Mga linear na espasyo. Mga subspace. Sukat at batayan. Dimensyon at batayan ng isang vector space, decomposition ng isang vector sa isang batayan, mga halimbawa Mga halimbawa ng mga base ng mga linear space
Ang isang subset ng isang linear na espasyo ay bumubuo ng isang subspace kung ito ay sarado sa ilalim ng pagdaragdag ng mga vector at multiplikasyon sa pamamagitan ng mga scalar.
Halimbawa 6.1. Ang isang subspace ba sa isang eroplano ay bumubuo ng isang set ng mga vector na ang mga dulo ay namamalagi: a) sa unang quarter; b) sa isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan? (ang mga pinagmulan ng mga vector ay nasa pinagmulan ng mga coordinate)
Solusyon.
a) hindi, dahil ang set ay hindi isinara sa ilalim ng multiplikasyon ng isang scalar: kapag pinarami ng negatibong numero, ang dulo ng vector ay nahuhulog sa ikatlong quarter.
b) oo, dahil kapag nagdadagdag ng mga vectors at nagpaparami ng mga ito sa anumang numero, ang mga dulo nito ay mananatili sa parehong tuwid na linya.
Pagsasanay 6.1. Gawin ang mga sumusunod na subset ng kaukulang mga linear na puwang na bumubuo ng isang subspace:
a) isang hanay ng mga vector ng eroplano na ang mga dulo ay nasa una o ikatlong quarter;
b) isang hanay ng mga vector ng eroplano na ang mga dulo ay nasa isang tuwid na linya na hindi dumadaan sa pinanggalingan;
c) isang hanay ng mga linya ng coordinate ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);
d) hanay ng mga linya ng coordinate ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);
e) isang hanay ng mga linya ng coordinate ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).
Ang dimensyon ng isang linear space L ay ang numerong dim L ng mga vector na kasama sa alinman sa mga batayan nito.
Ang mga sukat ng kabuuan at ang intersection ng mga subspace ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan
dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).
Halimbawa 6.2. Hanapin ang batayan at dimensyon ng kabuuan at intersection ng mga subspace na sinasaklaw ng mga sumusunod na sistema ng mga vector:
Solusyon. Bumuo tayo ng isang matrix mula sa mga coordinate ng mga vector na ito, ayusin ang mga ito sa mga haligi at paghihiwalay ng isang sistema mula sa isa pa gamit ang isang linya. Bawasan natin ang resultang matrix sa stepwise form.
~ 
~ 
~ 
.
Ang batayan ng U + V ay nabuo ng mga vectors , , , kung saan tumutugma ang mga nangungunang elemento sa step matrix. Samakatuwid dim (U + V) = 3. Pagkatapos
dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
Ang intersection ng mga subspace ay bumubuo ng isang set ng mga vector na nakakatugon sa equation (nakatayo sa kaliwa at kanang bahagi ng equation na ito). Nakukuha namin ang intersection na batayan gamit ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng sistema ng mga linear equation na naaayon sa vector equation na ito. Ang matrix ng system na ito ay nabawasan na sa isang stepwise form. Batay dito, napagpasyahan namin na ang y 2 ay isang libreng variable, at itinakda namin ang y 2 = c. Pagkatapos 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. at ang intersection ng mga subspace ay bumubuo ng isang set ng mga vectors ng form 
= c (3, 6, 3, 4). Dahil dito, ang batayan ng UÇV ay bumubuo ng vector (3, 6, 3, 4).
Mga Tala. 1. Kung patuloy nating malulutas ang system, sa paghahanap ng mga halaga ng mga variable x, makakakuha tayo ng x 2 = c, x 1 = c, at sa kaliwang bahagi ng vector equation ay nakakakuha tayo ng vector na katumbas ng nakuha sa itaas. .
2. Gamit ang ipinahiwatig na pamamaraan, maaari mong makuha ang batayan ng kabuuan kahit na ang mga sistema ng pagbuo ng mga vector ay linearly independent. Ngunit ang intersection na batayan ay makukuha lamang ng tama kung ang system na bumubuo ng pangalawang subspace ay linearly independent.
3. Kung natukoy na ang dimensyon ng intersection ay 0, kung gayon ang intersection ay walang batayan at hindi na kailangang hanapin ito.
Pagsasanay 6.2. Hanapin ang batayan at dimensyon ng kabuuan at intersection ng mga subspace na sinasaklaw ng mga sumusunod na sistema ng mga vector:
A) 
b) 
Euclidean space
Ang Euclidean space ay isang linear space sa ibabaw ng field R, kung saan ang isang scalar multiplication ay tinukoy na nagtatalaga sa bawat pares ng mga vector , isang scalar , at ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:
2) (a + b) = a() + b();
3) ¹Þ > 0.
Ang karaniwang produkto ng scalar ay kinakalkula gamit ang mga formula
(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.
Vectors at tinatawag na orthogonal, nakasulat ^ kung ang kanilang scalar product ay katumbas ng 0.
Ang isang sistema ng mga vector ay tinatawag na orthogonal kung ang mga vectors sa loob nito ay pairwise orthogonal.
Ang isang orthogonal system ng mga vectors ay linearly independent.
Ang proseso ng orthogonalization ng isang sistema ng mga vectors , ... , ay binubuo ng paglipat sa isang katumbas na orthogonal system , ... , na isinagawa ayon sa mga formula:
, kung saan , k = 2, … , n.
Halimbawa 7.1. Orthogonalize ng isang sistema ng mga vectors
= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).
Solusyon. Mayroon kaming = = (1, 2, 2, 1);
, = 
= = 1;
= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).
, = 
= =1;
= 
=1;
= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).
Pagsasanay 7.1. I-orthogonalize ang mga vector system:
a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);
b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).
Halimbawa 7.2. Kumpletong sistema ng mga vectors = (1, -1, 1, -1),
= (1, 1, -1, -1), sa orthogonal na batayan ng espasyo.
Solusyon: Ang orihinal na sistema ay orthogonal, kaya ang problema ay may katuturan. Dahil ang mga vector ay ibinibigay sa apat na dimensyon na espasyo, kailangan nating maghanap ng dalawa pang vector. Ang ikatlong vector = (x 1, x 2, x 3, x 4) ay tinutukoy mula sa mga kundisyon = 0, = 0. Ang mga kundisyong ito ay nagbibigay ng isang sistema ng mga equation, ang matrix na kung saan ay nabuo mula sa mga linya ng coordinate ng mga vectors at . Nalutas namin ang sistema:
~ 
~ 
.
Ang mga libreng variable na x 3 at x 4 ay maaaring bigyan ng anumang hanay ng mga halaga maliban sa zero. Ipinapalagay namin, halimbawa, x 3 = 0, x 4 = 1. Pagkatapos x 2 = 0, x 1 = 1, at = (1, 0, 0, 1).
Katulad nito, makikita natin ang = (y 1, y 2, y 3, y 4). Upang gawin ito, nagdaragdag kami ng bagong linya ng coordinate sa stepwise matrix na nakuha sa itaas at binabawasan ito sa stepwise form:
~ 
~ 
.
Para sa libreng variable na y 3 itinakda namin ang y 3 = 1. Pagkatapos ay y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, at = (0, 1, 1, 0).
Ang pamantayan ng isang vector sa Euclidean space ay isang hindi negatibong tunay na numero.
Ang isang vector ay tinatawag na normalized kung ang pamantayan nito ay 1.
Upang gawing normal ang isang vector, dapat itong hatiin sa pamantayan nito.
Ang isang orthogonal system ng normalized vectors ay tinatawag na orthonormal.
Pagsasanay 7.2. Kumpletuhin ang sistema ng mga vector sa isang orthonormal na batayan ng espasyo:
a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);
b) = (1/3, -2/3, 2/3).
Mga linear na pagmamapa
Hayaang maging linear space ang U at V sa ibabaw ng field F. Ang pagmamapa f: Ang U ® V ay tinatawag na linear kung at .
Halimbawa 8.1. Ang mga pagbabago ba ng three-dimensional na espasyo ay linear:
a) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);
b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).
Solusyon.
a) Mayroon tayong f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =
= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =
F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));
f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =
L f(x 1, x 2, x 3).
Samakatuwid, ang pagbabago ay linear.
b) Mayroon tayong f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =
= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);
f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =
= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).
Samakatuwid, ang pagbabago ay hindi linear.
Ang larawan ng isang linear na pagmamapa f: U ® V ay ang hanay ng mga larawan ng mga vector mula sa U, ibig sabihin
Ako (f) = (f() ï О U). + … + isang m1
Pagsasanay 8.1. Hanapin ang ranggo, depekto, mga base ng imahe at kernel ng linear mapping f na ibinigay ng matrix:
a) A = ; b) A = ; c) A = 
.
Pahina 1
Subspace, ang batayan at sukat nito.
Hayaan L– linear na espasyo sa ibabaw ng field P At A– subset ng L. Kung A mismo ay bumubuo ng isang linear na espasyo sa ibabaw ng field P tungkol sa parehong mga operasyon bilang L, Iyon A tinatawag na subspace ng espasyo L.
Ayon sa kahulugan ng linear space, kaya na A ay isang subspace na kinakailangan upang suriin ang pagiging posible A mga operasyon:
1) : 
;
2) 
: 
;
at suriin kung ang mga operasyon ay nasa A ay napapailalim sa walong axioms. Gayunpaman, ang huli ay magiging kalabisan (dahil sa katotohanan na ang mga axiom na ito ay humahawak sa L), i.e. totoo ang sumusunod
Teorama. Hayaang maging linear space ang L sa ibabaw ng field na P at 
. Ang isang set A ay isang subspace ng L kung at lamang kung ang mga sumusunod na kinakailangan ay natutugunan:
1. : ;
2. : .
Pahayag. Kung L – n-dimensional na linear space at A subspace nito, kung gayon A ay isa ring finite-dimensional linear space at hindi lalampas ang dimensyon nito n.
P 
halimbawa 1. Ang isang subspace ba ng puwang ng mga segment na vectors V 2 ang set S ng lahat ng mga vector ng eroplano, na ang bawat isa ay nasa isa sa mga coordinate axes na 0x o 0y?
Solusyon: Hayaan mo 
, 
At 
, 
. Pagkatapos 
. Samakatuwid ang S ay hindi isang subspace 
.
Halimbawa 2. V 2 maraming plane segment vectors S lahat ng plane vectors na ang simula at dulo ay nasa isang partikular na linya l ang eroplanong ito?
Solusyon.
E 
sli vector 
multiply sa totoong numero k, pagkatapos ay makuha namin ang vector 
, na kabilang din sa S. Kung 
At 
ay dalawang vectors mula sa S, kung gayon 
(ayon sa tuntunin ng pagdaragdag ng mga vector sa isang tuwid na linya). Samakatuwid ang S ay isang subspace 
.
Halimbawa 3. Ay isang linear subspace ng isang linear space V 2 isang grupo ng A lahat ng mga vector ng eroplano na ang mga dulo ay nasa isang ibinigay na linya l, (ipagpalagay na ang pinagmulan ng anumang vector ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate)?
R 
desisyon.
Sa kaso kung saan ang tuwid na linya l ang set ay hindi dumadaan sa pinanggalingan A linear subspace ng espasyo V 2
ay hindi, dahil 
.
Sa kaso kung saan ang tuwid na linya l
dumadaan sa pinanggalingan, set A ay isang linear na subspace ng espasyo V 2
,
kasi 
at kapag nagpaparami ng anumang vector 
sa totoong numero α
mula sa field R nakukuha namin 
. Kaya, ang mga kinakailangan sa linear na espasyo para sa isang set A nakumpleto.
Halimbawa 4. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga vector 
mula sa linear space L sa ibabaw ng field P. Patunayan na ang hanay ng lahat ng posibleng linear na kumbinasyon 
may posibilidad 
mula sa P ay isang subspace L(ito ay isang subspace A ay tinatawag na subspace na nabuo ng sistema ng mga vectors o linear shell itong vector system, at tinukoy bilang sumusunod: 
o 
).
Solusyon. Sa katunayan, mula noong , pagkatapos ay para sa anumang mga elemento x,
y
A meron kami: 
, 
, Saan 
, 
. Pagkatapos
kasi , Iyon 
, Kaya naman 
.
Suriin natin kung ang pangalawang kondisyon ng teorama ay nasiyahan. Kung x– anumang vector mula sa A At t– anumang numero mula sa P, Yung . Dahil ang 
At 
,, Iyon 
, , Kaya naman 
. Kaya, ayon sa teorama, ang set A– subspace ng linear space L.
Para sa finite-dimensional linear space, totoo rin ang converse.
Teorama. Anumang subspace A linear na espasyo L sa ibabaw ng field 
ay ang linear span ng ilang sistema ng mga vector.
Kapag nilulutas ang problema sa paghahanap ng batayan at sukat ng isang linear shell, ginagamit ang sumusunod na theorem.
Teorama. Linear na batayan ng shell 
tumutugma sa batayan ng sistema ng vector . Linear na sukat ng shell tumutugma sa ranggo ng sistema ng vector .
Halimbawa 4. Hanapin ang batayan at sukat ng subspace 
linear na espasyo R 3
[
x]
, Kung 
, 
, 
, 
.
Solusyon. Ito ay kilala na ang mga vectors at ang kanilang mga coordinate row (column) ay may parehong mga katangian (na may paggalang sa linear dependence). Paggawa ng matrix A=
mula sa coordinate column ng mga vectors 
sa batayan 
.
Hanapin natin ang ranggo ng matrix A.
. M 3
=
. 
.
Samakatuwid ang ranggo r(A)=
3. Kaya, ang ranggo ng sistema ng vector ay katumbas ng 3. Nangangahulugan ito na ang dimensyon ng subspace S ay katumbas ng 3, at ang batayan nito ay binubuo ng tatlong vectors 
(dahil sa pangunahing menor de edad 
kasama ang mga coordinate ng mga vector na ito lamang)., . Ang sistemang ito ng mga vectors ay linearly independent. Sa katunayan, hayaan ito.
AT 
.
Maaari mong tiyakin na ang sistema 
linearly dependent para sa anumang vector x mula sa H. Ito ay nagpapatunay na 
pinakamataas na linearly independent system ng subspace vectors H, ibig sabihin. - batayan sa H at malabo H=n 2
.
Pahina 1
1. Hayaan ang subspace L = L(A 1 , A 2 , …, at m) , yan ay L– linear shell ng system A 1 , A 2 , …, at m; mga vector A 1 , A 2 , …, at m– ang sistema ng mga generator ng subspace na ito. Pagkatapos ang batayan L ay ang batayan ng sistema ng mga vectors A 1 , A 2 , …, at m, iyon ay, ang batayan ng sistema ng mga generator. Dimensyon L katumbas ng ranggo ng sistema ng mga generator.
2. Hayaan ang subspace L ay ang kabuuan ng mga subspace L 1 at L 2. Ang isang sistema ng pagbuo ng mga subspace para sa isang kabuuan ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga sistema ng pagbuo ng mga subspace, pagkatapos kung saan ang batayan ng kabuuan ay matatagpuan. Ang dimensyon ng halaga ay tinutukoy ng sumusunod na formula:
madilim(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – madilim(L 1 Ç L 2).
3. Hayaan ang kabuuan ng mga subspace L 1 at L 2 ay tuwid, iyon ay L = L 1 Å L 2. Kung saan L 1 Ç L 2 = {O) At madilim(L 1 Ç L 2) = 0. Ang batayan ng direktang kabuuan ay katumbas ng unyon ng mga batayan ng mga termino. Ang dimensyon ng isang direktang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga sukat ng mga termino.
4. Magbigay tayo ng mahalagang halimbawa ng subspace at linear manifold.
Isaalang-alang ang isang homogenous na sistema m linear equation na may n hindi kilala. Maraming solusyon M 0 ng system na ito ay isang subset ng set Rn at sarado sa ilalim ng pagdaragdag ng mga vector at ang kanilang pagpaparami sa isang tunay na numero. Ibig sabihin ay marami M 0 - subspace ng espasyo Rn. Ang batayan ng subspace ay ang pangunahing hanay ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema, ang sukat ng subspace ay katumbas ng bilang ng mga vector sa pangunahing hanay ng mga solusyon ng system.
Isang grupo ng M karaniwang mga solusyon sa system m linear equation na may n Ang unknowns ay isa ring subset ng set Rn at katumbas ng kabuuan ng set M 0 at vector A, Saan A ay ilang partikular na solusyon ng orihinal na sistema, at ang set M 0 - hanay ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation na kasama ng sistemang ito (ito ay naiiba sa orihinal na isa lamang sa mga libreng termino),
M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.
Ibig sabihin marami M ay isang linear manifold ng espasyo Rn may shift vector A at direksyon M 0 .
Halimbawa 8.6. Hanapin ang batayan at dimensyon ng subspace na tinukoy ng isang homogenous na sistema ng mga linear equation:
Solusyon. Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa sistemang ito at sa pangunahing hanay ng mga solusyon: 
Sa 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Sa 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Sa 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Ang batayan ng subspace ay nabuo ng mga vectors Sa 1 , Sa 2 , Sa 3, ang sukat nito ay tatlo.
Pagtatapos ng trabaho -
Ang paksang ito ay kabilang sa seksyon:
Linear algebra
Kostroma State University na pinangalanan kay N. Nekrasov..
Kung kailangan mo ng karagdagang materyal sa paksang ito, o hindi mo nakita ang iyong hinahanap, inirerekumenda namin ang paggamit ng paghahanap sa aming database ng mga gawa:
Ano ang gagawin natin sa natanggap na materyal:
Kung ang materyal na ito ay kapaki-pakinabang sa iyo, maaari mo itong i-save sa iyong pahina sa mga social network:
| Tweet |
Lahat ng mga paksa sa seksyong ito:
BBK 22.174ya73-5
M350 Nai-publish sa pamamagitan ng desisyon ng editoryal at publishing council ng KSU na pinangalanan. N. A. Nekrasova Tagasuri A. V. Cherednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU na pinangalanan. N. A. Nekrasova, 2013
Unyon (o kabuuan)
Depinisyon 1.9 Ang pagsasama ng set A at B ay isang set A È B, na binubuo ng mga at tanging mga elementong kabilang bagaman.
Intersection (o produkto)
Kahulugan 1.10. Ang intersection ng set A at B ay isang set A Ç B, na binubuo ng mga iyon at tanging mga elementong kabilang sa pareho.
Pagkakaiba
Depinisyon 1.11 Ang pagkakaiba sa pagitan ng set A at B ay ang set A B, na binubuo ng mga at tanging mga elementong kabilang sa set A
Produktong Cartesian (o direktang produkto)
Kahulugan 1.14. Ang nakaayos na pares (o pares) (a, b) ay dalawang elemento a, b kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga pares (a1
Mga katangian ng mga set na operasyon
Ang mga katangian ng mga operasyon ng unyon, intersection, at complement ay tinatawag na mga batas ng set algebra. Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng mga operasyon sa mga set. Hayaang magbigay ng unibersal na set U
Paraan ng mathematical induction
Ang paraan ng mathematical induction ay ginagamit upang patunayan ang mga pahayag sa pagbabalangkas kung saan ang natural na parameter n ay kasangkot. Paraan ng mathematical induction - paraan ng pagpapatunay ng matematika
Mga kumplikadong numero
Ang konsepto ng numero ay isa sa mga pangunahing tagumpay ng kultura ng tao. Una, lumitaw ang mga natural na numero N = (1, 2, 3, …, n, …), pagkatapos ay integers Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rational Q
Geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero
Ito ay kilala na ang mga negatibong numero ay ipinakilala na may kaugnayan sa solusyon ng mga linear na equation sa isang variable. Sa mga partikular na gawain, ang isang negatibong sagot ay binibigyang kahulugan bilang ang halaga ng dami ng direksyon (
Trigonometric form ng isang kumplikadong numero
Ang isang vector ay maaaring tukuyin hindi lamang sa pamamagitan ng mga coordinate sa isang rectangular coordinate system, kundi pati na rin sa haba at
Mga operasyon sa kumplikadong mga numero sa trigonometric form
Ito ay mas maginhawa upang magsagawa ng karagdagan at pagbabawas na may kumplikadong mga numero sa algebraic form, at multiplikasyon at paghahati sa trigonometric form. 1. Pagpaparami ng dalawang k
Exponentiation
Kung z = r(cosj + i×sinj), pagkatapos ay zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), kung saan n Î
Exponential form ng isang complex number
Mula sa mathematical analysis, nalalaman na ang e = , e ay isang hindi makatwirang numero. Eile
Konsepto ng relasyon
Kahulugan 2.1. Ang n-ary (o n-ary) na ugnayang P sa mga hanay na A1, A2, …, An ay anumang subset
Mga katangian ng binary na relasyon
Hayaang tukuyin ang isang binary relation P sa isang hindi walang laman na set A, ibig sabihin, P Í A2. Depinisyon 2.9 Binary relation P sa isang set
Relasyon ng equivalence
Kahulugan 2.15. Ang binary relation sa set A ay tinatawag na equivalence relation kung ito ay reflexive, simetriko at transitive. Katumbas ng ratio
Mga pag-andar
Depinisyon 2.20 Ang binary relation ƒ Í A ´ B ay tinatawag na function mula sa set A hanggang set B kung para sa alinmang x
Pangkalahatang konsepto
Kahulugan 3.1. Ang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga numero na naglalaman ng m row at n column. Ang mga numerong m at n ay tinatawag na pagkakasunud-sunod (o
Pagdaragdag ng mga matrice ng parehong uri
Ang mga matrice lamang ng parehong uri ang maaaring idagdag. Kahulugan 3.12. Ang kabuuan ng dalawang matrice A = (aij) at B = (bij), kung saan i = 1,
Mga katangian ng pagdaragdag ng matrix
1) commutativity: "A, B: A + B = B + A; 2) associativity: "A, B, C: (A + B) + C = A
Pagpaparami ng matrix sa isang numero
Kahulugan 3.13. Ang produkto ng isang matrix A = (aij) ng isang tunay na numero k ay isang matrix C = (сij), kung saan c
Mga katangian ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
Pagpaparami ng matris
Tukuyin natin ang pagpaparami ng dalawang matrice; Upang gawin ito, kinakailangan upang ipakilala ang ilang karagdagang mga konsepto. Kahulugan 3.14. Ang matrice A at B ay tinatawag na pare-pareho
Mga katangian ng pagpaparami ng matrix
1) Ang matrix multiplication ay hindi commutative: A×B ≠ B×A. Ang pag-aari na ito ay maaaring ipakita sa mga halimbawa. Halimbawa 3.6. A)
Transposing matrice
Kahulugan 3.16. Ang matrix At nakuha mula sa isang ibinigay na isa sa pamamagitan ng pagpapalit sa bawat isa sa mga hilera nito ng isang haligi na may parehong numero ay tinatawag na transposed sa ibinigay na matrix A
Determinant ng pangalawa at pangatlong order matrice
Ang bawat square matrix A ng order n ay nauugnay sa isang numero, na tinatawag na determinant ng matrix na ito. Pagtatalaga: D, |A|, det A,
Kahulugan 4.6.
1. Para sa n = 1, ang matrix A ay binubuo ng isang numero: |A| = a11. 2. Hayaang malaman ang determinant ng isang matrix ng order (n – 1). 3. Tukuyin
Mga katangian ng mga determinant
Upang makalkula ang mga determinant ng mga order na higit sa 3, ang mga katangian ng mga determinant at Laplace's theorem ay ginagamit. Theorem 4.1 (Laplace). Determinant ng isang square matrix
Praktikal na pagkalkula ng mga determinant
Ang isang paraan upang kalkulahin ang mga determinant ng pagkakasunud-sunod sa itaas ng tatlo ay palawakin ito sa ilang column o row. Halimbawa 4.4 Kalkulahin ang determinant D =
Ang konsepto ng ranggo ng matrix
Hayaang ang A ay isang matrix ng dimensyon m ´ n. Arbitraryong piliin natin ang mga k row at k column sa matrix na ito, kung saan 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Paghahanap ng ranggo ng isang matrix gamit ang paraan ng bordering menor de edad
Ang isa sa mga pamamaraan para sa paghahanap ng ranggo ng isang matrix ay ang paraan ng pag-enumerate ng mga menor de edad. Ang pamamaraang ito ay batay sa pagtukoy sa ranggo ng matrix. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod. Kung mayroong kahit isang elemento ma
Paghahanap ng ranggo ng isang matrix gamit ang elementarya na pagbabago
Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang mahanap ang ranggo ng isang matrix. Kahulugan 5.4. Ang mga sumusunod na pagbabago ay tinatawag na elementary matrix transformations: 1. multiply
Ang konsepto ng isang inverse matrix at mga pamamaraan para sa paghahanap nito
Hayaang magbigay ng isang parisukat na matrix A. Ang matrix A–1 ay tinatawag na kabaligtaran ng matrix A kung A×A–1
Algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix
Isaalang-alang natin ang isa sa mga paraan upang mahanap ang inverse matrix ng isang ibinigay gamit ang algebraic na mga karagdagan. Hayaang maibigay ang isang parisukat na matrix A 1. Hanapin ang determinant ng matrix |A|. EU
Paghahanap ng inverse matrix gamit ang elementary transformations
Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang mahanap ang inverse matrix gamit ang elementary transformations. Bumuo tayo ng mga kinakailangang konsepto at teorema. Kahulugan 5.11 Matrix Sa pamamagitan ng pangalan
Paraan ng Cramer
Isaalang-alang natin ang isang sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, iyon ay, m = n at ang sistema ay may anyo:
Inverse matrix na pamamaraan
Ang inverse matrix method ay naaangkop sa mga sistema ng linear equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam at ang determinant ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng zero. Matrix form ng system notation
Pamamaraan ng Gauss
Upang ilarawan ang pamamaraang ito, na angkop para sa paglutas ng mga arbitraryong sistema ng mga linear na equation, kailangan ang ilang mga bagong konsepto. Kahulugan 6.7. Equation ng form na 0×
Paglalarawan ng pamamaraang Gauss
Ang Gauss method - isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam - ay binubuo sa katotohanan na, sa tulong ng elementarya na pagbabago, ang orihinal na sistema ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng stepwise o t
Pag-aaral ng isang sistema ng mga linear na equation
Ang pag-aaral ng isang sistema ng mga linear na equation ay nangangahulugan, nang hindi nilulutas ang sistema, upang sagutin ang tanong: pare-pareho ba ang sistema o hindi, at kung pare-pareho ito, gaano karaming mga solusyon ang mayroon ito? Tumugon dito sa
Mga homogenous na sistema ng mga linear na equation
Depinisyon 6.11 Ang isang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na homogenous kung ang mga free terms nito ay katumbas ng zero. Homogeneous na sistema ng m linear equation
Mga katangian ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation
1. Kung ang vector a = (a1, a2, …, an) ay isang solusyon sa isang homogenous system, kung gayon ang vector k×a = (k×a1, k&t
Pangunahing hanay ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation
Hayaang ang M0 ay ang hanay ng mga solusyon sa homogenous na sistema (4) ng mga linear na equation. Kahulugan 6.12 Mga Vector c1, c2, ..., c
Linear dependence at pagsasarili ng isang sistema ng mga vectors
Hayaang ang a1, a2, …, ay isang set ng m n-dimensional na mga vector, na karaniwang tinutukoy bilang isang sistema ng mga vector, at k1
Mga katangian ng linear dependence ng isang sistema ng mga vectors
1) Ang sistema ng mga vector na naglalaman ng zero vector ay linearly dependent. 2) Ang isang sistema ng mga vector ay linearly dependent kung alinman sa mga subsystem nito ay linearly dependent. Bunga. Kung si
Unit vector system
Kahulugan 7.13. Ang sistema ng mga unit vector sa space Rn ay isang sistema ng mga vectors e1, e2, …, en
Dalawang theorems tungkol sa linear dependence
Teorama 7.1. Kung ang isang mas malaking sistema ng mga vector ay linear na ipinahayag sa pamamagitan ng isang mas maliit, kung gayon ang mas malaking sistema ay linearly na umaasa. Let us formulate this theorem in more detail: let a1
Batayan at ranggo ng sistema ng vector
Hayaang ang S ay isang sistema ng mga vector sa espasyo Rn; maaari itong maging may hangganan o walang katapusan. S" ay isang subsystem ng system S, S" Ì S. Magbigay tayo ng dalawa
Ranggo ng sistema ng vector
Magbigay tayo ng dalawang katumbas na kahulugan ng ranggo ng isang sistema ng mga vector. Kahulugan 7.16. Ang ranggo ng isang sistema ng mga vector ay ang bilang ng mga vector sa anumang batayan ng sistemang ito.
Praktikal na pagpapasiya ng ranggo at batayan ng isang sistema ng mga vector
Mula sa sistemang ito ng mga vector ay bumubuo kami ng isang matrix, na nag-aayos ng mga vector bilang mga hilera ng matrix na ito. Binabawasan namin ang matrix sa anyo ng echelon gamit ang mga elementarya na pagbabago sa mga hilera ng matrix na ito. Sa
Kahulugan ng isang vector space sa isang arbitrary field
Hayaan ang P na maging isang arbitrary field. Ang mga halimbawa ng mga field na kilala natin ay ang field ng rational, real, at complex na mga numero. Kahulugan 8.1. Ang set V ay tinawag
Ang pinakasimpleng katangian ng mga vector space
1) o – zero vector (elemento), natatanging tinukoy sa isang arbitrary vector space sa ibabaw ng field. 2) Para sa anumang vector a О V mayroong natatangi
Mga subspace. Mga linear na manifold
Hayaan ang V na isang vector space, L М V (L ay isang subset ng V). Kahulugan 8.2. Subset L ng vector pro
Intersection at kabuuan ng mga subspace
Hayaan ang V na maging isang vector space sa ibabaw ng field na P, L1 at L2 sa mga subspace nito. Kahulugan 8.3. Sa pamamagitan ng pagtawid sa subquest
Mga linear na manifold
Hayaan ang V na isang vector space, L isang subspace, isang arbitrary na vector mula sa space V. Definition 8.6
May hangganan-dimensional na mga puwang ng vector
Depinisyon 8.7 Ang isang vector space V ay tinatawag na n-dimensional kung ito ay naglalaman ng isang linearly independent system ng mga vectors na binubuo ng n vectors, at para sa
Batayan ng isang finite-dimensional na vector space
Ang V ay isang finite-dimensional vector space sa ibabaw ng field P, S ay isang sistema ng mga vectors (finite o infinite). Kahulugan 8.10. Ang batayan ng sistema S
Vector coordinates na may kaugnayan sa isang ibinigay na batayan
Isaalang-alang ang isang finite-dimensional na vector space V ng dimensyon n; Hayaan ang isang maging isang produkto
Vector coordinate sa iba't ibang base
Hayaang ang V ay isang n-dimensional na vector space kung saan binibigyan ng dalawang base: e1, e2, …, en – old basis, e"1, e
Euclidean vector space
Binigyan ng vector space V sa larangan ng mga tunay na numero. Ang puwang na ito ay maaaring alinman sa isang may hangganan-dimensional na espasyo ng vector ng dimensyon n o isang walang-katapusang dimensyon.
Dot product sa mga coordinate
Sa Euclidean vector space V ng dimensyon n, ang batayang e1, e2, …, en ay ibinigay. Ang mga vectors x at y ay nabubulok sa mga vector
Mga konsepto ng panukat
Sa Euclidean vector spaces, mula sa ipinakilalang scalar product maaari tayong magpatuloy sa mga konsepto ng vector norm at anggulo sa pagitan ng mga vector. Kahulugan 8.16. Norma (
Mga katangian ng pamantayan
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, dahil ||la|| =
Orthonormal na batayan ng Euclidean vector space
Kahulugan 8.21. Ang isang batayan ng isang Euclidean vector space ay tinatawag na orthogonal kung ang mga batayang vector ay pairwise orthogonal, iyon ay, kung a1, a
Proseso ng orthogonalization
Teorama 8.12. Sa bawat n-dimensional na Euclidean space ay mayroong orthonormal na batayan. Patunay. Hayaan ang a1, a2
Dot produkto sa isang orthonormal na batayan
Dahil sa orthonormal na batayan e1, e2, …, en ng Euclidean space V. Since (ei, ej) = 0 para sa i
Orthogonal complement ng subspace
Ang V ay isang Euclidean vector space, L ang subspace nito. Kahulugan 8.23. Ang isang vector a ay sinasabing orthogonal sa subspace L kung ang vector
Relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng isang vector at ng mga coordinate ng imahe nito
Ang isang linear operator j ay ibinibigay sa espasyo V, at ang matrix nito na M(j) ay matatagpuan sa ilang batayan e1, e2, …, en. Hayaan itong maging batayan
Mga katulad na matrice
Isaalang-alang natin ang set Рn´n ng square matrices ng order n na may mga elemento mula sa isang arbitrary field P. Sa set na ito ipinakilala natin ang kaugnayan
Mga katangian ng mga relasyon sa pagkakatulad ng matrix
1. Reflexivity. Anumang matrix ay katulad ng sarili nito, i.e. A ~ A. 2. Symmetry. Kung ang matrix A ay katulad ng B, kung gayon ang B ay katulad ng A, i.e.
Mga katangian ng eigenvectors
1. Ang bawat eigenvector ay nabibilang lamang sa isang eigenvalue. Patunay. Hayaang ang x ay isang eigenvector na may dalawang eigenvalues
Katangiang polynomial ng isang matrix
Binigyan ng matrix A О Рn´n (o A О Rn´n). Tukuyin
Mga kondisyon kung saan ang isang matrix ay katulad ng isang diagonal na matrix
Hayaan ang A ay isang square matrix. Maaari naming ipagpalagay na ito ay isang matrix ng ilang linear operator na tinukoy sa ilang batayan. Ito ay kilala na sa ibang batayan ang matrix ng linear operator
Normal na anyo ng Jordan
Kahulugan 10.5. Ang Jordan cell ng order k na nauugnay sa numerong l0 ay isang matrix ng order k, 1 ≤ k ≤ n,
Pagbabawas ng isang matrix sa Jordan (normal) na anyo
Teorama 10.3. Natutukoy ang normal na anyo ng Jordan para sa isang matrix hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga selula ng Jordan sa pangunahing dayagonal. atbp
Mga anyo ng bilinear
Kahulugan 11.1. Ang bilinear form ay isang function (mapa) f: V ´ V ® R (o C), kung saan ang V ay isang arbitrary vector
Mga katangian ng mga anyo ng bilinear
Anumang bilinear form ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng simetriko at skew-symmetric form. Gamit ang napiling batayan e1, e2, …, en sa vector
Pagbabago ng isang matrix ng bilinear form kapag pumasa sa isang bagong batayan. Ranggo ng bilinear form
Hayaan ang dalawang base e = (e1, e2, …, en) at f = (f1, f2,
Quadratic na mga hugis
Hayaang ang A(x, y) ay isang simetriko na anyo ng bilinear na tinukoy sa vector space V. Depinisyon 11.6
Pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo
Ibinigay ang parisukat na anyo (2) A(x, x) = , kung saan x = (x1
Batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo
Itinatag na ang bilang ng mga non-zero canonical coefficients ng isang parisukat na anyo ay katumbas ng ranggo nito at hindi nakasalalay sa pagpili ng isang di-degenerate na pagbabagong-anyo sa tulong kung saan ang anyo A(x
Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa tanda ng isang parisukat na anyo
Pahayag 11.1. Upang ang parisukat na anyo A(x, x), na tinukoy sa n-dimensional na vector space V, ay maging sign-definite, kinakailangan na
Kailangan at sapat na kondisyon para sa quasi-alternating quadratic form
Pahayag 11.3. Upang ang quadratic form na A(x, x), na tinukoy sa n-dimensional vector space V, ay maging quasi-sign-alternating (iyon ay,
Sylvester criterion para sa tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo
Hayaang matukoy ang anyo A(x, x) sa batayan e = (e1, e2, …, en) ng matrix A(e) = (aij)
Konklusyon
Ang linear algebra ay isang mandatoryong bahagi ng anumang mas mataas na programa sa matematika. Ang anumang iba pang seksyon ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng kaalaman, kasanayan at kakayahan na binuo sa panahon ng pagtuturo ng disiplinang ito
Bibliograpiya
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Linear algebra na may mga elemento ng analytical geometry. – M.: HSE Publishing House, 2007. Beklemishev D.V. Kurso ng analytical geometry at linear algebra.
Linear algebra
Manual na pang-edukasyon at pamamaraan Editor at proofreader G. D. Neganova Computer typing ni T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
Ang linear space V ay tinatawag n-dimensional, kung mayroong isang sistema ng n linearly independent vectors dito, at anumang sistema ng mas maraming vectors ay linearly dependent. Tinatawag ang numero n dimensyon (bilang ng mga sukat) linear space V at ay denoted \operatorname(dim)V. Sa madaling salita, ang dimensyon ng isang espasyo ay ang maximum na bilang ng mga linearly independent vector ng espasyong ito. Kung mayroong ganoong numero, kung gayon ang espasyo ay tinatawag na finite-dimensional. Kung, para sa anumang natural na numero n, sa espasyo V mayroong isang sistema na binubuo ng n linearly independent vectors, kung gayon ang nasabing puwang ay tinatawag na infinite-dimensional (isulat: \operatorname(dim)V=\infty). Sa mga sumusunod, maliban kung iba ang nakasaad, isasaalang-alang ang mga finite-dimensional na espasyo.
Batayan Ang n-dimensional linear space ay isang ordered collection ng n linearly independent vectors ( mga batayan ng vector).
Theorem 8.1 sa pagpapalawak ng isang vector sa mga tuntunin ng isang batayan. Kung ang batayan ng isang n-dimensional na linear space V, kung gayon ang anumang vector \mathbf(v)\sa V ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
at, bukod dito, sa tanging paraan, i.e. posibilidad \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n ay tinutukoy nang hindi malabo. Sa madaling salita, ang anumang vector ng espasyo ay maaaring palawakin sa isang batayan at, bukod dito, sa isang natatanging paraan.
Sa katunayan, ang dimensyon ng espasyo V ay katumbas ng n. Sistema ng vector \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n linearly independent (ito ay isang batayan). Pagkatapos magdagdag ng anumang vector \mathbf(v) sa batayan, nakakakuha kami ng linearly dependent system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(dahil ang sistemang ito ay binubuo ng (n+1) mga vector ng n-dimensional na espasyo). Gamit ang pag-aari ng 7 linearly dependent at linearly independent vectors, nakuha namin ang konklusyon ng theorem.
Bunga 1. Kung \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ay ang batayan ng espasyo V, kung gayon V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), ibig sabihin. ang linear space ay ang linear span ng mga batayang vector.
Sa katunayan, upang patunayan ang pagkakapantay-pantay V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dalawang set, ito ay sapat na upang ipakita na ang mga inklusyon V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) at sabay-sabay na isinasagawa. Sa katunayan, sa isang banda, ang anumang linear na kumbinasyon ng mga vector sa isang linear space ay kabilang sa linear space mismo, i.e. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Sa kabilang banda, ayon sa Theorem 8.1, ang anumang vector ng espasyo ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector, i.e. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay na isinasaalang-alang.
Bunga 2. Kung \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- isang linearly independent system ng mga vector ng linear space V at anumang vector \mathbf(v)\in V ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, pagkatapos ay ang espasyo V ay may dimensyon n, at ang sistema \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n ang batayan nito.
Sa katunayan, sa espasyo V mayroong isang sistema ng n linearly independent vectors, at anumang sistema \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n ng mas malaking bilang ng mga vectors (k>n) ay linearly dependent, dahil ang bawat vector mula sa system na ito ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga vector. \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Ibig sabihin, \operatorname(dim) V=n At \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- batayan V.
Theorem 8.2 sa pagdaragdag ng isang sistema ng mga vectors sa isang batayan. Anumang linearly independent system ng k vectors ng n-dimensional linear space (1\leqslant k Sa katunayan, maging isang linearly independent system ng mga vectors sa n-dimensional na espasyo V~(1\leqslant k Mga Tala 8.4 1. Ang batayan ng isang linear na espasyo ay natutukoy nang hindi tiyak. Halimbawa, kung \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n ay ang batayan ng espasyo V, pagkatapos ay ang sistema ng mga vectors \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n para sa anumang \lambda\ne0 ay isa ring batayan ng V . Ang bilang ng mga batayang vector sa iba't ibang mga base ng parehong may hangganan-dimensional na espasyo ay, siyempre, pareho, dahil ang numerong ito ay katumbas ng sukat ng espasyo. 2. Sa ilang mga puwang, madalas na nakatagpo sa mga application, ang isa sa mga posibleng base, ang pinaka-maginhawa mula sa isang praktikal na punto ng view, ay tinatawag na pamantayan. 3. Ang Theorem 8.1 ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang isang batayan ay isang kumpletong sistema ng mga elemento ng isang linear na espasyo, sa kahulugan na ang anumang vector ng espasyo ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga batayang vector. 4. Kung ang hanay na \mathbb(L) ay isang linear span \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), pagkatapos ay ang mga vectors \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k ay tinatawag na mga generator ng set \mathbb(L) . Corollary 1 ng Theorem 8.1 dahil sa pagkakapantay-pantay V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang batayan ay minimal na sistema ng generator linear space V, dahil imposibleng bawasan ang bilang ng mga generator (alisin ang hindi bababa sa isang vector mula sa set \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) nang hindi lumalabag sa pagkakapantay-pantay V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Ang Theorem 8.2 ay nagpapahintulot sa atin na sabihin na ang batayan ay maximum na linearly independent system ng mga vectors linear space, dahil ang batayan ay isang linearly independent system ng mga vectors, at hindi ito maaaring pupunan ng anumang vector nang hindi nawawala ang linear independence. 6. Ang Corollary 2 ng Theorem 8.1 ay madaling gamitin upang mahanap ang batayan at sukat ng isang linear space. Sa ilang mga aklat-aralin ito ay kinuha upang tukuyin ang batayan, katulad: linearly independent system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ng mga vector ng isang linear space ay tinatawag na isang batayan kung ang anumang vector ng espasyo ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga vectors \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Tinutukoy ng bilang ng mga batayang vector ang dimensyon ng espasyo. Siyempre, ang mga kahulugang ito ay katumbas ng mga ibinigay sa itaas. Ipahiwatig natin ang dimensyon at batayan para sa mga halimbawa ng mga linear na espasyo na tinalakay sa itaas. 1. Ang zero linear space \(\mathbf(o)\) ay hindi naglalaman ng mga linearly independent vectors. Samakatuwid, ang dimensyon ng puwang na ito ay ipinapalagay na zero: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Walang basehan ang espasyong ito. 2. Ang mga puwang na V_1,\,V_2,\,V_3 ay may mga sukat na 1, 2, 3, ayon sa pagkakabanggit. Sa katunayan, anumang nonzero vector ng space V_1 ay bumubuo ng isang linearly independent system (tingnan ang point 1 ng Remarks 8.2), at anumang dalawang nonzero vectors ng space V_1 ay collinear, i.e. linearly dependent (tingnan ang halimbawa 8.1). Dahil dito, \dim(V_1)=1, at ang batayan ng espasyo V_1 ay anumang non-zero vector. Katulad nito, napatunayan na \dim(V_2)=2 at \dim(V_3)=3 . Ang batayan ng espasyo V_2 ay anumang dalawang di-collinear na vector na kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod (isa sa mga ito ay itinuturing na unang batayan na vector, ang isa - ang pangalawa). Ang batayan ng V_3 space ay anumang tatlong non-coplanar (hindi nakahiga sa pareho o parallel na eroplano) na mga vector, na kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang karaniwang batayan sa V_1 ay ang unit vector \vec(i) sa linya. Ang karaniwang batayan sa V_2 ay ang batayan \vec(i),\,\vec(j), na binubuo ng dalawang magkaparehong perpendicular unit vectors ng eroplano. Ang karaniwang batayan sa espasyo V_3 ay itinuturing na batayan \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), na binubuo ng tatlong unit pairwise perpendicular vectors na bumubuo ng right triple. 3. Ang espasyo \mathbb(R)^n ay naglalaman ng hindi hihigit sa n mga linearly independent vectors. Sa katunayan, kumuha tayo ng mga k column mula sa \mathbb(R)^n at bumuo ng isang matrix ng mga sukat n\beses k mula sa kanila. Kung k>n, kung gayon ang mga haligi ay linearly na umaasa ng Theorem 3.4 sa ranggo ng matrix. Kaya naman, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. Sa espasyo \mathbb(R)^n hindi mahirap hanapin ang n linearly independent columns. Halimbawa, ang mga column ng identity matrix \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. linearly independent. Kaya naman, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Tinatawag ang puwang na \mathbb(R)^n n-dimensional real arithmetic space. Ang tinukoy na hanay ng mga vector ay itinuturing na karaniwang batayan ng espasyo \mathbb(R)^n . Katulad nito, ito ay pinatunayan na \dim(\mathbb(C)^n)=n, samakatuwid ang puwang na \mathbb(C)^n ay tinatawag n-dimensional complex arithmetic space. 4. Alalahanin na ang anumang solusyon ng homogenous system na Ax=o ay maaaring katawanin sa anyo x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Saan r=\operatorname(rg)A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- pangunahing sistema ng mga solusyon. Kaya naman, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), ibig sabihin. ang batayan ng espasyo \(Ax=0\) ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay ang pangunahing sistema ng mga solusyon nito, at ang dimensyon ng espasyo \dim\(Ax=o\)=n-r, kung saan ang n ay ang bilang ng mga hindi alam , at ang r ay ang ranggo ng system matrix. 5. Sa espasyo M_(2\times3) ng mga matrice na may sukat na 2\times3, maaari kang pumili ng 6 na matrice: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(gathered) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) katumbas ng zero matrix lamang sa maliit na kaso \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Matapos basahin ang pagkakapantay-pantay (8.5) mula kanan pakaliwa, napagpasyahan namin na ang anumang matrix mula sa M_(2\times3) ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng napiling 6 na matrice, i.e. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Kaya naman, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, at ang mga matrice \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 ay ang batayan (standard) ng espasyong ito. Katulad nito, ito ay pinatunayan na \dim(M_(m\beses n))=m\cdot n. 6. Para sa anumang natural na bilang n sa espasyo P(\mathbb(C)) ng mga polynomial na may kumplikadong coefficients, makikita ang n linearly independent na mga elemento. Halimbawa, polynomials \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) ay linearly independent, dahil ang kanilang linear na kumbinasyon a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) katumbas ng zero polynomial (o(z)\equiv0) lamang sa trivial case a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Dahil ang sistemang ito ng mga polynomial ay linearly na independiyente para sa anumang natural na bilang l, ang espasyo P(\mathbb(C)) ay walang hanggan-dimensional. Katulad nito, napagpasyahan namin na ang espasyo P(\mathbb(R)) ng mga polynomial na may tunay na coefficient ay may walang katapusang sukat. Ang espasyo na P_n(\mathbb(R)) ng mga polynomial ng degree na hindi mas mataas sa n ay may hangganan-dimensional. Sa katunayan, ang mga vectors \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n bumuo ng isang (standard) na batayan ng puwang na ito, dahil ang mga ito ay linearly independent at anumang polynomial mula sa P_n(\mathbb(R)) ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vectors na ito: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Mga halimbawa ng mga base ng mga linear space
na linearly independent. Sa katunayan, ang kanilang linear na kumbinasyon
7. Ang espasyo C(\mathbb(R)) ng tuluy-tuloy na mga function ay walang hanggan dimensional. Sa katunayan, para sa anumang natural na numero n ang polynomials 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), itinuturing na tuluy-tuloy na mga function, bumubuo ng mga linearly independent system (tingnan ang nakaraang halimbawa).
Sa kalawakan T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonometric binomials (frequencies \omega\ne0 ) na may real coefficients na batayan ay mga monomial \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Ang mga ito ay linearly independyente, dahil ang magkaparehong pagkakapantay-pantay a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 posible lamang sa maliit na kaso (a=b=0) . Anumang function ng form f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t linear na ipinahayag sa pamamagitan ng mga pangunahing: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Ang espasyo \mathbb(R)^X ng mga tunay na function na tinukoy sa set X, depende sa domain ng kahulugan ng X, ay maaaring may hangganan-dimensional o walang-katapusang-dimensional. Kung ang X ay isang finite set, ang space \mathbb(R)^X ay finite-dimensional (halimbawa, X=\(1,2,\ldots,n\)). Kung ang X ay isang infinite set, kung gayon ang space \mathbb(R)^X ay infinite-dimensional (halimbawa, ang space \mathbb(R)^N ng mga sequence).
9. Sa puwang \mathbb(R)^(+) anumang positibong numero \mathbf(e)_1 na hindi katumbas ng isa ay maaaring magsilbing batayan. Kunin natin, halimbawa, ang numerong \mathbf(e)_1=2 . Ang anumang positibong numero r ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng \mathbf(e)_1 , i.e. kumakatawan sa anyo \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, kung saan \alpha_1=\log_2r . Samakatuwid, ang dimensyon ng puwang na ito ay 1, at ang bilang na \mathbf(e)_1=2 ang batayan.
10. Hayaan \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ay ang batayan ng tunay na linear space V. Tukuyin natin ang mga linear scalar function sa V sa pamamagitan ng pagtatakda:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
Sa kasong ito, dahil sa linearity ng function \mathcal(E)_i, para sa isang arbitrary vector na nakukuha namin \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Kaya, ang n elemento (covectors) ay tinukoy \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n conjugate space V^(\ast) . Patunayan natin yan \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- batayan V^(\ast) .
Una, ipinapakita namin na ang sistema \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n linearly independent. Sa katunayan, kumuha tayo ng linear na kumbinasyon ng mga covector na ito (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= at itumbas ito sa zero function
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\sa V.
Pagpapalit sa pagkakapantay-pantay na ito \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, nakukuha namin \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Samakatuwid, ang sistema ng mga elemento \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n space V^(\ast) ay linearly independent, dahil ang pagkakapantay-pantay \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) posible lamang sa isang maliit na kaso.
Pangalawa, pinatutunayan namin na ang anumang linear function f\in V^(\ast) ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga covector. \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Sa katunayan, para sa anumang vector \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n dahil sa linearity ng function na nakuha namin:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)
mga. ang function na f ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n mga function \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(numero \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- linear na kumbinasyon coefficients). Samakatuwid, ang covector system \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n ay isang batayan ng dalawahang espasyo V^(\ast) at \dim(V^(\ast))=\dim(V)(para sa isang may hangganan-dimensional na espasyo V ).
Kung may napansin kang error, typo o may anumang mungkahi, sumulat sa mga komento.
