Ang isang paraan para sa pagsasama ng hindi tiyak na integral sa pamamagitan ng mga bahagi ay ipinakita. Ang mga halimbawa ng mga integral na kinakalkula ng pamamaraang ito ay ibinigay. Ang mga halimbawa ng mga solusyon ay tinalakay.

Nilalaman

Tingnan din: Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral
Talaan ng mga hindi tiyak na integral
Mga pangunahing pag-andar ng elementarya at ang kanilang mga katangian

Ang integrasyon ng mga bahagi ng formula ay ganito ang hitsura:
.

Ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay binubuo ng paglalapat ng formula na ito. Sa praktikal na aplikasyon, ito ay nagkakahalaga ng noting na ang u at v ay mga function ng integration variable. Hayaang italaga ang integration variable bilang x (ang simbolo pagkatapos ng differential sign d sa dulo ng integral notation). Kung gayon ang u at v ay mga function ng x: u(x) at v(x) .
Pagkatapos
, .
At ang pormula para sa pagsasama ng mga bahagi ay nasa anyo:
.

Iyon ay, ang integrand function ay dapat na binubuo ng produkto ng dalawang function:
,
ang isa sa kung saan ay tinutukoy namin bilang u: g(x) = u, at para sa isa pa ang integral ay dapat kalkulahin (mas tiyak, ang antiderivative ay dapat matagpuan):
, pagkatapos dv = f(x) dx .

Sa ilang mga kaso f(x) = 1 . Ibig sabihin, sa integral
,
maaari nating ilagay ang g(x) = u, x = v .

Buod

Kaya, sa pamamaraang ito, ang pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi ng formula ay dapat tandaan at ilapat sa dalawang anyo:
;
.

Ang mga integral na kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi

Mga integral na naglalaman ng logarithms at inverse trigonometric (hyperbolic) function

Ang mga integral na naglalaman ng logarithms at inverse trigonometric o hyperbolic function ay kadalasang pinagsama ng mga bahagi. Sa kasong ito, ang bahaging naglalaman ng logarithm o inverse trigonometric (hyperbolic) function ay tinutukoy ng u, ang natitirang bahagi ng dv.

Narito ang mga halimbawa ng naturang mga integral, na kinakalkula ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi:
, , , , , , .

Mga integral na naglalaman ng produkto ng isang polynomial at sin x, cos x o e x

Gamit ang integration by parts formula, ang mga integral ng form ay matatagpuan:
, , ,
kung saan ang P(x) ay isang polynomial sa x. Kapag nagsasama, ang polynomial P(x) ay tinutukoy ng u, at e ax dx, kasi ax dx o kasalanan palakol dx- sa pamamagitan ng dv.

Narito ang mga halimbawa ng naturang mga integral:
, , .

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga integral gamit ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi

Mga halimbawa ng integral na naglalaman ng logarithms at inverse trigonometric function

Halimbawa

Kalkulahin ang integral:

Detalyadong solusyon

Dito ang integrand ay naglalaman ng logarithm. Paggawa ng mga pamalit
ikaw = sa x,
dv = x 2 dx.
Pagkatapos
,
.

Kinakalkula namin ang natitirang integral:
.
Pagkatapos
.
Sa pagtatapos ng mga kalkulasyon, kinakailangang idagdag ang pare-parehong C, dahil ang hindi tiyak na integral ay ang hanay ng lahat ng antiderivatives. Maaari rin itong idagdag sa mga intermediate na kalkulasyon, ngunit makakalat lamang ito sa mga kalkulasyon.

Mas maikling solusyon

Maaari mong ipakita ang solusyon sa isang mas maikling bersyon. Upang gawin ito, hindi mo kailangang gumawa ng mga pagpapalit sa u at v, ngunit maaari mong pangkatin ang mga kadahilanan at ilapat ang pagsasama ayon sa mga bahagi ng formula sa pangalawang anyo.

.

Iba pang mga halimbawa

Mga halimbawa ng integral na naglalaman ng produkto ng isang polynomial at sin x, cos x o ex

Halimbawa

Kalkulahin ang integral:
.

Ipakilala natin ang exponent sa ilalim ng differential sign:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi.
.
Ginagamit din namin ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi.
.
.
.
Sa wakas meron na tayo.

Ang pamamaraang ito ay batay sa sumusunod na formula: (*)

Hayaan At - mga function ng x na may tuluy-tuloy na derivatives at .

Ito ay kilala na o ; o .

Integrals at , dahil sa kondisyon ang mga function na u at v ay naiba-iba, at samakatuwid ay tuluy-tuloy.

Ang formula (*) ay tinatawag na integration by parts formula.

Ang pamamaraan batay sa aplikasyon nito ay tinatawag na paraan ng pagsasama ng mga bahagi.

Binabawasan nito ang pagkalkula sa isa pang integral: .

Ang aplikasyon ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay sinusubukan nilang kumatawan sa integral expression ng isang ibinigay na integral sa anyo ng isang produkto , kung saan at ilang mga function ng x, at ang mga function na ito ay pinili upang ay mas madaling kalkulahin kaysa sa orihinal na integral. Kapag para sa pagkalkula hanapin at .

(bilang "v" kinukuha namin ang isa sa mga orihinal na antiderivative na natagpuan mula sa dv, kaya sa hinaharap kapag kinakalkula ang "v" ay aalisin namin ang pare-parehong C sa notasyon).

Magkomento. Kapag hinahati ang isang integral na expression sa mga kadahilanan, dapat mong maunawaan iyon at dapat maglaman.

Sa kasamaang palad, imposibleng magbigay ng mga pangkalahatang tuntunin para sa pag-decomposing ng integral expression sa mga salik na "u" at "dv". Marami at maalalahanin na pagsasanay ang makapagtuturo nito.

Sa lahat ng ito, dapat itong isaisip na ay mas simple kaysa sa orihinal na integral.

Halimbawa 6.6.22.

Minsan, upang makuha ang pangwakas na resulta, ang panuntunan ng pagsasama ng mga bahagi ay inilalapat nang maraming beses nang magkakasunod.

Ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay, siyempre, hindi maginhawang gamitin sa bawat oras, at ang kakayahang gamitin ito ay depende sa karanasan.

Kapag kinakalkula ang mga integral, mahalagang maitatag nang tama kung aling paraan ng pagsasama ang dapat gamitin (tulad ng sa nakaraang halimbawa, ang trigonometric substitution ay humahantong sa layunin nang mas mabilis).

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang mga integral, na kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi.

1.Mga integral ng form :

kung saan ay isang integer (kamag-anak sa x) polynomial; a ay isang pare-parehong numero.

Kung sa ilalim ng integral sign mayroong isang produkto ng isang trigonometric o exponential algebraic function, kung gayon ang algebraic function ay karaniwang kinuha bilang "u".

Halimbawa6.6.23.

Tandaan na ang isa pang paghahati sa mga salik: ay hindi humahantong sa layunin.

Napatunayan na
.

Kumuha tayo ng mas kumplikadong integral.

2.Mga integral ng form :

kung saan ang isang polynomial.

Kung sa ilalim ng integral sign mayroong isang produkto ng logarithm ng isang function o isang inverse trigonometric function at isang algebraic, kung gayon ang mga function ay dapat kunin bilang "u".

Halimbawa6.6.23.

3.Mga integral ng form:

Dito maaari mong gamitin ang alinman sa 2 posibleng breakdown ng integral expression sa mga kadahilanan: para sa "u" maaari mong kunin ang pareho , at .

Bukod dito, ang pagkalkula ng naturang mga integral gamit ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay humahantong sa orihinal na integral, iyon ay, ang isang equation ay nakuha na may paggalang sa nais na integral.

Halimbawa 6.6.24.Kalkulahin .

.

Kapag nagsasama, madalas na kinakailangan na sunud-sunod na ilapat ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi.

Halimbawa 6.6.25.

Pagsasama-sama ng ilang function na naglalaman ng quadratic trinomial

1)

.

at ito ay mga integral ng talahanayan.

2) real number coefficients

sa numerator pipiliin natin ang derivative ng denominator.

a,b,c – tunay na mga numero

A); pagkatapos ay mayroon kaming:

b) . Sa kasong ito, makatuwirang isaalang-alang lamang kapag ang discriminant trinomial positibo:

Ngayon mayroon kaming:

Magkomento. Sa pagsasagawa, kadalasan ay hindi sila gumagamit ng mga handa na resulta, ngunit mas gusto na magsagawa muli ng mga katulad na kalkulasyon sa bawat oras.

Halimbawa.

4)

Ibahin natin ang numerator upang makuha natin ang derivative ng quadratic trinomial mula dito:

Dahil sa katotohanan na sa pagsasagawa ay walang maginhawang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral, kinakailangan, kasama ang mga partikular na pamamaraan ng pagsasama (tingnan ang nakaraang lecture), upang isaalang-alang din ang mga pamamaraan para sa pagsasama ng ilang partikular na klase ng mga function, ang mga integral ng na madalas na nakatagpo sa pagsasanay.

Ang pinakamahalagang klase sa kanila ay ang klase ng mga rational function.

"Pagsasama-sama ng mga fractional-rational function"

Ang pagsasama-sama ng wastong rational fraction ay batay sa decomposition ng rational fraction sa kabuuan ng elementary fractions.

Elementarya (pinakasimpleng) fraction at ang kanilang pagsasama.

Kahulugan. Mga fraction ng form: ; (1)

(2), saan

(iyon ay, ang mga ugat ng trinomial ay kumplikado) ay tinatawag na elementarya.

Isaalang-alang ang pagsasama-sama ng mga elementary fraction

2)

(kung saan hayaan).

Kalkulahin natin ang integral

(*)

Ang huling integral ay kinakalkula gamit ang recurrence formula.

Minsan ang pagsasama-sama ng mga bahagi ay nagpapahintulot sa amin na makakuha ng isang relasyon sa pagitan ng isang hindi tiyak na integral na naglalaman ng antas ng ilang function at isang katulad na integral, ngunit may mas maliit na antas ng parehong function. Ang ganitong mga relasyon ay tinatawag na paulit-ulit na mga formula.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng .

Meron kami:

Sa huling integral inilalagay namin:

kaya lang

saan

Kaya, nakarating kami sa isang paulit-ulit na pormula: paulit-ulit na aplikasyon na sa huli ay humahantong sa isang "tabular" na integral:

Pagkatapos sa halip na "t" at "k" ay pinapalitan natin ang kanilang mga halaga.

Halimbawa6.6.26.

(ayon sa recurrence formula).=

.

Ang rational fraction ay isang function na kinakatawan sa anyo ; kung saan at ang mga polynomial na may tunay na coefficient.

Ang rational fraction ay tinatawag na wasto kung ang antas ng numerator ay mas mababa kaysa sa antas ng denominator.

Ang bawat wastong rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang finite number ng elementary fractions.

Ang decomposition ng isang wastong fraction sa elementarya ay tinutukoy ng sumusunod na theorem, na isasaalang-alang natin nang walang patunay.

Teorama . Kung ang fraction ay tama at , (kung saan ang trinomial ay walang tunay na ugat), kung gayon ang pagkakakilanlan ay nagtataglay ng:

(ako)

Tandaan na para sa bawat tunay na ugat, halimbawa a, ang multiplicity " " ng polynomial sa expansion na ito ay tumutugma sa kabuuan ng elementary fractions ng form (1), at para sa bawat pares ng complex conjugate roots at (tulad ng ) ang multiplicity " " - ang kabuuan ng elementarya na mga praksyon ng anyo (2).

Upang maisagawa ang pagpapalawak (I), kailangan mong matutunan kung paano matukoy ang mga coefficient .

Mayroong iba't ibang mga paraan upang mahanap ang mga ito. Titingnan natin ang paraan ng hindi natukoy na mga coefficient at ang paraan ng mga bahagyang halaga.

Pagsasama ayon sa mga bahagi. Mga halimbawa ng solusyon

Hello ulit. Ngayon sa aralin ay matututunan natin kung paano pagsamahin ang mga bahagi. Ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay isa sa mga pundasyon ng integral calculus. Sa panahon ng mga pagsusulit o pagsusulit, halos palaging hinihiling sa mga mag-aaral na lutasin ang mga sumusunod na uri ng integral: ang pinakasimpleng integral (tingnan ang artikulo) o isang integral sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang variable (tingnan ang artikulo) o ang integral ay nasa lamang pagsasama sa pamamagitan ng paraan ng mga bahagi.

Gaya ng dati, dapat ay mayroon kang: Talaan ng mga integral At Talahanayan ng mga derivative. Kung wala ka pa rin ng mga ito, mangyaring bisitahin ang storage room ng aking website: Mga formula at talahanayan ng matematika. Hindi ako mapapagod sa pag-uulit - mas mahusay na i-print ang lahat. Susubukan kong ipakita ang lahat ng materyal nang pare-pareho, simple at malinaw; walang mga partikular na paghihirap sa pagsasama ng mga bahagi.

Anong problema ang nalulutas ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi? Ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay nalulutas ang isang napakahalagang problema; pinapayagan ka nitong pagsamahin ang ilang mga pag-andar na wala sa talahanayan, trabaho function, at sa ilang mga kaso - kahit na mga quotient. Tulad ng naaalala natin, walang maginhawang formula: . Ngunit mayroong isang ito: – pormula para sa pagsasama ng mga bahagi nang personal. Alam ko, alam ko, ikaw lang - makikipagtulungan kami sa kanya sa buong aralin (mas madali na ngayon).

At kaagad ang listahan sa studio. Ang mga integral ng mga sumusunod na uri ay kinukuha ng mga bahagi:

1) , , – logarithm, logarithm na pinarami ng ilang polynomial.

2) ,ay isang exponential function na pinarami ng ilang polynomial. Kasama rin dito ang mga integral tulad ng - isang exponential function na pinarami ng isang polynomial, ngunit sa pagsasagawa ito ay 97 porsyento, sa ilalim ng integral mayroong isang magandang titik na "e". ... ang artikulo ay lumalabas na medyo liriko, oh oo ... dumating ang tagsibol.

3) , , ay mga trigonometric function na pinarami ng ilang polynomial.

4) , – inverse trigonometric functions (“arches”), “arches” na pinarami ng ilang polynomial.

Ang ilang mga praksyon ay kinukuha din sa mga bahagi; isasaalang-alang din natin ang mga kaukulang halimbawa nang detalyado.

Mga integral ng logarithms

Halimbawa 1

Classic. Paminsan-minsan ang integral na ito ay matatagpuan sa mga talahanayan, ngunit hindi ipinapayong gumamit ng isang handa na sagot, dahil ang guro ay may kakulangan sa bitamina sa tagsibol at manunumpa nang husto. Dahil ang integral na isinasaalang-alang ay hindi nangangahulugang tabular - ito ay kinuha sa mga bahagi. Nagpasya kami:

Inaabala namin ang solusyon para sa mga intermediate na paliwanag.

Ginagamit namin ang integration by parts formula:

Inilapat ang formula mula kaliwa hanggang kanan

Tumingin kami sa kaliwang bahagi: . Malinaw, sa ating halimbawa (at sa lahat ng iba pa na isasaalang-alang natin), may kailangang italaga bilang , at isang bagay bilang .

Sa mga integral ng uri na isinasaalang-alang, ang logarithm ay palaging tinutukoy.

Sa teknikal, ang disenyo ng solusyon ay ipinatupad tulad ng sumusunod; sumusulat kami sa hanay:

Iyon ay, tinukoy namin ang logarithm ng, at ng - ang natitirang bahagi pagsasama at pagpapahayag.

Susunod na yugto: hanapin ang pagkakaiba:

Ang isang kaugalian ay halos kapareho ng isang derivative; napag-usapan na natin kung paano ito mahahanap sa mga nakaraang aralin.

Ngayon nahanap namin ang function. Upang mahanap ang function na kailangan mong isama kanang bahagi mababang pagkakapantay-pantay:

Ngayon binuksan namin ang aming solusyon at itayo ang kanang bahagi ng formula: .
Sa pamamagitan ng paraan, narito ang isang sample ng panghuling solusyon na may ilang mga tala:

Ang tanging punto sa trabaho ay agad akong nagpalit at , dahil kaugalian na isulat ang kadahilanan bago ang logarithm.

Tulad ng nakikita mo, ang paglalapat ng integrasyon sa pamamagitan ng mga bahagi ng formula ay mahalagang binawasan ang aming solusyon sa dalawang simpleng integral.

Mangyaring tandaan na sa ilang mga kaso pagkatapos aplikasyon ng formula, ang isang pagpapasimple ay kinakailangang isagawa sa ilalim ng natitirang integral - sa halimbawang isinasaalang-alang, binawasan namin ang integrand sa "x".

Suriin natin. Upang gawin ito, kailangan mong kunin ang derivative ng sagot:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integral ay nalutas nang tama.

Sa panahon ng pagsubok, ginamit namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: . At hindi ito nagkataon.

Formula para sa pagsasama ng mga bahagi at pormula – ito ay dalawang magkasalungat na tuntunin.

Halimbawa 2

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Ang integrand ay ang produkto ng isang logarithm at isang polynomial.
Magdesisyon tayo.

Muli kong ilalarawan nang detalyado ang pamamaraan para sa paglalapat ng panuntunan; sa hinaharap, ang mga halimbawa ay ipapakita nang mas maikli, at kung nahihirapan kang lutasin ito nang mag-isa, kailangan mong bumalik sa unang dalawang halimbawa ng aralin .

Tulad ng nabanggit na, kinakailangan na tukuyin ang logarithm (ang katotohanan na ito ay isang kapangyarihan ay hindi mahalaga). Tinutukoy namin ng ang natitirang bahagi pagsasama at pagpapahayag.

Sumulat kami sa hanay:

Una naming mahanap ang pagkakaiba:

Dito ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function . Ito ay hindi nagkataon na sa pinakaunang aralin ng paksa Indefinite integral. Mga halimbawa ng solusyon Nakatuon ako sa katotohanan na upang makabisado ang mga integral, kinakailangan na "makuha ang iyong mga kamay sa" derivatives. Kailangan mong harapin ang mga derivative nang higit sa isang beses.

Ngayon nahanap namin ang pag-andar, para dito kami ay nagsasama kanang bahagi mababang pagkakapantay-pantay:

Para sa pagsasama, ginamit namin ang pinakasimpleng formula ng tabular

Ngayon ang lahat ay handa na upang ilapat ang formula . Buksan gamit ang isang asterisk at "buuin" ang solusyon alinsunod sa kanang bahagi:

Sa ilalim ng integral muli tayong may polynomial para sa logarithm! Samakatuwid, ang solusyon ay muling nagambala at ang panuntunan ng pagsasama ng mga bahagi ay inilapat sa pangalawang pagkakataon. Huwag kalimutan na sa mga katulad na sitwasyon ang logarithm ay palaging tinutukoy.

Magiging mabuti kung sa ngayon ay alam mo na kung paano hanapin ang pinakasimpleng integral at derivatives nang pasalita.

(1) Huwag malito tungkol sa mga palatandaan! Kadalasan ang minus ay nawala dito, tandaan din na ang minus ay tumutukoy sa sa lahat bracket , at ang mga bracket na ito ay kailangang palawakin nang tama.

(2) Buksan ang mga bracket. Pinasimple namin ang huling integral.

(3) Kinukuha namin ang huling integral.

(4) "Pagsusuklay" ang sagot.

Ang pangangailangan na ilapat ang panuntunan ng pagsasama ng mga bahagi nang dalawang beses (o kahit tatlong beses) ay hindi bumangon nang napakabihirang.

At ngayon ang ilang mga halimbawa para sa iyong sariling solusyon:

Halimbawa 3

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Ang halimbawang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable (o pagpapalit nito sa ilalim ng differential sign)! Bakit hindi - maaari mong subukang kunin ito sa mga bahagi, ito ay magiging isang nakakatawang bagay.

Halimbawa 4

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Ngunit ang integral na ito ay isinama ng mga bahagi (ang ipinangakong fraction).

Ito ay mga halimbawa para sa iyong sarili na lutasin, mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Tila na sa mga halimbawa 3 at 4 ang mga integrand ay magkatulad, ngunit ang mga pamamaraan ng solusyon ay iba! Ito ang pangunahing kahirapan sa pag-master ng mga integral - kung pipiliin mo ang maling paraan para sa paglutas ng isang integral, maaari mo itong pag-usapan nang maraming oras, tulad ng isang tunay na palaisipan. Samakatuwid, kung mas malutas mo ang iba't ibang mga integral, mas mabuti, mas madali ang pagsubok at pagsusulit. Bilang karagdagan, sa ikalawang taon ay magkakaroon ng mga differential equation, at walang karanasan sa paglutas ng mga integral at derivatives ay walang magagawa doon.

Sa mga tuntunin ng logarithms, ito ay malamang na higit pa sa sapat. Bilang isang tabi, natatandaan ko rin na ang mga mag-aaral sa engineering ay gumagamit ng logarithms upang tawagan ang mga babaeng dibdib =). Sa pamamagitan ng paraan, kapaki-pakinabang na malaman sa pamamagitan ng puso ang mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya: sine, cosine, arctangent, exponent, polynomials ng ikatlo, ikaapat na antas, atbp. Hindi, siyempre, isang condom sa mundo
Hindi ko ito iuunat, ngunit ngayon ay marami kang maaalala mula sa seksyon Mga tsart at pag-andar =).

Mga integral ng isang exponential na pinarami ng isang polynomial

Pangkalahatang tuntunin:

Halimbawa 5

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Gamit ang isang pamilyar na algorithm, isinasama namin sa pamamagitan ng mga bahagi:

Kung nahihirapan ka sa integral, dapat kang bumalik sa artikulo Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral.

Ang tanging iba pang bagay na maaari mong gawin ay i-tweak ang sagot:

Ngunit kung ang iyong diskarte sa pagkalkula ay hindi napakahusay, kung gayon ang pinaka-pinakinabangang opsyon ay iwanan ito bilang isang sagot o kahit na

Iyon ay, ang halimbawa ay itinuturing na nalutas kapag ang huling integral ay kinuha. Hindi ito magkakamali; isa pang bagay na maaaring hilingin sa iyo ng guro na pasimplehin ang sagot.

Halimbawa 6

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Ang integral na ito ay isinama nang dalawang beses sa pamamagitan ng mga bahagi. Ang partikular na pansin ay dapat bayaran sa mga palatandaan - madaling malito sa kanila, natatandaan din namin na ito ay isang kumplikadong pag-andar.

Wala nang masasabi pa tungkol sa exhibitor. Maaari ko lamang idagdag na ang exponential at natural logarithm ay magkabaligtaran na mga pag-andar, ito ako sa paksa ng nakakaaliw na mga graph ng mas mataas na matematika =) Tumigil, huminto, huwag mag-alala, ang lecturer ay matino.

Mga integral ng trigonometriko function na pinarami ng polynomial

Pangkalahatang tuntunin: para palaging nagsasaad ng polynomial

Halimbawa 7

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi:

Hmmm...at walang maikomento.

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas ang iyong sarili

Halimbawa 9

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Isa pang halimbawa na may fraction. Tulad ng sa dalawang nakaraang mga halimbawa, para ay nagsasaad ng isang polynomial.

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi:

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap o hindi pagkakaunawaan sa paghahanap ng integral, inirerekomenda kong dumalo sa aralin Mga integral ng trigonometriko function.

Halimbawa 10

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa.

Hint: Bago gamitin ang paraan ng integration by parts, dapat kang maglapat ng ilang trigonometric formula na ginagawang isang function ang produkto ng dalawang trigonometric function. Ang formula ay maaari ding gamitin kapag inilalapat ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi, alinman ang mas maginhawa para sa iyo.

Iyon lang siguro ang nasa talatang ito. Sa ilang kadahilanan ay naalala ko ang isang linya mula sa himno ng pisika at matematika na "At ang sine graph ay tumatakbo nang alon-alon kasama ang abscissa axis"….

Integrals ng inverse trigonometriko function.
Integrals ng inverse trigonometriko function na pinarami ng polynomial

Pangkalahatang tuntunin: palaging nagsasaad ng inverse trigonometriko function.

Ipaalala ko sa iyo na ang inverse trigonometric function ay kinabibilangan ng arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Para sa kapakanan ng kaiklian ng rekord tatawagin ko silang "mga arko"

Ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay ginagamit kapag kinakailangan upang gawing simple ang umiiral na hindi tiyak na integral o bawasan ito sa isang tabular na halaga. Kadalasan ito ay ginagamit sa pagkakaroon ng exponential, logarithmic, direct at inverse trigonometric formula at ang kanilang mga kumbinasyon sa integrand.

Ang pangunahing pormula na kailangan upang magamit ang pamamaraang ito ay:

∫ f (x) d x = ∫ u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x))

Nangangahulugan ito na kailangan muna nating katawanin ang expression sa ilalim ng integral bilang produkto ng function na u (x) at ang differential ng function na v (x). Pagkatapos nito, kinakalkula namin ang halaga ng function na v (x) sa pamamagitan ng ilang pamamaraan (ang direktang paraan ng pagsasama ay kadalasang ginagamit), at pinapalitan ang mga resultang expression sa ipinahiwatig na formula, na binabawasan ang orihinal na integral sa pagkakaiba u (x) v (x) - ∫ v (x) d(u(x)) . Ang resultang integral ay maaari ding kunin gamit ang anumang paraan ng pagsasama.

Isaalang-alang natin ang isang problema kung saan kailangan nating hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng logarithm function.

Halimbawa 1

Suriin ang di-tiyak na integral ∫ ln (x) d x .

Solusyon

Ginagamit namin ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi. Upang gawin ito, kinuha namin ang ln (x) bilang isang function ng u (x) at ang natitira sa integrand bilang d (v (x)). Bilang resulta, nakuha natin na ln (x) d x = u (x) d (v (x)), kung saan u (x) = ln (x), d (v (x)) = d x.

Ang pagkakaiba ng function na u(x) ay d(u(x)) - u"(x)d x = d x x, at ang function na v(x) ay maaaring isulat bilang v(x) = ∫ d(v(x) ) = ∫ d x = x

Mahalaga: ang pare-parehong C ay ituturing na katumbas ng 0 kapag kinakalkula ang function na v (x).

Palitan natin ang nakuha natin sa pagsasama sa pamamagitan ng formula ng mga bahagi:

∫ ln (x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x d x x = ln (x) x - ∫ d x = ln ( x) x - x + C 1 = = x (ln (x) - 1) + C

kung saan C = - C 1

Sagot:∫ ln (x) d x = x (ln (x) - 1) + C .

Ang pinakamahirap na bagay sa paglalapat ng pamamaraang ito ay ang pagpili kung aling bahagi ng orihinal na expression sa ilalim ng integral ang kukunin bilang u (x) at alin bilang d (v (x)).

Tingnan natin ang ilang karaniwang mga kaso.

Kung ang ating kundisyon ay naglalaman ng mga integral ng anyong ∫ P n (x) · e a x d x , ∫ P n (x) · sin (a x) d x o ∫ P n (x) · cos (a x) d x , kung saan ang a ay isang coefficient at P Ang n (x) ay isang polynomial ng degree n, pagkatapos ay dapat kunin ang P n (x) bilang function na u (x).

Halimbawa 2

Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na f (x) = (x + 1) · sin (2 x) .

Solusyon

Maaari nating kunin ang di-tiyak na integral ∫ (x + 1) · sin (2 x) d x sa pamamagitan ng mga bahagi. Kinukuha namin ang x + 1 bilang u (x) at kasalanan (2 x) d x bilang d (v (x)), iyon ay, d (u (x)) = d (x + 1) = d x.

Gamit ang direktang pagsasama, nakukuha namin ang:

v (x) = ∫ kasalanan (2 x) d x = - 1 2 cos (2 x)

Palitan sa integrasyon ng mga bahagi ng formula:

∫ (x + 1) kasalanan (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 cos (2 x ) - ∫ - 1 2 cos (2 x) d x = = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 2 ∫ cos (2 x) d (x) = = - 1 2 (x + 1) cos ( 2 x) + 1 4 kasalanan (2 x) + C

Sagot:∫ (x + 1) · sin (2 x) d x = - 1 2 (x + 1) · cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) + C .

Halimbawa 3

Suriin ang di-tiyak na integral ∫ (x 2 + 2 x) e x d x .

Solusyon

Kinukuha namin ang pangalawang order polynomial x 2 + 2 x bilang u (x) at d (v (x)) - e x d x .

∫ x 2 + 2 x e x d x = u (x) = x 2 + 2 x , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = (x 2 + 2 x) e x - ∫ (2 x + 2) e x d x

Sa kung ano ang aming nakuha, kailangan naming muling ilapat ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi:

∫ (2 x + 2) e x d x = (x 2 + 2 x) e x - ∫ 2 x + 2 e x d x = = u (x) = (2 x + 2) , d (v (x)) = e x d x d (u ( x)) = 2 d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = (x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ v (x) d (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ 2 e x d x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) e x + 2 ∫ e x d x = (x 2 - 2) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Sagot:∫ (x 2 + 2 x) e x d x = x 2 e x + C .

Halimbawa 4

Suriin ang integral ∫ x 3 cos 1 3 x d x .

Solusyon

Ayon sa paraan ng pagsasama ng mga bahagi, kukunin natin ang u (x) = x 3 at d (v (x)) = cos 1 3 x d x.

Sa kasong ito, d (u (x)) = 3 x 2 d x at v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x .

Ngayon ay palitan natin ang mga resultang expression sa formula:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u)) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x

Mayroon kaming isang hindi tiyak na integral, na muling kailangang kunin sa mga bahagi:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u (x) = x 2 , d (v (x)) = sin 1 3 x d x d (u (x) )) = 2 x d x , v (x) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x · 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Nagsasagawa kami muli ng bahagyang pagsasama:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u (x) = x , d (v (x)) = cos 1 3 x d x d (u (x)) = d x , v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 3 x sin 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

Sagot:∫ x 3 cos 1 3 x d x = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C .

Kung ang ating kondisyon ay naglalaman ng mga integral ng anyong ∫ P n (x) · ln (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c sin (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c t g (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c c t g (a x) d x

pagkatapos ay dapat nating kunin bilang u (x) ang mga function a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x) , a r c sin (a x) , a r cos (a x) .

Halimbawa 5

Kalkulahin ang hanay ng mga antiderivatives ng function (x + 1) ln (2 x) .

Solusyon

Kinukuha namin ang ln (2 x) bilang u (x) at (x + 1) d x bilang d (v (x)). Nakukuha namin:

d (u (x)) = (ln (2 x)) " d x = 1 2 x (2 x) " d x = d x x v (x) = ∫ (x + 1) d x = x 2 2 + x

Ipalit natin ang mga expression na ito sa formula:

∫ (x + 1) ln (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

Sagot:∫ (x + 1) ln (2 x) d x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C .

Halimbawa 6

Suriin ang di-tiyak na integral ∫ x · a r c sin (2 x) d x .

Solusyon

Kami ang magpapasya kung aling bahagi ang kukunin bilang u (x) at kung aling bahagi ang gagawin bilang d (v (x)). Ayon sa panuntunang ibinigay sa itaas, kailangan mong kumuha ng r c sin (2 x) bilang unang function, at d (v (x)) = x d x. Nakukuha namin:

d (u (x)) = (a r c sin (2 x) " d x = 2 x " d x 1 - (2 x) 2 = 2 d x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x d x = x 2 2

Palitan ang mga halaga sa formula:

∫ x · a r c sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Bilang resulta, nakarating kami sa sumusunod na pagkakapantay-pantay:

∫ x · a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Ngayon kalkulahin natin ang resultang integral ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c kasalanan (2 x)

Dito maaari mong ilapat ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi at makakuha ng:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , d (v (x)) = d x d (u (x)) = 1 4 - x 2 " d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2 , v (x) = ∫ d x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c kasalanan (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Ngayon ang aming pagkakapantay-pantay ay ganito ang hitsura:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Nakikita natin na ang integral sa kanan ay katulad ng sa kaliwa. Inilipat namin ito sa ibang bahagi at makuha:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2

kung saan ang C 2 = C 1 2

Bumalik tayo sa orihinal na mga variable:

∫ x · a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

kung saan C = - C 2

Sagot:∫ x · a r c sin (2 x) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C .

Kung ang aming problema ay naglalaman ng integral ng form na ∫ e a · x · sin (b x) d x o ∫ e a · x · cos (b x) d x , kung gayon ang anumang function ay maaaring piliin bilang u (x).

Halimbawa 7

Suriin ang di-tiyak na integral ∫ e x · sin (2 x) d x .

Solusyon

∫ e x sin (2 x) d x = u (x) = sin (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = 2 cos (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = sin (2 x) e x - ∫ e x 2 cos 2 x d x = = sin (2 x) e x - 2 ∫ e x cos (2 x) d x = u (x) = cos (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = - 2 sin (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - ∫ (e x (- 2 sin (2 x) d x)) = = sin (2 x) e x = 2 cos (2 x ) e x - 4 ∫ e x kasalanan (2 x) d x

Bilang resulta, makakakuha tayo ng:

∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Nakikita namin ang parehong mga integral sa kaliwa at kanan, na nangangahulugang maaari kaming magpakita ng mga katulad na termino:

5 ∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x ⇒ ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Sagot: ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Ang pamamaraang ito ng solusyon ay karaniwan, at sa kanan ay madalas kang nakakakuha ng integral na kapareho ng orihinal.

Tiningnan namin ang mga pinakakaraniwang problema kung saan maaari mong tumpak na matukoy kung aling bahagi ng expression ang gagawin bilang d (v (x)) at kung aling bahagi bilang u (x). Sa ibang mga kaso, kailangan mong matukoy ito sa iyong sarili.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Indefinite integral

1Antiderivative at indefinite integral 1

2Ang pinakasimpleng katangian ng di-tiyak na integral. 3

Talaan ng mga pangunahing integral 3

2.1 Karagdagang talahanayan ng mga integral 4

3 Pagpapalit ng variable sa isang di-tiyak na integral 5

3.1 Paraan ng pagsasama-sama ng mga function ng form at (a≠ 0). 6

4Pagsasama-sama ng mga bahagi sa isang hindi tiyak na integral 7

4.1 Paraan ng pagsasama-sama ng mga function ng form. 7

4.2 Paraan ng pagsasama-sama ng mga function ng form: 8

5Pagsasama-sama ng mga rational fraction 8

5.1 Paraan ng pagsasama-sama ng mga simpleng fraction ng uri 4. labing-isa

6Pagsasama-sama ng mga di-makatuwirang ekspresyon 12

6.1Pagsasama-sama ng mga trigonometrikong expression 14

1. Antiderivative at indefinite integral

Paglutas ng differential equation

sa pagitan, i.e. nakita namin ang isang function na tulad na . Dahil , kung gayon ang equation (1) ay maaaring muling isulat sa mga kaugalian:

Anumang solusyon sa naturang equation ay tinatawag na antiderivative ng isang function. Kaya tinawag ang function antiderivative function sa pagitan, kung para sa lahat. Mga kaso at/o hindi kasama. Malinaw na kung ito ay antiderivative, kung gayon ito ay antiderivative din. Ang aming gawain ay hanapin ang lahat ng mga solusyon sa equation (1). Ang isang function ng dalawang variable ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng equation (1) o, sa madaling salita, hindi tiyak na integral function kung, kapag pinapalitan sa halip na anumang numero, nakakuha tayo ng partikular na solusyon sa equation (1) at anumang partikular na solusyon sa equation (1) ay nakuha sa ganitong paraan.

Ang di-tiyak na integral ay tinutukoy ng . Ang function ay tinatawag na isang integrand, ang kaugalian ay tinatawag na isang integrand, at ang tanda ng integral (isang nakaunat na Latin na titik S, ang unang titik ng salitang Sum ay sum). Ang tanong ay lumitaw tungkol sa pagkakaroon ng isang antiderivative at isang hindi tiyak na integral. Sa seksyong "Definite Integral", § Newton-Leibniz Formula, mapapatunayan na ang antiderivative ng isang tuluy-tuloy na function ay palaging umiiral.

Lemma.Hayaan itong magkapareho para sa lahat. Pagkatapos ay isang pare-pareho sa pagitan na ito.

Patunay. Ipaalam sa amin tukuyin para sa anumang punto. Kumuha tayo ng di-makatwirang punto at ilapat ang theorem ni Lagrange sa pagkakaiba: para sa ilang punto . Pinatutunayan nito ang lemma.□

Theorem sa antiderivatives. Dalawang antiderivatives ng parehong function na tinukoy sa isang pagitan ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho.

Patunay. Hayaan at maging antiderivative function. Pagkatapos kung saan, ayon sa lemma -- pare-pareho. Kaya naman, . □

Bunga. Kung ay isang antiderivative ng isang function, kung gayon .

Tandaan na kung hindi namin kinukuha ang isang interval bilang isang ODZ function, ngunit, halimbawa, tulad ng isang disconnected set bilang ang unyon ng dalawang pagitan , Iyon anumang function ng form

ay may zero derivative, at sa gayon ang lemma at theorem sa mga antiderivative ay hindi na totoo sa kasong ito.

1. Ang pinakasimpleng katangian ng hindi tiyak na integral.

1. Ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral:

2. Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign:

3. Ang derivative ng integral ay katumbas ng integrand function.

4. Ang differential ng integral ay katumbas ng integrand expression.

5. (Linear change of variables) Kung , Iyon (Dito ).

Talaan ng mga pangunahing integral

Sa partikular,

Para sa isang pambihirang kaso mayroon kaming:

1. Karagdagang talahanayan ng mga integral

1. Pagbabago ng variable sa isang indefinite integral

Palawakin natin ang kahulugan ng hindi tiyak na integral sa isang mas pangkalahatang kaso: ipinapalagay natin sa pamamagitan ng kahulugan . Kaya, halimbawa

Teorama. Hayaan ang isang differentiable function. Pagkatapos

Patunay. Hayaan . Pagkatapos

na siyang kailangang patunayan.□

Sa espesyal na kaso kapag nakakuha tayo ng linear na pagbabago ng mga variable (tingnan ang Property 5, §1). Ang paglalapat ng formula (1) “mula kaliwa pakanan” ay mangangahulugan ng pagpapalit ng variable. Ang paggamit ng formula (1) sa kabaligtaran na direksyon, "mula kanan pakaliwa," ay tinatawag na pagpasok sa ilalim ng differential sign.

Mga halimbawa. A.

1. Piliin ang derivative ng quadratic trinomial sa numerator:

3. Upang kalkulahin ang unang integral sa (2), ginagamit namin ang entry sa ilalim ng differential sign:

Upang kalkulahin ang pangalawang integral, pumili kami ng isang kumpletong parisukat sa quadratic trinomial at bawasan ito sa isang tabular gamit ang isang linear na pagbabago ng mga variable.

Ang parehong paraan ay ginagamit upang makalkula ang mga integral ng form

Mga halimbawa

1. Pagsasama-sama ng mga bahagi sa isang hindi tiyak na integral

Teorama. Para sa mga naiba-iba na pag-andar at ang kaugnayan ay humahawak

Patunay. Pagsasama ng kaliwa at kanang bahagi ng formula , nakukuha natin ang:

Dahil sa kahulugan at , sumusunod ang formula (1).□

Halimbawa.

Upang isama ang mga naturang function, ipinasok namin ang polynomial sa ilalim ng differential sign at ilapat ang integration sa pamamagitan ng mga bahagi ng formula. Ulitin namin ang pamamaraan k beses.

Halimbawa.

1. Pagsasama-sama ng mga rational fraction

Rational fraction ay tinatawag na function ng form , kung saan ang mga polynomial. Kung , kung gayon ang rational fraction ay tinatawag tama. Kung hindi man ito ay tinatawag mali.

Ang mga sumusunod na rational fraction ay tinatawag na pinakasimple

(uri 2)

(uri 3)

(uri 4) ,

Teorama 1. Ang anumang fraction ay maaaring palawakin sa kabuuan ng isang polynomial at isang wastong rational fraction.

Patunay. Hayaan ay isang hindi wastong rational fraction. Hatiin natin ang numerator sa denominator na may natitira: Narito ang mga polynomial, at Pagkatapos

Tama ang fraction dahil sa hindi pagkakapantay-pantay. □

Teorama 2. Anumang wastong rational fraction ay maaaring mabulok sa isang simpleng kabuuan.

Algoritmo ng agnas.

a) Pinapalawak namin ang denominator ng tamang fraction sa produkto ng mga hindi mababawasang polynomial (linear at quadratic na may negatibong discriminant):

Dito at -- ang multiplicity ng kaukulang mga ugat.

b) Pinapalawak namin ang fraction sa kabuuan ng pinakasimpleng may hindi tiyak na coefficient ayon sa mga sumusunod na prinsipyo:

Ginagawa namin ito para sa bawat linear factor at para sa bawat quadratic factor.

c) I-multiply namin ang nagreresultang pagpapalawak sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator , at hanapin ang hindi natukoy na mga koepisyent mula sa kundisyong ang kaliwa at kanang bahagi ay magkapareho. Gumagamit kami ng kumbinasyon ng dalawang pamamaraan

??? - katwiran para sa algorithm

Mga halimbawa. A. Palawakin natin sa kabuuan ng pinakasimple

Kasunod nito iyon. Ang pagpapalit sa ratio na ito ay agad naming nakita . Kaya

B. Palawakin natin ang rational fraction sa kabuuan ng pinakasimple. Ang pagpapalawak ng fraction na ito na may hindi natukoy na mga coefficient ay may anyo

Ang pagpaparami ng isang karaniwang denominator, makuha natin ang kaugnayan

Ang pagpapalit dito, makikita natin kung saan ito nanggaling. Ang kapalit ay nahanap namin . Pag-equate ng mga coefficient para makuha natin ang system

Kaya naman at. Ang pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay ng huling sistema, nakukuha namin at . Pagkatapos At

Kaya naman,

/**/ Gawain. I-generalize ang resulta ng Halimbawa A at patunayan ang pagkakapantay-pantay

1. Paraan para sa pagsasama ng mga simpleng fraction ng uri 4.

a) Ihiwalay ang derivative ng denominator sa numerator, pinalawak namin ang integral sa kabuuan ng dalawang integral.

b) Ang una sa mga resultang integral, pagkatapos na maipasok sa ilalim ng differential sign, ay magiging tabular.

c) Sa pangalawa, pumili kami ng isang kumpletong parisukat sa denominator at binabawasan ang pagkalkula sa isang integral ng form . Sa integral na ito inilalapat namin ang sumusunod na paulit-ulit na pamamaraan

Sa huling integral inilalapat namin ang formula ng pagsasama ayon sa mga bahagi:

Kaya, kung tutukuyin natin , Iyon

Ito ay isang paulit-ulit na formula para sa pagkalkula ng mga integral na isinasaalang-alang ang paunang halaga .

Halimbawa

1. Pagsasama-sama ng mga Irrational Expression

Mga integral ng form , kung saan ang m/n,...,r/s ay mga rational number na may common denominator k, ay binabawasan sa integral ng isang rational function sa pamamagitan ng pagpapalit

Pagkatapos ang mga ito ay mga makatwirang expression, samakatuwid, pagkatapos ng pagpapalit, ang integral ng rational fraction ay nakuha:

Matapos makalkula ang integral na ito (tingnan ang par. 4) at gawin ang reverse substitution, makukuha natin ang sagot.

Katulad nito, ang mga integral ng form

kung saan ang ad-bc≠ 0, at k ay may parehong kahulugan tulad ng nasa itaas, ay binabawasan sa mga integral ng rational fraction sa pamamagitan ng pagpapalit

Mga halimbawa. A. Kalkulahin natin ang integral

B. Kalkulahin ang integral

Ang isang mas simpleng paraan ng pagsasama (ngunit nangangailangan ng hula) ang parehong function ay:

1. Pagsasama ng mga Trigonometric Expression

Mga integral ng form ay binabawasan sa mga integral ng isang rational function sa pamamagitan ng isang unibersal na kapalit

samakatuwid ay nakukuha natin ang integral mula sa rasyonal na pagpapahayag

Sa mga espesyal na kaso  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx at R(sin 2 x, cos 2 x, tan x, ctg x) dx mas mainam na gumamit ng mga pamalit nang naaayon.