Paglutas ng mga paghahambing ng modulo. Paglutas ng mga paghahambing ng unang antas. Pagkalkula ng kabaligtaran na elemento sa pamamagitan ng isang ibinigay na modulo

Nilalaman.

Panimula

§1. Paghahambing ng modulo

§2. Mga Katangian ng Paghahambing

1. Mga Katangian sa Paghahambing ng Module-Independent
2. Mga katangian ng mga paghahambing na umaasa sa module

§3. Sistema ng pagbabawas

1. Buong sistema ng mga pagbabawas
2. Pinababang sistema ng mga pagbabawas

§4. Euler's theorem at Fermat

1. Pag-andar ng Euler
2. Euler's theorem at Fermat

Kabanata 2. Teorya ng paghahambing sa isang variable

§1. Mga pangunahing konsepto na nauugnay sa paglutas ng mga paghahambing

1. Ang mga ugat ng mga paghahambing
2. Pagkakatumbas ng mga paghahambing
3. Ang teorama ni Wilson

§2. Mga paghahambing sa unang antas at ang kanilang mga solusyon

1. Paraan ng pagpili
2. Mga pamamaraan ni Euler
3. Paraan ng algorithm ng Euclid
4. Patuloy na Paraan ng Fraction

§3. Mga sistema ng paghahambing ng 1st degree sa isang hindi alam

§4. Dibisyon ng mga paghahambing ng mas mataas na antas

§5. Mga ugat at indeks ng antiderivative

1. Deduction class order
2. Primitive roots modulo prime
3. Ini-index ang modulo prime

Kabanata 3. Paglalapat ng teorya ng paghahambing

§1. Mga palatandaan ng divisibility

§2. Sinusuri ang mga resulta ng mga operasyon sa aritmetika

§3. Pag-convert ng ordinaryong fraction sa final fraction

decimal na sistematikong fraction

Konklusyon

Panitikan

Panimula

Sa ating buhay madalas nating harapin ang mga integer at mga problemang nauugnay sa kanila. Sa tesis na ito ay isinasaalang-alang ko ang teorya ng paghahambing ng mga integer.

Dalawang integer na ang pagkakaiba ay isang multiple ng isang ibinigay na natural na numero m ay tinatawag na maihahambing sa modulus m.

Ang salitang "module" ay nagmula sa Latin na modulus, na sa Russian ay nangangahulugang "sukat", "magnitude".

Ang pahayag na "a ay maihahambing sa b modulo m" ay karaniwang isinusulat bilang ab (mod m) at tinatawag na paghahambing.

Ang kahulugan ng paghahambing ay nabuo sa aklat ni K. Gauss "Arithmetic Studies". Ang gawaing ito, na nakasulat sa Latin, ay nagsimulang ilimbag noong 1797, ngunit ang aklat ay nai-publish lamang noong 1801 dahil sa katotohanan na ang proseso ng pag-imprenta noong panahong iyon ay lubhang matrabaho at mahaba. Ang unang seksyon ng aklat ni Gauss ay tinatawag na: "Sa paghahambing ng mga numero sa pangkalahatan."

Ang mga paghahambing ay napaka-maginhawang gamitin sa mga kaso kung saan sapat na malaman sa ilang pag-aaral ang mga numerong tumpak sa multiple ng isang tiyak na numero.

Halimbawa, kung interesado tayo sa kung anong digit ang nagtatapos sa kubo ng isang integer a, sapat na para sa atin na malaman lamang ang hanggang multiple ng 10 at maaari tayong gumamit ng mga paghahambing na modulo 10.

Ang layunin ng gawaing ito ay isaalang-alang ang teorya ng paghahambing at pag-aralan ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga paghahambing sa mga hindi alam, gayundin ang pag-aaral ng aplikasyon ng teorya ng paghahambing sa matematika ng paaralan.

Ang thesis ay binubuo ng tatlong kabanata, na ang bawat kabanata ay nahahati sa mga talata, at mga talata sa mga talata.

Binabalangkas ng unang kabanata ang mga pangkalahatang isyu ng teorya ng paghahambing. Dito ay isinasaalang-alang namin ang konsepto ng modulo na paghahambing, mga katangian ng mga paghahambing, ang kumpleto at pinababang sistema ng mga nalalabi, ang function ni Euler, ang Euler's at Fermat's theorem.

Ang ikalawang kabanata ay nakatuon sa teorya ng paghahambing sa hindi alam. Binabalangkas nito ang mga pangunahing konsepto na nauugnay sa paglutas ng mga paghahambing, tinatalakay ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga paghahambing ng unang antas (paraan ng pagpili, pamamaraan ni Euler, ang paraan ng algorithm ng Euclid, ang paraan ng patuloy na mga praksiyon, gamit ang mga indeks), mga sistema ng paghahambing ng unang antas na may isang hindi alam, mga paghahambing ng mas mataas na antas, atbp.

Ang ikatlong kabanata ay naglalaman ng ilang aplikasyon ng teorya ng numero sa matematika ng paaralan. Ang mga palatandaan ng divisibility, pagsuri sa mga resulta ng mga aksyon, at pag-convert ng mga ordinaryong fraction sa mga sistematikong decimal fraction ay isinasaalang-alang.

Ang pagtatanghal ng teoretikal na materyal ay sinamahan ng isang malaking bilang ng mga halimbawa na nagpapakita ng kakanyahan ng ipinakilala na mga konsepto at kahulugan.

Kabanata 1. Pangkalahatang tanong ng teorya ng paghahambing

§1. Paghahambing ng modulo

Hayaan ang z ang singsing ng mga integer, ang m ay isang fixed integer, at ang m·z ay ang set ng lahat ng integer na multiple ng m.

Kahulugan 1. Ang dalawang integer na a at b ay sinasabing maihahambing na modulo m kung ang m ay naghahati sa a-b.

Kung ang mga numerong a at b ay maihahambing na modulo m, pagkatapos ay isulat ang a b (mod m).

Kondisyon a Ang ibig sabihin ng b (mod m) ay ang a-b ay nahahati sa m.

a b (mod m)↔(a-b) m

Tukuyin natin na ang comparability relation modulo m ay tumutugma sa comparability relation modulo (-m) (divisibility by m ay katumbas ng divisibility by –m). Samakatuwid, nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na m>0.

Mga halimbawa.

Teorama. (sign of comparability of spirit numbers modulo m): Dalawang integers a at b ay maihahambing na modulo m kung at kung ang a at b ay may parehong nalalabi kapag hinati sa m.

Patunay.

Hayaang ang mga natitira kapag hinahati ang a at b sa m ay pantay, iyon ay, a=mq₁+r,(1)

B=mq₂+r, (2)

Kung saan 0≤r≥m.

Ibawas ang (2) mula sa (1), makuha natin ang a-b= m(q₁- q₂), iyon ay, a-b m o a b (mod m).

Sa kabaligtaran, hayaan ang a b (mod m). Ang ibig sabihin nito ay a-b m o a-b=mt, t z (3)

Hatiin ang b sa m; nakukuha natin ang b=mq+r sa (3), magkakaroon tayo ng a=m(q+t)+r, iyon ay, kapag hinahati ang a sa m, ang parehong natitira ay nakuha tulad ng kapag hinahati ang b sa m.

Mga halimbawa.

5=4·(-2)+3

23=4·5+3

24=3·8+0

10=3·3+1

Kahulugan 2. Dalawa o higit pang mga numero na nagbibigay ng magkaparehong mga nalalabi kapag hinati sa m ay tinatawag na pantay na mga nalalabi o maihahambing na modulo m.

Mga halimbawa.

Mayroon kaming: 2m+1-(m+1)²= 2m+1 - m²-2m-1=- m², at (- m²) ay hinati sa m => tama ang aming paghahambing.

1. Patunayan na mali ang mga sumusunod na paghahambing:

Kung ang mga numero ay maihahambing na modulo m, kung gayon mayroon silang parehong gcd dito.

Mayroon kaming: 4=2·2, 10=2·5, 25=5·5

GCD(4,10) = 2, GCD(25,10) = 5, samakatuwid ang aming paghahambing ay mali.

§2. Mga Katangian ng Paghahambing

1. Module-independiyenteng mga katangian ng mga paghahambing.

Maraming mga katangian ng paghahambing ay katulad ng mga katangian ng pagkakapantay-pantay.

a) reflexivity: aa (mod m) (anumang integer a maihahambing sa sarili modulo m);

B) simetrya: kung a b (mod m), pagkatapos b a (mod m);

C) transitivity: kung a b (mod m), at b na may (mod m), pagkatapos ay may (mod m).

Patunay.

Sa pamamagitan ng kundisyon m/(a-b) at m/ (c-d). Samakatuwid, m/(a-b)+(c-d), m/(a+c)-(b+d) => a+c b+d (mod m).

Mga halimbawa.

Hanapin ang natitira kapag hinahati sa 13.

Solusyon: -1 (mod 13) at 1 (mod 13), pagkatapos ay (-1)+1 0 (mod 13), iyon ay, ang natitira sa dibisyon sa 13 ay 0.

a-c b-d (mod m).

Patunay.

Sa pamamagitan ng kundisyon m/(a-b) at m/(c-d). Samakatuwid, m/(a-b)-(c-d), m/(a-c)-(b-d) => (a-c) b-d (mod m).

1. (isang kinahinatnan ng mga katangian 1, 2, 3). Maaari mong idagdag ang parehong integer sa magkabilang panig ng paghahambing.

Patunay.

Hayaan ang a b (mod m) at k – anumang integer. Sa pamamagitan ng pag-aari ng reflexivity

k=k (mod m), at ayon sa mga katangian 2 at 3 mayroon tayong a+k b+k (mod m).

a·c·d (mod m).

Patunay.

Ayon sa kundisyon, a-b є mz, c-d є mz. Samakatuwid a·c-b·d = (a·c - b·c)+(b·c- b·d)=(a-b)·c+b·(c-d) є mz, ibig sabihin, a·c·d (mod m).

Bunga. Ang magkabilang panig ng paghahambing ay maaaring itaas sa parehong di-negatibong integer na kapangyarihan: kung ab (mod m) at s ay isang hindi negatibong integer, pagkatapos ay a s b s (mod m).

Mga halimbawa.

Solusyon: malinaw naman 13 1 (mod 3)

2 -1 (mod 3)

5 -1 (mod 3), pagkatapos

- · 1-1 0 (mod 13)

Sagot: ang kinakailangang natitira ay zero, at ang A ay nahahati sa 3.

Solusyon:

Patunayan natin na 1+ 0(mod13) o 1+ 0(mod 13)

1+ =1+ 1+ =

Mula noong 27 1 (mod 13), pagkatapos ay 1+ 1+1·3+1·9 (mod 13).

atbp.

3. Hanapin ang natitira kapag hinahati ang natitira sa isang numero sa 24.

Mayroon kaming: 1 (mod 24), kaya

1 (mod 24)

Pagdaragdag ng 55 sa magkabilang panig ng paghahambing, nakukuha natin ang:

(mod 24).

Mayroon kaming: (mod 24), samakatuwid

(mod 24) para sa anumang k є N.

Kaya naman (mod 24). Mula noong (-8)16(mod 24), ang kinakailangang natitira ay 16.

1. Ang magkabilang panig ng paghahambing ay maaaring i-multiply sa parehong integer.

2. Mga katangian ng paghahambing depende sa modyul.

Patunay.

Dahil a b (mod t), pagkatapos (a - b) t At dahil t n , pagkatapos ay dahil sa transitivity ng divisibility relation(a - b n), iyon ay, a b (mod n).

Halimbawa.

Hanapin ang natitira kapag ang 196 ay hinati sa 7.

Solusyon:

Alam na 196= , maaari nating isulat ang 196(mod 14). Gamitin natin ang dating property, 14 7, makakakuha tayo ng 196 (mod 7), ibig sabihin, 196 7.

1. Ang magkabilang panig ng paghahambing at ang modulus ay maaaring i-multiply sa parehong positibong integer.

Patunay.

Hayaan ang isang b (mod t ) at c ay isang positibong integer. Pagkatapos a-b = mt at ac-bc=mtc, o ac bc (mod mc).

Halimbawa.

Tukuyin kung ang halaga ng isang expression ay isang integer.

Solusyon:

Katawanin natin ang mga praksiyon sa anyo ng paghahambing: 4(mod 3)

1 (mod 9)

31 (mod 27)

Idagdag natin ang mga paghahambing na ito sa pamamagitan ng termino (property 2), makakakuha tayo ng 124(mod 27) Nakita namin na ang 124 ay hindi isang integer na mahahati ng 27, kaya ang kahulugan ng expressionay hindi rin isang integer.

1. Ang magkabilang panig ng paghahambing ay maaaring hatiin sa pamamagitan ng kanilang karaniwang kadahilanan kung ito ay coprime sa modulus.

Patunay.

Kung ca cb (mod m), ibig sabihin, m/c(a-b) at ang numero Sa coprime sa m, (c,m)=1, pagkatapos ay hinahati ng m ang a-b. Kaya naman, a b (mod t).

Halimbawa.

60 9 (mod 17), pagkatapos hatiin ang magkabilang panig ng paghahambing sa 3 makuha natin:

20 (mod 17).

Sa pangkalahatan, imposibleng hatiin ang magkabilang panig ng paghahambing sa isang numero na hindi katumbas ng modulus, dahil pagkatapos ng paghahati ay maaaring makuha ang mga numero na hindi maihahambing sa isang naibigay na modulus.

Halimbawa.

8 (mod 4), ngunit 2 (mod 4).

1. Ang magkabilang panig ng paghahambing at ang modulus ay maaaring hatiin ng kanilang karaniwang divisor.

Patunay.

Kung ka kb (mod km), pagkatapos ay ang k (a-b) ay hinati sa km. Samakatuwid, ang a-b ay nahahati sa m, iyon ay a b (mod t).

Patunay.

Hayaang P (x) = c 0 x n + c 1 x n-1 + ... + c n-1 x+ c n. Sa pamamagitan ng kondisyon a b (mod t), pagkatapos

a k b k (mod m) para sa k = 0, 1, 2, …,n. Pag-multiply ng magkabilang panig ng bawat isa sa mga resultang n+1 na paghahambing sa c n-k , nakukuha namin:

c n-k a k c n-k b k (mod m), kung saan k = 0, 1, 2, …,n.

Ang pagdaragdag ng mga huling paghahambing, makukuha natin ang: P (a) P (b) (mod m). Kung ang a (mod m) at c i d i (mod m), 0 ≤ i ≤n, kung gayon

(mod m). Kaya, sa paghahambing ng modulo m, ang mga indibidwal na termino at mga kadahilanan ay maaaring mapalitan ng mga numerong maihahambing na modulo m.

Kasabay nito, dapat mong bigyang-pansin ang katotohanan na ang mga exponent na matatagpuan sa mga paghahambing ay hindi maaaring palitan sa ganitong paraan: mula sa

a n c(mod m) at n k(mod m) hindi ito sumusunod na a k s (mod m).

Ang Property 11 ay may ilang mahahalagang aplikasyon. Sa partikular, sa tulong nito posible na magbigay ng teoretikal na katwiran para sa mga palatandaan ng divisibility. Upang ilarawan, bilang isang halimbawa, ibibigay namin ang derivation ng divisibility test sa pamamagitan ng 3.

Halimbawa.

Ang bawat natural na bilang N ay maaaring katawanin bilang isang sistematikong numero: N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n .

Isaalang-alang ang polynomial f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x+a n . kasi

10 1 (mod 3), pagkatapos ay sa pamamagitan ng property 10 f (10) f(1) (mod 3) o

N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n a 1 + a 2 +…+ a n-1 + a n (mod 3), ibig sabihin, para ang N ay mahahati ng 3, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito ay mahahati ng 3.

§3. Mga sistema ng pagbabawas

1. Buong sistema ng mga pagbabawas.

Ang pantay na natitirang mga numero, o, ano ang parehong bagay, maihahambing na modulo m, ay bumubuo ng isang klase ng mga numero modulo m.

Mula sa kahulugang ito, sumusunod na ang lahat ng mga numero sa klase ay tumutugma sa parehong natitirang r, at nakukuha natin ang lahat ng mga numero sa klase kung, sa anyo na mq+r, gagawin natin ang q na tumakbo sa lahat ng integer.

Alinsunod dito, sa m iba't ibang mga halaga ng r, mayroon kaming m klase ng mga numero modulo m.

Anumang bilang ng isang klase ay tinatawag na residue modulo m na may paggalang sa lahat ng mga numero ng parehong klase. Ang nalalabi na nakuha sa q=0, katumbas ng natitirang r, ay tinatawag na pinakamaliit na di-negatibong nalalabi.

Ang nalalabi ρ, ang pinakamaliit sa ganap na halaga, ay tinatawag na ganap na pinakamaliit na nalalabi.

Malinaw, para sa r mayroon tayong ρ=r; sa r> mayroon kaming ρ=r-m; sa wakas, kung ang m ay pantay at r=, kung gayon ang alinman sa dalawang numero ay maaaring kunin bilang ρ at -m= - .

Pumili tayo sa bawat klase ng residues modulo T isang numero sa isang pagkakataon. Nakukuha namin t integer: x 1,…, x m. Ang set (x 1,…, x t) ay tinatawag kumpletong sistema ng mga pagbabawas modulo m.

Dahil ang bawat klase ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga nalalabi, posibleng bumuo ng isang walang katapusang bilang ng iba't ibang kumpletong mga sistema ng mga nalalabi para sa isang ibinigay na module m, ang bawat isa ay naglalaman ng t mga bawas.

Halimbawa.

Mag-compile ng ilang kumpletong sistema ng modulo deductions T = 5. Mayroon kaming mga klase: 0, 1, 2, 3, 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

Gumawa tayo ng ilang kumpletong sistema ng mga pagbabawas, na kumukuha ng isang bawas mula sa bawat klase:

0, 1, 2, 3, 4

5, 6, 2, 8, 9

10, -9, -8, -7, -6

5, -4, -3, -2, -1

atbp.

Ang pinakakaraniwan:

1. Kumpletong sistema ng hindi bababa sa mga hindi negatibong nalalabi: 0, 1, t -1 Sa halimbawa sa itaas: 0, 1, 2, 3, 4. Ang sistemang ito ng mga nalalabi ay madaling likhain: kailangan mong isulat ang lahat ng mga di-negatibong natitira na nakuha kapag hinahati sa m.
2. Kumpletong sistema ng hindi bababa sa positibong residues(Ang pinakamaliit na positibong bawas ay kinukuha mula sa bawat klase):

1, 2, …, m. Sa aming halimbawa: 1, 2, 3, 4, 5.

1. Isang kumpletong sistema ng ganap na kaunting mga pagbabawas.Sa kaso ng kakaibang m, ang ganap na pinakamaliit na nalalabi ay kinakatawan nang magkatabi.

- ,…, -1, 0, 1,…, ,

at sa kaso ng kahit m, isa sa dalawang hanay

1, …, -1, 0, 1,…, ,

, …, -1, 0, 1, …, .

Sa halimbawang ibinigay: -2, -1, 0, 1, 2.

Isaalang-alang natin ngayon ang mga pangunahing katangian ng kumpletong sistema ng mga nalalabi.

Teorama 1 . Anumang koleksyon ng m integer:

x l ,x 2 ,…,x m (1)

pairwise na hindi maihahambing na modulo m, ay bumubuo ng isang kumpletong sistema ng mga residue modulo m.

Patunay.

1. Ang bawat isa sa mga numero sa koleksyon (1) ay kabilang sa isang tiyak na klase.
2. Anumang dalawang numero x i at x j mula sa (1) ay hindi maihahambing sa isa't isa, ibig sabihin, kabilang sila sa iba't ibang klase.
3. May mga m na numero sa (1), ibig sabihin, ang parehong bilang na mayroong mga modulo na klase T.

x 1, x 2,…, x t - kumpletong sistema ng mga pagbabawas modulo m.

Teorama 2. Hayaan (a, m) = 1, b - arbitrary integer; saka kung x 1, x 2,…, x t ay isang kumpletong sistema ng residues modulo m, pagkatapos ay ang koleksyon ng mga numero palakol 1 + b, palakol 2 + b,…, palakol m Ang + b ay isa ring kumpletong sistema ng mga residue modulo m.

Patunay.

Isaalang-alang natin

Ax 1 + b, ax 2 + b,…, ax m + b (2)

1. Ang bawat isa sa mga numero sa koleksyon (2) ay kabilang sa isang tiyak na klase.
2. Anumang dalawang numero ax i +b at ax j + b mula sa (2) ay hindi maihahambing sa isa't isa, iyon ay, kabilang sila sa iba't ibang klase.

Sa katunayan, kung sa (2) mayroong dalawang bilang na ganoon

palakol i +b palakol j + b (mod m), (i = j), pagkatapos ay makukuha natin palakol at palakol j (mod t). Mula noong (a, t) = 1, kung gayon ang pag-aari ng mga paghahambing ay maaaring mabawasan ang parehong bahagi ng paghahambing sa pamamagitan ng A . Nakukuha namin ang x i x j (mod m).

Sa pamamagitan ng kundisyon x i x j (mod t) sa (i = j) , dahil x 1, x 2, ..., x m - isang kumpletong sistema ng mga pagbabawas.

1. Ang hanay ng mga numero (2) ay naglalaman ng T mga numero, iyon ay, kasing dami ng mga klase modulo m.

Kaya, ax 1 + b, ax 2 + b,…, ax m + b - kumpletong sistema ng residues modulo m.

Halimbawa.

Hayaan ang m = 10, a = 3, b = 4.

Kunin natin ang ilang kumpletong sistema ng residues modulo 10, halimbawa: 0, 1, 2,…, 9. Bumuo tayo ng mga numero ng form palakol + b. Nakukuha namin ang: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31. Ang resultang hanay ng mga numero ay isang kumpletong sistema ng mga residue modulo 10.

1. Ang ibinigay na sistema ng mga pagbabawas.

Patunayan natin ang sumusunod na teorama.

Teorama 1.

Ang mga numero ng parehong residue class modulo m ay may parehong pinakamalaking karaniwang divisor na may m: kung a b (mod m), pagkatapos (a, m) = (b, m).

Patunay.

Hayaan ang isang b (mod m). Pagkatapos a = b +mt, kung saan t є z. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na (a, t) = (b, t).

Sa katunayan, hayaan ang δ ay isang karaniwang divisor ng a at m, pagkatapos ay aδ, m . Dahil a = b +mt, pagkatapos b=a-mt, samakatuwid bδ. Samakatuwid, ang anumang karaniwang divisor ng mga numerong a at m ay isang karaniwang divisor ng m at b.

Sa kabaligtaran, kung m δ at b δ, kung gayon a = b +mt ay nahahati ng δ, at samakatuwid ang anumang karaniwang divisor ng m at b ay isang karaniwang divisor ng a at m. Ang teorama ay napatunayan.

Kahulugan 1. Pinakamahusay na karaniwang modulus divisor t at anumang numero a mula sa klase ng mga pagbabawas ng T tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor T at ang klase ng mga pagbabawas na ito.

Depinisyon 2. Natitirang klase a modulo t tinatawag na coprime to modulus m , kung ang pinakamalaking karaniwang divisor a at t katumbas ng 1 (iyon ay, kung m at anumang numero mula sa a ay coprime).

Halimbawa.

Hayaan ang t = 6. Ang natitirang klase 2 ay binubuo ng mga numero (..., -10, -4, 2, 8, 14, ...). Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng alinman sa mga numerong ito at modulus 6 ay 2. Kaya, (2, 6) = 2. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng anumang numero mula sa klase 5 at modulus 6 ay 1. Kaya, ang klase 5 ay coprime sa modulus 6 .

Pumili tayo ng isang numero mula sa bawat klase ng residues na coprime sa modulo m. Kumuha kami ng isang sistema ng mga pagbabawas na bahagi ng kumpletong sistema ng mga pagbabawas. tawag nila sa kanyapinababang sistema ng residues modulo m.

Kahulugan 3. Isang set ng residues modulo m, kinuha ng isa mula sa bawat coprime na may T Ang klase ng residues para sa modyul na ito ay tinatawag na reduced system of residues.

Mula sa Depinisyon 3 ay sumusunod sa isang paraan para sa pagkuha ng pinababang sistema ng modulo residues T: kinakailangang isulat ang ilang kumpletong sistema ng mga nalalabi at alisin mula rito ang lahat ng mga nalalabi na hindi kasama sa m. Ang natitirang hanay ng mga pagbabawas ay ang pinababang sistema ng mga pagbabawas. Malinaw, ang isang walang katapusang bilang ng mga sistema ng residues modulo m ay maaaring binubuo.

Kung kukunin natin bilang paunang sistema ang kumpletong sistema ng hindi bababa sa di-negatibo o ganap na hindi bababa sa mga nalalabi, pagkatapos ay gamit ang ipinahiwatig na pamamaraan na makukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, isang pinababang sistema ng hindi bababa sa hindi negatibo o ganap na hindi bababa sa mga residue modulo m.

Halimbawa.

Kung si T = 8, pagkatapos ay 1, 3, 5, 7 ang pinababang sistema ng hindi bababa sa mga hindi negatibong nalalabi, 1, 3, -3, -1- ang pinababang sistema ng ganap na hindi bababa sa mga pagbabawas.

Teorama 2.

Hayaan ang bilang ng mga klase na coprime sa m ay katumbas ng k.Pagkatapos ng anumang koleksyon ng mga k integer

pairwise na hindi maihahambing na modulo m at coprime sa m, ay isang pinababang sistema ng mga residue modulo m.

Patunay

A) Ang bawat numero sa populasyon (1) ay kabilang sa isang partikular na klase.

1. Ang lahat ng mga numero mula sa (1) ay magkapares na hindi maihahambing sa modulus T, ibig sabihin, kabilang sila sa iba't ibang klase ng modulo m.
2. Ang bawat numero mula sa (1) ay may kasamang T, ibig sabihin, lahat ng mga numerong ito ay nabibilang sa iba't ibang klase coprime sa modulo m.
3. Kabuuang (1) magagamit k mga numero, iyon ay, kasing dami ng nabawasang sistema ng mga residue modulo m dapat maglaman.

Samakatuwid, ang hanay ng mga numero(1) - pinababang sistema ng mga pagbabawas ng modulo T.

§4. Pag-andar ng Euler.

Euler's at Fermat's theorems.

1. Pag-andar ng Euler.

Tukuyin natin sa pamamagitan ng φ(T) ang bilang ng mga klase ng residues modulo m coprime to m, iyon ay, ang bilang ng mga elemento ng pinababang sistema ng residues modulo t. Function φ (t) ay numeric. tawag nila sa kanyaPag-andar ng Euler.

Pumili tayo bilang mga kinatawan ng modulo residue classes t mga numero 1, ..., t - 1, t Pagkatapos φ (t) - ang bilang ng mga naturang numero ay sumasabay sa t. Sa madaling salita, φ (t) - ang bilang ng mga positibong numero na hindi hihigit sa m at medyo prime sa m.

Mga halimbawa.

1. Hayaan ang t = 9. Ang kumpletong sistema ng residues modulo 9 ay binubuo ng mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sa mga ito, ang mga numerong 1,2,4, 5, 7, 8 ay coprime hanggang 9. Kaya dahil ang bilang ng mga numerong ito ay 6, kung gayon φ (9) = 6.
2. Hayaan ang t = 12. Ang kumpletong sistema ng residues ay binubuo ng mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Sa mga ito, ang mga numero 1, 5, 7, 11 ay coprime sa 12 . Ibig sabihin nito

φ(12) = 4.

Sa t = 1, ang kumpletong sistema ng mga nalalabi ay binubuo ng isang klase 1. Ang karaniwang natural na divisor ng mga numero 1 at 1 ay 1, (1, 1) = 1. Sa batayan na ito, ipinapalagay namin na φ(1) = 1.

Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng Euler function.

1) Kung t = p ay isang prime number, pagkatapos ay φ(p) = p- 1.

Patunay.

Mga Pagbawas 1, 2, ..., p- 1 at sila lang ang medyo prime na may prime number R. Samakatuwid φ (р) = р - 1.

2) Kung t = p k - pangunahing kapangyarihan p, pagkatapos

φ(t) = (p - 1) . (1)

Patunay.

Kumpletong sistema ng modulo deductions t = p k binubuo ng mga numero 1,..., p k - 1, p k Mga likas na divisors T ay mga degree R. Samakatuwid ang numero Amaaaring magkaroon ng karaniwang divisor na may m maliban sa 1, lamang sa kaso kung kailanAhinati ngR.Ngunit kabilang sa mga numero 1, ... , pk -1 saRmga numero lamang ang nahahatip, 2p, ... , p2 , ... RUpang, ang bilang nito ay katumbasRUpang: p = pk-1. Nangangahulugan ito na sila ay coprime sat = pUpangmagpahingaRUpang- Rk-1= pk-l(p-1)numero. Ito ay nagpapatunay na

φ (RUpang) = pk-1(p-1).

Teorama1.

Ang Euler function ay multiplicative, iyon ay, para sa mga relatibong prime na numero m at n mayroon tayong φ (mn) = φ(m) φ (n).

Patunay.

Ang unang kinakailangan sa kahulugan ng isang multiplicative function ay natutupad sa isang maliit na paraan: ang Euler function ay tinukoy para sa lahat ng natural na mga numero, at φ (1) = 1. Kailangan lang nating ipakita iyon kunguricoprime numero, pagkatapos

φ (tp)= φ (T) φ (P).(2)

Ayusin natin ang kumpletong sistema ng mga pagbabawas modulotpbilangPXT -matrice

1 2 T

t +1 t +2 2t

………………………………

(P -1) t+1 (P -1) m+2 Biyernes

Dahil angTAtPay medyo prime, pagkatapos ay ang numeroXkapalit lang ngtpnoon at kailan langXkapalit lang ngTAtXkapalit lang ngP. Ngunit ang bilangkm+tkapalit lang ngTkung at kung lamangtkapalit lang ngT.Samakatuwid, ang mga numerong coprime sa m ay matatagpuan sa mga column kung saanttumatakbo sa pamamagitan ng pinababang sistema ng modulo residuesT.Ang bilang ng mga naturang column ay katumbas ng φ(T).Ang bawat hanay ay nagpapakita ng kumpletong sistema ng mga pagbabawas moduloP.Mula sa mga pagbabawas na ito φ(P)sumama saP.Nangangahulugan ito na ang kabuuang bilang ng mga numero na medyo prime at mayTat may n, katumbas ng φ(T)φ(n)

(φ (T)mga hanay, sa bawat isa kung saan ang φ ay kinuha(P)numero). Ang mga numerong ito, at sila lamang, ang kasama saatbp.Ito ay nagpapatunay na

φ (tp)= φ (T) φ (P).

Mga halimbawa.

№1 . Patunayan ang bisa ng mga sumusunod na pagkakapantay-pantay

φ(4n) =

Patunay.

№2 . Lutasin ang equation

Solusyon:kasi(m)=, Iyon= , yan ay=600, =75, =3·, pagkatapos x-1=1, x=2,

y-1=2, y=3

Sagot: x=2, y=3

Maaari naming kalkulahin ang halaga ng Euler function(m), alam ang canonical na representasyon ng numerong m:

m=.

Dahil sa multiplicativity(m) mayroon kaming:

(m)=.

Ngunit ayon sa pormula (1) makikita natin iyan

-1), at samakatuwid

(3)

Ang pagkakapantay-pantay (3) ay maaaring muling isulat bilang:

Dahil ang=m, pagkatapos(4)

Formula (3) o, na pareho, (4) ang hinahanap natin.

Mga halimbawa.

№1 . Ano ang halaga?

Solusyon:,

, =18 (1- ) (1- =18 , Pagkatapos= 1+1+2+2+6+6=18.

№2 . Batay sa mga katangian ng pagpapaandar ng numero ng Euler, patunayan na sa pagkakasunud-sunod ng mga natural na numero ay mayroong isang walang katapusang hanay ng mga prime number.

Solusyon:Ipagpalagay na ang bilang ng mga prime number ay isang may hangganan na hanay, ipinapalagay namin iyon- ang pinakamalaking prime number at hayaan ang a=ay ang produkto ng lahat ng prime number, batay sa isa sa mga katangian ng Euler number function

Dahil a≥, kung gayon ang a ay isang pinagsama-samang numero, ngunit dahil ang canonical na representasyon nito ay naglalaman ng lahat ng prime number, kung gayon=1. Meron kami:

=1 ,

na imposible, at sa gayon ay napatunayan na ang hanay ng mga prime number ay walang katapusan.

№3 .Lutasin ang equation, kung saan x=At=2.

Solusyon:Ginagamit namin ang pag-aari ng Euler numerical function,

,

at ayon sa kondisyon=2.

Ipahayag natin mula sa=2 , nakukuha namin, palitan sa

:

(1+ -1=120, =11 =>

Pagkatapos x=, x=11·13=143.

Sagot:x= 143

2. Euler's theorem at Fermat.

Ang teorama ni Euler ay may mahalagang papel sa teorya ng paghahambing.

Ang teorama ni Euler.

Kung ang isang integer a ay coprime sa m, kung gayon

(1)

Patunay.Hayaan

(2)

mayroong isang pinababang sistema ng residues modulo m.

Kungaay isang integer coprime sa m, kung gayon

(3)

Math project sa paksa

"Paghahambing modulo"

Zaripova Aisylu

Sovetsky distrito ng Kazan

MBOU "Secondary School No. 166", 7a grade

Scientific superbisor: Antonova N.A.

Talaan ng mga Nilalaman

Panimula________________________________________________________________3

Ano ang mga paghahambing________________________________________________4

1. Ang konsepto ng mga paghahambing modulo__________________________4

   Kasaysayan ng paglitaw ng konsepto ng paghahambing modulo_____4

   Katangian ng paghahambing________________________________________________4

Paglalapat ng mga paghahambing sa paglutas ng suliranin________________________________6

1. Ang pinakasimpleng paggamit ng mga paghahambing ng modulo ay upang matukoy ang divisibility ng mga numero__________________________6

   Isang paghahambing na gawain________________________________8

   Ang paggamit ng mga paghahambing ng modulo sa mga propesyonal na aktibidad________________________________________________9

Konklusyon________________________________________________10

Listahan ng mga ginamit na panitikan________________________________________________11

Panimula.

Paksa: Paghahambing ng modulo.

Problema: Maraming mga mag-aaral ang nahaharap sa mga problema kapag naghahanda para sa mga Olympiad, ang solusyon nito ay batay sa kaalaman sa mga natitira mula sa paghahati ng mga integer sa isang natural na numero. Interesado kami sa mga ganitong uri ng problema at posibleng paraan para malutas ang mga ito. Lumalabas na maaari silang malutas gamit ang mga paghahambing ng modulo.

Layunin: Alamin ang kakanyahan ng mga paghahambing ng modulo, ang mga pangunahing pamamaraan ng pagtatrabaho sa mga paghahambing ng modulo.

Mga Layunin: makahanap ng teoretikal na materyal sa paksang ito, isaalang-alang ang mga problema na nalutas gamit ang mga paghahambing ng modulo, ipakita ang pinakakaraniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang problema, gumawa ng mga konklusyon.

Layunin ng pag-aaral: teorya ng numero.

Paksa ng pananaliksik: teorya ng mga paghahambing ng modulo.

Ang gawain ay nauugnay sa teoretikal na pananaliksik at maaaring magamit bilang paghahanda para sa mga Olympiad sa matematika. Ang nilalaman nito ay nagpapakita ng mga pangunahing konsepto ng mga paghahambing ng modulo at ang kanilang mga pangunahing katangian, at nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang ito.

ako . Ano ang mga paghahambing?

1. Ang konsepto ng mga paghahambing ng modulo.

Ang mga numero at sinasabing maihahambing sa modulus kung sila ay nahahati sa, sa madaling salita, ang a at b ay may parehong nalalabi kapag hinati sa.

Pagtatalaga

Mga halimbawa:

Ang 12 at 32 ay maihahambing na modulo 5, dahil ang 12 kapag hinati sa 5 ay may natitirang 2 at 32 kapag hinati sa 2 ay may natitirang 2. Ito ay nakasulat12 ;

101 at 17 ay maihahambing na modulo 21;

1. Kasaysayan ng paglitaw ng konsepto ng mga paghahambing ng modulo.

Ang teorya ng divisibility ay higit na nilikha ni Euler. Ang kahulugan ng paghahambing ay nabuo sa aklat ni K.F. Gauss "Arithmetic Studies". Ang gawaing ito, na nakasulat sa Latin, ay nagsimulang ilimbag noong 1797, ngunit ang aklat ay nai-publish lamang noong 1801 dahil sa katotohanan na ang proseso ng pag-imprenta noong panahong iyon ay lubhang matrabaho at mahaba. Ang unang seksyon ng aklat ni Gauss ay tinatawag na: "Sa paghahambing ng mga numero." Si Gauss ang nagmungkahi ng simbolismo ng mga paghahambing ng modulo na naging matatag sa matematika.

1. Mga katangian ng paghahambing.

Kung

Patunay:

1. Kung idaragdag natin ang pangalawa sa unang pagkakapantay-pantay, makukuha natin

ay ang kabuuan ng dalawang integer, samakatuwid ay isang integer, samakatuwid.

Kung ibawas natin ang pangalawa sa unang pagkakapantay-pantay, makukuha natin

ito ang pagkakaiba ng dalawang integer, na nangangahulugan na ito ay isang integer, samakatuwid.

Isaalang-alang ang expression:

Ito ang pagkakaiba ng mga produkto ng mga integer, na nangangahulugang ito ay isang integer, samakatuwid.

Ito ay isang kinahinatnan ng ikatlong pag-aari ng mga paghahambing.

Q.E.D.

5) Kung.

Patunay: Hanapin natin ang kabuuan ng dalawang expression na ito:

ay ang kabuuan ng dalawang integer, samakatuwid ito ay isang integer, samakatuwid .

Q.E.D.

6) Kung ay isang integer, kung gayon

Patunay: , saanp– isang integer, i-multiply ang pagkakapantay-pantay na ito sa, nakukuha natin ang: . Dahil produkto ng mga integer, iyon ang kailangang patunayan.

7) Kung

Patunay: Ang pangangatwiran ay katulad ng patunay ng ari-arian 6.

8) Kung - coprime numero, pagkatapos

Patunay: , hatiin ang expression na ito sa pamamagitan ng, nakukuha natin: - mga numero ng coprime, na nangangahulugan na ang mga ito ay nahahati sa pamamagitan ng isang integer, i.e. =. At ito ay nangangahulugan na kung ano ang kailangan upang patunayan.

II . Paglalapat ng mga paghahambing sa paglutas ng problema.

2.1. Ang pinakasimpleng paggamit ng mga paghahambing ng modulo ay upang matukoy ang divisibility ng mga numero.

Halimbawa. Hanapin ang natitira sa 2 2009 sa 7.

Solusyon: Isaalang-alang ang mga kapangyarihan ng 2:

pagtataas ng paghahambing sa kapangyarihan ng 668 at pag-multiply sa, makakakuha tayo ng: .

Sagot: 4.

Halimbawa. Patunayan na 7+7 2 +7 3 +…+7 4 n ay mahahati ng 100 para sa alinmannmula sa isang hanay ng mga integer.

Solusyon: Isaalang-alang ang mga paghahambing

atbp. Ang cyclical na katangian ng mga natitira ay ipinaliwanag ng mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero sa isang column. Ang pagdaragdag ng unang apat na paghahambing, makakakuha tayo ng:

Nangangahulugan ito na ang halagang ito ay hinati sa 100 nang walang natitira. Katulad nito, ang pagdaragdag ng mga sumusunod na paghahambing tungkol sa apat, nakuha namin na ang bawat naturang kabuuan ay nahahati sa 100 nang walang natitira. Nangangahulugan ito na ang kabuuang kabuuan ay binubuo ng 4nang mga termino ay nahahati sa 100 nang walang natitira. Q.E.D.

Halimbawa. Tukuyin kung anong halaganang expression ay nahahati sa 19 na walang natitira.

Solusyon: .

I-multiply natin ang paghahambing na ito sa 20. Nakukuha natin.

Pagsamahin natin ang mga paghahambing, kung gayon. . Kaya, ang kanang bahagi ng paghahambing ay palaging nahahati sa 19 para sa anumang natural na numeron, na nangangahulugang ang orihinal na expression ay nahahati sa 19 na may naturaln.

Sagot n – anumang natural na numero.

Halimbawa. Anong digit ang nagtatapos sa numero?

Solusyon. Upang malutas ang problemang ito, susubaybayan lamang namin ang huling digit. Isaalang-alang ang mga kapangyarihan ng numero 14:

Mapapansin mo na kung ang exponent ay kakaiba, ang halaga ng degree ay nagtatapos sa 4, at kung ang exponent ay even, ito ay nagtatapos sa 6. Pagkatapos ay nagtatapos ito sa 6, i.e. ay isang even number. Kaya magtatapos ito sa 6.

Sagot 6.

2.2. Isang paghahambing na gawain.

Ang artikulo ni N. Vilenkin na "Paghahambing at mga klase ng nalalabi" ay nagpapakita ng isang problema na nalutas ng sikat na Ingles na physicist na si Dirac sa panahon ng kanyang mga taon ng pag-aaral.

Mayroon ding maikling solusyon sa problemang ito gamit ang mga paghahambing ng modulo. Ngunit nakatagpo kami ng ilang katulad na mga problema. Halimbawa.

Isang taong dumaraan ang nakakita ng isang tumpok ng mansanas malapit sa isang puno kung saan nakaupo ang isang unggoy. Matapos bilangin ang mga ito, napagtanto niya na kung ang 1 mansanas ay ibinigay sa unggoy, ang bilang ng natitirang mga mansanas ay mahahati sa n walang bakas. Pagkabigay ng dagdag na mansanas sa unggoy, kumuha siya ng 1/ n natitirang mansanas at umalis. Nang maglaon, ang susunod na dumaan ay lumapit sa tumpok, pagkatapos ay ang susunod, atbp. Ang bawat kasunod na dumaraan, na binibilang ang mga mansanas, napansin na ang kanilang bilang kapag hinati sa n binigay ang natitirang 1 at, nang maibigay ang dagdag na mansanas sa unggoy, kumuha siya ng 1/ n ang natitirang mga mansanas at nagpatuloy. Pagkaalis ng huli, n ika dumaan, ang bilang ng mga mansanas na natitira sa tumpok ay hinati ng n walang bakas. Ilang mansanas ang nasa tumpok noong una?

Sa pagsasagawa ng parehong pangangatwiran gaya ng Dirac, nakakuha kami ng pangkalahatang pormula para sa paglutas ng isang klase ng mga katulad na problema: , kung saann- natural na numero.

2.3. Paglalapat ng mga paghahambing ng module sa mga propesyonal na aktibidad.

Ang teorya ng paghahambing ay inilapat sa coding theory, kaya lahat ng tao na pumipili ng propesyon na nauugnay sa mga computer ay mag-aaral, at posibleng maglapat ng mga paghahambing sa kanilang mga propesyonal na aktibidad. Halimbawa, ang ilang mga konsepto ng teorya ng numero, kabilang ang mga paghahambing ng modulo, ay ginagamit upang bumuo ng mga pampublikong key encryption algorithm.

Konklusyon.

Binabalangkas ng gawain ang mga pangunahing konsepto at katangian ng mga paghahambing ng modulo at inilalarawan ang paggamit ng mga paghahambing ng modulo na may mga halimbawa. Ang materyal ay maaaring gamitin bilang paghahanda para sa olympiads sa matematika at ang Pinag-isang State Exam.

Ang ibinigay na listahan ng mga sanggunian ay nagbibigay-daan, kung kinakailangan, na isaalang-alang ang ilang mas kumplikadong aspeto ng teorya ng mga paghahambing ng modulo at mga aplikasyon nito.

Listahan ng ginamit na panitikan.

Alfutova N.B. Algebra at teorya ng numero./N.B.Alfutova, A.V.Ustinov. M.:MCNMO, 2002, 466 p.

Bukhshtab A.A. Teorya ng numero. /A.A.Bukhshtab. M.: Edukasyon, 1960.

Vilenkin N. Mga paghahambing at klase ng mga nalalabi./N. – 1978.- 10.

Fedorova N.E. Pag-aaral ng algebra at mathematical analysis. Baitang 10.http:// www. prosv. ru/ mga ebook/ Fedorova_ Algebra_10 kl/1/ xht

ru. wikipedia. org/ wiki/Comparison_modulo.

Ang paghahambing sa unang antas sa isang hindi kilala ay may anyo:

f(x) 0 (mod m); f(X) = Oh + at n. (1)

Lutasin ang paghahambing- nangangahulugang paghahanap ng lahat ng mga halaga ng x na nagbibigay-kasiyahan dito. Dalawang paghahambing na nakakatugon sa parehong mga halaga ng x ay tinatawag katumbas.

Kung ang paghahambing (1) ay nasiyahan sa alinman x = x 1, pagkatapos (ayon sa 49) lahat ng numero na maihahambing sa x 1, modulo m: x x 1 (mod m). Ang buong klase ng mga numero ay itinuturing na isang solusyon. Sa gayong kasunduan, maaaring mabuo ang sumusunod na konklusyon.

66.C pagkakahanay (1) magkakaroon ng kasing dami ng mga solusyon gaya ng bilang ng mga nalalabi ng kumpletong sistema na nagbibigay-kasiyahan dito.

Halimbawa. Paghahambing

6x– 4 0 (mod 8)

Kabilang sa mga numero 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, dalawang numero ang nakakatugon sa kumpletong sistema ng mga residue modulo 8: X= 2 at X= 6. Samakatuwid, ang paghahambing na ito ay may dalawang solusyon:

x 2 (mod 8), X 6 (mod 8).

Ang paghahambing ng unang antas sa pamamagitan ng paglipat ng libreng termino (na may kabaligtaran na tanda) sa kanang bahagi ay maaaring bawasan sa anyo

palakol b(mod m). (2)

Isaalang-alang ang isang paghahambing na nakakatugon sa kondisyon ( A, m) = 1.

Ayon sa 66, ang aming paghahambing ay may maraming mga solusyon tulad ng may mga nalalabi ng kumpletong sistema na nagbibigay-kasiyahan dito. Pero kailan x tumatakbo sa kumpletong sistema ng modulo residues T, yun Oh tumatakbo sa kumpletong sistema ng mga pagbabawas (sa 60). Samakatuwid, para sa isa at tanging isang halaga X, kinuha mula sa kumpletong sistema, Oh ay maihahambing sa b. Kaya,

67. Kapag (a, m) = 1 paghahambing na palakol b(mod m)may isang solusyon.

Hayaan mo na ( a, m) = d> 1. Pagkatapos, para sa paghahambing (2) upang magkaroon ng mga solusyon, kinakailangan (sa 55) iyon b hinati ng d, kung hindi, ang paghahambing (2) ay imposible para sa anumang integer x . Ipinagpapalagay kung gayon b maramihan d, ilagay natin a = a 1 d, b = b 1 d, m = m 1 d. Kung magkagayon ang paghahambing (2) ay magiging katumbas nito (pinaikli ng d): a 1 x b 1 (mod m), kung saan na ( A 1 , m 1) = 1, at samakatuwid ito ay magkakaroon ng isang solusyon modulo m 1 . Hayaan X 1 – ang pinakamaliit na di-negatibong nalalabi ng solusyon na ito modulo m 1 , kung gayon ang lahat ng mga numero ay x , Ang pagbuo ng solusyon na ito ay matatagpuan sa anyo

x x 1 (mod m 1). (3)

Ang Modulo m, ang mga numero (3) ay hindi bumubuo ng isang solusyon, ngunit higit pa, eksaktong kasing dami ng mga solusyon na mayroong mga numero (3) sa serye 0, 1, 2, ..., m – 1 hindi bababa sa hindi negatibong modulo residues m. Ngunit ang mga sumusunod na numero (3) ay mahuhulog dito:

x 1 , x 1 + m 1 , x 1 + 2m 1 , ..., x 1 + (d – 1) m 1 ,

mga. Kabuuan d mga numero (3); samakatuwid ang paghahambing (2) ay may d mga desisyon.

Nakukuha namin ang teorama:

68. Hayaan ang (a, m) = d. Paghahambing ax b ( mod m) ay imposible kung ang b ay hindi mahahati ng d. Kapag ang b ay isang multiple ng d, ang paghahambing ay may mga d solusyon.

69. Isang paraan para sa paglutas ng mga paghahambing ng unang antas, batay sa teorya ng patuloy na mga praksiyon:

Pagpapalawak sa isang patuloy na fraction ang kaugnayan m:a,

at pagtingin sa huling dalawang magkatugmang fraction:

ayon sa mga katangian ng patuloy na mga fraction (ayon sa 30 ) meron kami

Kaya ang paghahambing ay may solusyon

upang mahanap, na sapat na upang makalkula P n– 1 ayon sa pamamaraang tinukoy sa 30.

Halimbawa. Solusyonan natin ang paghahambing

111x= 75 (mod 321). (4)

Dito (111, 321) = 3, at 75 ay multiple ng 3. Samakatuwid, ang paghahambing ay may tatlong solusyon.

Ang paghahati sa magkabilang panig ng paghahambing at ang modulus sa pamamagitan ng 3, makuha namin ang paghahambing

37x= 25 (mod 107), (5)

na dapat muna nating lutasin. Meron kami

q
P 3

Kaya, sa kasong ito n = 4, P n – 1 = 26, b= 25, at mayroon kaming solusyon sa paghahambing (5) sa anyo

x–26 ∙ 25 99 (mod 107).

Samakatuwid, ang mga solusyon sa paghahambing (4) ay ipinakita tulad ng sumusunod:

X 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),

Xº99; 206; 313 (mod 321).

Pagkalkula ng kabaligtaran na elemento sa pamamagitan ng isang ibinigay na modulo

70. Kung ang mga numero ay integer a At n ay coprime, pagkatapos ay mayroong isang numero a', nagbibigay-kasiyahan sa paghahambing isang ∙ a′ ≡ 1 (mod n). Numero a' tinawag multiplicative inverse ng isang modulo n at ang notasyong ginamit para dito ay a- 1 (mod n).

Ang pagkalkula ng reciprocal na dami ng modulo ng isang tiyak na halaga ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng paglutas ng paghahambing ng unang antas sa isang hindi alam, kung saan x tinanggap ang numero a'.

Upang makahanap ng solusyon sa paghahambing

a∙x≡ 1(mod m),

saan ( a,m)= 1,

maaari mong gamitin ang Euclid algorithm (69) o ang Fermat-Euler theorem, na nagsasaad na kung ( a,m) = 1, pagkatapos

a φ( m) ≡ 1(mod m).

x ≡ a φ( m)–1 (mod m).

Mga pangkat at ang kanilang mga pag-aari

Ang mga pangkat ay isa sa mga klase ng taxonomic na ginagamit upang pag-uri-uriin ang mga istrukturang matematikal na may mga karaniwang katangiang katangian. Ang mga pangkat ay may dalawang bahagi: isang grupo ng (G) At mga operasyon() tinukoy sa set na ito.

Ang mga konsepto ng set, element at membership ay ang mga pangunahing hindi natukoy na konsepto ng modernong matematika. Ang anumang set ay tinutukoy ng mga elementong kasama dito (na, sa turn, ay maaari ding mga set). Kaya, sinasabi namin na ang isang set ay tinukoy o ibinigay kung para sa anumang elemento ay masasabi natin kung ito ay kabilang sa set na ito o hindi.

Para sa dalawang set A, B mga tala B A, B A, B∩ A, B A, B \ A, A × B ayon sa pagkakabanggit ay nangangahulugan na B ay isang subset ng set A(ibig sabihin, anumang elemento mula sa B ay nakapaloob din sa A, halimbawa, ang hanay ng mga natural na numero ay nakapaloob sa hanay ng mga tunay na numero; tsaka lagi A A), B ay isang wastong subset ng set A(mga. B A At B ≠ A), intersection ng marami B At A(ibig sabihin, lahat ng gayong elemento na sabay-sabay na nasa A, at sa B, halimbawa, ang intersection ng mga integer at positibong tunay na numero ay ang hanay ng mga natural na numero), ang unyon ng mga set B At A(i.e. isang set na binubuo ng mga elemento na nasa alinman sa A, alinman sa B), itakda ang pagkakaiba B At A(ibig sabihin, ang hanay ng mga elemento na nasa B, ngunit huwag magsinungaling A), Cartesian na produkto ng mga hanay A At B(ibig sabihin, isang set ng mga pares ng form ( a, b), Saan a A, b B). Sa pamamagitan ng | A| ang kapangyarihan ng set ay palaging tinutukoy A, ibig sabihin. bilang ng mga elemento sa set A.

Ang operasyon ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang alinmang dalawang elemento ng isang set G(a At b) ay tumugma sa ikatlong elemento mula sa G: a b.

Maraming elemento G na may operasyon ay tinatawag pangkat, kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan.

Paghahambing ng mga numero modulo

Inihanda ni: Irina Zutikova

MAOU "Lyceum No. 6"

Klase: 10 "a"

Scientific superbisor: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambov

2016

• Problema
• Layunin ng proyekto
• Hypothesis
• Mga layunin ng proyekto at plano para sa pagkamit ng mga ito
• Mga paghahambing at ang kanilang mga katangian
• Mga halimbawa ng mga problema at ang kanilang mga solusyon
• Mga ginamit na site at literatura

Problema:

Karamihan sa mga mag-aaral ay bihirang gumamit ng modulo na paghahambing ng mga numero upang malutas ang mga hindi pamantayan at olympiad na gawain.

Layunin ng proyekto:

Ipakita kung paano, sa pamamagitan ng paghahambing ng mga numerong modulo, maaari mong lutasin ang mga gawaing hindi karaniwan at olympiad.

Hypothesis:

Ang isang mas malalim na pag-aaral ng paksang "Paghahambing ng mga numero modulo" ay makakatulong sa mga mag-aaral na malutas ang ilang hindi pamantayan at mga gawain sa olympiad.

Mga layunin ng proyekto at plano para sa pagkamit ng mga ito:

1. Pag-aralan nang detalyado ang paksang “Paghahambing ng mga numero modulo”.

2. Lutasin ang ilang hindi pamantayan at olympiad na gawain gamit ang modulo na paghahambing ng mga numero.

3.Gumawa ng memo para sa mga mag-aaral sa paksang "Paghahambing ng mga numero ng modulo."

4. Magsagawa ng aralin sa paksang “Paghahambing ng mga bilang modulo” sa baitang 10 “a”.

5. Ibigay ang takdang-aralin sa klase sa paksang “Paghahambing ayon sa modyul.”

6.Paghambingin ang oras upang tapusin ang gawain bago at pagkatapos pag-aralan ang paksang “Paghahambing ayon sa Modyul”.

7. Gumuhit ng mga konklusyon.

Bago simulan ang pag-aaral nang detalyado ang paksang "Paghahambing ng mga numero ng modulo", nagpasya akong ihambing kung paano ito ipinakita sa iba't ibang mga aklat-aralin.

• Algebra at simula ng mathematical analysis. Advanced na antas. Ika-10 baitang (Yu.M. Kolyagin at iba pa)
• Matematika: algebra, function, pagsusuri ng data. Ika-7 baitang (L.G. Peterson at iba pa)
• Algebra at simula ng mathematical analysis. Antas ng profile. Ika-10 baitang (E.P. Nelin at iba pa)
• Algebra at simula ng mathematical analysis. Antas ng profile. Ika-10 baitang (G.K. Muravin at iba pa)

Tulad ng nalaman ko, ang ilang mga aklat-aralin ay hindi man lang nakikialam sa paksang ito, sa kabila ng advanced na antas. At ang paksa ay iniharap sa pinaka-malinaw at naa-access na paraan sa aklat-aralin ni L.G.

Mga paghahambing at ang kanilang mga katangian.

Kahulugan: Kung ang dalawang integer a at b ay may parehong nalalabi kapag hinati sa ilang integer m (m>0), sasabihin nila naAng a at b ay maihahambing na modulo m, at magsulat:

Teorama: kung at kung ang pagkakaiba ng a at b ay mahahati ng m.

Ari-arian:

1. Reflexivity ng mga paghahambing.Anumang numero a ay maihahambing sa mismong modulo m (m>0; a,m ay mga integer).
2. Mga simetriko na paghahambing.Kung ang numero a ay maihahambing sa numerong b modulo m, kung gayon ang numerong b ay maihahambing sa numerong a modulo na pareho (m>0; a,b,m ay mga integer).
3. Transitivity ng mga paghahambing.Kung ang numero a ay maihahambing sa numero b modulo m, at ang numero b ay maihahambing sa numero c modulo ang parehong modulo, kung gayon ang numero a ay maihahambing sa numero c modulo m (m>0; a,b,c ,m ay mga integer).
4. Kung ang numero a ay maihahambing sa numero b modulo m, kung gayon ang numero a n maihahambing sa bilang b n modulo m(m>0; a,b,m-integers; n-natural na numero).

Mga halimbawa ng mga problema at ang kanilang mga solusyon.

1. Hanapin ang huling digit ng numero 3 999 .

Solusyon:

kasi Ang huling digit ng numero ay ang natitira kapag hinati sa 10, pagkatapos

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Dahil 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (ayon sa ari-arian))

Sagot: 7.

2.Patunayan na 2 4n -1 ay nahahati sa 15 nang walang natitira. (Phystech2012)

Solusyon:

kasi 16 1(mod 15), pagkatapos

16n-1 0(mod 15) (ayon sa ari-arian); 16n= (2 4) n

2 4n -1 0(mod 15)

3. Patunayan na 12 2n+1 +11 n+2 Nahahati sa 133 nang walang natitira.

Solusyon:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (ayon sa ari-arian)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Numero (11n *133)hahati sa 133 nang walang natitira, (12 2n+1 +11 n+2 ) ay nahahati sa 133 nang walang natitira.

4. Hanapin ang natitira sa numero 2 na hinati ng 15 2015 .

Solusyon:

Mula noong 16 1(mod 15), pagkatapos

2 2015 8(mod 15)

Sagot:8.

5. Hanapin ang natitira sa dibisyon sa pamamagitan ng ika-17 na numero 2 2015. (Phystech2015)

Solusyon:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Mula noong 16 -1(mod 17), pagkatapos

2 2015 -8(mod 15)

8 9(mod 17)

Sagot:9.

6. Patunayan na ang bilang ay 11 100 -1 ay nahahati sa 100 nang walang natitira. (Phystech2015)

Solusyon:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (ayon sa ari-arian)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (ayon sa ari-arian)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (ayon sa ari-arian)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(ayon sa ari-arian)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (ayon sa ari-arian)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (ayon sa ari-arian)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (ayon sa ari-arian)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (ayon sa ari-arian)

Kaya 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (ayon sa ari-arian)

7. Tatlong numero ang ibinigay: 1771,1935,2222. Maghanap ng isang numero na, kapag hinati nito, ang mga natitira sa tatlong ibinigay na mga numero ay magiging pantay. (HSE2016)

Solusyon:

Hayaang ang hindi kilalang numero ay katumbas ng a, kung gayon

2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(moda) (ayon sa ari-arian); 1935-17710(moda) (ayon sa ari-arian); 2222-17710(moda) (ayon sa ari-arian)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(moda) (ayon sa ari-arian); 451-2870(moda)(ayon sa ari-arian)

123 0(mod a); 164 0(mod a)

164-123 0(mod a) (ayon sa ari-arian)

41

HSE Olympiad 2016