Tingnan kung ano ang "slough" sa ibang mga diksyunaryo. Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method System of linear algebraic equation ng ikaapat na order

Ang paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs) ay walang alinlangan ang pinakamahalagang paksa sa isang linear algebra course. Ang isang malaking bilang ng mga problema mula sa lahat ng sangay ng matematika ay bumaba sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ipinapaliwanag ng mga salik na ito ang dahilan ng artikulong ito. Ang materyal ng artikulo ay pinili at nakabalangkas upang sa tulong nito ay magagawa mo

• piliin ang pinakamainam na paraan para sa paglutas ng iyong sistema ng mga linear algebraic equation,
• pag-aralan ang teorya ng napiling pamamaraan,
• lutasin ang iyong sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga detalyadong solusyon sa karaniwang mga halimbawa at problema.

Maikling paglalarawan ng materyal ng artikulo.

Una, ibibigay namin ang lahat ng kinakailangang mga kahulugan, konsepto at ipakilala ang mga notasyon.

Susunod, isasaalang-alang natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at kung saan ay may natatanging solusyon. Una, tututukan natin ang pamamaraan ng Cramer, pangalawa, ipapakita natin ang pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation, at pangatlo, susuriin natin ang pamamaraang Gauss (ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable). Upang pagsama-samahin ang teorya, tiyak na malulutas namin ang ilang SLAE sa iba't ibang paraan.

Pagkatapos nito, magpapatuloy tayo sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang pangunahing matrix ng system ay isahan. Bumuo tayo ng Kronecker-Capelli theorem, na nagpapahintulot sa atin na itatag ang compatibility ng SLAEs. Suriin natin ang solusyon ng mga system (kung magkatugma ang mga ito) gamit ang konsepto ng isang batayang minor ng isang matrix. Isasaalang-alang din natin ang pamamaraang Gauss at ilalarawan nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa.

Tiyak na tatalakayin natin ang istruktura ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng linear algebraic equation. Ibigay natin ang konsepto ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at ipakita kung paano isinulat ang pangkalahatang solusyon ng isang SLAE gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Sa konklusyon, isasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga equation na maaaring mabawasan sa mga linear, pati na rin ang iba't ibang mga problema sa solusyon kung saan lumitaw ang mga SLAE.

Pag-navigate sa pahina.

Mga kahulugan, konsepto, pagtatalaga.

Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable (p ay maaaring katumbas ng n) ng form

Mga hindi kilalang variable, - coefficients (ilang tunay o kumplikadong mga numero), - libreng termino (real o kumplikadong mga numero din).

Ang form na ito ng pagtatala ng SLAE ay tinatawag coordinate.

SA anyo ng matris Ang pagsulat ng sistemang ito ng mga equation ay may anyo,
saan - ang pangunahing matrix ng system, - isang column matrix ng hindi kilalang mga variable, - isang column matrix ng mga libreng termino.

Kung magdaragdag tayo ng matrix-column ng mga libreng termino sa matrix A bilang (n+1)th column, makukuha natin ang tinatawag na pinahabang matrix sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang isang pinahabang matrix ay tinutukoy ng titik T, at ang haligi ng mga libreng termino ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay,

Paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation tinatawag na isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable na ginagawang mga pagkakakilanlan ang lahat ng mga equation ng system. Ang matrix equation para sa mga ibinigay na halaga ng hindi kilalang mga variable ay nagiging isang pagkakakilanlan din.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkasanib.

Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak; kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon - hindi sigurado.

Kung ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero , pagkatapos ay tinawag ang system homogenous, kung hindi - magkakaiba.

Paglutas ng mga elementary system ng linear algebraic equation.

Kung ang bilang ng mga equation ng isang system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang mga naturang SLAE ay tatawagin elementarya. Ang ganitong mga sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, at sa kaso ng isang homogenous na sistema, ang lahat ng hindi kilalang mga variable ay katumbas ng zero.

Nagsimula kaming mag-aral ng mga ganitong SLAE noong high school. Kapag nilulutas ang mga ito, kumuha kami ng isang equation, nagpahayag ng isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng iba at pinalitan ito sa natitirang mga equation, pagkatapos ay kinuha ang susunod na equation, ipinahayag ang susunod na hindi kilalang variable at pinalitan ito sa iba pang mga equation, at iba pa. O ginamit nila ang paraan ng pagdaragdag, iyon ay, nagdagdag sila ng dalawa o higit pang mga equation upang maalis ang ilang hindi kilalang mga variable. Hindi namin tatalakayin nang detalyado ang mga pamamaraang ito, dahil ang mga ito ay mahalagang pagbabago ng pamamaraang Gauss.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga elementary system ng linear equation ay ang Cramer method, ang matrix method at ang Gauss method. Ayusin natin sila.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng Cramer.

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay iba sa zero, iyon ay, .

Hayaan ang determinant ng pangunahing matrix ng system, at - mga determinant ng mga matrice na nakukuha mula sa A sa pamamagitan ng pagpapalit 1st, 2nd, …, nth column ayon sa pagkakasunod-sunod sa column ng mga libreng miyembro:

Sa notasyong ito, ang mga hindi kilalang variable ay kinakalkula gamit ang mga formula ng paraan ng Cramer bilang . Ito ay kung paano ang solusyon sa isang sistema ng mga linear algebraic equation ay matatagpuan gamit ang Cramer's method.

Halimbawa.

Pamamaraan ni Cramer .

Solusyon.

Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo . Kalkulahin natin ang determinant nito (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Dahil ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, ang system ay may natatanging solusyon na matatagpuan sa pamamaraan ni Cramer.

Bumuo tayo at kalkulahin ang mga kinakailangang determinant (nakukuha namin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column sa matrix A ng column ng mga free terms, ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng free terms, at sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong column ng matrix A ng column ng libreng terms) :

Paghahanap ng mga hindi kilalang variable gamit ang mga formula :

Sagot:

Ang pangunahing kawalan ng pamamaraan ni Cramer (kung matatawag itong disadvantage) ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng mga determinant kapag ang bilang ng mga equation sa system ay higit sa tatlo.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method (gamit ang inverse matrix).

Hayaang ibigay ang isang sistema ng mga linear algebraic equation sa anyong matrix, kung saan ang matrix A ay may dimensyon n ng n at ang determinant nito ay nonzero.

Dahil , ang matrix A ay invertible, iyon ay, mayroong isang inverse matrix. Kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa, makakakuha tayo ng formula para sa paghahanap ng matrix-column ng mga hindi kilalang variable. Ito ay kung paano namin nakuha ang isang solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method.

Halimbawa.

Lutasin ang sistema ng mga linear na equation pamamaraan ng matrix.

Solusyon.

Isulat muli natin ang sistema ng mga equation sa anyong matrix:

kasi

pagkatapos ay ang SLAE ay maaaring malutas gamit ang matrix method. Gamit ang inverse matrix, ang solusyon sa sistemang ito ay matatagpuan bilang .

Bumuo tayo ng inverse matrix gamit ang isang matrix mula sa algebraic na pagdaragdag ng mga elemento ng matrix A (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Ito ay nananatiling kalkulahin ang matrix ng mga hindi kilalang variable sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix sa isang matrix-column ng mga libreng miyembro (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Sagot:

o sa ibang notasyon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ang pangunahing problema kapag naghahanap ng mga solusyon sa mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method ay ang pagiging kumplikado ng paghahanap ng inverse matrix, lalo na para sa square matrices ng order na mas mataas kaysa sa ikatlo.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method.

Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa isang sistema ng n linear equation na may n hindi kilalang mga variable
ang determinant ng pangunahing matrix kung saan ay iba sa zero.

Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss binubuo ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable: una, ang x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo, at iba pa, hanggang sa ang hindi kilalang variable na x n na lang ang natitira. sa huling equation. Ang prosesong ito ng pagbabago ng mga equation ng system upang sunud-sunod na alisin ang mga hindi kilalang variable ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gaussian. Matapos makumpleto ang forward stroke ng Gaussian method, ang x n ay matatagpuan mula sa huling equation, gamit ang halagang ito mula sa penultimate equation, x n-1 ay kinakalkula, at iba pa, x 1 ay matatagpuan mula sa unang equation. Ang proseso ng pagkalkula ng mga hindi kilalang variable kapag lumilipat mula sa huling equation ng system hanggang sa una ay tinatawag kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian.

Ilarawan natin nang maikli ang algorithm para sa pag-aalis ng mga hindi kilalang variable.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Tanggalin natin ang hindi kilalang variable x 1 sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, sa pangalawang equation ng system ay idinagdag namin ang una, pinarami ng , sa ikatlong equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan at .

Narating namin ang parehong resulta kung ipinahayag namin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.

Susunod, nagpapatuloy kami sa isang katulad na paraan, ngunit sa bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, sa ikatlong equation ng system idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng , sa ikaapat na equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan at . Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.

Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos kami nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian hanggang sa makuha ng sistema ang anyo

Mula sa sandaling ito sinisimulan natin ang reverse ng Gaussian method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nahanap natin ang x 1 mula sa unang equation .

Halimbawa.

Lutasin ang sistema ng mga linear na equation Pamamaraan ng Gauss.

Solusyon.

Ibukod natin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, sa magkabilang panig ng pangalawa at pangatlong equation ay idinaragdag namin ang mga kaukulang bahagi ng unang equation, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon ay tinanggal namin ang x 2 mula sa ikatlong equation sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kaliwa at kanang bahagi nito sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng:

Kinukumpleto nito ang pasulong na stroke ng pamamaraang Gauss; sinisimulan natin ang reverse stroke.

Mula sa huling equation ng nagresultang sistema ng mga equation nakita namin ang x 3:

Mula sa pangalawang equation makuha namin.

Mula sa unang equation nakita namin ang natitirang hindi kilalang variable at sa gayon ay kumpletuhin ang reverse ng Gauss method.

Sagot:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga equation ng system p ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable n:

Ang mga naturang SLAE ay maaaring walang mga solusyon, may iisang solusyon, o may walang katapusang maraming solusyon. Nalalapat din ang pahayag na ito sa mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay parisukat at isahan.

Kronecker–Capelli theorem.

Bago maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation, kinakailangan upang maitatag ang pagiging tugma nito. Ang sagot sa tanong kung kailan tugma ang SLAE at kapag hindi tugma ay ibinibigay ng Kronecker–Capelli theorem:
Upang maging pare-pareho ang isang sistema ng mga p equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n), kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, iyon ay , Ranggo(A)=Ranggo(T).

Isaalang-alang natin, bilang isang halimbawa, ang aplikasyon ng Kronecker–Capelli theorem upang matukoy ang pagiging tugma ng isang sistema ng mga linear na equation.

Halimbawa.

Alamin kung ang sistema ng mga linear equation ay mayroon mga solusyon.

Solusyon.

. Gamitin natin ang paraan ng bordering menor de edad. Minor ng pangalawang order iba sa zero. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito:

Dahil ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero, ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng dalawa.

Sa turn, ang ranggo ng pinalawig na matrix ay katumbas ng tatlo, dahil ang menor de edad ay nasa ikatlong pagkakasunud-sunod

iba sa zero.

kaya, Ang Rang(A), samakatuwid, gamit ang Kronecker-Capelli theorem, maaari nating tapusin na ang orihinal na sistema ng mga linear na equation ay hindi pare-pareho.

Sagot:

Ang sistema ay walang solusyon.

Kaya, natutunan nating itatag ang hindi pagkakapare-pareho ng isang sistema gamit ang Kronecker–Capelli theorem.

Ngunit paano makahanap ng solusyon sa isang SLAE kung ang pagkakatugma nito ay itinatag?

Upang gawin ito, kailangan namin ang konsepto ng isang batayang minor ng isang matrix at isang teorama tungkol sa ranggo ng isang matrix.

Ang menor ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng matrix A, naiiba sa zero, ay tinatawag basic.

Mula sa kahulugan ng isang batayang minor ay sumusunod na ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng ranggo ng matris. Para sa isang non-zero matrix A, maaaring mayroong ilang batayang minor; palaging may isang batayang minor.

Halimbawa, isaalang-alang ang matrix .

Ang lahat ng mga third-order na menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na ito ay ang kabuuan ng mga katumbas na elemento ng una at ikalawang hanay.

Ang mga sumusunod na second-order minor ay basic, dahil hindi zero ang mga ito

Mga menor de edad ay hindi basic, dahil ang mga ito ay katumbas ng zero.

Teorama ng ranggo ng matrix.

Kung ang ranggo ng isang matrix ng order p by n ay katumbas ng r, kung gayon ang lahat ng row (at column) na elemento ng matrix na hindi bumubuo sa napiling batayang minor ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng katumbas na row (at column) na mga elemento na bumubuo. ang batayang menor.

Ano ang sinasabi sa atin ng matrix rank theorem?

Kung, ayon sa Kronecker–Capelli theorem, naitatag namin ang compatibility ng system, pagkatapos ay pipili kami ng anumang batayang minor ng pangunahing matrix ng system (ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng r), at ibubukod mula sa system ang lahat ng mga equation na ginagawa hindi bumubuo ng napiling batayang menor. Ang SLAE na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng orihinal, dahil ang mga itinapon na equation ay kalabisan pa rin (ayon sa matrix rank theorem, sila ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang equation).

Bilang resulta, pagkatapos itapon ang mga hindi kinakailangang equation ng system, posible ang dalawang kaso.

Kung ang bilang ng mga equation r sa resultang sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ito ay magiging tiyak at ang tanging solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Halimbawa.

.

Solusyon.

Ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng dalawa, dahil ang menor de edad ay nasa pangalawang pagkakasunud-sunod iba sa zero. Pinalawak na Ranggo ng Matrix ay katumbas din ng dalawa, dahil ang tanging ikatlong order na minor ay zero

at ang pangalawang-order na menor de edad na isinasaalang-alang sa itaas ay iba sa zero. Batay sa Kronecker–Capelli theorem, maaari nating igiit ang pagiging tugma ng orihinal na sistema ng mga linear equation, dahil Rank(A)=Rank(T)=2.

Bilang batayang minor ang kinukuha namin . Ito ay nabuo sa pamamagitan ng mga coefficient ng una at pangalawang equation:


Ang pangatlong equation ng system ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang menor, kaya hindi namin ito kasama sa system batay sa theorem sa ranggo ng matrix:


Ito ay kung paano namin nakuha ang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation. Lutasin natin ito gamit ang paraan ng Cramer:


Sagot:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Kung ang bilang ng mga equation r sa nagreresultang SLAE ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang variable n, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ay iniiwan natin ang mga terminong bumubuo sa batayang minor, at inililipat natin ang mga natitirang termino sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na tanda.

Ang mga hindi kilalang variable (r ng mga ito) na natitira sa kaliwang bahagi ng mga equation ay tinatawag pangunahing.

Ang mga hindi kilalang variable (may mga n - r na piraso) na nasa kanang bahagi ay tinatawag libre.

Ngayon naniniwala kami na ang mga libreng hindi kilalang variable ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, habang ang mga pangunahing hindi kilalang variable ay ipahahayag sa pamamagitan ng mga libreng hindi kilalang variable sa isang natatanging paraan. Ang kanilang expression ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang SLAE gamit ang Cramer method, ang matrix method, o ang Gauss method.

Tingnan natin ito sa isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation .

Solusyon.

Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system sa pamamagitan ng paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Kunin natin ang 1 1 = 1 bilang non-zero minor ng unang order. Simulan natin ang paghahanap para sa isang hindi zero na menor de edad ng pangalawang order na malapit sa menor de edad na ito:


Ito ay kung paano namin nakita ang isang non-zero minor ng pangalawang order. Simulan natin ang paghahanap ng non-zero bordering minor ng ikatlong order:


Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay tatlo. Ang ranggo ng pinalawig na matrix ay katumbas din ng tatlo, iyon ay, ang sistema ay pare-pareho.

Isinasaalang-alang namin ang nahanap na di-zero minor ng ikatlong order bilang batayan ng isa.

Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang mga elemento na bumubuo sa batayang minor:


Iniiwan namin ang mga terminong kasangkot sa batayang minor sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at inilipat ang natitira na may magkasalungat na mga palatandaan sa kanang bahagi:


Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable na x 2 at x 5 na mga arbitrary na halaga, ibig sabihin, tinatanggap natin , kung saan ang mga arbitrary na numero. Sa kasong ito, kukunin ng SLAE ang form


Lutasin natin ang nagreresultang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation gamit ang paraan ng Cramer:


Kaya naman, .

Sa iyong sagot, huwag kalimutang ipahiwatig ang mga libreng hindi kilalang variable.

Sagot:

Nasaan ang mga arbitrary na numero.

Ibuod.

Upang malutas ang isang sistema ng pangkalahatang linear algebraic equation, una naming tinutukoy ang pagiging tugma nito gamit ang Kronecker–Capelli theorem. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang sistema ay hindi tugma.

Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay pumili kami ng isang batayang menor at itapon ang mga equation ng sistema na hindi nakikilahok sa pagbuo ng napiling batayang menor.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ang SLAE ay may natatanging solusyon, na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng anumang paraan na alam natin.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang variable, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ay iniiwan namin ang mga termino na may pangunahing hindi kilalang mga variable, ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi at bigyan ng mga arbitrary na halaga sa ang mga libreng hindi kilalang variable. Mula sa nagresultang sistema ng mga linear equation ay makikita natin ang pangunahing hindi kilalang mga variable gamit ang Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Ang Gauss method ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation ng anumang uri nang hindi muna sinusubukan ang mga ito para sa consistency. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa parehong compatibility at incompatibility ng SLAE, at kung mayroong isang solusyon, ginagawang posible na mahanap ito.

Mula sa isang computational point of view, ang Gaussian method ay mas mainam.

Tingnan ang detalyadong paglalarawan nito at sinuri na mga halimbawa sa artikulong Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng pangkalahatang linear algebraic equation.

Pagsusulat ng pangkalahatang solusyon sa homogenous at inhomogeneous na linear algebraic system gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon.

Sa seksyong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa sabay-sabay na homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng mga linear algebraic equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Hayaan muna natin ang mga homogenous na sistema.

Pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous system ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable ay isang koleksyon ng (n – r) linearly independent solutions ng system na ito, kung saan ang r ay ang order ng batayang minor ng pangunahing matrix ng system.

Kung tinutukoy natin ang mga linearly independent na solusyon ng isang homogenous na SLAE bilang X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ay columnar matrices ng dimensyon n sa pamamagitan ng 1), pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistemang ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon na may mga di-makatwirang pare-parehong coefficient C 1, C 2, ..., C (n-r), na ay, .

Ano ang ibig sabihin ng terminong pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation (oroslau)?

Ang kahulugan ay simple: ang formula ay tumutukoy sa lahat ng posibleng solusyon ng orihinal na SLAE, sa madaling salita, kumukuha ng anumang hanay ng mga halaga ng mga di-makatwirang constants C 1, C 2, ..., C (n-r), gamit ang formula na gagawin namin. kumuha ng isa sa mga solusyon ng orihinal na homogenous na SLAE.

Kaya, kung makakita tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, maaari nating tukuyin ang lahat ng solusyon ng homogenous na SLAE na ito bilang .

Ipakita natin ang proseso ng pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE.

Pinipili namin ang batayang minor ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, ibubukod ang lahat ng iba pang equation mula sa system at ilipat ang lahat ng mga terminong naglalaman ng mga libreng hindi kilalang variable sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may magkasalungat na mga palatandaan. Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 1,0,0,...,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang elementarya na sistema ng mga linear na equation sa anumang paraan, halimbawa, gamit ang paraan ng Cramer. Magreresulta ito sa X (1) - ang unang solusyon ng pangunahing sistema. Kung bibigyan natin ang mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, makakakuha tayo ng X (2). At iba pa. Kung itatalaga namin ang mga halaga 0.0,…,0.1 sa mga libreng hindi kilalang variable at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, nakukuha namin ang X (n-r) . Sa ganitong paraan, ang isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE ay bubuo at ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring isulat sa form .

Para sa mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation, ang pangkalahatang solusyon ay kinakatawan sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system, at ang partikular na solusyon ng orihinal na inhomogeneous na SLAE, na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagbibigay sa mga libreng hindi alam ng mga halaga ​​0,0,...,0 at pagkalkula ng mga halaga ng mga pangunahing hindi alam.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon at ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng linear algebraic equation .

Solusyon.

Ang ranggo ng pangunahing matrix ng mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay palaging katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix gamit ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Bilang isang non-zero minor ng unang order, kinukuha namin ang elemento a 1 1 = 9 ng pangunahing matrix ng system. Hanapin natin ang bordering non-zero minor ng pangalawang order:

Ang isang menor de edad ng pangalawang order, naiiba sa zero, ay natagpuan. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito sa paghahanap ng hindi zero one:

Ang lahat ng third-order bordering minors ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng main at extended matrix ay katumbas ng dalawa. Kunin natin . Para sa kalinawan, tandaan natin ang mga elemento ng system na bumubuo nito:

Ang ikatlong equation ng orihinal na SLAE ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang minor, samakatuwid, maaari itong ibukod:

Iniiwan namin ang mga terminong naglalaman ng mga pangunahing hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation, at inililipat ang mga terminong may mga libreng hindi alam sa kanang bahagi:

Bumuo tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa orihinal na homogenous na sistema ng mga linear equation. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng SLAE na ito ay binubuo ng dalawang solusyon, dahil ang orihinal na SLAE ay naglalaman ng apat na hindi kilalang variable, at ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor nito ay katumbas ng dalawa. Upang mahanap ang X (1), binibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga x 2 = 1, x 4 = 0, pagkatapos ay nakita namin ang mga pangunahing hindi alam mula sa sistema ng mga equation
.

Ang sistema ng linear equation ay isang unyon ng n linear equation, bawat isa ay naglalaman ng k variable. Ito ay nakasulat tulad nito:

Marami, kapag nakatagpo ng mas mataas na algebra sa unang pagkakataon, ay nagkakamali na naniniwala na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang tumugma sa bilang ng mga variable. Sa algebra ng paaralan ito ay kadalasang nangyayari, ngunit para sa mas mataas na algebra ito ay karaniwang hindi totoo.

Ang solusyon sa isang sistema ng mga equation ay isang sequence ng mga numero (k 1, k 2, ..., k n), na siyang solusyon sa bawat equation ng system, i.e. kapag pinapalitan ang equation na ito sa halip na ang mga variable na x 1, x 2, ..., x n ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero.

Alinsunod dito, ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng hanay ng lahat ng mga solusyon nito o pagpapatunay na ang hanay na ito ay walang laman. Dahil ang bilang ng mga equation at ang bilang ng mga hindi alam ay maaaring hindi magkatugma, tatlong mga kaso ang posible:

1. Ang sistema ay hindi pare-pareho, i.e. ang hanay ng lahat ng mga solusyon ay walang laman. Isang medyo bihirang kaso na madaling matukoy kahit anong paraan ang ginagamit upang malutas ang system.
2. Ang sistema ay pare-pareho at determinado, i.e. may eksaktong isang solusyon. Ang klasikong bersyon, kilala mula noong paaralan.
3. Ang sistema ay pare-pareho at hindi natukoy, i.e. ay may walang katapusang maraming solusyon. Ito ang pinakamahirap na opsyon. Hindi sapat na ipahiwatig na "ang sistema ay may walang katapusang hanay ng mga solusyon" - kinakailangan upang ilarawan kung paano nakaayos ang hanay na ito.

Ang variable na x i ay tinatawag na pinapayagan kung ito ay kasama lamang sa isang equation ng system, at may coefficient na 1. Sa madaling salita, sa ibang mga equation ang coefficient ng variable x i ay dapat na katumbas ng zero.

Kung pipili tayo ng isang pinapayagang variable sa bawat equation, makakakuha tayo ng set ng mga pinapayagang variable para sa buong sistema ng mga equation. Ang system mismo, na nakasulat sa form na ito, ay tatawagin ding naresolba. Sa pangkalahatan, ang isa at ang parehong orihinal na sistema ay maaaring bawasan sa iba't ibang pinahihintulutan, ngunit sa ngayon ay hindi kami nag-aalala tungkol dito. Narito ang mga halimbawa ng mga pinahihintulutang sistema:

Ang parehong mga sistema ay nalutas na may paggalang sa mga variable x 1 , x 3 at x 4 . Gayunpaman, sa parehong tagumpay maaari itong maitalo na ang pangalawang sistema ay nalutas na may paggalang sa x 1, x 3 at x 5. Ito ay sapat na upang muling isulat ang pinakahuling equation sa anyong x 5 = x 4.

Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso. Magkaroon tayo ng k variable sa kabuuan, kung saan ang r ay pinapayagan. Pagkatapos ay posible ang dalawang kaso:

1. Ang bilang ng mga pinapayagang variable r ay katumbas ng kabuuang bilang ng mga variable k: r = k. Kumuha kami ng isang sistema ng mga k equation kung saan pinapayagan ng r = k ang mga variable. Ang ganitong sistema ay magkasanib at tiyak, dahil x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Ang bilang ng mga pinapayagang variable r ay mas mababa sa kabuuang bilang ng mga variable k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Kaya, sa mga system sa itaas, ang mga variable na x 2, x 5, x 6 (para sa unang sistema) at x 2, x 5 (para sa pangalawa) ay libre. Ang kaso kapag may mga libreng variable ay mas mahusay na nabuo bilang isang teorama:

Mangyaring tandaan: ito ay isang napakahalagang punto! Depende sa kung paano mo isusulat ang resultang sistema, ang parehong variable ay maaaring pinapayagan o libre. Inirerekomenda ng karamihan sa mga mas matataas na guro sa matematika ang pagsulat ng mga variable sa pagkakasunud-sunod ng lexicographic, i.e. pataas na index. Gayunpaman, wala kang obligasyon na sundin ang payong ito.

Teorama. Kung sa isang sistema ng n equation ang mga variable na x 1, x 2, ..., x r ay pinapayagan, at x r + 1, x r + 2, ..., x k ay libre, kung gayon:

1. Kung itinakda namin ang mga halaga ng mga libreng variable (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), at pagkatapos ay hanapin ang mga halaga x 1, x 2, ..., x r, nakakakuha tayo ng isa sa mga desisyon.
2. Kung sa dalawang solusyon ang mga halaga ng mga libreng variable ay nag-tutugma, kung gayon ang mga halaga ng pinapayagan na mga variable ay nag-tutugma din, i.e. pantay ang mga solusyon.

Ano ang kahulugan ng teorama na ito? Upang makuha ang lahat ng mga solusyon sa isang nalutas na sistema ng mga equation, sapat na upang ihiwalay ang mga libreng variable. Pagkatapos, ang pagtatalaga ng iba't ibang mga halaga sa mga libreng variable, makakakuha tayo ng mga handa na solusyon. Iyon lang - sa ganitong paraan maaari mong makuha ang lahat ng mga solusyon ng system. Walang ibang solusyon.

Konklusyon: ang nalutas na sistema ng mga equation ay palaging pare-pareho. Kung ang bilang ng mga equation sa isang nalutas na sistema ay katumbas ng bilang ng mga variable, ang sistema ay magiging tiyak; kung mas kaunti, ito ay hindi tiyak.

At lahat ay magiging maayos, ngunit ang tanong ay lumitaw: kung paano makakuha ng isang nalutas mula sa orihinal na sistema ng mga equation? Para dito mayroong

Form ng matrix

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring katawanin sa matrix form bilang:

o, ayon sa matrix multiplication rule,

AX = B.

Kung ang isang hanay ng mga libreng termino ay idinagdag sa isang matrix A, kung gayon ang A ay tinatawag na isang pinalawak na matrix.

Mga paraan ng solusyon

Ang mga direktang (o eksaktong) pamamaraan ay nagbibigay-daan sa iyo na makahanap ng solusyon sa isang tiyak na bilang ng mga hakbang. Ang mga iterative na pamamaraan ay batay sa paggamit ng isang umuulit na proseso at pinapayagan ang isa na makakuha ng solusyon bilang resulta ng sunud-sunod na pagtatantya

Mga direktang pamamaraan

• Pamamaraan ng pagpasa(Para sa tridiagonal matrices)
• Cholesky decomposition o ang square root method (para sa positibong tiyak simetriko at Hermitian matrice)

Mga pamamaraang umuulit

Paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation sa VBA

Opsyon Explicit Sub rewenie() Dim i Bilang Integer Dim j Bilang Integer Dim r() Bilang Double Dim p Bilang Double Dim x() Bilang Double Dim k Bilang Integer Dim n Bilang Integer Dim b() Bilang Double Dim file Bilang Integer Dim y () Bilang Double file = FreeFile Buksan ang "C:\data.txt" Para sa Input Bilang file Input #file, n ReDim x(0 To n * n - 1 ) Bilang Double ReDim y(0 To n - 1 ) Bilang Double ReDim r(0 Hanggang n - 1 ) Bilang Doble Para sa i = 0 Hanggang n - 1 Para sa j = 0 Hanggang n - 1 Input #file, x(i * n + j) Susunod j Input #file, y(i) Susunod i Isara ang #file Para sa i = 0 Sa n - 1 p = x(i * n + i) Para sa j = 1 Sa n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Susunod j y (i) = y(i) / p Para sa j = i + 1 Sa n - 1 p = x(j * n + i) Para sa k = i Sa n - 1 x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p Susunod k y(j) = y(j) - y(i) * p Susunod j Susunod i "Upper triangular matrix Para sa i = n - 1 Hanggang 0 Hakbang -1 p = y(i) Para sa j = i + 1 Upang n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Susunod j r(i) = p / x(i * n + i) Susunod i " Baliktarin ang paglipat Para sa i = 0 Sa n - 1 MsgBox r(i) Susunod na i "End Sub

Tingnan din

Mga link

Mga Tala

Wikimedia Foundation. 2010.

Tingnan kung ano ang "SLAU" sa ibang mga diksyunaryo:

SLAU- isang sistema ng mga linear algebraic equation... Diksyunaryo ng mga pagdadaglat at pagdadaglat

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Slough (mga kahulugan). Lungsod at unitaryong yunit ng Slough Slough Bansa ... Wikipedia

- (Slough) isang lungsod sa Great Britain, bilang bahagi ng industrial belt na nakapalibot sa Greater London, sa London-Bristol railway. 101.8 libong mga naninirahan (1974). Mechanical engineering, electrical, electronic, automotive at kemikal... ... Great Soviet Encyclopedia

Slough- (Slough)Slough, isang pang-industriya at komersyal na bayan sa Berkshire, timog. England, kanluran ng London; 97,400 naninirahan (1981); Nagsimulang umunlad ang magaan na industriya sa pagitan ng mga digmaang pandaigdig... Mga bansa sa mundo. Diksyunaryo

Slough: Slough (eng. Slough) isang lungsod sa England, sa county ng Berkshire SLAOU System of linear algebraic equation ... Wikipedia

Munisipalidad ng Röslau Eskudo ... Wikipedia

Lungsod ng Bad Vöslau Bad Vöslau Eskudo ... Wikipedia

Ang mga pamamaraan ng projection para sa paglutas ng mga SLAE ay isang klase ng mga umuulit na pamamaraan kung saan ang problema sa pag-project ng hindi kilalang vector sa isang partikular na espasyo ay pinakamainam na nauugnay sa isa pang partikular na espasyo. Nilalaman 1 Pahayag ng problema ... Wikipedia

Lungsod ng Bad Vöslau Bad Vöslau Bansa AustriaAustria ... Wikipedia

Ang pangunahing sistema ng mga solusyon (FSS) ay isang set ng mga linearly independent na solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga equation. Mga Nilalaman 1 Mga sistemang magkakatulad 1.1 Halimbawa 2 Mga sistemang magkakatulad ... Wikipedia

Mga libro

• Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagpapanumbalik ng imahe, spectroscopy at tomography sa MatLab (+CD), Sizikov Valery Sergeevich. Binabalangkas ng aklat ang paggamit ng apparatus ng integral equation (IE), system ng linear algebraic equation (SLAE) at system ng linear-nlinear equation (SLNE), pati na rin ang software...

Sa paaralan, ang bawat isa sa atin ay nag-aral ng mga equation at, malamang, mga sistema ng mga equation. Ngunit hindi alam ng maraming tao na may ilang mga paraan upang malutas ang mga ito. Ngayon ay susuriin natin nang detalyado ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation na binubuo ng higit sa dalawang pagkakapantay-pantay.

Kwento

Ngayon ay kilala na ang sining ng paglutas ng mga equation at ang kanilang mga sistema ay nagmula sa Sinaunang Babylon at Egypt. Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay sa kanilang pamilyar na anyo ay lumitaw pagkatapos ng paglitaw ng pantay na tanda na "=", na ipinakilala noong 1556 ng English mathematician Record. Sa pamamagitan ng paraan, ang sign na ito ay pinili para sa isang kadahilanan: nangangahulugan ito ng dalawang magkatulad na pantay na mga segment. Sa katunayan, walang mas mahusay na halimbawa ng pagkakapantay-pantay.

Ang nagtatag ng modernong mga pagtatalaga ng titik para sa mga hindi alam at mga senyales ng mga degree ay isang Pranses na matematiko. Gayunpaman, ang kanyang mga pagtatalaga ay makabuluhang naiiba mula sa mga ngayon. Halimbawa, tinukoy niya ang isang parisukat ng isang hindi kilalang numero na may titik Q (lat. "quadratus"), at isang kubo na may titik C (lat. "cubus"). Ang notasyong ito ay tila awkward ngayon, ngunit sa panahong iyon ito ang pinaka-maiintindihan na paraan upang magsulat ng mga sistema ng linear algebraic equation.

Gayunpaman, ang isang kapintasan sa mga pamamaraan ng solusyon noong panahong iyon ay ang mga mathematician ay isinasaalang-alang lamang ang mga positibong ugat. Ito ay maaaring dahil sa ang katunayan na ang mga negatibong halaga ay walang praktikal na paggamit. Sa isang paraan o iba pa, ang mga Italian mathematician na sina Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano at Raphael Bombelli ang unang nagbilang ng mga negatibong ugat noong ika-16 na siglo. At ang modernong anyo, ang pangunahing paraan ng solusyon (sa pamamagitan ng discriminant) ay nilikha lamang noong ika-17 siglo salamat sa gawain nina Descartes at Newton.

Noong kalagitnaan ng ika-18 siglo, nakahanap ng bagong paraan ang Swiss mathematician na si Gabriel Cramer para gawing mas madali ang paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Ang pamamaraang ito ay pinangalanan pagkatapos niya at ginagamit pa rin namin ito hanggang ngayon. Ngunit pag-uusapan natin ang pamamaraan ng Cramer sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon ay talakayin natin ang mga linear na equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito nang hiwalay sa system.

Linear na equation

Ang mga linear na equation ay ang pinakasimpleng equation na may variable (mga variable). Ang mga ito ay inuri bilang algebraic. nakasulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Kakailanganin nating katawanin ang mga ito sa form na ito kapag nag-compile ng mga system at matrice sa ibang pagkakataon.

Mga sistema ng linear algebraic equation

Ang kahulugan ng terminong ito ay: ito ay isang hanay ng mga equation na may karaniwang hindi kilalang dami at isang karaniwang solusyon. Bilang isang patakaran, sa paaralan ang lahat ay nalutas ang mga sistema na may dalawa o kahit tatlong equation. Ngunit may mga system na may apat o higit pang mga bahagi. Unawain muna natin kung paano isulat ang mga ito upang maging maginhawang malutas sa hinaharap. Una, ang mga sistema ng linear algebraic equation ay magiging mas maganda kung ang lahat ng mga variable ay isusulat bilang x na may naaangkop na subscript: 1,2,3, at iba pa. Pangalawa, ang lahat ng equation ay dapat dalhin sa canonical form: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Matapos ang lahat ng mga hakbang na ito, maaari nating simulan ang pag-usapan kung paano maghanap ng mga solusyon sa mga sistema ng mga linear na equation. Ang mga matrice ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para dito.

Mga matrice

Ang isang matrix ay isang talahanayan na binubuo ng mga hilera at haligi, at sa kanilang intersection ay ang mga elemento nito. Ang mga ito ay maaaring maging partikular na mga halaga o mga variable. Kadalasan, upang ipahiwatig ang mga elemento, ang mga subscript ay inilalagay sa ilalim ng mga ito (halimbawa, isang 11 o isang 23). Ang unang index ay nangangahulugan ng row number, at ang pangalawa - ang column number. Maaaring isagawa ang iba't ibang mga operasyon sa mga matrice, tulad ng anumang iba pang elemento ng matematika. Kaya, maaari mong:

2) I-multiply ang isang matrix sa anumang numero o vector.

3) Transpose: gawing mga column ang mga matrix row, at mga column sa mga row.

4) I-multiply ang mga matrice kung ang bilang ng mga row ng isa sa mga ito ay katumbas ng bilang ng mga column ng isa pa.

Talakayin natin ang lahat ng mga diskarteng ito nang mas detalyado, dahil magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin sa hinaharap. Ang pagbabawas at pagdaragdag ng mga matrice ay napakasimple. Dahil kumukuha kami ng mga matrice na may parehong laki, ang bawat elemento ng isang talahanayan ay nauugnay sa bawat elemento ng isa pa. Kaya, idinaragdag namin (ibawas) ang dalawang elementong ito (mahalaga na sila ay nakatayo sa parehong mga lugar sa kanilang mga matrice). Kapag nagpaparami ng matrix sa isang numero o vector, i-multiply mo lang ang bawat elemento ng matrix sa numerong iyon (o vector). Ang transposing ay isang napaka-interesante na proseso. Napaka-interesante na minsan ay makita ito sa totoong buhay, halimbawa, kapag binabago ang oryentasyon ng isang tablet o telepono. Ang mga icon sa desktop ay kumakatawan sa isang matrix, at kapag nagbago ang posisyon, ito ay lumilipat at nagiging mas malawak, ngunit bumababa sa taas.

Tingnan natin ang isa pang proseso tulad ng: Bagama't hindi natin ito kakailanganin, magiging kapaki-pakinabang pa rin na malaman ito. Maaari mo lamang i-multiply ang dalawang matrice kung ang bilang ng mga column sa isang table ay katumbas ng bilang ng mga row sa kabilang table. Ngayon kunin natin ang mga elemento ng isang hilera ng isang matrix at ang mga elemento ng kaukulang column ng isa pa. I-multiply natin ang mga ito sa isa't isa at pagkatapos ay idagdag ang mga ito (iyon ay, halimbawa, ang produkto ng mga elemento a 11 at a 12 sa b 12 at b 22 ay magiging katumbas ng: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Kaya, ang isang elemento ng talahanayan ay nakuha, at ito ay napuno sa karagdagang gamit ang isang katulad na paraan.

Ngayon ay maaari nating simulan na isaalang-alang kung paano nalulutas ang isang sistema ng mga linear na equation.

Pamamaraan ng Gauss

Ang paksang ito ay nagsisimulang talakayin sa paaralan. Alam namin ang konsepto ng "isang sistema ng dalawang linear equation" at alam namin kung paano lutasin ang mga ito. Ngunit paano kung ang bilang ng mga equation ay higit sa dalawa? Makakatulong ito sa atin

Siyempre, maginhawang gamitin ang pamamaraang ito kung gagawa ka ng matrix sa labas ng system. Ngunit hindi mo kailangang baguhin ito at lutasin ito sa dalisay nitong anyo.

Kaya, paano malulutas ng pamamaraang ito ang sistema ng mga linear na Gaussian equation? Sa pamamagitan ng paraan, kahit na ang pamamaraang ito ay ipinangalan sa kanya, natuklasan ito noong sinaunang panahon. Iminumungkahi ni Gauss ang mga sumusunod: upang magsagawa ng mga operasyon na may mga equation upang tuluyang mabawasan ang buong set sa isang stepwise na anyo. Iyon ay, ito ay kinakailangan na mula sa itaas hanggang sa ibaba (kung inayos nang tama) mula sa unang equation hanggang sa huling hindi kilalang bumababa. Sa madaling salita, kailangan nating tiyakin na nakukuha natin, sabihin nating, tatlong equation: sa una ay may tatlong hindi alam, sa pangalawa ay dalawa, sa pangatlo ay may isa. Pagkatapos, mula sa huling equation ay makikita natin ang unang hindi alam, palitan ang halaga nito sa pangalawa o unang equation, at pagkatapos ay hanapin ang natitirang dalawang variable.

Paraan ng Cramer

Upang makabisado ang pamamaraang ito, mahalagang magkaroon ng mga kasanayan sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice, at kailangan mo ring makahanap ng mga determinant. Samakatuwid, kung gagawin mo ang lahat ng ito nang hindi maganda o hindi mo alam kung paano, kailangan mong matuto at magsanay.

Ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito, at kung paano ito gagawin upang makuha ang isang sistema ng mga linear na Cramer equation? Napakasimple ng lahat. Dapat tayong bumuo ng isang matrix ng numerical (halos palaging) coefficients ng isang sistema ng linear algebraic equation. Upang gawin ito, kukunin lang namin ang mga numero sa harap ng mga hindi alam at ayusin ang mga ito sa isang talahanayan sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito sa system. Kung mayroong isang "-" sign sa harap ng numero, pagkatapos ay isulat namin ang isang negatibong koepisyent. Kaya, pinagsama-sama namin ang unang matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam, hindi kasama ang mga numero pagkatapos ng pantay na mga palatandaan (natural, ang equation ay dapat na bawasan sa canonical form, kapag ang numero lamang ang nasa kanan, at ang lahat ng hindi alam na may mga coefficient ay nasa ang kaliwa). Pagkatapos ay kailangan mong lumikha ng higit pang mga matrice - isa para sa bawat variable. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang bawat column ng mga coefficient sa unang matrix sa turn ng isang column ng mga numero pagkatapos ng equal sign. Kaya, nakakakuha kami ng ilang mga matrice at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga determinant.

Pagkatapos naming mahanap ang mga determinant, ito ay isang maliit na bagay. Mayroon kaming paunang matrix, at mayroong ilang mga resultang matrice na tumutugma sa iba't ibang mga variable. Upang makakuha ng mga solusyon sa system, hinahati namin ang determinant ng resultang talahanayan sa determinant ng unang talahanayan. Ang resultang numero ay ang halaga ng isa sa mga variable. Katulad nito, nahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Iba pang mga pamamaraan

Mayroong ilang iba pang mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga solusyon sa mga sistema ng mga linear equation. Halimbawa, ang tinatawag na Gauss-Jordan method, na ginagamit upang maghanap ng mga solusyon sa isang sistema ng mga quadratic equation at nauugnay din sa paggamit ng mga matrice. Mayroon ding pamamaraang Jacobi para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Ito ang pinakamadaling iakma sa isang computer at ginagamit sa pag-compute.

Mga kumplikadong kaso

Karaniwang nangyayari ang pagiging kumplikado kapag ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Pagkatapos ay masasabi nating sigurado na ang sistema ay hindi pare-pareho (iyon ay, walang mga ugat), o ang bilang ng mga solusyon nito ay may posibilidad na infinity. Kung mayroon tayong pangalawang kaso, kailangan nating isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear na equation. Maglalaman ito ng hindi bababa sa isang variable.

Konklusyon

Dito na tayo sa dulo. Ibuod natin: nalaman natin kung ano ang isang sistema at isang matrix, at natutunan kung paano maghanap ng pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin ang iba pang mga pagpipilian. Nalaman namin kung paano lutasin ang isang sistema ng mga linear equation: ang Gauss method at pinag-usapan ang mga kumplikadong kaso at iba pang paraan ng paghahanap ng mga solusyon.

Sa katunayan, ang paksang ito ay mas malawak, at kung nais mong maunawaan ito nang mas mabuti, inirerekomenda namin ang pagbabasa ng mas espesyal na literatura.