Sukatin ang bola. Multidimensional na musika ng mga spheres perelman. Ang ilang mga kapaki-pakinabang na application mula sa iba pang mga mapagkukunan
Ilang oras na ang nakalipas, dalawang papel ang lumabas sa preprint site arXiv.org nang sabay-sabay, na nakatuon sa problema ng pinakamalapit na pag-iimpake ng mga bola sa mga puwang ng mga sukat 8 at 24. Hanggang ngayon, ang mga katulad na resulta ay kilala lamang para sa mga sukat 1, 2, at 3 (at hindi lahat ay napakasimple dito, ngunit higit pa sa ibaba). Pambihirang tagumpay - a nag-uusap kami tungkol sa isang tunay na rebolusyonaryong tagumpay - naging posible salamat sa gawain ni Marina Vyazovskaya, isang matematiko ng pinagmulang Ukrainian, na ngayon ay nagtatrabaho sa Alemanya. Isasalaysay natin ang kwento ng tagumpay na ito sa sampung maikling kwento.
1.
Noong ika-16 na siglo, ang sikat na korte at makata na si Sir Walter Raleigh ay nanirahan sa England. Siya ay sikat, una sa lahat, dahil minsan, itinapon niya ang kanyang mamahaling balabal sa harap ng reyna sa isang lusak upang hindi madumihan ng Kamahalan ang kanyang mga paa. Ngunit hindi iyon ang dahilan kung bakit kami interesado dito.
Si Sir Walter Raleigh ay may hilig - mahilig siyang magnakaw ng mga barkong Espanyol at hanapin ang El Dorado. At pagkatapos ay isang araw nakita ni Raleigh ang isang grupo ng mga nakasalansan na mga cannonball sa barko. At naisip ko (nangyari ito sa mga British courtiers), sabi nila, mas maganda kung malalaman mo kung gaano karaming mga core ang nasa isang tambak nang hindi binibilang ang mga ito. Ang mga benepisyo ng naturang kaalaman, lalo na kung nasiyahan ka sa pandarambong sa armada ng Espanya, ay kitang-kita.
Walter Raleigh
Si Raleigh mismo ay hindi masyadong magaling sa matematika, kaya ibinigay niya ang problemang ito sa kanyang assistant na si Thomas Harriot. Siya naman ay malakas sa matematika (Si Harriot pala ang nag-imbento ng mga palatandaan na ">" at "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Para sa mga komento, bumaling siya sa sikat na matematiko sa kanyang panahon, si Johannes Kepler - sa oras na iyon ang katulong ni Tycho Brahe. Hindi sumagot si Kepler, ngunit naalala niya ang problema. Noong 1611, naglathala siya ng isang maliit na polyeto kung saan tinalakay niya ang apat na tanong: bakit ang mga pulot-pukyutan ay heksagonal sa mga bubuyog, bakit ang mga talulot ng bulaklak ay kadalasang pinagsama-sama sa lima ( Si Kepler lang siguro ang ibig sabihinrosaceous - tantiya. N+1), bakit ang mga butil ng granada ay hugis dodecahedron (kahit hindi regular) at bakit, sa wakas, ang mga snowflake ay hugis hexagons.
Johannes Kepler
Ang polyeto ay inilaan bilang isang regalo, kaya ito ay higit pa sa isang pilosopiko at nakakaaliw na pagbabasa kaysa sa isang tunay na gawaing siyentipiko. Iniugnay ni Kepler ang sagot sa unang tanong sa dalawang kundisyon - dapat na walang gaps sa pagitan ng mga cell, at ang kabuuan ng mga lugar ng cell ay dapat na minimal. Ikinonekta ng may-akda ang pangalawang tanong sa mga numero ng Fibonacci, at ang pag-uusap tungkol sa mga snowflake ay nagtulak kay Kepler na mangatuwiran tungkol sa mga atomic symmetries.
Ang ikatlong tanong ay nagbigay ng hypothesis na heksagonal na malapit na pag-iimpake(ito ay nasa larawan sa ibaba) ay ang pinakasiksik (na nangangahulugang ito ay mas mababa din sa mathematical na kahulugan). Siyempre, hindi itinuring ni Kepler na kinakailangang sumangguni kay Harriot. Samakatuwid, ang pahayag na ito ay tinatawag na Kepler hypothesis. Ang batas ni Stigler - aka prinsipyo ni Arnold - ay kumikilos.
Oo, 7 taon pagkatapos mailathala ang polyetong ito, pinugutan ng ulo si Sir Walter Raleigh. Gayunpaman, ito ay walang kinalaman sa siksik na problema sa pag-iimpake.
2.
Sa modernong mga pamantayan, ang gawain na nalutas ni Harriot ay hindi mahirap. Samakatuwid, susuriin namin ito nang mas detalyado. At sa parehong oras, mas mauunawaan natin kung paano gumagana ang hexagonal close packing.
Kaya, ang pangunahing kondisyon ay ang isang bungkos ng mga core ay hindi gumulong sa panahon ng pagtatayo. Kaya, ilatag ang mga core sa isang hilera sa deck. Sa susunod na hilera inilalagay namin ang mga core upang ang mga bola ay mailagay sa mga puwang sa pagitan ng mga sphere ng unang hilera. Kung mayroong n bola sa unang hilera, pagkatapos ay mayroong n - 1 sa pangalawa (dahil may mas kaunting gaps sa pagitan ng mga bola kaysa sa mga bola mismo). Ang susunod na hilera ay magiging isang mas kaunting mga core. At iba pa, hanggang sa makakuha tayo ng isang tatsulok na tulad nito (kung titingnan mo ang layout mula sa itaas):
Ang mga nakakaalala kung ano ang isang pag-unlad ng aritmetika ay madaling kalkulahin na kung mayroong n bola sa unang hilera, pagkatapos ay mayroong n (n + 1)/2 na bola sa naturang tatsulok. Kung titingnan mula sa itaas, may mga maginhawang recesses sa pagitan ng mga bola. Doon ay idaragdag namin ang pangalawang layer ng mga bola. Magreresulta ito sa isang tatsulok na nakaayos tulad ng una, na may mas kaunting bola lamang sa gilid. Kaya naglagay kami ng n(n - 1)/2 pang bola sa pile.
Patuloy kaming naglatag ng mga layer hanggang sa makakuha kami ng isang layer ng isang bola. Nakakuha kami ng triangular na pyramid ng nuclei. Upang malaman kung gaano karaming mga core ang mayroon ito, kailangan mong magdagdag ng bilang ng mga core sa bawat layer. Kung ang unang layer ay may gilid n, pagkatapos ay makakakuha tayo ng n layer, na sa kabuuan ay magbibigay ng n(n + 1)(n + 2)/6. Mapapansin ng matanong na mambabasa na ito ang eksaktong binomial na koepisyent ng C 3 n + 2 . Ang kombinatoryal na pagkakataong ito ay hindi walang dahilan, ngunit hindi natin ito susuriin.
Sa pamamagitan ng paraan, bilang karagdagan sa gawaing ito, natukoy ni Harriot ang humigit-kumulang kung ano ang bahagi ng nuclei na sumasakop sa isang sapat na malaking lalagyan, kung kukunin natin ang hugis ng huli para sa isang kubo. Lumalabas na ang proporsyon ay π/(3√2) ≈ 0.74048.
3.
Ano ang ibig sabihin ng salita pinakasiksik sa pahayag ng problema? Sina Raleigh, Harriot, at maging si Kepler mismo ay hindi nagbigay ng eksaktong sagot dito. Ang pinakasiksik sa ilang makatwirang kahulugan ay ipinahiwatig. Gayunpaman, ang pagbabalangkas na ito ay hindi angkop para sa matematika. Kailangan itong linawin.
Bumaba muna tayo sa dimensyon sa ibaba at tingnan kung paano gumagana ang lahat sa eroplano. Para sa dalawang-dimensional na kaso, ang problema ay nagiging mga sumusunod: hayaan ang isang walang katapusang hanay ng mga bilog na hindi nagsalubong sa loob (ngunit, marahil, nakakaantig - iyon ay, pagkakaroon ng isang karaniwang punto sa hangganan) na ibigay sa eroplano . Gumuhit tayo ng parisukat. Kinakalkula namin ang kabuuan ng mga lugar ng mga piraso ng mga bilog na nahulog sa loob ng parisukat. Kunin natin ang ratio ng kabuuan na ito sa lugar ng parisukat, at tataas natin ang gilid ng parisukat, tinitingnan ang pagbabago sa ratio.
Kumuha kami ng isang function f(a), saan a- gilid ng isang parisukat. Kung kami ay mapalad, pagkatapos ay ang function na ito na may paglago Ang argumento ay lalapit nang asymptotically sa ilang numero. Ang numerong ito ay tinatawag na density ng ibinigay na packing. Mahalaga na ang function mismo sa ilang mga punto ay maaaring magbigay ng isang halaga na mas malaki kaysa sa density. Sa katunayan, kung ang parisukat ay maliit, kung gayon ito ay ganap na magkasya sa bilog at ang tiyak na ratio ay 1. Ngunit kami ay interesado sa density sa karaniwan, iyon ay, impormal na pagsasalita, "para sa isang parisukat na may sapat na malaking bahagi."
Sa lahat ng gayong mga densidad, mahahanap ng isa ang maximum. Ito ay siya, pati na rin ang packaging na nagpapatupad nito, na tatawaging pinakasiksik.
"Ang pinakasiksik na packing ay hindi kinakailangang natatangi (sa asymptotic sense). Mayroong walang katapusang maraming pinakasiksik na packing sa 3-dimensional na espasyo, at kahit na alam ito ni Kepler, "sabi ni Oleg Musin mula sa University of Texas sa Brownsville.
Matapos nating tukuyin ang konsepto ng pinakasiksik na pag-iimpake, madaling maunawaan na ang gayong kahulugan ay madaling mapalawak sa isang espasyo ng di-makatwirang dimensyon n. Sa katunayan, palitan natin ang mga bilog ng mga bola ng kaukulang sukat, iyon ay, mga hanay ng mga puntos, ang distansya mula sa kung saan sa isang nakapirming punto (tinatawag na sentro) ay hindi lalampas sa isang tiyak na halaga, na tinatawag na radius ng bola. Muli, ayusin natin ang mga ito upang ang alinmang dalawa sa pinakamahusay na ugnayan, sa pinakamasama - ay walang mga karaniwang punto. Tinukoy namin ang parehong function tulad ng sa nakaraang kaso sa pamamagitan ng pagkuha ng dami ng isang n-dimensional na kubo at ang kabuuan ng mga volume ng kaukulang n-dimensional na mga bola.
4.
Kaya, naunawaan namin na ang haka-haka ni Kepler ay ang problema ng pinakamalapit na pag-iimpake ng mga three-dimensional na bola sa three-dimensional na espasyo. At ano ang tungkol sa eroplano (mula nang magsimula tayo dito)? O kahit straight? Sa isang tuwid na linya, ang lahat ay simple: ang isang bola sa isang tuwid na linya ay isang segment. Ang isang tuwid na linya ay maaaring ganap na sakop ng magkaparehong mga segment na nagsasalubong sa mga dulo. Sa saklaw na ito, ang function f(a) ay pare-pareho at katumbas ng 1.
Sa eroplano, ang lahat ay naging medyo mas kumplikado. Kaya, magsimula tayo sa isang hanay ng mga punto sa eroplano. Sinasabi natin na ang hanay ng mga puntos na ito ay bumubuo ng sala-sala kung makakahanap tayo ng isang pares ng mga vectors v at w na ang lahat ng mga puntos ay nakuha bilang N*v + M*w, kung saan ang N at M ay mga integer. Katulad nito, ang isang sala-sala ay maaaring tukuyin sa isang puwang ng mga di-makatwirang malalaking dimensyon - kailangan lang ng higit pang mga vector.
Ang mga sala-sala ay mahalaga para sa maraming mga kadahilanan (halimbawa, ito ay sa mga site ng sala-sala na mas gusto ng mga atom na matatagpuan pagdating sa mga solidong materyales), ngunit para sa mga mathematician ang mga ito ay mahusay dahil sila ay napaka-maginhawang magtrabaho kasama. Samakatuwid, mula sa lahat ng mga packing, ang isang klase ay nakikilala nang hiwalay kung saan ang mga sentro ng mga bola ay matatagpuan sa mga node ng sala-sala. Kung ikukulong natin ang ating sarili sa kasong ito, mayroon lamang limang uri ng mga sala-sala sa eroplano. Ang pinakasiksik na pag-iimpake ng mga ito ay nakukuha sa isang paraan kung saan ang mga punto ay nakaayos sa vertices ng mga regular na hexagons - tulad ng mga pulot-pukyutan sa mga bubuyog o mga atomo sa graphene. Ang katotohanang ito ay pinatunayan ni Lagrange noong 1773. Mas tiyak: Si Lagrange ay hindi interesado sa mga siksik na packing, ngunit interesado sa mga parisukat na anyo. Nasa ika-20 siglo na, naging malinaw na ang resulta sa densidad ng pag-iimpake para sa mga two-dimensional na sala-sala ay sumusunod mula sa kanyang mga resulta ng proform.
“Noong 1831 ay sumulat si Ludwig Sieber ng isang libro sa ternary quadratic forms. Sa aklat na ito, isang haka-haka ang iniharap na katumbas ng haka-haka ng Kepler para sa mga lattice packing. Si Sieber mismo ay nakapagpatunay lamang ng isang mahinang anyo ng kanyang hypothesis at sinubukan ito para sa isang malaking bilang ng mga halimbawa. Ang aklat na ito ay sinuri ng mahusay na Carl Friedrich Gauss. Sa pagsusuring ito, nagbibigay ang Gauss ng tunay na kamangha-manghang patunay na umaangkop sa 40 linya. Ito, tulad ng sinasabi natin ngayon, ay isang "Olympiad" na patunay na naiintindihan ng isang mag-aaral sa high school. Sinubukan ng maraming mathematician na makahanap ng nakatagong kahulugan sa patunay ni Gauss, ngunit hanggang ngayon ay walang nagtagumpay, "sabi ni Oleg Musin.
Ano ang mangyayari, gayunpaman, kung ang kondisyon ng mesh ay inabandona? Ito ay kung saan ang mga bagay ay nagiging mas kumplikado. Ang unang ganap na pagtatangka na harapin ang kasong ito ay ginawa ng Norwegian mathematician na si Axel Thue. Kung titingnan mo ang pahina na nakatuon sa Tue sa Wikipedia, kung gayon wala kaming makikitang anuman tungkol sa masikip na packaging doon. Naiintindihan ito - naglathala si Thue ng dalawang papel, mas katulad ng mga sanaysay kaysa sa normal na mga papeles sa matematika, kung saan, sa tila sa kanya, ganap niyang nalutas ang problema ng siksik na pag-iimpake. Ang tanging problema ay walang sinuman kundi si Thue mismo ang kumbinsido sa kanyang pangangatwiran.
Laszlo Fejes Toth
Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons
Ang problema ay sa wakas ay nalutas ng Hungarian mathematician na si Laszlo Fejes Toth noong 1940. Ito pala, sa pamamagitan ng paraan, na ang pag-aayos ng mga bilog sa eroplano, na napagtatanto ang pinaka-siksik na pag-iimpake, ay natatangi.
5.
Ang malapit na nauugnay sa problema sa malapit na pag-iimpake ay ang problema sa numero ng contact. Isaalang-alang natin muli ang isang bilog sa isang eroplano. Gaano karaming mga bilog ng parehong radius ang maaaring ayusin sa paligid nito upang mahawakan nilang lahat ang gitna? Ang sagot ay anim. Sa katunayan, tingnan natin ang dalawang magkalapit na bilog na nakikipag-ugnayan sa ating gitnang bilog. Tingnan natin ang distansya mula sa gitna ng gitnang bilog hanggang sa mga sentro ng dalawang ito. Katumbas nito 2R, saan R ay ang radius ng bilog. Ang distansya sa pagitan ng mga sentro ng mga katabing bilog ay hindi lalampas 2R. Ang pagkalkula ng anggulo sa gitna ng gitnang bilog ayon sa cosine theorem, nakuha namin na ito ay hindi mas mababa sa 60 degrees. Ang kabuuan ng lahat ng mga gitnang anggulo ay dapat magbigay ng 360 degrees, na nangangahulugang hindi hihigit sa 6 na anggulo. At alam natin ang lokasyon ng mga bilog na may anim na anggulo.
Ang resultang numero ay tinatawag na contact number ng eroplano. Ang isang katulad na tanong ay maaaring itanong para sa mga puwang ng anumang dimensyon. Hayaan ang pagiging simple ng solusyon sa eroplano na hindi linlangin ang mambabasa - ang problema ng mga numero ng contact, kung mas simple kaysa sa problema ng siksik na pag-iimpake, ay hindi gaanong. Ngunit higit pang mga resulta ang nakuha sa direksyong ito.
Para sa three-dimensional na espasyo, ang contact number ay naging paksa ng isang pampublikong pagtatalo sa pagitan ni Isaac Newton mismo at James Gregory noong 1694. Ang una ay naniniwala na ang numero ng contact ay dapat na 12, at ang pangalawa - na 13. Ang bagay ay hindi mahirap ayusin ang 12 bola sa paligid ng gitnang isa - ang mga sentro ng naturang mga bola ay namamalagi sa vertices ng isang regular na icosahedron ( mayroon lamang itong 12 sa kanila). Ngunit ang mga bolang ito ay hindi hawakan! Sa unang tingin, parang magagalaw sila para gumapang ang isa pa, ang ika-13 na bola. Ito ay halos totoo: kung ang mga bola ay bahagyang gumagalaw, ginagawa ang distansya sa pagitan ng kanilang mga sentro at ang gitna ng gitnang 2R, ngunit lamang 2.06R, tapos 13 balls na ang kasya. Ngunit para sa paghawak ng mga bola, mali si Gregory - ang katotohanang ito ay pinatunayan nina van der Waarden at Schütte noong 1953.
Para sa dimensyon 4, ang problemang ito ay nalutas ni Oleg Musin noong 2003. Doon, 24 pala ang contact number.
6.
Bilang karagdagan sa mga dimensyong ito 1, 2, 3 at 4, ang mga contact number ay kilala rin sa mga dimensyon 8 at 24. Bakit ang mga dimensyong ito? Ang katotohanan ay para sa kanila mayroong napaka-kagiliw-giliw na mga sala-sala na tinatawag na E8 at ang Leech lattice.
Kaya, nalaman na natin kung ano ang sala-sala. Ang isang mahalagang katangian ng isang sala-sala para sa matematika ay ang simetrya nito. Sa pamamagitan ng mahusay na proporsyon, siyempre, ang ibig sabihin namin ay hindi subjective sensations (at sino ang magpapakita ng sala-sala na ito sa, halimbawa, apat na dimensyon?), Ngunit ang bilang ng iba't ibang uri ng paggalaw ng espasyo na nagsasalin ng sala-sala na ito sa sarili nito. Ipaliwanag natin gamit ang isang halimbawa.
Kunin natin ang parehong hexagonal na sala-sala na napagtatanto ang pinakasiksik na packing sa eroplano. Madaling maunawaan na ang sala-sala ay nagbabago sa sarili nito kung ito ay inilipat ng mga vectors na v at w na nasa kahulugan. Ngunit, bilang karagdagan, ang sala-sala ay maaaring paikutin sa gitna ng heksagono. At mayroong 6 na pag-ikot: 0, 60, 120, 180, 240, 300 degrees. Bilang karagdagan, ang sala-sala ay maaaring ipakita nang simetriko tungkol sa anumang axis ng symmetry ng compound hexagon. Ang isang maliit na ehersisyo ay nagpapakita na, hindi pagbibilang ng mga shift, nakakakuha tayo ng 12 pagbabago. Sa iba pang mga sala-sala, mayroong mas kaunting mga pagbabagong-anyo, kaya sinasabi namin na ang mga ito ay hindi gaanong simetriko.
Ngayon, ang E8 at ang Leach lattice ay hindi kapani-paniwalang simetriko na lattice. Matatagpuan ang E8 sa 8-dimensional na espasyo. Ang sala-sala na ito ay naimbento ng mga Russian mathematician na sina Korkin at Zolotarev noong 1877. Binubuo ito ng mga vector, ang lahat ng mga coordinate ay mga integer, at ang kanilang kabuuan ay pantay. Ang nasabing sala-sala, minus shift, ay mayroong 696,729,600 na pagbabago. Ang Leach Grid ay umiiral sa dalawampu't apat na dimensyon. Binubuo ito ng mga vector na may integer na mga coordinate at ang kundisyon - ang kabuuan ng mga coordinate na binawasan ng anumang coordinate na pinarami ng 4 ay nahahati sa 8. Mayroon lamang itong napakalaking bilang ng mga symmetries - 8,315,553,613,086,720,000 piraso.
Kaya, sa 8-dimensional at 24-dimensional na espasyo, ang mga bola na matatagpuan sa mga vertices ng parehong mga sala-sala ay humahawak sa 240 at 19650 na bola, ayon sa pagkakabanggit. Nakapagtataka, ito mismo ang mga numero ng contact (tingnan ang punto 5) para sa mga puwang ng kaukulang dimensyon.
7.
Ngayon bumalik tayo sa tatlong-dimensional na kaso at hypothesis ni Kepler (ang pinag-usapan natin sa simula pa lang). Ang gawaing ito ay naging maraming beses na mas mahirap kaysa sa mga nauna nito.
Magsimula tayo sa katotohanan na mayroong walang katapusan na maraming mga packing na may parehong density ng hexagonal na siksik. Sinimulan namin itong ilatag, simula sa mga bola na inilatag sa mga node ng hexagonal na sala-sala. Ngunit magagawa mo ito nang iba: halimbawa, sa unang antas, tiklupin ang mga bola sa isang parisukat, iyon ay, upang ang mga tuktok ng mga bola ay matatagpuan sa mga node ng isang parisukat na sala-sala. Sa kasong ito, ang bawat bola ay humipo sa apat na kapitbahay. Ang pangalawang layer, tulad ng sa kaso ng hexagonal, ay ilalagay mula sa itaas sa mga puwang sa pagitan ng mga bola ng unang layer. Ang ganitong pakete ay tinatawag nakasentro sa mukha na cubic packing. Sa pamamagitan ng paraan, ito lamang ang pinakasiksik na lattice packing sa kalawakan.
Sa unang sulyap, tila ang pag-iimpake na ito ay dapat na mas masahol pa, dahil ang mga puwang sa pagitan ng apat na bola sa unang layer ay mas malaki (ayon sa mga sensasyon) kaysa sa mga puwang sa hexagonal na siksik na packing. Ngunit, kapag inilagay namin ang pangalawang hilera, ang mga bola - tiyak na dahil ang mga puwang ay mas malaki - mas malalim. Bilang isang resulta, bilang ito ay lumiliko, ang density ay kapareho ng dati. Sa katunayan, siyempre, ang lansihin ay ang gayong pag-iimpake ay nakuha kung ang isa ay tumitingin sa heksagonal mula sa ibang anggulo.
Ito ay lumiliko na sa tatlong-dimensional na espasyo ay walang ganoong magagandang natatanging sala-sala bilang, halimbawa, heksagonal sa isang eroplano o E8 sa 8-dimensional na espasyo. Sa unang sulyap, ito ay ganap na hindi maintindihan kung paano maghanap para sa pinakasiksik na pag-iimpake sa tatlong-dimensional na espasyo.
8.
Ang solusyon ng hypothesis ni Kepler ay ipinanganak sa maraming yugto.
Una, si Feiesz Toth, ang parehong Hungarian na nakalutas sa problema ng siksik na pag-iimpake sa isang eroplano, ay nagpahayag ng sumusunod na haka-haka: upang maunawaan kung ang packing ay siksik o hindi, sapat na upang isaalang-alang ang may hangganan na mga kumpol ng mga bola. Tulad ng nalaman namin, hindi katulad ng eroplano, kung ang gitnang bola ay humipo sa 12 kapitbahay, kung gayon may mga puwang sa pagitan nila. Samakatuwid, iminungkahi ni Feyesh Toth na pag-aralan ang mga kumpol na binubuo ng isang sentral na bola, mga kapitbahay nito, at mga kapitbahay ng mga kapitbahay.
Ang bagay ay ang pagpapalagay na ito ay ginawa noong 60s ng huling siglo. At ang problema ng pagliit ng dami ng naturang kumpol ay, sa katunayan, isang nonlinear na problema sa pag-optimize para sa isang function na humigit-kumulang 150 variable (bawat bola ay may sentro, ito ay ibinibigay ng tatlong coordinate). Sa halos pagsasalita, ang naturang function ay kailangang makahanap ng isang minimum sa ilalim ng ilang karagdagang mga kundisyon. Sa isang banda, ang gawain ay naging may hangganan, ngunit sa kabilang banda, ito ay ganap na hindi mabata mula sa isang computational point of view para sa isang tao. Ngunit si Feyesh Tot ay hindi nagalit at sinabi na sa lalong madaling panahon ang mga computer ay magkakaroon ng kinakailangang kapangyarihan sa pag-compute. Tutulungan sila.
Nagustuhan ng mga mathematician ang hypothesis ni Fejes Toth at nagsimula silang kumilos nang aktibo sa direksyong ito. Sa simula ng 1990s, unti-unting bumababa ang mga pagtatantya para sa maximum na density ng packing ng mga sphere sa three-dimensional na espasyo. Ang ideya ay na sa ilang mga punto ang pagtatantya ay magiging katumbas ng density ng nakasentro sa mukha na cubic packing at, samakatuwid, ang haka-haka ni Kepler ay mapapatunayan. Sa panahong ito, inilathala ng matematiko na si Thomas Hales ang kanyang unang mga papel sa pag-iimpake. Para sa trabaho, pumili siya ng isang bagay na tinatawag na mga bituin ng Delaunay (bilang parangal sa matematikong Sobyet na si Boris Delaunay). Ito ay isang matapang na hakbang - sa sandaling iyon ang pagiging epektibo ng naturang mga bagay para sa pag-aaral ng problema sa pag-iimpake ay nagdududa.
Pagkatapos lamang ng 8 taon ng pagsusumikap, noong 1998, natapos ni Hales ang patunay ng haka-haka ni Kepler. Binawasan niya ang patunay sa isang may hangganang combinatorial enumeration ng iba't ibang istruktura tulad ng mga bituin ng Delaunay. Para sa bawat naturang kombinatoryal na istraktura, kinakailangan upang i-maximize ang density. Dahil ang computer ay gumagana nang normal lamang sa mga integer (dahil lang sa matematika na ang mga numero ay kadalasang walang katapusan na mga praksyon), para sa bawat kaso, ang Delaunay ay awtomatikong bumuo ng isang pagtatantya mula sa itaas gamit ang mga simbolikong makatwirang kalkulasyon (mga makatwirang numero, pagkatapos ng lahat, kung hindi mo isasalin ang mga ito sa decimal. mga fraction, isang pares ng mga integer). Sa pagtatantya na ito, nakakuha siya ng mas mataas na pagtatantya para sa maximum na density. Bilang resulta, naging mas mababa ang lahat ng pagtatantya kaysa sa ibinigay ng face-centered cubic packing.
Maraming mga mathematician, gayunpaman, ay nalilito sa sitwasyon kung saan ang isang computer ay binuo upang bumuo ng isang approximation. Upang patunayan na wala siyang mga pagkakamali sa bahagi ng computer ng patunay, kinuha ni Hales ang pormalisasyon at pag-verify, kahit na sa tulong din ng isang computer. Ang gawaing ito, na ginawa ng isang medyo malaking internasyonal na koponan, ay natapos noong Agosto 2014. Walang nakitang mga pagkakamali sa patunay.
9.
Ang mga patunay para sa mga sukat 8 at 24 ay hindi nangangailangan ng isang computer at medyo mas simple. Ilang oras na ang nakalipas, napakahusay na mga pagtatantya ay nakuha para sa pagtantya ng maximum na densidad ng packing sa mga dimensyong ito. Ginawa ito ng mga mathematician na sina Kohn at Elkies noong 2003. Sa pamamagitan ng paraan, ang pagtatantya na ito (tinatawag din itong hangganan ng Kohn-Elkies) ilang taon bago sina Kohn at Elkies mismo ay natagpuan ng Russian mathematician na si Dmitry Gorbachev mula sa Tula. Gayunpaman, inilathala niya ang gawaing ito sa Russian at sa isang journal ng Tula. Hindi alam nina Cohn at Elkies ang tungkol sa gawaing ito, at nang sabihin sa kanila, sila pala, ay tinukoy ito.
"Ang hangganan ng Kohn-Elkies ay lumitaw batay sa gawain ni Jean Frederic Delsarte at ng aming mga kahanga-hangang matematiko na sina Grigory Kabatyansky at Vladimir Levenshtein. Ang pagtatantya ng asymptotic (sa mga tuntunin ng dimensyon ng espasyo) para sa density ng mga packing ng mga bola sa n-dimensional na espasyo, na nakuha ni Kabatyansky at Levenshtein, ay "hinahawakan" mula noong 1978. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay Levenshtein at, nang nakapag-iisa, nalutas ng mga Amerikano na sina Odlyzhko at Sloan ang problema ng mga numero ng contact sa mga sukat 8 at 24 noong 1979. Direkta nilang ginamit ang paraan ng Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein, "sabi ni Oleg Musin.
Ang mga pagtatantya ng Kohn at Elkies ay talagang tama para sa lahat ng mga packing, ngunit sa mga sukat na 8 at 24 ay nagbibigay sila ng napakahusay na pagtatantya. Halimbawa, ang pagtatantya ng mathematician ay halos 0.0001 porsiyentong mas malaki kaysa sa E8 density sa walong dimensyon. Samakatuwid, ang gawain ay lumitaw upang mapabuti ang pagtatantya na ito - pagkatapos ng lahat, ang solusyon, tila, ay malapit na. Bukod dito, noong 2012, ang parehong Dmitry Gorbachev ay nag-apply (at nanalo) para sa isang grant mula sa Dynasty Foundation. Sa aplikasyon, tahasan niyang sinabi na binalak niyang patunayan ang densidad ng packing ng E8 sa walong-dimensional na espasyo.
Sinabi nila na ang isa pang matematiko, si Andrei Bondarenko, ay nag-udyok kay Gorbachev na gumawa ng ganoong matapang na pahayag, sa katunayan, isang tagapayo, isa sa mga siyentipikong superbisor ng Marina Vyazovskaya, ang naglutas ng problema para sa 8-dimensional na espasyo (at co-authored para sa 24-dimensional na espasyo). Si Bondarenko ang kanyang pinasasalamatan sa pagtatapos ng kanyang pambihirang gawain. Kaya, nabigo sina Bondarenko at Gorbachev, ngunit nagtagumpay si Vyazovskaya. Bakit?
Marina Vyazovskaya
Humboldt University of Berlin
Iniuugnay ng pagtatantya ng Kohn-Elkies ang densidad ng packing sa isang katangian ng ilang function mula sa isang angkop na hanay. Sa halos pagsasalita, isang pagtatantya ay itinayo para sa bawat ganoong function. Iyon ay, ang pangunahing gawain ay upang makahanap ng isang angkop na function upang ang resultang pagtatantya ay lumabas na kung ano ang kailangan natin. Kaya, ang pangunahing sangkap sa pagtatayo ng Vyazovskaya ay mga modular na anyo. Nabanggit na natin ang mga ito kaugnay ng patunay ng Huling Teorama ni Fermat, kung saan . Ito ay isang medyo simetriko na bagay na patuloy na lumilitaw sa iba't ibang sangay ng matematika. Ang toolkit na ito ang naging posible upang mahanap ang nais na function.
Sa 24-dimensional na espasyo, ang pagtatantya ay nakuha sa parehong paraan. Ang gawaing ito ay may higit pang mga may-akda, ngunit batay sa parehong tagumpay ng Vyazovskaya (kahit na, siyempre, bahagyang inangkop). Sa pamamagitan ng paraan, isa pang kapansin-pansin na katotohanan ang napatunayan sa papel: ang Leach lattice ay nagpapatupad ng isang natatanging panaka-nakang pinakasiksik na pag-iimpake. Iyon ay, ang lahat ng iba pang mga pana-panahong packing ay may density na mas mababa kaysa dito. Ayon kay Oleg Musin, ang isang katulad na resulta para sa mga pana-panahong packing ay maaaring totoo sa mga sukat na 4 at 8.
10.
Mula sa punto ng view ng mga application, ang problema ng siksik na pag-iimpake sa mga high-dimensional na espasyo ay, una sa lahat, ang problema ng pinakamainam na coding na may pagwawasto ng error.
Isipin na sina Alice at Bob ay sinusubukang makipag-usap gamit ang mga signal ng radyo. Sinabi ni Alice na magpapadala siya kay Bob ng signal na binubuo ng 24 na magkakaibang frequency. Susukatin ni Bob ang amplitude ng bawat frequency. Bilang resulta, makakakuha siya ng isang set ng 24 amplitudes. Sila, siyempre, ay nagtakda ng isang punto sa 24-dimensional na espasyo - pagkatapos ng lahat, mayroong 24 sa kanila. Si Bob at Alice ay kumukuha, sabihin nating, isang diksyunaryo ng Dahl at italaga ang bawat salita ng sarili nitong hanay ng 24 na amplitude. Lumalabas na na-encode namin ang mga salita mula sa diksyunaryo ni Dahl na may mga punto ng 24-dimensional na espasyo.
Sa isang perpektong mundo, wala nang kailangan pa. Ngunit ang tunay na mga channel ng paghahatid ng data ay nagdaragdag ng ingay, na nangangahulugan na sa panahon ng pag-decode, makakakuha si Bob ng isang hanay ng mga amplitude na hindi tumutugma sa alinman sa mga salita. Ngunit pagkatapos ay maaari niyang tingnan ang salitang pinakamalapit sa na-decipher na bersyon. Kung meron man, malamang. Upang palaging magawa ito, kinakailangan na ang mga punto ng espasyo ay matatagpuan nang malayo hangga't maaari. Iyon ay, halimbawa, kung ang antas ng ingay ay tulad na ang isang pagbaluktot ay ipinakilala na nagbabago sa resulta sa pamamagitan ng isang vector na may haba na hindi hihigit sa isa, kung gayon ang dalawang puntos ng code ay dapat na eksaktong hindi bababa sa dalawang magkahiwalay. Pagkatapos, kahit na may mga pagbaluktot, ang resulta ni Bob ay palaging malapit sa isang salita - ang kailangan.
Kasabay nito, hindi ko rin gustong magpalaki ng maraming salita - mayroon kaming medyo limitadong saklaw kung saan maaari kaming magpadala ng impormasyon. Sabihin nating kakaiba (at hindi masyadong epektibo) kung nagsimulang makipag-usap sina Alice at Bob sa x-ray. Samakatuwid, sa isip, ang distansya sa pagitan ng mga katabing code na salita ay dapat na eksaktong dalawa. At nangangahulugan ito na ang mga salita ay matatagpuan sa mga vertices ng mga bola ng radius 1, nang makapal na naka-pack sa isang 24-dimensional na espasyo.
Gumawa ako kamakailan ng isang simpleng ray tracer para sa mga 3D na eksena. Ito ay nakasulat sa JavaScript at hindi masyadong mabilis. Para masaya, nagsulat ako ng raytracer sa C at binigyan ito ng 4D rendering mode - sa mode na ito maaari itong mag-project ng 4D scene sa isang flat screen. Sa ilalim ng cut makikita mo ang ilang mga video, ilang mga larawan at isang ray tracer code.
Bakit sumulat ng isang hiwalay na programa upang gumuhit ng isang 4D na eksena? Maaari kang kumuha ng ordinaryong ray tracer, maglagay ng 4D na eksena dito at makakuha ng isang kawili-wiling larawan, ngunit ang larawang ito ay hindi magiging isang projection ng buong eksena sa screen. Ang problema ay ang eksena ay may 4 na dimensyon, at ang screen ay 2 lamang, at kapag ang ray tracer ay nagpaputok ng mga sinag sa screen, ito ay sumasaklaw lamang sa isang 3-dimensional na subspace at isang 3-dimensional na hiwa lamang ng isang 4-dimensional na eksena ang makikita sa screen. Isang simpleng pagkakatulad: subukang mag-project ng isang 3D na eksena sa isang 1D na segment.
Lumalabas na ang isang 3-dimensional na tagamasid na may 2-dimensional na paningin ay hindi maaaring makita ang buong 4-dimensional na eksena - sa pinakamahusay, makikita niya lamang ang isang maliit na bahagi. Lohikal na ipagpalagay na mas maginhawang tumingin sa isang 4-dimensional na eksena na may 3-dimensional na paningin: ang isang tiyak na 4-dimensional na tagamasid ay tumitingin sa ilang bagay at isang 3-dimensional na projection ay nabuo sa kanyang 3-dimensional na analogue ng retina. Ang aking programa ay mag-ray trace sa 3D projection na ito. Sa madaling salita, inilalarawan ng aking ray tracer kung ano ang nakikita ng isang 4D observer sa kanilang 3D vision.
Mga tampok ng 3D vision
Isipin na tumitingin ka sa isang bilog ng papel na nasa harap mismo ng iyong mga mata - sa kasong ito, makikita mo ang isang bilog. Kung ilalagay mo ang bilog na ito sa mesa, makakakita ka ng isang ellipse. Kung titingnan mo ang bilog na ito mula sa malayo, lalabas itong mas maliit. Katulad din para sa three-dimensional na pangitain: isang four-dimensional na bola ang lalabas sa nagmamasid bilang isang three-dimensional na ellipsoid. Nasa ibaba ang ilang halimbawa. Sa una, 4 na magkaparehong magkaparehong patayo na mga cylinder ang umiikot. Sa pangalawa, umiikot ang frame ng isang 4-dimensional na kubo.
Lumipat tayo sa mga pagmumuni-muni. Kapag tumingin ka sa isang bola na may reflective surface (isang Christmas decoration, halimbawa), ang reflection ay parang iginuhit sa ibabaw ng globo. Gayundin para sa 3D vision: tumitingin ka sa isang 4D na bola at ang mga reflection ay iginuhit na parang nasa ibabaw nito. Ngayon lamang ang ibabaw ng isang 4-dimensional na bola ay tatlong-dimensional, kaya kapag titingnan natin ang isang 3-dimensional na projection ng bola, ang mga reflection ay nasa loob, hindi sa ibabaw. Kung gagawin namin ang ray tracer na naglalabas ng isang sinag at hanapin ang pinakamalapit na intersection na may 3D projection ng bola, pagkatapos ay makakakita kami ng isang itim na bilog - ang ibabaw ng 3D projection ay magiging itim (ito ay sumusunod mula sa mga formula ng Fresnel). Mukhang ganito:
Para sa 3D vision, hindi ito isang problema, dahil para dito ang buong 3D na bola ay nakikita at ang mga panloob na punto ay nakikita pati na rin ang mga nasa ibabaw, ngunit kailangan kong ihatid ang epektong ito sa isang flat screen, kaya gumawa ako ng karagdagang mode ng ray tracer kapag isinasaalang-alang nito na ang mga three-dimensional na bagay ay parang mausok: ang sinag ay dumadaan sa kanila at unti-unting nawawalan ng enerhiya. Ito ay lumalabas na ganito:
Ang parehong ay totoo para sa mga anino: ang mga ito ay nahuhulog hindi sa ibabaw, ngunit sa loob ng 3D projection. Ito ay lumiliko na sa loob ng isang 3-dimensional na bola - isang projection ng isang 4-dimensional na bola - maaaring mayroong isang madilim na lugar sa anyo ng isang projection ng isang 4-dimensional na kubo, kung ang kubo na ito ay naglalagay ng anino sa bola. Hindi ko naisip kung paano iparating ang epektong ito sa isang flat screen.
Mga pag-optimize
Ang Raytracing ng isang 4D na eksena ay mas mahirap kaysa sa isang 3D: sa kaso ng 4D, kailangan mong hanapin ang mga kulay ng isang 3D na lugar, hindi isang patag. Kung sumulat ka ng isang ray tracer "sa noo", ang bilis nito ay magiging lubhang mababa. Mayroong ilang mga simpleng pag-optimize na maaaring bawasan ang oras ng pag-render para sa isang 1000x1000 na larawan sa ilang segundo.
Ang unang bagay na nakakakuha ng iyong mata kapag tumitingin sa gayong mga larawan ay isang grupo ng mga itim na pixel. Kung ilarawan mo ang lugar kung saan ang sinag ng ray tracer ay tumama sa kahit isang bagay, magiging ganito ito:
Makikita na humigit-kumulang 70% ay mga itim na pixel, at ang puting bahagi ay konektado (ito ay konektado dahil ang 4D na eksena ay konektado). Maaari mong kalkulahin ang mga kulay ng mga pixel nang wala sa ayos, ngunit hulaan ang isang puting pixel at punan ito. Ire-ray trace lang nito ang mga puting pixel + ilang itim na pixel na kumakatawan sa 1 pixel na hangganan ng puting lugar.
Ang pangalawang pag-optimize ay nakuha mula sa katotohanan na ang mga numero - mga bola at mga cylinder - ay matambok. Nangangahulugan ito na para sa anumang dalawang punto sa naturang figure, ang segment na nagkokonekta sa kanila ay nasa loob din ng figure. Kung ang sinag ay nag-intersect sa isang matambok na bagay, habang ang punto A ay nasa loob ng bagay, at ang punto B ay nasa labas, kung gayon ang natitira sa sinag mula sa gilid B ay hindi magsalubong sa bagay.
Ilan pang halimbawa
Dito umiikot ang kubo sa gitna. Ang bola ay hindi hawakan ang kubo, ngunit sa isang 3D projection maaari silang mag-intersect.
Sa video na ito, ang kubo ay nakatigil, at isang 4-dimensional na tagamasid ang lumilipad sa kubo. Ang 3-dimensional na kubo na iyon na tila mas malaki ay mas malapit sa nagmamasid, at ang mas maliit ay mas malayo.
Nasa ibaba ang klasikal na pag-ikot sa mga eroplano ng mga palakol 1-2 at 3-4. Ang ganitong pag-ikot ay ibinibigay ng produkto ng dalawang Givens matrice.
Paano gumagana ang aking ray tracer
Ang code ay nakasulat sa ANSI C 99. Maaari mong i-download ito. Sinubukan ko sa ICC+Windows at GCC+Ubuntu.
Ang programa ay tumatanggap ng isang text file na may paglalarawan ng eksena bilang input.
Eksena = ( mga bagay = -- listahan ng mga bagay sa eksena ( pangkat -- pangkat ng mga bagay ay maaaring magkaroon ng nakatalagang affine transform ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), mga ilaw = -- listahan ng mga ilaw ( light((0.2, 0.1, 0.4, 0.7), 1), ilaw((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0.1 -- cylinder radius axiscyl1 = cylinder ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), axiscylr, materyal = (kulay = (1, 0, 0))) axiscyl2 = silindro ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, materyal = (kulay = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = silindro ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, materyal = (kulay = (0 , 0, 1)) ) axiscyl4 = cylinder ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, material = (kulay = (1, 1, 0)) )
Pagkatapos nito, pina-parse nito ang paglalarawang ito at gagawa ng eksena sa panloob na representasyon nito. Depende sa dimensyon ng espasyo, inire-render nito ang eksena at nakakakuha ng alinman sa apat na dimensyon na imahe tulad ng nasa itaas sa mga halimbawa, o isang regular na three-dimensional na larawan. Upang gawing 3D raytracer ang isang 4D ray tracer, kailangan mong baguhin ang vec_dim parameter mula 4 hanggang 3 sa vector.h file. Maaari mo ring itakda ito sa mga parameter ng command line para sa compiler. Kino-compile sa GCC:
cd /home/ username/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
Test run:
/home/ username/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp
Kung isasama mo ang raytracer na may vec_dim = 3, gagawa ito ng regular na kubo para sa eksenang cube3d.scene .
Paano ginawa ang video
Para magawa ito, sumulat ako ng Lua script na kinakalkula ang rotation matrix para sa bawat frame at idinagdag ito sa reference na eksena.
Mga Ax = ( (0.933, 0.358, 0, 0), -- axis 1 (-0.358, 0.933, 0, 0), -- axis 2 (0, 0, 0.933, 0.358), -- axis 3 (0, 0) , -0.358, 0.933) -- axis 4 ) scene = ( objects = ( group ( axes = axes, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), )
Ang object ng grupo, bilang karagdagan sa listahan ng mga bagay, ay may dalawang parameter ng pagbabagong-anyo ng affine: axes at pinanggalingan. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga palakol, maaari mong paikutin ang lahat ng mga bagay sa pangkat.
Pagkatapos ay tinawag ng script ang pinagsama-samang raytracer. Kapag ang lahat ng mga frame ay nai-render, ang script ay tinatawag na mencoder at ito ay nakolekta ng video mula sa mga indibidwal na larawan. Ang video ay ginawa sa paraang maaari itong ilagay sa auto-repeat - i.e. Ang dulo ng video ay pareho sa simula. Ang script ay tumatakbo tulad nito:
Luajit animate.lua
At sa wakas, sa archive na ito ay mayroong 4 na avi file na 1000 × 1000. Ang lahat ng ito ay paikot - maaari mo itong ilagay sa auto-repeat at makakakuha ka ng isang normal na animation.
Mga Tag:
- ray tracer
- apat na dimensyon na espasyo
Kahit noong first-year student pa lang ako, nagkaroon ako ng mainitang pagtatalo sa isa kong kaklase. Sinabi niya na ang isang four-dimensional na kubo ay hindi maaaring katawanin sa anumang anyo, at tiniyak ko na ito ay maaaring ilarawan nang malinaw. Pagkatapos ay gumawa pa ako ng isang projection ng isang hypercube papunta sa aming tatlong-dimensional na espasyo mula sa mga clip ng papel ... Ngunit pag-usapan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod.
Ano ang hypercube at four-dimensional space
Mayroong tatlong dimensyon sa ating nakagawiang espasyo. Mula sa isang geometric na punto ng view, nangangahulugan ito na ang tatlong magkaparehong patayo na linya ay maaaring ipahiwatig dito. Iyon ay, para sa anumang linya, makakahanap ka ng pangalawang linya na patayo sa una, at para sa isang pares, makakahanap ka ng ikatlong linya na patayo sa unang dalawa. Hindi na posible na mahanap ang ikaapat na tuwid na linya patayo sa tatlong umiiral na.
4D na espasyo naiiba lamang sa atin dahil mayroon itong isa pang karagdagang direksyon. Kung mayroon ka nang tatlong magkaparehong patayo na linya, makikita mo ang ikaapat na linya, upang ito ay patayo sa lahat ng tatlo.
hypercube ito ay isang kubo lamang sa apat na dimensyon.
Posible bang isipin ang isang four-dimensional na espasyo at isang hypercube?
Ang tanong na ito ay katulad ng tanong na: "posible bang isipin ang Huling Hapunan sa pamamagitan ng pagtingin sa pagpipinta ng parehong pangalan (1495-1498) ni Leonardo da Vinci (1452-1519)?"
Sa isang banda, tiyak na hindi mo maiisip kung ano ang nakita ni Hesus (nakaharap siya sa manonood), lalo na't hindi mo maamoy ang hardin sa labas ng bintana at ang lasa ng pagkain sa mesa, hindi mo maririnig ang mga ibon na umaawit.. Hindi ka makakakuha ng kumpletong larawan ng nangyari noong gabing iyon, ngunit hindi masasabing wala kang matututuhan na bago at walang interes ang larawan.
Ang sitwasyon ay katulad sa tanong ng hypercube. Imposibleng ganap na isipin ito, ngunit maaari kang maging mas malapit sa pag-unawa kung ano ito.
Pagbuo ng hypercube
0-dimensional na kubo
Magsimula tayo sa simula - na may 0-dimensional na kubo. Ang kubo na ito ay naglalaman ng 0 magkabilang patayo na mukha, iyon ay, ito ay isang punto lamang.
1-dimensional na kubo
Sa isang-dimensional na espasyo, mayroon lamang tayong isang direksyon. Inilipat namin ang punto sa direksyong ito at kumuha ng isang segment.
Ito ay isang one dimensional na kubo.
2 dimensional na kubo
Mayroon kaming pangalawang dimensyon, inililipat namin ang aming one-dimensional na kubo (segment) sa direksyon ng pangalawang dimensyon at kumuha ng isang parisukat.
Ito ay isang kubo sa dalawang dimensyon.
3 dimensional na kubo
Sa pagdating ng ikatlong dimensyon, ginagawa namin ang parehong: inilipat namin ang parisukat at nakuha ang karaniwang three-dimensional na kubo.
4-dimensional na kubo (hypercube)
Ngayon ay mayroon na tayong pang-apat na dimensyon. Iyon ay, mayroon kaming isang direksyon na patayo sa lahat ng tatlo sa mga nauna. Gamitin natin ito sa parehong paraan. Magiging ganito ang 4D cube.
Naturally, ang three-dimensional at four-dimensional na mga cube ay hindi maaaring ilarawan sa isang two-dimensional na screen plane. Ang iginuhit ko ay mga projection. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga projection sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon, ilang mga hubad na katotohanan at figure.
Bilang ng mga vertex, gilid, mukha
Tandaan na ang mukha ng hypercube ay ang aming regular na 3D cube. Kung titingnan mong mabuti ang pagguhit ng hypercube, maaari kang makakita ng walong cube.
Mga projection at pangitain ng isang naninirahan sa four-dimensional na espasyo
Ang ilang mga salita tungkol sa pangitain
Nabubuhay tayo sa isang three-dimensional na mundo, ngunit nakikita natin ito bilang two-dimensional. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang retina ng ating mga mata ay matatagpuan sa isang eroplano na may dalawang sukat lamang. Iyon ang dahilan kung bakit nagagawa nating makita ang dalawang-dimensional na larawan at makita ang mga ito na katulad ng katotohanan.
(Siyempre, salamat sa tirahan, matatantya ng mata ang distansya sa isang bagay, ngunit isa na itong side effect na nauugnay sa mga optika na nakapaloob sa ating mata.)
Ang mga mata ng isang naninirahan sa four-dimensional na espasyo ay dapat may tatlong-dimensional na retina. Ang gayong nilalang ay maaaring makakita kaagad ng isang three-dimensional na pigura nang ganap: lahat ng mukha at loob nito. (Sa parehong paraan, makikita natin ang isang two-dimensional na pigura, lahat ng mukha at loob nito.)
Kaya, sa tulong ng ating mga organo ng pangitain, hindi natin nakikita ang isang four-dimensional na kubo sa parehong paraan kung paano ito makikita ng isang naninirahan sa isang apat na dimensyon na espasyo. Naku. Ito ay nananatili lamang upang umasa sa mata ng isip at pantasya, na, sa kabutihang palad, ay walang pisikal na limitasyon.
Gayunpaman, kapag naglalarawan ng hypercube sa isang eroplano, kailangan ko lang itong i-project sa isang two-dimensional na espasyo. Isaisip ito kapag nag-aaral ng mga guhit.
Mga interseksyon sa gilid
Naturally, ang mga gilid ng hypercube ay hindi nagsalubong. Lumilitaw lamang ang mga intersection sa mga figure. Gayunpaman, hindi ito dapat maging isang sorpresa, dahil ang mga gilid ng isang ordinaryong kubo sa mga figure ay nagsalubong din.
Haba ng rib
Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na ang lahat ng mga mukha at mga gilid ng isang apat na dimensional na kubo ay pantay. Sa figure, ang mga ito ay hindi pantay-pantay lamang dahil sila ay matatagpuan sa iba't ibang mga anggulo sa direksyon ng view. Gayunpaman, posible na i-unfold ang hypercube upang ang lahat ng mga projection ay may parehong haba.
Sa pamamagitan ng paraan, walong cubes ang malinaw na nakikita sa figure na ito, na kung saan ay ang mga mukha ng hypercube.
Walang laman ang hypercube sa loob
Mahirap paniwalaan, ngunit sa pagitan ng mga cube na nakagapos sa hypercube, mayroong ilang espasyo (isang fragment ng four-dimensional na espasyo).
Upang mas maunawaan ito, isaalang-alang natin ang isang 2D na projection ng isang regular na 3D cube (sinadya kong ginawa itong medyo sketchy).
Posible bang hulaan mula dito na mayroong ilang espasyo sa loob ng kubo? Oo, ngunit sa imahinasyon lamang. Hindi nakikita ng mata ang espasyong ito.
Ito ay dahil ang mga gilid na matatagpuan sa ikatlong dimensyon (na hindi maaaring ilarawan sa isang patag na guhit) ay naging mga segment na nakahiga sa eroplano ng pagguhit. Hindi na sila nagbibigay ng volume.
Ang mga parisukat na nagbubuklod sa espasyo ng kubo ay magkakapatong sa isa't isa. Ngunit maaari itong isipin na sa orihinal na pigura (tatlong-dimensional na kubo) ang mga parisukat na ito ay matatagpuan sa iba't ibang mga eroplano, at hindi isa sa ibabaw ng isa sa parehong eroplano, tulad ng nangyari sa figure.
Ang parehong ay totoo para sa hypercube. Ang mga cube-face ng hypercube ay hindi aktwal na nagsasapawan, na tila sa amin sa projection, ngunit matatagpuan sa apat na dimensyon na espasyo.
Mga reamers
Kaya, ang isang residente ng four-dimensional na espasyo ay maaaring makakita ng tatlong-dimensional na bagay nang sabay-sabay mula sa lahat ng panig. Makakakita ba tayo ng tatlong-dimensional na kubo mula sa lahat ng panig nang sabay-sabay? Sa mata, hindi. Ngunit ang mga tao ay nakaisip ng isang paraan upang ilarawan ang lahat ng mga mukha ng isang three-dimensional na kubo sa parehong oras sa isang patag na guhit. Ang ganitong imahe ay tinatawag na sweep.
Paglalahad ng 3D cube
Marahil alam ng lahat kung paano nabuo ang paglalahad ng isang three-dimensional na kubo. Ang prosesong ito ay ipinapakita sa animation.
Para sa kalinawan, ang mga gilid ng mga mukha ng kubo ay ginawang translucent.
Dapat pansinin na naiintindihan natin ang dalawang-dimensional na larawang ito salamat lamang sa imahinasyon. Kung isasaalang-alang natin ang mga yugto ng paglalahad mula sa isang purong two-dimensional na punto ng view, kung gayon ang proseso ay magiging kakaiba at hindi nakikita.
Mukhang ang unti-unting paglitaw ng una ang mga balangkas ng magulong mga parisukat, at pagkatapos ay ang kanilang pagkalat sa lugar na may sabay-sabay na pag-aampon ng kinakailangang hugis.
Kung titingnan mo ang isang nagbubukas na kubo sa direksyon ng isa sa mga mukha nito (mula sa puntong ito, ang kubo ay mukhang isang parisukat), kung gayon ang proseso ng pagbuo ng isang pag-unlad ay hindi gaanong malinaw. Ang lahat ay mukhang gumagapang palabas ng mga parisukat mula sa unang parisukat (hindi isang nakabukang kubo).
Pero hindi biswal walisin lamang para sa mata.
Paano maintindihan ang 4-dimensional na espasyo?
Salamat lamang sa imahinasyon, maraming impormasyon ang maaaring makuha mula dito.
Paglalahad ng 4D Cube
Imposibleng gawin ang animated na proseso ng hypercube na paglalahad ng hindi bababa sa medyo visual. Ngunit ang prosesong ito ay maaaring isipin. (Upang gawin ito, kailangan mong tingnan ito sa pamamagitan ng mga mata ng isang four-dimensional na nilalang.)
Ang pagkalat ay ganito.
Lahat ng walong cube na nagbubuklod sa hypercube ay makikita dito.
Ang mga mukha ay pininturahan ng parehong mga kulay, na dapat na nakahanay kapag natitiklop. Ang mga mukha kung saan ang mga nakapares ay hindi nakikita ay iniwang kulay abo. Pagkatapos ng pagtiklop, ang pinakamataas na mukha ng tuktok na kubo ay dapat na nakahanay sa ilalim na mukha ng ilalim na kubo. (Katulad nito, ang pagbuo ng isang three-dimensional na kubo ay gumuho.)
Pakitandaan na pagkatapos ng pagtiklop, ang lahat ng mga mukha ng walong cube ay magkakadikit, na isasara ang hypercube. At sa wakas, kapag iniisip ang proseso ng natitiklop, huwag kalimutan na sa panahon ng natitiklop, ang mga cube ay hindi pinatong, ngunit nakabalot sa isang tiyak na (hypercubic) na apat na dimensyon na lugar.
Inilarawan ni Salvador Dali (1904-1989) ang pagpapako sa krus nang maraming beses, at ang mga krus ay lumilitaw sa napakaraming kanyang mga pintura. Ang pagpipinta na The Crucifixion (1954) ay gumagamit ng hypercube sweep.
Space-time at Euclidean four-dimensional space
Sana naisip mo ang hypercube. Ngunit nagawa mo bang mas mapalapit sa pag-unawa kung paano gumagana ang four-dimensional space-time kung saan tayo nakatira? Naku, hindi naman.
Dito napag-usapan natin ang tungkol sa Euclidean four-dimensional space, ngunit ang space-time ay may ibang katangian. Sa partikular, sa anumang pag-ikot, ang mga segment ay palaging nananatiling nakakiling sa axis ng oras, alinman sa isang anggulong mas mababa sa 45 degrees, o sa isang anggulo na mas mataas sa 45 degrees.
Inilaan ko ang isang serye ng mga tala sa mga katangian ng space-time.
3D na larawan
Ang mundo ay three-dimensional. Dalawang-dimensional ang imahe nito. Ang isang mahalagang gawain ng pagpipinta at ngayon ay ang pagkuha ng litrato ay upang ihatid ang three-dimensionality ng espasyo. Ang mga Romano ay pinagkadalubhasaan ang ilang mga diskarte, pagkatapos ay nakalimutan sila at nagsimulang bumalik sa klasikal na pagpipinta kasama ang Renaissance.
Ang pangunahing pamamaraan para sa paglikha ng tatlong-dimensional na espasyo sa pagpipinta ay pananaw. Ang mga riles ng tren, na lumalayo sa viewer, nakikitang makitid. Sa pagpipinta, ang mga riles ay maaaring pisikal na makitid. Sa photography, ang pananaw ay awtomatikong lumalabas: kukunan ng camera ang mga riles na kasingkipot ng nakikita ng mata. Gayunpaman, huwag hayaan itong halos magsara: hindi na ito magmumukhang isang pananaw, ngunit isang kakaibang pigura; sa pagitan ng mga riles, mga gilid ng kalye, mga pampang ng ilog, isang kapansin-pansing puwang ang dapat mapanatili.
Mahalagang maunawaan na ang linear na pananaw ay ang pinaka-primitive, makatotohanang paraan upang ihatid ang mundo.
Mag-post ng nabigasyon
Ito ay hindi nagkataon na ang kanyang hitsura ay nauugnay sa teatro na tanawin (Florensky, Reverse Perspective). Ang conventionality, kadalian ng paglipat ng isang theatrical scene ng maliit na depth ay napaka-angkop para sa photography, wala ng iba't ibang mga diskarte na magagamit sa pagpipinta.
May mga pananaw na mas kawili-wili kaysa sa linear. Sa mga gawa ng Chinese masters mayroong isang lumulutang na pananaw, kapag ang mga bagay ay inilalarawan nang sabay-sabay mula sa ibaba, sa itaas at sa harap. Ito ay hindi isang teknikal na pagkakamali ng mga walang kakayahan na mga artista: ang maalamat na may-akda ng pamamaraang ito, si Guo Xi, ay sumulat na ang gayong pagpapakita ay nagpapahintulot sa isang tao na mapagtanto ang mundo sa kabuuan nito. Ang pamamaraan ng pagpipinta ng icon ng Russia ay magkatulad, kung saan makikita ng manonood ang mukha at likod ng karakter sa parehong oras. Ang isang kawili-wiling pamamaraan ng pagpipinta ng icon, na natagpuan din sa mga artista sa Kanlurang Europa, ay isang baligtad na pananaw, kung saan ang mga malalayong bagay, sa kabaligtaran, ay mas malaki kaysa sa malapit, na binibigyang diin ang kanilang kahalagahan. Sa ating mga araw lamang naitatag na ang gayong pananaw ay tama: hindi tulad ng malalayong bagay, ang harapan ay talagang nakikita sa reverse perspective (Rauschenbach). Gamit ang Photoshop, makakamit mo ang reverse perspective sa pamamagitan ng pag-magnify ng mga background object. Para sa isang manonood na sanay sa mga batas ng pagkuha ng litrato, ang ganitong imahe ay magiging kakaiba.
Ang pagpapakilala ng sulok ng gusali sa frame, kung saan nag-iiba ang mga pader sa magkabilang direksyon, ay lumilikha ng pagkakahawig ng isang isometric na pananaw. Naiintindihan ng utak na ang mga pader ay nasa tamang mga anggulo at inilalatag ang natitirang bahagi ng imahe nang naaayon. Ang ganitong pananaw ay mas dynamic kaysa sa frontal at mas natural para sa foreground. Ipasok lamang ang mga dulong sulok ng mga bagay at malapit na pagitan ng mga gusali sa frame.
Dahil sa pagpapalawak, ang isometric perspective ay major, na bihirang angkop para sa isang classical na portrait. Ang linear na pananaw, dahil sa pagpapaliit, ay mas mahusay na naghahatid ng mga menor de edad na emosyon.
Sa yugto ng pagbaril, maraming mga tool ang magagamit sa photographer upang bigyang-diin ang pananaw. Ang mga bagay na may pantay na lapad (track, kalye, mga haligi, mga tudling) na napupunta sa malayo, sa pamamagitan ng kanilang pagpapaliit at kahit na simpleng paglayo, ay nagpapahiwatig sa manonood ng three-dimensionality ng espasyo. Ang epekto ay mas malakas kapag kumukuha mula sa isang mababang anggulo upang madagdagan ang pagbaluktot ng pananaw. Ito ay sapat na para sa landscape shooting, ngunit sa isang maliit na lalim ng imahe ng interior shooting, ang epekto ay halos hindi kapansin-pansin. Maaari itong mapahusay nang kaunti sa post-processing sa pamamagitan ng pagpapaliit sa tuktok ng imahe (Transform Perspective). Gayunpaman, kahit na sa isang tanawin, ang isang hypertrophied na pananaw ay maaaring magmukhang kawili-wili.
Ang lalim ay maaaring tahasan sa kahulugan ng imahe: ang mga gusali ay pinaghihiwalay ng isang kalye o isang ilog. Ang dayagonal ay nagbibigay-diin sa tatlong-dimensionalidad; parang tulay sa ibabaw ng ilog.
Ang mga bagay na may sukat na kilala ng tumitingin sa background ay nagtatakda ng sukat at, nang naaayon, bumubuo ng pananaw. Sa landscape photography, ang ganitong paksa ay maaaring isang kotse, ngunit sa portrait photography, subukang yumuko at idikit ang iyong binti (palayo sa camera) sa ilalim ng upuan upang ito, habang nananatiling nakikita, ay tila mas maliit. Maaari mo ring bahagyang bawasan ang binti na ito sa post-processing.
Ang gayak ay nagbibigay ng pananaw sa pamamagitan ng pagbawas ng mga elemento nang biswal. Ang isang halimbawa ay malalaking tile sa sahig, na nagmamarka ng mga linya sa kalsada.
Mayroong isang pamamaraan ng hypertrophied foreground. Hindi proporsyonal na malaki, lumilikha ito ng lalim ng imahe. Kung ihahambing ang sukat ng foreground at ang modelo, ang mata ay naghihinuha na ang modelo ay mas malayo kaysa sa lumilitaw. Ang hypertrophy ay dapat manatiling banayad upang ang imahe ay hindi maisip bilang isang error. Ang pamamaraan na ito ay angkop hindi lamang para sa post-processing, kundi pati na rin para sa pagbaril: i-distort ang mga proporsyon kapag nag-shoot gamit ang 35 o 50mm lens. Ang pagbaril gamit ang isang malawak na anggulo na lens ay umaabot sa espasyo, na nagpapahusay sa kanyang three-dimensionality dahil sa paglabag sa mga proporsyon. Mas malakas ang epekto kung kukunan mo ang modelo nang malapitan, ngunit mag-ingat sa mga kakatwang proporsyon: tanging ang mga may-akda ng mga relihiyosong larawan ang maaaring maglarawan ng isang taong mas malaki kaysa sa isang gusali.
Gumagana ang crossover. Kung ang mansanas ay bahagyang sumasakop sa peras, kung gayon ang utak ay hindi magkakamali: ang mansanas ay nasa harap ng peras. Ang modelo, na bahagyang sumasaklaw sa mga kasangkapan, kaya lumilikha ng lalim ng interior.
Ang paghahalili ng liwanag at madilim na mga spot ay nagbibigay din ng lalim sa imahe. Alam ng utak mula sa karanasan na ang mga kalapit na bagay ay humigit-kumulang pantay na naiilawan, kaya binibigyang-kahulugan nito ang mga bagay na may iba't ibang ilaw bilang nasa magkaibang distansya. Para sa epektong ito, ang mga spot ay humalili sa direksyon ng perspective axis - malalim sa imahe, hindi sa kabuuan nito. Halimbawa, kapag kumukuha ng isang modelo na nakahiga mula sa camera sa isang madilim na frame, maglagay ng mga highlight ng liwanag malapit sa puwit at malapit sa mga binti. Maaari mong liwanagan/padilim ang mga lugar sa post-processing.
Ang sunud-sunod na mga mas madidilim na bagay ay nakikitang bumababa. Sa pamamagitan ng unti-unting pag-shade ng mga bagay sa kahabaan ng aktibong linya, maaari kang makakuha ng banayad na pakiramdam ng pananaw. Sa katulad na paraan, ang lalim ay naihatid sa pamamagitan ng pagpapahina ng liwanag: magpatakbo ng isang bahid ng liwanag sa mga kasangkapan o sa sahig.
Ang isang three-dimensional na imahe ay maaaring makuha dahil sa hindi lamang liwanag, kundi pati na rin ang kaibahan ng kulay. Ang pamamaraan na ito ay kilala sa mga pintor ng Flemish, na naglagay ng mga maliliwanag na kulay na mga spot sa kanilang mga buhay pa. Magiging three-dimensional ang pulang granada at dilaw na lemon na magkatabi kahit sa flat frontal lighting. Sila ay lalabas lalo na sa background ng mga purple na ubas: isang mainit na kulay laban sa isang malamig na background. Ang mga matingkad na kulay na ibabaw ay lumalabas sa kadiliman nang maayos kahit na may mahinang liwanag na tipikal ng isang still life. Mas gumagana ang contrast ng kulay sa mga pangunahing kulay na pula, dilaw, asul, kaysa sa mga tints.
Sa isang itim na background, ang dilaw ay pasulong, ang asul ay nagtatago pabalik. Sa isang puting background - sa kabaligtaran. Pinahuhusay ng saturation ng kulay ang epektong ito. Bakit ito nangyayari? Ang dilaw na kulay ay hindi kailanman madilim, kaya ang utak ay tumangging maniwala na ang isang dilaw na bagay ay maaaring ilubog sa isang madilim na background, hindi iluminado. Si Blue naman ay madilim.
Ang pagpapahusay ng pananaw sa post-processing ay bumababa sa pagtulad sa atmospheric perception: ang malalayong bagay ay tila mas magaan, malabo, na may pinababang contrast sa liwanag, saturation at tono.
Bilang karagdagan sa mga malalayong distansya, ang mga epekto ng atmospera ay natural na tumingin sa ulap ng umaga, fog, mausok na bar. Isaalang-alang ang lagay ng panahon: sa isang maulap na araw o sa dapit-hapon, maaaring walang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng foreground at background.
Ang pinakamalakas sa mga salik ay ang kaibahan sa liwanag. Sa mga setting, ito ang karaniwang kaibahan. Bawasan ang contrast ng malalayong bagay, itaas ang contrast ng foreground - at ang imahe ay magiging umbok. Hindi ito tungkol sa contrast sa pagitan ng foreground at background, ngunit tungkol sa contrast ng background, na dapat ay mas mababa kaysa sa contrast ng foreground. Ang pamamaraang ito ay angkop hindi lamang para sa mga landscape at genre shooting, kundi pati na rin para sa mga studio portrait: itaas ang kaibahan ng harap ng mukha, bawasan ang kaibahan sa buhok at cheekbones, damit. Ang mga filter ng portrait ay gumagawa ng isang bagay na katulad, na nagpapalabo sa balat ng paksa at iniiwan ang mga mata at labi na matalas.
Ang pagsasaayos ng contrast ay ang pinakamadaling paraan upang gawin ang 3D post-processing ng isang imahe. Hindi tulad ng iba pang mga proseso, halos hindi mapapansin ng manonood ang mga pagbabago, na magpapanatili ng maximum na pagiging natural.
Ang pag-blur ay katulad ng pagbabawas ng contrast, ngunit magkaibang proseso ang mga ito. Maaaring mababa ang contrast ng imahe habang nananatiling matalim. Dahil sa limitadong lalim ng field, ang pag-blur ng malalayong bagay ay nananatiling pinakasikat na paraan upang maihatid ang three-dimensionality sa photography, at madali itong pagandahin sa pamamagitan ng pag-blur sa background sa post-processing. Samakatuwid, mas kaunting mga detalye ang dapat ilagay sa background - hindi inaasahan ng utak ang mga bagay na nakikilala sa malayo. Samantala, ang pagpapababa ng contrast ay mas mahusay na tumutugma sa natural na pang-unawa: ang malalayong bundok ay nakikita bilang low-contrast, hindi malabo, dahil kapag ang pag-scan sa landscape, ang mata ay patuloy na muling nakatuon, ang problema sa depth of field ay dayuhan dito. Sa pamamagitan ng pag-blur sa background, maaari mong sabay na patalasin ang foreground. Bukod pa rito, sa foreground, maaari mong pagandahin ang mga linya ng larawan (High Pass Filter o Clarity). Ito ay ang mataas na sharpness ng foreground na nagpapaliwanag ng katangian umbok ng imahe ng mataas na kalidad na mga lente. Mag-ingat: para sa kapakanan ng bahagyang pagtaas sa three-dimensionality, maaari mong gawing masyadong matigas ang imahe.
Ang mga mas magaan na bagay ay lumilitaw na mas malayo. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa kalikasan ay nakikita natin ang malalayong bagay sa pamamagitan ng kapal ng liwanag na nakakalat na hangin; ang malalayong bundok ay tila maliwanag. Sa landscape photography, samakatuwid, ang isa ay dapat mag-ingat tungkol sa posisyon ng mga magaan na bagay sa harapan.
Pagaan ang malalayong bagay. Habang malayo, mas nagsasama sila sa ningning at tono ng langit. Mangyaring tandaan na ang mga pahalang na bagay (lupa, dagat) ay mas mahusay na naiilaw kaysa sa mga patayo (mga pader, mga puno), kaya huwag lumampas sa pagpapagaan sa huli. Sa anumang kaso, ang mga bagay ay dapat manatiling kapansin-pansing hindi gaanong maliwanag kaysa sa kalangitan.
Well, kung mapapansin mo na ang brightening ay isa pang paraan para bawasan ang contrast sa brightness ng background. Padilim ng kaunti ang foreground para mapahusay ang epekto ng bulge.
Ito ay tila na sa interior ang kabaligtaran ay totoo. Kung sa kalye ang mata ay ginagamit sa katotohanan na ang distansya ay magaan, kung gayon sa silid ang liwanag ay madalas na nakatuon sa tao, at ang loob ay nahuhulog sa kadiliman; ang utak ay ginagamit sa pag-iilaw sa harapan, hindi sa background.
Sa mga panloob na larawan na may mababaw na lalim ng eksena, sa kaibahan sa mga larawang landscape, ang iluminadong modelo ay nakausli mula sa isang madilim na background. Ngunit mayroon ding isang kabaligtaran na kadahilanan: 99% ng kanyang ebolusyon, naobserbahan ng tao ang pananaw sa isang bukas na lugar, at sa pagdating ng mga silid, ang utak ay wala pang oras upang muling ayusin. Mas gusto ni Vermeer ang isang light background para sa mga portrait, at talagang matambok ang mga ito. Ang pag-iilaw ng isang vertical na background, na inirerekomenda sa photography, ay hindi lamang naghihiwalay sa modelo mula dito, ngunit din, sa pamamagitan ng pagpapagaan sa background, ay nagbibigay sa imahe ng isang bahagyang tatlong-dimensionality. Narito tayo ay nahaharap sa katotohanan na sinusuri ng utak ang lokasyon ng mga bagay ayon sa ilang mga kadahilanan, at maaari silang magkasalungatan.
Mukhang kawili-wili ang pag-iilaw ng studio, kung saan ang mga light spot ay namamalagi sa mga lugar ng modelo na malayo sa camera. Halimbawa, ang dibdib na mas malayo sa camera ay naka-highlight.
Ibaba ang saturation ng kulay sa malalayong bagay: dahil sa kapal ng hangin na naghihiwalay sa atin, ang malalayong bundok ay na-desaturated halos sa antas ng monochrome at natatakpan ng asul na ulap. Maaaring tumaas ang saturation ng foreground.
Dahil ang dilaw ay mapusyaw at ang asul at pula ay madilim, ang contrast ng kulay ay isa ring brightness contrast.
Ang pag-desaturasyon sa isang malayong background, huwag hayaang mawala ito sa paningin. Kadalasan, sa kabaligtaran, kailangan mong dagdagan ang saturation ng background upang mailabas ito. Ito ay mas mahalaga kaysa sa three-dimensionality.
Ang maraming tip para sa 3D photography ay tungkol sa kaibahan ng temperatura. Sa katunayan, ang epektong ito ay napakahina, madaling magambala ng kaibahan sa liwanag. Bilang karagdagan, ang kaibahan ng temperatura ay nakakainis, kapansin-pansin.
Ang mga napakalayo na bagay ay mukhang mas malamig dahil ang mainit na orange na ilaw ay nasisipsip ng hangin. Kapag kumukuha ng larawan ng isang modelo sa beach na may mga barko sa abot-tanaw sa background, babaan ang temperatura ng kulay ng malayong dagat at mga barko sa post-processing. Ang isang modelo sa isang pulang swimsuit ay lumabas mula sa asul na dagat, at isang modelo sa dilaw na liwanag ng isang street lamp ay lumabas mula sa mala-bughaw na takipsilim.
Ito ang hiwalay na toning: ginagawa naming mas mainit ang modelo, mas malamig ang background. Naiintindihan ng utak na walang magkakaibang mga temperatura ng kulay sa parehong eroplano, at nakikita ang gayong imahe bilang tatlong-dimensional, kung saan nakausli ang modelo mula sa background. Ang hiwalay na toning ay nagdaragdag ng lalim sa mga landscape: gawing mas mainit ang foreground, mas malamig ang background.
Isang mahalagang pagbubukod sa split toning: sa pagsikat at paglubog ng araw, ang malayong background ay hindi malamig sa lahat, ngunit mainit-init, na may dilaw at pula-orange na mga tono. Ang halatang solusyon - ang gumamit ng puting modelo sa isang purple na swimsuit - ay hindi gumagana dahil ang liwanag ng paglubog ng araw ay naglalagay din ng mainit na tint sa katawan ng modelo.
Upang buod, upang magbigay ng tatlong-dimensional na larawan batay sa mga epekto sa atmospera, kinakailangan na i-contrast ang foreground at background. Ang pangunahing pagsalungat ay ang karaniwang kaibahan: ang foreground ay contrasting, ang background ay low-contrast. Ang pangalawang pagsalungat ay nasa talas: ang foreground ay matalim, ang background ay malabo. Ang ikatlong pagsalungat ay ayon sa liwanag: ang harapan ay madilim, ang background ay liwanag. Ang ikaapat na pagsalungat ay sa pamamagitan ng saturation: ang mga kulay sa harapan ay puspos, ang mga kulay ng background ay desaturated. Ang ikalimang pagsalungat ay nasa temperatura: ang foreground ay mainit, ang background ay malamig.
Ang mga salik na ito ay kadalasang multidirectional. Ang dilaw ay mas maliwanag kaysa sa asul, at ang mga magagaan na bagay ay mas lumilitaw kaysa sa madilim. Natural lang na asahan ang dilaw na uurong at asul na lalapit sa manonood. Sa katunayan, ang kabaligtaran ay totoo: ang isang mainit na kulay ay lumalabas mula sa isang malamig na background. Iyon ay, ang kulay ay lumalabas na isang mas malakas na kadahilanan kaysa sa liwanag. Kung saan, sa pagmuni-muni, ay hindi nakakagulat: ang dilaw at pula ay malinaw na nakikilala lamang sa malapitan, at hindi inaasahan ng manonood na makikilala sila sa malayong distansya.
Bottom line: panatilihing low-contrast ang background, washed out, light, desaturated, bluish. At maging handa para sa katotohanan na ang manonood, na sanay sa hypertrophied 3D na mga pelikula, ay mahahanap ang three-dimensionality na iyong nilikha na halos hindi kapansin-pansin o wala.
Sa portraiture, pinakamainam na umasa sa napatunayang chiaroscuro effect, ang paglalaro ng liwanag at lilim sa mukha ng paksa, na gagawing medyo kitang-kita ang imahe. Sa genre na photography, ang pananaw ay nagbibigay ng pinaka-kapansin-pansing three-dimensional na epekto. Sa isang still life, ang pangunahing salik ay ang intersection (overlay) ng mga bagay.
Huwag madala ng pananaw; ito ay isang background lamang para sa pangharap na eroplano kung saan nanginginig ang iyong imahe. Sa modernong pagpipinta, malayo sa realismo, ang pananaw ay hindi pinahahalagahan.
I-download ang buong libro: pdfepubazw3mobifb2litTable of Contents
|
|||||||||||||||||||||
|
Noong 1904, iminungkahi ni Henri Poincare na ang anumang three-dimensional na bagay na may ilang mga katangian ng isang three-dimensional na globo ay maaaring gawing 3-sphere. Kinailangan ng 99 na taon upang patunayan ang hypothesis na ito. (Atensyon! Ang isang three-dimensional na globo ay hindi kung ano ang iniisip mo.) Pinatunayan ng Russian mathematician na si Grigory Perelman ang haka-haka ng Poincaré na ginawa isang daang taon na ang nakalilipas at natapos ang paglikha ng isang katalogo ng mga hugis ng mga three-dimensional na espasyo.
Iminungkahi ni Poincaré na ang 3-sphere ay natatangi at walang ibang compact na 3-manifold (Ang mga non-compact na manifold ay walang katapusan o may mga gilid. Sa sumusunod, ang mga compact manifold lamang ang isinasaalang-alang) na may mga katangian na nagpapasimple dito. Ang mas kumplikadong 3-manifold ay may mga hangganan na nakatayo tulad ng isang brick wall, o maraming koneksyon sa pagitan ng ilang lugar, tulad ng isang daanan sa kagubatan na nagsasawang-sawa at nag-uugnay muli. Anumang three-dimensional na bagay na may mga katangian ng isang 3-sphere ay maaaring mabago sa 3-sphere mismo, kaya para sa mga topologist ito ay isang kopya lamang nito. Ang patunay ni Perelman ay nagpapahintulot din sa amin na sagutin ang ikatlong tanong at uriin ang lahat ng umiiral na 3-manifold.
Kailangan mo ng isang patas na dami ng imahinasyon upang isipin ang isang 3-sphere. Sa kabutihang palad, marami itong pagkakatulad sa isang 2-sphere, isang tipikal na halimbawa kung saan ang goma ng isang bilog na lobo: ito ay dalawang-dimensional, dahil ang anumang punto dito ay binibigyan lamang ng dalawang coordinate - latitude at longitude. Kung isasaalang-alang natin ang isang sapat na maliit na seksyon nito sa ilalim ng isang malakas na magnifying glass, kung gayon ito ay tila isang piraso ng isang flat sheet. Para sa isang maliit na insekto na gumagapang sa isang lobo, ito ay lilitaw na isang patag na ibabaw. Ngunit kung ang booger ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ng sapat na katagalan, sa kalaunan ay babalik ito sa kanyang panimulang punto. Sa parehong paraan, makikita natin ang isang 3-sphere na kasinlaki ng ating Uniberso bilang "ordinaryong" three-dimensional na espasyo. Lumilipad ng sapat na malayo sa anumang direksyon, sa kalaunan ay "iikot namin ang mundo" dito at babalik sa panimulang punto.
Tulad ng maaaring nahulaan mo, ang isang n-dimensional na globo ay tinatawag na isang n-sphere. Halimbawa, pamilyar sa lahat ang 1-sphere: bilog lang ito.
Ang mga mathematician na nagpapatunay ng mga theorems tungkol sa mas mataas na-dimensional na mga puwang ay hindi kailangang isipin ang object ng pag-aaral: nakikitungo sila sa mga abstract na katangian, na ginagabayan ng mga intuition batay sa mga analogies na may mas kaunting mga sukat (ang ganitong mga analogies ay dapat tratuhin nang may pag-iingat at hindi literal). Isasaalang-alang din natin ang 3-sphere batay sa mga katangian ng mga bagay na may mas maliit na bilang ng mga sukat.
1. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isang bilog at sa nakatali nitong bilog. Para sa mga mathematician, ang bilog ay isang two-dimensional na bola, at ang bilog ay isang one-dimensional na globo. Dagdag pa, ang isang bola ng anumang dimensyon ay isang punong bagay, na kahawig ng isang pakwan, at isang globo ang ibabaw nito, na mas katulad ng isang lobo. Ang bilog ay one-dimensional, dahil ang posisyon ng isang punto dito ay maaaring tukuyin ng isang solong numero.
2. Mula sa dalawang bilog, maaari tayong bumuo ng dalawang-dimensional na globo, na gagawing Northern Hemisphere ang isa sa kanila, at ang isa naman ay nasa Timog. Ito ay nananatiling kola sa kanila, at ang 2-sphere ay handa na.
3. Isipin ang isang langgam na gumagapang mula sa North Pole sa isang malaking bilog na nabuo ng zero at ika-180 meridian (kaliwa). Kung imapa natin ang landas nito sa dalawang orihinal na bilog (sa kanan), makikita natin na ang insekto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya (1) sa gilid ng hilagang bilog (a), pagkatapos ay tumawid sa hangganan, tumama sa kaukulang punto sa timog na bilog at patuloy na sumusunod sa tuwid na linya (2 at 3). Pagkatapos ang langgam ay muling umabot sa gilid (b), tumawid dito at muling nahahanap ang sarili sa hilagang bilog, nagmamadali sa panimulang punto - ang North Pole (4). Tandaan na sa panahon ng isang round-the-world na paglalakbay sa 2-sphere, ang direksyon ng paggalaw ay baligtad kapag lumilipat mula sa isang bilog patungo sa isa pa.
4. Ngayon isaalang-alang ang aming 2-sphere at ang volume na nilalaman nito (isang three-dimensional na bola) at gawin sa kanila ang parehong bagay tulad ng sa bilog at sa bilog: kumuha ng dalawang kopya ng bola at idikit ang kanilang mga hangganan. Ito ay imposible, at hindi kinakailangan, upang malinaw na ipakita kung paano ang mga bola ay pangit sa apat na dimensyon at maging isang analogue ng hemispheres. Sapat na malaman na ang mga kaukulang punto sa mga ibabaw, i.e. Ang 2-sphere ay magkakaugnay sa parehong paraan tulad ng sa kaso ng mga bilog. Ang resulta ng pagsali sa dalawang bola ay isang 3-sphere - ang ibabaw ng isang four-dimensional na bola. (Sa apat na dimensyon, kung saan mayroong 3-sphere at 4-ball, ang ibabaw ng bagay ay three-dimensional.) Tawagin natin ang isang bola sa hilagang hemisphere at ang isa naman ay ang southern hemisphere. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga bilog, ang mga pole ay nasa gitna na ng mga bola.
5. Isipin na ang mga bola na pinag-uusapan ay malalaking walang laman na lugar ng espasyo. Sabihin nating umalis ang isang astronaut sa North Pole sakay ng rocket. Sa paglaon ay umabot ito sa ekwador (1), na ngayon ay ang globo na nakapalibot sa hilagang globo. Sa pagtawid nito, ang rocket ay pumapasok sa southern hemisphere at gumagalaw sa isang tuwid na linya sa pamamagitan ng gitna nito - ang South Pole - sa kabaligtaran ng ekwador (2 at 3). Doon, ang paglipat sa hilagang hemisphere ay nagaganap muli, at ang manlalakbay ay bumalik sa North Pole, i.e. sa panimulang punto (4). Ito ang senaryo para sa paglalakbay sa buong mundo sa ibabaw ng isang 4-dimensional na bola! Ang itinuturing na three-dimensional na globo ay ang espasyong tinutukoy sa haka-haka ng Poincare. Marahil ang ating Uniberso ay isang 3-sphere lamang.
Ang pangangatwiran ay maaaring pahabain sa limang dimensyon at bumuo ng 4 na globo, ngunit napakahirap isipin. Kung idikit natin ang dalawang n-ball sa kahabaan ng (n-1)-sphere na nakapalibot sa kanila, makakakuha tayo ng n-sphere na nagbubuklod sa (n+1)-ball.
Lumipas ang kalahating siglo bago lumabas ang haka-haka ng Poincare. Noong dekada 60. ika-20 siglo napatunayan ng mga mathematician ang mga pahayag na katulad nito para sa mga sphere na may lima o higit pang dimensyon. Sa bawat kaso, ang n-sphere ay talagang ang tanging at pinakasimpleng n-manifold. Kakatwa, naging mas madaling makakuha ng resulta para sa mga multidimensional na sphere kaysa sa 3- at 4-sphere. Ang patunay para sa apat na dimensyon ay lumitaw noong 1982. At tanging ang orihinal na haka-haka ng Poincaré tungkol sa 3-sphere ang nanatiling hindi nakumpirma.
Ang mapagpasyang hakbang ay ginawa noong Nobyembre 2002, nang si Grigory Perelman, isang mathematician mula sa St. Petersburg Department ng Mathematical Institute. Steklov, ay nagpadala ng isang artikulo sa site na www.arxiv.org, kung saan tinatalakay ng mga physicist at mathematician mula sa buong mundo ang mga resulta ng kanilang mga aktibidad na pang-agham. Agad na nakuha ng mga topologist ang koneksyon sa pagitan ng gawain ng siyentipikong Ruso at ng Poincaré hypothesis, bagaman hindi ito direktang binanggit ng may-akda.
Sa katunayan, ang patunay ni Perelman, ang kawastuhan na wala pang nakakapagtanong, ay lumulutas ng mas malawak na hanay ng mga tanong kaysa sa aktwal na haka-haka ng Poincare. Ang pamamaraan ng geometrization na iminungkahi ni William P. Thurston ng Cornell University ay nagbibigay-daan para sa isang kumpletong pag-uuri ng 3-manifolds batay sa 3-sphere, na natatangi sa kanyang napakahusay na pagiging simple. Kung mali ang haka-haka ng Poincare, i.e. kung mayroong maraming mga puwang na kasing simple ng isang globo, kung gayon ang pag-uuri ng 3-manifold ay magiging isang bagay na walang hanggan na mas kumplikado. Salamat kina Perelman at Thurston, mayroon kaming kumpletong catalog ng lahat ng anyo ng three-dimensional na espasyo na pinapayagan ng matematika na maaaring kunin ng ating uniberso (kung isasaalang-alang lamang natin ang espasyo na walang oras).
Upang mas maunawaan ang haka-haka ng Poincaré at ang patunay ni Perelman, dapat tingnan nang mabuti ang topology. Sa sangay na ito ng matematika, hindi mahalaga ang hugis ng isang bagay, na para bang ito ay gawa sa kuwarta, na maaaring iunat, i-compress, at baluktot sa anumang paraan. Bakit dapat nating isipin ang mga bagay o espasyo mula sa isang haka-haka na pagsubok? Ang katotohanan ay ang eksaktong hugis ng isang bagay - ang distansya sa pagitan ng lahat ng mga punto nito - ay tumutukoy sa antas ng istruktura, na tinatawag na geometry. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa isang bagay mula sa pagsubok, ang mga topologist ay nagbubunyag ng mga pangunahing katangian nito na hindi nakadepende sa geometric na istraktura. Ang pag-aaral ng topology ay tulad ng paghahanap ng mga pinakakaraniwang tampok na mayroon ang mga tao sa pamamagitan ng pagtingin sa isang "plasticine man" na maaaring gawing kahit sinong partikular na indibidwal.
Sa tanyag na literatura, madalas mayroong isang hackneyed assertion na, mula sa punto ng view ng topology, ang isang tasa ay hindi naiiba sa isang donut. Ang katotohanan ay ang isang tasa ng kuwarta ay maaaring maging isang donut sa pamamagitan lamang ng pagdurog ng materyal, i.e. walang dumidikit o gumagawa ng mga butas. Sa kabilang banda, upang makagawa ng isang donut mula sa isang bola, tiyak na kailangan mong gumawa ng isang butas dito o igulong ito sa isang silindro at bulagin ang mga dulo, upang ang bola ay hindi isang donut.
Ang mga topologist ay pinaka-interesado sa mga ibabaw ng isang sphere at isang donut. Samakatuwid, sa halip na mga solidong katawan, dapat isipin ng isa ang mga lobo. Ang kanilang topology ay iba pa rin, dahil ang isang spherical balloon ay hindi maaaring ma-convert sa isang ring balloon, na tinatawag na torus. Una, nagpasya ang mga siyentipiko na alamin kung gaano karaming mga bagay na may iba't ibang mga topolohiya ang umiiral at kung paano sila mailalarawan. Para sa 2-manifolds, na nakasanayan naming tumawag sa mga ibabaw, ang sagot ay elegante at simple: ang lahat ay tinutukoy ng bilang ng mga "butas" o, katumbas nito, ang bilang ng mga hawakan. Sa pagtatapos ng siglo XIX. Naisip ng mga mathematician kung paano pag-uri-uriin ang mga ibabaw at nalaman na ang pinakasimple sa lahat ay ang globo. Natural, ang mga topologist ay nagsimulang mag-isip tungkol sa 3-manifold: ang 3-sphere ba ay natatangi sa pagiging simple nito? Ang lumang kasaysayan ng paghahanap ng sagot ay puno ng mga maling hakbang at maling ebidensya.
Sinagot ni Henri Poincaré ang isyung ito nang seryoso. Isa siya sa dalawang pinakamakapangyarihang mathematician noong unang bahagi ng ika-20 siglo. (ang isa ay si David Hilbert). Siya ay tinawag na huling generalist - matagumpay siyang nagtrabaho sa lahat ng mga seksyon ng parehong dalisay at inilapat na matematika. Bilang karagdagan, si Poincaré ay gumawa ng isang malaking kontribusyon sa pag-unlad ng celestial mechanics, ang teorya ng electromagnetism, pati na rin sa pilosopiya ng agham, kung saan sumulat siya ng ilang mga sikat na libro.
Si Poincaré ay naging tagapagtatag ng algebraic topology at, gamit ang mga pamamaraan nito, noong 1900 ay bumuo ng isang topological na katangian ng isang bagay, na tinatawag na homotopy. Upang matukoy ang homotopy ng isang sari-sari, dapat isa sa pag-iisip na isawsaw ang isang closed loop dito. Pagkatapos ay dapat nating malaman kung laging posible na ikontrata ang loop sa isang punto sa pamamagitan ng paglipat nito sa loob ng manifold. Para sa isang torus, ang sagot ay magiging negatibo: kung maglalagay ka ng isang loop sa paligid ng circumference ng torus, kung gayon hindi ito posibleng ikontrata sa isang punto, dahil ang "butas" ng donut ay makagambala. Ang Homotopy ay ang bilang ng iba't ibang mga landas na maaaring pigilan ang loop mula sa pagkontrata.
Sa isang n-sphere, anumang, kahit na masalimuot na baluktot, loop ay maaaring palaging ma-unraveled at mahila sa isang punto. (Ang isang loop ay pinapayagang dumaan sa sarili nito.) Ipinapalagay ni Poincaré na ang 3-sphere ay ang tanging 3-manifold kung saan ang anumang loop ay maaaring makontrata sa isang punto. Sa kasamaang palad, hindi niya kailanman napatunayan ang kanyang haka-haka, na kalaunan ay nakilala bilang ang haka-haka ng Poincaré.
Ang pagsusuri ni Perelman ng 3-manifold ay malapit na nauugnay sa pamamaraan ng geometrization. Ang geometry ay tumatalakay sa aktwal na hugis ng mga bagay at manifold, hindi na gawa sa kuwarta, ngunit ng mga keramika. Halimbawa, ang isang tasa at isang bagel ay magkakaibang geometriko dahil ang kanilang mga ibabaw ay iba ang hubog. Ang tasa at donut ay sinasabing dalawang halimbawa ng isang topological torus na binigyan ng magkakaibang mga geometric na hugis.
Upang maunawaan kung bakit ginamit ni Perelman ang geometrization, isaalang-alang ang pag-uuri ng 2-manifold. Ang bawat topological surface ay itinalaga ng isang natatanging geometry na ang curvature ay pantay na ipinamamahagi sa buong manifold. Halimbawa, para sa isang globo, ito ay isang perpektong spherical na ibabaw. Ang isa pang posibleng geometry para sa isang topological sphere ay isang itlog, ngunit ang curvature nito ay hindi pantay na ipinamamahagi sa lahat ng dako: ang matalim na dulo ay mas hubog kaysa sa mapurol.
Ang 2-manifold ay bumubuo ng tatlong geometric na uri. Ang globo ay nailalarawan sa pamamagitan ng positibong kurbada. Ang isang geometrized torus ay flat at may zero curvature. Ang lahat ng iba pang 2-manifold na may dalawa o higit pang "butas" ay may negatibong kurbada. Ang mga ito ay tumutugma sa isang ibabaw na katulad ng isang siyahan, na kurba pataas sa harap at likod, at pababa sa kaliwa at kanan. Ang geometric na pag-uuri (geometrization) ng 2-manifold na ito ay binuo ni Poincare kasama sina Paul Koebe at Felix Klein, kung saan pinangalanan ang bote ng Klein.
Mayroong natural na pagnanais na mag-aplay ng katulad na paraan sa 3-manifolds. Posible bang makahanap para sa bawat isa sa kanila ng isang natatanging pagsasaayos, kung saan ang kurbada ay ipamahagi nang pantay-pantay sa buong manifold?
Ito ay lumabas na ang 3-manifold ay mas kumplikado kaysa sa kanilang dalawang-dimensional na mga katapat, at karamihan sa kanila ay hindi maaaring maiugnay sa isang homogenous na geometry. Dapat silang hatiin sa mga bahagi, na tumutugma sa isa sa walong canonical geometries. Ang pamamaraang ito ay kahawig ng pagkabulok ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Paano maaaring i-geometrize ng isang tao ang isang manifold at bigyan ito ng pare-parehong kurbada sa lahat ng dako? Kailangan mong kumuha ng ilang di-makatwirang geometry na may iba't ibang mga protrusions at recesses, at pagkatapos ay pakinisin ang lahat ng mga bumps. Noong unang bahagi ng 90s. ika-20 siglo Sinimulan ni Hamilton na suriin ang 3-manifold gamit ang Ricci flow equation, na pinangalanan sa mathematician na si Gregorio Ricci-Curbastro. Ito ay medyo katulad sa equation ng init, na naglalarawan sa mga daloy ng init na dumadaloy sa isang hindi pantay na pinainit na katawan hanggang sa maging pareho ang temperatura nito sa lahat ng dako. Sa parehong paraan, ang Ricci flow equation ay tumutukoy sa pagbabago sa curvature ng manifold, na humahantong sa pagkakahanay ng lahat ng ledges at depressions. Halimbawa, kung nagsimula ka sa isang itlog, unti-unti itong magiging spherical.
Nagdagdag si Perelman ng bagong termino sa Ricci flow equation. Hindi inalis ng pagbabagong ito ang problema sa singularity, ngunit nagbigay-daan para sa mas malalim na pagsusuri. Ipinakita ng siyentipikong Ruso na ang isang "kirurhiko" na operasyon ay maaaring isagawa sa isang hugis ng dumbbell na manifold: putulin ang isang manipis na tubo sa magkabilang panig ng umuusbong na kurot at i-seal ang mga bukas na tubo na nakausli mula sa mga bola na may mga spherical caps. Pagkatapos ay dapat mong ipagpatuloy ang pagbabago sa "operated" na manifold alinsunod sa Ricci flow equation, at ilapat ang pamamaraan sa itaas sa lahat ng lumalabas na mga kurot. Ipinakita rin ni Perelman na hindi maaaring lumitaw ang mga hugis ng tabako. Kaya, ang anumang 3-manifold ay maaaring bawasan sa isang hanay ng mga bahagi na may pare-parehong geometry.
Kapag ang Ricci flow at "surgery" ay inilapat sa lahat ng posibleng 3-manifold, alinman sa mga ito, kung ito ay kasing simple ng isang 3-sphere (sa madaling salita, ay may parehong homotopy), kinakailangang bumaba sa parehong homogenous na geometry , na kung saan ay at 3-sphere. Samakatuwid, mula sa topological point of view, ang manifold na isinasaalang-alang ay ang 3-sphere. Kaya ang 3-sphere ay natatangi.
Ang halaga ng mga artikulo ni Perelman ay namamalagi hindi lamang sa patunay ng haka-haka ng Poincare, kundi pati na rin sa mga bagong pamamaraan ng pagsusuri. Ginagamit na ng mga siyentipiko sa buong mundo ang mga resulta na nakuha ng Russian mathematician sa kanilang trabaho at inilalapat ang mga pamamaraan na binuo niya sa ibang mga lugar. Ito ay lumabas na ang daloy ng Ricci ay nauugnay sa tinatawag na renormalization group, na tumutukoy kung paano nagbabago ang lakas ng mga pakikipag-ugnayan depende sa enerhiya ng banggaan ng mga particle. Halimbawa, sa mababang enerhiya, ang lakas ng pakikipag-ugnayan ng electromagnetic ay nailalarawan sa bilang na 0.0073 (humigit-kumulang 1/137). Gayunpaman, kapag ang dalawang electron ay nagbanggaan sa halos bilis ng liwanag, ang puwersang ito ay lumalapit sa 0.0078. Ang matematika na naglalarawan ng pagbabago sa mga pisikal na puwersa ay halos kapareho sa matematika na naglalarawan sa geometrization ng isang manifold.
Ang pagtaas ng enerhiya ng banggaan ay katumbas ng lakas ng pag-aaral sa mas maikling distansya. Samakatuwid, ang pangkat ng renormalization ay parang isang mikroskopyo na may variable na kadahilanan ng magnification, na nagbibigay-daan sa iyong tuklasin ang proseso sa iba't ibang antas ng detalye. Katulad nito, ang daloy ng Ricci ay isang mikroskopyo para sa pagtingin sa mga manifold. Ang mga protrusions at depression na nakikita sa isang magnification ay nawawala sa isa pa. Malamang na sa sukat ng haba ng Planck (mga 10 -35 m) ang espasyo kung saan tayo nakatira ay parang foam na may kumplikadong topological na istraktura. Bilang karagdagan, ang mga equation ng pangkalahatang relativity, na naglalarawan sa mga katangian ng gravity at ang malakihang istraktura ng uniberso, ay malapit na nauugnay sa Ricci flow equation. Paradoxically, ang terminong Perelman na idinagdag sa expression na ginamit ni Hamilton ay lumilitaw sa string theory, na sinasabing ang quantum theory of gravity. Posible na sa mga artikulo ng Russian mathematician, ang mga siyentipiko ay makakahanap ng mas kapaki-pakinabang na impormasyon hindi lamang tungkol sa abstract 3-manifolds, kundi pati na rin tungkol sa espasyo kung saan tayo nakatira.
