Probability density ng isang tuluy-tuloy na random variable, ang kahulugan nito, mga katangian at graph. Panimula ng teorya ng probabilidad Ay isang function na isang probability density

Ehersisyo 1. Patuloy na density ng pamamahagi random variable Ang hitsura ni X ay:
Hanapin:
a) parameter A;
b) function ng pamamahagi F(x);
c) ang posibilidad ng isang random variable X na bumabagsak sa pagitan;
d) mathematical expectation MX at variance DX.
Gumuhit ng graph ng mga function na f(x) at F(x).

Gawain 2. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable X na ibinigay ng integral function.

Gawain 3. Hanapin ang mathematical expectation ng random variable X na ibinigay sa distribution function.

Gawain 4. Ang probability density ng ilang random variable ay ibinibigay bilang mga sumusunod: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Hanapin ang coefficient A, distribution function F(x), mathematical expectation at variance, pati na rin ang posibilidad na ang random variable ay magkakaroon ng value sa interval. Gumuhit ng mga graph na f(x) at F(x).

Gawain. Ang distribution function ng ilang tuluy-tuloy na random variable ay ibinibigay bilang mga sumusunod:

Tukuyin ang mga parameter a at b, maghanap ng expression para sa probability density f(x), mathematical expectation at variance, pati na rin ang probabilidad na ang random variable ay kukuha ng value sa interval. Gumuhit ng mga graph ng f(x) at F(x).

Hanapin natin ang function density ng pamamahagi, bilang derivative ng distribution function.
F′=f(x)=a
Alam na mahahanap natin ang parameter a:

o 3a=1, kung saan a = 1/3
Nahanap namin ang parameter b mula sa mga sumusunod na katangian:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 kung saan b = -1/3
Samakatuwid, ang distribution function ay may anyo: F(x) = (x-1)/3

Inaasahang halaga.


Pagpapakalat.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Hanapin natin ang posibilidad na ang random variable ay magkakaroon ng halaga sa pagitan
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Halimbawa Blg. 1. Ang probability distribution density f(x) ng isang tuluy-tuloy na random variable X ay ibinibigay. Kailangan:

1. Tukuyin ang coefficient A.
2. hanapin ang distribution function F(x) .
3. Bumuo ng eskematiko ng mga graph ng F(x) at f(x).
4. hanapin ang mathematical expectation at variance ng X.
5. hanapin ang posibilidad na ang X ay kukuha ng halaga mula sa pagitan (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Solusyon:

Ang random na variable X ay tinukoy ng density ng pamamahagi f(x):

Hanapin natin ang parameter A mula sa kundisyon:



o
14/3*A-1 = 0
saan,
A = 3 / 14

Ang function ng pamamahagi ay matatagpuan gamit ang formula.

4. Probability density ng tuluy-tuloy na random variable

Maaaring tukuyin ang tuluy-tuloy na random variable gamit ang distribution function F(x) . Ang pamamaraang ito ng pagtatalaga ay hindi lamang isa. Ang tuluy-tuloy na random na variable ay maaari ding tukuyin gamit ang isa pang function na tinatawag na distribution density o probability density (minsan tinatawag na differential function).

Kahulugan4.1: Distribution density ng tuluy-tuloy na random variable X tawagan ang function f (x) - ang unang derivative ng distribution function F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Mula sa kahulugang ito, sumusunod na ang function ng pamamahagi ay isang antiderivative ng density ng pamamahagi. Tandaan na ang density ng pamamahagi ay hindi naaangkop upang ilarawan ang probability distribution ng isang discrete random variable.

Probability ng isang tuluy-tuloy na random variable na bumabagsak sa isang naibigay na agwat

Alam ang density ng pamamahagi, maaari mong kalkulahin ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa isang naibigay na agwat.

Teorama: Ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay kukuha ng mga halaga na kabilang sa pagitan (a, b), ay katumbas ng isang tiyak na integral ng density ng pamamahagi, na kinuha sa hanay mula saadatib :

Patunay: Ginagamit namin ang ratio

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Ayon sa formula ng Newton-Leibniz,

kaya,

.

kasi P(a ≤ X b)= P(a X b) , pagkatapos ay nakuha namin sa wakas

.

Sa geometriko, ang nakuha na resulta ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod: ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (a, b), katumbas ng lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng axisbaka, kurba ng pamamahagif(x) at tuwidx = aAtx = b.

Komento: Sa partikular, kung f(x) – kahit function at ang mga dulo ng pagitan ay simetriko tungkol sa pinagmulan, kung gayon

.

Halimbawa. Ang probability density ng isang random variable ay ibinigay X

Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X kukuha ng mga halagang kabilang sa pagitan (0.5, 1).

Solusyon: Kinakailangang posibilidad

.

Ang paghahanap ng function ng pamamahagi mula sa isang kilalang density ng pamamahagi

Pag-alam sa density ng pamamahagi f(x) , mahahanap natin ang function ng pamamahagi F(x) ayon sa pormula

.

Talaga, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Kaya naman,

.

kaya, Alam ang density ng pamamahagi, mahahanap mo ang function ng pamamahagi. Siyempre, mula sa isang kilalang function ng pamamahagi ay mahahanap ng isa ang density ng pamamahagi, ibig sabihin:

f(x) = F"(x).

Halimbawa. Hanapin ang function ng pamamahagi para sa ibinigay na density ng pamamahagi:

Solusyon: Gamitin natin ang formula

Kung x ≤ a, Iyon f(x) = 0 , samakatuwid, F(x) = 0 . Kung a , pagkatapos f(x) = 1/(b-a),

kaya naman,

.

Kung x > b, Iyon

.

Kaya, ang kinakailangang function ng pamamahagi

Komento: Nakuha namin ang function ng pamamahagi ng isang pantay na ipinamamahagi na random na variable (tingnan ang pare-parehong pamamahagi).

Mga katangian ng density ng pamamahagi

Ari-arian 1: Ang density ng pamamahagi ay isang hindi negatibong function:

f ( x ) ≥ 0 .

Ari-arian 2: Ang hindi wastong integral ng density ng pamamahagi sa hanay mula -∞ hanggang ∞ ay katumbas ng pagkakaisa:

.

Komento: Tinatawag ang distribution density graph kurba ng pamamahagi.

Komento: Ang density ng pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay tinatawag ding batas sa pamamahagi.

Halimbawa. Ang density ng pamamahagi ng random variable ay may sumusunod na anyo:

Maghanap ng pare-parehong parameter a.

Solusyon: Ang densidad ng pamamahagi ay dapat matugunan ang kundisyon , kaya hihilingin namin na masiyahan ang pagkakapantay-pantay

.

Mula rito
. Hanapin natin ang hindi tiyak na integral:

.

Kalkulahin natin ang hindi wastong integral:

Kaya, ang kinakailangang parameter

.

Malamang na kahulugan ng density ng pamamahagi

Hayaan F(x) – distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable X. Sa pamamagitan ng kahulugan ng density ng pamamahagi, f(x) = F"(x) , o

.

Pagkakaiba F(x+∆x) -F(x) tinutukoy ang posibilidad na X kukuha ng halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆x). Kaya, ang limitasyon ng ratio ng posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆x), sa haba ng agwat na ito (sa ∆х→0) ay katumbas ng halaga ng density ng pamamahagi sa punto X.

Kaya ang function f(x) tinutukoy ang probability distribution density para sa bawat punto X. Mula sa differential calculus ay nalalaman na ang pagtaas ng isang function ay humigit-kumulang katumbas ng differential ng function, i.e.

kasi F"(x) = f(x) At dx = ∆ x, Iyon F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Ang probabilistikong kahulugan ng pagkakapantay-pantay na ito ay: ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆ x) ay humigit-kumulang katumbas ng produkto ng probability density sa punto x at ang haba ng interval ∆x.

Sa geometriko, ang resultang ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod: ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆ x) ay humigit-kumulang katumbas ng lugar ng isang parihaba na may base ∆х at taasf(x).

5. Karaniwang distribusyon ng mga discrete random variable

5.1. Pamamahagi ng Bernoulli

Depinisyon5.1: Random na halaga X, pagkuha ng dalawang halaga 1 At 0 may mga probabilidad ("tagumpay") p at (“kabiguan”) q, tinawag Bernoullievskaya:

, saan k=0,1.

5.2. Binomial na pamamahagi

Hayaan itong mabuo n mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A maaaring lumitaw o hindi. Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa lahat ng mga pagsubok ay pare-pareho at pantay p(kaya ang posibilidad na hindi mangyari q = 1 - p).

Isaalang-alang ang random variable X– bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa mga pagsubok na ito. Random na halaga X tumatagal ng mga halaga 0,1,2,… n na may mga probabilidad na kinakalkula gamit ang Bernoulli formula: , Saan k = 0,1,2,… n.

Kahulugan5.2: Binomial ay tinatawag na probability distribution na tinutukoy ng formula ni Bernoulli.

Halimbawa. Tatlong putok ang ipinutok sa target, at ang posibilidad na tamaan ang bawat putok ay 0.8. Isaalang-alang ang isang random na variable X– bilang ng mga hit sa target. Hanapin ang serye ng pamamahagi nito.

Solusyon: Random na halaga X tumatagal ng mga halaga 0,1,2,3 na may mga probabilidad na kinakalkula gamit ang Bernoulli formula, kung saan n = 3, p = 0,8 (posibilidad ng tama), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (probability ng nawawala).

Kaya, ang serye ng pamamahagi ay may sumusunod na anyo:

Gamitin ang formula ni Bernoulli para sa malalaking halaga n medyo mahirap, samakatuwid, upang kalkulahin ang kaukulang mga probabilidad, gamitin ang lokal na Laplace theorem, na nagbibigay-daan sa iyo upang humigit-kumulang na mahanap ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan nang eksakto. k isang beses bawat n mga pagsusulit, kung ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki.

Lokal na Laplace theorem: Kung ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A
na ang kaganapan A lalabas sa n eksaktong pagsusulit k beses, humigit-kumulang pantay (mas tumpak, mas n) halaga ng function
, saan
,
.

Tandaan1: Mga talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng function
, ay ibinigay sa Appendix 1, at
. Function ay ang density ng karaniwang normal na distribusyon (tingnan ang normal na distribusyon).

Halimbawa: Hanapin ang posibilidad na ang kaganapan A eksaktong darating 80 isang beses bawat 400 mga pagsubok kung ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang ito sa bawat pagsubok ay katumbas ng 0,2.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Kalkulahin natin ang halaga na tinutukoy ng data ng gawain x:
. Mula sa talahanayan sa Appendix 1 makikita natin
. Kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay magiging:

Kung kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na ang isang kaganapan A lalabas sa n hindi bababa sa mga pagsubok k 1 minsan at hindi na k 2 beses, pagkatapos ay kailangan mong gamitin ang integral theorem ng Laplace:

integral theorem ni Laplace: Kung ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba mula sa zero at isa, pagkatapos ay ang posibilidad
na ang kaganapan A lalabas sa n mga pagsubok mula sa k 1 dati k 2 beses, humigit-kumulang katumbas ng isang tiyak na integral

, saan
At
.

Sa madaling salita, ang posibilidad na ang isang kaganapan A lalabas sa n mga pagsubok mula sa k 1 dati k 2 beses, humigit-kumulang katumbas

saan
, At .

Tandaan 2: Function
tinatawag na Laplace function (tingnan ang normal na distribusyon). Mga talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng function , ay ibinigay sa Appendix 2, at
.

Halimbawa: Hanapin ang posibilidad na kabilang sa 400 Ang mga random na napiling bahagi ay lalabas na hindi pa nasusubok mula 70 hanggang 100 bahagi, kung ang posibilidad na ang bahagi ay hindi pumasa sa inspeksyon ng kontrol sa kalidad ay katumbas ng 0,2.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Kalkulahin natin ang mas mababa at itaas na mga limitasyon ng pagsasama:

;
.

Kaya mayroon kaming:

Mula sa talahanayan sa Appendix 2 makikita natin iyon
At
. Kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay:

Tandaan3: Sa isang serye ng mga independiyenteng pagsubok (kapag n ay malaki, p ay maliit), ang Poisson formula ay ginagamit upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap nang eksakto k beses (tingnan ang Poisson distribution).

5.3. Pamamahagi ng Poisson

Depinisyon5.3: Tinatawag ang isang discrete random variable Poisson, kung ang batas sa pamamahagi nito ay may sumusunod na anyo:

, saan
At
(patuloy na halaga).

Mga halimbawa ng Poisson random variable:

Bilang ng mga tawag sa isang awtomatikong istasyon sa loob ng isang yugto ng panahon T.

Ang bilang ng mga nabubulok na particle ng ilang radioactive substance sa loob ng isang yugto ng panahon T.

Bilang ng mga TV na dumarating sa workshop sa loob ng isang yugto ng panahon T sa malaking lungsod .

Bilang ng mga sasakyan na darating sa stop line ng isang intersection sa isang malaking lungsod .

Tandaan1: Ang mga espesyal na talahanayan para sa pagkalkula ng mga probabilidad na ito ay ibinibigay sa Appendix 3.

Tandaan 2: Sa isang serye ng mga independiyenteng pagsusulit (kung kailan n malaki, p ay hindi sapat) upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap nang eksakto k beses gamit ang formula ni Poisson:
, saan
, ibig sabihin, ang average na bilang ng mga paglitaw ng mga kaganapan ay nananatiling pare-pareho.

Tandaan3: Kung mayroong isang random na variable na ibinahagi ayon sa Poisson law, kung gayon mayroong isang random na variable na ipinamamahagi ayon sa exponential law at, vice versa (tingnan ang Exponential distribution).

Halimbawa. Ang halaman ay ipinadala sa base 5000 magandang kalidad ng mga produkto. Ang posibilidad na masira ang produkto sa pagpapadala ay katumbas ng 0,0002 . Hanapin ang posibilidad na eksaktong tatlong hindi magagamit na produkto ang darating sa base.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Hahanapin natin λ: λ = n.p.= 5000·0.0002 = 1.

Ayon sa formula ng Poisson, ang nais na posibilidad ay katumbas ng:

, nasaan ang random variable X– bilang ng mga hindi nagagamit na produkto.

5.4. Geometric na pamamahagi

Hayaang magsagawa ng mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang posibilidad ng kaganapan ay maganap A katumbas ng p(0 p

q = 1 - p. Nagtatapos ang mga hamon sa sandaling lumitaw ang kaganapan A. Kaya, kung ang isang kaganapan A lumabas sa k-ika na pagsubok, pagkatapos ay sa nakaraang k – 1 hindi ito lumitaw sa mga pagsubok.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng X discrete random variable - ang bilang ng mga pagsubok na kailangang isagawa bago ang unang paglitaw ng kaganapan A. Malinaw, ang mga posibleng halaga X ay mga integer x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Hayaan muna k-1 kaganapan sa pagsubok A hindi dumating, ngunit pumasok k- lumitaw ang ika-na pagsubok. Ang posibilidad ng "kumplikadong kaganapan" na ito, ayon sa teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, P (X = k) = q k -1 p.

Depinisyon5.4: Ang isang discrete random variable ay may geometric na pamamahagi, kung ang batas sa pamamahagi nito ay may sumusunod na anyo:

P ( X = k ) = q k -1 p , saan
.

Tandaan1: Naniniwala k = 1,2,… , nakukuha namin geometric na pag-unlad kasama ang unang miyembro p at denominador q (0q. Para sa kadahilanang ito, ang pamamahagi ay tinatawag na geometric.

Tandaan 2: hilera
nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng isa. Sa katunayan, ang kabuuan ng serye ay katumbas ng
.

Halimbawa. Ang baril ay pinaputok sa target hanggang sa gawin ang unang tama. Ang posibilidad ng pagtama ng target p = 0,6 . Hanapin ang posibilidad na magkaroon ng hit sa ikatlong shot.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Ang kinakailangang probabilidad ay:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0.6 = 0.096.

5.5. Hypergeometric distribution

Isaalang-alang natin ang sumusunod na problema. Ilabas ang party N magagamit ang mga produkto M pamantayan (MN). Random na kinuha mula sa batch n mga produkto (maaaring makuha ang bawat produkto na may parehong posibilidad), at ang napiling produkto ay hindi ibabalik sa batch bago piliin ang susunod (samakatuwid, ang Bernoulli formula ay hindi naaangkop dito).

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng X random variable - numero m karaniwang mga produkto sa n pinili. Pagkatapos ay ang mga posibleng halaga X ay magiging 0, 1, 2,…, min; Lagyan natin sila ng label at... Sa pamamagitan ng ang mga halaga ng independiyenteng variable (Fonds) ay gumagamit ng pindutan ( kabanata ...

Pang-edukasyon at metodolohikal na kumplikado para sa disiplina na "Pangkalahatang sikolohikal na workshop"

Pagsasanay at metodology complex

... metodolohikal mga tagubilin Sa pamamagitan ng pagpapatupad Praktikal na trabaho 5.1 Methodical mga rekomendasyon Sa pamamagitan ng pagpapatupad mga proyektong pang-edukasyon 5.2 Methodical mga rekomendasyon Sa pamamagitan ng... pagkamapagdamdam), one-dimensional at multidimensional... random sangkap sa laki... Kasama seksyon"Pagganap...

Pang-edukasyon at metodolohikal na kumplikado para sa disiplina ng pisika (pamagat)

Pagsasanay at metodology complex

... mga seksyon sa mga aklat-aralin. Pagtugon sa suliranin Sa pamamagitan ng bawat paksa. Elaborasyon metodolohikal mga tagubilin para sa gawaing laboratoryo Sa pamamagitan ng ... random at error sa pagsukat ng instrumental 1.8 Mga Paksa mga pagsubok At metodolohikal mga tagubilin Sa pamamagitan ng...Particle sa one-dimensional potensyal na butas. ...

Mga patnubay para sa gawaing laboratoryo sa disiplina ng computer science

Mga Alituntunin

... Methodical mga tagubilin para sa LABORATORY WORK Sa pamamagitan ng ... laki, at ang pinakamalaking halaga dami... array random mga numero... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) one-dimensional array b) two-dimensional array Fig. 2– Ang mga file... ay inilarawan sa seksyon pagpapatupad pagkatapos...

Inaasahang halaga

Pagpapakalat tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis ng Ox, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:

Layunin ng serbisyo. Online na calculator dinisenyo upang malutas ang mga problema kung saan alinman density ng pamamahagi f(x) o distribution function F(x) (tingnan ang halimbawa). Kadalasan sa mga ganitong gawain kailangan mong hanapin mathematical expectation, standard deviation, plot functions f(x) at F(x).

Mga tagubilin. Piliin ang uri ng source data: distribution density f(x) o distribution function F(x).

Ang density ng pamamahagi f(x) ay ibinibigay:

Ang distribution function na F(x) ay ibinigay:

Ang tuluy-tuloy na random na variable ay tinukoy ng probability density
(Batas sa pamamahagi ng Rayleigh - ginagamit sa engineering ng radyo). Hanapin ang M(x) , D(x) .

Ang random variable X ay tinatawag tuloy-tuloy , kung ang function ng pamamahagi nito F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay ginagamit upang kalkulahin ang posibilidad ng isang random variable na bumabagsak sa isang naibigay na pagitan:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Bukod dito, para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, hindi mahalaga kung ang mga hangganan nito ay kasama sa agwat na ito o hindi:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidad ng pamamahagi Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na function
f(x)=F’(x) , derivative ng distribution function.

Mga katangian ng density ng pamamahagi

1. Ang density ng pamamahagi ng random variable ay hindi negatibo (f(x) ≥ 0) para sa lahat ng value ng x.
2. Kondisyon ng normalisasyon:

Ang geometric na kahulugan ng kondisyon ng normalisasyon: ang lugar sa ilalim ng curve ng density ng pamamahagi ay katumbas ng pagkakaisa.
3. Maaaring kalkulahin ang posibilidad ng isang random variable X na bumabagsak sa pagitan mula α hanggang β gamit ang formula

Sa geometriko, ang posibilidad ng isang tuluy-tuloy na random na variable X na bumabagsak sa pagitan (α, β) ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid sa ilalim ng distribution density curve batay sa interval na ito.
4. Ang distribution function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng density tulad ng sumusunod:

Ang halaga ng density ng pamamahagi sa punto x ay hindi katumbas ng posibilidad ng pagtanggap ng halagang ito; para sa isang tuluy-tuloy na random na variable maaari lamang nating pag-usapan ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat. Hayaan mong . Ang posibilidad ng naturang kaganapan

P(X ≤ X ≤ X + Δ X) = F(X+ Δ X) – F(X),

mga. katumbas ng pagtaas ng function ng pamamahagi F(X) sa lugar na ito. Pagkatapos ang posibilidad sa bawat haba ng yunit, i.e. average na probability density sa lugar mula sa X dati X+ Δ X, ay katumbas

Paglipat sa limitasyon Δ X→ 0, nakukuha namin ang probability density sa punto X:

kumakatawan sa derivative ng distribution function F(X). Alalahanin na para sa isang tuluy-tuloy na random variable F(X) ay isang differentiable function.

Kahulugan. Densidad ng probabilidad (density ng pamamahagi ) f(x) ng tuluy-tuloy na random variable X ay ang hinango ng distribution function nito

f(x) = F′( x).

(4.8)

Tungkol sa isang random na variable X sabi nila meron daw distribution with density f(x) sa isang tiyak na seksyon ng x-axis.

Probability Density f(x), pati na rin ang function ng pamamahagi F(x) ay isa sa mga anyo ng batas sa pamamahagi. Ngunit hindi tulad ng function ng pamamahagi, umiiral lamang ito para sa tuluy-tuloy na mga random na variable.

Minsan tinatawag ang probability density pag-andar ng kaugalian o batas sa pamamahagi ng kaugalian. Tinatawag ang probability density plot kurba ng pamamahagi.

Halimbawa 4.4. Batay sa data sa Halimbawa 4.3, hanapin ang probability density ng random variable X.

Solusyon. Hahanapin natin ang probability density ng isang random variable bilang derivative ng distribution function nito f(x) = F"(x).

◄

Tandaan natin ang mga katangian ng probability density ng tuluy-tuloy na random variable.

1. Ang probability density ay isang non-negative na function, ibig sabihin.

Sa geometriko, ang posibilidad na mahulog sa pagitan [ α , β ,] ay katumbas ng lugar ng figure na nililimitahan mula sa itaas ng distribution curve at batay sa segment [ α , β ,] (Larawan 4.4).

kanin. 4.4 Fig. 4.5

3. Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng probability density ayon sa formula:

Mga katangiang geometriko 1 At 4 Ang probability density ay nangangahulugan na ang graph nito - ang distribution curve - ay hindi nasa ibaba ng abscissa axis, at ang kabuuang lugar ng figure na nalilimitahan ng distribution curve at ang abscissa axis ay katumbas ng isa.

Halimbawa 4.5. Function f(x) ay ibinibigay sa anyo:

Hanapin ang: a) halaga A; b) pagpapahayag ng function ng pamamahagi F(X); c) ang posibilidad na ang random variable X magkakaroon ng halaga sa pagitan.

Solusyon. a) Upang f(x) ay ang probability density ng ilang random variable X, ito ay dapat na hindi negatibo, samakatuwid ang halaga ay dapat na hindi negatibo A. Ibinigay ang ari-arian 4 nakita namin:

, saan A = .

b) Nahanap namin ang function ng pamamahagi gamit ang property 3 :

Kung x≤ 0, pagkatapos f(x) = 0 at, samakatuwid, F(x) = 0.

Kung 0< x≤ 2, pagkatapos f(x) = X/2 at samakatuwid

Kung X> 2, pagkatapos f(x) = 0 at samakatuwid

c) Ang posibilidad na ang random variable X magkakaroon ng halaga sa segment, makikita namin ito gamit ang property 2 .

Random variable ay isang variable na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa iba't ibang mga pangyayari, at Ang random variable ay tinatawag na tuluy-tuloy , kung maaari itong kumuha ng anumang halaga mula sa anumang limitado o walang limitasyong pagitan. Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, imposibleng ipahiwatig ang lahat ng posibleng mga halaga, kaya itinalaga namin ang mga agwat ng mga halagang ito na nauugnay sa ilang mga probabilidad.

Kabilang sa mga halimbawa ng tuluy-tuloy na random na variable ang: ang diameter ng isang bahagi na dinidiin sa isang partikular na laki, ang taas ng isang tao, ang flight range ng isang projectile, atbp.

Dahil para sa tuluy-tuloy na random variable ang function F(x), Hindi katulad discrete random variables, ay walang mga jump kahit saan, kung gayon ang posibilidad ng anumang indibidwal na halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay zero.

Nangangahulugan ito na para sa isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa pamamahagi ng posibilidad sa pagitan ng mga halaga nito: bawat isa sa kanila ay may zero na posibilidad. Gayunpaman, sa isang kahulugan, kabilang sa mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable mayroong "higit pa at mas malamang". Halimbawa, halos walang sinuman ang magdududa na ang halaga ng isang random na variable - ang taas ng isang random na nakatagpo na tao - 170 cm - ay mas malamang kaysa sa 220 cm, bagaman ang parehong mga halaga ay maaaring mangyari sa pagsasanay.

Distribution function ng tuluy-tuloy na random variable at probability density

Bilang isang batas sa pamamahagi na may katuturan lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable, ipinakilala ang konsepto ng density ng pamamahagi o density ng probability. Ating lapitan ito sa pamamagitan ng paghahambing ng kahulugan ng distribution function para sa tuluy-tuloy na random variable at para sa discrete random variable.

Kaya, ang distribution function ng isang random variable (parehong discrete at tuloy-tuloy) o integral function ay tinatawag na function na tumutukoy sa posibilidad na ang halaga ng isang random variable X mas mababa sa o katumbas ng halaga ng limitasyon X.

Para sa isang discrete random variable sa mga punto ng mga halaga nito x1 , x 2 , ..., x ako,... ang masa ng mga probabilidad ay puro p1 , p 2 , ..., p ako,..., at ang kabuuan ng lahat ng masa ay katumbas ng 1. Ilipat natin ang interpretasyong ito sa kaso ng tuluy-tuloy na random variable. Isipin natin na ang isang mass na katumbas ng 1 ay hindi puro sa mga indibidwal na punto, ngunit patuloy na "pinahiran" kasama ang abscissa axis Oh na may ilang hindi pantay na density. Probability ng isang random variable na bumabagsak sa anumang lugar Δ x ay bibigyang-kahulugan bilang masa bawat seksyon, at ang average na density sa seksyong iyon bilang ratio ng masa sa haba. Ipinakilala lang namin ang isang mahalagang konsepto sa teorya ng posibilidad: density ng pamamahagi.

Densidad ng probabilidad f(x) ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay ang derivative ng distribution function nito:

.

Ang pag-alam sa function ng density, maaari mong mahanap ang posibilidad na ang halaga ng isang tuluy-tuloy na random variable ay kabilang sa closed interval [ a; b]:

ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random variable X kukuha ng anumang halaga mula sa pagitan [ a; b], ay katumbas ng isang tiyak na integral ng probability density nito mula sa a dati b:

.

Sa kasong ito, ang pangkalahatang formula ng function F(x) probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable, na maaaring gamitin kung ang density function ay kilala f(x) :

.

Ang probability density graph ng isang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na distribution curve nito (figure below).

Lugar ng isang figure (shaded sa figure) bounded sa pamamagitan ng isang curve, tuwid na mga linya na iginuhit mula sa mga punto a At b patayo sa x-axis, at sa axis Oh, graphic na ipinapakita ang posibilidad na ang halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable X ay nasa saklaw ng a dati b.

Mga katangian ng probability density function ng isang tuluy-tuloy na random variable

1. Ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng anumang halaga mula sa pagitan (at ang lugar ng figure na nililimitahan ng graph ng function f(x) at axis Oh) ay katumbas ng isa:

2. Ang probability density function ay hindi maaaring kumuha ng mga negatibong halaga:

at sa labas ng pagkakaroon ng pamamahagi ay zero ang halaga nito

Densidad ng pamamahagi f(x), pati na rin ang function ng pamamahagi F(x), ay isa sa mga anyo ng batas sa pamamahagi, ngunit hindi katulad ng pagpapaandar ng pamamahagi, hindi ito pangkalahatan: ang density ng pamamahagi ay umiiral lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable.

Banggitin natin ang dalawang pinakamahalagang uri ng pamamahagi ng tuluy-tuloy na random variable sa pagsasanay.

Kung ang distribution density function f(x) tuluy-tuloy na random variable sa ilang may hangganang pagitan [ a; b] ay tumatagal ng isang pare-parehong halaga C, at sa labas ng pagitan ay tumatagal ng isang halaga na katumbas ng zero, pagkatapos ito ang pamamahagi ay tinatawag na uniporme .

Kung ang graph ng distribution density function ay simetriko tungkol sa gitna, ang mga average na halaga ay puro malapit sa gitna, at ang paglipat palayo sa gitna ay ang mga mas naiiba sa average ay kinokolekta (ang graph ng function ay kahawig ng isang seksyon ng isang bell), pagkatapos ito ang pamamahagi ay tinatawag na normal .

Halimbawa 1. Ang probability distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay kilala:

Maghanap ng function f(x) probability density ng tuluy-tuloy na random variable. Bumuo ng mga graph ng parehong function. Hanapin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa pagitan mula 4 hanggang 8: .

Solusyon. Nakukuha namin ang probability density function sa pamamagitan ng paghahanap ng derivative ng probability distribution function:

Graph ng isang function F(x) - parabola:

Graph ng isang function f(x) - tuwid:

Hanapin natin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa hanay mula 4 hanggang 8:

Halimbawa 2. Ang probability density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ibinibigay bilang:

Kalkulahin ang koepisyent C. Maghanap ng function F(x) probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable. Bumuo ng mga graph ng parehong function. Hanapin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa hanay mula 0 hanggang 5: .

Solusyon. Coefficient C nakita namin, gamit ang property 1 ng probability density function:

Kaya, ang probability density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay:

Sa pamamagitan ng pagsasama, nakita namin ang function F(x) mga pamamahagi ng posibilidad. Kung x < 0 , то F(x) = 0 . Kung 0< x < 10 , то

.

x> 10, pagkatapos F(x) = 1 .

Kaya, ang kumpletong talaan ng probability distribution function ay:

Graph ng isang function f(x) :

Graph ng isang function F(x) :

Hanapin natin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa hanay mula 0 hanggang 5:

Halimbawa 3. Probability density ng tuluy-tuloy na random variable X ay ibinibigay ng pagkakapantay-pantay , at . Maghanap ng coefficient A, ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable X kukuha ng anumang halaga mula sa interval ]0, 5[, ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable X.

Solusyon. Sa pamamagitan ng kondisyon ay nakarating tayo sa pagkakapantay-pantay

Samakatuwid, , mula saan . Kaya,

.

Ngayon nakita namin ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random variable X kukuha ng anumang halaga mula sa pagitan ]0, 5[:

Ngayon ay nakukuha natin ang distribution function ng random variable na ito:

Halimbawa 4. Hanapin ang probability density ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na kumukuha lamang ng mga hindi negatibong halaga, at ang function ng pamamahagi nito .