Kasabay nito kl = k at ang curved axis ng rod ay kumakatawan sa isang kalahating alon ng isang sinusoid (Larawan 13.5, A):

saan C(1)=/ - pagpapalihis sa gitna ng haba ng baras, na sumusunod mula sa (13.8) sa n= 1 sila = 1/2.

Ang Formula (13.9) ay nakuha ni Leonhard Euler at tinawag na formula ni Euler para sa kritikal na puwersa.

Lahat ng anyo ng ekwilibriyo (Larawan 13.5), maliban sa una (p= 1), ay hindi matatag at samakatuwid ay walang praktikal na interes. Mga anyo ng ekwilibriyo na katumbas p - 2, 3, ..., ay magiging matatag kung sa mga punto ng inflection ng nababanat na linya (mga punto C at C" sa Fig. 13.5, b, c) ipakilala ang mga karagdagang suporta sa bisagra.

Ang resultang solusyon ay may dalawang tampok. Una, ang solusyon (13.10) ay hindi natatangi, dahil ang arbitraryong pare-parehong Cj (1) =/ ay nanatiling hindi natukoy, sa kabila ng paggamit ng lahat ng kundisyon sa hangganan. Bilang resulta, ang mga pagpapalihis ay natukoy na tumpak sa isang pare-parehong kadahilanan. Pangalawa, ang solusyon na ito ay hindi ginagawang posible na ilarawan ang estado ng baras sa P > P cr. Mula sa (13.6) sumusunod na kapag P = P cr ang baras ay maaaring magkaroon ng isang hubog na hugis ekwilibriyo na ibinigay kl = k. Kung R > R cr, yun kl F p, at pagkatapos ito ay dapat na Cj (1) = 0. Ibig sabihin nito v = 0, iyon ay, ang baras pagkatapos ng kurbada sa P = P cr muling nakakakuha ng rectilinear na hugis kapag R > R. Malinaw, ito ay sumasalungat sa mga pisikal na konsepto ng rod bending.

Ang mga tampok na ito ay dahil sa ang katunayan na ang expression (13.1) para sa bending moment at differential equation (13.2) ay nakuha para sa deformed state ng baras, habang kapag nagtatakda ng kondisyon ng hangganan sa dulo X= / axial na paggalaw at sa ang pagtatapos na ito (Larawan 13.6) dahil sa baluktot ay hindi isinasaalang-alang. Sa katunayan, kung pinabayaan natin ang pagpapaikli ng baras dahil sa gitnang compression, kung gayon hindi mahirap isipin na ang mga pagpapalihis ng baras ay magkakaroon ng tiyak na mga halaga kung itatakda natin ang halaga at c.

Mula sa pangangatwiran na ito ay nagiging halata na upang matukoy ang pag-asa ng mga pagpapalihis sa magnitude ng compressive force R kinakailangan sa halip na kondisyon ng hangganan v(l)= 0 gumamit ng pinong kondisyon ng hangganan v(l - at v) = 0. Ito ay itinatag na kung ang puwersa ay lumampas sa kritikal na halaga sa pamamagitan lamang ng 1 + 2%, ang mga pagpapalihis ay nagiging masyadong malaki at ito ay kinakailangan upang gamitin eksaktong nonlinear differential buckling equation

Ang equation na ito ay naiiba sa tinatayang equation (13.4) sa unang termino, na isang eksaktong expression para sa curvature ng curved axis ng rod (tingnan ang § 9.2).

Ang solusyon sa equation (13.11) ay medyo kumplikado at ipinahayag sa pamamagitan ng isang kumpletong elliptic integral ng unang uri.

Paayon na baluktot

Kapag kinakalkula ang lakas ito ay ipinapalagay, Ano balanse sa istruktura sa ilalim ng impluwensya ng mga panlabas na puwersa ay napapanatiling. Gayunpaman, maaaring mangyari ang pagkabigo sa istruktura dahil sa katotohanang iyon ekwilibriyo mga istruktura para sa isang kadahilanan o iba pa lumalabas na hindi matatag. Sa maraming mga kaso, bilang karagdagan sa pagsuri ng lakas, kinakailangan din na isagawa pagsusuri ng katatagan mga elemento ng istruktura.

Isinasaalang-alang ang estado ng ekwilibriyo napapanatiling, kung para sa anumang posibleng paglihis ng sistema mula sa posisyon ng ekwilibriyo bumangon ang mga pwersa na nagsisikap na ibalik ito sa orihinal nitong posisyon.

Isaalang-alang natin ang mga kilalang uri ng ekwilibriyo.

Hindi matatag ekwilibriyo estado ay sa kaso kung kailan, sa panahon ng hindi bababa sa isa sa mga posibleng paglihis ng sistema mula sa posisyon ng ekwilibriyo, lumitaw ang mga puwersa, naghahangad na tanggalin ito sa paunang posisyon nito.

Ang estado ng ekwilibriyo ay magiging walang pakialam, kung, sa iba't ibang mga paglihis ng sistema mula sa posisyon ng ekwilibriyo, lumitaw ang mga puwersa na may posibilidad na ibalik ito sa paunang posisyon, ngunit sa hindi bababa sa isa sa mga posibleng paglihis ang sistema ay patuloy na nananatili sa ekwilibriyo sa kawalan ng mga pwersang may posibilidad na bumalik. ito sa paunang posisyon o alisin ito sa posisyong ito.

Sa pagkawala ng katatagan, ang likas na katangian ng mga pagbabago sa operasyon ng istraktura, dahil ang ganitong uri ng pagpapapangit ay nagiging isa pa, mas mapanganib, na may kakayahang humantong sa pagkawasak nito sa ilalim ng isang pag-load na makabuluhang mas mababa kaysa sa inaasahan mula sa pagkalkula ng lakas. Napakahalaga nito ang pagkawala ng katatagan ay sinamahan ng isang pagtaas sa malalaking deformation, samakatuwid ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay sakuna sa kalikasan.

Sa panahon ng paglipat mula sa isang matatag na estado ng balanse tungo sa isang hindi matatag, ang istraktura ay dumadaan sa isang estado ng walang malasakit na ekwilibriyo. Kung ang isang istraktura sa estado na ito ay bibigyan ng ilang maliit na paglihis mula sa paunang posisyon, pagkatapos ay pagkatapos ng pagkilos ng sanhi na nagdulot ng paglihis na ito ay tumigil, ang istraktura ay hindi na babalik sa orihinal na posisyon nito, ngunit magagawang mapanatili ang bagong posisyon na ibinigay. dito dahil sa paglihis.

Ang estado ng walang malasakit na ekwilibriyo, na kumakatawan, tulad nito, ang hangganan sa pagitan ng dalawang pangunahing estado - matatag at hindi matatag, ay tinatawag na kritikal na kalagayan. Ang pag-load kung saan ang istraktura ay nagpapanatili ng isang estado ng walang malasakit na balanse ay tinatawag kritikal na pagkarga.

Ipinakikita ng mga eksperimento na kadalasan ay sapat na upang bahagyang tumaas ang pagkarga kumpara sa kritikal na halaga nito para mawala ang kapasidad ng pagkarga ng istraktura dahil sa malalaking deformation at mabibigo. Sa mga kagamitan sa konstruksiyon, ang pagkawala ng katatagan ng kahit isang elemento ng istruktura ay nagdudulot ng muling pamamahagi ng mga puwersa sa buong istraktura at kadalasang humahantong sa isang aksidente.

Ang baluktot ng baras na nauugnay sa pagkawala ng katatagan ay tinatawag pahaba na baluktot.

Kritikal na puwersa. Kritikal na boltahe

Ang pinakamaliit na halaga ng compressive force kung saan ang paunang anyo ng equilibrium ng baras - rectilinear - ay nagiging hindi matatag - curved - ay tinatawag na kritikal.

Sa pag-aaral ng katatagan ng mga anyo ng ekwilibriyo ng mga nababanat na sistema, ang mga unang hakbang ay ginawa Euler.

SA nababanat na yugto pagpapapangit ng baras sa ilalim ng stress, hindi lalampas sa limitasyon ng proporsyonalidad, ang kritikal na puwersa ay kinakalkula ng formula ni Euler:

saan Imin – pinakamababang sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon ng baras(dahil sa ang katunayan na ang baluktot ng baras ay nangyayari sa eroplano na may hindi bababa sa tigas), gayunpaman, ang mga pagbubukod ay maaari lamang sa mga kaso kung saan ang mga kondisyon para sa pag-fasten ng mga dulo ng baras ay naiiba sa iba't ibang mga eroplano, ℓ - geometriko haba pamalo, μ – o (depende sa mga paraan ng pag-fasten ng mga dulo ng baras), Mga Halaga μ ay ibinigay sa ibaba ng kaukulang diagram para sa pag-fasten ng mga rod

Kritikal na boltahe ay kinakalkula bilang mga sumusunod

, Saan kakayahang umangkop pamalo,

A radius ng gyration ng seksyon.

Ipakilala natin ang konsepto matinding flexibility.

Magnitude λ dati depende lamang sa uri ng materyal:

Kung ikaw bakal 3 E=2∙10 11 Pa, at σ pts =200MPa, Iyon matinding flexibility

Para sa kahoy (pine, spruce) matinding flexibilityλ bago=70, para sa cast iron λ bago=80

Kaya, para sa lubos na nababaluktot na mga pamalo λ≥λ dati ang kritikal na puwersa ay tinutukoy ng formula ni Euler.

Sa elastoplastic na yugto ng pagpapapangit ng baras, kapag ang halaga ng flexibility ay nasa hanay λ 0 ≤λ≤λ pr,(medium flexibility rods) ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa mga empirikal na pormula, halimbawa, maaari mong gamitin ang formula ng Yasinsky F.S. Ang mga halaga ng mga parameter na ipinasok dito ay tinutukoy ng empirically para sa bawat materyal.

σ к =а-bλ, o F cr= A(a— bλ)

saan a At b– ang mga pare-parehong natutukoy sa pamamagitan ng eksperimentong paraan, para sa bakal3 A=310MPa, b=1.14 MPa.

Sa mga halaga ng flexibility ng baras 0≤λ≤λ 0(mababang flexibility rods) walang pagkawala ng katatagan ay sinusunod.

Kaya, ang mga limitasyon ng applicability Mga formula ni Euler — Ginagamit lamang ito sa zone ng nababanat na mga deformation.

Kondisyon ng katatagan. Mga uri ng problema kapag kinakalkula ang katatagan.

Kondisyon ng katatagan ang compressed rod ay ang hindi pagkakapantay-pantay:

Dito pinahihintulutang stress ng katatagan [σ bibig] ay hindi isang pare-parehong halaga, dahil ito ay nasa ilalim ng mga kondisyon ng lakas, ngunit depende sa mga sumusunod mga kadahilanan:

1) sa haba ng baras, sa mga sukat at maging sa hugis ng mga seksyon ng krus,

2) sa paraan ng pag-secure ng mga dulo ng baras,

3) sa materyal ng pamalo.

Tulad ng anumang pinahihintulutang halaga, [σ bibig] ay tinutukoy ng ratio ng stress na mapanganib para sa isang compressed rod sa safety factor. Para sa isang naka-compress na baras, ang tinatawag na kritikal na stress σ cr, kung saan ang pamalo nawawala ang katatagan ng orihinal na anyo ng ekwilibriyo.

kaya lang

Ang halaga ng kadahilanan ng kaligtasan sa mga problema sa katatagan ay itinuturing na bahagyang mas malaki kaysa sa halaga, iyon ay, kung k=1÷2, pagkatapos kbibig=2÷5.

Ang pinahihintulutang stress para sa katatagan ay maaaring nauugnay sa pinahihintulutang stress para sa lakas:

Sa kasong ito ,

saan σт– isang stress na mapanganib mula sa punto ng view ng lakas (para sa mga plastik na materyales ito ang lakas ng ani, at para sa malutong na materyales ito ang lakas ng compressive σ Araw ).

Coefficient φ<1 at iyon ang dahilan kung bakit ito tinawag pagbabawas ng kadahilanan ng pangunahing pinahihintulutang stress, iyon ay [σ] sa mga tuntunin ng lakas, o kung hindi man

Sa sinabi nito kondisyon ng katatagan para sa isang naka-compress na baras kumuha ng form:

Ang mga numerical value ng coefficient φ ay pinili mula sa mga talahanayan depende sa materyal at ang dami ng kakayahang umangkop pamalo, kung saan:

μ – pinababang haba kadahilanan(depende sa mga paraan ng pag-secure ng mga dulo ng baras), ℓ - geometriko haba pamalo,

i – radius ng gyration cross section na may kaugnayan sa isa sa mga pangunahing gitnang axes ng seksyon sa paligid kung saan ang mga cross section ay iikot pagkatapos maabot ng load ang isang kritikal na halaga.

Coefficient φ nag-iiba sa saklaw 0≤φ≤1, ay nakasalalay, tulad ng nabanggit na, kapwa sa pisikal at mekanikal na mga katangian ng materyal at sa kakayahang umangkop λ. Mga ugnayan sa pagitan ng φ at λ para sa iba't ibang mga materyales ay karaniwang iniharap sa tabular form sa increments ∆λ=10.

Kapag kinakalkula ang mga halaga ng φ para sa mga rod na may mga halaga ng kakayahang umangkop na hindi nahahati ng 10, ilapat linear interpolation rule.

Mga halaga ng coefficient φ depende sa flexibility λ para sa mga materyales

Batay sa mga kondisyon ng katatagan, nalulutas namin tatlong uri ng gawain:

1. Pagsusuri ng katatagan.
2. Pagpili ng seksyon.
3. Pagpapasiya ng pinahihintulutang pagkarga(o ligtas na load, o rod load capacity: [F]=φ[σ] A .

Ang pinakamahirap na problema ay ang paglutas ng problema sa pagpili ng isang seksyon, dahil ang kinakailangang cross-sectional area ay kasama sa parehong kaliwa at kanang bahagi ng kondisyon ng katatagan:

Sa kanang bahagi lamang ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang cross-sectional area sa implicit form: kasama ito sa formula para sa radius of gyration, na kasama naman sa formula para sa flexibility, kung saan nakasalalay ang halaga ng buckling coefficient. φ . Samakatuwid, dito kailangan nating gamitin ang paraan ng pagsubok at error, na ipinahayag sa form paraan ng sunud-sunod na approximation:

1 subukan: nagtataka kami φ1 mula sa gitnang zone ng talahanayan, nakita namin, tinutukoy namin ang mga sukat ng seksyon, kinakalkula namin, pagkatapos ay ang flexibility, tinutukoy namin mula sa talahanayan at ihambing sa halaga φ1. Kung , kung gayon.

Ang formula ni Euler: , kung saan ang E ay ang modulus ni Young; – ang pinakamababang pangunahing sentral na sandali ng pagkawalang-galaw ng cross section ng baras (malinaw naman, sa kaganapan ng pagkawala ng katatagan, ang baluktot ng baras ay magaganap sa eroplano ng hindi bababa sa baluktot na tigas); – haba ng pagbabawas ng koepisyent, depende sa anyo ng buckling; l ang haba ng pamalo. Trabaho - pinababang haba ng baras.

Ang formula ni Euler para sa isang simpleng suportadong baras na naka-compress sa mga dulo

Para sa isang simpleng suportadong baras na naka-compress sa mga dulo, ang formula ni Euler para sa pagtukoy: (salik ng pagbabawas ng haba).

Pangunahing kaso ng buckling– ang kaso kapag, kapag ang mga dulo ng baras ay na-secure at ang isang load ay inilapat, ang anyo ng buckling ay kumakatawan sa isang kalahating alon ng isang sinusoid (Larawan 12.2, a).

Ang ilang iba pang mga paraan ng pag-secure sa mga dulo ng baras (ang load ay inilalapat pa rin sa mga dulo) ay madaling mabawasan sa pangunahing kaso ng buckling sa pamamagitan ng paghahambing ng hugis ng baluktot na axis sa buckling na hugis ng isang simpleng suportadong baras.

Ang formula ni Euler para sa isang baras na may naka-clamp at libreng mga dulo

Kung nawala ang katatagan, ang baras na may isang dulo ay mahigpit na naka-clamp at ang kabilang dulo ay libre ay baluktot, tulad ng ipinapakita sa (Larawan 12.2, b). Ang buckling na hugis ng baras na ito ay isang quarter sine wave. Ang pinababang haba ay (isang kalahating alon ng isang sine wave ay may haba ) at ang puwersa ng Euler ay apat na beses na mas mababa kaysa sa pangunahing kaso. Ang formula ni Euler para sa isang baras na may naka-clamp at libreng mga dulo: .

Ang formula ni Euler para sa isang baras na may mga naka-clamp na dulo

Para sa isang baras, ang magkabilang dulo nito ay mahigpit na naka-clamp, ang anyo ng buckling ay tulad na ang isang kalahating alon ng isang sinusoid ay sumasakop sa kalahati ng haba ng baras (Larawan 12.2, c). Samakatuwid, ang pinababang haba ng baras ay katumbas ng (), at ang formula para sa Euler load .

Ang kritikal () ay karaniwang tinatawag na totoo, at ang Eulerian () ay ang teoretikal na pagkarga kung saan nangyayari ang pagkawala.

Ang pormula ni Euler ay hinango mula sa pagpapalagay na sa sandali ng pag-buckling, ang compression stress sa baras ay hindi lalampas sa proportionality limit: . Ang modulus (E) ni Young sa formula ni Euler ay nagpapahiwatig na hanggang sa sandali ng pagkawala ng katatagan, . Kung ang pagkawala ng katatagan ay nangyayari sa isang boltahe na mas mababa sa , kung gayon .

Para sa mga tungkod na nawawalan ng katatagan sa isang diin na lumalampas sa limitasyon ng proporsyonalidad (), ang paggamit ng Euler formula ay sa panimula ay mali at lubhang mapanganib, dahil ang kritikal na pagkarga (ang tunay na pagkarga kung saan nangyayari ang pagkawala ng katatagan) ay mas mababa kaysa sa Euler load: .

Mga limitasyon ng pagkakalapat ng formula ni Euler

Ang mga limitasyon ng applicability ng formula ni Euler ay maaaring itatag sa pamamagitan ng unang pagpapakilala ng konsepto ng rod flexibility. Tukuyin natin Idiniin ni Euler, batay sa formula ni Euler:

.